上海市2018届高三5月高考模拟练习(一)数学试题及答案解析
上海市黄浦区达标名校2018年高考五月仿真备考数学试题含解析
上海市黄浦区达标名校2018年高考五月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．93B ．123C ．163D ．1832．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．43．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞4．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．3 C ．212+ D ．312+ 5．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12806．若双曲线222:14x y C m -=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．19D ．2197．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定9．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误10．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-11．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ） A ．22B ．2C ．223D ．2312．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)
2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。
【数学】上海市2018届5月高考模拟练习(一)(word版附答案)
上海市2018届高三5月高考数学模拟练习（一）第Ⅰ卷一.填空题1.幂函数()y f x =的图像经过点14,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________ 2.已知4cos 5α=，则πcos 2sin(π)2π2tan(π)cot 2αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭__________ 3.计算：2211lim ()12→∞⎡⎤--=⎢⎥++⎣⎦n n nn n __________4.已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为__________5.已知、+∈x y R ，且1941,x y x y+=+的最小值为__________ 6.等差数列{}n a 12a =，1015S =，记2482n n B a a a a =+++，则当n =__________时，n B 取得最大值7.函数arcsin(1)arccos(2)y x x =-+的值域是__________ 8.设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，则1a d +=__________9.已知函数2318,3()(3x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记*()()=∈n a f n n N ，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是__________10.已知()sin 2cos2(,f x a x b x a b =+为常数），若对于任意∈x R 都有5π()12⎛⎫≥ ⎪⎝⎭f x f ，则方程()0f x =在区间[]0,π内的解为__________11.函数()()∈g x x R 的图像如图所示，关于x 的方程[]2()()230g x m g x m +⋅++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是__________12.已知无穷数列{}n a 具有如下性质：①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，*1(2,)>≥∈n a k k N ，则首项1a 可取数值的个数为__________第Ⅱ卷二.选择题13.函数22log x y x =+的零点在区间( )内 A. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭ B. 12,35⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.21,52⎛⎫⎪⎝⎭D. 12,23⎛⎫⎪⎝⎭14.已知a b 、为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件15.如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的中点，则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM 的面积y 的函数()y f x =的图像的形状大致是下图中的( )A. B.C. D.16.集合*{(,,)|,,=∈S x y z x y z N ，且x y z y z x z x y <<<<<<、、恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈，则下列选项正确的是( )A. (),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉B. (),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈C. (),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉ 三.解答题 （解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.） 17.已知集合21|1,1-⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭x A x x x R ，集合{}|||1,=-≤∈B x x a x R . (1)求集合A ； (2)若=B C A B R ,求实数a 的取值范围.18.cos 0.5sin 0(0)1cos A x A A x A x>1121312M M -+， 记函数1121()f x M M =+，且()f x 的最大值是4. (1)求A ；(2)将函数()y f x =的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域.19.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点. A B C 、分别表示钓鱼岛.南小岛.黄尾屿，点C 在点A 的北偏东47方向，点B 在点C 的南偏西36方向，点B 在点A 的南偏东79方向，且A B 、两点的距离约为3海里.(1)求A C 、两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在A 点处因故障抛锚发出求教信号.一艘R 国舰艇正从点C 正东10海里的点P 处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P C A →→ (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点A 南偏西60方向20海里的点Q 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M 处，再折向点A 直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R 国舰艇赶到进行救助?说明理由.20.已知无穷数列{}a n 前n 项和为n S ，且满足2n n a S Aa Ba C =++，（A B C 、、是常数）.(1)若0,3,2A B C ===-，求数列{}n a 的通项公式； (2)若111,,216A B C ===，且0n a >，求数列{}n a 的前n 项和n S ； (3)试探究A B C 、、满足什么条件时，数列{}n a 是公比不为-1的等比数列.21.已知函数2()log ()f x x a =+. (1)若10(12)()2f x f x <--<，当1a =时，求x 的取值范围； (2)若定义在R 上奇函数()g x 满足(2)()g x g x +=-，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 在[]3,1--上的反函数()h x ；(3)对于(2)中的()g x ，若关于x 的不等式232()1log 382xx t g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.【参考答案】一.填空题 1.2 2.125 3.3 4.-2 5.25 6.4 7.π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.34 9.5,43⎛⎫ ⎪⎝⎭10.π6=x 或2π3=x 11.34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦12.22k - 二.选择题13.C 14.B 15.A 16.B 三.解答题 17.解：(1)由2111x x -≤+，得201x x -≤+ 所以(]1,2A =- (2)(](),12,-∞-+∞C A R []1,1B a a =-+ 由=BC A B R ，得⊆B C A R所以11a +≤-或12a -> 所以a 的范围为(](),23,-∞-+∞18.解：(1)11sin 0sin cos 1cos A x M A x x x==，221cos cos 221cos AA x A M A x x=-=-+π()sin 2cos 2sin(2)2224=-=-A A f x x x x，max 42f ==，所以A =(2)向左移π12得π4sin(2)12=-y x ，横坐标变为原来2倍得π()4sin()12=-g x x 因为π11π,1212⎛⎫∈-⎪⎝⎭x ，所以ππ5π,1266⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭x ，所以(]π()4sin 2,412⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭g x x19.解：(1)求得11CAB ∠=,115ABC ∠=，由14.25sin11sin115AB ACAC =⇒≈海里(2)R 国舰艇的到达时间为：14.25101.3518+≈小时在AQM 中，222240064cos602320AQ MQ AM AM AQ MQ +-+-==⋅⋅得17.44AM ≈海里，所以渔政船的到达时间为：17.4481.1622+≈小时. 因为1.16 1.35<，所以渔政船先到，答：渔政船能先于R 国舰艇赶到进行救助.20.解：(1)由32n n S a =-，得11a =；当2n ≥时，1133n n n n n a S S a a --=-=-，即132n n a a -=，所以132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)由211216n n n S a a =++，得211111216a a a =++，进而114a =， 当2n ≥时，221111122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-得()11102n n n n a a a a --⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，因为0n a >，所以112n n a a --=， 进而2(1)444n n n n n S -=+= (3)若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，①当1q =时，11,n n a a S na ==由2n n n S Aa Ba C =++，得2111na Aa Ba C =++恒成立.所以10a =，与数列{}n a 是等比数列矛盾； ②当1,0q q ≠±≠时，11n n a a q -=，1111n n a aS q q q =---， 由2n n n S Aa Ba C =++恒成立，得2211112011n n a a a aA qB qC q q q q ⎛⎫⨯⨯+⨯-⨯++= ⎪--⎝⎭对于一切正整数n 都成立，所以0,11q A B q ==≠-或12或0,0C ≠事实上，当0A =,1B ≠或12或0,0C ≠时，n n S Ba C =+ 101C a B =≠-，2n ≥时，11n n n n n a S S Ba Ba --=-=-，得101n n a Ba B -=≠-或-14 所以数列{}n a 是以1C B -为首项，以1BB -为公比的等比数列. 21.解：(1)原不等式可化为2210log (22)log (1)2x x <--+<所以2211x x -<<+220x ->10x +>得133x -<< (2)因为()g x 是奇函数，所以(0)0g =，得1a =①当[]3,2x ∈--时，[]220,1()(2)(2)log (1)x g x g x g x x --∈=-+=--=--此时[]()0,1g x ∈，()21g x x =--，所以[]()21(0,1)xh x x =--∈②当[]2,1x ∈--时，[]20,1x +∈，2()(2)log (3)g x g x x =-+=-+此时[]()1,0g x ∈-，()23g x x -=-，所以[]()23(1,0)xh x x -=-∈-综上，()g x 在[]3,1--上的反函数为[][]21,0,1()23,1,0xx x h x x -⎧--∈⎪=⎨-∈-⎪⎩ (3)由题意，当[]0,1x ∈时，()2()log 1g x x =+，在[]0,1上是增函数， 当[]1,0x ∈-，2()()log (1)g x g x x =--=--，在[]1,0-上也是增函数， 所以()g x 在[]1,1-上是增函数，设1213x x ≤<≤，则121221x x -≤-<-≤由12(2)(2)g x g x -<-，得12()()g x g x > 所以()g x 在[]1,3上是减函数，由()g x 的解析式知215()()1log 322g g -==- 设3211828(12)8x x xt t u +-+==-++ ①当1t >-时，1,88t u ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，因为5()()2g u g >，所以582t ≤，即120t -<≤； ②当1t =-时，18u =-，满足题意；③当1t <-时，1,88t u ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，因为1()()2g u g >-，所以182t ≥-，即41t -≤<- 综上，实数t 的取值范围为[]4,20-。
2018高考数学(理科)模拟考试题一含答案及解析
2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．6 B. 5 C．4 D．31.B解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为()图M1-1A．1 B. 2 C. 3 D．23．C解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝SC2＋AC2＝SC2＋AB2＋BC2＝ 3.故选C.图D1884．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π24．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．65．B 解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1，得1≤t <2，由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5.所以2≤t 2< 5.所以6≤t 5<4 5.由[t 5]＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<4 5矛盾，故正整数n 的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )图M1-2A ．1B ．2C ．3D ．46．B 解析：输入a ＝1，则k ＝0，b ＝1；进入循环体，a ＝－12，否，k ＝1，a ＝－2，否，k ＝2，a ＝1，此时a ＝b ＝1，输出k ，则k ＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m ＋n 的值是( )图M1-3A ．10B ．11C ．12D ．137．C 解析：由题意，得78＋88＋84＋86＋92＋90＋m ＋957＝88，n ＝9.所以m ＋n ＝12.故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16C ．17万元 D ．18万元8．D 解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，则利润z ＝3x ＋4y .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x ＋4y －z ＝0过点A (2,3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个9．C 解析：由题意，必有a 1＝0，a 8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016年天津)已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，18B.⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎭⎫58，1 C.⎝⎛⎦⎤0，58 D.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 10.D 解析：f (x )＝1－cos ωx 2＋sin ωx 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，f (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝0， 所以x ＝k π＋π4ω(π，2π)，(k ∈Z )．因此ω⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，54∪⎝⎛⎭⎫98，94∪…＝⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，＋∞⇒ω∈⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58.