中考试题圆的有关概念与性质课后练习二及详解
2019-2020年九年级中考数学 圆的有关概念 课时练(含解析)
2019-2020中考数学圆的有关概念课时练一．选择题1．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm2．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm4．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．26°5．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A 上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2 C．D．27．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°8．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°9．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A．B．C．D．10．（2018•威海）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（）A．B．5 C．D．511．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5 D．512．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A．100°B．110°C．120° D．130°13．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L 通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2B．﹣2C．﹣8 D．﹣714．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm15．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8二．填空题16．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．17．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC 于点D，则OD的长为．18．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O 的半径为．三．解答题20．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少B走了多少步？（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．答案提示1．【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选：C．2．【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC 度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°故选：D．3．【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=CD=4cm．在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE==3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．故选：A．4．【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由OC⊥AB，得=，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故选：D．5．【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．【解答】解：连接DC，∵C（，0），D（0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，故选：B．6．【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．【解答】解：∵OA⊥BC，∴CH=BH，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB•sin∠AOB=，∴BC=2BH=2，故选：D．7．【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．8．【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°．故选：D．9．【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．【解答】解：设OA与BC相交于D点．∵AB=OA=OB=6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD==3所以BC=6．故选：A．10．【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．【解答】解：连接OC、OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB为弦，点C为的中点，∴OC⊥AB，在Rt△OAE中，AE=，∴AB=，故选：D．11．【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD 知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB===8，故选：B．12．【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠BOC=40°，∴∠AOC=180°﹣40°=140°，∴∠D=，故选：B．13．【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．【解答】解：连接AC，由题意得，BC=OB+OC=9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9，在Rt△AOC中，AO==2，∵a＜0，∴a=﹣2，故选：A．14．【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm，在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8，在Rt△EBC中，BC=，∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°，∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=，故选：D．15．【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=，在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，解得，OA=4∴OD=OC﹣CD=3，∵AO=OE，AD=DB，∴BE=2OD=6，故选：B．16．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．17．【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．故答案为2．18．【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB=DA=，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），19．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．20．【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A=30°，则OC=10，AC=10，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°﹣∠AOB）=（180°﹣120°）=30°，在Rt△AOC中，OC=OA=10，AC=OC=10，∴AB=2AC=20≈69（步）；而的长=≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少B走了15步．21．【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，=8．∴S菱形ABFC•π•42=8π．∴S半圆=。
人教版九年级数学中考圆的有关概念及性质专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考圆的有关概念及性质专项练习基础达标一、选择题1.(2018广西贵港)如图,点A,B,C均在☉O上,若∠A=66°,则∠OCB的度数是()A.24°B.28°C.33°D.48°∠A=66°,∴∠COB=132°.∵CO=BO,∴∠OCB=∠OBC=1(180°-132°)=24°,2故选A.2.(2018江苏盐城)如图,AB为☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为() A.35° B.45°C.55°D.65°,∠ABC=∠ADC=35°,∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=90°-∠ABC=55°,故选C.3.(2018湖北襄阳)如图,点A,B,C,D都在半径为2的☉O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为()A.4B.2√2C.√3D.2√3OA⊥BC,∴CH=BH,AA⏜,⏜=AA∴∠AOB=2∠CDA=60°,∴BH=OB·sin∠AOB=√3,∴BC=2BH=2√3,故选D.二、填空题4.如图,☉O的直径AB过弦CD的中点E,若∠C=25°,则∠ADC=.∠C=25°,∴∠A=∠C=25°.∵☉O的直径AB过弦CD的中点E,∴AB⊥CD,∴∠AED=90°,∴∠D=90°-25°=65°.5.(2018江苏扬州)如图,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB=.√2AD,BD,OA,OB,∵☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∵OA=OB=2,∴AB=2√2.三、解答题6.“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深1寸,锯道长一尺,问径几何?”这是《九章算术》中的问题,用现在的数学语言可以表述为:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.,连接OA,根据垂径定理,得AE=5寸.在Rt△AOE中,设OA=x寸,则OE=(x-1)寸,根据勾股定理有52+(x-1)2=x2,解得x=13,所以直径CD=26寸.7.(2018浙江湖州)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC. (1)求证:AE=ED;⏜的长.(2)若AB=10,∠CBD=36°,求AAAB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED.OC⊥AD,∴AA⏜,⏜=AA∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴AA ⏜的长=72π×5180=2π.能力提升一、选择题1.(2018贵州安顺)已知☉O 的直径CD=10 cm,AB 是☉O 的弦,AB ⊥CD ,垂足为M ,且AB=8 cm,则AC 的长为( ) A.2√5 cm B.4√5 cmC.2√5 cm 或4√5 cmD.2√3 cm 或4√3 cmAC ,AO ,∵☉O 的直径CD=10cm,AB ⊥CD ,AB=8cm,∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,当C 点位置如图1所示时,∵OA=5cm,AM=4cm,CD ⊥AB , ∴OM=√AA 2-AA 2=√52-42=3cm, ∴CM=OC+OM=5+3=8cm,∴AC=√AA 2+AA 2=√42+82=4√5cm;当C 点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,∵OC=5cm,∴MC=5-3=2cm,在Rt △AMC 中,AC=√AA 2+AA 2=√42+22=2√5cm . 故选C.2.(2018湖北咸宁)如图,已知☉O 的半径为5,弦AB ,CD 所对的圆心角分别是∠AOB ,∠COD ,若∠AOB 与∠COD 互补,弦CD=6,则弦AB 的长为( ) A.6 B.8 C.5√2 D.5√3,延长AO交☉O于点E,连接BE,则∠AOB+∠BOE=180°,又∵∠AOB+∠COD=180°,∴∠BOE=∠COD,∴BE=CD=6,∵AE为☉O的直径,∴∠ABE=90°,∴AB=√AA2-AA2=√102-62=8,故选B.二、填空题3.(2018湖北孝感)已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是cm.或14当弦AB和CD在圆心同侧时,如图1,∵AB=16cm,CD=12cm,∴AE=8cm,CF=6cm,∵OA=OC=10cm,∴EO=6cm,OF=8cm,∴EF=OF-OE=2cm.②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图2,∵AB=16cm,CD=12cm,∴AF=8cm,CE=6cm,∵OA=OC=10cm,∴OF=6cm,OE=8cm,∴EF=OF+OE=14cm.∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.三、解答题4.如图,有一座拱桥是圆弧形的,它的跨度为60 m,拱高18 m,当洪水泛滥到跨度只有30 m时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4 m,即PN=4 m时是否要采取紧急措施?.如图,设弧的圆心为O,由圆的对称性知点P,N,O共线,连接OA,OA',PO,设PO交AB于点M,该圆的半径为r,由题意得PM=18,AM=30,则(r-18)2+302=r2,解得r=34.当PN=4时,ON=30,所以A'N=16,则A'B'=32>30,故不需要采取紧急措施.5.(2018湖北宜昌)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形;(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.AB是直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE,∵AE=EF,∴四边形ABFC是平行四边形,∵AC=AB,∴四边形ABFC是菱形.CD=x.连接BD.∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,∴AB2-AD2=CB2-CD2,∴(7+x)2-72=42-x2,解得x=1或x=-8(舍去)∴AC=8,BD=√82-72=√15,∴S菱形ABFC=8√15.∴S半圆=1·π·42=8π.2。
圆的有关概念和性质-2024年中考数学考点总复习(全国通用)(解析版)
【中考高分指南】数学（选择+填空）【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用）圆的有关概念和性质一、圆的有关概念弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径经过圆心的弦叫做直径。
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
优弧 大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧小于半圆的弧叫做劣弧。
