一类具功能反应和脉冲扰动的种群生物系统动力学分析

合集下载

对一类具HollingⅡ型功能反应的种群脉冲系统的分析

自然界中的大多数昆虫对人类是有益的或无害
的，只有少数昆虫在其数量、度达到一定的程度后密
究，ＬｔａＶｏｔｒａ功能反应，ｌｎ如ｏｋ－ｌｒｅＨｏｌｇ类功能ｉ反应［０Ｂｄｎｔｎ类功能反应［等，他们工ｓ］ｅｉｇｏｑ和在作的启迪下，对下面一类具ＨｏｌｇⅡ型功能反应将ｌｎｉ
ＡｂｔａｔＩｉｈｆｉｌｇｃｌｏｔｏｎｈｍｉａｏｔｏｔａｅｙａｄｃｎｉｅｉｇｔｅｓｄｆｅｔｆｈｍｉａｅ — ｓｒｃ：ｎｌｔｏｏｏｉａｎｒｌｄｃｅｃｌｎｒｌｒｔｇｎｏｓｄｒｎｈｉｅｅｆｃｓｏｅｃｌｓｇｂｃａｃｓｃｐｔｉｅｎｔｅｐｅａｏｆｐｓｓｉｄｓｏｈｒｄｔｒｏｅｔ．ｗｅｐｏｏｅｎｔｉａｅｒｄｔｒｐｅｄｌｃｒｐｓｄｉｈｓｐｐｒａｐｅａｏ — ｒｙｍｏｅｉｈｈｓＨｏｉｇⅡｆｎｔｎｌｅｗｈｃａｌｎｉｕｃｉａ — ｏｒｓｏｓｎｅｔｒｓｍｕｕｌｉｔｒｅｅｃ．ＣｎｉｏｓｆｒｔｅｓｓｅｔｅｅｔｃｒｂａｎｄｂｓｎｈｏｐｎｅａｄｆａｕｅｔａｎｅｆｒｎｅｏｄｔｎｏｈｙｔｍｏｂｘｉｔｗｅｅｏｔｉｅｙｕｉｇｔｅＦｌ— ｉｎｑｅｈｏｙｏｐｌｉｅｅｕｔｏｎｅｍａｅｃｏｄｔｎｒｓａｌｈｄｖａｔｅｍｅｈｄｏｏａｉｏｎｏｖｕｔｔｅｒｆｉｕｓｖｑａｉｎａｄｐｒｎｎｅｃｎｉｉｓａｅｅｔｂｉｅｉｈｔｏｆｃｍｐｒｓｎｉｖｌ — ｍｏｓｉｇｍｕｔｐｅＬｙｐｎｖｆｎｔｎ．ｎｌｉｌａｕｏｕｃｉｓｏ．

几类具扩散项的种群模型动力学性质分析

几类具扩散项的种群模型动力学性质分析在生物数学中,研究种群模型的动力学性质已经成为了一个重要内容,而其中对具有扩散项的种群模型的研究受到了许多数学家和生物学家的关注。

由于能量在生物个体中的传递、转化的差异,对具有不同功能反应函数以及扩散项的捕食-被捕食系统的长时间动力学性质的研究,如平衡点的稳定性,由扩散引起的Turing不稳定性,以及Hopf分支等问题,具有很强的理论意义和实际意义。

本文研究了具有扩散项以及Holling III型和Beddington-DeAngelis型功能反应函数的种群模型的动力学性质。

1.在具有Holling III型功能反应函数的捕食模型中,研究了食饵具有的避难项对该模型动力学性质的影响。

通过构造Lyapunov函数,建立了正平衡点的全局渐近稳定性定理。

以避难系数为分支参数,分析了Hopf分支的存在性,并通过中心流形和规范型理论分析了Hopf分支方向以及分支周期解的稳定性。

最后,总结了分析结果,对于避难系数如何影响系统的动力学性质给出了解释并进行了数值模拟。

2.在具有Holling III型功能反应函数的捕食模型中,研究了当捕食者的死亡率对系统动力学性质的影响。

考虑捕食者内部压力对死亡率的影响,定义捕食者的死亡率是关于捕食者数量的一个递增函数。

通过特征根分析,给出了平衡点局部稳定的充分条件,并且讨论了由扩散引起的Turing不稳定性。

最后,分析了Hopf分支存在性,以及Hopf分支的性质。

3.研究了一类具有Beddington-DeAngelis型功能反应函数的修正LeslieGower种群模型。

Beddington-DeAngelis型功能反应函数考虑了捕食者内部作用对捕食效率的影响。

另外,该模型假设食饵数量较少时,捕食者会捕食其它的食物,体现在环境对捕食者的最大承受量等于食饵与其他食物的数量和。

本文从分支的角度定性的分析了该模型,给出了Turing分支存在条件,Hopf 分支存在条件及Hopf分支的性质。

一类新的具脉冲出生单种群动力学模型分析

』一）ｔ， ≠
ｔｘｔ＝￡（Ａ（）（）口一６（），ｔ）ｔ丁＝ｎ，
（２）
其中，ｔ表示种群密度，（）口＞０是种群出生的内禀增长率，ｂ＞０且孚是种群的出生容纳量系数，是ｄ
种群的死亡系数，是种群的脉冲出生周期．
。
ｄ［１＋ｂｅ一１１（）］
证明
为了方便，记＝（
），么差分方程（）可以写成那５
＋＝Ｆｘ）１（．（）７
其中，
Ｆ）６＿罟（＝＋× ＝（）＿＝三
ｉ如果ｂ＜ｅ，）ｄ一１那么Ｇ（）（）的唯一平衡点．ｔ，Ｏ是５于是得到
收稿日期：０１０ — ０２１—４２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０６０８；１９１０）贵州省教育厅自然科学研究培育项目（００２），２１０７贵州省科学技术基金项目
（００２３）２１Ｊ１０．
作者简介：莫细才（９２）男，１一，湖南省隆回县第九中学一级教师．７
ｄ（２１一ｅ－）．
，ｔｎｎ）．＋］Ｅｒ，．（（下，
兰．
（）４
考虑到系统（）的第二个方程，３于是得到系统（）３的频闪映射
（）５
ｂ＞ｅＩ．ｄＴ一１
（）６
定理１ｉ如果ｂ＜ｅ一１那么（）的不动点Ｇ（）是全局渐近稳定的；）ｄ，５Ｏｉ如果ｂ＞ｅ一１那么（）的不动点Ｇ（）全局渐近稳定的，中，ｉ），５２是其

一类具有脉冲效应的Lotka-Volterra系统的动力学行为

摘要：对一类具有Ｍｉａｌ．ｎｎ型功能反应和脉冲效应的ＬｔａＶｌｒ捕食系统进行研究，ｃｅｓＭｅｔｈｉｏｏｋ— ｏｅｒｔａ利用脉冲比较定理、Ｆｏｕｔｌｑｅ理论及微小扰动法等得到了食饵种群灭绝周期解全局稳定和系统持续生存的充分条件。最后利用Ｍａａｔｂｌ软件对上述情形进行了数值模拟。
Ｆｉ— ｎ．ＴＡＮＢｏｄｎ，ＵＪａｍｉＩａ。ａ２
（．ｃｏｌｆＡｔｔｎＥｇｎｅｎ，ＵｉｒｔｏＥｅｒｎｃｎｅａｄＴｃｎｌｙｏＣｉａ１ＳｈｏｏｕｏｉｎｉｒｇｎｅｉｌｔｉＳｉｃｎｅｏｇｈｎ，ｍａｏｅｉｖｓｙｆｃｏｃｅｈｏｆ
引言
近年来，人们发现有许多生命现象的发生以及人们对某些生命现象的优化控制并非是一个连续的过程，能单纯地用微分方程来描述，半连续的不而用脉冲微分方程来描述更加合适。因此脉冲微分方程
于以上研究背景，拟对一类具有Ｍｉａｌ —Ｍｅｔｃｅｓｈｉｎｏｎ型功能反应和脉冲效应的Ｌｔａ —Ｖｈｒｏｋｏｅｒ食系ａ捕统进行研究。讨论的模型如下：（（（一（ｂ（￡）＝￡￡））一ｔｉ）ｙ＝）￡（（ｂ（）ｒ（２一￡）＋２ｔｘ）
一
类具有脉冲效应的Ｌｔａｏｅａｏ — ｈｒｋＶｒ系统的动力学行为
付家敏田宝单
四川成都６１３；．１７１２西南科技大学理学院６１３）１７１四川绵阳６１１２００；３电子科技大学数学科学学院四川成都．

