第3讲 应用问题中的“瓶颈题”
应用题存在的问题及解决策略
应用题存在的问题及解决策略随着信息技术的迅猛发展，应用题在各个领域都得到了广泛应用。
应用题是指基于特定知识和技术的实际应用场景，通过应用题的解答，可以更好地理解和应用所学知识。
随着应用题的广泛应用，也暴露出了一些问题。
本文将从应用题存在的问题和解决策略两个方面进行分析探讨。
应用题存在的问题1. 抽象度高：应用题通常涉及到具体的实际问题，而这些问题往往和学生平时的生活经验和认知水平有一定的距离。
一些应用题题目过于抽象，导致学生很难将所学的知识应用到实际当中。
这就造成了学生对应用题的理解难度较大。
2. 难度大：应用题往往要求学生结合自己的知识来解决实际问题，需要学生具备较高的综合运用能力。
这就使得一些学生在面对应用题时，由于知识点的断裂性和综合性，产生解题困难，从而影响了他们的应用题解答能力。
3. 缺乏实战经验：学生在学习过程中主要是通过书本知识的学习，很少有机会接触到具体的实际问题。
而应用题却要求学生具备实战经验，这就造成了很多学生在解答应用题时手足无措，无法将所学知识和实际问题有效结合。
4. 缺乏培训和指导：在课堂教学中，老师往往更加注重基础知识的讲解和题型的训练，而应用题部分往往受到忽视。
学生在解答应用题时缺乏相关的指导和培训，导致应用题解答能力的提升受到一定的阻碍。
应用题存在的问题，既有局限性，也有普遍性。
针对应用题存在的问题，需要制定相应的解决策略。
1. 培养生活化教学法。
在教学过程中，引入更多生活化的例子和实际问题，使学生在学习中更易拓展思维，培养学生解决实际问题的能力。
生活化的教学法能够加深学生对应用题的理解，并且提高他们的解题能力。
3. 强化综合运用能力的培养。
针对应用题的难度大这一问题，教师在教学中要强调知识的综合运用能力，注重培养学生的跨学科综合能力，使学生能够在面对实际问题时，能够有效地将所学知识进行整合，并解决问题。
4. 强化应用题训练。
针对学生缺乏实战经验和解题的困难，教师应该加强对应用题的训练和引导，让学生通过实际应用题的解答，加深对知识的理解，并提高应用题的解答能力。
应用题存在的问题及解决策略
应用题存在的问题及解决策略应用题是数学学科中的一种题型，主要是通过实际生活中的问题进行计算和推理。
在学习应用题的过程中，学生经常会遇到各种问题，比如题目太长、信息杂乱、思路不清等。
本文将探讨应用题存在的问题，并提出相应的解决策略。
一、存在的问题1. 题目太长应用题通常以生活中的实际问题为背景，因此题目往往比较长，会包含大量的信息和条件。
这会使学生在解题过程中感到困惑和烦躁，影响他们的思维和理解能力。
2. 信息杂乱有些应用题的信息呈现比较杂乱，学生很难从中筛选出关键信息，导致计算错误或者错误的解题思路。
3. 思路不清由于应用题需要综合运用多种数学知识进行计算和推理，所以对于一些学生来说，思路不清导致他们无法正确理解题目，无法找到解题的方法和思路。
4. 缺乏实践应用题通常以生活中的实际问题为背景，但学生在解题时往往缺乏实际的操作和实践，只是停留在纸面计算和理论推理，这样容易使他们迷失在抽象的概念中。
二、解决策略1. 精读题目学生在做应用题时，应该先仔细阅读题目，理清题目要求和所给条件，建立起正确的数学模型。
可以通过划线或者做标记的方式来标出关键信息，以便在解题时能够更加清晰地把握题目的要点。
2. 锻炼综合能力为了应对信息杂乱的应用题，学生需要提高自己的信息处理能力和逻辑推理能力，可以通过多做相关的综合训练题，逐步提高自己的解题能力。
3. 培养解题思维解决思路不清的问题，学生需要在平时的学习中，培养自己的解题思维，提高自己对于应用题的理解和把握，增强自己的解题技能和策略选择能力。
4. 多做实践在解决生活中的实际问题时，学生应该多加关注实践，并将实践和理论相结合，通过实际的操作来理解和巩固所学的数学知识，培养自己的实际操作能力和解决问题的实践能力。
总结：应用题作为数学学科中的重要题型，对于学生的数学能力和实际问题解决能力有着重要的促进作用。
在学习和解题的过程中，学生经常会遇到各种问题。
学生需要在平时的学习中，培养自己的信息处理能力、逻辑推理能力、解题思维和实际操作能力，通过多做相关综合训练题来提高自己的解题能力和应对能力，从而更好地解决应用题存在的问题。
应用题存在的问题及解决策略
应用题存在的问题及解决策略随着社会的发展和科技的进步，应用题在学生学习中扮演着越来越重要的角色。
应用题可以帮助学生更好地理解知识，提高解决实际问题的能力，培养综合运用知识的能力。
相对于传统的选择题或计算题，应用题也带来了一些新的问题和挑战。
本文将从应用题存在的问题出发，探讨对应的解决策略。
问题一：难度大、题目晦涩难懂应用题通常会涉及到多个知识领域的综合运用，这就导致了题目的难度相对较大。
一些应用题在表述或情景设置上可能会显得晦涩难懂，不易理解。
这就给学生的阅读和理解造成了一定的困难。
解决策略：清晰的题目表述和情景设置针对应用题难懂的问题，教师在出题时需要特别注意题目的表述和情景设置。
题目的语言要求简练明了，情景设置要尽量符合学生日常生活的实际情况，这样可以增加学生对题目的理解和接受度。
教师还可以在课堂上进行相关的案例分析和应用实例演练，帮助学生更好地理解和掌握应用题的解题方法。
问题二：知识综合性强、答案不唯一由于应用题涉及的知识面比较广泛，需要综合运用多种知识解决问题，所以在解答过程中可能会有多种解题方法和答案。
这就给评判和分数打分带来了一些困难，给学生带来了不确定性和困惑。
解决策略：灵活的评分方式和讲解方法教师在评分时要有一定的灵活性，不仅要考虑答案的正确性，还要考虑解题的逻辑性、条理性和说理能力。
教师在讲解解答过程时要多渠道展示不同的解题方法和思路，启发学生思考，增强他们的解题灵活性。
问题三：解题思路不清晰、方法应用能力不足由于应用题通常需要综合运用多种知识，因此在解题过程中可能会导致解题思路不清晰，方法应用能力不足的问题。
学生可能会陷入到僵化的知识运用中，缺乏创造性和灵活性。
解决策略：培养解题技巧和方法应用能力在解决应用题的过程中，教师可以针对具体的题型和难点，培养学生的解题技巧和方法应用能力。
可以通过分析题目的共性和特点，总结解题的一般思路和方法，结合实际案例进行模拟演练和练习。
可以设置一些开放性的问答题，鼓励学生展开思维，增强他们的解题灵活性和创造性。
应用题存在的问题及解决策略
应用题存在的问题及解决策略1. 引言1.1 应用题存在的问题及解决策略引言在学习数学时，应用题是我们经常遇到的一种题型。
虽然应用题的目的是让我们将所学的知识应用到实际问题中，但是很多时候我们会遇到一些问题，导致解题变得困难。
针对这些问题，我们需要制定一些解决策略，帮助我们更好地解决应用题。
正文问题一：题目结构复杂难以理解在解决应用题时，有些题目的结构可能会比较复杂，导致我们难以理解题目的意思。
为了解决这个问题，我们可以采取拆分题目的方法，逐步分析题目的要求和条件，将整个题目分解成更小的部分，这样有助于我们更清晰地理解题目。
解决策略一：拆分题目，逐步分析问题二：题目中有陷阱选项容易误解有些应用题在选项设计上可能会设置一些陷阱，容易让我们误解题目要求。
为了避免这种情况，我们需要仔细阅读题目，排除干扰项，确保我们理解题目的真正意图。
解决策略二：仔细阅读题目，排除干扰项在解决应用题时，我们要特别注意题目中的选项，仔细分析每个选项的含义，排除那些明显是干扰项的选项，确保我们选取的是正确答案。
通过细致的阅读和分析，我们可以避免被陷阱选项误导，提高解题的准确性。
问题三：计算过程繁琐，容易出错在解决一些复杂的应用题时，可能需要进行一系列繁琐的计算过程，容易出现计算错误。
为了避免这种情况，我们需要建立清晰的计算步骤，确保每一步计算都准确无误。
解决策略三：建立清晰的计算步骤，检查结果在解决应用题时，我们可以事先规划好整个计算过程的步骤，将每一步的计算结果都清晰地记录下来。
完成计算后，我们还要对结果进行检查，确保计算没有错误。
通过建立清晰的计算步骤和及时检查计算结果，我们可以有效降低出错的可能性，提高解题的准确性。
结论应用题在数学学习中起着至关重要的作用，掌握解题策略对于解决各种应用题至关重要。
通过拆分题目、仔细阅读问题、建立清晰的计算步骤等有效的解题策略，我们能够更好地理解题目的要求，避免被干扰项误导，减少计算错误，提高解题的准确性和效率。
高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题专题九冲刺高分应用问题中的“瓶颈题”
第3讲应用问题中的“瓶颈题”【举题说法】第3讲应用问题中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第88~98页)数学应用问题是高考中常见题型之一，是能否锁定128分(试卷前128分)的重要突破口.常见的应用题有：(1)函数与不等式模型；(2)函数与导数模型；(3)三角函数模型；(4)数列模型.近几年江苏高考数学试题中，正在形成强调将数学应用于解决实际问题的趋势，这个趋势有以下两个特点：一是应用问题考查加大力度，连续多年考大题，形成江苏特色；二是由简单的直接应用向实际问题数学化转化，贴近生活，并且阅读量逐步增加.应用题在高考中的得分率一直比较低，怎样才能突破这个瓶颈，应该从以下几个方面抓起.首先，要掌握解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答(解应用题的一般思路如下面流程图所示).其次，要掌握数学建模的方法.下面以数学建模方法为例来谈谈如何突破应用题这个瓶颈.关系分析法通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型.例1某工厂有容量为300 t的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水.已知该厂生活用水为每小时10 t，工业用水量W(单位：t)与时间t(单位：h，定义早上6时t=0)的函数关系式为W=100t，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10 t，以后每提高一级，每小时的进水量增加10 t，若某天水塔原有水100 t，在供水同时打开进水管.(1)设进水量选用第n级，写出在t时刻时水的存有量；(2)问：进水量选择第几级，既能保证该厂用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?【读懂题意】题目涉及的关键词比较多：生活用水量、工业用水量、水的存有量、进水量、原有量.其数量关系为：存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量.第一问的关键点是求“进水量选用第n级”.第二问的关键点是“水塔中水不空不溢”转化为“存有量∈(0，300)”.【建立模型】因为存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量=10t+100t，所以在选用第n级的进水量时，t时刻水的存有量为y=10nt-10t-100t+100(0<t≤16)，要使水塔中水不空不溢，则0<y≤300，问题转化为确定n，使0<10nt-10t-100t+100≤300在(0，16]上恒成立.【精要解析】面对上述不等式，如何求解?是否会转化为“-10t+t+1<n≤20t+t+1对一切0<t≤16恒成立”，是否会作一个代换“令t=x，x≥14”，将上式转化为“-10x2+10x+1<n≤20x2+10x+1对一切x≥14恒成立”.由于g (x )=20x 2+10x+1在14∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上的最小值为194，h (x )=-10x 2+10x+1在14∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上的最大值为72，所以72<n ≤194，从而确定n=4.练习 (2015·常州期末)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m 宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值.(练习)【解答】(1)由题设得S=(x-8)900-2x⎛⎫ ⎪⎝⎭=-2x-7200x +916，x ∈(8，450). (2)因为8<x<450，所以2x+7200x ≥272002x x ⋅=240， 当且仅当x=60时等号成立.从而S ≤676.答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.列表分析法对于数据较多，较复杂的应用性问题通过列表的方式探索问题的数学模型.例2从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1 4.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元，试写出它们的表达式；(2)问：至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【读懂题意】在研究旅游业的投入产出问题时，根据“本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少11”“54和旅游业收入每年会比上年增加”，其投入资金数列和收入(产出)数列均为等比数列，注意题目“设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元”中的“n年内”说明“a n”，“b n”表示等比数列的前n项和.