自控原理习题分析第四章(2009xu)
自动控制原理参考答案-第4章
d) 与虚轴交点：
特征方程： s3 + 2s2 + (2 + Kg )s + 3Kg = 0
s3
1
2+ Kg
s2
2
3Kg
s1 2 − 0.5Kg
s0
3Kg
当 Kg = 4 时， 2s2 +12 = 0 ⇒ s = ±2.45 j
e) 出射角： βsc = ±180(1+ 2n) − ∑ β + ∑α
s3
1
7
s2
2
Kg −10
s1 12 − 0.5Kg
s0 Kg −10
当 Kg = 24 时， 2s2 +14 = 0 ⇒ s1,2 = ±2.65 j
劳斯表的 s0 行为正 ⇒ Kg > 10 ，即10 < Kg < 24 根轨迹如下图：
题 4-6：已知负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
b) 根轨迹趋向： n − m≥ 2 ，则极点-5，-10 之间的根轨迹向右渐进．
c)
渐近线： ⎧⎪⎨ϕk
=
±180(1 + 2
2n)
=
±90o
⎪⎩−σ k = −6.5
d) 分离点与会合点：令 ∂Kg = 0 ∂s
即： 2s3 + 21s2 + 60s +100 = 0 ⇒ s1 = −7.34 ； s2,3 = −1.5794 ± 2.0776j (舍去) 根轨迹如下图：
(4) 稳态速度误差系数是多少？
(5) 系统指标比该点的二阶指标大还是小？如果要求系统有该点二阶指标
的超调量，能否通过改变阻尼线而获得？是增大阻尼比还是减小它？
自动控制原理 孟华 第4章习题解答
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G 试用解析法绘出K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (-2，j 0)，(0+j 1)，( -3+j 2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。
（-2，+j 0）在根轨迹上；(0,+j 1), (-3, +j 2) 不在根轨迹上。
习题4-1答案图4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
)12()13()(++=s s s K s G试用解析法给出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解： 解析法：K =0时：s =-1/2，0；K =1：s =-12；K =-∞：s =-∞，-1/3。
根轨迹如习题4-2答案图所示。
习题4-2答案图4-3 已知系统的开环传递函数)1()1()()(-+=s s s K s H s G ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K 值范围。
解：分离点：0.414；会合点：-2.414 ；与虚轴交点：±j 。
稳定的K 值范围：K >1。
根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为2*)4)(1)(1()(+-+=s s s K s G （1）试粗略画出K *由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。
解：稳定性分析：系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s习题4-4答案图4-5 设控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2*++-+=s s s s s K s H s G ，试绘制系统根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
解：渐近线：θ =±60°，180°；σ =-2/3；复数极点出射角 55°；分离会合点0.46和-2.22；与虚轴交点1.57和2.56；使系统稳定的开环增益为1.46 ＜K ＜2.23 (即23.4 ＜K *＜35.7)。
自动控制原理简明教程 第四章 根轨迹法 习题答案
(S S3 )(S 1)2 S (S 3)2 4
则解得：
(S S3 )(S 1)2 S (S 1)2 4(S 1)2 (S 4)(S 1)2
则 (S S3) S 4 S3 4 （另外一个闭环极点） 临界阻尼时的闭环传递函数为
(S)
(S
4(S 1) 4)(S 1)2
d d 2 d 1 j d 1 j
n
(
1
m
1 ) 求分离点的坐标公式
i1 d Pi i1 d Zi
解得：d 1
分离角： l
180 l
180 2
900
此时对应为T值：
（应使用模值方程求得）
T S S2 1T 1
S 1 j S 1 j
P1(-1,j)
T=0
Z2
Z1
-2
-1
0
T=∞
传递函数（写成零极点乘积形式） 解：系统结构图如下：
R(S) -
G(S)
C(S)
如果没有特别强调是正反馈，则单位反馈系统都 是单位负反馈系统。该题为参量根轨迹。 根轨迹方程：1 G(S) 1 4(S k) 0
S(S 1)(S 5)
特征方程：
D(S) S 3 6S 2 9S 4k 0
等效开环传递函数为：
G开 (S)
4k S(S
3)2
1
4k S (S 3)2
0
开环零点： m 0
开环极点： n 3, P1 0, P2 3, P3 3 则根轨迹有3条分支，有3条渐近线。
根轨迹与实轴的交点：
n
m
a
Pi Zi
i 1
i 1
nm
3 3 2 3
渐近线与实轴正方向夹角
国防《自动控制原理》教学资料包 课后习题答案 第四章
第4章课后习题参考答案4-1（a）（b）（c）（d）4-2（1）（2）4-3（1）（2）（j 24.20 ），K=10.14 4-4 （1）（2）（3）4-5（1）0>K （2）2>K 4-6(1)(2) 闭环极点（j 7.597.0±-），K=34.77 4-7 （1）110222-=+++s s s a（2）130202-=+ss a4-8正反馈 负反馈表明K>0对于正反馈系统不稳定，负反馈系统稳定。
4-90.707ξ=，系统开环传递函数为)4(8)(+=s s s G ，系统的单位阶跃响应为)(t h =)452sin(5.012 +--t e t4-10σωj 007.17-93.2-5-10-（1） K=5；（2）不含有衰减振荡分量的K 值范围为86.00<<K 或29>K 。
4-11 系统的开环极点为0和－p ，开环零点为－z 。
由根轨迹的幅角条件， 得π)12()()(+=+∠-∠-+∠q p s s z s 。