常用公式：Lr r n S r n L 213601802===π，π扇形三角形扇形弓形S S S ±=三、垂径定理1．定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.2．推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.3．推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.注意：轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理1．弧、弦、圆心角的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等.2．圆心角:顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.3．圆周角定理定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论:①同弧或等弧所对的圆周角相等.②半圆(或直径)所对的圆周角是直径，90°的圆周角所对的弦是圆的直径.③圆内接四边形的对角互补.【考点1】圆的相关概念⏜上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，【例1】（2023·江苏）如图，在扇形AOB中，D为AB∠O=75°，则∠A的度数为( )A. 35°B. 52.5°C. 70°D. 72°【答案】C【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质．连接OD ，如图，设∠C 的度数为n ，由于CD =OA =OD ，根据等腰三角形的性质得到∠C =∠DOC =n ，则利用三角形外角性质得到∠ADO =2n ，所以∠A =2n ，然后利用三角形内角和定理得到75°+n +2n =180°，然后解方程求出n ，从而得到∠A 的度数． 【解析】解：连接OD ，如图，设∠C 的度数为n ， ∵CD =OA =OD ， ∴∠C =∠DOC =n ，∴∠ADO =∠DOC +∠C =2n ， ∵OA =OD ， ∴∠A =∠ADO =2n ，∵∠AOC +∠C +∠A =180°，∠AOC =75°， ∴75°+n +2n =180°， 解得n =35°， ∴∠A =2n =70°． 故选：C ．【例2】（2024·全国模拟）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10.若以点C 为圆心，CA 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则⊙C 的半径为( ) A. 5√ 3 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D【解析】解：如图，连结CD ， ∵CD 是直角三角形斜边上的中线， ∴CD =12AB =12×10=5． 故选：D ．连结CD ，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【例3】（2024·江西模拟）一张直径为10cm 的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据(单位：cm)长度不合理的是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】解：A 、B 、C 图形中的三角形，满足三角形三边关系定理，且三角形三边长度合理，故A 、B 、C 不符合题意；D 、如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，∵AB =AC ，∴BH =12BC =12×10=5(cm)， ∴AH =√ AB 2−BH 2=√ 39， ∴AH >5， ∴A 在圆外，∴三角形三边长度不合理， 故D 不符合题意． 故选：D ．由三角形三边关系定理，点和圆的位置关系即可判断．本题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系，关键是由等腰三角形的性质，勾股定理求出AH 的长．1.（2024·湖北模拟）以下命题：(1)等弧所对的弦相等；(2)相等的圆心角所对的弧相等；(3)三点确定一个圆；(4)圆的对称轴是直径；(5)在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等；(6)三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.其中正确的命题的个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】A【分析】本题主要考查圆的相关概念和性质，深刻理解圆的相关性质是解题的关键．根据圆的相关概念和性质，对各个选项逐一分析判断即可得出答案．【解析】解：(1)等弧所对的弦相等；正确；(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故(2)错误；(3)不在同一直线上的三点确定一个圆；故(3)错误；(4)圆的对称轴是直径所在直线；故(4)错误；(5)在同圆或等圆中，同一条弦所对的弧有两条，每一条弧所对的圆心角不一定相等，则所对的圆周角也不一定相等；故(5)错误；(6)三角形三边的垂直平分线的交点即为其外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等.故(6)正确；综上所述，正确的有(1)(6)，故选A．2.（2024·江苏模拟）下列说法中，正确的是①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．( )A. ①④B. ②③C. ①③④D. ②③④【答案】A【解析】解：①、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正确；②、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误；③、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误；④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确；故选：A．根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可．本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键．3.（2023·全国模拟）下列说法中，不正确的是( )A. 直径是最长的弦B. 同圆中，所有的半径都相等C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形D. 长度相等的弧是等弧【答案】D【分析】本题主要考查了圆的基本概念，解答此题的关键是正确理解弦，弧的定义，解答此题根据圆的基本概念判断即可．【解析】解：A.直径是最长的弦，正确；B.同一个圆的半径相等，正确；C.圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确；D.长度相等的弧不一定是等弧，同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，故该选项的说法错误．故选D．4.（2024·广东模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为( )A. 38°B. 52°C. 76°D. 104°【答案】C【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念．根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．【解析】解：∵OM=ON，∴∠M=∠N=52°，∴∠MON=180°−2×52°=76°．故选：C．【考点2】垂径定理【例1】（2023·四川）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2√ 3，则OC=( )A. 1B. 2C. 2√ 3D. 4【答案】B【解析】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：∵∠ADB=30°，∴∠AOB=60°，∵OA⊥BC，BC=2√ 3，BC=√ 3，∴BE=12，在Rt△BOE中，sin∠AOB=BEOB，∴sin60°=√ 3OB∴OB=2，∴OC=2；故选：B．连接OB，设OA交BC于E，由∠ADB=30°，得∠AOB=60°，根据OA⊥BC，BC=2√ 3，得BE=1BC=√ 3，2故sin60°=√ 3，从而OC=OB=2．OB本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌握含30°角的直角三角形三边关系．【例2】（2024·湖南模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连接OC，OD.若⊙O的半径为m，∠AOD=α，则下列结论一定成立的是A. OE=m·tanαB. CD=2m·sinαC. AE=m·cosαD. S△OCD=m2·sinα【答案】B【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握垂径定理，解直角三角形等知识.根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断．【解析】解：A．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，CD，∴DE=12在Rt△EDO中，OD=m，∠AOD=∠α，∴tanα=DEOE，∴OE=DEtanα=CD2tanα，故选项A错误不符合题意；B.∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，∴CD=2DE，∵⊙O的半径为m，∠AOD=∠α，∴DE=OD⋅sinα=m⋅sinα，∴CD=2DE=2m⋅sinα，故选项B正确符合题意；C.∵cosα=OEOD，∴OE=OD⋅cosα=m⋅cosα，∵AO=DO=m，∴AE=AO−OE=m−m⋅cosα，故选项C错误不符合题意；D.∵CD=2m⋅sinα，OE=m⋅cosα，∴S△COD=12CD×OE=12×2m⋅sinα×m⋅cosα=m2sinα⋅cosα，故选项D错误不符合题意；故选B．【例3】（2024·全国模拟）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为．( )A. 3√ 3B. 32C. 3√ 32D. 3【答案】C【解析】连接OC、OD，如图所示，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD=60°．∵OC=OD，OG⊥CD，∴∠COG =30°． ∵⊙O 的周长等于6π，∴OC =3，∴CG =32，∴OG =3√ 32． 故选C ．1．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2．根据垂径定理构造直角三角形，一般为过圆心作已知弦的弦心距，常用于求线段的长度.1.（2024·广东模拟）已知：如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB =70°，则∠ADC 的度数为( )A. 30°B. 35°C. 45°D. 70°【答案】B【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据垂径定理得出AB ⏜=AC ⏜，再由圆周角定理即可得出结论． 【解析】解：如图，连接OC ．∵OA ⊥BC ， ∴AB⏜=AC ⏜， ∴∠AOC =∠AOB =70°，∴∠ADC =12∠AOC =35°． 故选B ．2.（2024·江苏模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD =2√3.则BC ⌒的长为( ) A. π3B.2π3C. √3π3D.2√3π3【答案】B【解析】解：连接AC 、OC ， ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴CE =ED =12CD =√3，BC ⌒=BD ⌒，∴AB 是线段CD 的垂直平分线， ∴AC =AD ， ∵AD =CD ， ∴AC =AD =CD ， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠CAD =60∘， ∴∠COB =60∘，在Rt △COE 中，OC =CEsin∠COE =2， ∴BC ⌒的长=60π×2180=2π3， 故选：B.连接AC 、OC ，根据垂径定理得到CE =ED =12CD =√3，BC ⌒=BD ⌒，根据线段垂直平分线的性质得到AC =AD ，根据等边三角形的性质求出∠CAD =60∘，根据正弦的定义求出OC ，根据弧长公式计算，得到答案． 本题考查的是弧长的计算、垂径定理，掌握弧长公式：l =nπr180是解题的关键． 3.（2024·陕西模拟）如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，且∠ACD =22.5°，CD =4，则⊙O 的半径长为( ) A. 2 B. 2√ 2 C. 4 D. 10【答案】B【解析】解：连接OD ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD =4，∴CE =DE =12CD =2，∵∠ACD =22.5°，∴∠AOD =2∠ACD =45°，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴OD =√ 2DE =2√ 2，即⊙O 的半径为2√ 2，故选：B ．连接OD ，由圆周角定理得出∠AOD =45°，根据垂径定理可得CE =DE =2，证出△DOE 为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案．此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4.（2023·江苏）如图，矩形内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆.若AB =4，BC =5，则阴影部分的面积是( )A. 414π−20B. 412π−20C. 20πD. 20【答案】D【解析】解：如图，连接BD ，则BD 过点O ，在Rt △ABD 中，AB =4，BC =5，∴BD 2=AB 2+AD 2=41，S 阴影部分=S 以AB 为直径的圆+S 以AD 为直径的圆+S 矩形ABCD −S 以BD 为直径的圆=π×(42)2+π×(52)2+4×5−π×(BD 2)2 =41π4+20−41π4=20，故选：D ．根据矩形的性质可求出BD ，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S 阴影部分=S 以AB 为直径的圆+S 以AD 为直径的圆+S 矩形ABCD −S 以BD 为直径的圆进行计算即可．本题考查勾股定理，矩形的性质以及圆形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及圆形面积的计算方法是正确解答的前提．5.（2023·内蒙古）如图，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC.垂足分别为D ，E ，F ，连接DE ，EF ，FD.若DE +DF =6.5，△ABC 的周长为21，则EF 的长为( )A. 8B. 4C. 3.5D. 3【答案】B【解析】解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，∴AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ，∴DE ，DF ，EF 是△ABC 的中位线，∴DE =12AC,DF =12BC,EF =12AB ，∴DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5，∵DE +DF =6.5，∴EF =10.5−6.5=4，故选：B ．根据垂径定理得到AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ，根据三角形的中位线定理得到DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5，于是得到结论．本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．【考点3】垂径定理的应用【例1】（2023·湖北）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC⏜)，点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC ⏜上一点，OB ⊥AC 于D.若AC =300√ 3m ，BD =150m ，则AC⏜的长为( )A. 300πmB. 200πmC. 150πmD. 100√ 3πm【答案】B【解析】解：如图所示：∵OB ⊥AC ，∴AD =12AC =150√ 3m ，∠AOC =2∠AOB ，在Rt △AOD 中，∵AD 2+OD 2=OA 2，OA =OB ，∴AD 2+(OA −BD)2=OA 2，∴(150√ 3)2+(OA −150)2=OA 2解得：OA =300m ，∴sin∠AOB =AD OA =√ 32， ∴∠AOB =60°，∴∠AOC =120°，∴AC ⏜的长=120×300π180=200πm ．故选：B ．先根据垂径定理求出AD 的长，由题意得OD =OA −BD ，在Rt △AOD 中利用勾股定理即可求出OA 的值，然后再利用三角函数计算出AC⏜所对的圆心角的度数，由弧长公式求出AC ⏜的长即可． 本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出AD 的长，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式．【例2】（2024·山东模拟）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB 长8m ，轮子的吃水深度CD 为2m ，则该桨轮船的轮子直径为( )A. 10mB. 8mC. 6mD. 5m【答案】A【解析】解：设半径为r m ，则OA =OC =r m ，∴OD =(r −2)m ，∵AB =8m ，∴AD =4m ，在Rt △ODA 中，有：OA 2=OD 2+AD 2，即：r 2=(r −2)2+42，解得r =5m ，则该桨轮船的轮子直径为10m ．故选：A ．设半径为r ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案．本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道OC 垂直平分AB 这个隐藏的条件．垂径定理及其推论方法技巧：1.圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：①AB ⊥CD ；②AE=EB ；③AD 过圆心O ；④⋂⋂=BC AC ；⑤⋂⋂=BD AD ；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。
2023中考九年级数学分类讲解 - 第十二讲 圆(含答案)(全国通用版)