【建立模型】(1)第n年的投入与收入资金数列表如下：第几年投入资金(单位：万元) 旅游收入(单位：万元)1 800 400280011-5⎛⎫⎪⎝⎭400114⎛⎫+⎪⎝⎭3800211-5⎛⎫⎪⎝⎭4002114⎛⎫+⎪⎝⎭4800311-5⎛⎫⎪⎝⎭4003114⎛⎫+⎪⎝⎭(2)略【精要解析】(1)第1年投入800万元，第2年投入800×11-5⎛⎫⎪⎝⎭万元，…，第n年投入800×-111-5n⎛⎫⎪⎝⎭万元，所以n年内的总投入a n=800+800×11-5⎛⎫⎪⎝⎭+ (800)-111-5n⎛⎫⎪⎝⎭=4 000×41-5n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×114⎛⎫+⎪⎝⎭万元，…，第n年旅游业收入为400×-1114n⎛⎫+⎪⎝⎭万元，所以n年内的总收入b n=400+400×114⎛⎫+⎪⎝⎭+ (400)-1114n⎛⎫+⎪⎝⎭=1 600×5-14n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)设至少经过n年旅游业的总收人才能超过总投入，所以b n-a n>0，即1 600×5-14n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-4 000×41-5n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦>0，化简，得5×45n⎛⎫⎪⎝⎭+2×54n⎛⎫⎪⎝⎭-7>0，即45n⎛⎫⎪⎝⎭<25，可得n≥5，所以至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.图象分析法通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题数学模型.例3某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图(1)所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图(2)所示的抛物线段表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系Q=g(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)图(1) 图(2)(例3)【读懂题意】(1)观察图象求出市场售价函数P=f(t)和种植成本函数Q=g(t).(2)由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数h(t)=f(t)-g(t).【建立模型】由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=300-02002-300200300t tt t≤≤⎧⎨<≤⎩，，，；由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2(-150)200t+100，0≤t≤300.【精要解析】(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=300-02002-300200300t tt t≤≤⎧⎨<≤⎩，，，；由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2(-150)200t+100，0≤t≤300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即h(t)=2211175-0200 20022171?025--200300. 20022t t tt t t⎧++≤≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩，，，当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=-1200(t-50)2+100，所以当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t≤300时，配方整理得h(t)=-1200(t-350)2+100，所以当t=300时，h(t)取得区间(200，300]上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.练习某公司为帮助尚有26.8万元的无息贷款，但没有偿还能力的残疾人商店，借出20万元，将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(不计息).已知该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q(单位：百件)与销售价p(单位：元/件)的关系用图中的一条折线表示.职工每人每月工资600元，该店应交付的其他费用为每月13 200元.(1)若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；(2)若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价格定为多少元?(练习)【解答】(1)设该店每月的利润为S元，有职工m名，则S=q(p-40)×100-600m-13 200.又由图可得q=-21404058 -825881p pp p+≤≤⎧⎨+<≤⎩，，，，所以当40≤p≤58时，S=(-2p+140)(p-40)×100-600m-13 200，当58<p≤81时，S=(-p+82)(p-40)×100-600m-13 200.由题设知，当p=52时，S=0，即(-2×52+140)(52-40)×100-600m-13 200=0，解得m=50，即此时该店有员工50人.(2)由题意知S=(-2140)(-40)100-372004058 (-82)(-40)100-372005881 p p pp p p+⨯≤≤⎧⎨+⨯<≤⎩，，，，当40≤p≤58时，求得当p=55时，S取最大值7 800(元)；当58<p≤81时，求得当p=61时，S取最大值6 900(元).所以当p=55时，S有最大值为7 800元.设该店最早可在n年后还清所有债务，依题意得12×7 800×n-268 000-200 000≥0，解得n≥5，即该店最早可在5年后还清所有债务，此时消费品价格定为每件55元.建立坐标系法通过建立坐标系，得到函数模型来解应用题.例4 如图(1)所示的镀锌铁皮材料ABCD ，上沿DC 为圆弧，其圆心为A ，半径为2 m ，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，且BC 的长为1 m .现要用这块材料裁一个矩形PEAF (其中P 在D C 上，E 在线段AB 上，F 在线段AD 上)作圆柱的侧面，若以PE 为母线，问：如何裁剪可使圆柱的体积最大?其最大值是多少?(例4(1))【读懂题意】该问题是方案设计问题，如何确定点P 的位置使得以PE 为母线，以矩形PEAF (其中P 在D C 上，E 在线段AB 上，F 在线段AD 上)作圆柱的侧面围成的圆柱的体积最大.【建立模型】因为点P 在D C 上，其圆心为A ，半径为2 m ，且AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，所以分别以AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图(2)所示，(例4(2))则D C 的方程为x 2+y 2=4(0≤x ≤3y>0)，设P (x ，y )(0<x ≤3)，圆柱底面半径为r ，体积为V ，则PE=24-x ，2πr=AE=x ，则r=2πx ，所以V=πr 2l=2π2πx ⎛⎫ ⎪⎝⎭·24-x 14πx 224-x【精要解析】(1)分别以AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图(2)所示，则D C 的方程为x 2+y 2=4(0≤x ≤3，y>0)， 设P (x ，y )(0<x ≤3)，圆柱底面半径为r ，体积为V ，则PE=24-x ，2πr=AE=x ，则r=2πx，所以V=πr 2l=2π2πx ⎛⎫ ⎪⎝⎭·24-x =14πx 224-x ，即V 2=2116πx 4(4-x 2). 设t=x 2∈(0，3]，令u=t 2(4-t )，则u'=-3t 2+8t=-3t 8-3t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令u'=0，得t=83.当83<t ≤3时，u'<0，u 是减函数；当0<t<83时，u'>0，u 是增函数，所以当t=83时，u 有极大值，也是最大值，所以当x=263 m 时，V 有最大值43 m 3，此时y=24-x =23m .故裁一个矩形，两边长分别为26 m 和23m 时，能使圆柱的体积最大，其最大值为43m 3.练习 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s .已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m .试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面上)(练习)【解答】如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系.设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A(-1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020).设P(x，y)为巨响发生点，由A，C同时听到巨响声，得PA=PC，故点P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因点B比点A晚4 s 听到爆炸声，故PB-PA=340×4=1 360.由双曲线定义知点P在以A，B为焦点的双曲线22xa-22yb=1上，依题意得a=680，c=1 020，所以b2=c2-a2=1 0202-6802=5×3402，故双曲线方程为22680x-225340y=1.将y=-x代入上式，得x=±6805因为PB>PA，所以x=-6805y=6805即P(-68056805，故PO=10答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心10m处.【常考模型】常考模型函数与导数模型例1(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N 为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5 km和40 km，点N到l1，l2的距离分别为20 km和2.5 km，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=2ax b(其中a，b为常数)模型.(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度.(例1)【解答】(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入y=2a x b +，得4025 2.5400aba b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，，解得10000.a b =⎧⎨=⎩，(2)①由(1)知，y=21000x (5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为t ，21000t .设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于点A ，B ，y'=-32000x ，则直线l 的方程为y-21000t =-32000t (x-t )，由此得A 302t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 230000t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故f (t )=222330002t t ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=62434102t t ⨯+，t ∈[5，20].②设g (t )=t 2+64410t ⨯，则g'(t )=2t-651610t ⨯.令g'(t )=0，解得t=102.当t ∈(5，102)时，g'(t )<0，g (t )单调递减； 当t ∈(102，20)时，g'(t )>0，g (t )单调递增. 所以当t=102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，g (t )min =300，此时f (t )min =153.答：当t=102时，公路l 的长度最短，最短长度为153 km .练习 (2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1 m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形.