第十三章 简单回归和相关分析研究两个变量之间的关系
第十三章简单回归和相关分析研究两个变量之间的关系
= 9.80 （亿元）
相关系数的计算
r r2
nXY XY
=
nX2 X2 nY2 Y2
=0.8257
相关系数对样本相关关系的计量
｜ r ｜值
1 0.8 ～ 1 0.5 ～ 0.8 0.3 ～ 0.5 0 ～ 0.3
利润额（亿元）
140 120 100 80 60 40 20
0 0
50
100
150
200
250
300
销售额（亿元）
销售额为 200 亿元时利润额的平均值 Yc = － 1.43 + 0.49 × 200 = 96.57 （ 亿 元 ）
估计标准误 68634 －（－ 1.43 ）× 788 － 0.49 × 140653
– 线性相关回归 – 非 线性相关回归
按 两变量变动的方向可分
– 正相关回归 – 负相关回归
分析统计关系的定量方法
分析统计 关系的 方法
回归分析 相关分析 其他方法
1996 年 12 个沿海省、直辖市、自治区 大型零售、批发贸易业企业利润额与销售额
单位：亿元
省、市、区
销售总额
利润总额
北京
147
y66 2.15 0.22 66 15.35
1
66 71.62
Syi 3.18 10 1 5636810 71.62 4.0071
Yi 的置信区间为
15.35 t84.0071 15.35 2.3064.0071
(6.11 24.54)
请解释结果：
为什么 Yi 的置信区间比 yx的
双变量回归和相关
3.60
3.40
3.20
尿
3.00
酐肌
2.80
2.60
2.40
4
6
8
10
12
14
年龄
图9-1 8名儿童的年龄与其尿肌酐含量散点图
研究的两个指标之间存在依存关系，对指标进 行观测，观测结果作散点图，若绘出的点在一条直 线附近，则表示这两个指标之间可能存在着线性依 从关系。
两个指标之间的线性依从关系可以通过直线回 归方程来表示。
b=0.1392，Sb=0.0304，t0.05/2,6=2.447
b t / 2 , S b 0 . 1 3 9 2 2 . 4 4 7 0 . 0 3 0 4 ( 0 . 0 6 4 8 , 0 . 2 1 3 6 )
所以，总体回归系数β的95%可信区间为： （0.0648，0.2136）
例9-2 检验例9-1数据得到的直线回归方程是否成立？
① 建立假设并确定检验水准
H0：β=0 H1：β≠0
α=0.05
② 计算统计量F
S S 回 归 lX 2 YlX X 5 .8 4 5 24 2 0 .8 1 3 4 1
S S 残 差 S S 总 S S 回 归 1 . 0 4 6 2 0 . 8 1 3 4 0 . 2 3 2 8 n 2 8 2 6
在直线回归中对回归系数进行假设检验，t检验 和F检验等价，t2=F
（二）总体回归系数β的可信区间
总体回归系数β的可信度为1-α的可信区间：
b t /2, Sb
Sb
SY X lXX
SYX
MS残差
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析导言回归分析与相关分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系。
在本文中，我们将对回归分析和相关分析进行详细探讨，并介绍它们的原理、应用和实例。
一、回归分析回归分析是通过建立一个数学模型来描述一个或多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们预测因变量的取值，并理解自变量对因变量的影响程度。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最常见的一种方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳拟合直线，从而预测因变量的取值。
1.2 多元线性回归多元线性回归是对简单线性回归的拓展，它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳的多元回归方程，从而预测因变量的取值。
1.3 逻辑回归逻辑回归是回归分析在分类问题上的一种应用。
它能够根据自变量的取值，预测因变量的类别。
逻辑回归常用于预测二分类问题，如预测一个学生是否会被大学录取。