一类具季节性时变参数和脉冲控制的捕食-被捕食系统的动力学

实际因素对系统状态带来的瞬间突变影响，因此提出的模型更符合实际意义，研究结果更有应用价值 …。
现有的脉冲控制的捕食一捕食模型大多基于特定的功能反应，Ｈｌｎ、ｅｅａｉｄＨｌｎ、ｖｖ型被如ｏｌｇ型ｇｎｒｌｅｏｉｇ型Ｉｌｉｚｌｅ和Ｂｄｉｇｎ— ｅｎｅｓｅｄｎｔＤＡｇｌ型等，类模型已经得到了学者们的深入研究ｏｉ此
第３４卷第６期
２１００年１２月
南昌大学学报（科版）理
ＪｕｎＮｎｈｎｎｖｒｉ（ａｒｌｃｎｅｏｒａｌａｅａｇＵｉｅｓｙＮｔａＳｉｃ）ｔｕｅ
Ｖｏ．４Ｎｏ．１３６Ｄｅ．０１ｃ２０
文章编号：０６— ４４２１）６— ５５— ９１００６（００００４０
一
类具季节性时变参数和脉冲控制的捕食一被捕食系统的动力学
刘华祥 ‘曾广洪，
５４８；．２０８２江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌３０２）３０２
（．１广东海洋大学数学系，东湛江广摘
要：研究一类脉冲控制的微分动力系统，该系统基于具有一般功能反应和季节性影响的捕食一被捕食系统，并
性影响的较少，多属二维系统。且
。但这类研究中，考虑具季节
文［１考虑了无季节性影响具Ｂｄｉｇｎ—ＤＡｇｌ功能反应的一个捕食者和两个被捕食者系统，１］ｅｄｎｔｏｅｎｅｓｉ并研究了该系统的动力学性质［２；１］考虑了无季节性影响的具Ｈｌｎ功能反应的一个捕食者和两个被捕食ｏｉｇＩｌＩ者系统，究了该系统的动力学性质。文［３并研１］基于Ｂｄｉｇｎ—ＤＡｇｌ型功能反应考虑了一个具季节ｅｄｎｔｏｅｎｅｉｓ性影响和脉冲控制的捕食一捕食系统，有两个被捕食者种群和一个捕食者种群，究了该系统的被捕被它并研食者绝灭周期解的稳定性及系统的持久性。鉴于这类系统对研究农业生产中包括生物防治和化学防治在内的虫害综合防治过程或其他生物资源开发过程的重要性，我们将该模型中的Ｂｄｉｇｎ—ＤＡｇｌ功能反ｅｄｎｔｏｅｎｅｓｉ