现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.(1)若窗口ABCD为正方形，且面积大于14 m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6 m ，求窗口ABCD 面积的最大值.【解答】(1)设一根木条长为x m ，则正方形的边长为21-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭24-x . 因为S 四边形ABCD >14，所以4-x 2>14，即x<152.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以2 所以24x<15答：木条总长的取值范围为215.(2)方法一：设AB 所在木条的长为a m ， 则BC 所在木条的长为(3-a )m .因为a ∈(0，2)，3-a ∈(0，2)，所以a ∈(1，2)，S 矩形ABCD =21-4a ·2(3-)1-4a 24-a ·24-(3-)a432-624-20a a a a ++.设f (a )=a 4-6a 3+a 2+24a-20，f'(a )=4a 3-18a 2+2a+24=2(a+1)(2a-3)(a-4)，令f'(a )=0，得a=32或a=-1(舍去)或a=4(舍去).当a 变化时，f'(a )，f (a )的变化情况如下表：所以当a=32时，f (a )max =f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=4916，即S max =74.答：窗口ABCD面积的最大值为74 m 2.方法二：设AB 所在木条的长为a m ，BC 所在木条的长为b m. 由题意知2a+2b=6，即a+b=3.因为a ，b ∈(0，2)，所以b=3-a ∈(0，2)，从而a ，b ∈(1，2).由于AB=BC= S 矩形ABCD =228-()2a b +≤2()8-22a b +=74，当且仅当a=b=32∈(1，2)时，S 矩形ABCD =74.答：窗口ABCD 面积的最大值为7 4m2.解析几何模型例1(2016·扬州期末)某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy.(1)若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少?(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小.23S lh⎛⎫=⎪⎝⎭隧道口截面面积公式为(例1)【分析】求面积的关键在于求出l，h之间的关系，注意到点910--22lh h⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，及点，在抛物线上，就可得到l，h之间的关系，由此来消去一个变量，消元时，要注意等价性，即注意变量的取值范围的求解.【解答】(1)设抛物线的方程为y=-ax2(a>0)，则抛物线过点310-2⎛⎫⎪⎝⎭，，代入抛物线方程，解得a=3200.令y=-6，解得x=±20，则隧道设计的拱宽l是40 m.(2)抛物线最大拱高为h m，h≥6，抛物线过点910-2h⎛⎫+⎪⎝⎭，，代入抛物线方程得a=9-2100h.令y=-h，则-9-2100hx2=-h，解得x2=1009-2hh，则22l⎛⎫⎪⎝⎭=1009-2hh，h=2292-400ll.因为h≥6，所以2292-400ll≥6，即20<l≤40.所以S=23lh=23l·2292-400ll=323-400ll(20<l≤40).所以S'=223229(-400)-3?2(-400)l l l ll=22223(-1200)(-400)l ll=23(203)(-203)l l l+，当20<l<203时，S'<0；当203<l≤40时，S'>0，即S在(20，203)上单调递减，在(203，40]上单调递增，所以S在l=203时取得最小值，此时l=203，h=274.答：当拱高为274m，拱宽为203m时，使得隧道口截面面积最小.练习(2014·江苏卷)如图(1)，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M 在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO=4 3.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大?(练习(1))【解答】方法一：(1)如图(2)所示，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.(练习(2))由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-4 3.又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=3 4.设点B的坐标为(a，b)，则k BC=-0-170ba=-43，kAB=-60-0ba=34，解得a=80，b=120，所以22(170-80)(0-120)150(m).因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m(0≤d≤60).由条件知，直线BC的方程为y=-43(x-170)，即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r=2243+=680-35d.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以-80-(60-)80r dr d≥⎧⎨≥⎩，，即680-3-805680-3-(60-)805dddd⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，，解得10≤d≤35.故当d=10时，r=680-35d最大，即圆的面积最大，所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大. 方法二：(1)如图(3)所示，延长OA，CB交于点F.(练习(3))因为tan∠FCO=43，所以sin∠FCO=45，cos∠FCO=35.因为OA=60，OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=6803，CF=cosOCFCO∠=8503，从而AF=OF-OA=500 3.因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=4 5.又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB=400 3，从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M 的半径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO=MDMF=-M DOF OM=680-3rd=35，所以r=680-35d.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以-80-(60-)80r dr d≥⎧⎨≥⎩，，即680-3-805680-3-(60-)805dddd⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，，解得10≤d≤35.故当d=10时，r=680-35d最大，即圆的面积最大，所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.立体几何体模型例1某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，高为l，左、右两端均为半球形，半径为r，按照设计要求容器的体积为80π3m3，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)求y关于r的函数解析式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时半径r的值.(例1)【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y 关于r 的函数表达式，再利用导数研究其最值.【解答】(1)因为容器的体积为803πm 3，所以43πr 3+πr 2l=803π，解得l=2803r -43r=2420-3r r⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于l ≥2r ，所以0<r ≤2， 所以建造费用y=2πrl×3+4πr 2c=2πr×2420-3r r⎛⎫⎪⎝⎭×3+4πr 2c ， 所以y=160πr -8πr 2+4πcr 2，定义域为(0，2].(2)y'=-2160πr -16πr+8πcr=328π[(-2)-20]c r r ，因为c>3，所以c-2>0，当r 3=20-2c 时，即y'=0，，则m>0，所以y'=28(c-2)r π(r-m )(r 2+mr+m 2).①当0<m<2，即c>92时，当r=m 时，y'=0；当r ∈(0，m )时，y'<0；当r ∈(m ，2)时，y'>0， 所以当r=m 时，函数y 取得极小值点，也是最小值点.②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0，2)时，y'<0，函数单调递减，所以r=2时函数y 取得最小值点.综上，当3<c ≤92时，建造费用最小时r=2；当c>92时，建造费用最小时r=练习 (2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的四倍.(1)若AB=6 m ，PO 1=2 m ，则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大?(练习)【解答】(1)容积为下部正四棱柱的容积与上部正四棱锥的容积的和，则V=62×4×2+13×62×2=62×2×143⎛⎫+ ⎪⎝⎭=312(m 3).(2)设PO 1=x m .则A 1O 1=226-x (0<x<6)，A 1B 1=222(6-)x ⨯. V=2×(36-x 2)×4x+13×2×(36-x 2)x=2×(36-x 2)x×143⎛⎫+ ⎪⎝⎭=263(-x 3+36x )，V'=-26x 2+12×26=26×(-x 2+12)，令V'=0，得x=23.当0<x<23时，V'>0，V 是单调增函数；当23<x<6时，V'<0，V 是单调减函数，所以当PO 1=23 m 时，仓库的容积V 取得最大值.三角形与三角函数模型例1 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形PQRS 的面积为S 2.(1)用a ，θ表示S 1和S 2；(2)当a 固定，θ变化时，求12S S 的最小值.(例1)【分析】用a ，θ表示S 1和S 2，a 固定时12S S 是关于θ的函数，然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.【解答】(1)S 1=12a sin θ·a cos θ=14a 2sin2θ， 设正方形边长为x ，则BQ=tan xθ，RC=x tan θ，所以tan x θ+x tan θ+x=a ，所以x=1tan 1tan aθθ++=sin22sin2a θθ+，所以S 2=2sin22sin2a θθ⎛⎫⎪+⎝⎭=222sin 2sin 24sin24a θθθ++. (2)当a 固定，θ变化时，12S S =14sin244sin2θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 令sin2θ=t ，则12S S =1444t t⎛⎫++ ⎪⎝⎭(0<t ≤1)，利用单调性求得t=1时，12min S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭=94.练习1 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 处沿直线步行到C 处，另一种是先从A 处沿索道乘缆车到B 处，然后从B 处沿直线步行到C 处.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min .在甲出发2 min 后，乙从A 处乘缆车到B 处，在B 处停留1 min 后，再从B 处匀速步行到C 处.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A=1213，cos C=35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内?(练习1)【解答】(1)因为cos A=1213，cos C=35，且0<A<π，0<B<π，0<C<π，所以sinA=513，sin C=45.因为A+B+C=π，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=513×35+1213×45=6365.