故选D.11．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为243π16的同一球面上，则P A ＝( )A ．3 B.72C ．2 3 D.9211．B 解析：如图D190，连接AC ，BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，则OE∥P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，12PC ＝12P A 2＋AC 2＝12P A 2＋8，所以由球的体积可得43π⎝⎛⎭⎫12P A 2＋83＝243π16，解得P A ＝72.故选B.图D19012．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若OA →·OB →＝6(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AOF 面积之和的最小值为( )A ．4 B.3 132 C.17 24D.1012．B 解析：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1·y 2＝－m ，因为OA →·OB →＝6，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝6，从而(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－6＝0，因为点A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1·y 2＝－3，故m ＝3，不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝⎛⎭⎫14，0，所以S △ABO ＋S △AFO ＝12×3×(y 1－y 2)＋12×14y 1＝138y 1＋92y 1≥2138·y 1·92·1y 1＝3132，当且仅当13y 18＝92y 1，即y 1＝6 1313时取等号，故其最小值为3 132.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝2 5，a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|.∴5m ＋85＝8m ＋202 5.解得m ＝2.14．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．14.5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设F (c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c,2b )在双曲线上，有c 2a 2－4b 2b2＝1，则e 2＝5，e ＝ 5.15．(2016年北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式T r ＋1＝C r 6·(－2)r x r 可知，x 2的系数为C 26(－2)2＝60，故填60.16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为________．16.13 解析：由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π时，sin x ≤12. 所以所求概率为⎝⎛⎭⎫π6－0＋⎝⎛⎭⎫π－5π6π＝13.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．17．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10.消去d ，得q 4－2q 2－8＝0.解得q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．(本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M1-4，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝12AD，E为边AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．图M1-419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB ⊂平面PBE ，CM 平面PBE ， 所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)方法一，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .所以∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.如图D191，过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ， 从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22. 在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝3 22， 所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.图D191 图D192方法二，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD .设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD → ，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图D192所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13 .所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.20．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x ；(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .20．解：(1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ， 则g ′(x )＝c －1－c x ln c . 令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c .当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 由(2)知，1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．(本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2, 0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，所以a 2－b 2＝4.①因为点B (2，2)在椭圆C 上，所以4a 2＋2b 2＝1.②由①②，解得a ＝2 2，b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为(－2 2，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－y 0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2. 所以x 0＝2 21＋2k2，则y 0＝2 2k 1＋2k2.所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋2 2)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令x ＝0得y ＝ 2 2k1＋1＋2k2，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1＋1＋2k 2. 同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1－1＋2k 2. 所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2k 1＋1＋2k 2－ 2 2k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，－2k .则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k 2)|k |2，即x 2＋y 2＋2 2k y ＝4. 令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A (2，π)、B ⎝⎛⎭⎫2，4π3. (1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．22．解：(1)将A 、B 化为直角坐标为A (2cos π，2sin π)，B ⎝⎛⎭⎫2cos 4π3，2sin 4π3，即A ，B 的直角坐标分别为A (－2,0)，B (－1，－3)，k AB ＝－3－0－1＋2＝－3，∴直线AB 的方程为y －0＝－3(x ＋2)，即直线AB 的方程为3x ＋y ＋2 3＝0.(2)设M (2cos θ，sin θ)，它到直线AB 的距离d ＝|2 3cos θ＋sin θ＋2 3|2＝|13sin (θ＋φ)＋2 3|2， ∴d max ＝13＋2 32.23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围．23．解：(1)当a ＝3时，f (x )>0，即|x －2|－|2x －3|>0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤32，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 32<x <2，－3x ＋5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x ＋1>0. 解得1<x ≤32，或32<x <53. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <53. (2)f (x )＝2－x －|2x －a |，所以f (x )<0可化为|2x －a |>2－x ， ①即2x －a >2－x ，或2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ，∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。
2018年上海市杨浦区高考高三数学一模试卷及解析
2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)计算的结果是.2.(4分)已知集合A＝{1,2,m},B＝{3,4},若A∩B＝{3},则实数m＝.3.(4分)已知,则＝.4.(4分)若行列式,则x＝.5.(4分)已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则x＋y ＝.6.(4分)在的二项展开式中,常数项等于.7.(5分)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是.8.(5分)数列{a n}的前n项和为S n,若点(n,S n)(n∈N*)在函数y＝log2(x＋1)的反函数的图象上,则a n＝.9.(5分)在△ABC中,若sinA、sinB、sinC成等比数列,则角B的最大值为.10.(5分)抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为.11.(5分)已知函数,x∈R,设a＞0,若函数g(x)＝f(x ＋α)为奇函数,则α的值为.12.(5分)已知点C、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若,则实数λ的取值范围为.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.(5分)给出下列函数：①y＝log2x；②y＝x2；③y＝2|x|；④y＝arcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是()A.①②B.②③C.①③D.②④15.(5分)“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5分)设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足•＝0,•＝0,•＝0,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积,则S1＋S2＋S3的最大值是()A. B.2 C.4 D.8三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域；(2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18.(14分)如图,已知圆锥的侧面积为15π,底面半径OA和OB互相垂直,且OA＝3,P 是母线BS的中点.(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线SO 与PA 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)19.(14分)已知函数的定义域为集合A,集合B ＝(a,a ＋1),且B ⊆A.(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：函数f(x)是奇函数但不是偶函数.20.(16分)设直线l 与抛物线Ω：y 2＝4x 相交于不同两点A 、B,O 为坐标原点. (1)求抛物线Ω的焦点到准线的距离；(2)若直线l 又与圆C ：(x ﹣5)2＋y 2＝16相切于点M,且M 为线段AB 的中点,求直线l 的方程； (3)若,点Q 在线段AB 上,满足OQ ⊥AB,求点Q 的轨迹方程.21.(18分)若数列A ：a 1,a 2,…,a n (n ≥3)中(1≤i ≤n)且对任意的2≤k ≤n ﹣1,a k＋1＋a k ﹣1＞2a k 恒成立,则称数列A 为“U ﹣数列”.(1)若数列1,x,y,7为“U ﹣数列”,写出所有可能的x 、y ；(2)若“U ﹣数列”A ：a 1,a 2,…,a n 中,a 1＝1,a n ＝2017,求n 的最大值；(3)设n0为给定的偶数,对所有可能的“U ﹣数列”A ：a 1,a 2,…,,记,其中max {x1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数,求M 的最小值.2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)计算的结果是1.【试题解答】解：当n→＋∞,→0,∴＝1,故答案为：1.2.(4分)已知集合A＝{1,2,m},B＝{3,4},若A∩B＝{3},则实数m＝3.【试题解答】解：∵集合A＝{1,2,m},B＝{3,4},A∩B＝{3},∴实数m＝3.故答案为：3.3.(4分)已知,则＝﹣.【试题解答】解：∵,∴＝.故答案为：﹣.4.(4分)若行列式,则x＝2.【试题解答】解：∵,∴2×2x﹣1﹣4＝0即x﹣1＝1∴x＝2故答案为：25.(4分)已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则x＋y＝6.【试题解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式,解得x＝4,y＝2,∴x＋y＝6.故答案为：6.6.(4分)在的二项展开式中,常数项等于﹣160.【试题解答】解：展开式的通项为T r＝x6﹣r(﹣)r＝(﹣2)r x6﹣2r＋1令6﹣2r＝0可得r＝3常数项为(﹣2)3＝﹣160故答案为：﹣1607.(5分)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是.【试题解答】解：基本事件共6×6个,点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个,故P＝＝.故答案为：.8.(5分)数列{a n}的前n项和为S n,若点(n,S n)(n∈N*)在函数y＝log2(x＋1)的反函数的图象上,则a n＝2n﹣1.【试题解答】解：由题意得n＝log2(S n＋1)⇒s n＝2n﹣1.n≥2时,a n＝s n﹣s n﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1,当n＝1时,a1＝s1＝21﹣1＝1也适合上式,∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1；故答案为：2n﹣19.(5分)在△ABC中,若sinA、sinB、sinC成等比数列,则角B的最大值为.【试题解答】解：∵在△ABC中,sinA、sinB、sinC依次成等比数列,∴sin2B＝sinAsinC,利用正弦定理化简得：b2＝ac,由余弦定理得：cosB＝＝≥＝(当且仅当a＝c时取等号),则B的范围为(0,],即角B的最大值为.故答案为：.10.(5分)抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为.【试题解答】解：∵抛物线y2＝﹣8x的焦点F(﹣2,0)与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合,∴a2＋1＝4,解得a＝,∴双曲线的渐近线方程为y＝,∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为,故答案为：.11.(5分)已知函数,x∈R,设a＞0,若函数g(x)＝f(x＋α)为奇函数,则α的值为.【试题解答】解：函数,＝,＝s,函数g(x)＝f(x＋α)＝为奇函数,则：(k∈Z),解得：,故答案为：12.(5分)已知点C、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若,则实数λ的取值范围为.【试题解答】解：假设CD的斜率存在时,设过点M(0,2)得直线方程为y＝kx＋2,联立方程,整理可得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0,设C(x1,y1),N(x2,y2),则△＝(16k)2﹣4×(1＋4k2)×12≥0,整理得k2≥,x1＋x2＝﹣,x1x2＝,(*)由,可得,x1＝λx2代入到(*)式整理可得＝＝,由k2≥,可得4≤≤,解可得＜λ＜3且λ≠1,当M和N点重合时,λ＝1,当斜率不存在时,则D(0,1),C(0,﹣1),或D(0,1),C(0,﹣1),则λ＝或λ＝3∴实数λ的取值范围.故答案为：.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【试题解答】解：∵＝,∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2),位于第三象限.