几类种群生态学模型动力学分析

摘要摘要本文利用常微分方程和泛函微分方程的相关理论，讨论了几类种群生态学模型的动力学性质.本文共由五章组成：第一章,介绍了本文的研究目的、意义以及本文的主要工作.第二章，研究了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论证明该系统在适当条件下是一致持久的；并且当系统是周期系统时，利用泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov函数的方法，得到该系统周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件；对更具普遍意义的概周期现象，也得到了概周期正解存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，基于综合害虫管理策略，提出并研究了一类具有脉冲效应和Holling IV 类功能反应的捕食者—食饵系统，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及微小扰动法，得到害虫灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，运用时滞微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，研究了两类具有功能反应和一个固定脉冲时刻的时滞捕食者—食饵系统，得到了食饵灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第五章，就全文进行了总结，指出了研究中还没有解决的问题，并对以后要研究的工作进行了展望.关键词:捕食者—食饵系统；一致持续生存；脉冲效应；灭绝性；全局吸引AbstractAbstractIn this thesis, dynamical behaviors of serveral types of population models in ecology are studied by using the theory of ordinary differential equation and functional differential equation. It is composed of five chapters.In Chapter 1, the goal, significance and the main works of this thesis are introduced.In Chapter 2, a predator-prey system with nonautonomous stage-structure and a nonautonomous predator-prey system with Holling IV functional response are studied. It is proved by differential equation qualitative theory that the system is persistent under proper conditions. Also, when the system is periodic, by using Brouwer fixed point theory and the way of constructing Lyapunov function, the sufficient conditions are obtained for the unique existence and global asymptotic stability of the periodic positive solution of the system. With respect to the general almost periodic system, we also obtain the sufficient conditions for the existence of general periodic positive solution as well as globally asymptotic stability．In Chapter 3，based on the strategy of integrated pest management, a predator-prey system with impulsive effect and Holling IV functional response is proposed and studied. By using impulsive comparison theorem, Floquent theory and small amplitude perturbation skill, the sufficient conditions for local asymptotic stability of pest-eradication periodic solution and permanence of the system are obtained.The results provide reliable tactical basis for the practical pest management.In Chapter 4，by using delay differential equation basic theory , comparison theorem and periodic solution existing theorem of impulsive differential equation, sufficient conditions which guarantee the global attractivity of prey-extinction periodic solution and permanence of the system are obtained. It is also proved that all solutions of the system are uniformly ultimately bounded.The obtained results provide reliable tactical basis for the practical biological resource management and enrich the theory of impulsive differential equation.In Chapter 5，we summarize the whole paper and point out the problems that are still unsolved in the research .Moreover, the future study is prospected.Key words: predator-prey system；uniform persistence；impulsive effect；extinction;global attractivity目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)第一章绪论 (1)§1. 1引言 (1)§1. 2研究目的及意义 (2)§1. 3本文的主要工作 (3)第二章非自治捕食者-食饵系统 (4)§2. 1 引言 (4)§2. 2一类具有阶段结构的非自治捕食者-食饵系统的研究 (4)2. 2. 1预备知识 (5)2. 2. 2一致持久生存性 (5)2. 2. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (6)2. 2. 4概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (7)2. 2. 5小结 (9)§2. 3具Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统的研究 (9)2. 3. 1预备知识 (10)2. 3. 2一致持久性 (11)2. 3. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (12)2. 3. 3结论 (13)第三章一类基于IPM策略的具有脉冲效应的捕食者-食饵系统 (14)§3. 1引言 (14)§3. 2具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统分析 (14)3. 2. 1预备知识 (15)3. 2. 2灭绝性与持久生存性 (17)§3. 3本章小结 (22)第四章两类具时滞和脉冲作用的捕食者-食饵系统的动力学分析 (23)§4. 1引言 (23)§4. 2一类时滞脉冲捕食食饵-系统的全局吸引性和一致持久 (23)4. 2. 1预备知识 (24)4. 2. 2主要结果 (25)4. 2. 3小结 (29)§4. 3食饵具脉冲扰动与捕食者具连续收获的时滞捕食者-食饵系统的动力学行为 (30)4. 3. 1预备知识 (30)4. 3. 2主要结果 (31)4. 3. 3小结 (36)第五章总结与展望 (37)§5. 1 本文研究工作的总结 (37)§5. 2 对今后研究工作的展望 (37)参考文献 (38)致谢 (43)作者在攻读硕士期间主要研究成果 (44)第一章绪论§1. 1引言种群生态学是生物数学中的主要分支，在现实生活中发挥着越来越重要的作用. 种群生态学的研究主要通过建立符合生物发展规律的数学模型，然后利用相应的数学理论和方法对模型进行推理和求解，进而发现其演化规律.微分方程是研究种群生态学的重要理论和方法.人们利用微分方程建立生态数学模型来研究和解决生态学实际问题，并取得了巨大的成功[1-2].从单种群系统到多种群系统,从自治微分动力系统到非自治微分动力系统，从连续动力系统再到脉冲微分系统，生物动力系统经历了一个百年迅速发展的过程,所建立的数学模型越来越能真实确切地反映生命现象的本质及其发展过程.由于整个自然环境常随时间而改变，自治的生物模型无法刻画这一因素,而时变环境下非自治的生物系统能够更加准确的反映现实.因此非自治系统吸引了学者和专家的重视与兴趣并取得了大量的成果[3-7]，主要是研究系统的全局渐近稳定性、持久性、周期解的存在性等.脉冲微分方程作为20世纪末发展特别迅速的一个数学分支，是描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，它能更真实地反映自然界中一些瞬时突变的现象.在种群动力学中，很多自然现象或因素都需要用脉冲微分方程来描述才能更加真实的反映自然界事物变化规律，因此它比普通微分方程有更丰富的内容和性质.目前，脉冲微分方程在生物种群中的研究应用主要集中在脉冲发生在固定时刻的情况，对食饵-捕食者系统的研究结果较多.§1. 2研究目的及意义§1.2.1 非自治捕食者—食饵系统在自然界中，捕食现象是普遍存在的，所以对捕食模型的研究显得尤为重要.通过研究捕食模型的稳定性、持久性来解释和预测种群的发展趋势，这对于保持良好的生态平衡，保护生物种群的多样性，维持生态系统的可持续发展有着重要的指导意义.因此，捕食者与食饵之间的相互作用关系一直以来都是生物数学界与生态学界的一个重要的研究课题.在经典的微分系统中，总是假设系统的参数是不随时间的变化而变化的，即通常考虑的是自治系统的情形，这时我们通常研究系统平衡点的性态或极限环周围解的性质.一般来说，在环境不发生巨大的变化，不进行人为的破坏，生态系统的发展过程分布比较均匀，把系统的参数看做是常数有一定的合理性，并且有利于人们建立、分析与研究生态模型.然而，在现实世界中，很多生物种群的增长经常会受到很多自然因素的影响，如季节的影响、生存空间、食物供给的丰富性、种群的交配与生殖等，从而产生波动.也就是说，模型的有关参数往往是与时间有关的，所以研究非自治的捕食者—食饵系统具有重要的实际生物意义.但其不足之处有：(1)考虑环境及种群干扰因素过于简单；(2)对于多种群生物系统,没有较完善的数值模拟的方式从图形上来说明；(3)对于非自治生物系统考虑具有Holling IV功能、避难所和干扰常数的研究很少.对于非自治系统的研究完全可以考虑多种外界因素的干扰[8],以便使模型更贴近现实，达到更合理保护或控制生物.自然界中有很多现象呈现周期性的变化，如气候、昼夜更替、季节变化等，因此生物的生存环境是随时间而周期改变的.近些年来，很多学者对非自治周期系统进行了大量的研究，得到了周期正解和概周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性.§1.2.2脉冲微分方程近年来，人们发现自然界中许多实际现象的发展过程并不是连续的，即系统受到一个短时间的外部作用，尽管这个短暂的干扰时间同整个发展过程相比较可以忽略不计，但是它可以改变系统的状态，导致物种的数量突变，若用连续动力系统去描述这些行为，则必定会与实际相差很大，因此不能单纯地用差分方程或微分方程来处理.而脉冲微分方程为研究这种在一个阶段是连续发展，而在一些时间点上是脉冲式的瞬间干扰行为提供了有力的工具，它能恰当的描述连续与脉冲相结合的自然现象.生物种群系统的许多自然现象和人为干预因素都需要用脉冲微分方程来描述.如：生育脉冲[9-10]，物种的迁徙，接种疫苗，生态环境的剧变对种群的影响.在渔业生产中，鱼苗的放养和成鱼的收获是周期性地发生而且是短时间完成的[11]. 在农业生产中，人们经常利用定期投放天敌和喷洒杀虫剂结合起来去控制害虫，即害虫的综合管理策略[12]. 投放天敌和喷洒杀虫剂是瞬时的、不连续的脉冲行为.在微生物培养中，培养基的脉冲输入[13-14].脉冲微分方程是在常微分方程的基础上发展起来的，其突出的特点是能充分考虑到瞬间变化对状态的影响，能够更合理、更精确地反映事物的变化规律.因此，许多学者对脉冲微分方程理论做了广泛而深入的研究.如文献[15]研究了时滞脉冲微分方程解的存在性、可微性与延拓性，文献[16]研究了脉冲微分方程系统的稳定性, 文献[17]研究了解的振动性, 等等.脉冲微分方程是非线性微分系统的一个分支.脉冲微分方程的研究始于20世纪60年代，近三十年来，脉冲微分方程的理论和方法得到了迅速发展[18-19]，已形成一个比较完整的学术体系，被广泛地应用于生物控制、传染病动力学、种群动力学、药物动力学、分子学、遗传学及生物控制论等方面.其代表成果有：癌细胞的化疗[20],脉冲收获[21], 种群生态学[22], 脉冲控制[23-24], 等等.尽管很多学者为脉冲微分方程在各领域的应用做了广泛的研究，但脉冲微分方程在种群动力学和传染病动力学的应用研究中，尚存在某些研究的空白.脉冲微分方程的定性理论尤其是状态依赖的脉冲微分方程的定性理论还处在起步阶段，脉冲自治系统的几何理论几乎是空白的.此外，脉冲从理论转入应用还有一定的困难，在应用方面，特别是在生命科学中的应用，还相对较少.而在最近十年，又不断地向时滞脉冲微分方程推进[25-26].脉冲种群系统与不含脉冲的种群动力系统相比，有着更加复杂的动力学性质.若同时考虑具有时滞和脉冲的种群系统，二者交织会影响解的性态，因此具有更加复杂的性质，其研究就更加困难，而且可供参考的文献不是很多，但这类种群模型是大量存在的，所以研究这类种群模型具有很重要的实际意义和很好的发展前景.§1.3 本文的主要工作本文运用微分方程定性理论、脉冲比较定理、Floquent乘子理论等方法，研究了非自治动力系统和脉冲微分系统的动力学性质，具体如下：第二章，分为两个部分，利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer不动点定理和构造Lyapunov泛函的方法，讨论了一类食饵具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，证明该系统在适当条件下是一致持久的，并且当系数分别为周期函数、概周期函数时，得到了该系统周期正解与概周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，以农业生产中的害虫治理为背景，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及分析的方法，建立并讨论了一类在固定时刻具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者—食饵系统，得到了系统的一致最终有界性，并给出食饵灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，分为两个部分，分别对两类时滞脉冲微分系统作了讨论.运用时滞泛函微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，得到了系统食饵、捕食者灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得的结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第二章非自治捕食者—食饵系统§2. 1 引言捕食者—食饵系统是生态学中一类非常重要的种群系统,许多学者对它进行广泛而深入的研究，并取得了大量的成果[27-33].在自然界中，种群在其成长发育的不同阶段，会表现各种不同的特征，而且其各项生理机能差别较大，如捕食能力，竞争能力，扩散率等等.因此，研究具有阶段结构的捕食模型具有很重要的现实意义，文[27-28]究了具有阶段结构的自治捕食系统.相比自治的微分方程而言，时变的微分系统[29-31]真实地描绘现实世界，比如：如果考虑气候改变，食物来源结构改变等环境因素的变化，自治的生物模型无法刻画这一因素，而时变微分系统能发挥着重要的作用，能够更加准确地描述现实的生命科学体系.由于季节的周期变化,生物的生存环境的周期变化,从而生物的一些习性,如体温、交配等也表现为周期性.这种周期性往往会影响种群的数量,并且可能导致一些周期性结果.因此,考虑时变环境下系统的参数,如内禀增长率、种群间的竞争系数、种群内的竞争系数等，为周期变化的是符合实际的.此外,在研究自然现象和社会现象中,我们考虑种群和环境、种群和种群之间等等的因素（如功能反应函数、种群干扰现象和阶段结构等等）是各异的.因此对时变环境下的非自治系统进行详细的研究不仅仅理论上的必要性而且还有重要的现实性.本章讨论了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov 函数的方法，对系统的一致持续生存性、周期正解的存在唯一性和渐近稳定性、概周期正解的存在唯一和全局渐近稳定性进行研究，得到出现各种动力学性质的充分条件.§2. 2 一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统的研究文[29]中考虑了如下的系统：1112222333()()()x x a b x c y yy a b x c y d z z z a b y c z =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，，，通过利用代数方程、Hurwitz 判别法则，得到了该系统平衡点的存在性、稳定性等相关的结论.本节在文[29]基础上假设环境随时间是周期或概周期变化下,针对食饵的年龄结构，把被捕食群体区分为成年群体和幼年群体，考虑到它们在系统中的不同作用，建立一类非自治具有阶段结构的捕食-被捕食模型.具体模型如下：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()()).x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，， (2-2-1) 其中()x t ，()y t 1()a t 12(),(c 分别为幼年食饵和成年食饵在t 时刻的密度，为捕食者种群在t 时刻的密度.，分别为食饵幼体和成体的内禀增长率，为捕食者种群的死亡率.为种内密度制约因素，()z t 3(a t ()()t y t 2()a t 3),()c t )b t t 1()c t x -，，，表示种群间的相互作用. 2()()b t x t y =1,2,3),2d ()t ()t 2-()()d t y ()z t t 3()b t y ()()t z t (),a t b (),i i i t c ()t (i 是[0上连续的严格正函数，并且满足,)+∞2min{,,,}0L L L L i i i a b c d >，2max{,,,}M M M M i i i a b c d <+∞，()1,2,3i =，对于一个连续有界函数，记()h t inf{():}L h h t t R +=∈，.sup{():}M h h t t +=∈R §2.2.1 预备知识引理2.2.1[30]设是非负可微函数，若()g t (),g t M M '<为一正常数，且0(),g t dt +∞<+∞⎰则.lim ()0t g t →+∞=引理2.2.2（Brouwer 不动点定理）设n R 是维欧几里德空间，是n A n R 的一个有界凸集，f 是A A →的一个连续映射，那么必有x A ∈，使得()f x x =.定义 2.2.1[34] 系统(2-2-1)是一致持续生存的是指：如果存在正常数和m M ，使得对于系统(2-2-1)的任何正解()((),(),())X t x t y t z t =都存在T ，当t 时有，即. 0>T ≥()m X t M ≤≤lim inf m X →∞()lim sup ()t t t X t →∞≤≤M ≤§2.2.2 一致持续生存性由于一致持久性对于生物系统而言可以解释为种群最终不会消亡，因此对生物系统一致持久性的研究具有特别重要的意义，下面我们给出系统(2-2-1)的一致持久性结果.定理2.2.1 3R +=(){}(),(),()()0,()0,()0x t y t z t x t y t z t >>>是系统(2-2-1)的正向不变集. 证明对于任意和([0,)t ∈+∞(0),(0),(0))x y z 3R +∈，1110()(0)exp{[()()()()()]}0,t x t x a s b s x s c s y s ds =--⎰>>> 22220()(0)exp{[()()()()()()()]}0,ty t y a s b s x s c s y s d s z s ds =+--⎰ . 3330()(0)exp{[()()()()()]}0tz t z a s b s y s c s z s ds =-+-⎰故3R +是系统(2-2-1)的正向不变集..定理2.2.2 若系统(2-2-1)的系数满足条件110L M a c H ->，，22120L L M a b m d H +->3320M L a b m -+>, (2-2-2)则123{((),(),())|(),(),()}x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤是系统(2-2-1)的最终有界区域，其中：第二章非自治捕食者—食饵系统1111L M M a c H m b -=1ε-，2212222L L M M a b m d H m c ε+-=-，332333M L M a b m m c ε-+=-，(1,2,3i i )ε= 是任意小的正数.证明考虑函数，则有123()()()()s t w x t w y t w z t =++()()st s t λ+= 1111122222(()()())()(()()())(w a t w w b t x t x t w a t w c t y t w y )t λλ+-+-+ 333331122(()()())()(()())()()w a t w w c t z t z t w c t w b t x t y t λ+-+-+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+. (2-2-3)令111()()k t w a t w 1λ=+，222()()k t w a t w 2λ=+，333()()k t w a t w 3λ=-+．