第十二讲圆专项一圆的相关概念及性质知识清单1．圆的定义及其相关概念圆：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做______．其固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做______，如图1，AC，BC是弦，BC是直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做______（用三个点表示，如图1中的ABC），小于半圆的弧叫做______（如图1中的AC）．圆心角：顶点在______的角叫做圆心角（如图1中的∠AOB是AB所对的圆心角）．圆周角：顶点在______上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如图1中的∠ACB是AB所对的圆周角）．2．圆是轴对称图形，对称轴是_____________，由此可得垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是______）的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．3．圆是中心对称图形，对称中心是_____________，由此可得在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量________．4．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即∠BAC=12∠BOC（如图2）．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，即∠BAC=∠BDC（如图2）．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______，即∠BCA=90°（如图2）；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：圆内接四边形的对角______．考点例析例1 往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图1所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为（）A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm图1分析：如图1，作与弦AB垂直的半径，先利用垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长．归纳：过圆心作弦的垂线可以构造垂径定理基本图形，常结合勾股定理求线段长．在图1所示的AB，OB，OD，CD四个量中，OB=OD+CD，2222ABOD OB⎛⎫+=⎪⎝⎭，利用这两个关系式，知道其中任何两个，其余两个都能求出来．例2 如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于．图2分析：根据圆内接四边形的性质可得∠ABC的度数，连接OA，OC，由圆周角定理求出∠AOC的度数，判断△OAC的形状后，可求⊙O的半径．例3如图3，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是AD所对的圆周角，∠ACD＝30°．（1）求∠DAB的度数；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．图3分析：（1）连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠ACD＝30°，再由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，进而可求∠DAB的度数；（2）在Rt△ABD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD的长，在Rt△ADE中，DE=AD·sin∠DAE，再结合垂径定理可求出DF的长．解：归纳：在圆中经常构造直径所对的圆周角，利用圆周角定理与直角三角形的性质解题．跟踪训练1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点．若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（）A．34°B．36°C．46°D．54°第1题图2．P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为（）A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（）A．45°B．60°C．72°D．36°第3题图第4题图4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于D，E 两点，点B是CD的中点，则∠ABE＝．5．如图，AB为⊙O的弦，D，C为ACB的三等分点，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．第5题图专项二与圆有关的位置关系知识清单1. 点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有点P在圆外⇔d___r；点P在____⇔d____r；点P在圆内⇔d____r．2. 直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有直线l与⊙O相交⇔d___r；直线l与⊙O相切⇔d___r；直线l与⊙O____⇔d___r．3. 切线的性质定理:圆的切线____于过切点的半径.4.切线的判定（1）和圆只有____个公共点的直线是圆的切线.（2）经过半径的外端并且____于这条半径的直线是圆的切线.（3）如果圆心到一条直线的距离____圆的半径，那么这条直线是圆的切线.5. 切线长定理（选学）切线长:经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间____叫做这点到圆的切线长.定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长____，这一点和圆心的连线____两条切线的夹角.6. 三角形的外接圆与内切圆外接圆内切圆圆心名称三角形的外心三角形的内心圆心位置三角形三条边的垂直平分线的交点三角形三条角平分线的交点性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形三边的距离相等考点例析例1 如图1-①，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为．①②图1分析：如图1-②，当⊙O平移最靠近点C，即当⊙O与CB，CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，结合切线的性质定理和切线长定理求解．例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE＝52，求⊙O的直径．图2分析：（1）连接OD，根据直角三角形斜边上中线的性质与等腰三角形的性质，可证∠EDO＝90°，从而判定DE与⊙O相切；（2）先在Rt△BDC中求出BC，BD的长，再借助相似三角形求出AC的长，即得⊙O的直径．解：归纳：切线的判定方法主要有两种：若直线与圆有交点，则连接过交点的半径，证其与直线垂直（连半径，证垂直）；若不能确定直线与圆有交点，则过圆心向直线作垂线段，证圆心到直线的距离等于半径（作垂线，证半径）．跟踪训练1．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD的度数为（）A．27°B．29°C．35°D．37°第1题图第2题图2．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝70°，则∠ABO等于（）A．30°B．35°C．45°D．55°3．如图，F A，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝°．第3题图4．如图①，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图②，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．①②第4题图5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD ＝AC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠ACE＝13，OE＝3，求BC的长．第5题图专项三弧长与扇形面积的计算知识清单1．弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l =_______．2．扇形面积公式：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S=_______；在半径为R的圆中，圆心角所对的弧长为l的扇形的面积S=_______．考点例析例1如图1，传送带的一个转动轮的半径为18 cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12π cm，则n ＝．图1分析：物品A被传送的距离等于转动轮转n°的弧长，根据弧长公式求弧所对的圆心角的度数即为n值．例2 如图2，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．4πC．33πD．233π图2分析：阴影部分是以AC为半径、以∠CAE为圆心角的扇形，借助正六边形的性质，分别求出AC的长与∠CAE的度数，根据扇形的面积公式计算．例3设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（）A．有最大值94πB．有最小值94πC．有最大值92πD．有最小值92π分析：根据扇形的面积公式结合关系式2r+l＝6，列出圆锥的侧面积与r之间的函数解析式，再通过函数的性质求圆锥的侧面积的最大值或最小值．归纳：对于圆锥，要熟悉立体图形与展开图（平面图形）之间的对应关系：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长．跟踪训练1．图①是一把扇形书法纸扇，图②是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA 的长为30 cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则CD的长为（）A．5π cm B．10π cm C．20π cm D．25π cm①②第1题图2．如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．1712π m2B．7712π m2C．254π m2D．176π m2第2题图3．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为（用含π的代数式表示），圆心角为度．4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD 上，∠BAC＝22.5°，则BC的长为．第4题图专项四正多边形与圆知识清单1．正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的______，这个圆就是这个正多边形的______．2．与正多边形有关的概念如图，已知正n边形的边长为a，半径为R，则这个正n边形的每个内角为180nn（-2），中心角α=______，边心距r=______，周长l=na，面积S=12 nar．考点例析例1 如图1，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则AB的长度为（）A．9πB．92πC．32πD．94π图1分析：连接OA，OB，则△OAB为等腰直角三角形．由正方形ABCD的面积为18，可求得边长AB，进而可得半径OA，根据弧长公式可求AB的长．例2（2021·河北）如图2，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧711A A的长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和P A1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长P A7的值．图2分析：（1）利用弧长公式求劣弧711A A的长度，与直径比较大小；（2）先直觉观察猜想结论，再利用圆周角定理证明；（3）由切线的性质可得Rt△P A1A7，解此三角形可得P A7的值．解：跟踪训练1．（2021·贵阳）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°第1题图2．（2021·绥化）边长为4 cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．3．（2021·湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”如图①，点C把线段AB分成两部分，如果512CBAC=≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．第3题图（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；（结果保留根号）（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；①作两条相互垂直的直径MN，AI；②作ON的中点P，以P为圆心，P A为半径画弧交OM于点Q；③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；则五边形ABCDE为正五边形．在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．专项五圆中的数学思想1. 方程思想例1（2021·西宁）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC ＝．图1分析：先由垂径定理求得CE的长，再在Rt△OCE中由勾股定理得出关于半径的方程，解方程即可．2. 分类讨论思想例2（2021·朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为3AB所对的圆周角的度数为．分析：弦AB所对圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，所以需要分两种情况讨论．解答时，利用垂径定理构造直角三角形，借助三角函数求弦AB所对的圆心角的度数，再根据圆周角定理及其推论求弦AB 所对的圆周角的度数．3．转化思想例3 （2021·枣庄）如图2，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作BD ，再分别以E ，F 为圆心，1为半径作圆弧BO ，OD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣1B ．π﹣3C ．π﹣2D ．4﹣π图2分析：连接BD ，则OD 与线段OD 围成的图形面积等于OB 与线段OB 围成的图形面积，故阴影部分的面积等于扇形CBD 与直角三角形CBD 的面积之差．归纳：求不规则图形的面积，经常通过割补法或等积法将其转化为规则图形，再利用面积公式进行计算． 跟踪训练1．（2021·兴安盟）如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD 的圆心C 是AB 的中点，且扇形CFD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．2π﹣1B ．2π﹣2C ．π﹣1D ．π﹣2第1题图2．（2021·青海）点P 是非圆上一点，若点P 到⊙O 上的点的最小距离是4 cm ，最大距离是9cm ，则⊙O 的半径是 ．3．（2021·绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5 cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm ．参考答案专项一圆的相关概念及性质例1 B 例2 2例3（1）连接BD．因为∠ACD＝30°，所以∠B＝∠ACD＝30°．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°．所以∠DAB＝90°﹣∠B＝60°．（2）因为∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，所以AD＝12AB＝2．因为∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，所以EF＝DE＝AD·sin60°所以DF＝2DE＝1．B 2．B 3．B 4．13°5．（1）证明：因为AC∥BE，所以∠E＝∠ACD．因为D，C为ACB的三等分点，所以BC CD AD==．所以∠ACD＝∠A．所以∠E＝∠A．（2）解：由（1）知BC CD AD==，所以∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E．所以BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BDE．所以CB BDBD DE=，即355DE=，解得DE＝253．所以CE＝DE﹣CD＝253﹣3＝163．专项二与圆有关的位置关系例1 +1例2 （1）证明：连接OD．因为AC是⊙O的直径，所以∠ADC＝90°，所以∠BDC＝90°．因为E是BC的中点，所以DE＝CE＝BE，所以∠EDC＝∠ECD．又OD ＝OC ，所以∠ODC ＝∠OCD ．因为∠OCD +∠DCE ＝∠ACB ＝90°，所以∠ODC+∠EDC ＝90°，即∠EDO ＝90°．所以DE ⊥OD ． 又OD 为⊙O 的半径，所以DE 与⊙O 相切．（2）解：由（1），得∠BDC ＝90°，DE ＝CE ＝BE ．因为DE ＝52，所以BC ＝5．所以BD =＝4． 因为∠BCA ＝∠BDC ＝90°，∠B ＝∠B ，所以△BCA ∽△BDC ． 所以AC BC CD BD =，即534AC =．解得AC ＝154．所以⊙O 的直径为154． 1．A 2．B 3．1804．（1）证明：连接OB ．因为直线MN 与⊙O 相切于点D ，所以OD ⊥MN ．因为BC ∥MN ，所以OD ⊥BC ．所以BD CD =．所以∠BOD ＝∠COD ．因为∠BAC ＝12∠BOC ，所以∠BAC ＝∠DOC ． （2）解：因为E 是OD 的中点，所以OE ＝DE ＝2．在Rt △OCE 中，CE =由（1）知OE ⊥BC ，所以BE ＝CE ＝又O 是AC 的中点，所以OE 是△ABC 的中位线．所以AB =2OE =4．因为AC 是⊙O 的直径，所以∠ABC ＝90°．在Rt △ABE 中，AE ==5．（1）证明：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°，即∠ACE +∠BCE ＝90°．因为AD ＝AC ，BE ＝BC ，所以∠ACE ＝∠D ，∠BCE ＝∠BEC ．又∠BEC ＝∠AED ，所以∠AED +∠D ＝90°．所以∠DAE ＝90°，即AD ⊥AE ．因为OA 是⊙O 的半径，所以AD 是⊙O 的切线．（2）解：由（1），得tan ∠ACE ＝tan D ＝13，设AE ＝a ，则AD ＝AC ＝3a ． 因为OE ＝3，所以OA ＝a +3，AB ＝2a +6，BE ＝BC ＝a +3+3＝a +6．在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB 2＝BC 2+AC 2，即（2a +6）2＝（a +6）2+（3a ）2，解得a 1＝0（舍去），a 2＝2．所以BC ＝a +6＝8．专项三 弧长与扇形面积的计算例1 120 例2 A 例3 C1．B 2．B 3．12π 216 4．54π 专项四 正多边形与圆例1 C例2 （1）连接OA 7，OA 11．由题意，得∠A 7OA 11＝120°，所以711A A 的长为12064180ππ⨯=＞12．所以劣弧711A A 的长度更长．（2）P A 1⊥A 7A 11．理由：连接A 7A 11，OA 1．因为A 1A 7是⊙O 的直径，所以∠A 7A 11A 1＝90°．所以P A 1⊥A 7A 11．（3）因为P A 7是⊙O 的切线，所以P A 7⊥A 1A 7，所以∠P A 7A 1＝90°．因为∠P A 1A 7＝60°，A 1A 7＝12，所以P A 7＝A 1A 7•tan 60°＝1．A 23．解：（1）AC 的长为50．（2）点Q 是线段OM 的黄金分割点，理由如下：设⊙O 的半径为r ，则OP ＝12r ，所以PQ ＝AP=． 所以OQ ＝QP ﹣OP﹣12rr ，MQ ＝OM ﹣OQ ＝r．所以2MQ OQ =Q 是线段OM 的黄金分割点． （3）如图，作PH ⊥AE 于点H ．由题可知，AH ＝EH ．因为正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，所以∠PEH ＝180°﹣108°＝72°，即cos ∠PEH ＝cos72°＝EH PE． 因为点E 是线段PD 的黄金分割点，所以DE PE＝12． 又DE ＝AE ，HE ＝AH ＝12AE ，所以cos72°＝111222AE EH AE DE PE PE PE PE==⨯=⨯．第3题图专项五圆中的数学思想例1 294例2 60°或120°例3 C1．D 2．6.5cm或2.5cm 3．40。
