初中数学竞赛辅导资料(29)概念的定义
初中数学竞赛知识点归纳
初中数学竞赛知识点归纳数学竞赛是通过解决数学问题来提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
为此，初中数学竞赛中常出现一些定理和相关的知识点，掌握这些定理和知识点对于竞赛题目的解答起着至关重要的作用。
接下来，我将对初中数学竞赛中常出现的一些定理和知识点进行归纳总结。
一、方程和函数1.一元一次方程的性质和解法：整数的正负、绝对值、乘法分配律等。
2.一元二次方程的基本概念和解法：判别式、解的个数和求解方法。
3.二元一次方程组及其解法：代入法、消元法等。
4.实际问题的数学建模和解法：将实际问题转化为方程或方程组，并求解。
二、几何1.线段、角和相交线的性质：端点、中点、角、垂直、平行等性质。
2.平面图形的性质：正方形、长方形、菱形、平行四边形、圆等的性质和计算。
3.三角形的性质和面积计算：三条边的关系、重心、垂心、外心、内切圆、外接圆等。
4.相似三角形的性质和计算：比例关系、角度对应相等等性质。
5.圆的性质和计算：圆周率、弦长、弧长、面积等的计算。
三、函数1.一次函数和二次函数的性质和图像：函数的定义域、值域、递增递减性、奇偶性等。
2.函数的复合运算和反函数：函数的复合、反函数的定义与性质。
3.二次函数的最值和二次函数方程的求解：二次函数的最值、二次函数方程的图像与解的关系。
四、概率与统计1.概率的基本概念和计算：事件、样本空间、可能性等的计算。
2.排列和组合的计算：阶乘、排列、组合的计算和应用。
3.统计图表的分析与应用：条形图、折线图、饼图的分析和应用。
4.基本统计量的计算：平均数、中位数、众数、方差等的计算。
五、数列与通项公式1.等差数列和等比数列的基本概念和计算：前n项和、通项公式等的计算。
2.斐波那契数列和变形问题：斐波那契数列的计算和变形问题的解决方法。
六、函数方程1.定义域和值域：给定函数的定义域和值域的计算。
2.函数关系式的推导：已知函数关系式，推导出其他函数关系式。
3.函数方程的解法：给出函数方程，求解函数的表达式。
初中数学竞赛知识点汇总
初中数学竞赛知识点汇总数学竞赛在初中阶段是一个很重要的环节，通过参加竞赛可以提高学生的数学素养和解决问题的能力。
在竞赛中，学生需要掌握一些基础的数学知识点，并能够将这些知识点灵活运用于解题过程中。
以下是一些常见的初中数学竞赛知识点的汇总，希望能对您有所帮助。
1. 整数与有理数整数是数学中最基本的概念之一，初中数学竞赛中经常会涉及到整数的加减乘除、约分、化简等运算。
还需熟悉有理数的概念，掌握有理数的大小比较和运算法则。
2. 数列与函数数列是由一定规律生成的一系列数的集合，常见的数列有等差数列和等比数列。
在竞赛中，需要能够找出数列的通项公式、求和公式、递推关系等。
而函数是数学中非常重要的概念，需要掌握函数的定义、性质、图像、单调性等。
3. 平面几何与立体几何平面几何包括点、线、面的相关概念，初中数学竞赛中常见的平面几何知识点有相似与全等三角形、平行线与垂线、圆的性质等。
而立体几何包括三棱柱、三棱锥、圆柱、圆锥等的性质与计算公式。
4. 概率与统计概率是研究随机事件发生可能性的数学分支，通过参加竞赛可以了解到一些基础的概率知识如基本事件、互斥事件、相互独立事件、排列组合等。
统计是通过对数据进行收集、整理、分析和解释来研究事物的数量关系，包括频率、平均数、中位数、众数等统计指标的计算与应用。
5. 三角函数与初等函数三角函数是数学中的一大重要分支，涉及到正弦、余弦、正切等函数的定义、性质和图像。
初等函数是对于已知函数进行加减乘除和复合运算而得到的函数，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
6. 数论与代数数论是研究整数性质的一个分支，常涉及质数与合数、最大公约数和最小公倍数等概念。
代数是数学中的基础内容，包括方程、不等式、函数、多项式等的知识点。
7. 排列与组合排列与组合是组合数学的一部分，通过研究对象的选择性排列与组成来研究其性质与规律。
初中数学竞赛中常涉及到全排列、组合、二项式定理等相关概念。
8. 坐标与向量坐标是指我们用一个点在某个直角坐标系中的位置来表示这个点。
九年级数学概念知识点
九年级数学概念知识点数学是科学的一门学科，它以逻辑、抽象和严谨性为特征。
在九年级，学生将会学习到一些重要的数学概念和知识点，这些知识点将为他们进一步学习高中数学打下坚实的基础。
本文将重点讨论九年级数学中的一些重要的概念知识点。
一、代数表达式代数表达式是数学中最基本的概念之一。
它由变量、常量和运算符组成，可以用来表示数学关系。
九年级学生需要学习如何简化代数表达式、展开和因式分解等技巧。
这些技巧对于解决复杂的算术问题和应用数学非常重要。
二、直线和线段直线和线段是几何中的重要概念。
九年级学生需要了解直线和线段的定义、性质和表示方法。
他们还需要学习如何根据给定的条件来证明两条直线平行、垂直或相交的性质。
这些概念和技巧对于理解几何问题和解决几何证明非常有帮助。
三、比例与相似比例和相似是数学中常见的概念。
九年级学生需要学习如何计算比例、解决比例问题以及求解相似三角形的性质。
比例和相似的概念在很多实际问题中都能得到应用，如图画缩放、地图比例尺等。
四、平面图形九年级学生需要学习平面图形的定义、性质和分类。
他们需要了解各种形状的特点、计算面积和周长的公式以及解决平面图形相关的问题。
这些知识对于几何证明、建模和测量都是必不可少的。
五、三角函数三角函数是高中数学中的重要概念，但在九年级也会进行初步的介绍。
学生需要了解三角函数的定义、性质以及在三角形中的应用。
他们需要学习如何计算三角函数值、求解三角方程以及解决相关的实际问题。
六、统计与概率统计与概率是数学中非常实用的概念。
九年级学生需要学习如何收集和组织数据、计算统计指标如均值和中位数，并用图表展示数据。
他们还需要学习基础的概率概念和计算方法，以解决概率问题和预测事件的可能性。
七、函数函数是数学中非常重要的概念之一，也是九年级中的重点内容。
学生需要了解函数的定义、性质和图像表示法。
他们需要学习如何绘制函数图像、求解函数的零点、最值以及函数的复合和反函数。