二、相关分析相关分析是研究两个或多个变量之间相关关系的一种方法。
它可以帮助我们了解变量之间的关联程度，以及一个变量是否能够作为另一个变量的预测因子。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是一种衡量两个连续变量之间线性相关程度的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时，表示两个变量正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量无相关关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种衡量两个变量之间的非线性相关程度的统计量。
它的取值范围也在-1到1之间，但它适用于衡量非线性关系和顺序关系。
斯皮尔曼相关系数广泛应用于心理学和社会科学领域。
应用实例为了更好地理解回归分析与相关分析的应用，让我们通过一个实际案例来说明。
假设我们想研究某个国家的人均GDP与教育水平之间的关系。
我们收集了10个州的数据，包括每个州的人均GDP和受教育程度指数。
我们可以利用回归分析来建立一个数学模型，从而预测人均GDP与受教育水平之间的关系。
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析回归分析是通过建立一个数学模型来研究自变量对因变量的影响程度。
回归分析的基本思想是假设自变量和因变量之间存在一种函数关系，通过拟合数据来确定函数的参数。
回归分析可以分为线性回归和非线性回归两种。
线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系，非线性回归是指自变量和因变量之间存在非线性关系。
回归分析可用于预测、解释和控制因变量。
回归分析的应用非常广泛。
例如，在经济学中，回归分析可以用于研究收入与消费之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用于研究生活方式与健康之间的关系。
回归分析的步骤包括确定自变量和因变量、选择合适的回归模型、拟合数据、检验模型的显著性和解释模型。
相关分析是一种用来衡量变量之间相关性的方法。
相关分析通过计算相关系数来度量变量之间的关系的强度和方向。
常用的相关系数有Pearson相关系数、Spearman相关系数和判定系数。
Pearson相关系数适用于连续变量，Spearman相关系数适用于顺序变量，判定系数用于解释变量之间的关系。
相关分析通常用于确定两个变量之间是否相关，以及它们之间的相关性强度和方向。
相关分析的应用也非常广泛。
例如，在市场研究中，相关分析可以用于研究产品价格与销量之间的关系；在心理学研究中，相关分析可以用于研究学习成绩与学习时间之间的关系。
相关分析的步骤包括确定变量、计算相关系数、检验相关系数的显著性和解释相关系数。
回归分析与相关分析的主要区别在于它们研究的对象不同。
回归分析研究自变量与因变量之间的关系，关注的是因变量的预测和解释；相关分析研究变量之间的关系，关注的是变量之间的相关性。
此外，回归分析通常是为了解释因变量的变化，而相关分析通常是为了量化变量之间的相关性。
综上所述，回归分析和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
回归分析用于确定自变量与因变量之间的关系，相关分析用于测量变量之间的相关性。
回归分析和相关分析在实践中有广泛的应用，并且它们的步骤和原理较为相似。
相关与回归分析
相关与回归分析相关与回归分析是统计学中常用的方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
通过这种分析方法，我们可以了解这些变量之间的相互作用、依赖程度以及预测未来可能的变化。
一、相关分析相关分析是一种用来衡量两个变量之间相关程度的方法。
通常情况下，我们可以通过计算相关系数来确定变量之间的关联程度，最常见的相关系数是皮尔逊相关系数。
皮尔逊相关系数的取值范围为-1到1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示不相关。
通过计算样本数据的皮尔逊相关系数，我们可以得出结论，判断变量之间的关系是正相关还是负相关。
