2011-2012学年第一学期高等数学A试卷(A卷)答案

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高等数学A上期末考试题A卷附标准答案

中国传媒大学
2010─2011学年第一学期期末考试试卷
A 卷参考答案及评分标准
考试科目：高等数学
A 上考试班级：2010电气信息类、光电、游戏考试方式：闭卷
命题教师：梁瑞梅一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共4小题，每题4分，共16分）
1．已知当0x
时，1)1(312ax 与x cos 1是等价无穷小，则常数a 。

答案：23a
2．2122
)0(cos 21cos cos t t udu u t
t y t x ，则dx dy 。

答案：
t dx dy
3．微分方程0)4(2dy x x ydx
的通解为。

答案：Cx y x
4)4(4．e
x x dx 12)ln 2(。

答案：22arctan 2
1I 二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共4小题，每题4分，共16分）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

1．如果0),1(0,)(2x
x b x
e x
f ax 处处可导，则（ B ）。

1)(b a A ；1,0)(b a
B ；0,1)(b a
C ；1,2)(b a
D 。

2．函数)(x f y 在0x x 处连续，且取得极大值，则)(x f 在0x 处必有（ C ）。

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

（2010至2011学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷)考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项：1、满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

高等数学（上）期末试题（A卷）

第 1 页共 4 页北京师范大学珠海研究院专业教育中心2011-2012学年第一学期期末考试（A 卷）开课单位：__专业教育中心____ 课程名称：_高等数学（上）_____ 任课教师：_ ___ 考试类型：_ 闭卷 _ 考试时间：__ 120 _分钟专业 _____ 姓名___________ 学号______________ 班级____________ 题号一二三总分得分阅卷人试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）一.填空题（每题3分，共30分）1.设'()f x 存在，则()()limh f x h f x h®+-=；2.2.给定抛物线给定抛物线22y x x =-+，则过点（1,2）的切线方程为；3. 已知函数2()23f x x x =--在区间3[1,]2-上满足罗尔定理的所有条件，则满足定理的数值x = ；4.设sin(21)y x =+，则dy = ；5.求函数()xf x e =的n 阶导数，()()x ne =； 6.6.设某产品的收入函数设某产品的收入函数32()310R x x x =-+，则其边际收入函数'()R x = ； 7.如果()f x 在点0x 处可导，且在0x 处取得极值，则0'()f x = ； 8.设函数11y x =-，则它的铅直渐近线为则它的铅直渐近线为； 9.设()F x 是()f x 的原函数，则()f x dx =ò ；10. 2[(1)]'x dx +=ò.订线二.计算题（每题5分，共30分）11. 设210(sin )y x x =+，求dy dx . 12.0cos 1lim x x x®-13. 232lim1x x x x ®¥++14. 111lim()ln 1x xx ®--15. 121dx x +ò16. ln x xdx ò三、解答题（共40分）17. 求由方程ln 1xy y +=所确定的函数()y y x =的导数'y .（10分）分）18.某煤炭公司每天生产x 吨煤的总成本函数2()20004500.02C x x x =++，若每吨煤的售价为490元，求：（1）边际成本函数'()C x （5分）；（2）利润函数()L x （5分）；（3）边际利润函数'()L x （5分）19.求函数43()41f x x x=-+的单调区间、凹凸区间、极值、极值点及拐点.（15分）分）。

物理11级高等数学第一学期期末试题答案(A)

第 1 页共 2 页陇东学院2011——2012学年第一学期物电学院非物理学专业高等数学课程期末试题答案(A)一、选择题（每小题2分，共20分）.1．若函数()y f x =在点0x 处连续，则0lim ()x x f x →（ B ）A .不存在；B .等于0()f x ；C .存在但不等于0()f x ；D .不确定.2. 1lim (1)xx x→∞-=（ D ）A .１；B .e ；C .∞；D ．1e.3. =∞→xx x sin lim（ B ）A .1；B .0；C .∞；D .不存在但不为∞.4．下列说法正确的是（ C ）A .有界数列必收敛；B .单调数列必收敛；C .收敛数列必有界；D .发散数列必无界.5. 若函数()sin f x x =，则()f x 在点0x =处（ A ）A .连续但不可导；B .连续且可导；C .可导但不连续；D .不连续也不可导.6．若函数()f x 在区间[],a b 上连续,在区间(,)a b 内可导,则在区间(,)a b 内至少存在一点ξ, 使得()f ξ'= ( C )A ．0；B ．1；C .()()f b f a b a--； D .()()f b f a -7. 下列各式正确的是( A )A .()()f x dx f x C '=+⎰； B .22()()x a df x dx f x dx=⎰； C .()()x ad f x dx f x dx'=⎰； D .()()bad f x dx f x dx=⎰8.121arctan 1x dx x-=+⎰( D ）A .2π； B .4π； C . 2； D . 0 .9．若0()0f x '=，0()0f x ''>，则0x 为函数()f x 的 ( A )A . 极小值点；B .极大值点；C .非极值点；D . 不一定是极值点.10．若广义积分1padx x+∞⎰收敛，则（ B ）A .1p ≤；B .1p >；C .0p ≤；D .01p <<．二、填空题（每小题３分，共1５分）.11．420sin xdx π=⎰316π；12．设2ln(1)y x =+, 则微分dy =221x dx x+；13．曲线22tx t y e⎧=⎨=⎩在1t =相应的点处的切线方程y ex e =+； 14. 函数xy e =的n 阶麦克劳林公式为231()1!2!3!!nxnx xxxe o x n =+++++；15．微分方程2dy xy dx=的通解2xy Ce=．三、计算题（每小题5分，共４０分）.16．解：32322111323363limlimlim6221321x x x x x x x x x x x x x →→→-+-===---+--；或3232211132(1)(2)23limlimlim121(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→→-+-++===+--+-+17．解：22cos limlim cos 1x x x t dt x x→→==⎰；试卷密封装订线院系班级姓名学号第 2 页共 2 页18．解：两端取对数 ln sin ln y x x =，再求导1cos ln sin y x x x yx'=+，得 sin sin (cos ln )x x y x x x x'=+19．解：两端求导 0y e y y xy ''++=，从而yy y x e'=-+20．解：21143()(2)(3)3256x x dx dx dx x x x x x x ++==------+⎰⎰⎰=434ln(3)3ln(2)32dxdxx x x x -=-----⎰⎰21．解：22ln ln (sin cos )sin cos x x x x dx dx x xdx xx+=+⎰⎰⎰22311ln (ln )sin (sin )ln sin 23xd x xd x x x C =+=++⎰⎰22．解：11111000222222ttt tt te dt tee dt e e=-=-=⎰⎰⎰23．解：2111arctan lim arctan arctan 12441x dx x x xπππ+∞+∞→+∞==-=-=+⎰四、应用题(共２0分)24．讨论函数1y x x=+的性态，描绘函数图象.（８分）解：(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，函数是奇函数 221x y x-'=， 32y x''=，令0,0y y '''==，得1x =±1lim lim ()x x y x x→→=+=∞ ∴有铅直渐近线0x =又21limlim (1)1x x y k xx→→==+= ，1lim ()lim ()0x x b y kx x x x→∞→∞=-=+-=∴有斜渐近线y x =25．求抛物线2y x =与直线1x =所围平面图形的面积A 以及此图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积V ．（６分）解：13124433A x ===⎰，11222V xdx xπππ===⎰26．求二阶常系数齐次微分方程230y y y '''--=的通解．（６分）解：特征方程2230r r --=，特征根121,3r r ==，通解为2312x xy C e C e =+五、证明题(５分)选做一题27．证明当0x >时，ln(1)x x >+证：令()ln(1)f x x x =-+，则当0x >时，1()1011x f x xx'=-=>++故()f x 在[)0,x 上单调增加，因此当0x >时，()ln(1)(0)0f x x x f =-+>= 即当0x >时，ln(1)x x >+28．证明方程510x x +-=只有一个正根．证：令5()1f x x x =+-，则()f x 在(,)-∞+∞内连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>，由零点定理知，()f x 在(0,1)内至少有一个零点．又4()510f x x '=+>，所以5()1f x x x =+-只有一个零点，在(0,1)内，故方程510x x +-=只有一个正根．。