中考复习讲义 圆的基本概念与性质(含答案)
1圆的基本概念与性质1． 圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2． 弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
一 与圆有关概念【例1】 判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径( )中考必做题自检自查必考点中考说明2（3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( )（7）两个劣弧之和等于半圆( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√ 【例2】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DC B A【答案】B【例3】 如图，直线12l l ∥，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l 、于B 、C 两点，连接AC BC 、．若54ABC ∠=︒，则∠1的大小为________【答案】72°【例4】 如图，ABC ∆内接于O ，84AB AC D ==，，是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明．【答案】解：当4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．证明：∵P 是优弧ABC 的中点。
新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析
人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A3cm B．3cm C．3D．3【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE=2233OA OE-=，∴AB=2AE=63，故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD3，根据垂径定理得AB3．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22AB AC-，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=233r-（），∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =； （2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是A ．44°B ．22°C ．46°D ．36°3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A ．41B ．34C ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．36．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．1．如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为__________．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=，∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2， 则（x –2．3）2+851×12）2=x 2，解得x =3． 变式训练答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米）， 故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC=228CF BF-=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为5，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ； 同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠D=30°，∴tan∠ABD=33，故答案为：33．12．【解析】（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，∵tan D=34OCCD=，OC=3，∴CD=4，∴OD=22OC CD+=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ，∴△ECB ≌△EFA ，∴EF =EC ， ∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形， ∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =--=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 直通中考在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．6．【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，且∠C =40°，∴∠ABC =50°，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵∠AOC =126°，∴∠BOC =180°-∠AOC =54°，∵∠CDB =12∠BOC =27°．故选C ． 8．【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确，∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ． 9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =22BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=45，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2，∴22FDBF=BF2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°2，即BF+FD22+1）FD2，∴FD=2221=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．31。
中考复习讲义圆的基本概念与性质(含答案)
O
A
B
【答案】 3
2
【例 8】 如图， D 内接于 O ， D 为线段 AB 的中点， 延长 OD 交
结论① AB DE ,② AE BE ,③ OD DE ,④ AEO
数是 (
)
O 于点 E , 连接 AE , BE 则下列五个 1
C ,⑤ AB ACB ，正确结论的个 2
C
D
A
B
E
A． 2 【答案】 A
较高要求
能运用圆的性质解 决有关问题
自检自查必考点
1． 圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成 的图形叫做圆，其中固定端点 O 叫做圆心， OA 叫做半径．
2． 弧与弦： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
2
∴ PBD≌ PC（A SAS）． ∴ PD PA ， 即 BD 4 时， PAD 是以 AD 为底边的等腰三角形．
【例 5】 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑 动．如果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按 A B C D A 滑动到 A 止，同时点 R 从点 B 出发，沿图中所示方向按 B C D A B 滑动到 B 止，在这个过程中， 线段 QR 的中点 M 所 经过的路线围成的图形的面积为 _________
（ 1）请写出五个不同类型的正确结论；
（ 2）若 BC 8 ，ED 2 ，求 O 的半径．
【答案】（ 1）不同类型的正确结论有： ① BE CE； ②弧 BD 弧 DC； ③ BED 90 ； ④ BOD A； ⑤ AC OD； ⑥ AC BC； ⑦ OE 2 BE 2 OB 2； ⑧ S ABC BC ?OE； ⑨ BOD是等腰三角形； ⑩ BOE∽ BAC （ 2）∵ OD BC ， ∴ BE CE 1 2 BC 4
九年级数学：第二十四章圆知识点及练习题(附答案)
《圆》章节知识点复习和练习附参考答案一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
初中数学专题训练：圆的有关概念和性质(附参考答案)
初中数学专题训练：圆的有关概念和性质（附参考答案）1．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10 cm，AB＝16 cm.若从目前太阳所处的位置到太阳完全跳出海平面的时间为16 min，则“图上”太阳升起的速度为( )A．1.0 cm/min B．0.8 cm/minC．1.2 cm/min D．1.4 cm/min2．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC⏜的度数是( )＝80°，则BDA．30°B．25°C．20°D．10°3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O 作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G.若DE＝3，EG＝2，则AB的长为( )A．4√3B．7C．8 D．4√54．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为( )C．105°D．110°5．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为( )A．2√3B．3√2C．2√5D．√5⏜的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB 6．如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为AB等于( )A．140°B．120°C．110°D．70°7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠B＝20°，则∠CAD的度数是( )A．60°B．65°C．70°D．75°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP.若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为( )A．30°B．45°9．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是( )A．25°B．30°C．35°D．40°10．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A(2，0)，D(4，0)，以O为圆心，以OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是( )A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．往水平放置的半径为13 cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为( )A．5 cm B．8 cmC．10 cm D．12 cm12．如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝( )A．23°B．24° C．25°D．26°13．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2√3，BC＝3，点P为△ABC 内一点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是( )A．3 B．3√3C．3√34D．3√3214．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为________．15．如图所示，点A，B，C是⊙O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO，CO，并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A＝60°，∠OCD＝40°，则∠ODC＝______°.16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝______．17．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示)让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB ，量得AB⏜的中心C 到AB 的距离CD ＝1.6 cm ，AB ＝6.4 cm ，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为_____cm.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝√33x ＋2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_______.19．如图，在⊙O 中，两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E .(1)M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求⊙O 的半径长； (2)点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF ⊥BD .20．如图，已知AC 为⊙O 的直径，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PD 经过⊙O 上的点B 且∠CBD ＝∠CAB ，连接OP 交AB 于点M .求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)AM 2＝OM ·PM .21．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心、3为半径的⊙O与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，P是边OA上的动点，则PC＋PD的最小值为_______.22．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC ＝∠ADB.(1)求证DB平分∠ADC，并求出∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC＝AD，BF＝2，求此圆的半径长.参考答案1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．A7．C 8．D 9．A 10．C11．B 12．D 13．D17． 4 18．2√314．45°15．80 16．29419．(1)⊙O的半径长为3√5(2)证明略20．(1)证明略(2)证明略21．2√1022．(1)证明略∠BAD＝90°(2)圆的半径长为4。
圆的概念与性质(含答案)
BD B． BC
C． ∠BAC ∠BAD
D． AC AD
C
A
E O
B
D
【答案】D 13. 【易】(吉林省 2013 年初中毕业生学业考试数学试题)如图，在平面直角坐标系中，点
A ，B 的坐标分别为 6 ， 0 、 0 ， 8 ．以点 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧，交 x 正
1 AB 的长为半径做弧，两弧相交于点 P 和 Q ． 2
②作直线 PQ 交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E ，连接 AE ． 若 CE 4 ，则 AE ________．
C E P A Q D B
【答案】8
5/101
的度数小于 180 ，且 ，那么弦 AB 和弦 CD 的大小关 23. 【中】在同圆中， CD AB 2CD
半轴于点 C ，则点 C 的坐标为_____．
0 【答案】 4 ，
3/101
14. 【中】（2013 年玉林市防城港市初中毕业数学暨升学考试）如图， △ ABC 是 O 内接 正三角形，将 △ ABC 绕 O 点顺时针旋转 30 得到 △ DEF ， DE 分别交 AB ， AC 于点 M ， N ， DF 交 AC 于点 Q ，则有以下结论： ① DQN 30 ； ② △DNQ ≌△ANM ； ③ △DNQ 的周长等于 AC 的长； ④ NQ QC ． 其中正确的结论是_____________．（把所有正确的结论的序号都填上）
1/101
A．0 【答案】B 6.