相关分析的应用非常广泛，可以用在市场调研、经济预测、医学研究等领域。
例如，在市场调研中，我们可以通过相关分析来了解广告投放与销售额之间的关系，进而优化广告策略。
二、回归分析回归分析是一种通过建立数学模型来研究自变量与因变量之间关系的方法。
回归分析主要用于预测与解释因变量的变化。
在回归分析中，根据自变量的类型，可以分为线性回归和非线性回归。
1. 线性回归线性回归是指自变量与因变量之间存在线性关系的回归模型。
线性回归模型可以用直线方程来表示，即y = a + bx。
其中，a表示截距，b表示斜率，x表示自变量，y表示因变量。
线性回归分析可以用于预测未来的趋势，以及通过自变量来解释因变量的变化。
在金融领域中，我们经常使用线性回归来预测股票价格的变化。
2. 非线性回归非线性回归是指自变量与因变量之间存在非线性关系的回归模型。
与线性回归不同，非线性回归的数学模型一般无法用简单的直线方程表示。
非线性回归分析可以用来研究自变量与因变量之间的复杂关系。
例如，在生物学研究中，我们可以使用非线性回归来研究温度与生物体生长速度之间的关系。
三、相关与回归分析实例为了更好地理解相关与回归分析的应用，我们来看一个实例。
假设我们有一份房屋销售数据，其中包括房屋面积、售价以及地理位置等信息。
我们可以使用相关与回归分析来探索这些变量之间的关系。
回归与相关是研究变量之间关系的统计方法
（2）t 检验 t=（b—0）/ Sb，v = n—2，
Sb = S Y，X / √∑（X—x）2＝ 0.2877 /√ 306.6667
= 0.0164
SY，X = √SS剩 / （n—2）=√0.8280÷10＝0.2877 …剩余标准差
t= 0.058826 / 0.0164 = 3.581 查t界值表，p=0.005，按α=0.05水准拒绝无效假设，故可认 为女大学生的肺活量与体重之间的回归方程成立。
2）分析前应绘制散点图；
3）应在实际回归范围内应用，
内插、外延
若无充分理由证明超出自变量取值范围还是直线，则避免外
延。
4）要假设检验，且结论不能绝对化
三、直线相关、回归的区别与联系
1. 区别:
(1)在资料要求上不同; 回归: 要求Y服从正态分布，X是可以精确测量或严格控 制 的。 此类回归一般称 I 型回归。
a = 2.9025—0.058826×49.3333 = 0.000419
故回归方程为：Y = 0.000419 + 0.058826X
3、直线回归方程的图示
3、直线回归方程的图示 在自变量X的实测范围内任取相距较远且易读的两个X值，代入
方程求得两个Y。 如X1=42，Y 1=2.47，X2=58，Y 2=3.41，在图上确定
34.2
5
3
9
9
5.9 9
77.6
10
--1
1
10
10.0 10
合计
55.1
8
2
4
42
基本思想
U和V的差值反映了X、Y的秩次排列一致性的情况。在n一定时,∑d2
的最大值反映X、Y的秩次排列顺序完全相反, 即完全负相关；∑d2=0时 ，反映X、Y的秩次排列顺序完全相同, 即完全正相关。所以，∑ d2 从0 到最大值的范围内的变化，反映X、Y两变量的相关程度
第13章 简单线性回归与相关
b ( X X )(Y Y ) lXY
(X X)2
l XX
a Y bX
§ （1）方差分析
§ 其原理与前面的单因素方差分析相同，统计量F
的计算公式为，
F
SS回归 / 回归 SS 残差 / 残差
MS回归 MS 残差
§ （2）t检验 § 检验统计量t的计算公式为，
t b0 Sb
§ 其中Sb为回归系数的标准误，
Sb
SYX l XX
§ 3.回归分析的统计预测 § 所谓预测就是将预报因子（自变量）代入回归
方程对预报量进行估计。
§ （1）总体均数的置信区间
§ 2.线性相关系数（ Pearson积矩相关系数） 线性相关，又称简单相关，用来定量描述两个变 量间线性关系密切程度和相关方向的统计指标 ，适用于二元正态分布资料。
相关系数的计算公式为：
r (X X )(Y Y ) ( X X )2 (Y Y )2
§ 相关系数的统计检验是计算t统计量，计算公式 为：
§ （6）分层资料盲目合并时易出现假象。
分析实例
§ 对某省9个地区水质的碘含量及其甲状腺肿的患 病率作调查后得到一组数据，如图所示，试分 析不同地区的甲状腺肿的患病率高低与本地区 水质的碘含量有无关联？数据文件见例13-1.sav 。
§利用散点图观察两变量之间有无相关趋势。