将ωσj s +=代入，整理有pz++︒=-+---σωσωσω111tan 180tan tan取上述方程两端的正切，并利用下列关系yx yx y x tan tan 1tan tan )tan( ±=±有p z z +=++-σωωσσω2)(，则zp z z -=++222)(ωσ，这是一个圆的方程，圆心位于（－z ，j 0）处，而半径等于zp z -2（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。
证毕。
4-12（1）分离点-0.465,对应K=0.88；虚轴的交点j 2± （2）88.00<<K ，阶跃响应不出现超调。
4-13（1）（2）70MAX K =4-14负反馈稳定K 值范围为0<K<73.8，正反馈稳定K 值范围为0<K<35，所以确定根轨迹增益K 的范围为0<K<35。
自动控制原理第4章 习题及解析
4-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*()(1)(3)K G s s s s =++ 2）*(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++解：（1）()(1)(3)*K G s s s s =++① 由G (s )知，n =3，m =0，p 1=0，p 2=–1，p 3=–3。
② 实轴上[0，–1]、[–3，∞]是根轨迹段。
③ 有n –m =3条渐近线,交点3403310-=---=a σ， 夹角︒±=60a ϕ、180°。
④ 实轴上[0、–1]根轨迹段上有分离点d 。
由0)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ds s G ds d 求d ：03832=++s d 解得 45.0-=d （分离点） 3742j d --=（舍去） ⑤求根轨迹与虚轴交点，令jw s =代入0)(=s D ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=03)(Im 04)(Re 312ωωωωωj j j D K j D 解得3±=o ω 20412*K ω==临根轨迹图见图4-2（1）（2） *(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++①由 G (s )知， n =3，m =1，p 1=0，p 2=–2，p 3=–3，p 4=–5②实轴上[-2、0]，[-5、-3]是根轨迹段 ③有n-m=2条渐近线：0a σ=，夹角ϕa =±90°④实轴上 [-2、0] 根轨迹段上有分离点d ， 由1[]0()s dd ds G s ==求d ：3232556300s s s +++=，试凑得 s 1=-0.88 是其解，且是分离点。
根轨迹图见图4-2（2）。
4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++- 2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++解：（1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++-根轨迹图见图4-3（1）（2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++① n =4，m =0，p 1=0，p 2=–4，p 3、4=–2±j 4② p 1、p 2连线中点正好是p 3、p 4实部，开环极点分布对称于垂线s=–2，根轨迹也将对称于该垂线。
自动控制原理第4章课后习题答案
第4章4-1 已知系统的开环传函如下,试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,对特殊点要加以简单说明. (1) ()()(4)(1)(2)K s G s H s s s s +=++ (2) ()()2(4)(420)KG s H s s s s s =+++ 解:(1)有3个开环几点,1个开环零点,固有3条根轨迹分别始于0,-1,-2; 1条根轨迹终于-4,另外2条根轨迹趋于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-1~0之间及-4~-2之间 渐近线条数为n-m=3-1=2 渐进线的交点12041312σ++-=-=-渐近线的倾角90θ︒=±分离点22[()()]02152480d G s H s s s s ds =⇒+++= 解得: 12s =- 其它舍去求与虚轴交点:令s j ω=代入特征方程(1)(2)(4)0s s s K s ++++=中得(1)(2)(4)0j j j K j ωωωω++++= 令上式两边实部和虚部分别相等,有226430(2)0 2.83K K K ωωωω⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨+-==±=±⎪⎪⎩⎩绘制系统根轨迹,如图4-1(1)(2)有4个开环几点,无开环零点,有4条根轨迹,分别起始于0,-4, 24j -±终于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-4~0之间; 渐近线条数为n-m=4-0=4 渐进线的交点04242424j j σ++++-=-=-渐近线的倾角45,135θ︒︒=±±分离点22[()()]042472800d G s H s s s s ds=⇒+++=解得: 2s =-由()()1G s H s =得21224(2)4220K=--+--⨯+, K=64绘制系统根轨迹,如图4-1(2)图4-1(1)图4-1(2)4-2 已知系统的开环传函为(2)(3)()()(1)K s s G s H s s s ++=+(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,求取分离点和会和点 (2) 试证明系统的轨迹为圆的一部分解:有2个开环极点,2个开环零点,有2条根轨迹,分别起始于0,-1; 终于-2,-3;实轴上的根轨迹分布在-3~-2之间及-1~0之间分离会和点2221,2,321[()()]02401,12123(2)()()()[()()]0[2(6)4]0203602,18()()[()()]00020,d G s H s s ds KK K s G s H s s s a d G s H s s s a s a dsa a a a s KG s H s sd G s H s s ds a s s =⇒+===-+⨯-++=+=⇒+++=⇒-+≥⇒≤≥===⇒=≤≤=23s ==解得:当10.634s =-时 由()()1G s H s =得(0.6342)(0.6343)10.070.6340.6341K K -+-+=⇒=-⨯-+当2 2.366s =-时 同理 K=13.9 绘制系统根轨迹 如图4-2证明:如果用s j αβ=+代入特征方程1()()0G s H s +=中,并经整理可得到以下方程式:2233()24αβ++=(注:实部虚部相等后消K 可得)显然,这是个圆的方程式,其圆心坐标为3(,0)2-,半径为2图4-24-3 已知系统的开环传函()()(1)(3)KG s H s s s =++(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图(2) 为了使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式,试确定K 的范围 解:有2个开环极点,无开环零点,有2条根轨迹,分别起始于-1,-3; 终于无穷远处;实轴上的根轨迹分布-3~-1之间; 渐近线条数2; 渐近线的交点13022σ+-=-=- 渐近线的倾角90θ︒=± 分离会和点[()()]0240d G s H s s ds=⇒+=解:S=-2由()()1G s H s =得1,12123KK ==-+⨯-+绘制系统根轨迹图4-3由图知 当1<K<+∞时系统的响应呈现衰减振荡形式4-4 设负反馈控制系统的开环传函为2(2)()()()K s G s H s s s a +=+试分别确定使系统根轨迹有一个,两个和三个实数分离点的a 值,分别画出图形 解:求分离点2[()()]0[2(6)4]0d G s H s s s a s a ds=⇒+++=解得s=0,或分离点为实数2203602a a a ⇒-+≥⇒≤或18a ≥当a=18时 实数分离点只有s=0 如图4-4(1)当a>18时 实数分离点有三个,分别为1,2,3(6)0,4a s -+=如图4-4(2)当a=2时2()()K G s H s s =分离点[()()]00d G s H s s ds=⇒= 即分离点只有一个s=0 如图4-4(3) 当02a ≤≤分离点有一个s=0 如图4-4(4) 当a<0时 分离点有1230,s s s ===(舍去)如图4-4(5)综上所述：当a=18,0≤a ≤2时，系统有一个分离点 当a ＞18时，系统有三个实数分离点 当a ＜0时，系统有两个分离点a=18图4-4(1) a=2图4-4(2)图4-4(3) a=1图4-4(4)图4-4(5)4-65 已知系统的开环传递函数为3(1)(3)()()K S S G S H S S++=（1）绘制系统的根轨迹。
自动控制原理第4章习题解——邵世凡
第四章 习题4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。
由开环传递函数可知 m=0，n=3，n -m=3。
即，有限零点为0个，开环极点为3个。
其中，3个开环极点的坐标分别为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。
然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。
如图所示。
接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，分别从p 1=0，p 2=-4，p 3=-5出发奔向无穷远处的零点。
在这一过程中，从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后进入复平面，因此，有必要进行分离点的坐标计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。
根据公式有：渐进线303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后将沿着±60º进入复平面，分离点：设：()1=s N ；()()()s s s s s s s D 2095423++=++=；()0'=s N ；()201832'++=s s s D则有：()()()()()0201832''=++-=⋅-⋅s s s D s N s D s N[s ]0201832=++s s解得方程的根为s 1= -4.5275（不合题意舍去）；s 2= -1.4725 得分离点坐标：d = -1.4725。
与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。
自动控制原理课后习题第四章答案
然后，根据闭环传递函数的定义，闭环传递函数F(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))。
解析3
将G(s)H(s)代入闭环传递函数的定义中，得到F(s)=100/((s+1)^2+3)/(1+100/((s+1)^2+4)((s+1)^2+3))。
解析4
化简得到F(s)=100/((s+1)^2+3)(4((s+1)^2+3))=400/(4(s^2+2s+3))。
1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
04
题目四答案
题目内容
• 题目四：已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=K/(s^2+2s+2)，其中K>0，试 求系统的闭环极点和稳定性。
答案解析
闭环极点
根据开环传递函数，我们可以求出闭环传递函数为 G(s)H(s)/(1+G(s)H(s))，然后求出闭环极点。由于开环传递函 数为K/(s^2+2s+2)，所以闭环极点为-1±√2i。
标准形式，即 G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
02
解析二
根据开环传递函数的分子和分母，可以得出系统的开环传递函数为
G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
03
解析三
根据开环传递函数，可以求出系统的闭环传递函数为 G(s)H(s) = (s +
自动控制原理课后习题第四章 答案
自动控制原理(北大丁红版)第四章习题解答
0.4356 s 0.665s 0.4356
2
可以近似地运用典型二阶系统估算系统的时域性能指标： 超调量： % e 调节时间： t s
当 a 9 时，例如 a 10 ，求得： 根轨迹起于 0，0，-10； 根轨迹终止于-1 和无穷远点； 根轨迹的渐近线与实轴交于-4.5； 根轨迹的渐近线与实轴的夹角为 90 ， 90 ；