函数概念对于数学建模和解决实际问题至关重要。
初中数学竞赛知识点归纳
初中数学竞赛知识点归纳一、数的性质和运算1.自然数、整数、有理数和实数的定义和性质。
2.常见数的性质和规律，如奇数、偶数、质数、因数、倍数等。
3.整除与除尽的概念，最大公约数和最小公倍数的求解方法。
4.分数的四则运算，分数的化简和比较大小。
5.百分数和比例的概念，百分数和比例的运算，百分数和比例的应用。
6.分数方程和分数不等式的解法。
7.数轴和有理数的位置关系。
二、代数ic1.一元一次方程和一元一次不等式的解法，应用题的解题方法。
2.二元一次方程组和二元一次不等式组的解法，应用题的解题方法。
3.平方根的性质，开方和近似计算方法。
4.倍数关系和变量之间的关系。
三、图形的性质和运动1.点、线、面的定义和性质。
2.角的概念，角的分类和性质，角的度量和计算方法。
3.直线和角的关系，同位角、对顶角、平行线之间的性质。
4.三角形的分类和性质，三角形的内角和外角的关系。
5.直角三角形、等腰三角形和等边三角形的性质，三角形的不等式。
6.多边形的性质和特性，正多边形的性质。
7.圆的性质和公式，面积和周长的计算方法。
8.平移、旋转、镜像的概念和性质，平面图形的运动。
四、函数与方程1.函数的概念和性质，函数的表示方法。
2.一次函数和二次函数的性质和图像特点。
3.平方和差公式，一次函数和二次函数的解析式和解的个数。
4.线段的中点坐标和坐标轴上的点的坐标。
5.一元一次方程和一次函数的关系，一元二次方程和二次函数的关系。
6.一元一次方程组和一次函数的关系，一元二次方程组和二次函数的关系。
五、几何证明1.相似三角形的判定和性质。
2.相似三角形的性质和比例关系。
3.勾股定理的应用，勾股定理的证明。
4.数列的性质和特征，数列的求和公式，数列的前n项和。
5.排列和组合的概念和性质，排列和组合的计算公式。
6.计算器的使用和综合运用。
综上所述，初中数学竞赛中的知识点和定理非常广泛，需要学生全面掌握，灵活应用。
在备考过程中，要注重理论和实际应用的结合，注重基础知识的掌握和巩固，注重解题方法和思维能力的培养，才能在竞赛中取得好成绩。
初中数学竞赛辅导材料目录
初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目，以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录，通过系统的学习与实践，相信学生们可以提升数学竞赛的能力，取得更好的成绩。
祝学习愉快！。
初中数学定义的总结归纳
初中数学定义的总结归纳初中数学是一门基础学科，涉及各种数学概念和定义。
这些定义为我们打下了牢固的数学基础，帮助我们理解和应用数学知识。
在本文中，我们将对初中数学中的一些重要定义进行总结归纳。
一、集合的定义和运算集合是由一定规则确定的、具有某种共同特征的对象的整体。
在集合的定义中，元素和特定规则是最重要的概念。
例如，我们可以将一组数字构成的集合表示为A={1, 2, 3, 4, 5}。
其中，大括号表示集合，逗号分隔各个元素。
在集合中，还存在一些基本的运算，如并集、交集和差集。
并集表示两个或多个集合中的所有元素的总和。
交集表示两个或多个集合中共同存在的元素。
差集表示一个集合减去另一个集合中共有的元素。
通过运用这些运算，我们可以更方便地处理集合相关的问题。
二、函数的定义和性质函数是数学中的一个重要概念，大多数与函数相关的问题都围绕着自变量和因变量之间的关系展开。
函数可以理解为每个自变量都对应唯一一个因变量的规则。
函数通常用符号表示，如f(x)。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
定义域是指所有自变量的取值范围，而值域是指所有因变量的取值范围。
对应关系表示自变量与因变量之间的对应关系。
函数的性质包括奇偶性、单调性和周期性。
奇偶性指函数图像关于y轴对称或关于原点对称。
单调性指函数在定义域内的增减关系，可以是单调递增或单调递减。
周期性指函数在一定范围内的重复性。
三、几何图形的定义和性质在几何中，不同的几何图形有不同的定义和性质。
几何图形的定义是通过其特征和属性来确定的。
例如，三角形是由三个线段组成的图形，每个线段的一端都连接着其他两个线段的端点。
三角形的性质包括边长关系、角度关系和面积公式等。
通过学习和理解这些定义和性质，我们可以计算和推导与三角形相关的问题。
四、方程和不等式的定义和解法方程和不等式是初中数学中常见的问题类型。
方程是由等号连接的两个代数式，未知数在方程中起到确定值的作用。
不等式是由不等号连接的两个代数式，未知数在不等式中表示一个值的范围。
数学竞赛初赛考试范围
数学竞赛初赛考试范围
数学竞赛初赛考试的范围包括以下内容：
1. 数学概念和定义：包括各种数学概念的定义、性质、公式等。
2. 数学运算：涉及四则运算、整式的加减乘除、分式的加减乘除、开方、乘方、根式化简等。
3. 整数与分数：整数的性质、四则运算、整除性质、最大公约数和最小公倍数、分数的性质、分数的加减乘除、约分与通分等。
4. 代数与方程：一元一次方程、一元一次不等式、解方程与不等式、二次跟式化简与因式分解、二次方程、二元一次方程组等。
5. 几何：平面几何基本概念及性质、几何图形的计算（面积、周长、体积等）、三角形、直角三角形、全等、相似、三角形面积、平行和垂直等。
6. 函数：函数的概念、函数性质、函数的图像、函数的运算、函数方程、反函数等。
7. 概率与统计：概率的基本概念、概率的计算、事件的互斥和独立性、排列组合、统计的基本概念、统计的计算等。
需要注意的是，不同国家、不同学校的数学竞赛初赛可能存在差异，具体的考试范围应以考试规定为准。
最全面的初中数学概念定义公式大全
初中数学定义定理公式总结一、基本知识㈠、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
中学数学概念的定义规则
中学数学概念的定义规则
中学数学概念的定义规则通常包括以下几个方面：
1.明确性：每个数学概念的定义应该是清晰、明确的，不容易
产生歧义或多种解释。
2.准确性：定义应该符合数学的逻辑和基本原则，不能包含任