选取3M a λ>，使 ()0i k t >(1,2,3i =)代入(2-2-3)有111222()()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t λ+=-+- +3331122(()()())()(()())()()k t w c t z t z t w c t w b t x t y t -+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+，在上式中令2112()()()b t w t c t =，，21w =233()()2()d t w t b t =，选取t 使，，则有 11w ≥21w ≥111222333()()(()()())()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t k t w c t z t z t λ+≤-+-+- =2112212()()()())()(()()())()()b t b t k t x t x t k t c t y t y t c t -+-(2333()()(()())()2()d t c t k t z t z t b t +-. 由于上面不等式的右端所有的二次项系数均为负的，所以存在常数，使得0k > ()()st s t k λ+≤ ，即 ()(())k s t s t λλ≤- ，从而有lim sup ()t k s t λ→∞≤　. 因此，对任给小的0ε>，存在T ，当时，有1t T >()k s t ελ≤+. 令,kH ελ=+当时，有 1t T >()x t H ≤，()y t H ≤，()z t H ≤.另外，由系统(2-2-1)中第一个方程，有111111()()(()()()()())()(())L M M xt x t a t b t x t c t y t x t a b x t c H =--≥-- ，所以 111lim inf ()L M M t a c H x t b α→∞-≥=. 因此，对任给10εα<<，存在，当时，有2T T >12t T >1()x t αε≥-.令11m αε=-，当时，有 2t T >1()x t m ≥. (2-2-4)同理可证：存在和，当，有 20m >3T T >23t T >2()y t m ≥ . (2-2-5)存在和，当，有 . (2-2-6)30m >4T T >34t T >3()z t m ≥综合式(2-2-4)、(2-2-5)和(2-2-6)可得，当时，有4t T ≥()(),(),()x t y t z t ∈Ω.因此，Ω是系统(2-2-1)的最终有界区域.定理2.2.3 若条件(2-2-2)成立，则系统(2-2-1)是一致持续生存.证明由定理2.2.2易得结论.§2.2.3 周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性设是[02(),(),(),()(1,2,3)i i i a t b t c t d t i =,)+∞上连续和严格正的ω周期函数，且有上下界，则系统(2-2-1)是一个ω周期系统.定理2.2.4 若条件(2-2-2)成立，且系统(2-2-1)还满足111122233332()2()()()0,()0,()()2()()0a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d t -++->>-++>，(2-2-7) 则系统(2-2-1)有唯一的全局渐近稳定的ω周期正解.证明 {}123((),(),())|(),(),()x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤为有界闭凸集，且为系统(2-2-1)的正不变集，定义Poincare 映射3:A R R 3++→，使得 00()(,)A x x x ω=， 03x R +∈，则A 映射到自身，即. 由解对初值的连续依赖性可得Ω()A Ω⊂ΩA 连续.由Brouwer 不动点定理，在Ω中映射A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-2-1)至少存在一个严格正的ω周期解.设1111()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)的ω周期正解，()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)任意一具有正初值的解，构造Lyapunov 函数：111()()()ln ()ln ()()()v t x t x t y t y t z t z t =-+-+-，则 11()(()()ln ()ln ()()())D v t D x t x t y t y t z t z t ++=-+-+-111(()())(ln ()ln ())(()())D x t x t D y t y t D z t z t +++≤-+-+-1=11(()())sgn(()())x t x t x t x t -- +111()()(()())()()yt y t y t y t y t y t -- +. 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 由11(()())sgn(()())xt x t x t x t -- 1sgn(()())x t x t =-11[()(()())a t x t x t -2211()(()())b t x t x t --11()(()()()())]c t x t y t x t y t --111= 11()(()())sgn(()())a t x t x t x t x t --12211()(()())sgn(()())b t x t x t x t x t ---111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---11111()()()()(()())(()())sgn(()())a t x t x t b t x t x t x t x t x t x t ≤---+-11111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---1111112()()()2()()()()()()a t x t x t m b t x t x t c t m x t x t ≤-----1，同理可证: 111()()(()())()()y t y t y t y t y t y t -- 21212()()()()()()()()()b t x t x t c t y t y t d t z t z t ≤---+-1， 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 313133()()()()()()2()()()a t z t z t b t H z t z t c t m z t z t ≤--+---1 所以 1111221()(()2()()())()()D v t a t m b t c t m b t x t x t +≤--+-+2133332(())()()(()()2()())()()c t y t y t a t b t H c t m d t z t z t --+-+-+-1t .令， 111122233332min{()2()()(),(),()()2()()}a a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d =-++--+-由11()(()()()()()())D v t a x t x t y t y t z t z t +≤--+-+-1，得111()()(()()()()()()s 0tT v t v T a x s x s y s y s z s z s d -+-+-+-≤⎰），111()(()()()()()())tTv T x s x s y s y s z s z s ds a-+-+-≤<⎰∞. 则有1lim ()()0t x t x t →∞-=，1lim (t)()0t y y t →∞-=，1lim ()()0t z t z t →∞-=.这说明系统(2-2-1)的ω周期正解是全局渐近稳定的，从而也说明了周期解的唯一性.§2.2.4 概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性概周期现象以周期现象作为它的特例，在生态学中更具有实际意义，设，是(),(),()i i i a t b t c t (123i =，，)2()d t [)0+∞，上连续的严格正概周期函数，于是得到如下的概周期系统：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()())(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=+-⎪⎪>>>⎩ ,,-, (2-2-8) 考虑系统 (,)xf t x = ，(,)(,)n f t x C R D R ∈⨯， (2-2-9) 其中是D n R 的一个开集，(,)f t x 是关于t 对n x R ∈上是一致概周期的，对式(2-2-9)的伴随系统(,),(,)x f t x y f t y == . (2-2-10) 引理设存在定义在[上的Lyapunov 函数，满足[35]2.2.3)0,D D +∞⨯⨯(,,)V t x y ()()(,,)(),i a x y V t x y b x y -≤≤-其中和是连续、递增的正定函数； ()a r ()b r 11221212()(,,)(,,){},0ii V t x y V t x y k x x y y k -≤-+->是一个常数；()(,,)iii D V cV t x y +≤-00t t ≥≥S ⊂，这里是一个常数，并且设系统(2-2-9)有一个解，对一切落在紧集内，则系统(2-2-9)在中有唯一概周期解，且此解在上一致渐近稳定.0c >D S D 定理2.2.5 若系统(2-2-8)满足条件(2-2-2)和(2-2-7)，则概周期系统(2-2-8)存在唯一且全局渐近稳定的概周期正解.证明由定理2.2.2和定理2.2.3知，系统(2-2-8)是一致持续生存的，为这个一致持续生存域，显然Ω是紧集，考虑系统(2-2-8)的伴随系统： Ω11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ ，1111()((),(),())P t x t y t z t =11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.ut u t a t b t u t c t v t vt v t a t b t u t c t v t d t w t w t w t a t b t v t c t w t u v w =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ .1111()((),(),())Q t u t v t w t =在上定义Lyapunov 函数：[0,)+∞⨯Ω⨯Ω 11111111(,,)()()()()()()V P Q x t u t y t v t z t w t τ=-+-+-.取111111()()()()()()()()a r b r x t u t y t v t z t w t ==-+-+-，则为连续递增的正定函数，所以满足引理的条件.(),()a r b r ()V t 2.2.3()i 设是系统(2-2-8)在[0上任意两个解，则有 22222222((),(),()),((),(),())P x t y t z t Q u t v t w t ,)+∞⨯Ω⨯Ω1122(,,)(,,)V t P Q V t P Q -=111111222222()()()()()()()()()()()()x t u t y t v t z t w t x t u t y t v t z t w t -+-+------- 121212121212()()()()()()()()()()()()x t x t y t y t z t z t u t u t v t v t w t w t ≤-+-+-+-+-+-1212P P Q Q =-+-.所以满足引理的条件.()V t 2.2.3()ii 与定理2.2.4的证明相类似，有下式成立：111111111()()()()()()()()()()D V t A t x t u t B t y t v t C t z t w t +≤------，其中111112212313332()()2()()(),()()(),()()2()()A t a t m b t c t m b t B t c t b t H C t a t c t m d t =-++-=-=++111min{(),(),()}0,r A t B t C t =>()()D v t rv t +≤-()V t ()iii .取则，所以满足引理2.2.3的条件，从而由引理2.2.3可知系统(2-2-8)在Ω中有唯一正概周期解，它在中是一致渐近稳定的.当满足条件(2-2-2)和(2-2-7)时，可知其具有唯一全局渐近稳定的概周期正解.Ω§2.2.5 小结本节研究了一类食饵具有阶段结构而捕食者不分阶段的捕食者-食饵系统，由定理 2.2.2与定理 2.2.3可知,当系统参数满足110L M a c H ->，，时,系统是一致持久生存的,也就是这时各物种能够长期共存下去,这对于保护物种的多样性有重要意义.而通过定理2.2.4与定理2.2.5的证明，我们得出了该系统周期正解与概周期正解的唯一存在性和全局渐近稳定性的充分条件.22120LL M a b m d H +->3320ML a b m -+>§2. 3 具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统的研究研究捕食系统，特别是具有功能反应的捕食系统有着十分重要的现实生态意义，已被许多学者广泛研究[36-42].而对于形式较为复杂的Holling IV 类功能性的捕食系统的研究较少.文[43]中研究了一类具有Holling IV 类功能反应的自治系统：22012()1()1xy x x a bx cx wx x rxy y y h h y wx x ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ ,. 讨论了该系统平衡点的全局稳定性、极限环的唯一存在性.但是由于自然界中各种因素如：食物、环境等会随时间发生改变，因此考虑模型的有关参数与时间有关更符合客观实际，本节在文[43]的基础上分析了一类具有Holling IV 类功能性的非自治系统，讨论了其动力学性质.本文具体模型如下：22012()()()()(()()()()()),1()()()()()()()()()(()()()).1()()()()x t y t x t x t a t b t x t c t x t w t x t t x t r t x t y t y t y t h t h t y t w t x t t x t ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ (2-3-11) 其中()x t 表示食饵种群在时刻的密度，表示捕食者种群在t 时刻的密度，是食t ()y t ()a t 饵的内禀增长率，2()/(1()()()())x t w t x t t x β++()t t 为Holling IV 类功能反应函数，表示捕食率.为食饵种群转化为捕食者的转化率.表示食饵的密度制约项，h t 表示捕食者种群的死亡率.()r t ()2()()()()b t x t c t x t --(),(),(),(),a t b t c t r t 01()h t y +0(),(),(),w t t h t β1()h t 是[0上连续和严格正的有界函数，并且满足；,)+∞{}01min ,,,,,,,0,L L L L L L L L a b c r w h h β>{}01max ,,,,,,,M M M M M M M M a b c r w h h β<+∞对于一个连续有界函数()f t ，记{}sup ():M f f t t R +=∈，{}inf ():L f f t t R +=∈.§2.3.1 预备知识设{}2((),())()0,()0R x t y t x t y t +=>>，由生物学意义，只在区域2int R +内考虑系统(2-3-11)，对解((),())x t y t 只考虑其具有正初值的情况，即000()0,()0,0x t y t t >>≥. (2-3-12)引理2.3.1 2R +是系统(2-3-11)的正向不变集.证明由系统(2-3-11)得到：202()()()exp{[()()()()()]}01()()()()tt y s x t x t a s b s x s c s x s ds w s x s s x s β=---++⎰>， 00012()()()()exp{[()()()]}01()()()()t t r s x s y t y t h s h s y s ds w s x s s x s β=--+++⎰>>>. 当时，必有.因此系统(2-3-11)满足正初值的解可以保持恒正，故00()0,()0x t y t >2()0,()0x t y t >R +是系统(2-3-11)的正向不变集. 引理2.3.2 对系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解((),())x t y t ，若满足条件0(M L L r h w >+ ， (2-3-13)则集合2{((),())0(),0()}T x t y t R x t N y t M +=∈<≤<≤是系统(2-3-11)的最终有界集，其中*M L a N N b >=，*M M >=N *N 与、*M 与M 充分接近.证明设((),())x t y t 是系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解，从而2((),())x t y t R +∈，由系统(2-3-11)的第一个方程知()()(())M L xt x t a b x t ≤- ，于是有lim sup ()ML t a x t b→+∞≤*N N =<. (1)若0()x t N ≤，则对有0t t ≥()x t N ≤；(2)若0()x t >N ，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有()x t N >.由已知条件知()(N N a >())0M L x t xt b N ≤- <，故存在，当时，有100T t ≥≥1t T ≥()x t N ≤. 再由系统(2-3-11)的第二个方程知：012()()()(()1()(M L LL L r x t y t y t h h y t w x t x t β≤--+++ )1()(()1()()ML L L L r y t h h y t x t w x t β≤--+++01()(()M L L y t h h y t ≤--+.则*lim sup ()t y t M →+∞≤=M <.与前面讨论相同，若0()y t M ≤，则对有0t t ≥()y t M ≤；否则，存在，当时，有200T t ≥≥2t T ≥()y t M ≤.令{}01max ,T T =2T ，当时，有0(0t T ≥),0()x t N y t M <≤<≤，故集合是系统(2-3-11)的最终有界集. T§2.3.2 一致持久性定理2.3.1 设条件(2-3-13)成立，若满足：0L a M ->， 0()L M M r h G w 0-+>， (2-3-14) 则212{((),())(),()}x t y t R m x t N m y t M +Ω=∈≤≤≤≤是系统(2-3-11)的正不变集和最终有界集，则系统(2-3-11)是一致持久的. 其中*11L M Ma M m mbc N -<=+，*0221()()L M M M M r h G w m m G w h -+<=+，并且和足够接近(1. i m *i m ,2)i =证明由引理2.3.2知，存在，对所有的，是系统(2-3-11)的最终有界集.于是，由系统(2-3-11)的第一个方程知00T >0t T ≥()[T ()()()]L M M xt x b c N x t -+ t a ≥-M ，则 *11lim inf ()0L M M t a M x t m m b c N→+∞-≥=>+>1. (1) 若0()x t m ≥，则对有0t t ≥1()x t m ≥；(2) 若0()1x t m <，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有1()x t m <，由已知条件知 11()()[()]0L M M x t m xt m a M b c N m <≥--+> 10，故存在，当时，有 3T T ≥3t T ≥1()x t m ≥. 再根据系统(2-3-11)第二个方程知12()()()(()1()(L M M M M r x t y t y t h h y t w x t x t β≥--+++ )1()(()1()()LM M M M r y t h h y t x t w x t β≥--+++令1()()()M f t x t 1(()m x t N ≤≤x t β=+)，则1111()max ,M M f t m m N ββ⎧⎫N G ≤++⎨⎬⎩⎭=，所以 01()()(())LMM Mr y t y t h h y t G w≥--++ ，则 *021()lim inf ()()L M M M M t r h G w 2y t m G w h →+∞-+≥=+m >. 与前面讨论相仿，若0()2y t m ≥，则对有0t t ≥2()y t m ≥；否则，存在，当 4T T ≥34t T ≥时，有 2()y t m ≥.由上述证明可知，当满足条件(2-3-13)、(2-3-14)时，存在，当时，恒有((.因此Ω是系统(2-3-11)的正向不变集和最终有界集，故系统(2-3-11)是一致持久的.40T >4t T ≥),())x t y t ∈Ω§2.3.3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性下面假设(),(),(),(),a t b t c t r t 01(),(),(),()w t t h t h t β是[0,)+∞上连续的严格正函数，且有上下界，并且是周期为ω的光滑函数，则系统(2-3-11)是一个ω周期系统. 定理2.3.2 如果ω周期系统(2-3-11)满足条件(2-3-13)、(2-3-14)，则系统(2-3-11)至少有一个严格正的ω周期解.证明 {}12(),()((),())m x t N m y t M x t y t ≤≤≤≤Ω=为有界闭凸集，且为系统(2-3-11)的正向不变集，定义Pioncare 映射2:A R R 2++→，使得,00()(,)A x x x ω=02x R +∈,则映射A Ω到自身，即.由解对初值的连续依赖性可得映射是连续的.由Brouwer 不动点定理，在Ω中，A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-3-11)至少存在一个严格正的()A Ω⊂ΩA ω周期解.定理2.3.3 若条件(2-3-13)、(2-3-14)成立，且系统(2-3-11)还满足21221122(1)M M M M M L LL L w M NM r r N b c m w m m βββ++++>++， (2-3-15) 2122111(1)M M LL L w N N h w m m ββ++>++ ， (2-3-16) 则系统(2-3-11)有唯一的、全局渐近稳定的ω周期正解. 证明设((),)()()x t z t y t =是系统(2-3-11)的ω周期正解，()((),())z t x t y t =是系统任一正解,构造Lyapunov 函数：()ln ()ln ()ln ()x t x t y t y t =-+-ln ()v t . 直接计算沿系统(2-3-11)的解的右上导数有()v t ()ln ()ln ()ln ()ln ()D v t D x t x t D y t y t +++≤-+- =(ln ()ln ())sgn(()())(ln ()ln ())sgn(()())d dx t x t x t x t y t y t y t y t dt dt--+--。