1.操作步骤与界面说明
§ 距离分析可以计算距离测量指标或者相似性测 量指标 。
§ 1.距离测量指标
§ （1）区间变量（连续变量）：默认为Euclidean 距离（欧氏距离） ；有Euclidean距离 、平方 Euclidean距离 、块等。
两变量间相关与回归分析
cards;
11.0
0.5283
11.8
0.5299
12.0
0.5358
12.3
0.5292
13.1
0.5602
13.7
0.6014
14.4
0.5830
14.9
0.6102
15.2
0.6075
16.0
0.6411
;
proc corr;
var x y; run;
0.0154
lXY
(X
x )(Y
y)
XY
(
X
)(Y )
n
77.5595
(134.4)(5.7266) 10
0.5940
r lXY
0.5940
0.9592
lXX lYY 24.904 0.0154
4、相关系数的假设检验
H0：ρ= 0，两变量间无直线相关关系 H1：ρ≠0，两变量间有直线相关关系
proc plot;plot y*x='*';run;
第二节 直线回归
相关分析是描述两变量之间相互关系 回归分析是分析两变量间是否有依存关系 一、直线回归方程
Yˆ a bX
a称为截距， b称之为斜率或回归系数，表示 当自变量X每改变一个单位,因变量Y平均变动 的单位数。
最小二乘法：
b X x(Y y) XY X Y n lXY
示样本相关系数，ρ表示总体相关系数。它说明具有
直线关系的两个变量，相关关系的密切程度与相关方 向的指标。其值为－１≤r≤１。
计算公式
两个回归系数之间的关系
两个回归系数之间的关系两个回归系数之间的关系指的是，在多元线性回归模型中，不同自变量的系数之间是否存在相互作用或相关性。
在回归模型中，自变量的系数表示了自变量对因变量的影响程度，它们描述了自变量与因变量之间的线性关系。
当模型中存在多个自变量时，我们需要考虑不同自变量之间的关系，以获得更准确的模型。
首先，我们来看一下如何解释回归系数。
回归系数代表了自变量单位变化对因变量的影响。
如果一个回归系数为正，那么自变量的增加会导致因变量的增加；如果一个回归系数为负，那么自变量的增加会导致因变量的减少。
系数的绝对值越大，意味着自变量对因变量的影响越大。
然而，在实际问题中，多个自变量可能相互影响，这就引入了回归系数之间的关系。
我们从两个方面来讨论这种关系：线性相关性和交互作用。
首先，我们来考虑回归系数的线性相关性。
当模型中的自变量之间存在线性相关性时，它们的系数之间会出现相关关系。
线性相关意味着自变量之间存在一种线性的关系，其中一个自变量的变化可以通过另一个自变量的线性变化来解释。
在这种情况下，回归系数的解释将变得困难，因为我们无法准确地判断每个自变量对因变量的独立贡献。
为了检测回归系数之间的线性相关性，我们可以计算它们之间的相关系数。
常见的相关系数是皮尔逊相关系数，它测量了两个变量之间的线性关系强度和方向。
如果两个回归系数之间的相关系数接近于1或-1，那么它们之间存在强烈的线性相关性。
在这种情况下，我们可以考虑删除其中一个自变量或通过其他方法来解决多重共线性的问题。
其次，我们来考虑回归系数的交互作用。
交互作用指的是自变量之间的相互作用，即自变量之间的影响不是独立的，而是彼此影响。
交互作用可以通过在模型中引入交互项来表示，在此项中自变量相乘。
通过引入交互项，我们可以探索不同自变量之间是否存在非线性关系，从而更好地解释因变量的变化。
交互作用的存在会改变回归模型的解释和预测。
在交互作用存在的情况下，一个自变量的影响可能受到另一个自变量的调节。
检验自变量因变量关系的方法
检验自变量因变量关系的方法在科学研究中，为了确定自变量和因变量之间的关系，可以采用多种方法进行检验。
本文将介绍几种常用的方法，包括相关分析、回归分析和实验设计。
一、相关分析相关分析是用来检验两个变量之间的相关关系的一种统计方法。
它可以通过计算相关系数来衡量两个变量之间的线性相关程度。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
1.皮尔逊相关系数：适用于两个变量都是连续变量的情况。
它的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关，接近-1时表示呈负相关，接近0时表示没有线性相关。