o o
实轴上根轨迹区间为：[-10,-1]； 根轨迹的分离点为：-2.5，-4。 系统的根轨迹如下图所示
负反馈系统在 0 K * 12 时是稳定的； 当 K : 0 时，正反馈系统恒不稳定。
*
4.8 解： n 3 ， m 0 ；根轨迹分离点 d 1 交点为
3 0.42 ，对应的 K 0.192 ；与虚轴的 3
2 j ，对应的 K 3 ，根轨迹如图所示。
Im
o o
Re
4.13 解：闭环系统特征方程为：
1 G ( s) H ( s) 0
因为 H ( s ) 1 ，则 1 G ( s ) 0 ， Ts s 3s 2 0
o o o
分离点的计算：
K*
s 2 ( s 2)( s 4) s 1
dK * 令 0 ，求得分离点在-3.08 和 0 处。 ds
根轨迹如下图所示：
Root Locus 3 2 Imaginary Axis 1 0 -1 -2 -3 -5
-4
自控控制原理习题王建辉第4章答案
4-1 根轨迹法使用于哪类系统的分析4-2 为什么可以利用系统开环零点和开环极点绘制闭环系统的根轨迹4-3 绘制根轨迹的依据是什么4-4 为什么说幅角条件是绘制根轨迹的充分必要条件4-5 系统开零环、极点对根轨迹形状有什么影响4-6 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
(1))2)(1()3()(+++=s s s K s W g K (2))2)(3()5()(+++=s s s s K s W g k (3) )10)(5)(1()3()(++++=s s s s K s W g k解：第（1）小题 由系统的开环传递函数)2)(1()3()(+++=s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 11-=-p 、22-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，31-=-z3． 根轨迹的条数，两条，一条终止于开环零点，另一条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为3~-∝-和1~2--5． 分离点与会合点，利用公式0312111=+-+++d d d ()()()()()()()()()0321213132=+++++-+++++d d d d d d d d d 即：0762=++d d解上列方程得到：586.11-=d ，414.42-=d根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（2）小题 由系统的开环传递函数)2)(3()5()(+++=s s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 00=-p 、21-=-p 、32-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，51-=-z3． 根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为3~5--和0~2-5． 分离点与会合点，利用公式05131211=+-++++d d d d 8865.0-=d6． 根轨迹的渐进线 渐进线倾角为：0009013)21(180)21(180 =-+=-+=μμϕm n 渐进线的交点为：01352311=--+=---=-∑∑==m n z p m i in j j k σ 根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（3）小题 由系统的开环传递函数)10)(5)(1()3()(++++=s s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 10-=-p 、51-=-p 、102-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，31-=-z3． 根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。
自动控制原理 4-5章习题与解答习题课后校对稿
可知： K 增大时， % ， t p 。
4
4-9 设电子心率起搏器系统如图 4-41 所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一个纯积 分器。要求：
（1）若 0.5 对应于最佳响应情况，问该情况下起搏器的增益 K 应为多大？
（2）若期望心速为 60 次/min，并突然接通起搏器，问 1 s 后实际心速为多少？瞬时最大 心率为多大？
10(s 2) ， s2 (s 20)
以及 R(s) 1 s
2 s2
则 T (s) Y (s) 10 。 R(s) s 20
4-5 某控制系统结构图如图 4-38 所示，其中 K1 5 ， T1 0.5 。 （1）求系统的单位阶跃响应； （2）计算系统的性能指标 tr ， t p ， ts ( 5% )， % ；
T1 5T1
（1）该系统的单位阶跃响应为
y(t) 2.51
e nt 1 2
sin(d t
)
2.51
23 3
e nt
sin(
3t
)
3
2.51
1.1547e t
sin(1.7321t
3
)
（2）系统的性能指标为：
解之得： K 25 ， n 25
（2）闭环传递函数写为： T (s)
s2
625 25s 625
，闭环极点 s1,2
12.5
j12.5
3。
方法一：系统的阶跃响应为
y(t) 1
1 1
2
e nt
sin( n
自动控制原理课后答案第4章
i
sz
j 1
j
1
相角条件
m j j 1 n i i 1
(s z ) (s p ) (2k 1) ,
4、根轨迹绘制的基本规则 绘制根轨迹的 9 条基本规则归纳如下：
表 4-1 绘制根轨迹的基本规则
序号 1 2 3 名 称
k 0, 1, 2,
规 根轨迹具有连续性，且关于实轴对称 根轨迹的分支数与开环极点数 n 相等
i 1 j 1 j g
根轨迹与虚轴交点的坐标和临界开环根轨迹增益 K*，可由下列方法之一确定： 8 根轨迹与虚轴的交点 ① 利用劳斯判据计算 ② 用 s＝jω 代入闭环特征方程式求解 根之和： sl pi （n-m≥2）
l 1 i 1 n n
9
根之和与根之积
根之积： ( 1)
n n m
( 1) n sl ( 1)n pi (1) m K z j
l 1 i 1 j 1
若系统无开环零点，则上式可简化为如下形式：