何错误或矛盾的内容。
3.简洁性：定义应该简洁明了，避免使用过多的术语或复杂的
表达方式。
4.基于已知概念：新概念的定义应该是建立在已有的数学概念
基础之上，不能是完全独立的。
5.充分性：定义应该包含概念的必要和充分条件，确保每个概
念都能被准确地判断和应用。
6.一般性：定义应该是具有一般性的，适用于不同情境和问题，而不是特定的例子或特殊条件。
7.可扩展性：定义应该是可以扩展和推广的，能够适应发展和
变化的数学领域。
8.避免循环定义：避免使用循环定义，即定义一个概念时又依
赖于该概念本身。
以上是一些常见的中学数学概念的定义规则，这些规则有助于确保概念的准确性、一致性及应用的可行性。
数学复习概念与定义
数学复习概念与定义数学是一门基础学科，它的核心是概念和定义。
数学的概念和定义是构建数学体系的基石，也是学习数学的起点。
在本文中，我们将回顾一些数学中常见的概念与定义，并给出相应的答案和解析。
一、集合与运算1. 集合的定义及表示方法答案：集合是由一些互不相同的元素组成的整体。
用大写字母表示集合，集合中的元素用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，表示A由元素1、2、3组成。
解析：集合是数学中最基本的概念之一，它是研究对象的一种抽象表示。
2. 集合的运算及性质答案：集合的运算包括并集、交集和补集。
并集表示两个集合中所有元素的集合，交集表示两个集合中共有元素的集合，补集表示一个集合中不属于另一个集合的元素的集合。
解析：集合的运算是对集合中元素的操作，通过运算可以得到新的集合。
二、函数与方程1. 函数的定义及表示方法答案：函数是一种映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为函数值。
解析：函数描述了自变量和函数值之间的关系，是数学中最重要的概念之一。
2. 方程的定义及解法答案：方程是等式的一种特殊形式，其中包含未知数。
解方程就是求出使方程成立的未知数的值。
方程的解可以用实数、复数等表示。
解析：方程是数学中常见的问题，解方程是求解问题的关键步骤。
三、数列与级数1. 数列的定义及表示方法答案：数列是按照一定规律排列的一组数。
数列可以用通项公式表示，通项公式表示了数列中任意一项与项数之间的关系。
解析：数列是数学中研究数的序列的一种方法，它的规律对于解决实际问题非常重要。
2. 级数的定义及性质答案：级数是将数列中各项按顺序求和得到的结果。
级数可以收敛或发散，收敛表示级数的和存在且有限，发散表示级数的和不存在或为无穷大。
解析：级数是数学中的重要概念，研究级数的性质可以进一步了解数列的性质。
四、几何与图形1. 几何图形的定义及表示方法答案：几何图形是由点、线、面等几何元素组成的图形。
数学概念的深入理解与运用
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多做练习，提高解题能力
练习是巩固数 学概念的重要 途径
通过解题加深 对数学概念的 理解
不断练习，提 高解题速度和 准确性
学会总结解题 方法和思路
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拓展视野，了解数学概念在其他领域的应用
数学在物理学中的 应用：如牛顿的万 有引力定律、爱因
斯坦的相对论等
势。
制作游戏和娱乐项目：运 用数学概念设计游戏规则 和关卡，增加游戏的趣味
性和挑战性。
数学概念的深入理解与运用实 例
代数概念的深入理解与运用实例
代数方程：通过代 数方法求解方程， 理解方程的解的概 念，掌握解方程的 方法。
代数式：理解代数 式的概念，掌握代 数式的化简和求值 的方法。
函数：理解函数的 概念，掌握函数的 表示方法和性质， 能够运用函数解决 实际问题。
总结归纳：对学过 的数学概念进行总 结归纳，形成系统 化的知识体系，有 助于加深理解和记
忆。
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数学概念的运用
数学概念在解题中的应用
数学概念在代数中 的应用：通过掌握 代数概念，可以解 决代数问题，如方 程求解、不等式证
明等。
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数学概念在几何中 的应用：几何概念 是解决几何问题的 关键，如掌握三角 形、四边形、圆等 概念可以解决相关
学能力。
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为未来的学习和工作奠定坚实基础
数学概念是数学学科 的基础，深入理解与 运用数学概念有助于 提高数学素养和数学 思维能力。
掌握数学概念对于解 决实际问题、进行科 学研究和创新具有重 要意义，能够为未来 的学习和工作提供重 要的支持。
初中数学概念理解指南
初中数学概念理解指南数学是研究数量、结构、变化和空间等概念的学科。
它不仅是一门基础学科，也是一门应用广泛的学科。
在中学阶段，数学是学生必须学习的一门重要学科。
而数学的学习不仅仅是为了应对考试，更重要的是培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
主要学习内容初中数学的主要内容包括：有理数、实数、代数、几何、概率等。
每一个部分都有其独特的概念和性质，学生需要通过系统地学习，掌握每一个部分的基本概念和运算方法。
学习注意事项在学习数学的过程中，有两点需要注意：一是概念的理解，二是运算的熟练。
概念是数学的基石，只有对概念有了深入的理解，才能正确地运用它们解决问题。
而运算的熟练则是解决问题的关键，只有熟练掌握了运算方法，才能快速准确地解决问题。
主要学习方法和技巧1. 理解概念在学习数学时，首先要理解每一个概念的定义和性质。
可以通过查阅课本、向老师请教等方式，确保自己对概念的理解是正确的。
2. 做题巩固做题是学习数学的重要方法。
通过做题，可以巩固所学的知识，提高解决问题的能力。
在做题的过程中，要注意总结规律，归纳方法，这样能事半功倍。
3. 反思总结在学习数学的过程中，要及时反思总结。