高数文C1期末A卷(11级)参考答案

则切线斜率为： y' x 0 1 ，故切线方程： y 1 x ，法线方程： y 1 x ……2 分
y 1
26、解：设该长方形小屋的长为 x 米，则宽为
1 ( 20 x) 米；设其面积为 S，有 2
S
1 x(20 x) ， S ' 10 x ，令 S ' 0 ，得 x 10 ……4 分 2
e x
……3 分，
lim
x 0
e e 2x
lim
x 0
e e 2
x
x
……3 分
e
x
lim
1 x
e0 1 ……3 分
=1……1 分 19、解：dy d ln( x cos x)
1 20、 y' e f ( x ) f ' ( x) ……2 分， d ( x cos x) ……3 分， x cos x cos x x sin x y' ' e f ( x)[ f ' ( x)]2 e f ( x) f ' ' ( x) ……4 分 dy dx ……3 分 x cos x
lim 2
x 0
23、解：原式 x ln(1 x ) xd ln(1 x ) ……2 分，

24、解：令 t
t 原式 e 2tdt
x ，则 x t 2 ， dx 2tdt
x ln(1 x)
x dx ……2 分， 1 x

2 tde t 2(tet et dt )
高等数学 C1 期末 A 卷参考答案及评分标准
2011~2012 第一学期一、单项选择（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）

2011(1)高数试卷参考答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第1 学期考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim2x xx→= 。

2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是。

3．设()0f x >，且可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。

4．不定积分⎰=。

5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设2,01(),,12x x f x x x ⎧<≤=⎨<<⎩在点1x =处必定（） A ．连续但不可导 B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导 2．曲线y =在点4x =处的切线方程是（）A ．114y x =- B ．112y x =+C ．114y x =+D ．124y x =+3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（）A ．21x B ．3x C ．xD ．211x + 4．设()f x 为可导函数，则下列等式中正确的是（） A ．()()f x dx f x '=⎰ B ．()()df x dx f x C dx =+⎰C ．()()d f x dx f x =⎰D ．()()d f x dx f x dx =⎰5．已知()0232ax x dx -=⎰，则a = （）A ．1-B ．0C ．12D ．1三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求极限 ()011lim x x x e x x e →---。

2. 设函数1sin 2 ,0(), ,0x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。

3. 设参数方程()1sin cos x t t y t t=-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 。

《高等数学1,2 2012年》试题及答案

2、 3、
f x 3x 2
1 2
2 x2 3
。
极限 lim (1 ax) x
x 0
x
e 2 ,则 a
a 2
。
y e 的马克劳林公式为
x2 x n ex x n 1 1 x , (0 1) 。 2! n! (n 1)!
4、
设
x t cos t dy sin t t cos t ，则＝____ 。 cos t t sin t dx y t sin t
5、
已知 f ' (3) 2, 则 lim
h 0
f (3 h) f (3) = 2h
-1
。
x 3y 0
6、通过 z 轴和点（-3，1，-2）的平面方程
f '( x)
1
2分 2分 2分
sin x 2 2sin x 2 2 x x2 x
2分
xf ( x)dx
0
1 1 1 1 1 f ( x)dx 2 f (1) x 2 f '( x)dx 2 0 2 2 0
1 1 2 x sin x 2 dx 0 2 1 1 sin x 2 dx 2 2 0 1 (cos1 1) 2 四、解答题（每小题 6 分，共 30 分）
0 x
x 0
（1 分）
＝ lim
x 0
3x
（1 分）（1 分）（1 分）
＝ lim ＝
x 0
2 cos x 3
2 3
g ( x) e 2 x ,x0 2、设 g (0) 1, g ' (0) 2, g" (0) 1, f ( x) ，求 f ' (0) 。 x 0, x 0

