GCT数学考试历年试卷分析7-10

2003年GCT 数学基础能力测试题1．1000m 大道两侧从起点开始每隔10m 各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要[]。

A ．树200棵，花200盆B ．树202棵，花200盆C ．树202棵，花202盆D ．树200棵，花202盆 解：注意大道两头均需种树，且大道两侧对等，故需种树20221101000=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+（棵）；道路两侧花盆数显然比种树数各少一盆。

又：若想到摆花盆数比种树数少，则直接看出正确答案B 。

2．已知20042003,20032002,20022001===c b a ，则[]。

A ．c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 解：0)1(1)1(11122>+=++-=--+n n n n n n n n n n ，显然选D 。

设 x x x f +=1)(，则)0(,0)1(1)(2>>+='x x x f ，故函数x x +1单调增加。

3．[]=-∑∑=-=1111111)1(i i i ii 。

A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 解：11621211)1(1111111=⨯=-∑∑=-=i i i i i 。

此题硬做亦可，选B 。

4．记不超过10的素数的算术平均数为M ，则与M 最接近的整数是[]。

A ．2B ．3C ．4D ．5解：不超过10的素数为2，3，5，7，（注意1不是素数）41447532=+++=M ，故选C 。

5．某工厂产值三月份比二月份增加10%，四月份比三月份减少10%，那么[]。

A ．四月份与二月份产值相等B ．四月份比二月份产值增加991C ．四月份比二月份产值减少991D ．四月份比二月份产值减少1001 解：根据题意二、三、四月份产值依次为x ，x 1.1，x x 99.09.01.1=⨯。

选D 。

6．E D C B A ,,,,五支篮球队相互进行循环赛，现已知A 队已赛过4场，B 队已赛过3场，C 队已赛过2场，D 队已赛过1场，则此时E 队已赛过[]。

A ．1场B ．2场C ．3场D ．4场解：相互比赛，没有排序问题，且进行一场比赛则比赛双方的比赛场次各增加1，故五支篮球队的比赛场次之和必为偶数。

现条件告诉我们D C B A ,,,四支篮球队的比赛场次之和为10，E 队只能赛过偶数场。

若选D 则D 队必须与A 队、E 队均赛过，与题设不符，只能选B 。

7．函数)0(2≠++=a c bx ax y 在[)∞+.0上单调增加的充要条件是[]。

A ．0,0≥<b a 且B ．0,0≤<b a 且C ．0,0≥>b a 且D ．0,0≤>b a 且解：若0<a ，则二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向下，在[)∞+.0上不可能单调增加；进一步考虑题目要求在[)∞+.0整个正半轴，二次函数都要求单调增加，则此二次函数c bx ax y ++=2的对称轴必须在y 轴的左侧（否则，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a b 2,0上二次函数单调减少）。

这样必须02,0≤->ab a 且，或为0,0≥>b a 且。

选C 。

8．函数)0)((1≠+=a x a f y 与)(2x a f y -=的图形关于[]。

A ．关于直线a x -对称B ．关于直线a x +对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解：解法一：考虑函数最简单的形式（直线）)0(1≠+=a x a y ； x a y -=2两条直线相交于()a ,0，斜率相反，显然关于y 轴对称，选D 。

注：若0=a 则这两条直线既关于y 轴对称也关于x 轴对称。

解法二：)())(()()(12x y x a f x a f x y -=-+=-=，此即函数曲线)(2x a f y -=上的点())(,2x y x 关于y 轴的对称点()))(,()(,12x y x x y x --=-恰在函数曲线)0)((1≠+=a x a f y 上；反之亦然。

当然两个函数图形关于y 轴对称。

9．已知实数x 和y 满足条件1)(99-=+y x 和1)(100=-y x ，则[]=+100100y x 。

A ．1-B ．0C ．1D ．2解：11)(99-=+⇒-=+y x y x ；11)(100±=-⇒=-y x y x 。

由此而得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=--=+1011y x y x y x ；⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=--=+0111y x y x y x 于是1100100=+y x 。

选C 。

10．一批产品的次品率为1.0，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为[]。

A ．271.0B ．243.0C ．1.0D ．081.0 解： 这是一道典型的独立重复试验题（注意每件检测后放回） 在连续三件检测中都是正品的概率为3339.0C ，那么在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 271.09.019.013333=-=-C 。

选A 。

若分成连续三件检测中分别有一件是次品、两件是次品和三件是次品这样三种独立试验考虑，则271.01.09.01.09.01.0)()()(333223213=⨯+⨯⨯+⨯⨯=++C C C C p B p A p较繁复。