故选：C.14.(5分)给出下列函数：①y＝log2x；②y＝x2；③y＝2|x|；④y＝arcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是()A.①②B.②③C.①③D.②④【试题解答】解：①y＝log2x的定义域为(0,＋∞),定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数；②y＝x2；是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.③y＝2|x|是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.④y＝arcsinx是奇函数,图象关于y轴不对称,不满足条件,故选：B.15.(5分)“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【试题解答】解：t≥0⇒△＝t2＋4t≥0⇒函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点,函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点⇒△＝t2＋4t≥0⇒t≥0或t≤﹣4.∴“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点”的充分非必要条件.故选：A.16.(5分)设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足•＝0,•＝0,•＝0,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积,则S1＋S2＋S3的最大值是()A. B.2 C.4 D.8【试题解答】解：设AB＝a,AC＝b,AD＝c,因为AB,AC,AD两两互相垂直,扩展为长方体,它的对角线为球的直径,所以a2＋b2＋c2＝4R2＝4所以S△ABC ＋S△ACD＋S△ADB＝(ab＋ac＋bc )≤(a2＋b2＋c2)＝2即最大值为：2故选：B.三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域；(2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【试题解答】解：(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,它的面积y＝x(l﹣3x)；由x＞0,且l﹣3x＞0,可得函数的定义域为(0,l)；(2)y＝x(l﹣3x)＝×3x(1﹣3x)≤×()2＝,当x＝时,这块长方形场地的面积最大,这时的长为l﹣3x＝l,最大面积为.18.(14分)如图,已知圆锥的侧面积为15π,底面半径OA和OB互相垂直,且OA＝3,P 是母线BS的中点.(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线SO与PA所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)【试题解答】(本题满分(14分),第1小题满分(7分),第2小题满分7分)解：(1)由题意,π•OA•SB＝15π,解得BS＝5,…(2分)故…(4分)从而体积.…(7分)(2)如图,取OB中点H,连结PH、AH.由P是SB的中点知PH∥SO,则∠APH(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角.…(10分)∵SO⊥平面OAB,∴PH⊥平面OAB,∴PH⊥AH.在△OAH中,由OA⊥OB,得,…(11分)在Rt△APH中,∠AHP＝90 O,,…(12分)则,∴异面直线SO与PA所成角的大小.…(14分)19.(14分)已知函数的定义域为集合A,集合B＝(a,a＋1),且B⊆A.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：函数f(x)是奇函数但不是偶函数.【试题解答】解：(1)令,解得﹣1＜x＜1,所以A＝(﹣1,1),因为B⊆A,所以,解得﹣1≤a≤0,即实数a的取值范围是[﹣1,0]；(2)证明：函数f(x)的定义域A＝(﹣1,1),定义域关于原点对称,f(﹣x)＝ln＝ln()﹣1＝﹣ln＝﹣f(x),而,,所以,所以函数f(x)是奇函数但不是偶函数.20.(16分)设直线l与抛物线Ω：y2＝4x相交于不同两点A、B,O为坐标原点.(1)求抛物线Ω的焦点到准线的距离；(2)若直线l又与圆C：(x﹣5)2＋y2＝16相切于点M,且M为线段AB的中点,求直线l的方程；(3)若,点Q在线段AB上,满足OQ⊥AB,求点Q的轨迹方程.【试题解答】解：(1)根据题意,抛物线Ω的方程为y2＝4x,则p＝2,故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；(2)设直线l：x＝my＋b当m ＝0时,x ＝1和x ＝9符合题意；当m ≠0时,A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的坐标满足方程组,所以y 2﹣4my ﹣4b ＝0的两根为y 1、y 2. △＝16(m 2＋b)＞0,y 1＋y 2＝4m, 所以,所以线段AB 的中点M(2m 2＋b,2m)因为k AB •k CM ＝﹣1,,所以,得b ＝3﹣2m 2所以△＝16(m 2＋b)＝16(3﹣m 2)＞0,得0＜m 2＜3 因为,所以m 2＝3(舍去)综上所述,直线l 的方程为：x ＝1,x ＝9(3)设直线AB ：x ＝my ＋b,A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的坐标满足方程组,所以y 2﹣4my ﹣4b ＝0的两根为y 1、y 2 △＝16(m 2＋b)＞0,y 1＋y 2＝4m,y 1y 2＝﹣4b 所以,得b ＝0或b ＝4b ＝0时,直线AB 过原点,所以Q(0,0)； b ＝4时,直线AB 过定点P(4,0) 设Q(x,y),因为OQ ⊥AB, 所以(x ≠0),综上,点Q 的轨迹方程为x 2﹣4x ＋y 2＝021.(18分)若数列A ：a 1,a 2,…,a n (n ≥3)中(1≤i ≤n)且对任意的2≤k ≤n ﹣1,a k＋1＋a k ﹣1＞2a k 恒成立,则称数列A 为“U ﹣数列”.(1)若数列1,x,y,7为“U ﹣数列”,写出所有可能的x 、y ；(2)若“U﹣数列”A：a1,a2,…,a n中,a1＝1,a n＝2017,求n的最大值；(3)设n为给定的偶数,对所有可能的“U﹣数列”A：a1,a2,…,,记,其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数,求M的最小值.【试题解答】解：(1)x＝1时,,所以y＝2或3；x＝2时,,所以y＝4；x≥3时,,无整数解；所以所有可能的x,y为,或.(2)n的最大值为65,理由如下：一方面,注意到：a k＋1＋a k﹣1＞2a k⇔a k＋1﹣a k＞a k﹣a k﹣1.对任意的1≤i≤n﹣1,令b i＝a i＋1﹣a i,则b i∈Z且b k＞b k﹣1(2≤k≤n﹣1),故b k≥b k﹣1＋1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立.(*)当a1＝1,a n＝2017时,注意到b1＝a2﹣a1≥1﹣1＝0,得(2≤i≤n﹣1)即b i≥i﹣1,此时a n﹣a1＝(a n﹣a n﹣1)＋(a n﹣1﹣a n﹣2)＋…＋(a2﹣a1)＝b n﹣1＋b n﹣2＋…＋b1≥0＋1＋2＋…＋(n﹣2)＝,(**)即,解得：﹣62≤n≤65,故n≤65.另一方面,为使(**)取到等号,所以取b i＝i﹣1(1≤i≤64),则对任意的2≤k≤64,b k＞b k﹣1,故数列{a n}为“U﹣数列”,此时由(**)式得,所以a65＝2017,即n＝65符合题意. 综上,n的最大值为65.(3)M的最小值为,证明如下：当n0＝2m(m≥2,m∈N*)时,一方面：由(*)式,b k＋1﹣b k≥1,b m＋k﹣b k＝(b m＋k﹣b m＋k﹣1)＋(b m＋k﹣1﹣b m＋k﹣2)＋…＋(b k＋1﹣b k)≥m.此时有：(a1＋a2m)﹣(a m＋a m＋1)＝(a2m﹣a m＋1)﹣(a m﹣a1)＝(b m＋1＋b m＋2＋…＋b2m﹣1)﹣(b1＋b2＋…＋b m﹣1)＝(b m＋1﹣b1)＋(b m＋2﹣b2)＋…＋(b2m＋1﹣b m﹣1)≥m＋m＋…＋m＝m(m﹣1).即(a1＋a2m)≥(a m＋a m＋1)＋m(m﹣1)故因为,所以,另一方面,当b1＝1﹣m,b2＝2﹣m,…,b m﹣1＝﹣1,b m＝0,b m＋1＝1,b2m﹣1＝m﹣1时,a k＋1＋a k﹣1﹣2a k＝(a k＋1﹣a k)﹣(a k﹣a k﹣1)＝b k﹣b k﹣1＝1＞0取a m＝1,则a m＋1＝1,a1＞a2＞a3＞…＞a m,a m＋1＜a m＋2＜…＜a2m,且此时.综上,M的最小值为.。
2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集 带答案
8
第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ） 项和； （2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （ 、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比 数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上
上海市2018年5月高考模练习(一)数学试题(精编含解析)
2018年高考数学模拟练习1第Ⅰ卷（共60分）一、填空题1. 幂函数的图象经过点，则的值为__________【答案】2【解析】【分析】先设出幂函数解析式，利用点在函数图象上，解得参数，从而求得其解析式，再代入，从而可得结果. 【详解】设幂函数为，幂函数的图象经过点，，，则的值为，故答案为2.【点睛】本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题，幂函数要求较低，属于基础题.2. 已知，则__________【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简原式，再将代入即可得出结论.【详解】，，故答案为.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.3. 计算：__________【答案】3【解析】【分析】通分、化简原式，分子分母同时除以，从而可得结果.【详解】，故答案为3.【点睛】本题主要考查极限的计算以及常见极限公式的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.4. 已知二元一次方程组的增广矩阵是，若该方程组无解，则实数的值为__________【答案】-2【解析】【分析】由且可得实数的值.【详解】二元一次方程组的增广矩阵是，该方程组无解，所以且，且，，故答案为.【点睛】本题考查二元一次方程组的增广矩阵，考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的定义.5. 已知，且的最小值为__________【答案】25【解析】【分析】由，利用基本不等式的性质即可得结果.【详解】,且，则，当时，等号成立，故答案为.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.6. 等差数列，，记，则当__________时，取得最大值【答案】4【解析】【分析】由条件求出数列的公差，可得当时，，当时，，从而可得结果.【详解】在等差数列中，，，，即，，，，由，得，即，当时，，当，因此在中，当时，，当时，，故当时，取得最大值，故答案为.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式的计算，属于难题. 求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的二次函数，，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值.本题根据方法①确定的取值范围的.7. 函数的值域是__________【答案】【解析】【分析】先求函数的定义域，再判断函数的单调性，根据单调性求最值，从而可得结果.【详解】由题意知，解得，即函数的定义域为，是减函数，也是减函数，所以函数在是减函数，当时，函数有最大值为，当时，函数有最小值为，值域为，故答案为.【点睛】本题主要考查反三角函数定义域与值域，意在考查对基础知识与基本技能掌握的熟练程度以及灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.8. 设正数数列的前项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则__________【答案】【解析】【分析】由和都是等差数列，且公差相等，把和都用和表示，联立求解和，即可求得结果. 【详解】设数列的首项为，公差为，数列的前项和是，，又也是公差为的等差数列，则，两边平方得，①，两边平方得，②②-①得：，③把③代入①得，或，当时，，不合题意，当时，代入③解得，，故答案为.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，意在考查学生的计算能力、转化与划归思想的运用，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.9. 已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】要使函数在时单调递减，则；要使函数在单调递减，则必须满足，又函数在时，单调递减，则，联立解不等式即可得的范围.【详解】要使函数在时单调递减，，解得，要使函数在单调递减，则必须满足，解得，又函数在时，单调递减，则，解得，故实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查了利用分段函数的单调性研究数列的单调性，属于难题. 分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.10. 已知为常数），若对于任意都有，则方程在区间内的解为__________【答案】或【解析】【分析】由，可知是函数的最小值，利用辅助的角公式求出的关系，然后利用三角函数的图象和性质进行求解即可.【详解】，其中，由，则是函数的最小值，则，，即，平方得，即，，解得，，不妨设，则，由，解得，即，，当时，，当时，，故或，故答案为或.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式() 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.11. 函数的图象如图所示，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】设，结合函数图象可得有两个根，且一个在上，一个在上，设，①当有一个根为1时，由，求得的值，检验符合题；②当没有根为1时，由，求得的范围，综合可得结论.【详解】根据函数的图象，设，关于的方程有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上，设，①当有一个根为1时，，此时另一个根为，符合题意；②当没有根为1时，则，解得，综上可得，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．12. 已知无穷数列具有如下性质：①为正整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.在数列中，若当时，，当时，，则首项可取数值的个数为__________【答案】【解析】【分析】我们用倒推的方式，当时，，则或4，即2个；或6或7或8，即4个；或10或11或12或13或14或15或16，即8个，从而可得结论.【详解】我们用倒推的方式，对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.在数列中，若当时，，则有个；或4，即2个；或6或7或8，即4个；或10或11或12或13或14或15或16，即8个，…,归纳可得，项可取数值的个数为，故答案为.【点睛】本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，以及归纳推理的运用，属于难题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.第Ⅱ卷（共90分）二、选择题13. 函数的零点在区间( )内A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数利用零点存在定理，可得函数的零点所在区间.【详解】令，则函数在递增，则函数的零点在区间，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理以及对数函数与指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题.14. 已知为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：命题甲等价于：若，则，若，则，命题乙等价于，∴甲是乙的必要不充分条件.考点：1.解不等式；2.充分必要条件.15. 如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图像的形状大致是下图中的( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】随着点的位置的不同，讨论三种情形即在上，在上，以及在上分别建立面积的函数，分段画出图象即可.【详解】根据题意得，分段画出分段函数图象，可得只有选项符合题意，故选A.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与分段函数的图象，分属于中档题. 分段函数模型问题求要注意：(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏.16. 集合，且恰有一个成立}，若且，则下列选项正确的是( )A. ，B. ，C. ,D. ,【答案】B【解析】试题分析：从集合的定义，可三个不等式，也可得三个不等式，组合之后可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是不一定成立，也不一定成立，故A，C，D都不能选，只能选B．考点：不等关系．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合，集合.(1)求集合；(2)若,求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根据分式不等式解法进行求解即可；（2）根据集合补集的定义求出，由，得，化简集合，利用包含关系列不等式求解即可.【详解】解：(1)由，得所以(2)由，得所以或所以的范围为【点睛】本题主要考查了解分式不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意，在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.18. 