对于错题，要分析其原因，是因为概念理解不清，还是运算方法不熟练。
只有找到了原因，才能避免同样的错误再次发生。
中考备考技巧在中考备考阶段，学生需要有针对性地进行复习。
首先，要系统地复习每一个部分的概念和性质，确保自己对数学有一个全面的理解。
其次，要进行大量的练习，提高解决问题的能力。
最后，要进行模拟考试，检验自己的复习效果。
提升学习效果的策略为了提升学习效果，学生可以采取以下策略：1.制定学习计划。
根据自己的学习情况，合理地安排学习时间，确保每一个部分都能得到充分的复习。
2.寻找学习伙伴。
和同学一起学习，可以相互激励，共同进步。
3.利用网络资源。
现在有很多在线教育平台，提供了丰富的学习资源，学生可以利用这些资源，提高自己的学习效果。
希望这份指南能帮助你在数学的学习道路上走得更远。
初中数学竞赛专题复习 第四篇 组合 第29章 图论初步试题 新人教版
第29章 图论初步29.1.1* 某大型晚会有2009个人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人．解析 2009这个数目较大，我们先考虑：某小型晚会有5人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人．用5个点1v 、2v 、3v 、4v 、5v 表示5个人，如果两个人彼此认识（本章中的“认识”都是指相互认识），就在表示这两个人的顶点之间连一条边．对顶点功来说，由于1v 所表示的人至少认识其他4个人的一个，不妨设1v 与2v 认识，即1v 和2v 相邻，同样，设3v 与4v 相邻，如图所示．对于顶点5v 来说，无论它与1v 、2v 、3v 、4v 哪个相邻，都会出现一个顶点引出两条边的情况．于是问题得以解决．v 1vv 3v 4v 5用同样的方法可以证明，对2009个人来说，命题成立．其实，把2009换成任意一个大于l 的奇数，命题也成立．29.1.2* 在一间房子里有n （n >3）个人，至少有一个人没有和房子里每个人握手，房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是多少？解析 用n 个顶点表示n 个人，若某两个人握过手，就在他们相应的顶点之间连一条边，这样就得到了一个图G ．因为不是任何两个人都握过手，所以G 的边数最多是完全图n K （即n 个点每两点之间恰连一条边）的边数减1，去掉的那条边的两个端点v 和v '所表示的两个人未握过手．所以房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是2n -．29.1.3*** 九名数学家在一次国际数学会议上相遇，发现他们中的任意三个人中，至少有两个人可以用同一种语言对话．如果每个数学家至多可说三种语言，证明至少有三个数学家可以用同一种语言对话．解析 用9个点1v ，2v ，…，9v 表示这九名数学家，如果某两个数学家能用某种语言对话，就在他们相应的顶点之间连一条边并涂以相应的颜色．我们要证明的是：存在三个顶点i v 、j v 、k v ，使得边（i v ，j v ）和（i v ，k v ）是同色的．这样的，i v 、j v 、k v 这三名数学家就能用同一种语言对话．下面就顶点1v ，分两种情形：（1）1v 与2v ，…，9v 均相邻，由于每个数学家至多能说三种语言，所以每一个顶点引出的边的颜色至多是三种．根据抽屉原理知，从1v 发出的8条边中至少有2条是同色的，不妨设为（1v ，2v ）、（1v ，3v ）．于是1v 、2v 、3v 所表示的三名数学家能用同一种语言对话．见图（a ）．(a)(b)vv 3v 4569v 32v(c)v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8123456791011128（2）1v 与2v ，3v ，…，9v 中的至少一点不相邻，不妨设功与功不相邻．由于任意三个数学家中，至少有两个人可以用同一种语言对话，所以，3v ，4v ，…，9v 中的每一个不是和研相邻就是和功相邻，根据抽屉原理可知，其中至少有4个点与1v 或2v 相邻．不妨设3v 、4v 、5v 、6v 与1v 相邻，如图（b ），再对1v 引出的这4条边用抽屉原理可得，至少有2条边是同色的，设为（1v ，3v ）、（1v ，4v ）．于是1v 、3v 、4v 所表示的三名数学家能用同一种语言对话．评注 若本题中的九改成八，则命题不成立．反例如图（c ）所示．图中每条边旁的数字表示不同的语种．29.1.4** 证明任何一群人中，至少有两个人，它们的朋友数目相同．解析 设任意给定的一群人有n 个．用顶点表示这n 个人．当且仅当顶点u 、v 表示的两个人是朋友时令u 、v 相邻，得到n 个顶点的简单图G ．对G 中任意x ，由于它可以和其他1n -个顶点相邻，所以顶点x 的度d （x ）满足()01d x n -≤≤，即图G 的顶点度只能是n 个非负数0，1，…，1n -中的一个．如果图G 的顶点的度都不相同，则图G 具有0度顶点u 和1n -度顶点v ．1n -度顶点和G 中其他顶点都相邻，特别地和顶点u 相邻．但0度顶点u 和G 中任何顶点都不相邻，矛盾．这就证明了G 中必定有两个顶点，它们的度相同．也就是说，这群人必有两个人，他们的朋友一样多．29.1.5*** 有一个参观团，其中任意四个成员中总有一名成员原先见过其他三名成员．证明：在任意四名成员中，总有一名成员原先见过所有成员．解析 用图论语言表示即：图G 的任意四点中至少有一个顶点和其他三个顶点相邻．证明图G 任意四个顶点中至少一个顶点和G 中其他所有顶点都相邻．用反证法．如果命题不成立，则G 中有四个点x 、y 、z 、w ，它们和图G 中的其他所有顶点不都相邻．于是存在四个顶点x '、y '、z '、w '（不一定不同）它们依次与x 、y 、z 、w 都不相邻．如图．所以x '不是y 、z 、w 中的一个，且y '与x 是两个不同的顶点．如果y '与x '不同，则x 、y 、x '、y '中没有一个顶点和其他三个顶点都相邻，和已知矛盾．所以y '和x '重合．同理可证，z '和x '重合．于是x '和y '、z 、w 都不相邻，和已知矛盾． 