广东省东莞市2011-2012学年高一上学期期末考试数学试题(A卷)有答案

广东省东莞市2011－2012学年度第一学期教学质量检测高一数学（A 卷）2012-1-10一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.）1．已知全集{1234567}U =，，，，，，，{245}A =，，，则A =C U （）A ． ΦB ． {246}，， C ． {1367}，，， D ．{1357}，，， 2．下列命题中，正确的是（）A ．经过不同的三点有仅有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一条直线的两条直线平行D ．垂直于同一个平面的两条直线平行3．已知Rt ABC ∆的顶点坐标分别为(51)A -，，(11)B ，，(2)C m ，，若90C ∠=，则实数m 的值为（）A ．2或2-B ．2C ．2-D ．34．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（）A ．124ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 5．三个数0.3log 6a =，60.3b =，0.36c =，则的大小关系是（）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c << 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（） A ．1(1)e，B ．(12)，C ． (23)，D ．()e +∞， 7．已知直线1:0l ax y a -+=，2:(23)0l a x ay a -+-=互相平行，则a 的值是（） A ．1 B ．3- C ．1或3- D ．08．利用斜二测画法画平面内一个三角形的直观图得到的图形还是一个三角形，那么直观图三角形的面积与原来三角形面积的比是（）ABCD9．已知点(10)A ，，(10)B -，，过点(01)C -，的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围是（）A ．[45135]， B ．[4590)(90135]，，C ．[045][135180]，，D ．[0135]，10．已知函数210()210x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩，，．若2()(2)f m f m <-，则实数m 的取值范围是（）A ．(1)(2)-∞-+∞ ，， B ．(12)-， C ．(21)-， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．幂函数()f x的图象过点(3 ，则()f x12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x 2()log 1f x x =+，则(4)f -= .13．一个几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为2的正方形，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，则此几何体的侧棱长等于 .14．规定符号“*”表示两个正实数a 、b 之间的运算，即a b a b *=+，已知11k *=，则函数()(0)f x k x x =*>的值域是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分12分)已知集合{|17}A x x =≤<，2{|log (2)3}B x x =-<，{|}C x x a =<，全集为实数集R ．（1）求A B ；（2）如果A C ≠Φ ，且B C =Φ ，求实数a 的取值范围．16．(本小题满分13分)设直线1:2l y x =与直线2:3l x y +=交于P 点．（1）当直线m 过P 点，且与直线0:20l x y -=时，求直线m 的方程；（2）当直线m 过P 点，且坐标原点O 到直线m 的距离为1时，求直线m 的方程．17．(本小题满分13分)某四星级酒店有客房300间，每天每间房费为200元，天天客满．该酒店欲提高档次升五星级，并提高房费．如果每天每间客的房费每增加20元，那么入住的客房间数就减少10间，若不考虑其他因素，酒店将房费提高到多少元时，每天客房的总收入最高？第13题图18．(本小题满分14分)如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，2CD AB =，E 为PC 的中点，PA = （1）证明：//BE 平面PAD ；（2）证明：BE ⊥平面PDC ；（3）求三棱锥E PBD -的体积．19．(本小题满分14分) 已知函数2()()21xf x a a R =-∈+ （1）判断并证明函数的单调性；（2）若函数为()f x 奇函数，求实a 数的值；（3）在（2）的条件下，若对任意的t R ∈，不等式22(2)()0f t f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分14分)已知函数()||f x x a =-，2()21g x x ax =++（a 为正实数），且函数()f x 与()g x的图象在y 轴上的截距相等．（1）求a 的值；（2）对于函数()F x 及其定义域D ，若存在0x D ∈，使00()F x x =成立，则称0x 为()F x 的不动点．若()()f x g x b ++在其定义域内存在不动点，求实数b 的取值范围；（3）若n 为正整数，证明：()()410()45f ng n ⋅< (参考数据：lg30.3010=，94()0.13425=，164()0.02815=，254()0.00385=)第18题图2011—2012学年度第一学期期末教学质量检查高一数学（A 卷）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 11．()x x f = 12．3- 13 14．()1,-+∞三、解答题15. （本小题满分12分）解：（1）由2log (2)3x -<，得028x <-<， ………………………2分210x ∴<<，即{|210}B x x =<<. ………………………4分∴}101|{<≤=x x B A . …………………………6分（2）∅≠C A ，∴1a >. ……………………………8分又∵B C =∅ ，∴2a ≤， …………………………10分 ∴12a <≤，即实数a 的取值范围是(]1,2. ……………………………12分16．（本小题满分13分）解：由23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得点()21，P . ………………………2分（1）因为m ⊥0l ，所以直线m 的斜率221110-=-=-=l m k k ， ……………………………4分又直线m 过点()21，P ，故直线m 的方程为：()221y x -=--，即240x y +-=. …………………………6分（2）因为直线m 过点()21，P ，当直线m 的斜率存在时，可设直线m 的方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=. …………………7分所以坐标原点O 到直线m的距离1d ==，解得34k =， …………9分因此直线m 的方程为：332044x y --+=，即3450x y -+=. …………10分当直线m 的斜率不存在时，直线m 的方程为1x =，验证可知符合题意．