行列式按第一列展开得，记函数，且的最大值是4.(1)求；(2)将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据行列式，求出函数，再利用二倍角公式，辅助角公式化简，结合的最大值是，即可求；（2）向左移得，横坐标变为原来倍得因为，所以，所以.【详解】解(1)，，，所以(2)向左移得，横坐标变为原来2倍得因为，所以，所以【点睛】本题以行列式为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数的图象与性质进行考查，难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里.(1)求两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为 (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】（1）14.25（2）渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【解析】【分析】（1）由题意，,，在中，由正弦定理可求两点间的距离；（2）结合（1）可求出舰艇的到达时间，利用余弦定理可得渔政船的到达时间，比较所用时间即可得结论.【详解】解：(1)求得,，由海里(2)国舰艇的到达时间为：小时在中，得海里，所以渔政船的到达时间为：小时.因为，所以渔政船先到，答：渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及正弦定理与余弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 20. 已知无穷数列前项和为，且满足，（是常数）.(1)若，求数列的通项公式；(2)若，且，求数列的前项和；(3)试探究满足什么条件时，数列是公比不为-1的等比数列.【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）已知与的关系，要求，一般是利用它们之间的关系，把，化为，得出数列的递推关系，从而求得通项公式；（2）与（1）类似，先求出，时，推导出与之间的关系，求出通项公式，再求出前项和；（3）这是一类探究性命题，可假设结论成立，然后由这个假设的结论来推导出条件，本题设数列是公比不为的等比数列，则，，代入恒成立的等式，得对于一切正整数都成立，所以，，，得出这个结论之后，还要反过来，由这个条件证明数列是公比不为的等比数列，才能说明这个结论是正确的．在讨论过程中，还要讨论的情况，因为时，，，当然这种情况下，不是等比数列，另外．试题解析：（1）由，得；1分当时，，即2分所以；1分（2）由，得，进而，1分当时，得，因为，所以，2分进而2分（3）若数列是公比为的等比数列，①当时，，由，得恒成立.所以，与数列是等比数列矛盾；1分②当，时，，，1分由恒成立，得对于一切正整数都成立所以，或或，3分事实上，当，或或，时，，时，，得或所以数列是以为首项，以为公比的等比数列2分考点：与的关系：，等差数列与等比数列的定义．21. 已知函数.(1)若，当时，求的取值范围；(2)若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；(3)对于(2)中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）根据题意,根据对数函数的增减性及真数大于零，列出不等式，求解即可；（2）根据条件得到其周期为4，当时，再根据上述性质及奇函数，，求其反函数，同理当时，，也可求出函数的反函数；（3）不等式恒成立转化为恒成立，即，分类讨论后，综合讨论结果，可得实数t的取值范围.试题解析：（1）原不等式可化为，∴，得；（2）∵是奇函数，∴，当时，，，此时，，所以，当时，，，此时，，所以，，综上，（3）由题意知，在上是增函数，可证明在上是减函数，由知，设，分别讨论解得.点睛：本题主要考查的知识点是对数函数的图像和性质，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性，反函数的求法，对数的运算性质，存在型问题，函数最值，是函数图象和性质较为综合的应用，属于难题，解题时要善于运用学过的数学思想和方法进行转化，通过分类讨论把复杂问题分解，通过换元法突出问题本质，简化计算过程.。
上海市金山区达标名校2018年高考五月大联考数学试卷含解析
上海市金山区达标名校2018年高考五月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥3．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A 17B ．32C ．53D 10 4．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 5．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．46．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π7．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<8．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-9．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．3510．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn[g （x ）]＝sgn xB ．sgn[g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn[g （x ）]＝sgn[f （x ）]D ．sgn[g （x ）]＝﹣sgn[f （x ）]11．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx xf x e +=-，设2(ln 2),(2),(ln2a fb fc f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>12．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31π-B ．34C ．3π D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市黄浦区达标名校2018年高考五月调研数学试卷含解析
上海市黄浦区达标名校2018年高考五月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ） A ．3B ．5C ．3D ．52．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（） A ．1B ．2C ．12D ．44．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-5．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ） A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =7．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 9．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离10．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB AC λμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B 7C ．7D 711．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4B ．23C ．8D ．1712．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年上海中学高考数学模拟试卷和答案(5月份)
2018年上海中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题1．（3分）抛物线x2＝2y的准线方程是．2．（3分）设集合A＝{x|log2018x＜1}，B＝{x|x＜3}，则A∩B＝．3．（3分）不等式＜1的解集为．4．（3分）命题A：x＜1，命题A的一个必要条件为下面的命题（填“p”或“q”）命题p：x＜0；命题q：x＜25．（3分）复数8+6i（i为虚数单位）的平方根为．6．（3分）已知点A（1，2）、B（﹣1，0）、C（3，﹣1），则△ABC的面积为．7．（3分）（2+x）n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（2+x）n的展开式中倒数第4项的系数为．8．（3分）cos（2α﹣β）＝﹣，sin（α﹣2β）＝，且α，β∈（0，），则cos（α+β）＝．9．（3分）f（x+1）＝x2，x＜﹣1，则f﹣1（x+1）＝（f﹣1（x）为f（x）的反函数）．10．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，在B的取值范围是（角用弧度表示）11．（3分）四面体P﹣ABC中，P A＝AB＝5，PB＝AC＝6，PC＝BC＝7，则P A与BC所成的角为．12．（3分）古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，…，按此规律，则（1）＝．（2）＝．（n＝5，7，9，11，…）二、选择题13．（3分）若α是第二象限的角，则的终边所在位置不可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．笫象限14．（3分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种16．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2D．三、解答题17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1，（1）求证：直线BC1∥平面D1AC；（2）求直线BC1到平面D1AC的距离．18．已知两个向量＝（1+log2x，log2x），＝（log2x，1）（1）若⊥，求实数x的值；（2）求函数f（x）＝•，x∈[，2]的值域．19．已知数列{a n}满足a1＝1，|a n+1﹣a n|＝p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p＝，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．20．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cos A＝，cos C＝（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？21．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）若b＝1，且f（x）在[﹣2，2]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）若对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]使f（x）＞0，求实数b的取值范围；（3）若存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．2018年上海中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、填空题1．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2＝2y，焦点在y轴上；所以：2p＝2，即p＝1，所以：＝，所以准线方程y＝﹣．故答案为：y＝﹣．2．【解答】解：A＝{x|0＜x＜2018}；∴A∩B＝（0，3）．故答案为：（0，3）．3．【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）4．【解答】解：命题A：x＜1，命题A的一个必要条件为：{x|x＜1}是所求的集合的子集．故答案为：q．5．【解答】解：设复数8+6i（i为虚数单位）的平方根为a+bi，则（a+bi）2＝8+6i，即a2+2abi﹣b2＝8+6i，则，即，得或，即平方根为3+i或﹣3﹣i，故答案为：±（3+i）6．【解答】解：A（1，2）、B（﹣1，0）、C（3，﹣1），∴＝（﹣2，﹣2），＝（2，﹣3），∴•＝﹣4+6＝2，||＝2，||＝，cos A＝＝＝，sin A＝＝，∴△ABC的面积为S＝×2××＝5．故答案为：5．7．【解答】解：由，得n＝7．∴（2+x）n＝（2+x）7，（2+x）7的展开式中倒数第4项为．∴展开式中倒数第4项的系数为280．故答案为：280．8．【解答】解：∵α，β∈（0，），∴2α﹣β∈（﹣，π），α﹣2β∈（﹣π，），又cos（2α﹣β）＝﹣，∴2α﹣β∈（，π），∴sin（2α﹣β）＝．sin（α﹣2β）＝，∴α﹣2β∈（0，），∴cos（α﹣2β）＝．∴cos（α+β）＝cos[（2α﹣β）﹣（α﹣2β）]＝cos（2α﹣β）cos（α﹣2β）+sin（2α﹣β）sin（α﹣2β）＝．故答案为：．9．【解答】解：令x+1＝t＜0，则x＝t﹣1∴f（t）＝（t﹣1）2（t＜0），∴f（x）＝（x﹣1）2（x＜0）∴x﹣1＝﹣，x＝1﹣，（f（x）＞0）∴f﹣1（x）＝1﹣，（x＞0）∴f﹣1（x+1）＝1﹣，（x＞﹣1）10．【解答】解：由a，b，c成等差数列，得到2b＝a+c，即b＝，则cos B＝＝＝≥，∵B∈（0，π），且余弦在（0，π）上为减函数，∴角B的范围是：0＜B≤．故答案为：（0，]．11．【解答】解：如图，分别取PB，AB，AC的中点E，F，G，连接AE，CE，EF，FG，EG，则EF∥P A，FG∥BC，∠EFG（或其补角）为P A与BC所成的角．∵P A＝AB＝5，PB＝6，可得AE＝4，∵PC＝BC＝7，PB＝6，可得CE＝．在△CAE中，得cos∠CAE＝＝，则．在△EFG中，GF＝，EF＝，GE2＝19，∴cos∠EFG＝．∴P A与BC所成的角为arccos．故答案为：arccos．12．【解答】解：（1）假定有两个面包，要平均分给11个人，每人不够，每人分则余，再将这分成11份，每人得，这样每人分得+．故＝+；（2）假定有两个面包，要平均分给n（n＝5，7，9，11，…）个人，每人不够，每人分则余，再将这分成n份，每人得，这样每人分得+．故＝+；故答案为：+，+二、选择题13．【解答】解：∵α是第二象限角，∴90°+k•360°＜α＜180°+k•360°，k∈Z．则30°+k•120°＜＜60°+k•120°，k∈Z．当k＝0时，30°＜＜60°，α为第一象限角；当k＝1时，150°＜＜180°，α为第二象限角；当k＝2时，270°＜＜300°，α为第四象限角．由上可知，的终边所在位置不可能是第三象限角．故选：C．14．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m ⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选：B．15．【解答】解：根据题意，设需要涂色的四个部分依次分①、②、③、④，对于区域①，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域②，与区域①相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域③，与区域①②相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域④，与区域②③相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有4×3×2×2＝48种；故选：D．16．【解答】解：由主视图和侧视图可知棱锥的高h＝2，结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC为直角三角形，BC＝1，AB＝2，AB⊥BC，∴三棱锥的体积V＝＝，故选：A．三、解答题17．【解答】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB＝C1D1，故ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，故直线BC1平行于平面DA1C；（2）直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离（设为h）以△ABC为底面的三棱锥D1﹣ABC的体积V，可得V＝而△AD 1C中，AC＝D1C＝，故＝所以以△AD1C为底面的三棱锥B﹣﹣AD1C的体积V＝，即直线BC1到平面D1AC的距离为．18．【解答】解：（1）＝（1+log2x，log2x），＝（log2x，1），若⊥，则（1+log2x）•log2x+log2x＝0，可得log2x＝0或log2x＝﹣2，解得x＝1或x＝；（2）函数f（x）＝•＝（1+log2x）•log2x+log2x＝（log2x）2+2log2x，令t＝log2x，由x∈[，2]，可得t∈[﹣2，1]，即有函数y＝t2+2t＝（t+1）2﹣1，当t＝﹣1时，函数取得最小值﹣1；当t＝1时，函数取得最大值3．则函数f（x）的值域为[﹣1，3]．19．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|＝p n化为：a n+1﹣a n＝p n，分别令n＝1，2可得，a2﹣a1＝p，，即a2＝1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2＝a1+3a3，即4（1+p）＝1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p＝0，解得或0，当p＝0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|＝，则|a2n﹣a2n﹣1|＝，|a2n+2﹣a2n+1|＝，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|＝＞|a2n+2﹣a2n+1|＝，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n＝当数列{a n}的项数为偶数时，令n＝2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，＝＝，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n＝2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+＝﹣＝，则，且当m＝0时a1＝1符合，故，综上得，．20．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，从而sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝＝由正弦定理，得AB＝＝＝1040m．答：索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×＝200（37t2﹣70t+50）＝200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，答：当t＝min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC＝＝＝500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）＝550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为vm/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，答：为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．21．【解答】解：（1）当b＝1时，f（x）＝x2+ax+1，∵f（x）在[﹣2，2]上存在零点，∴f（﹣2）f（2）≤0或即（5﹣2a）（5+2a）≤0，或，解得a≥或a≤﹣，或﹣≤a≤﹣2或2≤a≤，即a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；（2）∵x∈[﹣2，3]，函数f（x）＝x2+ax+b开口向上，∴f（x）max＝max{f（﹣2），f（3）}，∵f（﹣2）＝4﹣2a+b，f（3）＝9﹣3a+b，∴f（3）﹣f（2）＝9﹣3a+b﹣4+a＝5﹣a＞0，∴f（x）max＝f（3）＝9﹣3a+b，∵对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]使f（x）＞0，∴9﹣3a+b＞0对a∈[﹣1，1]恒成立，∴b＞3a﹣9，∵a∈[﹣1，1]，∴3a﹣9≤3﹣9＝﹣6，∴b＞﹣6；（3）f（x）＝x2+ax+b的对称轴为x＝．①若a≥0，则≤0，∴f（x）在[0，b）上单调递增，∴．由b2+ab+b≤10，得≥a≥0，解不等式组，得1≤b≤．②若0＜＜，即﹣b＜a＜0时，f（x）在[0，]上单调递减，在（﹣，b]单调递增，∴．∴，即，得1＜b＜10．③若0＜＜b，即﹣2b＜a＜﹣b＜0时，f（x）在[0，]单调递减，在（，b]单调递增，∴，即，则1＜b≤10．④若≥b，即a≤﹣2b时，f（x）在[0，b）上单调递减，∴，∴，即，则b∈∅．综上，b的取值范围是[1，10]，b的最大值为10．。