这就证明了图G 中任意四个顶点中至少有一个顶点和G 的其他所有顶点都相邻．x'y'z'w'xwz29.1.6** 是否存在这样的多面体，它有奇数个面，每个面有奇数条棱？解析 不存在这样的多面体．事实上，如果这样的多面体存在，那么用顶点表示这个多面体的面，并且仅当i v 、j v 所代表的两个面有公共棱时，在图G 相应的两顶点之间连一条边，依题意()d v 是奇数，于是奇数个奇数和也是奇数．而这一个图中的顶点的和为偶数矛盾．评注 关于图G 的顶点和边数之间的关系，有如下定理：图G 中边数的两倍等于顶点度数之和．即若G 中n 个顶点为1v ，2v ，…，n v ，边数为e ，则()()()122n d v d v d v e ⋯+++=．29.1.7* n 名选手进行对抗赛，每名选手至多赛一场，每场两名选手参加，已赛完1n +场．证明：至少有一名选手赛过三次．解析 把选手看成顶点．当且仅当i v 、j v 所代表的两名选手比赛过时，令i v 、j v 相邻，得到含n 个顶点的简单图．由于总共赛过1n +场，所以，图G 的边数是1n +．于是 ()()()()1221n d v d v d v n ⋯+++=+．如果图G 中所有顶点的度都不超过2，则由上式得到 ()()()()12212n n d v d v d v n ⋯+=+++≤，这不可能．因此图G 中至少有一个顶点x ，它的度至少是3．于是，顶点x 所表示的选手至少赛过三次． 29.1.8** 一航空线路共连结50个城市，现要求从一个城市到另一城市至多需换乘两次飞机，问航空线路最少要多少条（任两城市之间的航空线路数为0或1）？解析 不妨将50个城市看成50个点，它们之间连的线构成一连通图．图论告诉我们，如果每一点的度（即出发的线条数）至少为2，则由于边数为点度之和的一半，其数值不小于50；若有一个点的度为1（显然连通图不存在度为0的孤立点），则可通过删去该点证明。
初中数学概念、定义、定理、公式
初中数学概念、定义、定理、公式初中数学概念、定义、定理逻辑与命题1.仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的。
2.判断某一件事情的句子叫做命题。
3.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题。
4.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题。
5.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
初中数学概念、定义、定理、公式1.互为相反数的两数和为0。
一个数与0相加，仍得这个数。
2.有理数加法运算律交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)3.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。
4.有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘都得0。
5.有理数乘法运算律交换律：a*b=b*a结合律：(a*b)*c=a*(b*c)分配率：a*(b+c)=a*b+a*c6.有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
7.有理数的乘方求相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。
8.9.正数的任何次幂都是正数。
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
10.一个大于10的数可以写成a脳10n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数法称为科学计数法。
11.有理数混合运算顺序先乘方，再乘除，最后加减。
如果有括号，先进行括号内的运算。
12.幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a m)n=a mn(m、n是正整数)13.积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n=a n b n(n是正整数)14.同底数幂相除，底数不变，指数相减。
(m、n是正整数，m>n)15.任何不等于0的数的0次幂等于1。
16.任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数。
初中数学概念定义、定理、公式
初中数学概念、定义、定理逻辑与命题1.仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的。
2.判断某一件事情的句子叫做命题。
3.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题。
4.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题。
5.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
数系及运算1.正数是比0大的数。
2.负数是比0小的数。
3.0既不是正数，也不是负数。
4.数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
5.符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数。
6.0的相反数是0。
7.两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数反而小。
8.有理数加法法则9.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
10.异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
11.互为相反数的两数和为0。
12.一个数与0相加，仍得这个数。