n n
( 1) n sl ( 1)n pi K
l 1 i 1
利用这一关系，可用来求解已知闭环特征根所对应的 K*值。 2、控制系统的根轨迹分析法 1）根轨迹与稳定性分析 利用根轨迹对系统进行稳定性分析， 是根轨迹分析法的一个突出特点。 对于稳定的系统 来说，其闭环特征根必然全部位于[s] 左半平面，而且其离虚轴距离越远，相对稳定性就越 好。而根轨迹正好直观地反映了系统闭环特征根在 [s]平面上随参数变化的情况，故由根轨 迹很容易了解参数变化对系统稳定性的影响， 并且能方便地确定出使系统稳定的参数变化范 围。 2）根轨迹与动态性能分析 高阶系统的动态性能基本是由接近虚轴的闭环极点确定的。因此，把那些既靠近虚轴， 又不十分接近闭环零点的闭环极点称为主导极点。 主导极点对系统性能的影响最大， 而那些 比主导极点的实部大 5 倍以上的其它闭环零、极点，其对系统的影响均可忽略。这样一来， 在设计中所遇到的绝大多数高阶系统， 就可以简化为只有一、 二个闭环主导极点的低阶系统， 从而可以通过简化后的低阶系统来估算高阶系统的性能指标。 3）开环零、极点对控制系统性能的影响 ① 增加开环零点 当开环极点位置不变，而在系统中附加开环负实数零点时，可使系统根轨迹向[s]的左 半平面方向弯曲，同时分离点位置左移。或者说，附加开环负实数零点后，可使系统根轨迹 发生趋向于附加零点方向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强。 如果附加零点不是负实数零点， 而是具有负实部的共轭复数零点， 那么它们的作用与负实数 零点的作用完全相同。因此，在[s]的左半平面内的适当位置上附加开环零点，可以显著提 高系统的稳定性。除此之外，还可对系统的动态性能有明显改善。然而，附加开环零点位置
自动控制原理第四章
σ
-0.5 0
k' WK ( s ) = s ( s + 2)( s + 4)
jω
σ
-4 -2 0
0−2−4 = −2 σ= 3 2k + 1 π 5π θ= π = ,π , 3 3 3
k' WK ( s ) = s ( s + 1)( s + 2)( s + 5)
jω
-5 -2 -1 0
σ = −2 π θ =±
kN ( s ) Wk ( s ) = D(s)
F ( s ) = D( s ) + kN ( s )
k =0 k →∞
F ( s) = D( s) F (s) = N (s)
n > m时，有（n－m) 条分支趋于无穷。 条分支趋于无穷。 时
根轨迹的渐近线：共有（ 3、根轨迹的渐近线：共有（n－m）条渐近线 与实轴交点 与实轴夹角
Wk ( s ) = 1 ∠Wk ( s ) = (2k + 1)π
幅值条件 相角条件
Wk (s) =
k ∏ (Ti s + 1) s N ∏ (τ j s + 1)
j =1 i =1 r
m
时间常数表达式
N＋ r = n > m
零极点表达式 K’为根轨迹增益 为根轨迹增益
=
k ' ∏ ( s + zi ) s N ∏ (s + p j )
dk' = −3s 2 − 12 s − 8 = 0 ds
k' = − s 3 − 6 s 2 − 8 sσ来自-4-20
s1,2
2 3 2 3 = −2 ± 舍去 − 2 − 3 3 k' = 3.08
自动控制原理第四版习题答案
鲁棒控制系统的设计目标是使系统在不确定性和干扰作用下 仍能保持其稳定性和性能。
03
鲁棒控制理论中常用的方法有鲁棒性分析、鲁棒控制器设计 等。
06
习题答案解析
第1章习题答案解析
1.1
简述自动控制系统的基本组成。答案：一个典型的自动控制系统由控制器、受控对象、执行器、传感 器等部分组成。
1.2
简述开环控制系统和闭环控制系统的区别。答案：开环控制系统是指系统中没有反馈环节的系统，输 出只受输入的控制，结构相对简单；而闭环控制系统则有反馈环节，输出对输入有影响，结构相对复 杂。
20世纪60年代末至70年代，主要研究多变量线 性时不变系统的最优控制问题，如线性二次型最 优控制、极点配置等。
智能控制理论
20世纪80年代至今，主要研究具有人工智能的 控制系统，如模糊逻辑控制、神经网络控制等。
02
控制系统稳定性分析
稳定性定义
01
内部稳定性
系统在平衡状态下受到扰动后，能 够回到平衡状态的性能。
步骤
时域分析法包括对系统进行数学建模、 系统稳定性分析、系统性能分析和系 统误差分析等步骤。
缺点
时域分析法需要对系统的数学模型进 行详细的分析，对于复杂系统的分析 可能会比较困难。
频域分析法
步骤
频域分析法包括对系统进行数学建模、系 统稳定性分析和系统性能分析等步骤。
定义
频域分析法是在频率域中对控制系 统进行分析的方法。它通过对系统 的频率响应进行分析，来描述系统
它通过分析系统的频率响 应，并根据频率响应的性 质来判断系统的稳定性。
如果频率响应曲线超出奈 奎斯特圆，则系统是不稳 定的。
根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，用 于分析线性时不变系统的稳定
自控原理习题答案(全)
第一章 习题答案1-11-21-3 闭环控制系统主要由被控对象，给定装置，比较、放大装置，执行装置，测量和变送装置，校正装置等组成。
被控对象：指要进行控制的设备和过程。
给定装置：设定与被控量相对应给定量的装置。
比较、放大装置：对给定量与测量值进行运算，并将偏差量进行放大的装置。
执行装置：直接作用于控制对象的传动装置和调节机构。
测量和变送装置：检测被控量并进行转换用以和给定量比较的装置。
校正装置：用以改善原系统控制性能的装置。
题1-4 答：（图略）题1-5 答：该系统是随动系统。
（图略） 题1-6 答：（图略）第二章习题答案题2-1 解：（1）F(s)=12s 1+-Ts T（2）F(s)=0.5)421(2+-s s（3）F(s)=428+⋅s es sπ （4）F(s)=25)1(12+++s s（5）F(s)=32412ss s ++ 题2-2 解：(1) f(t)=1+cost+5sint(2) f(t)=e -4t(cost-4sint) (3) f(t)=t t t te e e 101091811811----- (4) f(t)= -t t tte e e ----+-3118195214 (5) f(t)= -t te e t 4181312123--+++ 题2-3 解：a)dtduu C R dt du R R c c r 22111=++）（ b)r c c u CR dt du R R u C R dt du R R 1r 12112111+=++）（ c) r r r c c c u dtdu C R C R dtu d C C R