2018年上海市普陀区高考高三数学一模试卷及解析
2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)设全集U＝{1,2,3,4,5},若集合A＝{3,4,5},则∁U A＝.2.(4分)若,则＝.3.(4分)方程log2(2﹣x)＋log2(3﹣x)＝log212的解x＝.4.(4分)的二项展开式中的常数项的值为.5.(4分)不等式的解集为.6.(4分)函数的值域为.7.(5分)已知i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若,则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限.8.(5分)若数列{a n}的前n项和(n∈N*),则＝.9.(5分)若直线l：x＋y＝5与曲线C：x2＋y2＝16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1y2＋x2y1的值为.10.(5分)设a1、a2、a3、a4是1,2,3,4的一个排列,若至少有一个i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立,则满足此条件的不同排列的个数为.11.(5分)已知正三角形ABC的边长为,点M是△ABC所在平面内的任一动点,若,则的取值范围为.12.(5分)双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象,关于此函数f(x)有如下四个命题：①f(x)是奇函数；②f(x)的图象过点或；③f(x)的值域是；④函数y＝f(x)﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)若数列{a n}(n∈N*)是等比数列,则矩阵所表示方程组的解的个数是()A.0个B.1个C.无数个D.不确定14.(5分)“m＞0”是“函数f(x)＝|x(mx＋2)|在区间(0,＋∞)上为增函数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.(5分)用长度分别为2、3、5、6、9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接,不允许折断),组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的长方体的最大表面积为()A.258cm2B.414cm2C.416cm2D.418cm216.(5分)定义在R上的函数f(x)满足,且f(x﹣1)＝f(x＋1),则函数在区间[﹣1,5]上的所有零点之和为()A.4B.5C.7D.8三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示的圆锥的体积为,底面直径AB＝2,点C是弧的中点,点D是母线PA的中点.(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.18.(14分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)＝＋x＋150万元.(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19.(14分)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,),已知角φ的终边经过点,点M(x1,y1)、N(x2,y2)是函数f(x)图象上的任意两点,当|f(x1)﹣f(x2)|＝2时,|x1﹣x2|的最小值是.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)已知△ABC面积为,角C所对的边,,求△ABC的周长. 20.(16分)设点F1、F2分别是椭圆(t＞0)的左、右焦点,且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为,点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点,且向量与向量平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当时,求△F1MN的面积；(3)当时,求直线F2N的方程.21.(18分)设d为等差数列{a n}的公差,数列{b n}的前n项和T n,满足(n∈N*),且d＝a5＝b2,若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k＋3}(k∈N*,k ≥3),则称m具有性质P k.(1)请判断b1、b2是否具有性质P6,并说明理由；(2)设S n为数列{a n}的前n项和,若{S n﹣2λa n}是单调递增数列,求证：对任意的k(k ∈N*,k≥3),实数λ都不具有性质P k；(3)设H n是数列{T n}的前n项和,若对任意的n∈N*,H2n﹣1都具有性质P k,求所有满足条件的k的值.2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)设全集U＝{1,2,3,4,5},若集合A＝{3,4,5},则∁U A＝{1,2} .【试题解答】解：∵全集U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{3,4,5},∴∁U A＝{1,2}.故答案为：{1,2}.2.(4分)若,则＝.【试题解答】解：,∴＝.故答案为：.3.(4分)方程log2(2﹣x)＋log2(3﹣x)＝log212的解x＝﹣1.【试题解答】解：∵方程log2(2﹣x)＋log2(3﹣x)＝log212,∴,即,解得x＝﹣1.故答案为：﹣1.4.(4分)的二项展开式中的常数项的值为﹣84.【试题解答】解：二项展开式的通项＝,由,得r＝3.∴的二项展开式中的常数项为.故答案为：﹣84.5.(4分)不等式的解集为[0,1)∪(1,2] .【试题解答】解：由题意得：,解得：0≤x＜1或1＜x≤2,故答案为：[0,1)∪(1,2].6.(4分)函数的值域为[﹣1,3] .【试题解答】解：∵＝sinx＋cosx＋1＝2sin(x＋)＋1,∵sin(x＋)∈[﹣1,1],∴f(x)＝2sin(x＋)＋1∈[﹣1,3].故答案为：[﹣1,3].7.(5分)已知i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若,则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限.【试题解答】解：,设z＝a＋bi,则z×2i﹣(1＋i)＝0,即(a＋bi)×2i﹣1﹣i＝0,则2ai﹣2b﹣1﹣i＝0,∴﹣2b﹣1＋(2a﹣1)i＝0,则,则,∴z＝﹣i,则＝＋i,∴则在复平面内所对应的点位于第一象限,故答案为：一.8.(5分)若数列{a n}的前n项和(n∈N*),则＝﹣2.【试题解答】解：数列{a n}的前n项和(n∈N*),可得n＝1时,a1＝S1＝﹣3＋2＋1＝0；当n≥2时,a n＝S n﹣S n＝﹣3n2＋2n＋1＋3(n﹣1)2﹣2n＋2﹣1﹣1＝﹣6n＋5,则＝＝(﹣2＋)＝﹣2＋0＝﹣2.故答案为：﹣2.9.(5分)若直线l：x＋y＝5与曲线C：x2＋y2＝16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1y2＋x2y1的值为16.【试题解答】解：直线l：x＋y＝5与曲线C：x2＋y2＝16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则：,所以：2x2﹣10x＋9＝0,则：x1＋x2＝5,,则：x1y2＋x2y1＝x1(5﹣x2)＋x2(5﹣x1),＝5(x1＋x2)﹣2x1x2,＝25﹣9,＝16.故答案为：16.10.(5分)设a1、a2、a3、a4是1,2,3,4的一个排列,若至少有一个i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立,则满足此条件的不同排列的个数为15.【试题解答】解：根据题意,a1、a2、a3、a4是1,2,3,4的一个排列,则所有的排列有A44＝24个,假设不存在i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立,则a1可以在第2、3、4位置,有3种情况,假设a1在第二个位置,则a1可以在第1、3、4位置,也有3种情况,此时a3、a4只有1种排法,剩余的两个数在其余两个位置,有1种情况,则不存在i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立的情况有3×3＝9种,则至少有一个i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立排列数有24﹣9＝15个；故答案为：15.11.(5分)已知正三角形ABC的边长为,点M是△ABC所在平面内的任一动点,若,则的取值范围为[0,6] .【试题解答】解：以A点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),C(,),∵,不妨设M(cosθ,sinθ),∴＋＋＝(﹣cosθ,﹣sinθ)＋(﹣cosθ,﹣sinθ)＋(﹣cosθ,﹣sinθ)＝(﹣3cosθ,﹣3sinθ),∴|＋＋|2＝(﹣3cosθ)2＋(﹣3sinθ)2＝9(2﹣cosθ﹣sinθ)＝18﹣18sin(θ＋),∵﹣1≤sin(θ＋)≤1,∴0≤18﹣18sin(θ＋)≤36,∴的取值范围为[0,6],故答案为：[0,6]12.(5分)双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象,关于此函数f(x)有如下四个命题：①f(x)是奇函数；②f(x)的图象过点或；③f(x)的值域是；④函数y＝f(x)﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为①②.【试题解答】解：双曲线关于坐标原点对称,可得旋转后得到的函数f(x)的图象关于原点对称,即有f(x)为奇函数,故①对；由双曲线的顶点为(±,0),渐近线方程为y＝±x,可得f(x)的图象的渐近线为x＝0和y＝±x,图象关于直线y＝x对称,可得f(x)的图象过点,或,由对称性可得f(x)的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；f(x)的图象按逆时针旋转60°位于一三象限,由图象可得顶点为点,或,不是极值点,则f(x)的值域不是；f(x)的图象按顺时针旋转60°位于二四象限,由对称性可得f(x)的值域也不是.故③不对；当f(x)的图象位于一三象限时,f(x)的图象与直线y＝x有两个交点,函数y＝f(x)﹣x有两个零点；当f(x)的图象位于二四象限时,f(x)的图象与直线y＝x没有交点,函数y＝f(x)﹣x没有零点.故④错.故答案为：①②.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)若数列{a n}(n∈N*)是等比数列,则矩阵所表示方程组的解的个数是()A.0个B.1个C.无数个D.不确定【试题解答】解：根据题意,矩阵所表示方程组为,又由数列{a n}(n∈N*)是等比数列,则有＝＝＝,则方程组的解有无数个；故选：C.14.(5分)“m＞0”是“函数f(x)＝|x(mx＋2)|在区间(0,＋∞)上为增函数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【试题解答】解：∵m＞0,∴函数f(x)＝|x(mx＋2)|＝|mx2＋2x|,∵f(0)＝0,∴f(x)在区间(0,＋∞)上为增函数”；∵函数f(x)＝|x(mx＋2)|＝|mx2＋2x|在区间(0,＋∞)上为增函数,f(0)＝0,∴m∈R,∴“m＞0”是“函数f(x)＝|x(mx＋2)|在区间(0,＋∞)上为增函数”的充分非必要条件.故选：A.15.(5分)用长度分别为2、3、5、6、9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接,不允许折断),组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的长方体的最大表面积为()A.258cm2B.414cm2C.416cm2D.418cm2【试题解答】解：设长方体的三条棱分别为a,b,c,则长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)≤(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2,当且仅当a＝b＝c时上式“＝”成立.由题意可知,a,b,c不可能相等,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,此时三边长为8,8,9,用2、6连接,3、5连接各为一条棱,第三条棱为9组成长方体,此时能够得到的长方体的最大表面积为2(8×8＋8×9＋8×9)＝416(cm2).故选：C.16.(5分)定义在R上的函数f(x)满足,且f(x﹣1)＝f(x＋1),则函数在区间[﹣1,5]上的所有零点之和为()A.4B.5C.7D.8【试题解答】解：∵函数,且f(x﹣1)＝f(x＋1),函数的周期为2,函数,的零点,就是y＝f(x)与y＝图象的交点的横坐标,∴y＝f(x)关于点(0,3)中心对称,将函数两次向右平移2个单位,得到函数y＝f(x)在[﹣1,5]上的图象,每段曲线不包含右端点(如下图),去掉端点后关于(2,3)中心对称.又∵y＝＝3＋关于(2,3)中心对称,故方程f(x)＝g(x)在区间[﹣1,5]上的根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)的交点横坐标,共有三个交点,自左向右横坐标分别为x1,x2,x3,其中x1和x3关于(2,3)中心对称,∴x1＋x3＝4,x2＝1,故x1＋x2＋x3＝5.故选：B.三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示的圆锥的体积为,底面直径AB＝2,点C是弧的中点,点D是母线PA的中点.(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.【试题解答】解：(1)∵圆锥的体积为,底面直径AB＝2,∴,解得PO＝,∴PA＝＝2,∴该圆锥的侧面积S＝πrl＝π×1×2＝2π.(2)∵圆锥的体积为,底面直径AB＝2,点C是弧的中点,点D是母线PA的中点.∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,∴以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,﹣1,0),P(0,0,),D(0,﹣,),B(0,1,0),C(1,0,0),＝(0,1,﹣),＝(﹣1,﹣,),设异面直线PB与CD所成角为θ,则cosθ＝＝＝,∴θ＝.∴异面直线PB与CD所成角为.18.(14分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)＝＋x＋150万元.(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【试题解答】解：(1)由总成本p(x)＝＋x＋150万元,可得每台机器人的平均成本y＝＝2.当且仅当,即x＝300时,上式等号成立.∴若使每台机器人的平均成本最低,应买300台；(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)＝,当1≤m≤30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60﹣m)＝﹣160m2＋9600m,∴当m＝30时,日平均分拣量有最大值144000.当m＞30时,日平均分拣量为480×300＝144000.∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件,则需要人数为人.∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少＝75%.19.(14分)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,),已知角φ的终边经过点,点M(x1,y1)、N(x2,y2)是函数f(x)图象上的任意两点,当|f(x1)﹣f(x2)|＝2时,|x1﹣x2|的最小值是.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)已知△ABC面积为,角C所对的边,,求△ABC的周长.【试题解答】解：(1)已知角φ的终边经过点,且,则：φ＝﹣,点M(x1,y1)、N(x2,y2)是函数f(x)图象上的任意两点,当|f(x1)﹣f(x2)|＝2时,|x1﹣x2|的最小值是.