B．1
C．2
D．3
【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）下列命题中，正确 的是（ ） ① 顶点在圆周上的角是圆周角；② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③ 90 的圆周角所对的弦是直径；④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆； ⑤ 同弧所对的圆周角相等 A．①②③ B．③④⑤ 【答案】B C．①②⑤ D．②④⑤
中考复习讲义 圆的基本概念与性质(含答案)
圆的基本概念与性质1． 圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2． 弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
一 与圆有关概念【例1】 判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( )中考说明自检自查必考点中考必做题（7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√【例2】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHGFE DC B A【答案】B【例3】 如图，直线12l l ∥，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l 、于B 、C 两点，连接AC BC 、．若54ABC ∠=︒，则∠1的大小为________【答案】72°【例4】 如图，ABC ∆内接于O ，84AB AC D ==，，是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明．【答案】解：当4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．证明：∵P 是优弧ABC 的中点 ∴PB PC = ∴PB PC =在PBD ∆与PCA ∆中， ∵4PB PCPBD PCB BD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴PBD PCA SAS ∆∆≌（）．∴PD PA =，即4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．【例5】 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A B C D A ⇒⇒⇒⇒滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B C D A B ⇒⇒⇒⇒滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为_________【答案】4π- 【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M 到正方形各顶点的距离都为1，故点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．二 垂径定理及其应用【例6】 如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若82BC ED ==，，求O 的半径．22ABCAC OD BC BE OB SBOD BOE BAC ⊥+==⋯；；⑨是等腰三角形；⑩∽2）∵OD BC ⊥，1BE CE ==设O 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-， 在Rt OEB 中，由勾股定理得：22222224OE BE OB RR +=-+=，即（），解得：5R = ，∴O 的半径为5．【例7】 如图，在O 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______【答案】23【例8】 如图，D 内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤12AB ACB =，正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ． 4D ．5【答案】A【例9】 如图，AB 为O 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（ ）AA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【答案】B【例10】 如图，AB 是O 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O 的直径为（ ）BAA ．10B ．12C ．14D ．16【答案】A【例11】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ）A ．1B C ．2D ．【答案】D【例12】 小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A ．2BC ．D ．3【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．如图，作线段,AB BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为圆镜的圆心，连结OA ,由图可知 1,2AD OD==，由勾股定理得半径OA =ODCBA【例13】 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【答案】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24， ∴ED =12CD =12．在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）． （2）OE5． ∴将水排干需：50.510÷=小时．【例14】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）ABCDA ．5米B ． 8米C ．7米 D．米 【答案】B【例15】 如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8O C C D ==,则AE =_______OBA【答案】2【例16】 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）A ．16B ．10C ．8D ．6 【答案】A【例17】 已知，如图，1O 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O 的半径。
中考数学圆精讲及习题(附答案)
中考数学《圆》知识详解知识点一、圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
例 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm.知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点A在圆外。
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点B在圆上。
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点C在圆内。
例如图，在Rt△ABC中，直角边AB?3，BC?4，点E，F分别是BC，AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_________，点F在圆A的_________．解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 A，?4)．试判断点P(3，?1)与圆O 的位置练习：在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(?1关系．答案：点P在圆O上．- 1 -。
沪科版九年级数学下册圆的有关概念及性质中考题汇编二(含答案)
沪科版九年级数学下册圆的有关概念及性质中考题汇编二（含答案）一、选择题1. (2018·张家界)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE的长为()A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm第1题第2题2. (2018·枣庄)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为()A. 15B. 2 5C. 215D. 83. (2018·台湾)如图，A，B分别为⊙P与x轴，y轴的交点，有一直线l通过点P且与AB垂直，C为l与y轴的交点．若点A，B，C的坐标分别为(a，0)，(0，4)，(0，－5)，则a的值为()A. －214B. －2 5C. －8D. －7第3题第5题4. (2018·安顺)已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，AB＝8 cm，则AC的长为()A. 2 5 cmB. 4 5 cmC. 2 5 cm或4 5 cmD. 2 3 cm或4 3 cm5. (2018·乐山)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸(ED＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)，问这块圆形木材的直径是多少？”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是()A. 13寸B. 20寸C. 26寸D. 28寸6. (2018·衢州)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝8 cm，AE＝2 cm，则OF的长度是()A. 3 cmB. 6 cmC. 2.5 cmD. 5 cm第6题第7题7. (2018·贵港)如图，点A，B，C均在⊙O上．若∠A＝66°，则∠OCB的度数是()A. 24°B. 28°C. 33°D. 48°8. (2018·陕西)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为()A. 15°B. 35°C. 25°D. 45°第8题 第9题9. (2018·聊城)如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC .若∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是( )A. 25°B. 27.5°C. 30°D. 35°10. (2018·赤峰)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点(点A ，B 除外)，∠AOD ＝130°，则∠C 的度数是( )A. 50°B. 60°C. 25°D. 30°第10题 第11题11. (2018·济宁)如图，点B ，C ，D 均在⊙O 上．若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是( )A. 50°B. 60°C. 80°D. 100°12. (2018·铜仁)如图，圆心角∠AOB ＝110°，则圆周角∠ACB 的度数是( )A. 55°B. 110°C. 120°D. 125°第12题 第13题第14题13. (2018·南充)如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC ＝32°，则∠B 的度数是( )A. 58°B. 60°C. 64°D. 68°14. (2018·阜新)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ABC ＝65°，那么∠OCA 的度数是( )A. 25°B. 35°C. 15°D. 20°15. (2018·盐城)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为( )A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°第15题 第16题16. (2018·苏州)如图，AB 是半圆的直径，点O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC ︵上的点．若∠BOC ＝40°，则∠D 的度数为( )A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°17. (2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 的度数是( )A. 64°B. 58°C. 32°D. 26°第17题 第18题18. (2018·盘锦)如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOC ＝50°，则∠ADB 的度数为( )A. 15°B. 25°C. 30°D. 50°19. (2018·青岛)如图，点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，∠AOC ＝140°，B 是AC ︵的中点，则∠D 的度数是( )A. 70°B. 55°C. 35.5°D. 35°第19题 第20题20. (2018·巴中)如图，在⊙O 中，半径OC ⊥弦AB 于点D ，点E 在⊙O 上，∠E ＝22.5°，AB ＝4，则半径OB 的长为( ) A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 321. (2018·襄阳)如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上．