11．过点()2,0P 作圆122=+y x 的切线PA 和PB ，A ，B 是两个切点，则AB 所在的直线方程为[]。

A ．21-=x B ．21-=y C ．21=x D ．21=y 解：解法一：点()2,0P 在y 轴正上方，单位圆122=+y x ，一眼看出选D 。

解法二：设A 点坐标为()y x ,，切线PA 满足AO PA ⊥，即0=∙AO PA 。

这里点O 是圆122=+y x 的圆心坐标()0,0，于是02),()2,(22=-+=∙-y y x y x y x ，联立122=+y x （切点在圆上），得21=y ，由对称性，无须再求x 。

12．如题12图，正方形ABCD 的面积为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影面积为[]。

A ．21B ．43C ．32D ．53 解：先计算FCH ∆，AEG ∆（显然这两个三角形全等）和DGH ∆的面积为宜，而FCH ∆与CHN ∆全等，CHN ∆与DHN ∆同底等高，故FCH ∆，CHN ∆，DHN ∆面积相等，DFC ∆的面积为41，得每个小三角形面积为121；DOH ∆的面积为DOC ∆的面积减去DHC ∆的面积121)6141(=-。

FCH ∆， AEG ∆和DGH ∆的面积和为31124=，阴影部分面积是32。

答案选C 。

13．已知两平行平面βα,之间的距离为)0(>d d ，l 是平面α内的一条直线，则在平面β内与直线l 平行且距离为d 2的直线有[]条。

A ．0B ．1C ．2D ．4解：由于0>d （保证两平行平面βα,不重合），d d >2，对称性保证为2条。

选C 。

14．正圆锥的全面积是侧面积的45倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对应的圆心角为[]。

A ．πB ．2πC ．3πD ．6π解：设圆锥的的底面半径为R ，母线长为l ，则该圆锥的全面积为 Rl R ππ+2，依题意可得R l RL Rl R 4452=⇒=+πππ， 该圆锥侧面展开后的扇形所对应的圆心角为22ππ=l R 。

选B 。

15．设点()00,y x 在圆122=+y x 的内部，则直线100=+y y x x 和圆[]。

A ．不相交B ．有一个交点C ．有两个交点且两交点间的距离小于2D. 有两个交点且两交点间的距离大于2解：点()00,y x 在圆122=+y x 的内部，故12020<+y x ；而单位圆122=+y x 的圆心()0,0到直线100=+y y x x 的距离为112020>+y x ，即直线100=+y y x x 在圆122=+y x 外，故不可能相交。

选A 。

或用特殊值代入法做。

16．设函数⎰-=x dt t t x f 02)1()(，则)(x f 的极值点个数是[]。

A ．0B ．1C ．2D ．3解：先考虑必要条件，令100)1()(2=∨=⇒=-='x x x x x f ；01)1(0)0(23)(2>=''∨=''⇒-=''f f x x x f 。

1=x 是极小值点，但在0=x 的两侧，0)1()(2<-='x x x f ，故)(x f 单调下降，不是极值点。

选B 。

注：函数)(x f 没有不可导的点。

17．如果函数)(x f 在0x 处可导，)()()(000x f x x f x f -∆+=∆，则极限=∆-∆→∆x x df x f x )()(lim000[]。

A ．)(0x f ' B ．1 C ．0 D ．不存在解：依定义 0)()()()(lim )()(lim 00000000='-'=∆∆'-∆=∆-∆→∆→∆x f x f xx x f x f x x df x f x x 。

选C 。

18．甲、乙两人百米赛跑成绩一样，那么[]。

A ．甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样B ．甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定不一样C ．甲、乙两人至少某时刻的速度一样D ．甲、乙两人到达终点的速度必定一样解：设甲、乙两人的速度分别为)()(t v t v 乙甲，，到达终点所用时间为T ，百米赛跑成绩一样则⎰⎰=TT dt t v dt t v 00）（）（乙甲 ，再由积分中值定理得 [][]),0(,0)()())((0T T v v dt t v t v T∈=-=-⎰ξξξ乙甲乙甲）（，必)()(ξξ乙甲v v =，即甲、乙两人至少某时刻的速度一样，当然选C 。

19．方程x x x x cos sin 2+=的实根个数是[]。

A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：构造函数x x x x x f cos sin )(2--=，考察这个函数与x 轴的交点究竟有多少（就是实根个数）。

若注意到x x x x x f cos sin )(2--=是偶函数，则只需考虑x 正半轴的情形。

显然成立01)0(<-=f ，0)2()0(1cos sin )(22>⇒>--≥--=f x x x x x x x x f ，于是零点存在定理保证)(x f 在[]2,0之间至少有一个根。

但)0(,0)cos 2(cos 2sin cos sin 2)(>>-=-=+--='x x x x x x x x x x x x f ， 此即)(x f 在x 正半轴上单调增加，只能有一个根，再有偶函数知x 负半轴上亦有一根。