13.有理数加法运算律14.交换律：a+b=b+a15.结合律：(a+b)+c=a+(b+c)16.有理数减法法则17.减去一个数，等于加上这个数的相反数。
18.有理数乘法法则19.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
20.任何数与0相乘都得0。
21.有理数乘法运算律22.交换律：a*b=b*a23.结合律：(a*b)*c=a*(b*c)24.分配率：a*(b+c)=a*b+a*c25.有理数除法法则26.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
27.有理数的乘方28.求相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。
29.正数的任何次幂都是正数。
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
30.一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数法称为科学计数法。
初中数学竟赛辅导资料：概念的定义
初中数学竞赛辅导资料(29)概念的定义甲内容提要和例题1.概念是反映事物本质属性的思维形态。
概念是用词(或符号)表现出来的。
例如：水果，人，上午，方程，直线，三角形，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。
2.概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。
例如水果这一概念指的是桃，李，苹果，……这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。
人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，3.正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。
4.理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：①明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；②明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。
例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。
又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。
就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。
一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。
5.概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。
数学概念的基本定义方式是种属定义法。
在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）种属定义法可表示为：被定义的概念＝种概念＋类征（或叫属差）例如：方程＝等式＋含未知数又如：无理数＝小数＋无限不循环或无理数＝无限小数＋不循环再如等腰三角形＝三角形＋有两条边相等6.基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。
初中数学概念、定义、定理、公式1
初中数学概念、定义、定理、公式第二版82111668_2021编2021年5月逻辑与命题1.仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的。
2.判断某一件事情的句子叫做命题。
3.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题。
4.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题。
5.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
数系及运算1.正数是比0大的数。
2.负数是比0小的数。
3.0既不是正数，也不是负数。
4.数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
5.符号不同、绝对值一样的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数。
6.0的相反数是0。
7.两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数反而小。
8.有理数加法法那么同号两数相加，取一样的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两数和为0。
一个数与0相加，仍得这个数。
9.有理数加法运算律交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)10.有理数减法法那么减去一个数，等于加上这个数的相反数。
11.有理数乘法法那么两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘都得0。
12.有理数乘法运算律交换律：a*b=b*a结合律：(a*b)*c=a*(b*c)分配率：a*(b+c)=a*b+a*c13.有理数除法法那么除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
14.有理数的乘方求一样因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。
15.16.正数的任何次幂都是正数。
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
