微积分公式
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）
一、00
101101lim 0
n n n m m x m a n m
b a x a x a n m b x b x b n m
??→∞?=??+++?
=?+++?<∞
>???
L L （系数不为0的情况）
二、重要公式（1）0sin lim 1x x
x
→= （2）()1
0lim 1x x x e →+= （3
）)1n a o >=
（4
）lim 1n →∞
= （5）lim arctan 2
x x π
→∞
=
（6）lim tan 2
x arc x π
→?∞
=?
（7）lim arc cot 0x x →∞
= （8）lim arc cot x x π→?∞
= （9）
lim 0x
x e →?∞
=（10） （11）lim x x e →+∞
=∞0
lim 1x
x x +
→=
三、下列常用等价无穷小关系（0x
→）
sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2
11cos 2
x x ?:
()ln 1x x +: ()1x e ?:x a 1ln x a x ?:11x x ?
+??:
四、导数的四则运算法则
()u v u v ′′±=±′ ()uv u v uv ′′′=+ 2u u v u v v ′v ′′???=????
五、基本导数公式
⑴() ⑵0c ′=1
x x
μ
μμ?= ⑶()sin cos x x ′=
⑷()cos sin x x ′=? ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=? ⑺()sec sec tan x x ′=?x ⑻()csc csc cot x x x ′=?? ⑼()x
x
e
′=e
a ⑽ ⑾()ln x
x
a
a
′=()1
ln x x
′=
⑿(
)1log ln x
a x a ′=
⒀(
)arcsin x ′= ⒁(
)arccos x ′=⒂()21arctan 1x x ′=
+ ⒃()
2
1arc cot 1x x ′=?+⒄()1x ′=
⒅
′
=
六、高阶导数的运算法则 （1）()()()
()
()
()()
n n u x v x u x v x ±=±????n （2）()()
(
)
()n n cu x cu x =????
（3）()()()
(n n n
u ax b a u
ax b +=+????
) （4）
()()()
(
)
()()()0
n
n n k k k n k u x v x c u x v x ?=?=????∑
七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()
()
!n n
x n = （2）()
()
n ax b n ax b e a e ++=? (3)()
()
ln n x x a a =n a
(4)()()
sin sin 2n n ax b a ax b n π?
?+=++???????
??
(5) ()()
cos cos 2n n ax b a ax b n π?
?+=++???????
?
?
(6)()
()
()
1
1!
1n n n
n a n ax b ax b +???
=???+??
+ (7) ()()
()
()()
1
1!
ln 1n n n n
a n ax
b ax b ???+=?????
+
八、微分公式与微分运算法则
⑴ ⑵ ⑶()0d c =()
1d x x dx μμμ?=()sin cos d x xd =x x x ⑷ ⑸ ⑹()cos sin d x xd =?()2
tan sec d x xd =()2
cot csc d x xd =?x x
⑺ ⑻()sec sec tan d x x xd =?()csc csc cot d x x xd =??x ⑼ ⑽ ⑾()x
x
d e
e dx =()ln x
x
d a a
adx =()1ln d x dx x
=
⑿()
1log ln x a d dx x a =
()
⒀arcsin dx =d x ⒁(
)arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =
+ ⒃()2
1
arccot 1d x dx x =?+
九、微分运算法则
⑴ ⑵()d u v du dv ±=±()d cu cdu =
⑶ ⑷()d uv vdu udv =+2
u vdu udv
d v v ???=????
十、基本积分公式
⑴ ⑵kdx kx c =+∫11x x dx c μμ
μ+=++∫ ⑶ln dx
x c x
=+∫ ⑷ln x
x
a a dx c a
=+∫ ⑸x x e dx e c =+∫ ⑹cos sin xdx x c =+∫ ⑺sin cos xdx x c =?+∫ ⑻
2
21sec tan cos dx xdx x c x ==+∫∫
⑼2
21csc cot sin xdx x c x ==?∫∫
+ ⑽21arctan 1dx x c x =++∫ ⑾
arcsin x c =+
十一、下列常用凑微分公式
十二、补充下面几个积分公式
tan ln cos xdx x c =?+∫ cot ln sin xdx x c =+∫ sec ln sec tan xdx x x c =+∫+ csc ln csc cot xdx x x c =?+∫
22
11arctan x
dx c a x a a
=+∫+ 22
11
ln 2x a dx c x a a x a
?=+?+∫
c ln c =+
十三、分部积分法公式
⑴形如n ax x e dx ∫，令，
n u x =ax dv e dx =形如sin n x xdx ∫令，n u x =sin dv xdx = 形如cos n x xdx ∫令，n u x =cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ∫，令， arctan u x =n dv x dx =形如ln n x xdx ∫，令，
ln u x =n dv x dx =⑶形如，令u e 均可。
sin ax e xdx ∫
cos ax e xd ∫
,sin ,cos ax
x x =x
十四、第二换元积分法中的三角换元公式
sin x a =t tan x a t = sec x a t = 【特殊角的三角函数值】
（1）si （2）n 00=1sin
6
2π
=
（3）sin 32π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π=
（1）cos （2）01=cos
6
2π
=
（3）1cos 32π= （4）cos 02π
=） （5）cos 1π=?
（1） （2）tan 00=tan
6
3π
=
（3）tan 3π=（4）tan 2
π
不存在 （5）tan 0π=
（1）cot 不存在 （2）0cot 6
π
= （3）cot
3
3π
=
（4）cot 02
π
=（5）cot π不存在
十五、三角函数公式
1.两角和公式
sin()sin cos cos sin A B A B A +=+B sin()sin cos cos sin A B A B A B ?=? cos()cos cos sin sin A B A B A +=?B cos()cos cos sin sin A B A B A B ?=+
tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
? tan tan tan()1tan tan A B
A B A B ??=+
cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ??+=
+ cot cot 1
cot()cot cot A B A B B A ?+?=?
2.二倍角公式
sin 22sin cos A A =A 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =?=?=?
2
2tan tan 21tan A
A A
=
?
3.半角公式
sin 1cos A A =+ sin 1cos A A
=?
4.和差化积公式
sin sin 2sin
cos 22a b a b a b +?+=? sin sin 2cos sin
22a b a b
a b +??=? cos cos 2cos
cos 22a b a b a b +?+=? cos cos 2sin sin 22
a b a b
a b +??=?? ()sin tan tan cos cos a b a b a b
++=
?
5.积化和差公式
()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =?+?????? ()()1
cos cos cos cos 2a b a b a b =++?????
()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++????? ()()1
cos sin sin sin 2a b a b a b =+?????
?
6.万能公式
22tan
2sin 1tan 2
a
a =
+ 2
2
1tan 2cos 1tan 2a a ?=+ 2
2tan
2tan 1tan 2
a
a =?
7.平方关系
22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x ?= 22csc cot 1x x ?=
8.倒数关系
tan cot 1x x ?= sec cos 1x x ?= c sin 1cs x x ?=
9.商数关系
sin tan cos x x x =
cos cot sin x
x x
=
十六、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：
()()dy
f x
g y dx
= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ??=????
3.一阶线性非齐次微分方程：
()()dy
p x y Q x dx
+= 解为： ()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c ???∫∫=+????
∫