所以：ω＝,所以：；(2)由于：＝sin()＝,且0＜C＜π,解得：C＝,△ABC面积为,所以：,解得：ab＝20.由于：c2＝a2＋b2﹣2abcosC,c＝2,所以：20＝(a＋b)2﹣3ab,解得：a＋b＝4,所以：.20.(16分)设点F1、F2分别是椭圆(t＞0)的左、右焦点,且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为,点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点,且向量与向量平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当时,求△F1MN的面积；(3)当时,求直线F2N的方程.【试题解答】解：(1)点F1、F2分别是椭圆(t＞0)的左、右焦点,∴a＝t,c＝t,∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为,∴a﹣c＝t﹣t＝2﹣2,∴椭圆的方程为＋＝1,(2)由(1)可得F1(﹣2,0),F2(2,0),点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点,可设N(2cosθ,2sinθ),∴＝(2cosθ＋2,2sinθ),＝(2cosθ﹣2,2sinθ),∵,∴(2cosθ＋2)(2cosθ﹣2)＋4sin2θ＝0,解得cosθ＝0,sinθ＝1,∴N(0,2),∴＝(﹣2,2),∴k＝＝﹣1,∵向量与向量平行,∴直线F1M的斜率为﹣1,∴直线方程为y＝﹣x﹣2,联立方程组,解得x＝0,y＝﹣2(舍去),或x＝﹣,y＝,∴M(﹣,),∴|F1M|＝＝,点N到直线直线y＝﹣x﹣2的距离为d＝＝2,∴△F1MN的面积＝|F1M|•d＝××2＝,(3)∵向量与向量平行,∴λ＝,∴,∴(λ﹣1)||＝,即λ＞1,设M(x1,y1),N(x2,y2),∴λ(x1＋2)＝x2﹣2,y2＝λy1,∴x2＝λx1＋2(λ＋1)∵＋＝1,∴x22＋2y22＝8,∴[λx1＋2(λ＋1)]2＋2λ2y12＝12λ2＋8λ＋4＋4λ(λ＋1)x1＝8,∴4λ(λ＋1)x1＝(1﹣3λ)(λ＋1),∴x1＝＝﹣3,∴y12＝4﹣,∴||2＝(x1＋2)2＋y12＝(﹣3＋2)2＋4﹣＝,∴||＝,∴(λ﹣1)•＝,∴λ2﹣2λ﹣1＝0解得λ＝2＋,或λ＝2﹣(舍去)∴x1＝﹣3＝﹣3＝﹣1﹣,∴y12＝4﹣＝2﹣＝＝,∴y1＝,∴k＝＝﹣,∴直线F2N的方程为y﹣0＝﹣(x﹣2),即为x＋y﹣2＝021.(18分)设d为等差数列{a n}的公差,数列{b n}的前n项和T n,满足(n∈N*),且d＝a5＝b2,若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k＋3}(k∈N*,k ≥3),则称m具有性质P k.(1)请判断b1、b2是否具有性质P6,并说明理由；(2)设S n为数列{a n}的前n项和,若{S n﹣2λa n}是单调递增数列,求证：对任意的k(k ∈N*,k≥3),实数λ都不具有性质P k；(3)设H n是数列{T n}的前n项和,若对任意的n∈N*,H2n﹣1都具有性质P k,求所有满足条件的k的值.【试题解答】解：(1)(n∈N*),可得n＝1时,T1＋＝﹣b1＝﹣T1,解得b1＝﹣,T2＋＝b2＝﹣＋b2＋＝b2,T3＋＝﹣b3＝﹣＋b2＋b3＋,即b2＋2b3＝,T4＋＝b4＝﹣＋b2＋b3＋b4＋,即b2＋b3＝,解得b2＝,b3＝﹣,同理可得b4＝,b5＝﹣,b6＝,b7＝﹣,…,b2n﹣1＝﹣,d＝a5＝b2,可得d＝a1＋4d＝,解得a1＝﹣,d＝,a n＝,P6＝{x|a4＜x＜a9}(k∈N*,k≥3)＝{x|0＜x＜},则b1不具有性质P6,b2具有性质P6；(2)证明：设S n为数列{a n}的前n项和,若{S n﹣2λa n}是单调递增数列,可得S n＋1﹣2λa n＋1≥S n﹣2λa n,即为≥,化为4λ＋6≤2n对n为一切自然数成立,即有4λ＋6≤2,可得λ≤﹣1,又P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k＋3}(k∈N*,k≥3),且a1＝﹣,d＞0,可得P k中的元素大于﹣1,则对任意的k(k∈N*,k≥3),实数λ都不具有性质P k；(3)设H n是数列{T n}的前n项和,若对任意的n∈N*,H2n﹣1都具有性质P k,由于H1＝T1＝b1＝﹣,H3＝T1＋T2＋T3＝﹣,H5＝T1＋T2＋T3＋T4＋T5＝﹣, H7＝﹣＋0﹣＝﹣,…,H2n﹣1＝H2n﹣3＋b2n﹣1,(n≥2),当k＝3时,P3＝{x|a1＜x＜a6}＝{x|﹣＜x＜},当k＝4时,P4＝{x|a2＜x＜a7}＝{x|﹣＜x＜},当k＝5时,P5＝{x|a3＜x＜a8}＝{x|﹣＜x＜1},当k＝6时,P3＝{x|a4＜x＜a9}＝{x|0＜x＜},显然k＝5,6不成立,故所有满足条件的k的值为3,4.。
2018年上海市青浦区高考数学一模试卷及参考答案
，x∈[0，+∞）的
“逼进函数”； （2）求证：函数 g（x）＝ x 不是函数 f（x）＝（ ）x，x∈[0，+∞）的“逼进
函数” （3）若 g（x）＝ax 是函数 f（x）＝x+
，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求
a 的值．
第 4 页（共 19 页）
2018 年上海市青浦区高考一模数学试卷
参考答案与试题解析
为
．
10．（5 分）已知函数 f（x）＝
有三个不同的零点，则实数 a
的取值范围是
．
11．（5 分）已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，a1＝a2＝1，平面内三个不共线的向
量 ， ， ，满足 ＝（an﹣1+an+1） +（1﹣an） ，n≥2，n∈N*，若 A，
B，C 在同一直线上，则 S2018＝
PA＝AD＝2AB＝2，E 是 PB 的中点． （1）求三棱锥 P﹣ABC 的体积； （2）求异面直线 EC 和 AD 所成的角（结果用反三角函数值表示）．
第 2 页（共 19 页）
18．（14 分）已知抛物线 C：y2＝2px 过点 P（1，1）．过点（0， ）作直线 l 与
抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A，B，其中 O 为原点． （1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段 BM 的中点． 19．（14 分）如图，某大型厂区有三个值班室 A、B、C．值班室 A 在值班室 B 的正北方向 2 千米处，值班室 C 在值班室 B 的正东方向 2 千米处． （1）保安甲沿 CA 从值班室出发行至点 P 处，此时 PC＝1，求 PB 的距离； （2）保安甲沿 CA 从值班室 C 出发前往值班室 A，保安乙沿 AB 从值班室 A 出 发前往值班室 B，甲乙同时出发，甲的速度为 1 千米/小时，乙的速度为 2 千 米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为 3 千米（含 3 千米），试问有多长时间两人不能通话？
上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学---精校解析Word版
2018年上海市崇明县高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合，若，则_____．【答案】【解析】因为集合，且，所以，故答案为.2. 抛物线的焦点坐标为_____．【答案】【解析】抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为.3. 不等式的解是_____．【答案】【解析】由可得，，所以不等式的解是，故答案为. 4. 若复数满足为虚数单位），则_____．【答案】【解析】试题分析：因为，所以本题也可设，因为由复数相等得：考点：复数的四则运算．5. 在代数式的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）【答案】【解析】展开式的通项为，令，得，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6. 若函数的最小正周期是，则_____．【答案】【解析】因为函数的最小正周期是，所以，解得，故答案为.7. 若函数的反函数的图象经过点，则_____．【答案】【解析】函数的反函数的图象经过点，所以，函数的图象经过点，，，故答案为.8. 将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为，则该几何体的侧面积为_____．【答案】【解析】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，设正方体的边长为，则，解得该圆柱的侧面积为，故答案为.9. 已知函数是奇函数，当时，，且，则_____．【答案】【解析】是奇函数，且当时，，，解得，故答案为.10. 若无穷等比数列的各项和为，首项，公比为，且，则_____．【答案】【解析】无穷等比数列的前项和为，首项为，公比，且，，或，或，，故答案为.11. 从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答）【答案】12. 在中，边上的中垂线分别交于点．若，则_____．【答案】【解析】设，则，，又，即，故答案为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13. 展开式为的行列式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,错误；，正确; ，错误；，错误，故选B.14. 设，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，当时，不成立，根据对数函数的定义，可知真数必需大于零，故不成立，由于正弦函数具有周期性和再某个区间上为单调函数，故不能比较，故不成立，根据指数函数的单调性可知，正确，故选D.15. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，，充分性成立，若“”则，必要性成立，所以“”是“”的充分必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过等差数列前项和的基本量运算，主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.16. 直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，若为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，双曲线渐近线方程为，联立直线，解得不妨设，，，为双曲线上的任意一点，，，时等号成立），可得，故选C.【方法点睛】本题主要考查双曲线的的渐近线、向量相等的应用以及平面向量的坐标运算、不等式的性质，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，解答本题的关键是根据坐标运算．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 如图，长方体中，与底面所成的角为.（1）求四棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（1）先证明是与底面所成的角，可得，利用棱锥的体积公式可得结果；（2）由，可得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理可得结果．试题解析：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与 B1D1所成角是arccos．..................18. 已知．（1）求的最大值及该函数取得最大值时的值；（2）在中，分别是角所对的边，若，且，求边的值．【答案】(1)，；（2）.【解析】试题分析：（1）跟据二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式可得，根据正弦函数的图象与性质可得结果；（2）由，得，结合三角形内角的范围可得或，讨论两种情况分别利用余弦定理可求出边的值.试题解析：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19. 2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为第 1 年，为第 1 年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为该项目赢利．（1）试求的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【答案】(1)；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第年的累计投入为（千万元），第年至此后第年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出. 试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点分别是，直线与椭圆交于两点．（1）若为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求的值；（2）若，且是以为直角顶点的直角三角形，求与满足的关系；（3）若，且，求证：的面积为定值．【答案】(1)或；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据为等腰直角三角形，可得，两种情况讨论，可得的值为或；（2）当时，，设，由，即，由韦达定理及平面向量数量积公式可得结果；（3）由可得，结合韦达定理可得，根据以上结论，利用三角形面积公式化简即可得结论.试题解析：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，∴S△OAB=|AB|d==•==1.【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、韦达定理以及平面向量数量积公式、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”．（1）若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；（2）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数,都有．【答案】(1)；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）不妨设，则恒成立．，从而可得结果；（2）令，则，从而可得函数不是“利普希兹条件函数”；（3）设的最大值为，最小值为，在一个周期，内，利用基本不等式的性质可证明.试题解析：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。
上海市浦东新区达标名校2018年高考五月适应性考试数学试题含解析
上海市浦东新区达标名校2018年高考五月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线222:1(0)3-=>y xCaa的一个焦点与抛物线28x y=的焦点重合，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．3 D．42．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A．18种B．36种C．54种D．72种3．已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（设点A位于第一象限），过点A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点1A，1B，抛物线C的准线交x轴于点K，若11||2||A KB K=，则直线l的斜率为A．1 B．2C．22D．34．设不等式组20xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y，则P点的坐标满足不等式222x y+≤的概率为A．π8B．π4C．12π+D．2π+5．已知二次函数2()f x x bx a=-+的部分图象如图所示，则函数()'()xg x e f x=+的零点所在区间为（）A．(1,0)-B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)6．已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为43y x=，则双曲线的离心率为（）A．43B．53C．54D．327．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n===-，若()a c b-⊥，则n等于（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭9．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 10．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．111．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 12．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市徐汇区达标名校2018年高考五月调研数学试卷含解析
上海市徐汇区达标名校2018年高考五月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4± B ．4C ．2±D ．23．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．154．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能5．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>6．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．2747．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4B ．8C ．9D ．278．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-9．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C与圆22:(3C x y +='交于M,N 两点,若||MN =,则MNF 的面积为( )AB ．38C．8D．410．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年上海市高考理科数学第五次模拟考试试题