2.斯皮尔曼相关系数：适用于两个变量中至少有一个是有序分类变量或者是偏态分布的连续变量的情况。
它的取值范围也在-1到1之间，但是它不要求变量之间的关系是线性的。
相关分析的优点是简单易行，可以帮助研究者快速了解两个变量之间的关系。
但是它只能检验两个变量之间是否存在相关关系，不能判断因果关系，可能存在其他变量的干扰。
二、回归分析回归分析是用来确定自变量和因变量之间关系的一种统计方法。
通过建立一个数学模型，来描述自变量对因变量的影响程度。
常见的回归分析方法有简单线性回归和多元线性回归。
1. 简单线性回归：适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。
它的模型为Y=a+bx，其中Y表示因变量，X表示自变量，a和b是回归系数。
简单线性回归可以用来分析两个变量之间的线性关系，通过计算回归系数b来判断自变量对因变量的影响程度。
2. 多元线性回归：适用于有多个自变量和一个因变量的情况。
它的模型为Y=a+b1x1+b2x2+...+bnxn，其中Y表示因变量，x1、x2、..、xn表示自变量，a、b1、b2、..、bn是回归系数。
多元线性回归可以用来分析多个自变量对因变量的影响程度，并且可以控制其他变量的影响。
回归分析的优点是可以确定自变量和因变量之间的量化关系，并且可以通过计算回归系数来判断影响程度。
但是需要满足一些假设前提，如误差项服从正态分布、自变量和因变量之间是线性关系等。
回归分析与相关分析联系、区别
回归分析与相关分析联系、区别简单线性回归分析是对两个具有线性关系的变量，研究其相关性，配合线性回归方程，并根据自变量的变动来推算和预测因变量平均发展趋势的方法。
回归分析（Regressionanalysis）通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。
主要内容和步骤：首先依据经济学理论并且通过对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量，一般情况下，自变量表示原因，因变量表示结果；其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；接着要估计模型的参数，得出样本回归方程；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验，计量经济学检验、预测检验；当所有检验通过后，就可以应用回归模型了。
回归的种类回归按照自变量的个数划分为一元回归和多元回归。
只有一个自变量的回归叫一元回归，有两个或两个以上自变量的回归叫多元回归。
按照回归曲线的形态划分，有线性（直线）回归和非线性（曲线）回归。
相关分析与回归分析的关系（一）相关分析与回归分析的联系相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和继续。
相关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表现变量之间数量变化的相关程度。
只有当变量之间存在高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
如果在没有对变量之间是否相关以及相关方向和程度做出正确判断之前，就进行回归分析，很容易造成“虚假回归”。
与此同时，相关分析只研究变量之间相关的方向和程度，不能推断变量之间相互关系的具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况，因此，在具体应用过程中，只有把相关分析和回归分析结合起来，才能达到研究和分析的目的。
（二）相关分析与回归分析的区别1．相关分析中涉及的变量不存在自变量和因变量的划分问题，变量之间的关系是对等的；而在回归分析中，则必须根据研究对象的性质和研究分析的目的，对变量进行自变量和因变量的划分。
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析回归分析是一种通过建立数学模型来预测或解释因变量与自变量之间关系的方法。
它的核心思想是通过对已有数据建立一个函数，通过这个函数可以推断其他未知数据的值。
常见的回归模型包括线性回归、多项式回归、逻辑回归等。