一类脉冲多种群生态系统的动力学性质

ＺＨＡＮＧ —ｉＢｕｌｎ
（ａｉＣｕｓＤｐｒｅｔｆＣｅｇｕＴｘｉｏｌｅＣｅｇｕ６１３，ｈｎ）ＢｓｏｒｅａｔｎｈｎｄｅｔｅＣｌｇ，ｈｎｄ１７１Ｃｉｃｅｍｏｌｅａ
Ａｂｓｒｃ：Ｔｄｎｍｉａｂｈｖｏｓｏｕｔ—ｐｃｅｅｏｙｔｍｓｗｉｉｕｓｖｅｆｃｓａｅｎｅｔａｅｔａｔｈｅｙａｃｌｅａｉｒｆｒｍｌｓｅｉｓｃｓｓｅｔｍｐｌｉｅｆｅｔｒｉｖｓｉｔｄ．Ｔｈｉｈｇｅ
等，可能在极短时间完成，而使种群数量出现瞬时变化，都从即表现出脉冲效应．年来，具有脉冲效应近对
的食饵．捕食系统的研究引起了学者们的关注，取得了很多结果．并
本文考虑下列脉冲微分方程描述的多种群生态系统
ｔｅｐｅｏｉｏｕｉｎａｅｄｒｖｄｈｒｄｃｓｌｔｏｒｅｅ．ｉｉＫｅｒｙｗｏｄｓ：ｍｕｔ－ｐｅｉｓｅｏｙｔｍｓ；ｍｐｌｉｅｅｆｃｓ；ｅｓｓｅｃｐｒｏｉｏｕｉｎ；ｔｂｌｔｌｉｓｃｅｃｓｓｅｉｕｓｖｆｅｔｐｒｉｔｎｅ；ｅｄｃｓｌｔｏｓａｉｉｉｙ
ｍ１：ｌ
ｃｍｐｒｓｎｔｅｒｍ，ｎＯｔｅｐｅｓｓｅｃｏｄｓｆｒｔｅｅｏｙｔｍｓｏａｏｈｏｅａｄＳｈｒｉｔｎｅｈｌｏｈｃｓｓｅ．Ｂａｅｎｔｅｅｒｓｌｓｔｘｓｅｃｎｉｓｄｏｈｓｅｕｔ，ｈｅｅｉｔｎｅａｄｅｔａｉｎｏｅｏｏｕｉｎｒｓｕｓｄｖａＰｏｎａ６ｍａｐｎｎｏｗｅｘｄｐｉｈｅｒｍ．ＦｎｌｂｓｉｔｏｆｐｒｄｓｌｔｏｓａｅｄｉｃｓｅｉｉｃｒｐｉｇａｄＢｒｕｒｆｅｏｎｔｔｏｅｍｉｉｉａｌｙ，ｙｅｌｙｎａｕｏｐｒａｈａｍｐｓｖｒｌｅｅｍａ，ｈｌｂｌａｙｔｔｃｔｂｌｔｎｄｕｎｑｎｓｆｍｐｏｉｇＬｙｐｎｖａｐｏｃｎｄｉｕｌｉｅＢａｂａｔｌｍｔｅｇｏａｓｍｐｏｉａｓａｉｉａｉｕｅｅｓｏｌｙ