由sin AC B =sin AB C =sin BC A ，得AB=sin sin C B ·AC=45×6563×1 260=1 040(m).(2)由(1)知BC=sin sin A B ·AC=500(m)，设乙出发t (t ≤8)min 后，甲到了D 处，乙到了E处，则有AD=50t+100，AE=130t ，根据余弦定理得DE 2=AE 2+AD 2-2AE·AD·cos A ，即DE2=7 400t2-14 000t+10 000，所以当t=1400027400⨯=3537时，DE2有最小值，此时乙在缆车上与甲的距离最短，(3)设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为v乙，由题意知甲到C处用时t甲=126050=1265(min)，乙到C处用时t乙=2+1040130+1+500v乙=11+500v乙(min)，所以-3≤1265-50011v⎛⎫+⎪⎝⎭乙≤3，解不等式得125043≤v乙≤62514.所以乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(m/min)范围内.练习2(2016·南通一调)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1 km的半圆面.公路l经过点O，且与直径OA垂直.现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上)，T为切点.(1)按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α(单位：rad)，将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ=t(单位：km)，将△OPQ的面积S表示为t的函数.(2)请你选用(1)中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值.(练习2)【解答】(1)①由题设知，在Rt△O1PT中，∠O1PT=α，O1T=1，所以O1P= 1sinα，又OO 1=1，所以OP=1sin α+1.在Rt △OPQ 中，OQ=OP tan α=11sin α⎛⎫+ ⎪⎝⎭tan α=1sin cos αα+.所以Rt △OPQ 的面积为S=12OP·OQ=1211sin α⎛⎫+ ⎪⎝⎭1sin cos αα+=2(1sin )2sin cos ααα+=2(1sin )π0sin22ααα+⎛⎫<< ⎪⎝⎭.②由题设知，OQ=QT=t ，O 1T=1，且Rt △POQ ∽△PTO 1，所以OP OQ =1TP TO ，即OPt=1t ，化简得OP=222-1t t (t>1). 所以Rt △OPQ 的面积为S=12OQ·OP=12t·222-1tt =32-1t t (t>1). (2)方法一：选用(1)中①的函数关系S=2(1sin )sin2αα+π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭.S'=222(1sin )cos sin2-(1sin )2cos2sin 2αααααα++=22(1sin )[cos sin2-(1sin )cos2]sin 2αααααα++=222(1sin )[sin(2-)-(1-2sin )]sin 2ααααα+=222(1sin )(2sin -1)π0sin 22αααα+⎛⎫<< ⎪⎝⎭. 由S'=222(1sin )(2sin -1)sin 2ααα+=0π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭，得α=π6. 当α变化时，S ，S'的变化情况如下表：所以当α=π6时，△OPQ 的面积S 取得最小值为2π1sin 6πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=2(km 2). 方法二：选用(1)中②的函数关系S=32-1t t (t>1).S'=223223(-1)-2(-1)t t t t t ⨯=(t>1). 由S'==0(t>1)，得t=当t 变化时，S ，S'的变化情况如下表：所以当OPQ 的面积S 的最小值为33-1=2(km 2).【预测模型】预测模型分段函数模型例1(2016·南京三模)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC=90°，AB=5 km，BC=8 km，CD=3 km.现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6 km/h，乙的路线是ABCD，速度为v km/h.(1)若甲、乙两管理员到达D地的时间相差不超过15 min，求乙的速度v的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5 km.若乙先到达D地，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围.(例1)【解答】(1)由题意可得AD=12 km.由题可知1216-6v≤14，解得649≤v≤647.(2)方法一：设经过t h，甲、乙之间的距离的平方为f(t).由于乙先到达D地，故16v<2，即v>8.①当0<vt≤5，即0<t≤5v时，f(t)=(6t)2+(vt)2-2×6t×vt×cos∠DAB=248-365v v⎛⎫+⎪⎝⎭t2.因为v2-485v+36>0，所以当t=5v时，f(t)取得最大值，所以248-365v v⎛⎫+⎪⎝⎭×25v⎛⎫⎪⎝⎭≤25，解得v≥154.②当5≤vt≤13，即5v≤t≤13v时，f(t)=(vt-1-6t)2+9=(v-6)221--6tv⎛⎫⎪⎝⎭+9.因为v>8，所以1-6v<5v，(v-6)2>0，所以当t=13v时，f(t)取得最大值，所以(v-6)22131--6v v⎛⎫⎪⎝⎭+9≤25，解得398≤v≤394.③当13≤vt≤16，即13v≤t≤16v时，f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2，因为12-6t>0，16-vt>0，所以f(t)在1316v v⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，即当t=13v时，f(t)取得最大值，21312-6v⎛⎫⨯⎪⎝⎭+21316-vv⎛⎫⨯⎪⎝⎭≤25，解得398≤v≤394.因为v>8，所以8<v≤39 4.方法二：设经过t h，甲、乙之间的距离的平方为f(t).由于乙先到达D地，故16v<2，即v>8.以点A为原点，AD为x轴建立平面直角坐标系，①当0<vt≤5时，f(t)=24-65vt t⎛⎫⎪⎝⎭+235vt⎛⎫⎪⎝⎭.由于24-65vt t⎛⎫⎪⎝⎭+235vt⎛⎫⎪⎝⎭≤25，所以24-65v⎛⎫⎪⎝⎭+235v⎛⎫⎪⎝⎭≤225t对任意0<t≤5v都成立，所以24-65v⎛⎫⎪⎝⎭+235v⎛⎫⎪⎝⎭≤v2，解得v≥154.②当5≤vt≤13时，f(t)=(vt-1-6t)2+32. 由于(vt-1-6t)2+32≤25，所以-4≤vt-1-6t≤4对任意5v≤t≤13v都成立，即5-63--6vtvt⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，对任意5v≤t≤13v都成立，所以5-6133--613vvvv⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，，解得398≤v≤394.③当13≤vt≤16，即13v≤t≤16v时，f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2.由①及②知8<v≤394，于是0<12-6t≤12-78v≤12-78×439=4，又因为0≤16-vt≤3，所以f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2≤42+32=25恒成立.综上所述，8<v≤39 4.【点评】当分段函数f(t)的图象连续时，整体考虑函数的单调性求最值，可减少很多(无效)计算量.一个小窍门是：分段函数的各个分界点，能用“闭区间”就不用开区间.练习某工厂有工人214名，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人，在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件，加工完A型零件所需时间为g(x)，加工完B型零件所需时间为h(x).(1)比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务的时间f(x)的解析式；(2)应怎样分组，才能使完成任务用时最少?【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x)，然后通过作差找出分界点，得到一个分段函数.【解答】由题设，每个工人在单位时间内加工5k个A型零件，所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件，所以g(x)=150035kx⨯=900kx.单位时间内加工B型零件的个数为3k，所以h(x)=15003(214-)k x⋅=500(214-)k x.(1)g(x)-h(x)=900kx-500(214-)k x=192600-1400·(214-)xkx x，因为1≤x<214，x∈N，因此，①当1≤x≤137时，g(x)>h(x)；②当138≤x≤213时，g(x)<h(x)，即当x≤137时，加工A型这一组所用的时间多；当x≥138时，加工B型这一组所用的时间多.要完成任务必须使两组全完成才能完成任务，故完成总任务的时间是f(x)=9001137500138213.(214-)x xkxx xk x∈∈⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩NN ，，，，，(2)要使任务完成最快，|g(x)-h(x)|应最小，令g(x)-h(x)=0，得x=1374 7.因为x∈N，所以需比较x=137和138时，|g(x)-h(x)|的大小.经比较，加工A型零件有137人，加工B型零件有77人时，完成任务的用时最少. 另外可以这样考虑，要使任务完成最快，即求函数f(x)的最小值.当1≤x≤137，x∈N时，f(x)=900kx，显然x=137时，f(x)最小.当138≤x≤213，x∈N时，f(x)=500(214-)k x，显然x=138时，f(x)最小，比较x=137和x=138时f(x)的大小，可知当x=137时，f(x)最小.数列模型例1商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2012年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；(2)若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元).(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 4) 【分析】将该问题转化为等比数列求和问题.利率问题有两种：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r，则n期后本利和为S n=p(1+r)+p(1+2r)+…+p(1+nr)=p(1)2n nn r+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(等差数列问题)；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，分n期还清.如果每期利率为r(按复利)，那么每期等额还款x元应满足：p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+…+x(1+r)+x(等比数列问题).【解答】依题意，公寓2012年底建成，2013年开始使用.(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000×800(元)=800 000(元)=80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元.依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1，化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1.所以1.05n≥1.734 3.。
2018高考数学(文)二轮复习：第三部分 专题一第3讲客观“瓶颈”题突破—冲高分 (共61张PPT)
23 A. 3
B. 3
3 C. 2
D．2
(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝ 4 2，|DE|＝2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：(1)依题意知，两条渐近线的夹角为 60°. 又根据对称性，知渐近线的斜率为± 33. 所以ba＝ 33，则 e＝ 1＋ba22＝233.