若OA ⊥BC ，∠CDA ＝30°，则弦BC 的长为( )A. 4B. 2 2C. 3D. 23第21题 第22题22. (2018·白银)如图，⊙A 过点O (0，0)，C (3，0)，D (0，1)，B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°23. (2018·通辽)已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数是( )A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°24. (2018·广州)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，交⊙O 于点C ，连接OA ，OB ，BC .若∠ABC ＝20°，则∠AOB 的度数是( )A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°第24题 第25题25. (2018·遂宁)如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直弦AB 于点D ，连接BE .若AB ＝27，CD ＝1，则BE 的长是( )A. 5B. 6C. 7D. 826. (2018·威海)如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，C 为AB ︵的中点．若∠ABC ＝30°，则弦AB 的长为( )A. 12B. 5C. 532D. 53 第26题 第27题27. (2018·咸宁)如图，⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD .若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )A. 6B. 8C. 5 2D. 5328. (2018·宜宾)在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2＋AC 2＝2AO 2＋2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，DE ＝4，EF ＝3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2＋PG 2的最小值为( )A. 10B. 192C. 34D. 10 第28题 第29题29. (2018·湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉迷其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：① 如图，将半径为r 的⊙O 六等分，依次得到A ，B ，C ，D ，E ，F 六个等分点；② 分别以点A ，D 为圆心，AC 长为半径画弧，G 是两弧的一个交点；③ 连接OG .问：OG 的长是多少？大臣给出的正确答案应是( )A. 3rB. (1＋22)rC. (1＋32)r D. 2r 30. (2018·泰安)如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3，4)，P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA ，PB 与x 轴分别交于A ，B 两点．若点A ，B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为( )第30题A. 3B. 4C. 6D. 8二、 填空题31. (2018·烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为________．第31题32. (2018·双鸭山)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．第32题 第33题33. (2018·玉林)小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.34. (2018·孝感)已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.35. (2018·海南)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(20，0)，点B 的坐标是(16，0)，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C 的坐标为________．第35题36. (2018·广东)某圆中，已知AB ︵所对的圆心角是100°，则AB ︵所对的圆周角的度数为________．37. (2018·随州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝40°，∠C ＝20°，则∠B ＝________°.第37题 第38题38. (2018·吉林)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ︵＝BC ︵.若∠AOB ＝58°，则∠BDC ＝________°.39. (2018·镇江)如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径．若∠BAD ＝50°，则∠ACB ＝________°.第39题 第40题40. (2018·连云港)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，⊙O 经过A ，B 两点．已知AB ＝2，则k b的值为________． 41. (2018·曲靖)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点．若∠A ＝n °，则∠DCE ＝________°.第41题 第42题42. (2018·梧州)如图，在⊙O 中，半径OA ＝2，弦AB ＝2，∠BAD ＝18°，OD 与AB 交于点C ，则∠ACO ＝________°.43. (2018·无锡)如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC 的度数为________．第43题 第44题44. (2018·北京)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ︵＝CD ︵，∠CAD ＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB 的度数为________．45. (2018·杭州)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半径OA 的中点，过点C 作DE ⊥AB ，交⊙O 于D ，E 两点，过点D 作直径DF ，连接AF ，则∠DF A 的度数为________．第45题 第46题46. (2018·黄冈)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝60°，弦AD 平分∠CAB .若AD ＝6，则AC 的长为________．47. (2018·扬州)如图，⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝135°，则AB 的长为________．第47题 第48题48. (2018·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，BC ＝4，则⊙O 的直径为________．49. (2018·临沂)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.第49题 第52题50. (2018·绍兴)在等腰三角形ABC 中，顶角A 为40°，点P 在以点A 为圆心，BC 长为半径的圆上，且BP ＝BA ，则∠PBC 的度数为________．51. (2018·内江)已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a ＋b 2＋|c －6|＋28＝4a －1＋10b ，则△ABC 的外接圆半径为________．52. (2018·通辽)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k x(k ＞0)的图象与半径为5的⊙O 交于M ，N 两点，△MON 的面积为3.5.若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是________．三、 解答题53. (2018·安徽)如图，⊙O 为锐角三角形ABC 的外接圆，半径为5.(1) 用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与BC ︵的交点E ；(保留作图痕迹，不写作法)(2) 若(1)中的点E 到弦BC 的距离为3，求弦CE 的长．第53题54. (2018·宜昌)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，延长AE 至点F ，使EF ＝AE ，连接FB ，FC.(1) 求证：四边形ABFC 是菱形；(2) 若AD ＝7，BE ＝2，求半圆和菱形ABFC 的面积．第54题55. (2018·温州)如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上．(1) 求证：AE ＝AB ；(2) 若∠CAB ＝90°，cos ∠ADB ＝13，BE ＝2，求BC 的长．第55题56. (2018·湘潭)如图，AB 是以点O 为圆心的半圆的直径，半径CO ⊥AO ，M 是AB ︵上的动点，且不与点A ，C ，B 重合，直线AM 交直线OC 于点D ，连接OM 与CM .(1) 如图①，若半圆的半径为10.① 当∠AOM ＝60°时，求DM 的长；② 当AM ＝12时，求DM 的长．(2) 探究：在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．(可分图①②讨论)第56题57. (2018·福建A卷)已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E.(1) 延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图①.求证：PC＝PB.(2) 过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图②.若AB＝3，DH＝1，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．第57题58. (2018·福建B卷)如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F.BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB.(1) 求证：BG∥CD；(2) 设△ABC外接圆的圆心为点O，若AB＝3DH，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．第58题59. (2018·陕西)问题提出(1) 如图①，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ＝5，则△ABC 的外接圆半径R 的值为________． 问题探究(2) 如图②，⊙O 的半径为13，弦AB ＝24，M 是AB 的中点，P 是⊙O 上一动点，求PM 的最大值． 问题解决(3) 如图③，AB ，AC ，BC ︵是某新区的三条规划路，其中AB ＝6 km ，AC ＝3 km ，∠BAC ＝60°，BC ︵所对的圆心角为60°，新区管委会想在BC ︵路边建物资总站点P ，在AB ，AC 路边分别建物资分站点E ，F ，也就是分别在BC ︵，线段AB 和AC 上选取点P ，E ，F .由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P →E →F →P 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE ，EF 和FP .为了快捷、环保和节约成本，要使得线段PE ，EF ，FP 之和最短，试求PE ＋EF ＋FP 的最小值．(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)第59题参考答案一、1.A 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.A 9.D 10.C 11.D 12.D 13.A 14.A 15.C 16.B 17.D 18.B 19.D 20.C 21.D 22.B 23.D 24.D25.B 26.D 27.B 28.D 29.D 30.C二、31. (－1，－2) 32.5 33.10 34.2或14 35. (2，6) 36.50° 37.60 38.29 39.40 40.－2241.n 42.8143.15° 44.70° 45.30° 46.23 47.22 48.42 49.1033 50.30°或110° 51.258点拨：由题意，得(a －1－2)2＋(b －5)2＋|c －6|＝0，∴a ＝5，b ＝5，c ＝6.