2018年上海市高考理科数学第五次模拟考试试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第I 卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题 每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖2. =---+++∞→12)12(31lim2n n n n A. 21 B.2 C.23 D. 323.若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2,则双曲线12222=-ax b y 的离心率为A ．223 B ．2 C ．2 D ．332 4. 设10<<<a b ，则下列不等式中成立的是A ．12<<ab aB ．0log log 2121<<a bC ．12<<b ab D ．222<<ab5．集合},3{2R x x y x A ∈-==，},1{2R x x y y B ∈-==，则A B =A.{(B.{1z z ≤≤C.{1z z -≤≤D.{0z z ≤≤6.设a R ∈，若函数3,axy e x x R =+∈有大于零的极值点，则( )A ．a ＞-3B ．a ＜-3C ．a ＞13-D ．13a <- 7. =---+++∞→12)12(31lim2n n n nA. 21B.2C.23D. 328.若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2,则双曲线12222=-ax b y 的离心率为A ．223 B ．2 C ．2 D ．332 9. 设10<<<a b ，则下列不等式中成立的是A ．12<<ab aB ．0log log 2121<<a bC ．12<<b ab D ．222<<a b10．设P 为ABC ∆所在平面内一点，且025=--，则PAB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为A ．15 B ．25 C ．14 D ．53 11. 从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A ．12 B ．35C ．012. 已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数,且)()(x f x f '<对于R x ∈恒成立,则A. )0()2(2f e f ⋅>, )0()2009(2009f ef ⋅> B. )0()2(2f e f ⋅<, )0()2009(2009f e f ⋅> C. )0()2(2f e f ⋅>, )0()2009(2009f ef ⋅<D.)0()2(2f e f ⋅<, )0()2009(2009f ef ⋅<第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 把答案填在题中横线上 13.已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则11()()42x yz =⋅的最小值为________.14. 表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ． 15. 二项式6(x+的展开式中的常数项为________.(结果用数值作答).16. 如果一个函数的图象关于直线0x y -=对称,则称此函数为自反函数. 使得函数23x by x a+=-为自反函数的一组．．实数,a b 的取值为________ 三、解答题：本大题共6小题，共74分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本题满分12分）已知函数()2sin()184f x x ππ=++. （Ⅰ）在所给的坐标纸上作出函数(),[2,14]y f x x =∈-的图象(不要求写出作图过程). （Ⅱ）令)()()(x f x f x g -+=，x R ∈.求函数)(x g y =的图象与x 轴交点的横坐标.18. (本题满分12分) 按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动).该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示． （I ）求该班学生参加活动的人均次数x ；（II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率0P ．（III ）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．（要求：答案用最简分数表示）19．（本题满分12分）如图所示，在矩形ABCD 中，22==AB AD ，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到EC D '∆的位置，使二面角B EC D --'是直二面角. （Ⅰ）证明：D C BE '⊥；（Ⅱ）求二面角E BC D --'的正切值.123520. （本题满分12分）已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点B 恰好是抛物线y =41x 2的焦点，离心率等于22.直线l 与椭圆Γ交于N M ,两点. （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；(Ⅱ) 椭圆Γ的右焦点F 是否可以为BMN ∆的垂心？若可以,求出直线l 的方程；若不可以,请说明理由.21.（本题满分12分）设函数a t at t f -+=221)(的定义域为]2,2[，记函数)(t f 的最大值为)(a g .（Ⅰ）求)(a g 的解析式;（Ⅱ）已知1()()g a g a>,试求实数a 的取值范围.22. （本题满分14分）已知正项数列{}n a 满足对一切*∈N n ,有233231n n S a a a =+++ ，其中n n a a a S +++= 21. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 求证: 当*N n ∈时, 3ln )11ln(<+nn a a .2018年上海市高三第五次模拟考试数学理答案二.填空题 13.161.; 14. 3; 15. 15; 16. 2a =,b 可以填写任意实数三、解答题 17．（Ⅰ）(Ⅱ)1)48sin(21)48sin(2)()()(++-+++=-+=ππππx x x f x f x g28cos 222)48sin(2)48sin(2+=+--+=x x x πππππ由028cos22)(=+=x x g π得228cos-=x π,从而πππk x 2438+±=,即 Z k k x ∈±=,616.所以,函数)(x g y =与x 轴交点的横坐标为Z k k ∈±,616.12分18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20． （I ）该班学生参加活动的人均次数为x =1023501155*********==⨯+⨯+⨯． 3分 （II ）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为4920250220225250=++=C C C C P ． 6分 （III ）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知4925)()()1(25012012525012515=+=+==C C C C C C B P A P P ξ； 8分 494)()2(25012015====C C C C P P ξ. 10分ξ的分布列：ξ的数学期望：49492491490=⨯+⨯+⨯=ξE ． 12分19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E 是AD 的中点，∴△BAE ，△CDE 是等腰直角三角形， 易知，∠BEC=90°，即BE ⊥EC又∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，面D ′EC ∩面BEC=EC ， ∴BE ⊥面D ′EC ，又CD ′⊂面D ′EC ，∴BE ⊥CD ′ 6分 （Ⅱ）法一：设M 是线段EC 的中点，过M 作MF ⊥BC 垂足为F ，连接D ′M ，D ′F ，则D ′M ⊥EC ∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，∴D ′M ⊥平面EBC ， ∴MF 是D ′F 在平面BEC 上的射影，由三垂线定理得：D ′F ⊥BC ，∴∠D ′FM 是二面D ′—BC —E 的平面角.在Rt △D ′MF 中，2121,2221===='AB MF EC M D 。
上海市金山区达标名校2018年高考五月适应性考试数学试题含解析
上海市金山区达标名校2018年高考五月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ．22B ．2C ．223D ．234．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．55．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．22C ．6D ．236．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-7．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交 8．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A 2B ．2C 10D ．109．已知函数()f x 满足(4)17f =，设00()f x y =，则“017y =”是“04x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．711．已知2cos(2019)πα+=，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-12．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市静安区达标名校2018年高考五月调研数学试卷含解析
上海市静安区达标名校2018年高考五月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若()*13n x n N x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22aaa x dx --=⎰（ ） A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π2．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要4．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22B ．2C ．4D ．35． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2kπ＋45°(k ∈Z)B ．k·360°＋π(k ∈Z)C ．k·360°－315°(k ∈Z)D ．kπ＋(k ∈Z)6．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．857．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 58．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．9．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π36010．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2π C ．πD ．32π 11．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ） A 3B ．12C ．34D ．7412．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ） A ．y x =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+D ．1y x =+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市2018届高三5月高考模拟练习(三)数学试题(解析版)
2018年高考数学模拟练习3一、填空题.1. 向量在向量方向上的投影为____________.【答案】.【解析】【分析】根据投影的计算公式进行计算.【详解】向量在向量的投影为，填.【点睛】一般地，向量在向量的投影为，而的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积.2. 已知正数满足，则行列式的最小值为____________.【答案】3.【解析】【分析】行列式为，利用基本不等式可求最小值.【详解】.又，所以，当且仅当时等号成立，故，当且仅当取最小值，即的最小值为，填.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.3. 阅读下边的程序框图，如果输出的函数值在区间，内，则输入的实数的取值范围是____________.【答案】.【解析】试题分析：流程图表示函数，因为输出的函数值在区间内，所以考点：流程图4. 设是一元二次方程的两个虚根，若，则实数____________.【答案】4.【解析】【分析】求出方程的两个虚根，计算它们的乘积的模可得的值.【详解】，因为方程有两个虚根，所以.又原方程可化为，故两虚根为，两个虚根为共轭复数，故，故，填.【点睛】对于实系数的一元二次方程，当时，方程有两个虚根且它们是一对共轭复数满足.5. 集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是____________.【答案】.【解析】【分析】由是充分条件得，故可求的取值范围.【详解】，当时，，因为“”是“”的充分条件，所以，故.填.【点睛】在充分条件和必要条件的判断中，注意数学语言叙述上的差异，比如：是的充分条件指若则是真命题，而的充分条件是则是若则是真命题.6. 已知椭圆的焦点在轴上，一个质点为，其右焦点到直线的距离为3，则椭圆的方程为_____________.【答案】.【解析】试题分析：据题意，椭圆方程是标准方程，，右焦点为，它到已知直线的距离为，，所以，椭圆方程为.考点：椭圆的标准方程.7. 在中，所对边分别为，若，则____________.【答案】.【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得，解出即可.【详解】由正弦定理可得，故，通分得到，.因为，所以，故即.因为，故，填.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.8. 已知数列的首项，其前项和为，若，则____________.【答案】.【解析】【分析】先求出的通项，再求的通项.【详解】因为，所以.因为，故，所以，是等比数列，公比为，首项为，故，所以.填.【点睛】一般地，与之间的关系是，我们常常用这个关系实现与之间的转化.9. 某地球仪上北纬纬线长度为，该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为____________ (精确到0.01)【答案】6.21.【解析】【分析】先根据北纬的纬线长为得到地球仪的半径及的长度，再利用余弦定理算出球心与连线的夹角的余弦值，利用弧长公式可求球面距离.【详解】设地球仪的球心为，因为北纬的纬线长为，纬线所在的小圆的半径为，所以.又地球仪的半径为，所以，所以之间的球面距离为.【点睛】对于球面上两点间的球面距离的计算，关键是球心与两点的连线的夹角的大小计算，可利用纬线长、纬度及两点所在的经度计算的长度，再利用余弦定理算出的大小.10. 已知直线与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点，若，则实数____________.【答案】.【解析】【分析】直线过点，抛物线的准线为，根据抛物线几何性质可知到准线的距离与到准线的距离之比为，故而为的中点，设，则可求的坐标，从而得到的值.【详解】设，为抛物线的准线方程，过点分别作准线的垂线，垂足为，则，，所以，所以.设，则，故，解得，故.填.【点睛】圆锥曲线中与焦点或准线有关的问题，可以考虑利用其几何性质来处理.如抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离，椭圆上的点到一个焦点的距离可以转化到另一个焦点的距离，也可以转化到相应准线11. 将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称，若的最小值为，且，则实数的取值范围为____________.【答案】.【解析】试题分析：首先应求出的表达式，曲线对应的函数式为，曲线与关于轴对称，因此的函数解析式为，向上平移2个单位，就是函数的图象，则.，其最小值大于，说明函数的最小值大于.下面观察函数，若，则当时，，无最小值，同理当时，时，，无最小值，因此，，当且仅当时等号成立，即最小值为，从而，解得.考点：图象的变换，函数的最小值，解不等式.12. 已知“”为“”的一个全排列，设是实数，若“”可推出“或”则满足条件的排列“”共有_______个.【答案】224.【分析】中有1和6，分同在或和不同在或两种情况分类讨论即可.【详解】如果为或为，则余下4个元素无限制，共有种，如果中有1，有6，则共有种，如果中有6，有1，则共有种，综上，共有种，填.【点睛】对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑．二、选择题.13. 函数的反函数是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】对给定的函数反解（用表示）即可得到反函数．【详解】令，因，故且，因，故，所以反函数为，其中，故选D．【点睛】求给定函数的反函数，只需反解后互换即得反函数，注意反函数的定义域就是原函数的值域且反解时注意自变量的范围．14. 直线的法向量是，若，则直线的倾斜角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设为直线的倾斜角，则根据法向量可得方向向量为，故斜率为，由知，因此可用反三角函数表示倾斜角．【详解】直线的方向向量为，所以其斜率为．设其倾斜角为，则．又，所以，故且，故选B．【点睛】用反三函数表示角时，要注意反三角函数值角的范围：如，，，也要注意所要表示的角的范围，如本题中直线的方向向量若为且，因倾斜角的范围为，故直线的倾斜角为．15. 已知是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是( )A. 0B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：记单位圆的圆心为，由于，则与同向，，，可见最小值为，(时，取得最小值)．选C．考点：向量的数量积．16. 已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:(1)成等差数列，也可能成等比数列；(2)成等差数列，但不可能成等比数列；(3)可能成等比数列，但不可能成等差数列；(4)不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.