17.一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数法称为科学计数法。
初中数学概念、定义、定理、公式
初中数学概念、定义、定理逻辑与命题1.仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的。
2.判断某一件事情的句子叫做命题。
3.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题。
4.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题。
5.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
数系及运算1.正数是比0大的数。
2.负数是比0小的数。
3.0既不是正数，也不是负数。
4.数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
5.符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数。
6.0的相反数是0。
7.两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数反而小。
8.有理数加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两数和为0。
一个数与0相加，仍得这个数。
9.有理数加法运算律交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)10.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。
11.有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘都得0。
12.有理数乘法运算律交换律：a*b=b*a结合律：(a*b)*c=a*(b*c)分配率：a*(b+c)=a*b+a*c13.有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
14.有理数的乘方求相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。
15.16.正数的任何次幂都是正数。
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
17.一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数法称为科学计数法。
18.有理数混合运算顺序先乘方，再乘除，最后加减。
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初中数学竞赛辅导资料(29)
概念的定义
甲内容提要和例题
1.概念是反映事物本质属性的思维形态。
概念是用词(或符号)表现出来的。
例如：水
果，人，上午，方程，直线，三角形，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。
2.概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。
例如水果这一概念指的是
桃，李，苹果，……这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。
人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，
3.正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。
4.理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：
①明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；
②明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。
例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。
又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。
就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。
一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。
5.概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。
数学概念的基本定义方式是种属定义法。
在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）种属定义法可表示为：被定义的概念＝种概念＋类征（或叫属差）
例如：方程＝等式＋含未知数
又如：无理数＝小数＋无限不循环
或无理数＝无限小数＋不循环
再如等腰三角形＝三角形＋有两条边相等
6.基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上
位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。
如点，线，集合等都是基本概念。
不定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。
例如：几何中的“点”是这样描述的：线与线相交于点。
点只表示位置，没有大小，
不可再分。
“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。
有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。
7. 概念的定义也可用外延法。