线性回归是最为常见的回归模型之一，其基本原理是通过拟合一条直线来描述自变量与因变量之间的关系。
在线性回归中，常常使用最小二乘法来确定最佳拟合直线。
最小二乘法通过使得残差平方和最小来确定回归系数。
回归系数表示了自变量与因变量之间的关系强度和方向。
除了线性回归，还有多项式回归可以拟合非线性关系。
逻辑回归则适用于因变量为二元分类变量的情况。
相关分析是一种用来研究变量之间相关性的方法。
它可以帮助我们判断两个变量之间是否存在其中一种关系，并且能够量化这种关系的强度和方向。
常见的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数是一种用来测量两个连续变量之间线性相关程度的指标。
它的取值范围为-1到+1之间，-1表示完全负相关，0表示无相关，+1表示完全正相关。
斯皮尔曼相关系数则是一种非参数的相关系数，适用于两个变量之间的关系非线性的情况。
回归分析和相关分析可以相互配合使用，用来探索和解释变量之间的关系。
首先，通过相关分析，可以初步判断两个变量之间是否存在相关性。
然后，如果判断出存在相关性，可以使用回归分析来建立一个数学模型，以解释自变量对因变量的影响。
总之，回归分析和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
它们可以帮助我们研究和解释变量之间的关系，并用于预测和控制因变量的变化。
了解和掌握这两种方法，对于研究者和决策者来说都是非常重要的。
相关分析与回归分析实现
相关分析与回归分析实现相关分析和回归分析是统计学中经常使用的两种方法，用于研究和分析变量之间的关系。
相关分析用于衡量两个变量之间的线性关系的强度和方向，而回归分析则用于建立一个或多个自变量和一个因变量之间的数学关系。
首先，我们来了解相关分析。
相关分析是一种用于衡量两个变量之间关系的方法。
常用的方法有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数用于衡量两个连续变量之间的线性关系的强度和方向。
它的取值范围在-1到1之间，-1表示完全的负相关，1表示完全的正相关，0表示没有线性关系。
斯皮尔曼相关系数用于测量两个变量之间的排序关系。
它对变量的数值大小不敏感，只关注变量之间的排序。
取值范围也是-1到1之间。
相关分析的步骤包括：收集数据、计算相关系数、检验相关系数的显著性。
在进行相关分析之前，我们需要确定两个变量是否满足线性关系的假设，这可以通过绘制散点图进行初步判断。
接下来，我们来介绍回归分析。
回归分析是一种用于建立一个或多个自变量和一个因变量之间的数学关系的方法。
这种数学关系被称为回归方程。
回归分析可以用于预测和解释因变量的变化。
在回归分析中，自变量可以是分类变量或连续变量。
回归分析根据自变量的类型可以分为线性回归和逻辑回归。
线性回归适用于因变量是连续变量的情况，逻辑回归适用于因变量是二分类或多分类变量的情况。
回归分析的步骤包括：收集数据、选择合适的回归模型、估计回归系数、检验回归系数的显著性、解释结果和预测。
在回归分析中，我们还需要考虑因变量和自变量之间是否存在多重共线性。
多重共线性可能会导致回归系数的估计不准确或难以解释。
我们可以通过计算变量之间的相关系数和方差膨胀因子(VIF)来识别多重共线性。
至此，我们已经了解了相关分析和回归分析的基本概念和步骤。
相关分析可以帮助我们衡量变量之间的关系强度，回归分析可以帮助我们建立和解释变量之间的数学关系。
这两种方法在实际应用中经常被用于解决问题和提供决策支持。
回归分析与相关分析的联系
回归分析与相关分析的联系：研究在专业上有一定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得直线回归方程等问题，需进行直线相关和回归分析。
从研究的目的来说，若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密切程度和方向，宜选用线性相关分析；若仅仅为了建立由自变量推算因变量的直线回归方程，宜选用直线回归分析。
从资料所具备的条件来说，作相关分析时要求两变量都是随机变量（如：人的身长与体重、血硒与发硒）；作回归分析时要求因变量是随机变量，自变量可以是随机的，也可以是一般变量(即可以事先指定变量的取值，如：用药的剂量)。