不妨令AC ＝BC ＝5，AB ＝6，作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝12AB ＝3，CD ＝AC 2－AD 2＝4.设△ABC 的外接圆的半径为r ，圆心为点O ，连接OA.易得点O 在CD 上．则在Rt △ADO 中，32＋(4－r )2＝r 2，解得r ＝258. 52.52 三、53. (1) 尺规作图如图所示 (2) 如图，连接OE 交BC 于点M ，连接OB ，OC ，CE.∵AE 是∠BAC的平分线，∴∠BAE ＝∠CAE.∴BE ︵＝CE ︵.∴∠BOE ＝∠COE.∵OB ＝OC ，∴BM ＝CM ，OE ⊥BC.由题意，得EM ＝3，OB ＝OC ＝5，∴在Rt △OMC 中，CM 2＝OC 2－OM 2＝52－(5－3)2＝21.∴在Rt △EMC 中，CE 2＝CM 2＋EM 2＝21＋32＝30.∴CE ＝30(负值舍去)．答：弦CE 的长为30第53题 第54题54. (1) ∵AB 是半圆的直径，∴∠AEB ＝90°.∴AE ⊥BC .∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE .∵AE ＝EF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．∵AC ＝AB ，∴四边形ABFC 是菱形 (2) 设CD ＝x .由(1)，得AB ＝AC ＝7＋x ，CB ＝2BE ＝4.如图，连接BD .∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.在Rt △ADB 中，BD 2＝AB 2－AD 2，在Rt △BDC 中，BD 2＝CB 2－CD 2，∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2，即(7＋x )2－72＝42－x 2.整理，得x 2＋7x －8＝0，解得x 1＝1，x 2＝－8(舍去)．∴AC ＝AB ＝7＋1＝8，BD ＝82－72＝15.∴S 半圆＝12·π·(12AB )2＝8π，S 菱形ABFC ＝AC ·BD ＝815 点拨：本题也可以利用△AEC ∽△BDC 求出CD 的长．55. (1) 由折叠的性质可知△ADE ≌△ADC ，∴∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC.∵AD ︵＝AD ︵，∴∠ABD ＝∠AED.∴∠ABD ＝∠ACD.∴AB ＝AC.∴AE ＝AB (2) 如图，过点A 作AH ⊥BE 于点H.∵AB ＝AE ，BE＝2，∴BH ＝EH ＝1.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠AEB ＝∠ADB.由(1)，得AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB.∴∠ABE ＝∠ADB.∵cos ∠ADB ＝13，∴cos ∠ABE ＝13.∴在Rt △AHB 中，BH AB ＝13.∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ，∴BC ＝32＋32＝32第55题56. (1) ①当∠AOM ＝60°时．∵OM ＝OA ，∴△AMO 是等边三角形．∴∠A ＝∠MOA ＝60°.∵CO ⊥AO ，∴∠MOD ＝90°－60°＝30°，∠D ＝90°－60°＝30°，即∠MOD ＝∠D .∴DM ＝OM ＝10 ②如图①，过点O作OH ⊥AM 于点H ，则∠AHO ＝90°，AH ＝12AM ＝6.在Rt △AHO 中，OH ＝OA 2－AH 2＝8.∵CO ⊥AO ，∴∠AOD ＝90°＝∠AHO .又∵∠OAH ＝∠DAO ，∴△AHO ∽△AOD .∴AH AO ＝AO AD ，即610＝10AD .∴AD ＝503.∴DM ＝AD －AM ＝503－12＝143(2) 连接BC .∵CO ⊥AO ，OC ＝OB ，∴∠B ＝∠OCB ＝45°.当点M 位于AC ︵之间时，如图①.∵四边形AMCB 是⊙O 的内接四边形，∴∠CMA ＝180°－∠B ＝135°.∴∠CMD ＝180°－∠CMA＝45°(定值)．当点M 位于BC ︵之间时，如图②.∵AC ︵＝AC ︵，∴∠CMD ＝∠CBA ＝45°(定值)．综上所述，在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小为一定值，是45°第56题57. (1) ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°.∵DE ⊥AB ，∴∠DEA ＝90°.∴∠DEA ＝∠ABC .∴BC ∥DF .∴∠F ＝∠PBC .∵四边形BCDF 是⊙O 的内接四边形，∴∠F ＋∠DCB ＝180°.∵∠PCB ＋∠DCB ＝180°，∴∠F ＝∠PCB .∴∠PBC ＝∠PCB .∴PC ＝PB (2) 如图，连接OD .∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°.∵BG ⊥AD ，∴∠AGB ＝90°.∴∠ADC ＝∠AGB .∴BG ∥DC .∵BC ∥DE ，∴四边形DHBC 是平行四边形．∴BC ＝DH ＝1.在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，∴tan ∠CAB ＝BC AB ＝33.∴∠CAB ＝30°.∴∠ACB ＝90°－∠CAB ＝60°.∴BC ＝12AC ＝OD .∴DH ＝OD .∴在△DOH 中，∠DOH ＝∠OHD ＝80°.∴∠ODH ＝20°.设DE 交AC 于点N ，∵BC ∥DE ，∴∠ONH ＝∠ACB ＝60°.∴∠NOH ＝180°－(∠ONH＋∠OHD )＝40°.∴∠DOC ＝∠DOH －∠NOH ＝40°.∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA .∴∠OAD ＝12∠DOC ＝20°.∴∠CBD ＝∠OAD ＝20°.∵BC ∥DE ，∴∠BDE ＝∠CBD ＝20°第57题58. (1) ∵PC ＝PB ，∴∠PCB ＝∠PBC.∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°.∵∠BCD ＋∠PCB ＝180°，∴∠BAD ＝∠PCB .∵∠BAD ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠PCB ＝∠PBC .∴BC ∥DF .∵DE ⊥AB ，∴∠DEA ＝90°.∴∠ABC ＝∠DEA ＝90°.∴AC 是圆的直径．∴∠ADC ＝90°.∵BG ⊥AD ，∴∠AGB ＝90°.∴∠ADC ＝∠AGB .∴BG ∥CD(2) 连接BD .由(1)，得BC ∥DF ，BG ∥CD ，∴四边形BCDH 是平行四边形．∴BC ＝DH .在Rt △ABC 中，∵AB ＝3DH ，∴tan ∠ACB ＝AB BC ＝3DH DH ＝ 3.∴∠ACB ＝60°.∴∠BAC ＝30°.∴∠ADB ＝60°，BC ＝12AC .∴DH ＝12AC .情况1：当点O 在DE 的左侧时，如图①，作直径DM ，连接AM ，OH ，易得∠DAM ＝90°，∴∠AMD ＋∠ADM ＝90°.∵DE ⊥AB ，∴∠BED ＝90°.∴∠BDE ＋∠ABD ＝90°.∵∠AMD ＝∠ABD ，∴∠ADM ＝∠BDE .∵DH ＝12AC ，AC 是圆的直径，∴DH ＝OD .∴∠DOH ＝∠OHD ＝80°.∴∠ODH ＝20°.∵∠ADB ＝60°，∴∠ADM ＋∠BDE ＝40°.∴∠BDE ＝∠ADM ＝20°.情况2：当点O 在DE 的右侧时，如图②，作直径DN ，连接BN ，OH ，由情况1，得∠ADE ＝∠BDN ＝20°，∠ODH ＝20°，∴∠BDE ＝∠BDN ＋∠ODH ＝40°.综上所述，∠BDE 的度数为20°或40°第58题59. (1) 5 点拨：∵∠A ＝120°，AB ＝AC ＝5，∴∠C ＝30°.设点O 是△ABC 的外接圆的圆心，连接OA ，OB ，OC .则∠AOB ＝2∠C ＝60°.∵OA ＝OB ，∴△ABO 是等边三角形．∴R ＝OA ＝OB ＝AB ＝5. (2) 如图①，连接OM ，OA ，OB ，OP ，延长MO 交⊙O 于点P ′.∵OA ＝OB ，M 是AB 的中点，∴OM ⊥AB ，AM ＝12AB ＝12.在Rt △AMO 中，OM ＝AO 2－AM 2＝5.由题意，得PM ≤OP ＋OM ＝OP ′＋OM ＝MP ′＝18.∴当点P运动到点P ′时，PM 取得最大值，最大值为18 (3) 如图②，设BC ︵所在圆的圆心为点O ，连接OB ，OC ，OA ，AP ，OP .分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，作出点P 关于AB 的对称点M ，点P 关于AC 的对称点N ，连接MN ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，连接PE ，PF .根据轴对称的性质，得AM ＝AP ＝AN ，PE ＝ME ，PF ＝FN ，∠MAB ＝∠P AB ，∠NAC ＝∠P AC ，∴点M ，P ，N 在以点A 为圆心，AP 长为半径的圆上．∵∠BAC ＝∠P AB ＋∠P AC ＝∠MAB ＋∠NAC ＝60°，∴∠MAN ＝120°.设AP ＝r km ，则在△AMN 中，易求MN ＝3r km ，∴PE ＋EF ＋PF ＝ME ＋EF ＋FN ＝MN ＝3r km.∴当AP 最小时，PE ＋EF ＋PF 可取得最小值．∵AP ＋OP ≥OA ，∴当点P 在OA 上时，AP 可取得最小值．此时如图③，设AB 的中点为Q ，连接BC ，CQ .∴AQ ＝12AB ＝3km ＝AC .∵∠BAC ＝60°，∴△AQC 为等边三角形．∴AQ ＝QC ＝AC ＝BQ ＝3km ，∠AQC ＝60°.∴∠ABC ＝∠QCB ＝12∠AQC ＝30°.∴∠ACB ＝90°.∴由勾股定理可求得BC ＝33km.∵∠BOC ＝60°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形．∴∠OBC ＝60°，OB ＝OC ＝BC ＝33km.∴∠ABO ＝90°.∴由勾股定理可求得OA ＝37km.∵OP ＝OB ＝33km ，∴AP ＝r ＝OA －OP ＝(37－33)km.∴此时PE ＋EF ＋PF ＝3r ＝(321－9)km.因此PE ＋EF ＋FP 的最小值为(321－9)km第59题。
中考数学总复习第六章圆第20课时圆的有关概念及性质新人教版(含答案)
中考数学总复习新人教版：第20课时圆的有关概念及性质知能优化训练一、中考回顾⏜上,则∠BPC的度数为()1.(2021浙江中考)如图,正方形ABCD内接于☉O,点P在AAA.30°B.45°C.60°D.90°2.(2020海南中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD是弦,若∠BCD=36°,则∠ABD等于()A.54°B.56°C.64°D.66°⏜,AC交BD于点G.若∠3.(2020山东青岛中考)如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,AA⏜=AACOD=126°,则∠AGB的度数为()A.99°B.108°C.110°D.117°4.(2021江苏连云港中考)如图,正方形ABCD内接于☉O,线段MN在对角线BD上运动,若☉O的面积为2π,MN=1,则△AMN周长的最小值是()A.3B.4C.5D.65.(2020青海中考)已知☉O的直径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=8 cm,CD=6 cm,则AB与CD之间的距离为cm.或16.(2021安徽中考)如图,圆O的半径为1,△ABC内接于圆O.若∠A=60°,∠B=75°,则AB=.√2二、模拟预测1.如图,点A,B,C在☉O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于()A.60°B.70°C.120°D.140°⏜=AA⏜,连接CF并延长交AD的延长线于⏜上一点,且AA2.如图,四边形ABCD内接于☉O,F是AA点E,连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为()A.45°B.50°C.55°D.60°3.如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与☉O相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为()A.15°B.35°C.25°D.45°∠BOD,则☉O的半径为() 4.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=12A.4√2B.5C.4D.35.若☉O的半径为1,弦AB=√2,弦AC=√3,则∠BAC的度数为.75°⏜的中点,已知∠AOB=98°,∠COB=120°.则∠ABD的6.如图,△ABC是☉O的内接三角形,点D是AA度数是.7.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),☉P的半径为√13,则点P的坐标为.8.如图,△ABC内接于☉O,AH⊥BC于点H,若AC=24,AH=18,☉O的半径OC=13,则AB=.9.如图,已知AB是☉O的直径,AC是弦,过点O作OD⊥AC于点D,连接BC.(1)求证:OD=12BC;(2)若∠BAC=40°,求AAA⏜ 的度数.证法一)∵AB是☉O的直径,∴OA=OB.又OD⊥AC,∴∠ODA=∠BCA=90°.∴OD∥BC.∴AD=CD.∴OD=12BC.(证法二)∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°,OA=12AB.∵OD⊥AC,即∠ADO=90°,∴∠C=∠ADO.又∠A=∠A,∴△ADO∽△ACB.∴AAAA =AAAA=12.∴OD=12BC.解法一)∵AB是☉O的直径,∠A=40°,∴∠C=90°.∴AAA⏜ 的度数为:2×(90°+40°)=260°. (解法二)∵AB是☉O的直径,∠A=40°,∴∠C=90°,∴∠B=50°.∴AA⏜的度数为100°.∴AAA⏜ 的度数为260°.。