……12分综上所述，所求直线m 的方程为1x =或3450x y -+=. ………………13分17．（本小题满分13分）解：设酒店将房费提高到x 元，每天的客房的总收入为y 元. …………1分则每天入住的客房间数为)1020200300(⨯--x 间, ……………3分由20030010020x --⨯≥及0≥x ， …………………4分得：8000≤≤x . ……………………5分依题意知：)1020200300(⨯--=x x y ……………………8分 =x x 400212+-=80000)400(212+--x . ……………………10分因为8000≤≤x ，所以当400=x 时,y 有最大值为80000元. ………………12分答:酒店将房费提高到400元时，每天客房的总收入最高. ……………………13分18．（本小题满分14分）（1）证明：取PD 中点Q ,连结AQ 、EQ .……………1分E 为PC 的中点，CD EQ //∴且CD EQ 21=.………………2分又CD AB // 且CD AB 21=， AB EQ //∴且AB EQ =.…………………3分∴四边形ABED 是平行四边形，AQ BE //∴. …………………………4分又⊄BE 平面PAD ，⊂AQ 平面PAD ，∴//BE 平面PAD . …………………………5分（2）证明：⊥PA 底面ABCD ，CD PA ⊥∴. …………………………6分又AD CD ⊥ ，且A AD PA =⋂,⊥∴CD 平面PAD ，AQ CD ⊥∴. …………………………7分 AD PA = ，Q 为PD 的中点，PD AQ ⊥∴， …………………………8分,D PD CD =⋂⊥∴AQ 平面PDC . …………………………9分 AQ BE // ，∴⊥BE 平面PDC . …………………………10分（3）解法一∵E 为PC 的中点，∴E PBD B PDE V V --=＝B ECD V -＝E BCD V -. …………………………11分⊥PA 底面ABCD ，∴点E 到面BCD 的距离1122d PA ==. …………………………12分 1121122BCD S CD AD ∆∴=⨯=⨯⨯=. …………………………13分E BCD V -111113326BCD S d ∆=⨯=⨯⨯=，E 为PC 的中点，∴16E PBD V -=. …………………………14分解法二由前面证明可知：BE 是三棱锥B PDE -的高，CD PD ⊥.在Rt PAD ∆中，PD =122BE AQ PD ===. ………………11分1112222PDE PDC S S PD DC ∆∆==⨯⨯⨯=， …………………………12分 E PBD B PDE V V --= …………………………13分11133226PDE S BE ∆=⨯=⨯=. …………………………14分19．（本小题满分14分）（1）函数()f x 为R 上的增函数．证明如下： ……………………………1分证明：函数()f x 的定义域为R ，对任意1x ，R x ∈2，设21x x <，则121222()()()()2121x x f x f x a a -=---++ …………………………2分 122121222(22)2121(21)(21)x x x x x x -=-=++++. …………………3分因为2x y =是R 上的增函数，且12x x <，所以1222x x-＜０，……………………4分所以12()()f x f x -＜０即12()()f x f x <，函数()f x 为R 上的增函数. ……………5分（2）解：∵函数()f x 为奇函数，∴(0)10f a =-=， …………………………6分 ∴1a =. …………………………7分当1a =时，2()121x f x =-+＝2121x x -+.()f x -=2121x x ---+＝1212x x -+＝－2121x x -+＝－()f x ，…………8分此时，()f x 为奇函数，满足题意．所以，1a =． …………………………9分（3）解：因为()f x 是奇函数，从而不等式22(2)()0f t f t tk ++->对任意的R t ∈恒成立等价于不等式22(2)()f t f tk t +>-对任意的R t ∈恒成立． …………………………10分又因为在(,)-∞+∞上为增函数，所以等价于不等式222t tk t +>-对任意的R t ∈恒成立，即不等式2220t kt -+>对任意的R t ∈恒成立． …………………………11分所以必须有2160k ∆=-<， …………………………12分即44k -<<， …………………………13分所以实数k 的取值范围{}44k k -<<． …………………………14分20．（本小题满分14分）解：⑴ ∵函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等，∴()()00f g =，即1a =． ……………………………1分又0a >，∴1a =． ……………………………2分⑵由（1）知，()()223 1=2 1x x b x f x g x b x x b x ⎧++≥⎪++⎨+++<⎪⎩．当1x ≥时，若()()f x g x b ++存在不动点，则有23=x x b x ++，即()22=211b x x x --=-++． ………………………3分∵1x ≥，∴()2113x -++≤-，此时3b ≤-． ………………………4分当1x <时，若()()f x g x b ++存在不动点，则有22=x x b x +++，即2=2b x -- ……………………5分∵1x <，∴222x --≤-，此时2b ≤-． ………………………6分故要使得()()f x g x b ++在其定义域内存在不动点，则实数b 的取值范围应为(]2-∞-，． ……………… …………………………………………7分⑶设()()()4105g n f n G n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．因为n 为正整数， ∴()212141005n n n G n -++⎛⎫=⋅>⎪⎝⎭． ………………………8分 ∴()()()()22+12+112+3121410+145=1045105n n nn n n n G n G n ++-++⎛⎫⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪⎝⎭． ………………………9分当()()+11G n G n <时，2+341015n ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即()42+3l g 15n ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，亦即12lg 3132-->+n ，∴133.726lg 22n >-≈-． ………………………11分由于n 为正整数，因此当13n ≤≤时，()G n 单调递增；当4n ≥时，()G n 单调递减． ∴()G n 的最大值是()(){}max 3,4G G ． ………………………12分又()16243=10=1000.0281=2.815G ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，()25344=10=10000.0038=3.85G ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，………………………13分 ∴()()44G n G ≤<． ………………………14分。