在统计学教科书中习惯把相关与回归分开论述，其实在应用时，当两变量都是随机变量时，常需同时给出这两种方法分析的结果；另外，若用计算器实现统计分析，可用对相关系数的检验取代对回归系数的检验,这样到了化繁为简的目的。
回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题，它们的差别主要是：
1、在回归分析中，y被称为因变量，处在被解释的特殊地位，而在相关分析中，x与y处于平等的地位，即研究x与y的密切程度和研究y与x的密切程度是一致的；
2、相关分析中，x与y都是随机变量，而在回归分析中，y是随机变量，x可以是随机变量，也可以是非随机的，通常在回归模型中，总是假定x是非随机的；
3、相关分析的研究主要是两个变量之间的密切程度，而回归分析不仅可以揭示x对y的影响大小，还可以由回归方程进行数量上的预测和控制。
28
回答者：dreaming2088。
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销 售 额 为 200 亿 元 时 利 润 额 的 平 均 值 Y c = － 1.43 + 0.49 × 200 = 96.57 （ 亿 元 ）
估计标准误 68634 － （ － 1.43 ） × 788 － 0.49 × 140653 S Y. X = — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 12 － 2 = 9.80 （ 亿 元 ）
三个假设条件的图示
yx 0 1 X
Xi
yx yx yx
i j
XJ
Xk
k
总体回归模型与样本回归方程
Y拟合值 Y
yi b0 b1Xi ei
ei
残值
观察值
观察值
yi b0 b1 X
yx 0 1 X
X
估计标准误差
估计标准误差: 实际观察值Y与 Y的平均离差 它可用来估计Y值围绕总体回归线的离散 程度 N 2 – 2
2
单位：亿元 2 Y XY 5041 10437 400 1280 1600 3480 3481 6372 14400 24720 14884 33794 7744 18392 841 1856 8281 15743 11025 22470 361 836 576 1272 68634 140652
2
y b0 b1 X
Y
已解释变差
66 716 1 . Syi 318 . 1 2 4.0071 10 56368 10 716 . Yi 的置信区间为 1535 . t8 4.0071 15.35 2.3064.0071 (6.11 24.54)
2
请解释结果：
Y
为什么 Yi 的置信区间比 yx的 置信区间宽
?
Yi
y b0 b1 X
yx
yx 0 1 X
X
y (通过样本回归方程计算得到)
X（给定的）
影响区间宽度的因素 置信系数 Y的变异程度 样本容量的大小 给定的X与 X 的距离
对总体回归系数的假设检验
1. H0: 1 0 H1: 1 0 2. tn2
X
观察值
总体线性回归模型 参数 随机误差
Y X i 0 1 i i
因变量
Y单值
yx
Y条件平均数
自变量
利用回归方程预测的 三个假设条件 对于给定的每个X,Y都服从正 态分布 i 是随机变量并相互独立 2 对于给定的每个X, yx 都相等,
即对应不同的X,Y的离散程度是相 等的.
12省市自治区销售额与利润额的相关
nΣ X Y －(Σ X ) (Σ Y ) =390776
nΣ X －(Σ X ) =798884 2 2 nΣ Y －(Σ Y ) =202664 390776 r =— — — — — — — — — — — — √ 798884 ×202664 =0.97
2
实际例子的计算2
建立 线性回归模型的步骤
确定研究的问题 设样本回归模型(如: Y a bx ) 搜集样本资料(数据资料) 估计未知参数(计算统计量) 得到样本回归方程 用模型预测因变量
总体线性回归模型的图示
Y
Y 0 1 Xi i
观察值
i
yx 0 1 X
第十三章 简单回归和相关分 析 研究两个变量之间的关系
本章重点
什么是线性回归模型 建立线性回归模型的步骤 解释最小平方法 计算回归系数 样本回归方程在统计推断中的作用 如何衡量变量之间关系的密切程度
函数关系和统计关系
函数关系： 两变量的数量表现在一定条件下是完全确 定的。 2 如： 圆的面积和半径的关系 S r
Yi, yx y 之间的关系
Y ?