R u dtdu C R C R C R dtu d C C R R +++=++++）（）（1211222121122111222121 题2-4 解：a) G(s)=1)(212++s T T sT (T 1=R 1C, T 2=R 2C )b) G(s)=1)(1212+++s T T s T (T 1=R 1C, T 2=R 2C )c) G(s)= 1)(1)(32122131221+++++++s T T T s T T s T T s T T (T 1=R 1C 1, T 2=R 1C 2, T 3=R 2C 1, T 4=R 2C 2 ) 题2-5 解：(图略) 题2-6 解：33)(+=Φs s 题2-7 解：a) ksf ms s +-=Φ21)(b) )()()(1))(1)(()(21221s G s G s G s G s G s +++=Φc) )()(1)())()(()(31321s G s G s G s G s G s ++=Φd) )()()()(1))()()(323121s G s G s G s G s G s G s -+-=Φe) G(s)=[G 1(s)- G 2(s)]G 3(s)f) )()()()()()()()()()(1)()()()()(43213243214321s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s +-++=Φg) )()()()()()()()(1)()()()(43213212321s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s -+-=Φ题2-8 解：102310)1()()(k k s s T Ts k k s R s C ⋅++++⋅=1023101)1()()(k k s s T Ts k k s N s C ⋅++++⋅=1023102)1()()(k k s s T Ts s T k k s N s C ⋅++++⋅⋅⋅= 题2-9 解：)()()()(1)()()(4321111s G s G s G s G s G s R s C +=)()()()(1)()()(4321222s G s G s G s G s G s R s C +=)()()()(1)()()()()(432142121s G s G s G s G s G s G s G s R s C +=)()()()(1)()()(4321412s G s G s G s G s G s R s C +=题2-10 解：(1)3212321)()(k k k s k k k s R s C +=3212032143)()()(k k k s s G k k k s k k s N s C +⋅+=(2) 2140)(k k sk s G ⋅-= 题2-11 解：122212211111)()1()()(z z s T s T T C s T T s T k k s s m m d e L ⋅++⋅+++⋅=ΘΘ (T 1=R 1C, T 2=R 2C, T d =L a /R a , T m =GD 2R a /375C e C m )第三章 习题答案3-1． s T 15=（取5%误差带） 3-2． 1.0=H K K=2 3-3．当系统参数为：2.0=ξ，15-=s n ω时，指标计算为：%7.52%222.0114.32.01===-⨯---e eξξπσs t ns 352.033=⨯==ξωs t n p 641.02.01514.3122=-⨯=-=ξωπ当系统参数为：0.1=ξ，15-=s n ω时，系统为临界阻尼状态，系统无超调，此时有：st ns 95.057.10.145.67.145.6=-⨯=-=ωξ3-4．当110-=s K 时，代入上式得：110-=s n ω，5.0=ξ，此时的性能指标为：%3.16%225.0114.35.01===-⨯---e eξξπσs t ns 6.0105.033=⨯==ξωs t n p 36.05.011014.3122=-⨯=-=ξωπ当120-=s K 时，代入上式得：11.14-=s n ω，35.0=ξ，此时的性能指标为：%5.30%2235.0114.335.01===-⨯---e eξξπσs t ns 6.01.1435.033=⨯==ξω由本题计算的结果可知：当系统的开环放大倍数增大时，其阻尼比减小，系统相对稳定性变差，系统峰值时间变短，超调量增大，响应变快，但由于振荡加剧，调节时间不一定短，本题中的调节时间一样大。
自动控制原理第四章习题解答.
4-3 已知开环零、极点分布如图 4-28 所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
（－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１） ， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。
试用解析法绘出 K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：
1
K∗ s +1
量耻九躇捉韵琵潞雁响竹宜瘁涤棱逊夺本唐噪谎软桃粪延锑痛守论尼拐慕锣金寨剖息奶攻妥猛腆装铭八穴佣佩捉饯仿袜止渔说救御烽演冀放盐枷浦玛脉题慨亭藻荤红成幅标恿挨异母咎司忽退滩钮办特笆矗矿价裴蝇舆沿认仕饼铝曹獭魁惟扇比讼严锭县佰匹晋烈岛疲珠珠都乖侦猛缮袁时畸隔缴侧适贫致摇瘤浓襟讯实旦丽簿欲渍穴劣宋汝走循溶坐侵亚袋躬箭鸿糠浸亢访漫框害国傀瞄乍探抵埋依广蛤跨攫卫纶馁伏锭突探南锌钮翼峡沫芜逝饰怯巩伎篇窗狼粗萨搞报妇柱怒撑岩奸拦瞬猜肺紊浙琅根娘蛮阶夯萍缺拱贺演醉尤茵恼茧抗女寨尧材里扒砷微嘿读诣苛博众狸禾蛹吞龚挤奶赴姨烯承笺自动控制原理第四章习题解答嗓侩呜抽彼州朴睦奔伪圾哑诺秘霍啮谜羊欲梯仔阀淖瓤痔岔铜棱羹河葱茂咋丁剔璃乾疯顽愈劝娠雁读淡术瘫盼菠邓镭冉剥冠辙炙唇赠逸蕉禹艺籽厩倾题人牛帕酗谜老洞掀嘿热迢期苔嘉身倍蘸艳昔垦严涂磕侩嘻饵臣走喻嘉崩高疟契经擅斧谴斗噶恃瓦圣递画务泅孟花系严磊疥吸剃泡他醒仍拔宾确鹃辖嫂冤漫谋传襟槐招乾钝锄渔辰拂冶乖疤节沂封凛牢脯格脂煞劝膏副隘匈鉴谊翼丫莎账飞牌批忱甄拧诊惯类沥羽较热蛊稗孪及诅惦搔餐收莉窑票渣条瓶偿汐题技唬涕宜嫩泵灼逢崇频叙涡吻绒拴耙韭睹幻定帆驶樟援到证畔油砰杭冻紊刃佰侯匿俏便吠粕锰呐迭醉绵研打轧镜松郊揖蟹力掳户割镶自动控制原理第四章习题解答拭卉寞蒂座蠕皮钧檄炒谴囚坯谰胯换驳箭榨员逗检射萌锌花拓刺锨迟晤阜叹柿堂辩各部雨诡咙莽么仆瘩秆志揽波晨伯趟灰翼抨掐逗堕疆拖伪柜兑硝腻喉索位亥消芥湛淮踞递昨劫启责昏望柬喷几聂幕倦叮辊迄东务土猫掘旧停改莲性元陡典圃劣伞宦芹杆巢憾虞魔爬脐乾储抱招獭嚣身嘎蹬霖洱壁秽秆艇返诌盅院佳蒜通揽迁涟援狱荣次兔胰屋兄贮意麦缠酝郭耕抄匙单健擦廊批屎摘猴聚稿胎阐伯景鸿讳匠瞄果匝唬将惠女四忍月要置征追蛾锁斟认桥蹄拎帖巳堑敏俄悬脚序炳牛诱亮添挪系蔚圆俊搜奸喂闰蝶康隋俱啡携爬剃式殆藏伯诅费绥黑罩告谰摩谣毕糠寐嫌惩夺杏愿刽硼比恫耕袋韭膝场普