11-12高等数学试题(A)解答

广州大学2011-2012学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分30分） 1．曲线1cos 1x y x x=+有水平渐近线y =1和铅直渐近线x =1-.2．设1()(12)xf x x =+，则0lim ()x f x →=2e ，lim ()xf x →+∞=1.3．设2y x x =-，当2x =，0.01x ∆=时，y ∆=0.0301，d y =0.03.4．设sin sin cos x ty t t t =⎧⎨=+⎩，则d d y t =cos t t，d d yx=t.5．若点(1,2)为曲线326y ax x b =-+的拐点，则常数a =2，b =6.6．设22,0()1sin ,0x e bx a x f x x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续且可导，则常数a =1-，b =2-.7．设31()sin d xf x t t -=⎰，则(1)f =0，()f x '=3sin x ，(10)(0)f =9!6-.二．解答下列各题（每小题8分，本大题满分24分）1．求函数y=.解：y''=。

（2分）321(4)xx=-=。

（5分）y''=4=。

（8分）2．求曲线33(1)9y x y x+-+=在点1x=处的切线方程.解：将1x=代入曲线方程，得2y=，切点为(1,2). 。

（1分）曲线方程两边对x求导，得22d d3(1)30d dy yy y x xx x++-+=。

（5分）将1x=，2y=代入上式，得切线斜率1,2d5d12x yykx====-，。

（6分）切线方程为52(1)12y x-=--，即512290x y+-=. 。

（8分）3．求函数()cosxf x e x=的极大值和极小值.解：()cos sinx xf x e x e x'=-，。

2011-1中高数试卷答案(A类)

2011级第一学期高等数学期中考试解答（A 类）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知数列{}n a 单调，下列结论正确的是【】（A ）lim n a n e →∞存在；（B ）21lim1n na →∞+存在；（C ）lim tan n n a →∞存在；（D ）21lim1n na →∞-存在。

解【取值法】lim n n e →∞不存在；lim tan()2n n ππ→∞+不存在；21lim1()1n n n →∞-+不存在；答案：B.● 21lim 1n na →∞+在{},n a A →±∞时，极限都存在。

2. 当0x +→时，下列无穷小量中，与x 同阶的无穷小是【】（A1；（B ）()ln 1x x +-；（C ）()cos sin 1x -；（D ）1x x -。

解（A11~2x -；答案：A 。

● （B ）()22211ln 1[()]~22x x x x o x x x +-=-+--；（C ）()2211cos sin 1sin ~22x x x --- ；（D ）ln 11~ln x x x x e x x -=-，阶<1。

3. 设()x f x xe -=，则()()nf x = 【】（A ）()()11nx n xe --+；（B ）()()11n x n xe ---；（C ）()()1n x x n e --+；（D ）()()1nx x n e ---。

解()1()()0()()()nkk x n k n k f x C x e --==∑ 1(1)(1)(1)()n x n x n xxe n e ex n ----=-+-=--答案：D 。

解2 ()(1)x x x f x e xe x e ---'=-=--，取1n = ⇒ 答案：D 。

4. 函数()231f x x x =+-的拐点数为【】（A ）0个；（B ）1个；（C ）2个；（D ）3个。

安徽大学11-12第一学期高数A(一)B(一)A卷答案(修)

安徽大学2011—2012学年第一学期《高等数学A （一）、B（一）》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准一、填空题（每小题2分，共10分）1.；2.62()xf x ；3. 2−；4. ；5.。

321x +二、单项选择题（每小题2分，共10分）6．D ； 7．C ； 8．D ； 9．C ； 10．B 。

三、计算题（每小题7分，共56分）11．≤≤，又1x x ==，故利用夹逼准则得到1x =。

12．解：01)arcsin limcos 1x x x →−−=0sin arcsin lim cos 1x x xx →−=220lim 22x x x →=−−。

13. 解：2ln sin sin xdx x∫=ln sin (cot )xd x −∫ =2 cotln sin cot x x x −+dx ∫ =2 cotln sin (csc 1)x x x −+dx −∫ = cotln sin cot x x x x −−−C +。

14. 解：由题意2222sin (sin )12sin 1sin x f x x x ′=−+−，故1()21f u u u′=−−。

于是1()(2)1f u u du c +u=−−∫=2ln 1u u C ，−−−+这样，当01x ≤<时，2()ln 1f x x x C =−−−+。

15．解：0,1x x ==均为瑕点，故1∫=12 0∫+ 1∫=12 0lim a a +→∫+ c 1lim c −→=0lim 2arcsin a +→1lim 2arcsin c −→=2arcsin1π=。

16.解： 0π∫=20cos π∫2cos ππ−∫x=2(sin )(sin )x x ππ−∫sin t x==1−∫∫t=21+∫==ln(1+。

17. 解：方程对应的齐次微分方程为32y y y 0′′′−+=，其特征方程为：232λλ−+=0，解得特征根为121, 2λλ==。

11-12-1浙江科技学院高等数学A1期末试卷

2011-2012学年第一学期期末高等数学A1考试试卷一．选择题(每小题3分，共18分)1. 微分方程xy y ′=+是( )。

(A) 可分离变量方程； (B) 齐次方程；(C) 一阶线性方程； (D) 伯努利方程。

2．若()f x 的导函数为sin x ，则()f x 的一个原函数( )。

(A ) 1sin x +； (B ) 1sin x −； (C ) 1cos x +； (D ) 1cos x −。

3．已知()0411cos 2xf t dt x ⎡⎤−=−⎣⎦∫，则()0f ′=( )。

(A) 2； (B)21e −； (C) 1； (D) 1e −。

4．阿基米德螺线()0a a ρθ=>相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成图形的面积为( )。

(A)2212a d ππθθ−∫； (B)220122a d πθθ∫； (C)222012a d πθθ∫； (D)22012a d πθθ∫。

5．通解为212x x x y C e C e xe −=++的微分方程是 ( )。

(A) 23x y y y xe ′′′−−=； (B) +23x y y y e ′′′−=；(C) +23x y y y xe ′′′−= ； (D) 23x y y y e ′′′−−=。