Yi
y b0 b1 X
y (通过样本回归方程计算得到)
?
yx
yx 0 1 X
X
X（给定的）
对给定的X，求 yx 的置信区 间 y t y t
n2
y
yx
n2
y
y
yx
1 n 1 n
问： 利润额和销售额 之间存在什么样 的关系
销售额和利润额的散点图
利润额
25 20 15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 120
实际例子的计算1
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总计 销售额 111 102 90 85 66 62 58 51 48 43 716 利润额 25 22 24 21 25 13 18 12 10 9 179
yx
i 1
N2Biblioteka Y iyx
N
S yx =
yi y 2 e n 2 n 2 2 y i b 0 y i b1 x y n 2
利用回归方程对总体进行推断
对给定的X，求 yx 的置信区间 对给定的X，求单个 Y i 的置信区间 求 1 的置信区间 根据样本回归方程对 1 0 的假设进行检验
相关系数的计算
r r =
2
=0.8257
Y nX X n Y Y
nXY X
2 2 2
2
相关系数对样本相关关系的计量
｜ r ｜值 1 0.8 ～ 1 0.5 ～ 0.8 0.3 ～ 0.5 0 ～ 0.3 0 相关程度 绝对相关 高度相关 中度相关 低度相关 无相关 绝对无相关
y b0 b1X n XY X Y 1013943 716179 b1 022 . 2 2 2 n X X 1056368 716 Y X 179 716 b0 Y b1 X b1 022 . 2.15 10 10 n n 表示当销售额增加或减少1亿元时,利 Y 2.15 022 . X 润额平均增加或减少0.22亿元
x2
xy 2775 2244 2160 1785 1650 806 1044 612 480 387 13943
y2
12321 10404 8100 7225 4356 3844 3364 2601 2304 1849 56368
625 484 576 441 625 169 324 144 100 81 3569
对总体回归系数的假设检验 的例子
可决系数
作用：衡量回归对Y变异的解释程度。 总变差=已解释变差+未解释变差。 已解释变差 可决系数= 总变差 经调整的可决系数
总变差，已解释变差，未解释变差 的关系 2 Yi 未解释变差 Y Y
总变差
Y Y
y yx
i
S yi S yx
X X X nX X X 1 1 n X nX
1 1 n
2 i 2 2 i 2
2
2
Yi 的区间为 Y t n 2 S yi Yi Y t n 2 S yi
Yi 的推算区间
X0 66, 005 . Syx 381 . , y66 215 . 022 . 66 1535 .
66 716 1 . S 318 . . 2 12413 y 10 56368 10 716 . yx 的置信区间为 1535 . t812413 . 15.35 2.3061.2431 (12.49 18.21)
2
请解释结果：
Yi 的推算区间
Y t n 2 yi Yi Y t n 2 yi
2
12省市自治区销售额与利润额的回归
回归系数的计算： 390776 b = — — — — — = 0.49 798884 788 － 0.49 × 1646 a=
————————————
= － 1.43
12
12省利润额对销售额的散点图及回归
140 120
利润额（亿元）
100 80 60 40 20 0 0 50 100 150 200 销售额（亿元） 250 300
线性回归分析
目的；
在因变量和自变量之间建立一个数学模型，根据这个 模型可以根据自变量的变动预测因变量的变动。
应注意的问题：
1. 建立模型的目的
2. 谁将用这个模型 3. 建立 模型用的资料是否合适 4. 如何利用模型
建立 样本线性回归模型的实际例子1
现有10个企业的销售额和利润的资料
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总计 销售额 111 102 90 85 66 62 58 51 48 43 716 利润额 25 22 24 21 25 13 18 12 10 9 179
按 两变量变动的方向可分
– 正相关回归 – 负相关回归
分析统计关系的定量方法
分析统计 关系的 方法
回归分析
相关分析
其他方法
1996 年 12 个沿海省、直辖市、自治区 大型零售、批发贸易业企业利润额与销售额
省、市、区 北 京 天 津 河 北 辽 宁 上 海 江 苏 浙 江 福 建 山 东 广 东 广 西 海 南 销售总额 147 64 87 108 206 277 209 64 173 214 44 53 单位：亿元 利润总额 71 20 40 59 120 122 88 29 91 105 19 24