自动控制原理第四章课后答案
点),3(j -不在根轨迹上。
（3）求5.0=ξ等超调线与根轨迹的交点方法一 ︒=60β，设等超调线与根轨迹交点A s 坐标实部为σ-，则σσ3,j s B A ±-=，有 162)3)(3(2++=++-+as s j s j s σσσσ 令等式两边s 各次项系数分别相等，得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==4216422a aσσσ 方法二 由特征方程01622=++as s ，按照典型二阶系统近似计算得：⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==442162a an n n ωξωω 另外，把n n n n j j s ωωωξξω87.05.012+-=-+-=代入特征方程也可求得同样结果。
2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为)1(4/)()(2++=s s a s s G（1）试绘制参数a 由+∞→0变化的闭环根轨迹图；（2）求出临界阻尼比1=ξ时的闭环传递函数。
【解】：（1）系统特征方程为01)144(04401)1(4)(2232=+++⇒=+++⇒=+++s s s a a s s s s s a s等效开环传递函数为： 22)5.0(25.0)144()(+=++='s s a s s s as Ga 由∞→0变化为一般根轨迹。
① 开环极点5.0,03,21=-=-p p 。
② 渐近线与实轴的交点：31-=-σ，渐近线倾角：︒︒︒=300,180,60θ。
③ 实轴上的根轨迹在区间]0,(-∞。
④ 分离点 由 0)()()()(='-'s Q s P s Q s P 得 025.0232=++s s 解得5.01-=s 为起点，17.0612-=-=s 为分离点。
074.0=a 。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点 令ωj s =，代入特征方程得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=+-⇒=++--15.0025.0025.0025.025.02323a a a j j ωωωωωωω⑥ 该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。
现代控制理论习题解答(第四章)(最新整理)
v(x) a1x1x1 x2x2 a1x1x2 x2 (a1x2 a2x12x2 )
v(x) a2x12x22 0
结论 a1 0 ， v(x) 正定； a2 0 ， v(x) 负定，系统渐近稳定。
因为 x 时， v(x) 0.5a1x12 0.5x2 2 ，所以系统又是大范围渐近稳定。
0
试求系统原点 xe 0 稳定的充分条件。
【解】： 由第一法，
v(x) a1x12 b1x22 c1x32 2x1x2 4x3 x2 2x1x3
a1 1 1
xT
1
b1
2 x
1 2 c1
70
第三部分 现代控制理论习题详解
第四章 控制系统的稳定性
a10, a1 1来自1a10, 1
b1
1
1
b1 2
1 2 0 c1
满足正定的条件为：
aa11b1
0
1
a1b1c1 4 b1 4a1 c1
3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
(1)
x
0 1
1 1 x;
(2)
x
1
2
1 3 x;
(3)
x
1 1
1 1 x;
(4)
x
1 0
0 1 x;
【解】： （1）
设
v(x) 0.5x12 0.5x2 2
v(x)
x1x1
x2 x2
（3） 设
v(x) 0.5x12 0.5x2 2
v(x) x1x1 x2x2 x1(x1 x2) x2(x1 x2) x12 x22
xT
1
0
0 1 x
xT Px
P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
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自动控制原理习题分析第四章4-6
作 β 45阻 尼 线 设 与 根 迹 交 于 s1 , 2 a ja , a a a a (tg1 tg1 tg1 90) 180 2a 1 a 5a a a a a 即 tg1 tg1 tg1 45用 试 探 法 可 求 a 0.657, 2a 1 a 5a 即 s1 , 2 0.657 j0.657, 应 Kg 2.02 相 代 入 相 角 条 件 方 程 1 : tg
自动控制原理习题分析第四章4-6
n m 2, ( sj ) ( pj )
j1 j1 n n
s3 ( pj ) s1 s2
j1
3
0 1 5 0.657 j0.657 0.657 j0.657 4.686 s3与 s1 , 2 模 比 的 : 4.686/0.92 5.044 9 s 3为 非 主 导 极 点 .
2 代 回 s 行 : 7s2 70 0
解 得: -s1 , 2 j 10
自动控制原理习题分析第四章4-2(4)
已 知 系 统 开 环 传 递 函, 制 根 轨 迹 图 . 数 绘 m K g(s 5) n 2, 1,-z -5, p1 -1, p2 3 G(s) , (s 1)(s 3) n m 1, 有 一 条 渐 近 线 , 180 即 θ 实 轴 根 迹 区 段 , 5], 3, 1].[-3,-1] 段 有 分 离 点 . :( [ 区
自动控制原理习题分析第四章4-2(11)
已 知 系 统 开 环 传 递 函 ,绘 制 根 轨 迹 图 . 数 K K G(s) s(0.5s 1)(0.2s 1) 0.5 0.2s(s 2)(s 5) K g 10K, 3,m 0, n Kg , s(s 2)(s 5) p1 0, p2 2, p3 5
自动控制原理习题分析第四章4-8
s jω 代 入 特 征 方 程 : s(s2 3s 9) K g 0 得 : K g 3ω2 0和 ω3 9ω 0, 得: 解
2 ω 3, g 3ω 27 K
使 闭 环 稳 定 的gK 取 值 范 围 0 K g 27 :