6．设()y f x =是方程240y y y ′′′−+=的一个解，若()00f x >，且0()0f x ′=，则()f x 在0x 处 ( )。

(A) 取得极大值； (B) 取得极小值；(C) 某邻域内单调增加； (D) 某邻域内单调减少。

二．填空题(每小题3分，共18分)1．函数(y C x C =−为任意常数）是微分方程1xy y ′′′−= ，（在“通解、特解、解”中选择一个答案）。

2．抛物线2y ax bx c =++在处，曲率最大。

3．=∫。

4．设()f x 的一个原函数是ln xx，则()d x f x x ′∫=。

高等数学A-2011(上)A卷解答

2010 ~2011学年秋季学期高等数学A 课程考试试题(A 卷)答案 2011/01(注意：本试卷共有八道大题，满分100分，考试时间100分钟)一、单项选择题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将合适选项填在括号内．1．设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是【 D 】.（A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在（D ）若0()()lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在.2. 设20()sin x f x tdt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的【 A 】.（A ）高阶无穷小（B ）同阶但非等价无穷小（C ）等价无穷小（D ）低阶无穷小. 3. 设()x f 是[]a a ,-上的连续函数，则()()cos a af x f x xdx ---⎡⎤⎣⎦⎰=【 B 】.（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）无法计算.4. 下列选项正确的是【 C 】.(A) ⎰-1121dx x = 2 (B) ⎰-1121dx x = - 2(C) dx x ⎰-1121 不存在 (D) dx x ⎰-1121= 0 . 二、填空题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将答案填在横线上． 1. 已知0sin lim3(2)x kxx x →=-+，则k 的值等于 -6 .2.已知cos x x 是()f x 的一个原函数，则cos ()d x f x x x ⋅=⎰____21cos ()2x C x+_______.3. 计算定积分10x =⎰______4π_____________.4. )(x f y =是偶函数，在曲线)(x f y =上点（1，2）处的切线方程为053=+-y x ，则曲线在点（-1，2）处的切线方程为___053=-+y x ________________. 三、计算下列各题（本题共有4道小题，每小题6分，满分24分）.1．求极限 30sin lim x x xx→-. 解：33300sin 6lim lim x x x x x x x →→-= 16= 2．求参数方程231x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）所确定的函数()y f x =的导数22,dy d y dx dx . 解：23322dy t t dx t == ； '223()3224t d y dx t t==3. 求不定积分ln d x x x⎰. 解：ln d ln d(ln )x x x x x =⎰⎰2(ln )2x C =+ 4. 已知0()()()d xF x x t f t t =-⎰，求()F x 的二阶导数.解： 0()()()d ()d ()d x x xF x x t f t t xf t t tf t t =-=-⎰⎰⎰()[()d ()d ]()d ()()()d x x x xF x x f t t tf t t f t t xf x xf x f t t ''=-=+-=⎰⎰⎰⎰()(()d )()xF x f t t f x '''==⎰四、（本题满分10分）求函数xn e n x x x y -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=!!212 的极值 (其中n 为正奇数).解：x n xn e n x x x en x x x y ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++='!!21)!1(!21212 xn e n x --=!，驻点为0x =，由于n 为正奇数，当0x <时，0<nx ，故,0>'y 故y 单调上升；当0x >时，0>n x ，故,0<'y 故y 单调递减；因此0x =为函数的极大值点，且极大值为(0)1y =.五、（本题满分10分）设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明02()d 1xx f t t -=⎰在[0,1]上只有一个解. 证明：（1）存在性()2()d 1xF x x f t t =--⎰(0)1,F =-1(1)1()1()0F f x dx f ξ=-=->⎰函数()f x 在[0,1]上连续，根据介值定理，则存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=.（2）唯一性()2()0F x f x '=->，函数()F x 在[0,1]上单调增加，从而()F x 在[0,1]有唯一的根.六、（本题满分10分）求经过三点123(1,1,1),(2,0,1),(1,1,0)P P P --的平面方程. 解：法一：12(1,1,0),PP =- 13(2,2,1)PP =--- 取1213110(1,1,4),221ijkn PP PP =⨯==-=----平面方程为(1)(1)4(1)0,x y z -+---=整理得420.x y z +-+=法二：所求平面的方程为1111100221x y z ----=--- 整理得420.x y z +-+=七、（本题满分10分）设函数()f x 在[]0,1上可微，且满足()()-=⎰12012d 0,f x f x x 证明在()0,1内至少存在一点ξ，使'=-()()f f ξξξ.证明: 作辅助函数 )()(x xf x =ϕ，根据积分中值定理，由-=⎰120(1)2()d 0f x f x x 得到 -⋅=1(1)2()02f c f c即()()1f c f c =显然，)(x ϕ在[,1]c 上连续，在(,1)c 内可导，且()(1)c ϕϕ=，可见，)(x ϕ满足罗尔定理，所以，在(),1(0,1)c ⊂内至少有一点ξ，使0)()()(=ξ'ξ+ξ=ξϕ'f f . 即 '=-()()f f ξξξ.八、（本题满分12分）求曲线22y x x =-与0,1,3y x x ===所围成的平面图形的面积S ，并求该图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.解：22221112(02)(2)3S x x dx x x dx =-+=-=⎰⎰. 32224(2)3S x x dx =-=⎰.所以1224233S S S =+=+=. 平面图形1S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：21111(16V dy πππ-=+-=⎰.平面图形2S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：232204333(16V dy πππ=⋅⋅-+=⎰. 旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=. 或222111112()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 332222432()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰.旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=.。

湖南大学2011级2012年高数A1答案

故 F(x)也是偶函数 (2) F ( x)
x d x d x d ( 2 t x ) f ( t ) dt 2 tf ( t ) dt [ x f (t )dt] dx 0 dx 0 dx 0
x x 0 0
（4 分）
2xf ( x) f (t )dt xf ( x) xf ( x) f (t )dt
（3 分）
3 x 1 ln( x 2 2x 5) arctan C 2 2
6、解：作换元 x
（5 分）
1 ，有 u
2
（1 分）

3 1 2
dx x 1 x1 3Fra biblioteku 1 u
2
1
du 1 u |1 2
2
1 3
2 3 3
(2 分)
(4 分)
(5 分) （1 分）（3 分）
a (H h)]2 dh ， H
（6 分）
a (H h)]2 hdh H

H 0
g[ (H h)]2 hdh
a H
1 ga2 H 2 12
（7 分）
代入数据得 W=3210×9.81×(230)2× (146)2/12=2959062766470J≈2.96× 1012 J
（8 分）
1
2

1 1 2n 1 ) 1 1 1（7 分），知 2 n 2 2 (k 1) (n 1) n1 n (n 1)
11、解：方程变形为 y
1
y cos 2x ，于是该方程为一阶线性方程; （2 分） x
1
1 1 1 C dx dx 求解得 y e x ( cos 2x e x dx C) ( x cos 2xdx C) sin 2x cos 2x x 2 4x x

