2021学年高中数学1.4.1.2空间中直线平面的垂直课件人教A版必修一.ppt

【习练·破】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,求证:AC⊥BC1.
【证明】因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5, 所以AC,BC,C1C两两垂直. 如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系. 则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0), 因为 AC=(-3,0,0), =B(C01,-4,4), 所以 AC· B=C01 ,所以AC⊥BC1.
第2课时 空间中直线、平面的 垂直
必备知识·素养奠基
空间中垂直关系的向量表示 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
线线垂直 线面垂直 面面垂直
l1⊥l2⇔_u_1⊥__u__2 ⇔_u_1·__u__2=_0_ l1⊥α⇔_u_1∥__n__1 ⇔ _∃_λ__∈__R_,_u_1_=_λ__n_1_ α⊥β⇔_n_1⊥___n_2 ⇔ _n_1·__n__2=_0_
设AB=a,CC1=b.则A( 13 a，a ，0),
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B(0,a,b),B1(0,a,0),C(0,0,b),
A( 3 a，1 a,，C1b()0,0,0).
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于是A1B (
3 2
a，1 2
a，b)，B1C
（0，
a，b），
AC1＝(－
3 a，－a ，－b).
2
2
因为B1C⊥A1B,
所以B1C
类型二 用向量法证明线面垂直 【典例】如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.
求证:AB1⊥平面A1BD. 【思维·引】可以通过证明 AB1 BA1，AB1 BD，得到AB1⊥BA1,AB1⊥BD. 也可以证明 AB1 与平面A1BD的法向量平行.
【证明】方法一:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形, 所以AO⊥BC. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1,以O为原点,以OB，OO1，O分A别为x轴,y轴,z轴的0,2),平面α的法向量n=(-2,0,-4),则( )
A.l∥α
B.l⊥α
C.l⊂α
D.l与α斜交
【解析】选B.因为n=(-2,0,-4)=-2(1,0,2)=-2a,所以n∥a,所以l⊥α.
3.已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则 ( )
A.α∥β
B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不对
【解析】选C.因为n1≠λn2,且n1·n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0,所以 α,β既不平行,也不垂直.
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中
点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是
又AB=1 (1,2,- ),3所以n= 所以AB1⊥平面A1BD.
,即AB1 ∥n.AB1
【内化·悟】 怎样利用几何法证明线面垂直? 提示:证明线面垂直,只需要证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.
【类题·通】 坐标法证明线面垂直的两种思路
答案:垂直
关键能力·素养形成
类型一 应用向量法证明线线垂直 【典例】在正三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C⊥A1B. 求证:AC1⊥A1B. 【思维·引】建立适当的空间直角坐标系,根据等边三角形的性质求出各点坐 标,求出两条直线的方向向量,利用坐标法证明垂直.
【证明】如图,建立空间直角坐标系,
【思考】 怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系? 提示:(1)若证线线垂直,则证直线的方向向量垂直; (2)若证线面垂直,则证直线的方向向量与平面的法向量平行; (3)若证面面垂直,则证两平面的法向量垂直.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两条直线的方向向量平行,则这两条直线垂直.
A1B＝－
a2 2
＋b
2＝0,
而AC1
A1B＝
3 4
a
2－
1 4
a
2－b
2＝
a2 2
－b
2＝0，
所以AC1 A1B，
即AC1⊥A1B.
【类题·通】 坐标法证明两直线垂直的基本步骤
(1)选择适当位置建立空间直角坐标系. (2)根据题意写出点的坐标. (3)利用数量积为0,证明两直线的方向向量垂直. (4)得到两直线垂直.
所以AB⊥1 B,A1⊥AB,1即ABBD1⊥BA1,AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD=B,
所以AB1⊥平面A1BD.
方法二:建系同方法一.
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则
n
BA1，即
n
BA1＝－x＋2y＋
3z＝0，
n BD， n BD＝－2x＋y＝0，
令x=1得平面A1BD的一个法向量为n=(1,2,-3 ),
.
【解析】以A为原点,分别以 AB，AD，AA1 所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M (0，1，1) ,
2
O (1，1，0) ,N (1，0，1) ,
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2
AM·
ON
= (0，1，1 )·(0，- 1，0)
2
2
=0,所以 AM⊥ON ,
所以ON与AM垂直.
()
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直,则直线与平面垂直. ( )
(3)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量,则直线和
平面垂直.
()
提示:(1)×.如果两条直线的方向向量平行,则这两条直线的位置关系为平行或重 合. (2)×.若直线的方向向量与平面的法向量垂直,则这条直线与该平面平行或在平 面内. (3)×.只有当这两条直线相交时才垂直.
则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, ),3A(0,0, ),B1(31,2,0).
所以 AB=1 (1,2,- ),3 =(-B1A,21 , ), =(-32,1B,0D).因为 ·
AB1 BA1
=1×(-1)+2×2+(- 3)× =30. ·AB1=1B×D(-2)+2×1+(- )×0=30.