一类具Monod—Haldane功能反应和脉冲效应的一食饵一两捕者系统的复杂动力学性质

１’ ２ — —ｑ
Ｏ
（），一１Ｔ＜ｔ（＋Ｚ１Ｔ，￡（） ≤ 一）
系统（）的第７８９个方程变为１、、
（Ｔ）
１０００１０
（ｑ（Ｏ一二１ｚ＋『－）（）
ｌ
（）＝＝＝
中图分类号：０１５１７．２文献标识码：Ａ
一
出被称作Ｍｏｏ — ｌａｅＨｏｌｇＩ功能反应ｎｄＨａｄｎ或ｌｎＶｉ
函数＿）ｎ＋＋ｚ ’ ｏｏ和Ｈｏｌ提出了厂（一ｋｌＳｗｅｌ简化的Ｍｏｏ — ｌａｅ功能反应函数，１一ｎｄＨａｄｎ ’ ）（ｚ
．
脉冲微分系统在物理学、学、态学等许多化生
学科的动力系统中，应用广泛．近几年，冲微分方脉程被引入到种群动力学中＿］害虫的大爆发常会ｌ．。
引起严重的经济与生态问题，要有３种常用的害主虫控制策略，化学防治，物防治，合防治；中即生综其
３８５
华中师范大学学报（自然科学版）
第４５卷
ｅ（ｘ（ｐ
（）ｔＡ △△
一
）出
。
０
。
０ｅｐ（ｄ）ｘ一Ｔ
ｅｘｐ（ｄ２）一Ｔ
其中Ａ， △为与下面计算无关的元素， △ 这里可不给出．的三个Ｆｏｕｔ子分别为Ｍｌｑｅ乘

对具阶段结构和生育脉冲的种群模型脉冲喷洒杀虫剂的动力学性质

对具阶段结构和生育脉冲的种群模型脉冲喷洒杀虫剂的动力学性质侯娟;刘兵【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2006(023)004【摘要】We investigate the dynamic behaviors of a stage-structured pest population model with birth pulse and impulsive spraying pesticide at fixed time. Using the discrete dynamical system determined by the stroboscopic map, we obtain an exact 1-periodic solution of the system which is with Ricker function and obtain the threshold conditions for its stability. We conclude that the best time of spraying pesticide is at the end of the season, that is before and near the time of birth by showing that the time of spraying pesticide has a strong impact on the number of the mature pest population.%研究了一个具有阶段结构,脉冲生育及在固定时刻对其喷洒杀虫剂的害虫种群模型的动力学性质.运用由频闪映射决定的离散动力系统,得到了具Ricker功能函数系统的精确1-周期解,并讨论了它在临界条件下的稳定性.通过证明喷洒杀虫剂的时间对成年害虫有巨大的影响,得出结论喷洒杀虫剂的最好时间在季末,即在临近生育时期.【总页数】5页(P403-407)【作者】侯娟;刘兵【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆,乌鲁木齐,830046;新疆大学数学与系统科学学院,新疆,乌鲁木齐,830046;辽宁省鞍山师范学院数学系,辽宁,鞍山,114005【正文语种】中文【中图分类】O175.14【相关文献】1.具密度依赖和生育脉冲的单种群阶段结构模型 [J], 杜明银;柴瑜;雒志学2.对具阶段结构和生育脉冲的种群模型脉冲喷洒杀虫剂的最优策略 [J], 侯娟;滕志东3.具脉冲出生与脉冲收获阶段结构单种群动力学模型 [J], 焦建军;鲍磊;陈兰荪4.具生育脉冲的阶段结构模型的脉冲捕捞策略 [J], 范京芝;蒋贵荣;覃永昼5.具密度依赖和脉冲生育的单种群阶段结构模型 [J], 程超;杜明银;栗永安因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

生态系统科学中的系统动力学研究

生态系统科学中的系统动力学研究生态系统科学是今天最为热门和重要的科学领域之一。

它主要关注的是生态系统的稳定性和复杂性，并试图找出环境破坏的根源。

生态系统科学的一大难点在于，它往往涉及到大量的数据、变量和因素，而这些数据、变量和因素之间的关系往往非常复杂。

这就需要一种可靠的方法来分析和预测生态系统的动态变化。

系统动力学便是这样一种方法。

什么是系统动力学？系统动力学是一种从系统角度出发、以整个系统为研究对象的科学方法。

它主要研究的是系统的发展过程以及系统内部各种因素之间的相互作用。

系统动力学的核心是构建系统动力学模型，以便对系统的整体行为进行研究和预测。

系统动力学的一个典型特点就是它强调的是系统内部的反馈环路和延迟效应，因而能够更为精确地预测系统的行为。

系统动力学在生态系统中的应用生态系统是一个极其复杂的系统，它包含了许多生物和非生物组成部分，而这些组成部分之间的复杂相互作用又使得整个生态系统的行为难以预测。

在这样一个复杂的系统中，系统动力学方法得以大展拳脚。

通过系统动力学模型的构建，我们可以更好地理解生态系统的组成和演化过程，进而为保护和维护生态系统的稳定性提供科学的依据。

以生态系统中的群落演替为例，系统动力学在这一领域中的应用已有很多成功案例。

群落演替是指不同物种在同一生态系统中演替的过程，最终逐渐形成对环境适应较好的生物群落的过程。

系统动力学可以用来建立生态系统中不同物种间的动态平衡模型，进而分析演替过程中各种因素的作用，并预测生态系统的稳定性和生物多样性。

系统动力学在生态系统管理中的应用生态系统管理是一项极为重要的工作，它的目的是保护和维护生态系统的稳定性和健康。

系统动力学方法在生态系统管理中的应用也日益广泛。

以水资源管理为例，系统动力学可以用来建立水资源系统的动态平衡模型，并针对不同的情景进行模拟和优化。

通过模拟不同情景下的水资源管理策略的影响，系统动力学可以帮助管理者找到最优的管理方案，并保证水资源的合理利用。

一类具Holling—Ⅳ型功能反应函数的动力学分析

一类具Holling—Ⅳ型功能反应函数的动力学分析作者：路杰李明政任璐来源：《价值工程》2018年第15期Dynamic Analysis of a Holling-Ⅳ Functional Reaction Function： Pulse Predator-Prey Model摘要：通过讨论一类具Holling-Ⅳ型功能反应函数的脉冲捕食-食饵模型的动力学行为，对系统1的计算得出其无害虫（捕食者灭绝）周期解的存在性及解的具体表达形式，全局吸引及持久和全局渐近吸引的充分条件，为生物害虫的防治提供理论依据。

Abstract： By discussing the dynamic behavior of a kind of impulse predator-prey modelwith Holling-Ⅳ type functional response function， the existence of theperiodic solution of the pest-free （predator extinction） and the specificexpression form of the solution are calculated for the system 1. The fullconditions of global attraction and long-lasting and global asymptotic attractionprovide a theoretical basis for the prevention and control of biological pests.关键词：Holling-Ⅳ型功能反应函数；捕食-食饵模型；全局吸引持久；全局渐近吸引Key words： Holling-IVtype functional response function；predator-prey model；global attraction persistence；global asymptoticattraction中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）15-0202-04由于脉冲微分方程应用于害虫防治方面和Holling-IV型功能反应函数对生物种群[1]的动力学行为的重大影响，本文主要研究按常数比率周期地释放或存储捕食者、喷洒农药的具Holling-IV型功能反应函数的捕食-食饵模型：结论：本文研究了一类具Holling-IV型功能反应函数的脉冲捕食–食饵模型，利用引理2我们知道当t足够大时，系统1的任一解是一致有上界的。

具脉冲效应的生态种群模型的动力学行为分析

具脉冲效应的生态种群模型的动力学行为分析本学位论文提出了两类具有脉冲效应的生态种群模型.在连续生物动力学模型的定性和稳定性理论基础上,利用脉冲微分方程及数值模拟等相关理论和方法及定时脉冲对生物动力系统的影响来研究对种群的脉冲控制策略,以期为实践中的种群控制提供一些理论参考.全文共分4章：第1章介绍了对种群进行控制和长期管理的背景及意义,并简要叙述了脉冲微分方程理论及其在生物动力系统中的应用的研究现状,并介绍了本文的主要工作.第2章给出了脉冲微分方程的基本理论和相关的预备知识.第3章讨论了一类具阶段结构和斑块脉冲扩散的Ivlev型捕食-食饵系统.利用比较定理和频闪映射,我们得到了系统的捕食者绝灭周期解全局吸引的条件,且由脉冲时滞微分方程理论得到了系统持续生存的条件,然后通过数值模拟分析了对捕食者的连续收获量对系统持久性所起的重要作用.第4章研究了一类具有两次脉冲干扰效应的食物链模型.利用乘子理论和微小扰动的方法,得到了食饵和最高层捕食者绝灭的局部稳定性；由比较定理得到系统持续生存的条件；最后通过数值模拟验证理论结果.。