圆的有关概念及性质 及答案 3页
圆的有关概念及性质及答案考点一：垂径定理例1.如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断（）A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确对应训练1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，O的半径为（）A．4 B．6C．8 D．12考点二：圆周角定理例2 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C（1）求证：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM= 23，求⊙O的直径．对应训练2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．考点三：圆内接四边形的性质例3如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．对应训练3．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（）A．115°B．l05°C．100°D．95°考点答案考点一：例1 解答：解：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC，∴OE=DE=12OD，又OB=OD，在Rt△OBE中，OE=12OB，∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，∴∠BOE=60°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，又∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，同理∠C=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠C，∴△ABC为等边三角形，故甲作法正确；根据乙的思路，作图如上：连接OB，BD，∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB，∴△BOD为等边三角形，∴∠OBD=∠BOD=60°，又BC垂直平分OD，∴OM=DM，∴BM为∠OBD的平分线，∴∠OBM=∠DBM=30°，又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，同理∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC为等边三角形，故乙作法正确，故选A对应训练1．故选A考点二：例2 解答：（1）证明：∵∠C与∠M是BD所对的圆周角，∴∠C=∠M，又∵∠1=∠C，∴∠1=∠M，∴CB∥MD；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CD⊥AB，∴BC= BD，∴∠A=∠M，∴sinA=sinM，在Rt△ACB中，sinA=BC AB，∵sinM=23，BC=4，∴AB=6，即⊙O的直径为6．对应训练2.解答：证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴CD AD=，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=12AB，∵OD=CD AD=AB，∴BC=OD．．考点三：例3 选C．对应训练3选B．【聚焦山东中考】1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．CB DB=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD2．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是cm．3．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点，则cosC的值为（）．4．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是（）．【聚焦山东中考】1．选D2．30解答：解：连接OB，如图，当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大．∵AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，∴O点在AD上，BD=24cm；在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48-r，∴r2=（48-r）2+242，解得r=30．即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm．故答案为：30．3．解答：解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°，∵半径为5的⊙O中，弦AB=6，则AD=10，∴=，∵∠D=∠C，∴cosC=cosD=BDAD=810=45，故答案为：45．4解答：解：在优弧ADC上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC=60°，∴∠ADC=12∠AOC=30°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-30°=150°．故答案为：150°．。
中考试题圆的有关概念与性质课后练习二及详解.docx
学科：数学专题：圆的有关概念与性质主讲教师：黄炜北京四中数学教师例题题一：和，求∠CAD 题面：在半径为5的圆中，AB为直径，AC和AD为圆的两条弦，其长度分别为5253的度数。
题二：题面：CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是（）A.8B.2C.2或8D.3或7金题精讲题一：题面：如图，⊙O直径AB＝8，∠CBD＝30°，则CD＝________．题二：题面：在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为.满分冲刺题一：题面：如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过原点O ，且与x 轴正半轴的夹角为30°，点M 在x 轴上，⊙M 半径为2，⊙M 与直线l 相交于A 、B 两点，若△ABM 为等腰直角三角形，则点M 的坐标为______________．题二： 题面：如图，ABC △是⊙O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A B ，重合），设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．课后练习详解例题题一：答案：∠CAD =15°或者75°解析：本题要根据条件画出图形。
如图：图1O A B C D 图2O A BCD连结CB 、BD .∵AB 为直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°图1中，在Rt △ABC 中，AC =52，AB =10，则cos ∠CAB ＝AC AB =22，∴∠CAB ＝45° 同理在Rt △ADB 中，∠DAB ＝30°.∴∠CAD =45°－30°＝15°同样根据图2，我们可得: ∠CAD =45°+30°＝75°题二：答案：C解析：如图(1),∵AB ＝10∴OA ＝OC ＝OB ＝5∵直径AB ，AB ⊥CD∴CE ＝ED .∵CD ＝8，∴CE ＝4连结OC ，在Rt △COE 中，由勾股定理得，OE ＝3452222=-=-CE OC∵OB ＝5 ∴BE ＝5－3＝2 ∴BE ＝2如图(2),∵AB ＝10,∴OA ＝OC ＝OB ＝5∵直径AB ，AB ⊥CD∴CE ＝ED .∵CD ＝8，∴CE ＝4连结OC ，在Rt △COE 中，由勾股定理得， OE ＝3452222=-=-CE OC∵OB ＝5 ∴BE ＝OE+OB ＝3+5＝8 答案是C金题精讲题一：答案：4解析：连接OC 、OD∵∠CBD ＝30°∴∠COD ＝60°∵OC ＝OD∴△COD 是等边三角形∴CD ＝OC ＝OB ＝4 DO A BC题二：答案：24.解析：∵直线y=kx ﹣3k+4必过点D （3，4），∴最短的弦CD 是过点D 且与该圆直径垂直的弦，∵点D 的坐标是（3，4），∴OD =2234+=5，∵以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），∴圆的半径为13，∴OB =13，∴BD ＝22OB OD -=22513-=12， ∵OD ⊥BC ，∴BC =2BD =12×2=24，∴弦BC 的长的最小值为24.满分冲刺题一： 答案：)0,22( 或)0,22(解析：过点M 作MC ⊥l 垂足为C yx lCBAO M∵△MAB 是等腰直角三角形∴MA ＝MB∴∠BAM ＝∠ABM ＝45°∵MC ⊥直线l∴∠BAM ＝∠CMA ＝45°∴AC ＝CMRt △ACM 中∵AC 2＋CM 2＝AM 2∵2 CM 2＝4即CM ＝2Rt △OCM 中 ∠COM ＝30°∴CM ＝12OC ∴OM ＝2CM ＝22∴M （22，0）根据对称性，在负半轴的点M （－22，0）也满足条件，故答案是)0,22( 或)0,22(-题二：答案：（1）55β=；（2）90αβ+=解析：（1）解：连结OB ，则OA OB =，35OBA OAB ∴∠=∠=．180110AOB OAB OBA ∴∠=-∠-∠=．1552C AOB β∴=∠=∠=．（2）答：α与β之间的关系是90αβ+=．证一：连结OB ，则OA OB =．OBA OAB α∴∠=∠=．1802AOB α∴∠=-．11(1802)9022C AOB βαα∴=∠=∠=-=-． ∴90αβ+=．证二：连结OB ，则OA OB =．22AOB C β∴∠=∠=．过O 作OD AB ⊥于点D ，则OD 平分AOB ∠．12AOD AOB β∴∠=∠=． 在Rt AOD △中，90OAD AOD ∠+∠=，∴90αβ+=．证三：延长AO 交⊙O 于E ，连结BE ，则E C β∠=∠=．AE 是⊙O 的直径，∴90ABE ∠=．90BAE E ∴∠+∠=，∴90αβ+=．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
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学科：数学
专题：圆的有关概念与性质
主讲教师：黄炜北京四中数学教师
例题
题一：
和，题面：在半径为5的圆中，AB为直径，AC和AD为圆的两条弦，其长度分别为5253求∠CAD的度数。
题二：
题面：CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是（）
A.8
B.2
C.2或8
D.3或7
金题精讲
题一：
题面：如图，⊙O直径AB＝8，∠CBD＝30°，则CD＝________．
题二：
题面：在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y =kx -3k +4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为 .
满分冲刺
题一：
题面：如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过原点O ，且与x 轴正半轴的夹角为30°，点M 在x 轴上，⊙M 半径为2，⊙M 与直线l 相交于A 、B 两点，若△ABM 为等腰直角三角形，则点M 的坐标为______________．
题二： 题面：如图，ABC △是⊙O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A B ，重合），设OAB α∠=，C β∠=．
（1）当35α=o 时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
课后练习详解
例题
题一：
答案：∠CAD =15°或者75°
解析：本题要根据条件画出图形。
如图：
图1O A B C D 图2O A B
C
D
连结CB 、BD .
∵AB 为直径，
∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°
图1中，在Rt △ABC 中，AC =52，AB =10，则cos ∠CAB ＝AC AB =22，∴∠CAB ＝45°
同理在Rt △ADB 中，∠DAB ＝30°.
∴∠CAD =45°－30°＝15°
同样根据图2，我们可得: ∠CAD =45°+30°＝75°
题二：
答案：C
解析：如图(1),
∵AB ＝10
∴OA ＝OC ＝OB ＝5
∵直径AB ，AB ⊥CD
∴CE ＝ED .
∵CD ＝8，∴CE ＝4
连结OC ，在Rt △COE 中，
由勾股定理得，OE ＝3452222=-=-CE OC ∵OB ＝5 ∴BE ＝5－3＝2 ∴BE ＝2
如图(2),
∵AB ＝10,∴OA ＝OC ＝OB ＝5
∵直径AB ，AB ⊥CD
∴CE ＝ED .。