必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花 明又一村”，做到保“本”冲“优”．
压轴点 1 函数的图象、性质及其应用
[例 1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋
φ)ω
＞0，|φ
|≤π2，x＝－π4为
f(x)的零点，x＝π4为
y＝f(x)
图象的对称轴，且 f(x)在1π8，53π6上单调，则 ω 的最大值
C．0≤a≤2 D．a≤3
(2)(2017·日照调研)已知 x＞0，y＞0，且2x＋1y＝1，若 x ＋ 2y ＞ m2 ＋ 2m 恒成 立 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为 ________．
x≥0， 解析：(1)满足约束条件y≥0， 的平面区域如下图
2x＋y≤2
所示，
又 x＞0，y＞0，所以4xy＋xy≥2 4xy·xy＝4 当且仅当4xy＝xy，即x＝2y时取等号. 所以 t＝4＋4xy＋xy≥4＋4＝8，即 tmin＝8. 故 m2＋2m＜8，即(m－2)(m＋4)＜0，解得－4＜m＜ 2. 答案：(1)D (2)(－4，2)
压轴点 3 直线与圆的位置关系
四边形 PACB 的面积 S＝2S△PBC，因为四边形 PACB 的最小面积为 2，所以 S△PBC 的最小值为 1，
突破瓶颈如何解决答题中的难点问题
突破瓶颈如何解决答题中的难点问题在学习和考试的过程中，我们常常会遇到各种各样的难点问题。
这些问题往往限制了我们的进步，使得我们难以突破自身的瓶颈。
本文将探讨如何解决答题中的难点问题，帮助读者更好地学习和应对考试。
一、梳理知识点，找准重点在面临难题时，首先要梳理知识点，找出问题的重点。
一般来说，难点问题往往集中在某些重要的知识点上。
通过系统地学习，理清知识点间的逻辑关系和内在联系，就能够抓住问题的关键。
因此，我们可以将学习内容进行分类整理，制作知识点思维导图，有助于记忆和理解。
例如，在学习数学时，我们可以把各个章节的重点知识点整理成思维导图，这样能够更加清晰地了解各个知识点的内容及其关系。
二、强化基础，夯实知识储备解决答题的难点问题，建立在扎实的基础知识之上。
因此，我们需要通过阅读、听讲、思考等方式，不断地积累知识，夯实基础。
特别是对于一些基础薄弱的知识点，可以通过参考教材、习题集等辅助材料进行复习，培养自己的基本功。
同时，要注重培养逻辑思维和分析问题的能力，这样在遇到难点问题时，能够更好地进行分析和解决。
三、多做练习，掌握解题方法要解决答题中的难点问题，掌握合适的解题方法是关键。
通过多做练习，积累解题经验，掌握解题的技巧和方法。
可以根据各个学科的特点，选择不同类型的题目进行训练。
对于遇到的困难题目，可以先寻找解题思路，再进行反复的练习，直到熟练掌握。
此外，也可以积极参加学科竞赛和模拟考试，通过与他人的交流和比拼，不断找到自己的不足之处，并努力弥补。
四、寻求帮助，与他人共同学习在面对答题中的难点问题时，我们有时可能会束手无策，不知如何下手。
这时，寻求他人的帮助是一种明智的选择。
可以与同学、老师或其他专业人士进行交流，分享问题，寻求解决的途径。
与他人共同学习能够拓宽思路，激发灵感，找到解决问题的关键。
同时，也可以通过参加学科讲座、研讨会等活动，与优秀的学者和专家进行交流，听取他们的意见和建议。
五、调整心态，保持积极态度解决答题中的难点问题需要耐心和毅力，不能轻易放弃。
应用题存在的问题及解决策略
应用题存在的问题及解决策略随着人工智能和自动化技术的不断发展，应用题在教育领域的重要性也得到了大幅提升。
然而，在实际应用中，应用题常常会遇到以下问题：一、难度过高：应用题往往需要综合运用知识、技能和思维能力进行解答，难度相对于其他类型的练习题更高，对于学生的能力要求也更高。
二、结果可信度低：由于应用题的题面通常比较复杂，常涉及多种因素之间的相互作用，因此在解答过程中常常产生误差，或者因为题目简化等原因无法真实反映问题的实际情况，导致解答结果的可信度降低。
三、应用场景单一：常见的应用题通常集中在数学、物理、化学等领域中的特定领域，很难涉及到其他领域的实际问题，对于学生的综合能力提升存在局限性。
为了解决以上问题，我们可以采取以下策略：一、降低难度，提高适应性：通过简化题目难度，增加提示，调整练习内容等方式，让学生能够更容易地掌握解题方法和技巧。
同时，尽可能涉及到不同领域的问题，扩大应用场景，有助于培养学生的跨学科思维能力。
二、优化问题设计，提高结果可信度：应用题出题者需要认真考虑问题本身的可行性和真实性，尽量贴近实际生活和工作中的问题场景，设计合理的题目结构和答案评分标准，降低出错概率和误判率。
三、综合评估学生能力，促进学生综合发展：应用题的测试不应仅仅评估学生在某个领域的知识掌握情况，而是应该考虑学生在综合思考能力、问题解决能力、创新性和团队合作等方面的表现。
通过精心设计的应用题，提高学生的综合素质。
总的来说，应用题在教育中扮演着重要的角色。
在应用题设计和教学实践中，我们需要充分考虑学生的实际情况和需求，注重细节、不断完善，以更好地帮助学生提高学习成果和综合能力。
应用题存在的问题及解决策略
应用题存在的问题及解决策略应用题是数学中的一种题型，要求学生运用所学的知识解决实际问题。
很多学生在应用题上常常遇到困难，这给他们的学习造成了不小的困扰。
本文将探讨应用题存在的问题，并提出一些解决策略，希望能够帮助学生更好地应对应用题。
应用题存在的问题主要有以下几个方面：1. 缺乏实际问题解决能力。
应用题要求学生从实际生活中抽象出问题，并用数学方法进行解决。
很多学生缺乏实际问题解决的能力，无法将所学的知识与实际问题联系起来，导致在应用题上无法运用所学的知识。
2. 知识不够扎实。
应用题常常涉及多个知识点的综合运用，需要学生对所学的知识有一个较为全面的理解。
很多学生的基础知识并不够扎实，导致在应用题上无法正确运用所学的知识。
3. 解题思路不清晰。
应用题经常涉及到一些较为复杂的问题，需要学生具备一定的解题思路和方法。
很多学生在解题过程中思路不清晰，无法正确分析问题，导致解题困难。
针对以上问题，我们可以采取以下一些解决策略：1. 培养实际问题解决能力。
在教学过程中，可以引导学生多关注实际问题，例如生活中的购物、旅行、投资等，通过分析这些实际问题，培养学生的实际问题解决能力，使他们能够将所学的数学知识与实际问题相结合。
2. 注重基础知识的扎实。
在教学中，应重视对基础知识的讲解和强化，使学生对所学的知识有一个扎实的掌握，为解决应用题提供必要的知识基础。
3. 强调解题思路和方法。
在解题过程中，可以引导学生多思考问题，培养他们的解题思路和方法。
可以通过分析典型的应用题，引导学生掌握解题的一般思路和方法，使他们在解题过程中能够清晰地把握问题的关键点。
4. 提供足够的练习。
针对应用题，教师可以提供足够的练习题目，帮助学生巩固所学的知识，提高解题能力。
可以通过不同难度的应用题练习，帮助学生逐步提高解题能力。
5. 激发学生的学习兴趣。
教师可以通过多样化的教学手段，如引入实例、实物等，激发学生的学习兴趣，使他们对数学的学习更加感兴趣，从而更愿意投入时间和精力去解决应用题。
解应用题的教案设计中的常见问题及其解决方法
解应用题一直是数学教育中的难点，老师在教学过程中往往会遇到一些挑战和问题。
本文将对解应用题的教案设计中的常见问题及其解决方法进行探讨和总结。
一、常见问题1.学生对应用题的兴趣不高，缺乏动力。
2.学生对应用题的“应用背景”理解不充分，造成理解障碍。
3.学生容易误解题意或者错误理解数据。
4.学生在解题过程中思路混乱，难以抓住关键。
5.学生缺乏解题思路或者方法，只能靠死记硬背。
二、解决方法1.提高学生的兴趣：在教学中，可以针对性地设计一些生动有趣的案例，让学生在解题中体会到的乐趣，并引导学生积极参与课堂讨论和交流。
2.强化“应用背景”的讲解：老师在教学中应该注重对应用题的“应用背景”进行解释，使学生对题目中的实际应用场景有更加清晰的认识。
通过对实际问题的模拟，让学生体验到数学知识的实用性和实际应用效果。
3.分析题目，梳理思路：在解题过程中，学生应该有良好的思维方式和解题方法，老师在教学中需要引导学生学习提炼题目信息和梳理思路的技巧，让学生能够快速理解题目的意义，进而分析问题、定义问题，梳理出逻辑结构和解题思路。
4.多方位引导学生理解：老师在教学的过程中，应该从多个角度出发，引导学生对题目进行综合分析和解答。
对于每道应用题，老师可以引导学生通过各种方法进行理解和解答，例如画图、列式、运用函数等。
5.确立思维习惯：在教学中，老师需要引导学生建立正确的解题思维习惯，教育学生解决问题的思维和方法。
通过让学生进行反思和总结，从而帮助学生加强自我学习和提高解题思维能力。
解应用题需要学生具备扎实的数学基础知识、运用数学知识的能力，同时还需要掌握相关的解题思维和技巧。
教师在教学中应该根据学生的实际情况，适时进行引导和帮助，让学生更好地掌握解题的技巧和心得。
应用题存在的问题及解决策略
应用题存在的问题及解决策略应用题是指结合实际情境，将数学概念和方法应用到解决问题的题目。
在教学中，应用题是培养学生数学思维能力和解决实际问题能力的重要手段。
在应用题教学中，存在一些问题需要解决。
应用题往往过于抽象，与学生实际生活联系不紧密。
学生很难将数学概念和方法应用到实际情境中，导致对问题的理解困难。
解决这一问题的策略是增加应用题的真实性和具体性。
可以引入学生熟悉的实际情境，如日常生活、学习、运动等，将数学概念和方法应用到这些情境中，使学生能够更好地理解问题的意义和解决思路。
应用题往往没有明确的解题步骤和策略，学生不知道从何入手，容易感到困惑。
解决这一问题的策略是引导学生建立解题思路和解题策略。
可以通过提问和引导，将问题分解成多个小问题，让学生逐步解决；可以提供解题思路的提示，如列表、画图、推理等；可以让学生运用已学的数学方法，如方程、函数、图形等，解决问题。
应用题往往过于注重计算过程，忽视问题的分析和解释，导致学生只注重得到结果，而忽视了问题本身的意义。
解决这一问题的策略是培养学生思辨和表达能力。
可以要求学生在解答应用题时，不仅给出计算过程和结果，还要解释数学概念和方法在解决问题中的应用；可以组织学生进行小组或班级讨论，让学生互相交流解题思路和解题结果，并进行问题的解释和分析。
应用题往往只注重解决一类问题，缺乏培养学生灵活运用数学知识解决不同问题的能力。
解决这一问题的策略是扩大应用题的覆盖范围和难度。
可以设计涉及多个数学概念和方法的问题，让学生综合运用不同的知识解决问题；可以设计开放性的应用题，让学生自由选择解题方法和路径，培养创新和灵活性。
解决应用题存在的问题需要增加应用题的真实性和具体性，引导学生建立解题思路和解题策略，培养学生思辨和表达能力，扩大应用题的覆盖范围和难度。
通过这些策略的实施，可以使应用题教学更加有效，提高学生的数学学习兴趣和能力。
六年级上册期末应用题解析突破解题瓶颈的攻略
六年级上册期末应用题解析突破解题瓶颈的攻略应用题是数学学科中的一种题型，通常要求学生运用所学的知识解决实际问题。
对于六年级学生来说，应用题是他们考试中的一大难题，因为这种题目需要综合运用多个知识点和解题方法。
在解答这类题目时，有时会遇到一些瓶颈，无法迅速找到解题思路或者解答方法。
针对这一问题，本文将提供一些解题策略，帮助六年级学生解决应用题解题瓶颈。
一、了解题目要求在解答应用题之前，首先要明确题目中要求的内容。
通读题目，理解题目意思，并判断所给的信息和条件。
这一步很关键，它能够帮助学生确定解题思路和方法。
在这个过程中，可以使用标记、圈出关键信息的方式来整理题目内容，以便更好地理解和解答问题。
二、分析问题和设定目标在理解题目后，应该分析问题，将问题归纳为已知条件和所要求的问题。
通过分析，可以将问题转化为数学语言，并设定解题目标。
这一步有助于引导学生思考所需的解题思路和方法，确定接下来的解题方向。
三、运用合适的解题方法根据题目的要求和所给条件，选择合适的解题方法是解答应用题的关键。
以下列举一些常用的解题方法供学生参考：1. 问题归类法：将问题归类到已知模式中，例如解决相似三角形问题时，将问题与已知定理或性质联系，找出解题思路。
2. 列式解法：通过列式将题目中的信息、条件和问题整理出来，建立方程或不等式。
这种解题方法适用于许多实际问题，如速度、距离、购物等问题。
3. 倒推法：从问题的要求开始，逆向分析，并通过逻辑推理找到问题的解决方法。
这种解题方法常用于逐步分析问题或在题目给出的过程中找到思路。
4. 图表法：通过画图或制表的方式将问题转化为形象化的表示，从而方便分析和解决问题。
这种方法适用于一些几何问题或概率问题。
四、细心审题和答题技巧在解答应用题时，一定要细心审题。