生态系统动力学

生态系统动力学1. 前言生态系统动力学是研究生态系统内物种及环境之间相互作用、演化规律和环境变化对生态系统的影响的一门科学。

其主要研究内容包括生物种群的种群动态、物种组成和结构、生物种群与环境之间的相互作用以及有关生态系统功能的理论和实践。

2. 生态系统的定义生态系统是经由生物物种和所处环境相互作用而形成的完整的、相对稳定的生态系统。

生态系统是生物种群与其所处的环境之间相互影响及互动的一个共同体，其中包括能够保存和转移能量、以及物质的各种过程，如富营养化的水体、食物链及食物网、植被和栖息地。

3. 生态系统的组成生态系统的组成主要包括生物群落、生物种群、生物体系和生物环境。

生物群落是指相近地理位置的生物种群之间相互关系的一种集合。

生物群落中的物种具有同样的环境生态，因此它们之间具有一定的相似性。

生物种群是同种生物种群之间相互关系的一种集合。

种群生态包括种群密度、生活习性、繁殖模式以及与其他物种的关系等。

生物体系是生物、非生物组分、物理化学环境、能量和物质等各种要素组合而成的互动系统。

生物环境包括生物所居住的自然环境，如气候、土壤、水体、植被等等。

4. 生态系统的动力学生态系统动力学研究生态系统内部物种及其环境之间相互作用和演化规律。

其目标是探究生物种群及其相互关系的物理、化学和生物过程，从而为如何保持和改善生态系统提供科学依据。

生态系统动力学的核心是物种演变、物种间相互作用和环境变化三个过程。

物种演变是指物种的进化过程，包括物种形态的变化、物种数量的变化等。

物种间相互作用是指生物之间的相互作用，包括竞争、捕食、共生、拟态等等。

环境变化是指生态环境变化，包括气候变化、土地利用变化、水土流失等等。

5. 生态系统动力学的应用生态系统动力学在生态环境保护和可持续发展方面具有重要作用。

它可以预测和评估环境变化产生的影响，并制定相应的控制和管理策略。

此外，生态系统动力学还可以应用于环境监测、生态风险评估、环境保护规划等领域。

一类具有季节效应的脉冲控制生物系统动力学研究

189
刘贺
制取得的成果，证明了带有脉冲扰动的生物系统的半平凡周期解的存在性、局部渐近稳定性和全局渐近稳定性以及有界性和保持生态种群持久生存的关键条件；同时通过数值模拟显示系统所具有的特定动力学性态。根据以上讨论，在这篇文章中考虑带有Hassell-Varley功能反应和季节效应的三种群脉冲动力学系统：
dx ( t ) a1 x ( t ) y ( t ) a x (t ) z (t ) x (t ) r1 (1 + d1 sin (ωt ) ) x ( t ) 1 − = − 2 − γ1 γ2 K1 x ( t ) + b1 y ( t ) x ( t ) + b2 z ( t ) dt y ( t ) e1a1 x ( t ) y ( t ) a y (t ) z (t ) dy ( t ) r2 (1 + d 2 sin (ωt + ϕ ) ) y ( t ) 1 − = − 3 + γ1 d t K x ( t ) + b1 y ( t ) y ( t ) + b3 z γ 3 ( t ) 2 dz ( t ) e a x (t ) z (t ) e3 a3 y ( t ) z ( t ) mz t = 2 2 + − () dt x ( t ) + b2 z γ 2 ( t ) y ( t ) + b3 z γ 3 ( t ) ∆x t = ( ) 0 y t ∆ = 0 ( ) −δ z ( t ) + p ∆z ( t ) =
Abstract
In this paper, firstly, on the basis of ecology theory and mathematical biology knowledge, an impulsive controlled biological dynamical system with seasonal effect has been established by introducing Hassell-Varley functional response in the process of dynamic modeling. Secondly, using the Floquet theory and comparison theorem of impulsive differential equations, the existence, local asymptotic stability and global asymptotic stability of the semi-trivial periodic solution have been analyzed, and then the extinction and permanence of biological populations in the system have also been discussed. Finally, all those results can provide some theoretical support for further researching how to utilize control strategy to maintain the survival of ecological populations.

具Monod-Haldane功能反应的四种群食饵-捕食脉冲系统的动力学分析

具Monod-Haldane功能反应的四种群食饵-捕食脉冲系统的动力学分析黄文韬;吴兴杰;李伟【摘要】基于害虫综合管理策略,本文利用脉冲比较定理、Floquent理论及微小扰动法,研究了一类具有Monod-Haldane功能反应、脉冲比例收获和脉冲常数投放的四种群食饵-捕食系统的动力学性质,证明了系统两食饵灭绝和持续生存的充分条件,而且给出了一食饵种群灭绝其余三种群持续生存的两个充分条件.数值模拟表明,随着投放量的增加,系统出现拟周期分支、倍周期分支、混沌、半周期分支等复杂的动力学性质.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2010(027)006【总页数】13页(P1051-1063)【关键词】食饵捕食者;脉冲比较定理;分支;混沌;Floquent理论【作者】黄文韬;吴兴杰;李伟【作者单位】桂林电子科技大学数学与计算科学学院,桂林,541004;合肥师范学院数学系,合肥,230061;合肥师范学院数学系,合肥,230061【正文语种】中文【中图分类】O175.151 系统的提出人类与有害的生命体的斗争进行了几千年，有害昆虫和某些有害带菌者对重要的植物、动物和人类造成危害，如何使这种危害减少到最低一直是昆虫学家与社会关心的问题。

近几年，脉冲微分方程[1]被引入到种群动力学中，并且得到了广泛的应用[2-7]。

对生物种群的控制主要有三种最常见的方法且各有其效，即化学防治、生物防治[8]和综合防治[9-12]，其中综合防治策略是使经济损失减到最小的一种非常有效的方法。

食饵–捕食系统是一种非常重要的生物系统，已有许多学者对此做了大量的工作[13-15]，近几年的工作主要集中在对具有功能反应的食饵-捕食系统的研究上。

对具有Monod-Haldne功能反应[16]和脉冲效应食饵–捕食生物模型的研究亦有许多结果[17,18]，但是采取综合防治策略，且脉冲投放发生在不同固定时刻的结果很少。

文献[19]研究了四种群食物链方程的全局渐近稳定性，向中义、宋新宇等学者对一类具有脉冲效应且脉冲发生在一个固定时刻的四种群线性食饵-捕食系统作了分析[20]，随后又以相似的方法讨论了脉冲发生在两个固定时刻同一个线性模型[21]。

一类具Holling-Ⅳ型功能反应函数的动力学分析——脉冲捕食-食饵模型

一类具Holling-Ⅳ型功能反应函数的动力学分析——脉冲捕
食-食饵模型
路杰;李明政;任璐
【期刊名称】《价值工程》
【年(卷),期】2018(007)015
【摘要】通过讨论一类具Holling-Ⅳ型功能反应函数的脉冲捕食-食饵模型的动力学行为,对系统1的计算得出其无害虫(捕食者灭绝)周期解的存在性及解的具体表达形式,全局吸引及持久和全局渐近吸引的充分条件,为生物害虫的防治提供理论依据.【总页数】4页(P202-205)
【作者】路杰;李明政;任璐
【作者单位】宿州职业技术学院基础教学部,宿州234101;安徽省五河第一中学高中部数学组,蚌埠233300;安徽五河第二实验小学数学组,蚌埠233300
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类具Ivlev功能反应和脉冲效应的两食饵-捕食者系统的动力学分析 [J], 吴兴杰;黄文韬
2.一类食饵具有脉冲生育和Iv1ev型功能性反应的食饵-捕食者模型的动力学分析[J], 梁桂珍;刘蒙蒙
3.一类具Holling-Ⅱ功能反应函数和密度制约的IGP模型的动力学分析 [J], 秦晶
4.一类食饵具有脉冲生育和Iv1ev型功能性反应的食饵-捕食者模型的动力学分析[J], 梁桂珍[1];刘蒙蒙[1,2]
5.带有脉冲和Holling-Ⅳ型功能反应函数的中立型捕食-食饵模型的周期解 [J], 蒋婷婷;杜增吉
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类带有相互干扰的多种群脉冲系统的周期解

一类带有相互干扰的多种群脉冲系统的周期解杨永燕;黄喜娇;杨海燕【摘要】A study is made on time-delayed impulse system of multi-species model with mutual interference and Beddington-DeAngelies functional response.By applying the continuation theorem of coincidence degree theory,some sufficient conditions for the existence of positive periodic solutions of the system are obtained.%研究了带有相互干扰与Beddington－DeAngelies功能反应函数的时滞多种群脉冲系统，并通过运用叠合度理论研究了系统周期解的存在性。

【期刊名称】《济源职业技术学院学报》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】7页(P13-19)【关键词】相互干扰;Beddington-DeAngelies功能反应函数;脉冲;周期解【作者】杨永燕;黄喜娇;杨海燕【作者单位】安阳师范学院人文管理学院，河南安阳455000;安阳师范学院人文管理学院，河南安阳455000;安阳师范学院人文管理学院，河南安阳455000【正文语种】中文【中图分类】O175.14DOI：10.3969/j.issn.1672-0342.2015.02.004长期以来研究捕食者-食饵模型一直是生态学研究的主要议题之一，通常是研究二维连续时间系统上的一个捕食者一个食饵的模型。