正确的是( )A. (1)(3)B. (1)(4)C. (2)(3)D. (2)(4)【答案】D【解析】试题分析：根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，，，故(3)错误，(4)正确．即填(2)(4)．考点：等差数列的前项和，等差数列与等比数列的定义．三、解答题.17. 在直三棱柱中，，，.求:(1)异面直线与所成角的大小；(2)直线到平面的距离.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）或其补角就是异直线与所成角，我们可证为直角三角形且，故可得异面直线所成角的大小.（2）先计算，再利用等积法求到平面的距离，它就是直线到平面的距离.【详解】(1)因为，所以 (或其补角)是异直线与所成角.因为，，，所以平面，所以.中，，所以，所以异面直线与所成角的大小为.(2)因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，设到平面的距离为，因为，，可得，直线与平面的距离为.【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.18. 已知，其中是常数.(1)若是奇函数，求的值；(2)求证：的图像上不存在两点，使得直线平行于轴.【答案】(1).(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用可计算的值.（2）可证为上的增函数.【详解】(1)设定义域为，因为是奇函数，所以对任意,有，整理得，故.此时，，为奇函数.(2)若，则，若，则，若，则，设定义域内任意，设，..当时，总有，，得；当时，，得；当时，，，，，得，故总有在定义域上单调递增，所以总有在定义域上单调递增.的图像上不存在两点,使得所连的直线与轴平行.【点睛】求奇函数或偶函数中参数的取值，我们可以利用恒等式或来求.特别地，如果奇函数处有定义，则可利用来求参数的值（注意检验）.19. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.(1)试用表示的面积；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.【答案】(1)，.(2) 时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【解析】【分析】（1）注意到，从而的周长为，故，所以，注意.（2）令，则，根据可求最大值.【详解】(1)设为,，，，，(2)令,只需考虑取到最大值的情况,即为，当,即时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【点睛】如果三角函数式中仅含有和，则可令后利用把三角函数式变成关于的函数，注意换元后的范围.20. 已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，求证:.【答案】(1).(2).(3)见解析.【解析】【分析】（1），根据可得，利用双曲线的定义可得从而得到双曲线的方程. （2）设点，利用渐近线的斜率可以得到夹角的余弦为，利用点在双曲线上又可得为定值，故可得的值.（3）设，切线的方程为:，证明等价于证明，也就是证明，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明.【详解】(1)设的坐标分别为,因为点在双曲线上,所以,即,所以，在中,,,所以，由双曲线的定义可知:，故双曲线的方程为:.(2)由条件可知:两条渐近线分别为；.设双曲线上的点,设的倾斜角为，则，又，所以，故，所以的夹角为，且.点到两条渐近线的距离分别为，.因为在双曲线上,所以，所以.(3)由题意,即证:,设,切线的方程为:.时,切线的方程代入双曲线中,化简得:(，所以，.又，所以.时,易知上述结论也成立.所以.综上,,所以.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于，则（通径）.（2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有或，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.21. 等差数列和等比数列中，，，是前项和.(1)若，求实数的值；(2)是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中?若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；(3)是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中?若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1).(2) 所有的符合题意的.(3) .【解析】 试题分析：(1)数列是等比数列，其前和的极限存在，因此有公式满足，且极限为；(2)由于是正整数，因此可对按奇偶来分类讨论，因此当为奇数时，等比数列的公比不是整数，是分数，从而数列从第三项开始每一项都不是整数，都不在数列中，而当为偶数时，数列的所有项都在中，设，则，展开有，这里用到了二项式定理，，结论为真；(3)存在时只要找一个，首先不能为整数，下面我们只要写两数列的通项公式，让，取特殊值求出，如取，可得，此时在数列中，由于是无理数，会发现数列除第一项以外都是无理数，而是整数，不在数列中，命题得证，(如取其它的又可得到另外的值)．试题解析：（1）对等比数列，公比．因为，所以． ２分解方程， ４分得或． 因为，所以． ６分（2）当取偶数时，中所有项都是中的项． 8分证: 由题意：均在数列中，当时，说明的第n项是中的第项．10分当取奇数时，因为不是整数，所以数列的所有项都不在数列中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海市2018届高三5月高考数学模拟练习（一）第Ⅰ卷一.填空题1.幂函数()y f x =的图像经过点14,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________ 2.已知4cos 5α=，则πcos 2sin(π)2π2tan(π)cot 2αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭__________ 3.计算：2211lim ()12→∞⎡⎤--=⎢⎥++⎣⎦n n nn n __________4.已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为__________5.已知、+∈x y R ，且1941,x y x y+=+的最小值为__________ 6.等差数列{}n a 12a =，1015S =，记2482n n B a a a a =+++，则当n =__________时，n B 取得最大值7.函数arcsin(1)arccos(2)y x x =-+的值域是__________ 8.设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，则1a d +=__________9.已知函数2318,3()(3x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记*()()=∈n a f n n N ，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是__________10.已知()sin 2cos2(,f x a x b x a b =+为常数），若对于任意∈x R 都有5π()12⎛⎫≥ ⎪⎝⎭f x f ，则方程()0f x =在区间[]0,π内的解为__________11.函数()()∈g x x R 的图像如图所示，关于x 的方程[]2()()230g x m g x m +⋅++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是__________12.已知无穷数列{}n a 具有如下性质：①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，*1(2,)>≥∈n a k k N ，则首项1a 可取数值的个数为__________第Ⅱ卷二.选择题13.函数22log x y x =+的零点在区间( )内 A. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭ B. 12,35⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.21,52⎛⎫⎪⎝⎭D. 12,23⎛⎫⎪⎝⎭14.已知a b 、为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件15.如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的中点，则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM 的面积y 的函数()y f x =的图像的形状大致是下图中的( )A. B.C. D.16.集合*{(,,)|,,=∈S x y z x y z N ，且x y z y z x z x y <<<<<<、、恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈，则下列选项正确的是( )A. (),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉B. (),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈C. (),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉ 三.解答题 （解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.） 17.已知集合21|1,1-⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭x A x x x R ，集合{}|||1,=-≤∈B x x a x R . (1)求集合A ； (2)若=B C A B R ,求实数a 的取值范围.18.cos 0.5sin 0(0)1cos A x A A x A x>1121312M M -+， 记函数1121()f x M M =+，且()f x 的最大值是4. (1)求A ；(2)将函数()y f x =的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域.19.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点. A B C 、分别表示钓鱼岛.南小岛.黄尾屿，点C 在点A 的北偏东47方向，点B 在点C 的南偏西36方向，点B 在点A 的南偏东79方向，且A B 、两点的距离约为3海里.(1)求A C 、两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在A 点处因故障抛锚发出求教信号.一艘R 国舰艇正从点C 正东10海里的点P 处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P C A →→ (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点A 南偏西60方向20海里的点Q 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M 处，再折向点A 直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R 国舰艇赶到进行救助?说明理由.20.已知无穷数列{}a n 前n 项和为n S ，且满足2n n a S Aa Ba C =++，（A B C 、、是常数）.(1)若0,3,2A B C ===-，求数列{}n a 的通项公式； (2)若111,,216A B C ===，且0n a >，求数列{}n a 的前n 项和n S ； (3)试探究A B C 、、满足什么条件时，数列{}n a 是公比不为-1的等比数列.21.已知函数2()log ()f x x a =+. (1)若10(12)()2f x f x <--<，当1a =时，求x 的取值范围； (2)若定义在R 上奇函数()g x 满足(2)()g x g x +=-，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 在[]3,1--上的反函数()h x ；(3)对于(2)中的()g x ，若关于x 的不等式232()1log 382xx t g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.【参考答案】一.填空题 1.2 2.125 3.3 4.-2 5.25 6.4 7.π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.349.5,43⎛⎫ ⎪⎝⎭10.π6=x 或2π3=x 11.34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦12.22k - 二.选择题13.C 14.B 15.A 16.B 三.解答题 17.解：(1)由2111x x -≤+，得201x x -≤+ 所以(]1,2A =- (2)(](),12,-∞-+∞C A R []1,1B a a =-+ 由=BC A B R ，得⊆B C A R所以11a +≤-或12a -> 所以a 的范围为(](),23,-∞-+∞18.解：(1)11sin 0sin cos 1cos A x M A x x x==，221cos cos 221cos AA x A M A x x=-=-+π()sin 2cos 2)224=-=-A A f x x x x，max 4f ==，所以A =(2)向左移π12得π4sin(2)12=-y x ，横坐标变为原来2倍得π()4sin()12=-g x x 因为π11π,1212⎛⎫∈-⎪⎝⎭x ，所以ππ5π,1266⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭x ，所以(]π()4sin 2,412⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭g x x19.解：(1)求得11CAB ∠=,115ABC ∠=，由14.25sin11sin115AB ACAC =⇒≈海里(2)R 国舰艇的到达时间为：14.25101.3518+≈小时在AQM 中，222240064cos602320AQ MQ AM AM AQ MQ +-+-==⋅⋅ 得17.44AM ≈海里，所以渔政船的到达时间为：17.4481.1622+≈小时. 因为1.16 1.35<，所以渔政船先到，答：渔政船能先于R 国舰艇赶到进行救助. 20.解：(1)由32n n S a =-，得11a =；当2n ≥时，1133n n n n n a S S a a --=-=-，即132n n a a -=，所以132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)由211216n n n S a a =++，得211111216a a a =++，进而114a =，当2n ≥时，221111122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+- 得()11102n n n n a a a a --⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，因为0n a >，所以112n n a a --=， 进而2(1)444n n n n n S -=+= (3)若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，①当1q =时，11,n n a a S na ==由2n n n S Aa Ba C =++，得2111na Aa Ba C =++恒成立.所以10a =，与数列{}n a 是等比数列矛盾； ②当1,0q q ≠±≠时，11n n a a q -=，1111n n a aS q q q =---， 由2n n n S Aa Ba C =++恒成立，得2211112011n n a a a aA qB qC q q q q ⎛⎫⨯⨯+⨯-⨯++= ⎪--⎝⎭对于一切正整数n 都成立，所以0,11q A B q ==≠-或12或0,0C ≠事实上，当0A =,1B ≠或12或0,0C ≠时，n n S Ba C =+ 101C a B =≠-，2n ≥时，11n n n n n a S S Ba Ba --=-=-，得101n n a Ba B -=≠-或-14 所以数列{}n a 是以1C B -为首项，以1BB -为公比的等比数列. 21.解：(1)原不等式可化为2210log (22)log (1)2x x <--+<所以2211x x -<<+220x ->10x +>得133x -<< (2)因为()g x 是奇函数，所以(0)0g =，得1a =①当[]3,2x ∈--时，[]220,1()(2)(2)log (1)x g x g x g x x --∈=-+=--=--此时[]()0,1g x ∈，()21g x x =--，所以[]()21(0,1)x h x x =--∈②当[]2,1x ∈--时，[]20,1x +∈，2()(2)log (3)g x g x x =-+=-+此时[]()1,0g x ∈-，()23g x x -=-，所以[]()23(1,0)xh x x -=-∈-综上，()g x 在[]3,1--上的反函数为[][]21,0,1()23,1,0x x x h x x -⎧--∈⎪=⎨-∈-⎪⎩(3)由题意，当[]0,1x ∈时，()2()log 1g x x =+，在[]0,1上是增函数，当[]1,0x ∈-，2()()log (1)g x g x x =--=--，在[]1,0-上也是增函数， 所以()g x 在[]1,1-上是增函数，设1213x x ≤<≤，则121221x x -≤-<-≤由12(2)(2)g x g x -<-，得12()()g x g x > 所以()g x 在[]1,3上是减函数，由()g x 的解析式知215()()1log 322g g -==- 设3211828(12)8x x xt t u +-+==-++ ①当1t >-时，1,88t u ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，因为5()()2g u g >，所以582t ≤，即120t -<≤； ②当1t =-时，18u =-，满足题意；③当1t <-时，1,88t u ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，因为1()()2g u g >-，所以182t ≥-，即41t -≤<- 综上，实数t 的取值范围为[]4,20-。