有时题目中会有一些陷阱，或者需求上有一些变化。
学生要仔细阅读并理解每个问题的要求，避免因为疏忽而导致错误答案的产生。
另外，学生在解答应用题时，还可以使用一些答题技巧来提高解题效率和准确率。
科学习题解析,帮助你突破学习瓶颈
科学习题解析，帮助你突破学习瓶颈引言学习是人类进步和发展的基石，但在学习的过程中，我们常常会遇到各种各样的困难和瓶颈。
有时候，我们可能会对一些问题感到困惑，对一些题目感到迷茫。
然而，科学习题解析可以帮助我们解决这些问题，突破学习的瓶颈。
理解题目当我们遇到一个学习问题或者题目时，第一步就是要理解题目的要求。
如果我们没有正确理解题目，那么就很难正确回答问题。
因此，我们需要仔细阅读题目，弄清题目中的关键词和要求。
有时候，题目的要求可能比较复杂，那么我们可以利用解析题目的常用方法，比如画图、列式、设变量等，来帮助我们理解题目。
分析解决方法理解题目后，我们需要分析并选择合适的解决方法。
不同的问题和题目可能需要不同的解决方法。
有时候，我们可能会遇到比较简单的问题，可以直接套用公式或者方法进行求解；而有时候，我们可能会遇到比较复杂的问题，就需要运用一些更加深入的知识和技巧来解决。
对于复杂的问题，我们可以尝试分解问题、找到关键因素、寻找规律等方法，来帮助我们解决问题。
实例演练在学习的过程中，做一些实例演练是非常重要的。
通过做实例演练，我们可以更加深入地理解和掌握学习的知识和技巧。
通过实例演练，我们可以锻炼我们的思维和解决问题的能力。
同时，实例演练也可以帮助我们发现和纠正我们在学习过程中的错误和不足之处。
因此，我们在学习的过程中，应该多做一些实例演练，以便更好地掌握和应用所学的知识。
线上资源现在的互联网时代，我们可以利用各种各样的线上资源来帮助我们解决学习中的问题。
有很多网站和平台专门提供学习资料和题目解析，比如课程网站、学习社区、解题平台等。
通过利用这些线上资源，我们可以获取到更多的学习资料和解题经验。
同时，我们还可以通过线上资源与其他学习者进行交流和分享，互相帮助和促进。
因此，在学习的过程中，我们应该充分利用线上资源，以便更好地突破学习瓶颈。
总结学习是一个不断挑战和突破自己的过程。
在学习的过程中，我们常常会遇到各种各样的困难和瓶颈。
突破数学瓶颈高中数学题型解答方法与实践指南
突破数学瓶颈高中数学题型解答方法与实践指南突破数学瓶颈：高中数学题型解答方法与实践指南在高中阶段，数学常常被视为具有挑战性的学科，许多学生都会遇到数学学习的瓶颈。
然而，适当的解答方法和实践指南可以帮助学生们克服数学学习困难。
本文将介绍一些突破数学瓶颈的有效方法，助你在高中数学学习中取得更好的成绩。
一、深入理解数学概念在解答高中数学题目之前，深入理解数学概念是至关重要的。
数学概念的理解是构建解题思路的基石。
在学习过程中，我们应该追求透彻的理解，而非仅仅记住定义。
通过实例和应用问题，我们可以更好地理解数学概念的实际意义，将其应用于解决不同类型的问题。
二、建立有效的解题方法在解答数学题目时，建立一套有效的解题方法可以帮助我们更加高效地解决问题。
以下是一些建立有效解题方法的建议：1. 分析问题：在开始解题之前，仔细阅读题目并分析所给信息和要求。
确定问题所涉及的数学概念和解题方法，找出问题的关键点。
2. 绘制图像：对于几何题和函数图像题，绘制图像是帮助我们理解问题和找到解决方案的重要步骤。
通过绘制图像，我们可以更好地观察和推理，从而达到解题目的目的。
3. 创造性思维：数学解题是一个创造性的过程。
尝试不同的方法和角度来解决问题，勇敢地提出自己的猜想和假设。
培养创造性思维，可以开拓解题思路，帮助我们克服瓶颈。
4. 归纳总结：在解答一类题型时，归纳总结常用的解题方法和技巧是极为重要的。
通过总结和归纳，我们可以系统化地理解和应用这些方法，提高解题的效率和准确性。
三、练习与实践除了建立有效的解题方法，大量的练习与实践也是突破数学瓶颈的关键。
练习可以巩固所学的数学知识，培养解题的灵活性和熟练度。
以下是一些建议来增强练习的效果：1. 高质量的练习题：选择有质量、有代表性的练习题，包括不同难度级别的题目。
这样可以提高解决各类问题的能力，并逐步增加自信心。
2. 参加竞赛和挑战：参加各类数学竞赛和挑战活动，可以将所学知识应用到实际问题中，提高解题的能力和思维的灵活性。
数学应用教学的问题及解决瓶颈的策略探索
数学应用教学的问题及解决瓶颈的策略探索摘要：高中数学教学的根本问题在于学生对于知识的应用，在于将抽象的理论用于教育教学实践。
在教学过程中，所有教学工作者要认真思考可探索一个问题，那就是如何化解应用的瓶颈，真正培养有能力的一代新型人才。
关键词：高中，数学，应用，问题，策略，建议培养和提高学生的数学应用意识，是中学数学教学的迫切要求，在中学数学教学的始终都应注重学生应用意识的培养。
高中数学新教材在每章开头的序言，问题引入，例、习题，“实习作业”和“研究性课题”中都编排了大量的应用问题，应根据高中学生的认知规律和思维特点进行应用问题的教学，培养学生的应用意识和应用能力。
一、高中数学新教材中的数学应用问题?传统教材对知识的来龙去脉和数学的应用重视不够，不重视引导学生运用所学知识解决日常生活、生产中遇到的实际问题，学生学数学用数学的意识不够，解决实际问题的能力脆弱。
新教材对此做了大的调整，增加了具有广泛应用性、实践性的教学内容，重视数学知识的运用，增强数学应用意识，提高学生分析问题，解决问题的能力，把培养学生运用数学的意识贯穿在教材的各个方面。
1.每一章的序言，都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。
例如，在第三章《数列》以趣味话题：“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数的计算作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。
?在教材的编排上，既用通俗易懂的语言，陈述问题，又附以插图增强直观形象性、趣味性。
2.在研究“具体问题”时以实际例子引入课题?。
高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当的运用了实际问题和具体情景。
例如，用“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数量积的概念等。
实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。
3.例题中的应用问题。
例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识.它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。
高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.9客观“瓶颈”题突破——冲刺高分(讲)理(2021学年)
2018 年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题 3.9 客观“瓶颈”题突破——冲刺高分（讲）理2018 年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题 3．9 客观“瓶颈”题 突破——冲刺高分(讲）理编辑整理：尊敬的读者朋友们: 这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对 文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(２018 年高考数学二轮复习 第 三篇 方法应用篇 专题 3.9 客观“瓶颈”题突破——冲刺高分(讲）理)的内容能够给您的工作和 学习带来便利。
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12018 年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题 3.9 客观“瓶颈”题突破——冲刺高分（讲）理方法九 客观“瓶颈”题突破—-冲刺高分“瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成 绩提升的“瓶颈期"——无论怎么努力,成绩总是停滞不前．怎样才能突破“瓶颈"，让成绩再 上一个新台阶？全国高考卷客观题满分 80 分,共 1６题,决定了整个高考试卷的成败,要突破 “瓶颈题”就必须在两类客观题第１0,11,12，１5，１6 题中有较大收获，分析近三年高考, 必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”,做到保“本”冲“优”。
热点一 函数的图象、性质及其应用例 1【２０18 届广东省六校(广州二中，深圳实验,珠海一中，中山纪念，东莞中学,惠州一中)高三下学期第三次联考】若函数 的图象上存在不同的两点，,其中使得的最大值为 0,则称函数 是“柯西函数”.给出下列函数:①；③；②；④。
第3讲 应用问题中的“瓶颈题”
第3讲应用问题中的“瓶颈题”【举题说法】第3讲应用问题中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第74~84页)数学应用问题是高考中常见题型之一，是能否锁定128分(试卷前128分)的重要突破口.常见的应用题有：(1)函数与不等式模型；(2)函数与导数模型；(3)三角函数模型；(4)数列模型.近几年江苏高考数学试题中，正在形成强调将数学应用于解决实际问题的趋势，这个趋势有以下两个特点：一是应用问题考查加大力度，连续多年考大题，形成江苏特色；二是由简单的直接应用向实际问题数学化转化，贴近生活，并且阅读量逐步增加.应用题在高考中的得分率一直比较低，怎样才能突破这个瓶颈，应该从以下几个方面抓起.首先，要掌握解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答(解应用题的一般思路如下面流程图所示).其次，要掌握数学建模的方法.下面以数学建模方法为例来谈谈如何突破应用题这个瓶颈.关系分析法通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型.例1 某工厂有容量为300 t 的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水.已知该厂生活用水为每小时10 t ，工业用水量W (单位：t)与时间t (单位：h ，定义早上6时t=0)的函数关系式为W=，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10 t ，以后每提高一级，每小时的进水量增加10 t ，若某天水塔原有水100 t ，在供水同时打开进水管.(1)设进水量选用第n 级，写出在t 时刻时水的存有量；(2)问：进水量选择第几级，既能保证该厂用水(水塔中水不空)又不会使水溢出? 【读懂题意】题目涉及的关键词比较多：生活用水量、工业用水量、水的存有量、进水量、原有量.其数量关系为：存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量.第一问的关键点是求“进水量选用第n 级”.第二问的关键点是“水塔中水不空不溢”转化为“存有量∈(0，300)”.【建立模型】因为存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量=10t+100，所以在选用第n 级的进水量时，t 时刻水的存有量为y=10nt-10t-100+100(0<t ≤16)，要使水塔中水不空不溢，则0<y ≤300，问题转化为确定n ，使0<10nt-10t-100≤300在(0，16]上恒成立.【精要解析】面对上述不等式，如何求解?是否会转化为“-10t++1<n ≤20t++1对一切0<t ≤16恒成立”，是否会作一个代换“令=x ，x ≥14”，将上式转化为“-10x 2+10x+1<n ≤20x 2+10x+1对一切x ≥14恒成立”.由于g (x )=20x 2+10x+1在14∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上的最小值为194，h (x )=-10x 2+10x+1在14∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上的最大值为72，所以72<n ≤194，从而确定n=4.