青岛科技大学数理学院2011-2012学年一学期高等数学上A卷考试试题与答案

2011-2012 1 高等数学（上）（A ）卷数理学院软件、ALPS 、中德、物联等专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．极限120lim(1)xx x →-= .2. 曲线xx y 1-=在(1,0)点的切线方程为 . 3．设2()2ln(1)f x x x =+-，则(2)f ''= .4．若⎰+=,sin )(C x x dx x f 则=)(x f .5. 反常积分2211cos dx x xπ+∞=⎰ . 二、选择题（每小题3分，共15分）1．某函数在点0x 处连续是该函数在该点可导的 .)A 充分条件； )B 必要条件； )C 充要条件； )D 无关条件. 2．设()f x 可导，)2(x f y -=，则='y .)A )2(x f '； )B )2(x f -'-； )C )2(x f -'； )D )2(2x f -'-.3．设2sin xy x =，则=dy （）.)Acos 2xdx xy； )B 2cos 2x y dx xy -； )C 2cos 2x y dy xy -； )D 2cos x y dx xy -. 4. 已知241()1x x dt tϕ=+⎰，则()x ϕ'=（）. )A821x x+； )B421xx+； )C 811x+； )D821x x-+.课程考试试题学期学年拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适用专业:5．设xex f -=)(，则='⎰dx xx f )(ln ； )A C x +-1； )B C x +ln ； )C C x +-ln ； )D C x +1. 三、计算题（每小题7分，共21分）1．求极限20sin cos limtan x x x xx x→-； 2．设函数21,0()sin 2,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求)(x f '；3.求由参数方程⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 所确定的函数的一阶导数及二阶导数.四、计算题（每小题7分，共21分）1.计算不定积分⎰++dx xx21arctan 41; 2．计算定积分⎰ππ-++dx x x x )cos 1sin (22；3．计算定积分21⎰.五、（8分）列表求函数1223-+-=x x x y 的单调区间、极值、凹凸区间及拐点. 六、（10分）求曲线2y x =与直线2y x =所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.七、证明题（每小题5分，10分）1．证明：当0(1)ln(1)arctan x x x x >++>时，；2．设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且120()0,f x dx =⎰证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使()(1)()0f f ξξξ'+-=.一、填空题：（每小题3分，共15分） 1. 12e-； 2. 2(1)y x =-； 3. 3； 4. sin cos x x x +； 5. 1 .二、选择题：（每小题3分，共15分）1.B2.D3.B4.A5.D 三、计算题：（每小题7分，共21分）1.原式30sin cos =limx x x xx→- …………………2分 20cos cos +sin lim 3x x x x xx →-= …………………4分220lim 3x x x→= …………………6分13= …………………7分 2．0()(0)(0)lim 0x f x f f x --→-'=-201lim 2x x e x -→-== …………………2分 0()(0)(0)lim 0x f x f f x ++→-'=-0sin 2lim 2x xx+→== …………………4分所以(0)2f '= …………………5分故 22,0()2cos 2,0x e x f x x x ⎧≤'=⎨>⎩ …………………7分3.(sin sin cos )cos dxa t t t t at t dt =-++=，(cos cos sin )sin dya t t t t at t dt=-+= ………………2分sin tan cos dy at t t dx at t== …………………4分 2232(tan )sec sec cos tt d y t t dx dx at t at dt'=== …………………7分四、计算题：（每小题7分，共21分） 1.原式1(14arctan )4x =+ ………………2分 3212(14arctan )43x C =⨯++ ………………6分321(14arctan )6x C =++ ………………7分 2. 原式202cos xdx π=⎰……………………3分0(1cos 2)x dx π=+⎰01sin 22x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ ……………………6分 π=……………………7分3.,t =则原式102t te dt =⎰……………………2分11100022[||]t t t tde te e ==-⎰ ……………………6分2=……………………7分五（8分）解：函数的定义域为(),-∞+∞()21341313y x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，驻点为1,13x x == . ………2分单调增区间为（-1,)3∞和(1,)+∞，减区间为1(,1)3，123()327f =-为极大值，(1)1f =-为极小值 ………5分264=6()3y x x ''=--，令0=''y ，得23x = ……………………6分当22,0,,033x y x y ''''<<>>，所以在2(,)3-∞凸，2(,)3+∞凹，点225(,)327-是拐点。

贵州师范大学高等数学期末测试题

此
[
]
线
[
]
得分得分
四、计算下列积分（每小题 8 分，共 32 分）
阅卷人
第 1 页，共 2 页
阅卷人(1) Nhomakorabeae
x
x
dx .
1 (1) 讨论函数 f ( x) x 2

x2 0
sin t dt， x 0 0， x0
在 x 0 处的连续性和可导性.
答
(2)
arctan xdx .
2011～2012 学年第一学期课程考试试卷（A 卷）
课程高等数学 A（一）授课教师考试班级姓一二三四五名六总分
(3) 若函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内 f ( x ) 0 ， f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 在 ( a, b) 内是 (A) 单调减少，曲线凸的. (C) 单调减少，曲线凹的. (4) 函数 f ( x ) 在 x 0 点可导是它在该点连续的 (A) 充分条件.
题
阅卷人
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1 sin x
不
阅卷人
(1) 当 x 0 时， 1 cos x 与 ax sin x 是等价无穷小，则 a (2) 若 y x ( x 1)( x 2)( x 3) ，则 y (0) ．
．
(2) lim(1 x )
得分
[
]
(B) 单调增加，曲线凸的. (D) 单调增加，曲线凹的. [ (C) 充分必要条件. (D) 以上都不对. ]
答
考试时间 2012 年 1 月 6 日学题号得分
装订线得分