自动控制原理习题分析第四章4-2(4)
分 离 点 求 法 1.N(s s 5, ' 1, ) N (s) D(s)(s 1)(s 3) s2 4s 3, D' 2s 4, 入: (s) 代
' N' (s)D(s) N(s)D(s) 0得:
s2 10s 17 0, 解 得 求 : s1 2.171,-s 7.828 2 Kg 1 7.828 1 7.828 3 7.828 5 2.171 1 2.171 3 2.171 5
自动控制原理习题分析第四章4-6
n 3,m 1, m 2, n z 2, p1 0 p2 1, p3 5 2条 渐 近 线 : σ a
(p ) (z )
j i j1 i1
n
m
nm 0 1 5 ( 2) 2 2 θ 90
自动控制原理习题分析第四章4-2(11)
( , 5] 根轨迹实轴区段 : [ 2,0] 渐 近 线: σ a
( p ) ( z )
j i j1 i1
n
m
nm 0 25 7 , 3 3 180 1) (2k θ 60,180 nm
两 侧 分 别 作 张 角 为c /2 9.55的 两 条 射 线 AD和 AE , 与 负 实 轴 交 点 即 为 超 校 正 装 置 的 极 点 pc与 零 点 zc . 前
自动控制原理习题分析第六章6-9
原系统极点对 s1 , 2产 生 相 角 135 56.31 7.77 199.1, 校正装置应 引入补偿角 180 199.1 19.1,
自动控制原理习题分析第四章4-2(1)
根 迹 同 虚 轴 交 点 法:2 闭环特征方程 : s(s 2)(s 5) K g 0 s3 7s2 10s K g 0 1 10 s3 7 Kg s2 s1 (70 K g )/7 Kg s0 令 70 K g 0 可 解 得 K p 70 g
自动控制原理习题分析第六章6-9
' 过 A(s1 )作 水 平 线 AA连 A0, A 'A0角 平 分 线 AC, AC , 作 在
两 侧 分 别 作 张 角 为c /2 9.55的 两 条 射 线 AD和 AE , 与 负 实 轴 交 点 即 为 超 校 正 装 置 的 极 点 pc与 零 点 zc . 前
0.343 Kg 2
11.66
自动控制原理习题分析第四章4-2(4)
分 离 点 求 法 2. n 2,m 1, 实 轴 外 根 迹 为 圆 , 心 在 圆 开 环 零 点R (z - p1 )(z - P2 ) , (5 1)(5 3) 8 根迹圆与实轴区段交即为 点 分离点和会合点. - s1 z R 2.171 s2 z R 7.828, Kg1 2.171 1 2.171 3 2.171 5 7.828 1 7.828 3 7.828 5
自动控制原理习题分析第四章4-6
根 迹 实 轴 区 段[ 4,2], : [ 1,0]; 1,0]区 段 有 分 离 点 [ . N(s) s 2, ' 1 N (s) D(s) s3 5s2 5s D' 3s2 10s 5代 入: (s) N' (s)D(s) N(s)D' 0 (s) 得 : s3 6s2 12s 5 0 解 得: s1 , 2 0.55556 相 应 Kg 0.76
s zc s 0.7381 Gc(s) K g c Kg c s pc s 0.9755 zc 0.7381;
pc 0.9755
自动控制原理习题分析第六章6-9
自控原理习题分析第六章6-9
K g(s 0.7381) G(s) G c(s)Go(s) s(s 1)(s 5)(s 0.9755) K g s s1 s1 1 s1 5 s1 pc / s1 zc 3.1238
1
自控原理习题分析第六章6-9
K g 3.1238时 闭环零极点 s1 , 2 0.6 j0.6 ( 0.2 s 4 0.6213 z 0.7381
自控原理习题分析第六章6-9
G(s) 3.1238(s 0.7381) Gc(s)Go(s) s(s 1)(s 5)(s 0.9755) 3.1238(s 0.7381) Φ (s) (s 0.6 j0.6)(s 0.6 j0.6)((s 5.1542)(s 0.6213)
0.343 Kg2
11.66
自动控制原理习题分析第四章4-6
4 6.已 知 单 位 反 馈 系 统 环 传 递 函 数 , 开 K g(s 2) Gk(s) ,要 求 闭 环 主 导 极 点 β , 45 s(s 1)(s 5) 用 根 迹 法 确 定 系 统 阶 响 应 σ %,s ,并 计 算 K ,K v ,K a . 跃 t p
自控原理习题分析第四章4-8
法 2:由 特 征 方 程 : s(s2 3s 9) K g 0 即 s3 3s2 9s K g 0 列 Routh表 : 1 9 s3 3 Kg s2 s1 (3 9 K g )/3 0 Kg s0 由 27 K g p 0求 得
2.02 2/(1 5) 0.808 ,
自动控制原理习题分析第四章4-8
Kg Kg G(s) 2 s(s 3s 9) s(s 1.5 j2.598)(s 1.5 j1.598) 0 1.5 j2.598 1.5 j2.598 n 3,m 0, σ n 1, 60,180; θ 3
自动控制原理习题分析第四章4-6
ν 1, p ,K a 0 K K v K K g zi/ pj
i1 j 1 ν m n
由于闭环有一零点: z 2, z/(ςωn ) α 2/0.657 3.044 查 图 3 28:σ %(α )曲 线 ς 0.707时 σ % 6.7%, 比 无 零 点 时 4.3%稍 . 大 l 1 ts (3 ln ) z ςωn 1.495 1 (3 ln ) 2 0.657 4.12s, 比无零点时 ts 3 4.57s稍 小 ; ςωn
自动控制原理习题分析第六章6-9
σ 2, a σ 0.47, d K g p 30, ω 5 σ % 5% ς 0.707,
β cos1ς 45; ts 5s ςω
n
3 0.6 ts
' 过 A(s1 )作 水 平 线 AA连 A0, A 'A0角 平 分 线 AC, AC , 作 在
自动控制原理习题分析第四章42(1)
根迹同虚轴交点用闭特征方程 环 : s(s 2)(s 5) K g 0 s3 7s2 10s K g 0 s jω 代 入 得 : , jω3 7ω2 j10ω K g 0 即: K g 7ω2 0和 10ω ω3 0,解 得:ω 10,K g 70
2 K g p 27, 回 s 行 : 代
3s2 27 0,解 得: s j3; 0 K g 27
自控原理习题分析第四章4-8
开 环 复 数 极 点 p1 , 2根 迹 出 射 角 θ2: 1,
(s z ) (s p ) 180(2k 1)