练习 (2015·常州期末)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m 宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值.(练习)【解答】(1)由题设得S=(x-8)900-2x⎛⎫⎪⎝⎭=-2x-7200x +916，x ∈(8，450). (2)因为8<x<450，所以2x+7200x240， 当且仅当x=60时等号成立.从而S ≤676.答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.列表分析法对于数据较多，较复杂的应用性问题通过列表的方式探索问题的数学模型.例2从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1 4.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元，试写出它们的表达式；(2)问：至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【读懂题意】在研究旅游业的投入产出问题时，根据“本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少11”“54和旅游业收入每年会比上年增加”，其投入资金数列和收入(产出)数列均为等比数列，注意题目“设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元”中的“n年内”说明“a n”，“b n”表示等比数列的前n项和.【建立模型】(1)第n 年的投入与收入资金数列表如下：(2)略【精要解析】(1)第1年投入800万元，第2年投入800×11-5⎛⎫⎪⎝⎭万元，…，第n年投入800×-111-5n⎛⎫⎪⎝⎭万元，所以n年内的总投入a n=800+800×11-5⎛⎫⎪⎝⎭+ (800)-111-5n⎛⎫⎪⎝⎭=4 000×41-5n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×114⎛⎫+⎪⎝⎭万元，…，第n年旅游业收入为400×-1114n⎛⎫+⎪⎝⎭万元，所以n年内的总收入b n=400+400×114⎛⎫+⎪⎝⎭+ (400)-1114n⎛⎫+⎪⎝⎭=1 600×5-14n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)设至少经过n年旅游业的总收人才能超过总投入，所以b n-a n>0，即1 600×5-14n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-4 000×41-5n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦>0，化简，得5×45n⎛⎫⎪⎝⎭+2×54n⎛⎫⎪⎝⎭-7>0，即45n⎛⎫⎪⎝⎭<25，可得n≥5，所以至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.图象分析法通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题数学模型.例3 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图(1)所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图(2)所示的抛物线段表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f (t )，写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系Q=g (t )；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)图(1) 图(2)(例3)【读懂题意】(1)观察图象求出市场售价函数P=f (t )和种植成本函数Q=g (t ).(2)由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数h (t )=f (t )-g (t ).【建立模型】由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f (t )=300-02002-300200300t t t t ≤≤⎧⎨<≤⎩，，，；由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g (t )=2(-150)200t +100，0≤t ≤300.【精要解析】(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=300-02002-300200300t tt t≤≤⎧⎨<≤⎩，，，；由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2(-150)200t+100，0≤t≤300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即h(t)=2211175-0200 20022171?025--200300. 20022t t tt t t⎧++≤≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩，，，当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=-1200(t-50)2+100，所以当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t≤300时，配方整理得h(t)=-1200(t-350)2+100，所以当t=300时，h(t)取得区间(200，300]上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.练习某公司为帮助尚有26.8万元的无息贷款，但没有偿还能力的残疾人商店，借出20万元，将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(不计息).已知该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q(单位：百件)与销售价p(单位：元/件)的关系用图中的一条折线表示.职工每人每月工资600元，该店应交付的其他费用为每月13 200元.(1)若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；(2)若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价格定为多少元?(练习)【解答】(1)设该店每月的利润为S元，有职工m名，则S=q(p-40)×100-600m-13 200.又由图可得q=-21404058 -825881p pp p+≤≤⎧⎨+<≤⎩，，，，所以当40≤p≤58时，S=(-2p+140)(p-40)×100-600m-13 200，当58<p≤81时，S=(-p+82)(p-40)×100-600m-13 200.由题设知，当p=52时，S=0，即(-2×52+140)(52-40)×100-600m-13 200=0，解得m=50，即此时该店有员工50人.(2)由题意知S=(-2140)(-40)100-372004058 (-82)(-40)100-372005881 p p pp p p+⨯≤≤⎧⎨+⨯<≤⎩，，，，当40≤p≤58时，求得当p=55时，S取最大值7 800(元)；当58<p≤81时，求得当p=61时，S取最大值6 900(元).所以当p=55时，S有最大值为7 800元.设该店最早可在n年后还清所有债务，依题意得12×7 800×n-268 000-200 000≥0，解得n≥5，即该店最早可在5年后还清所有债务，此时消费品价格定为每件55元.建立坐标系法通过建立坐标系，得到函数模型来解应用题.例4 如图(1)所示的镀锌铁皮材料ABCD ，上沿DC 为圆弧，其圆心为A ，半径为2 m ，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，且BC 的长为1 m .现要用这块材料裁一个矩形PEAF (其中P 在D C 上，E 在线段AB 上，F 在线段AD 上)作圆柱的侧面，若以PE 为母线，问：如何裁剪可使圆柱的体积最大?其最大值是多少?(例4(1))【读懂题意】该问题是方案设计问题，如何确定点P 的位置使得以PE 为母线，以矩形PEAF (其中P 在D C 上，E 在线段AB 上，F 在线段AD 上)作圆柱的侧面围成的圆柱的体积最大.【建立模型】因为点P 在D C 上，其圆心为A ，半径为2 m ，且AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，所以分别以AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图(2)所示，(例4(2))则D C 的方程为x 2+y 2=4(0≤x≤y>0)，设P (x ，y )(0<x≤)，圆柱底面半径为r ，体积为V ，则PE=，2πr=AE=x ，则r=2πx ，所以V=πr 2l=2π2πx ⎛⎫ ⎪⎝⎭14πx2【精要解析】(1)分别以AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图(2)所示，则D C 的方程为x 2+y 2=4(0≤x≤y>0)，设P (x ，y )(0<x≤)，圆柱底面半径为r ，体积为V ，则PE=，2πr=AE=x ，则r=2πx，所以V=πr 2l=2π2πx ⎛⎫ ⎪⎝⎭14πxV 2=2116πx 4(4-x 2).设t=x 2∈(0，3]，令u=t 2(4-t )，则u'=-3t 2+8t=-3t 8-3t ⎛⎫⎪⎝⎭，令u'=0，得t=83.当83<t ≤3时，u'<0，u 是减函数；当0<t<83时，u'>0，u 是增函数，所以当t=83时，u 有极大值，也是最大值，所以当x=3 m 时，V 有最大值9π m 3，此时y=3 m .故裁一个矩形，两边长分别为3 m和3 m 时，能使圆柱的体积最大，其最大值为9π m 3.练习 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s .已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m .试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面上)(练习)【解答】如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系.设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A(-1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020).设P(x，y)为巨响发生点，由A，C同时听到巨响声，得PA=PC，故点P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因点B比点A晚4 s 听到爆炸声，故PB-PA=340×4=1 360.由双曲线定义知点P在以A，B为焦点的双曲线22xa-22yb=1上，依题意得a=680，c=1 020，所以b2=c2-a2=1 0202-6802=5×3402，故双曲线方程为22680x-225340y=1.将y=-x代入上式，得x=±680因为PB>PA，所以x=-680y=680即P(-680680，故PO=答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心m处.【常考模型】常考模型函数与导数模型例1(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N 为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5 km和40 km，点N到l1，l2的距离分别为20 km和2.5 km，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=2ax b(其中a，b为常数)模型.