即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。
例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。
对同一个概念有时可用几种不同的定义法。
例如：“有理数”可定义为
① 有限小数和无限循环小数叫做有理数。
②整数和分数统称有理数。
前者是用上位概念“小数”加上类征“有限，无限循环”来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。
8. 正确的概念定义，要遵守几条规则。
①不能循环定义。
例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义）
② 定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。
例如若用“无限小数叫做无理数”
来定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。
③ 定义用语要简单明确，不要含混不清。
④ 一般不用否定语句或比喻方法定义。
9. 定义可以反叙。
一般地，定义既是判定又是性质。
例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
这里“等腰三角形“是被定义的
概念，而“有两边相等的三角形”是用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，
所以两者可易位，即定义可反叙。
所以由定义可得
等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。
等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。
10. 数学概念要尽可能地用数学符号表示。
例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在△ABC 中，AB ＝AC
直角三角形，要写出哪个是直角， 在Rt △ABC 中，∠C ＝Rt ∠
又如 实数a 的绝对值是非负数，记作 a ≥0，“≥”读作大于或等于。
11. 运用定义解题是最本质的解题方法 例如：绝对值的定义，可转化为数学式子表示a ＝⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(a a a a a
含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后解答。
如：化简：1-+x x 可等于⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+<≤--<---)1)(1()10)(1()0)(1(x x x x x x x x x 解方程：1+x ＝2x+1可化为 当x<-1时， －（x+1）=2x+1；
当x ≥－1时， x+1=2x+1。
解不等式 x -1＜2 可解两个不等式组：
⎩⎨⎧<--<2)1(0-1x x ⎩⎨⎧<-≥-2
101x x
乙练习29
1. 叙述下列各概念（名词）的定义，并画出图形，用数学符号表示：
①算术平方根 ②开平方 ③三角形的高
④线段的中垂线 ⑤点到直线的距离 ⑥两点的距离
2. 叙述下列各概念（名词）的定义，并指出定义中的“种”概念和
“类征”（属差）
①锐角 ②直角三角形 ③平行四边形 ④分式方程
3. 叙述下列各概念（名词）的定义，并举列说明它的外延
① 整式 ②有理方程 ③梯形 ④平行四边形
4. 试用外延法定义下列各概念
① 实数 ②有理式 ③非负数
5. 写出下列各概念的定义，并结合图形，把它说成判定和性质。
① 等边三角形定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ A 如果△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，那么 ＿＿＿＿＿＿＿＿
如果△ABC 是等边三角形，那么 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
B C
② 互为余角的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
判定：如果＿＿＿＿＿＿＿＿那么 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿
性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 三角形中线的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
判定：如果△ABC 中，＿＿＿＿＿那么＿＿＿＿＿＿＿
性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6. 运用定义解题：
① 当a 取值为＿＿＿＿时，代数式22)1(a a --是二次根式。
② 当x____时，代数式x x -+-33有意义
③ 若最简根式131+x 与31
5+y 是同类二次根式，则x=__,y=__.
④ 已知7x n-2m y 与－3x 5y 2m-1是同类项，那么 m=___,n=___
⑤ 已知m 是整数，且61
+m 与47m
是同类二次根式，求m 的值。
⑥ 已知⎩⎨⎧-=-=21y x 是方程a x －3y=5
的一个解，则a=____
⑦ 已知2是方程5x 2＋kx-6=0的一个解,求k 值及另一个解
⑧ 已知锐角△ABC 中，两条高AD 和BE 相交于O ，
求证：∠CAD ＝∠CBE
⑨解方程 211--=+x x （1990年泉州市初二数学双基赛题） ⑩解不等式：12-x ＜3 21
-x ≥5
7.已知方程x ＝ax+2有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是（
） （
A ）a>-1 (B) a=1 (C) a ≥1 （D ）非以上答案
（1987年全国初中数学联赛题）。