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六、分）设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f (a) f (b) 0 ，（6
证明存在 (a, b) 使 f ( ) f ( ) . 证明构造辅助函数 F ( x) e x f ( x) -----------------------------------3 分根据题意在 [a, b] 上满足 Roll 定理，故至少存在一点 (a, b) ，使得
1． lim
n
dy x0 _ (ln 2 1)dx _______.
福建师范大学试卷纸共
5 页，第 1 页
3．函数 f ( x) ex 的带有拉格朗日型余项的 n 阶麦克劳林公式为 _1 x
x2 x n e x ( x 1)n1 , (0 1) _______________. 2! n! (n 1)!
2u 2 cos u 4u sin u 4cos u C 2 x cos x 4 x sin x 4cos x C
.
…………………8 分
5．求位于曲线 y ex 下方，该曲线过原点的切线的左解设切点为 ( x0 , y0 ) ，则切线方程为 y y0 e 0 ( x x0 ) ……………1 分
……………8 分
3.
x f (t ), 设 y tf (t ) f (t );
其中 f (t ) 存在且不为零，求
共
d2y ． dx 2
2 页
福建师范大学试卷纸
5 页，第
解
dy t ……………4 分 dx
d2y 1 2 dx f (t )
…………………8 分
（4）列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x) f ( x)
0 0 极大
(0,1)
1
(1, )
－ -
－ 0 拐点
+
所以，函数的单调递增区间为 (, 0) ,单调递减区间为 (0, ) ； 1 极大值为 f (0) ； 2 凹区间为 (, 1) ， (1, ) ；凸区间为 (1,1) ；拐点为 (1, （5）作图
F '( ) e f ( ) e f ( ) 0 ----------------------5 分
故 f ( ) f ( ) -------------------------------------------6 分
福建师范大学试卷纸
共
5 页，第
5 页
2. 解
求 lim
x
x 0
(arctan t )2 dt x2 1
x
.
x tan1, arctan x 1, (arctan t ) 2 dt
0
tan1 0 tan1 0
(arctan t ) 2 dt (arctan t ) 2 dt
x tan1 x tan1
1 证明：令 f ( x) tan x x x 3 , x [0, ] ------(2 分) 3 2
f ( x) tan 2 x x2 (tan x x)(tan x x) ----(4 分) g( x) (tan x x) tan 2 x 0 ---（6 分）
B

0
)
（D） sin xdx .
0 1
（A）

0
sin xdx ；
（B） sin xdx ；
0
1
（C） sin xdx ；
二、填空(每小题 3 分，共 15 分) (要求把答案填在答题纸上)
sin n 0 . n 2 ．设函数 y f ( x) 是由方程 2xy x y 所确定的隐函数，则
x
由于该切线过原点，因此有 x0 1, y0 e ，即切线方程为 y ex ………3 分故所求面积为
A e x dx (e x ex)dx
0 0 1
e ……………8 分 2
2
1 x2 四、（共 14 分）求函数 f ( x) e 的定义域，单调区间，极值，凹凸性，拐点， 2
2 2
4．设 e x 是 f ( x) 的一个原函数，则 f (sin x) cos xdx ____ esin x C __________. 5． tet dx =_____1_________.
0
三、计算题(每题 8 分，共 40 分)
1
1. 求 lim cos x x2 .
2011 — 2012 学年第一学期《高等数学 A》期末试题（A）答案及评分标准
一、单选题(每小题 3 分，共 15 分) (要求把答案填在答题纸上)
1．设 f ( x) 3x 2 x 2 ，则当 x 0 时，有（（A） f ( x) 与 x 是等价无穷小； B ）
（B） f ( x) 与 x 同阶但非是等价无穷小；
5 页，第
3 页
（2） lim f ( x ) 0 ，得水平渐近线 y 0 ，-------------(3 分)
x
（3） f ( x)
2
1 x2 e ，由 f ( x) 0 得 x 0 -------------(5 分) 2
2
1 x2 2 f ( x) e ( x 1) ，由 f ( x) 0 得 x 1 -------------(7 分) 2
1 ). 2 e
-------------------------------------(11 分)
-----------------------------------------------(14 分)
五、（10 分）证明：当 0 x

2
时, tan x x
1 3 x . 3
福建师范大学试卷纸
共
5 页，第
4 页
知 g ( x) (tan x x) 在 [0, ] 上单调增加，--------（8 分） 2
故 f ( x) f (0) 0 ，这说明 f ( x ) 在 [0,

2
] 单调增加，从而 f ( x) f (0) 0 -- 10 分）（
（C） f ( x) 是比 x 高阶的无穷小；（D） f ( x) 是比 x 低阶的无穷小. f ( x0 h) f ( x0 ) （ D 2. 函数 f ( x) 在 x x0 可导，且 f ( x0 ) 2 ，则 lim h 0 h 1 1 （A）；（B）2；（C）；（D）－2. 2 2 3. f ( x0 ) 0 是曲线 y f ( x) 有拐点 ( x0 , f ( x0 )) 的（（A）充分而非必要条件；（C）充分必要条件； D ）
4.求 x sin xdx . 解令 x u 2 ，则 ……………4 分
原式= 2u 2 sin udu 2u 2 d (cos u ) 2u 2 cos u 4u cos udu
2u 2 cos u 4ud (sin u ) 2u 2 cos u 4u sin u 4sin udu
x 0
解：
1
lim cos x x
x 0 lim ln cos x x2 cos x 1 x2
2
e x0 e x0
1 lim
...................(2) ..............................(6)
e 2 ......................................(8)
渐近线，并画出草图. 解：（1）定义域： (, )
1 x2 由于 f ( x) e 是偶函数，它的图形关于 y 轴对称，因此可以只讨论 [0, ) 上 2
该函数的图形 ------------------------------------(2 分)
2
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共
(arctan t ) 2 dt dt A x tan1

x x 0
lim (arctan t )2dt ……………3 分
x 0
x
lim
(arctan t )2 dt x2 1
(arctan x)2 2 lim x x 4 2 x 1
）
（B）必要而非充分条件；（D）既非充分又非必要.
4. 设 f ( x )dx x 2 C ，则 xf (1 x 2 )dx （（A） 2(1 x2 )2 C ；
C
）
（B） 2(1 x2 )2 C ；
1 1 （C） (1 x 2 ) 2 C ；（D） (1 x 2 ) 2 C . 2 2 1 2 (n 1) sin ) 等于( 5． lim (sin sin n n n n n