一般来说，这些模型中有两个微分方程，并带有一些功能反应函数，比如Holling型功能反应函数[1-3]，Beddington-DeAngelies功能反应函数等[4-5]。

具时滞和脉冲作用的种群生态学模型研究的开题报告

具时滞和脉冲作用的种群生态学模型研究的开题报告
1. 研究背景
种群生态学模型是研究生态系统中物种数量、结构和分布规律的重要工具，其中具时滞和脉冲作用的模型是近年来研究的热点。

时滞是指种群数量与环境变化之间存
在一定的滞后关系，而脉冲作用则是指周期性的环境变化对种群数量的影响，例如干旱、洪水等。

这些因素对于种群生态系统的稳定性和可持续性具有重要影响，因此需
要深入研究。

2. 研究目的
本研究旨在建立一个具时滞和脉冲作用的种群生态学模型，通过对模型中各参数的分析，探讨这些因素对种群数量变化规律的影响，并提出相应的管理建议，为生态
系统的保护和可持续发展提供科学依据。

3. 研究方法
本研究将采用数学建模的方法，建立一个基于时滞和脉冲作用的种群生态学模型。

具体而言，通过对种群数量变化规律的描述，结合环境变化对种群数量的影响，建立
一组微分方程，并通过数值模拟方法求解出该方程组的数值解，分析种群数量与环境
变化之间的关系。

4. 研究意义
本研究的结果将有助于深入理解具时滞和脉冲作用的生态系统的演变规律，从而为生态系统保护和可持续发展提供科学依据。

研究成果还将为生态系统管理提供一定
的参考，为制定相关政策提供科学依据。

5. 预期结果
本研究预计能够建立一组较为完整的具时滞和脉冲作用的种群生态学模型，并通过数值模拟方法求解该方程组的数值解，分析种群数量与环境变化之间的关系。

预期
结果可以进一步揭示具时滞和脉冲作用对种群数量变化的影响规律，为生态系统管理
提供一定的参考。

同时，预期结果还可为其他相关研究提供一定的参考。

生物动力系统的概念

生物动力系统的概念
生物动力系统是生物数学的一个分支学科，主要利用动力学的思想和方法建立生物科学的数学模型，并通过数学中的动力系统的理论与方法对所建数学模型进行分析研究，以使生物科学中的一些问题得到解决，同时对数学的理论与方法有所创新。

这个系统通常被应用于分析生物个体、种群、群落和生态系统等不同层次的生命现象。

通过数学模型，可以更好地理解和预测这些系统的动态变化。

生物动力系统通常涵盖了生命系统的所有层次，从最基本的分子和基因过程，到复杂的生物结构和行为。

具体来说，生物动力系统可以通过研究个体动态行为（如生长、繁殖、迁徙等）来建立种群模型；通过研究种群之间的相互作用关系，建立群落模型；进一步通过研究群落与环境之间的相互作用，建立生态系统模型；最终将这些层次整合，形成对整个生物圈的全面理解。

该系统的优点在于它可以通过定量化的方法描述和分析生命现象，能有效地解决许多传统生物学方法难以解决的问题，从而帮助人们更深入地理解生命的奥秘。

不过，生物动力系统也有其局限性，例如模型的建立通常基于一定的假设，而这些假设可能并不能完全反映现实世界的复杂性。

因此，在使用这个系统时，需要综合考虑其优点和局限性。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

维普资讯
第４卷第４６期
２００８年７月
吉林大学学报（学版）理
ＪＲＡＦＪＩＮＶＲＩＹ（ＣＥＣＤＴＯＯＵＮＬＯＩＮＵＩＥＳＴＳＩＮＥＥＩＩＮ）Ｌ
Ｖｏ．６Ｎ．１４ｏ４Ｊｌ２０ｕｙ０８
关键词：脉冲扰动；功能反应；持续生存；相互干扰中图分类号：１５１文献标识码：文章编号：６１４９２０）４００－６Ｏ７．２Ａ１７￣８（０８０－６７０
ＤｙａｉｓＡｎｌｓｓｏｐｌｔｏｏｏｉａｙｔｍｔｎｍｃａｙｉｆａＰｏｕａｉｎＢｉｌｇｃｌＳｓｅｗｉｈＦｕｔｏａｓｏｅａｄＩｐｓｖｒｕｒａｉｎｓｎｃｉｎｌＲｅｐｎｓｎｍｕｉｅＰｅｔｂｔｏｌ
ｉｐｌｖａｅｔｇ（ｔｃｉｇｓｓｇｅｔｄｎｕｃｎｃｎｉｏｓｆｅｅｔｃｏｎｅｍａｅｃｆｍｕｓｅｈｒｓｎｓｋｎ）ｉｕｇｓ，ａｄｓｆｉｔｏｄｉｎｏｔｘｉｔｎａｄｐｒｎｎｅｏｉｖｉｏｅｉｅｔｒｈｎｉ
维普资讯
吉林大学学报（学版）理
第４６卷
ห้องสมุดไป่ตู้
』（ＡＬ－）＝
Ａ２ｔ＝Ｐ，ｘ（）
ｎＴ
．
ｆ．）３１
其中（）ｔ和（）ｔ分别表示食饵和捕食者在时刻ｔ的密度，ｒ食饵种群的内禀增长率，为０为食饵种群
＝一ｑｌ＇ｌ（）
：
（＋１ —１Ｔ）；
（．）１２
＝一ｑＥ２ｔ２ｘ（），
收稿日期：２０ —０１．０７１ —５
作者简介：何德材（９７～）男，族，士，事微分方程定性理论的研究，－ａ：ｅｅａ６１６ｃｒ１７，汉硕从Ｅｍｉｈｄｃｉ＠２．ｏ．联系人：文韬ｌ０ｎ黄
近年来，于脉冲微分方程被引入到种群动力系统的研究受到人们广泛关注关，Ｈａｓｌ提出ｓｅ
了捕食者之间的互相干扰常数ｍ（ｍ≤１，其启发，们认为在捕食系统中除要考虑捕食者具有０＜）受我
ＨＥ — ａ，ＨＵＡＮＧｅ —ａＤｅｃｉＷｎｔｏ
（ｅａｔｅｔｆＣｍｕｉｇＳｉｃｎｔｅａｉ，ＧｉｎＵｉｒｏｌｔｎｅｈｏｇ，ＤｐｒｎｏｏｐｔｃｎｅａｄＭａｈｍｔｓｕｌｎｖｓｆＥｅｒｉＴｃｎｌｙｍｎｅｃｉｅｃｏｃｏＧｉｎ５１０ＧａｇｉｈａｇＡｔｍｕＲｇｏ，ｈｎ）ｕｉ４０５，ｕｎｘｕｎｕｏｏｓｅｉＣｉｌＺｏｎｎａ
（９６～），，汉族，１６男博士，教授，从事微分方程定性理论的研究，Ｅｍａ：ｈａｇｔｕｔｅｕａ． — ｉｕｎｗ＠ｇｅ．ｄ．ｎｌ基金项目：国家自然科学基金（批准号：０６０１和广西科学基金（６４４０）批准号：５５９）０７０２．
Ａｓｒｃ：ｌｓｏｎｎａｔｏｕｕｕｌｉｔｒｒｎｅｓｓｍｗｔｌｎｕｃｉａｒｓｏｓｎｂｔｔＡｃｓｆｏ —ｕｏｍｏｓｍｔａｎｅｆｅｃｙｔｉＨｏｉｇＩｆｎｔｎｌｅｐｎｅａｄａａｎｅｅｈｌＶｏ
功能性反应外，还应考虑捕食者之间可能存在相互干扰．因此，本文利用脉冲微分方程建立了一类在
不同固定时刻分别收获和放养的捕食者一食饵脉冲动力系统：
ｔｎ， ≠ Ｔｔ≠ （＋Ｚ）一１；
（．）１１
一
类具功能反应和脉冲扰动的种群生物系统动力学分析
何德材，黄文韬
（林电子科技大学计算科学与数学学院，桂广西桂林５１０）４０５
摘要：利用脉冲微分方程建立一类在两个不同固定时刻分别收获与放养的具有ＨｌｎＶ类ｏｌｇＩｉ功能反应和相互干扰的捕食者一食饵脉冲动力系统，并由脉冲微分方程的Ｆｏｕｔ论和比较ｌｑｅ理定理，得到了系统灭绝和持续生存的充分条件．
ｔｅｓｓｅａｅｏｔｉｅｙｕｉｇｔｅＦｏｕｔｔｏｙｏｍｐｓｖｑｔｎａｄｃｍｐｒｓｎｔｅｒｍ．ｈｙｔｍｒｂａｎｄｂｓｎｌｑｅｈｅｒｆｉｕｌｉｅｅｕａｉｎｏａｉｏｈｏｅｈｏ
Ｋｙｗｏｄｅｒｓ：ｉｕｓｖｅｔｒａｉｎ；ｆｎｔｎｌｅｐｓ；ｐｒｎｎｘｓｎｅｍｐｌｅｐｒｂｔｉｕｏｕｃｉａｓｏｅｅｍａｅｔｅｉｔｃ；ｍｕｕｌｉｔｒｒｎｅｏｒｅｔａｎｅｅｅｃｆ
１引言