(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度.(例1)【解答】(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入y=2a x b +，得4025 2.5400aba b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，，解得10000.a b =⎧⎨=⎩，(2)①由(1)知，y=21000x (5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为t ，21000t .设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于点A ，B ，y'=-32000x ， 则直线l 的方程为y-21000t =-32000t (x-t )，由此得A 302t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 230000t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故f (t )t ∈[5，20].②设g (t )=t 2+64410t ⨯，则g'(t )=2t-651610t ⨯.令g'(t )=0，解得t=.当t ∈(5，)时，g'(t )<0，g (t )单调递减； 当t ∈，20)时，g'(t )>0，g (t )单调递增. 所以当t=10时，函数g (t )有极小值，也是最小值，g (t )min =300，此时f (t )min =15答：当t=时，公路l 的长度最短，最短长度为15km .练习 (2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1 m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形.现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.(1)若窗口ABCD 为正方形，且面积大于14 m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6 m ，求窗口ABCD 面积的最大值.【解答】(1)设一根木条长为x m ，则正方形的边长为. 因为S 四边形ABCD >14，所以4-x 2>14，即x<2.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以， 所以<4x<答：木条总长的取值范围为，.(2)方法一：设AB 所在木条的长为a m ， 则BC 所在木条的长为(3-a )m .因为a ∈(0，2)，3-a ∈(0，2)，所以a ∈(1，2)，S 矩形ABCD =设f (a )=a 4-6a 3+a 2+24a-20，f'(a )=4a 3-18a 2+2a+24=2(a+1)(2a-3)(a-4)，令f'(a )=0，得a=32或a=-1(舍去)或a=4(舍去).当a 变化时，f'(a )，f (a )的变化情况如下表：所以当a=32时，f (a )max =f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=4916，即S max =74.答：窗口ABCD面积的最大值为74 m 2.方法二：设AB 所在木条的长为a m ，BC 所在木条的长为b m. 由题意知2a+2b=6，即a+b=3.因为a ，b ∈(0，2)，所以b=3-a ∈(0，2)，从而a ，b ∈(1，2).由于AB=BC= S 矩形ABCD =228-()2a b +≤2()8-22a b +=74，当且仅当a=b=32∈(1，2)时，S 矩形ABCD =74.答：窗口ABCD 面积的最大值为74 m 2.解析几何模型例1 (2016·扬州期末)某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m ，要求通行车辆限高4.5 m ，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy.(1)若最大拱高h 为6 m ，则隧道设计的拱宽l 是多少?(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h 不小于6 m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小.23S lh ⎛⎫=⎪⎝⎭隧道口截面面积公式为(例1)【分析】求面积的关键在于求出l ，h 之间的关系，注意到点910--22l h h ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，及点，在抛物线上，就可得到l ，h 之间的关系，由此来消去一个变量，消元时，要注意等价性，即注意变量的取值范围的求解.【解答】(1)设抛物线的方程为y=-ax 2(a>0)，则抛物线过点310-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入抛物线方程，解得a=3200.令y=-6，解得x=±20，则隧道设计的拱宽l 是40 m .(2)抛物线最大拱高为h m，h≥6，抛物线过点910-2h⎛⎫+⎪⎝⎭，，代入抛物线方程得a=9-2100h.令y=-h，则-9-2100hx2=-h，解得x2=1009-2hh，则22l⎛⎫⎪⎝⎭=1009-2hh，h=2292-400ll.因为h≥6，所以2292-400ll≥6，即20<l≤40.所以S=23lh=23l·2292-400ll=323-400ll(20<l≤40).所以S'=223229(-400)-3?2(-400)l l l ll=22223(-1200)(-400)l ll=2223((-400)l l ll+，当20<l<20时，S'<0；当20<l≤40时，S'>0，即S在(20，20)上单调递减，在，40]上单调递增，所以S在l=l=20h=274.答：当拱高为274m，拱宽为20m时，使得隧道口截面面积最小.练习(2014·江苏卷)如图(1)，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M 在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO=4 3.(1)求新桥BC的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大?(练习(1))【解答】方法一：(1)如图(2)所示，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy.(练习(2))由条件知A (0，60)，C (170，0)，直线BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO=-43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34.设点B 的坐标为(a ，b )，则k BC =-0-170b a =-43，k AB =-60-0b a =34，解得a=80，b=120，所以150(m).因此新桥BC 的长是150m .(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM=d m(0≤d ≤60).由条件知，直线BC 的方程为y=-43(x-170)，即4x+3y-680=0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即680-35d.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以-80-(60-)80r d r d ≥⎧⎨≥⎩，，即680-3-805680-3-(60-)805dd d d ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，，解得10≤d ≤35.故当d=10时，r=680-35d最大，即圆的面积最大，所以当OM=10m 时，圆形保护区的面积最大. 方法二：(1)如图(3)所示，延长OA ，CB 交于点F.(练习(3))因为tan ∠FCO=43，所以sin ∠FCO=45，cos ∠FCO=35.因为OA=60，OC=170，所以OF=OC tan ∠FCO=6803，CF=cos OC FCO ∠=8503， 从而AF=OF-OA=5003.因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB=sin ∠FCO=45. 又因为AB ⊥BC ，所以BF=AF cos ∠AFB=4003，从而BC=CF-BF=150. 因此新桥BC 的长是150m .(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M 的半径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO=MDMF=-M DOF OM=680-3rd=35，所以r=680-35d.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以-80-(60-)80r dr d≥⎧⎨≥⎩，，即680-3-805680-3-(60-)805dddd⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，，解得10≤d≤35.故当d=10时，r=680-35d最大，即圆的面积最大，所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.立体几何体模型例1某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，高为l，左、右两端均为半球形，半径为r，按照设计要求容器的体积为80π3m3，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)求y关于r的函数解析式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时半径r的值.(例1)【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y 关于r 的函数表达式，再利用导数研究其最值.【解答】(1)因为容器的体积为803πm 3，所以43πr 3+πr 2l=803π，解得l=2803r -43r=2420-3r r⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于l ≥2r ，所以0<r ≤2， 所以建造费用y=2πrl×3+4πr 2c=2πr×2420-3r r⎛⎫⎪⎝⎭×3+4πr 2c ， 所以y=160πr -8πr 2+4πcr 2，定义域为(0，2].(2)y'=-2160πr -16πr+8πcr=328π[(-2)-20]c r r ，因为c>3，所以c-2>0，当r 3=20-2c 时，即y'=0，，则m>0，所以y'=28(c-2)r π(r-m )(r 2+mr+m 2).①当0<m<2，即c>92时，当r=m 时，y'=0；当r ∈(0，m )时，y'<0；当r ∈(m ，2)时，y'>0， 所以当r=m 时，函数y 取得极小值点，也是最小值点.②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0，2)时，y'<0，函数单调递减，所以r=2时函数y 取得最小值点.综上，当3<c ≤92时，建造费用最小时r=2；当c>92时，建造费用最小时r=练习 (2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的四倍.(1)若AB=6 m ，PO 1=2 m ，则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大?(练习)【解答】(1)容积为下部正四棱柱的容积与上部正四棱锥的容积的和，则V=62×4×2+13×62×2=62×2×143⎛⎫+ ⎪⎝⎭=312(m 3).(2)设PO 1=x m .则A 1O 1<x<6)，A 1B 1V=2×(36-x 2)×4x+13×2×(36-x 2)x=2×(36-x 2)x×143⎛⎫+⎪⎝⎭=263(-x 3+36x )，V'=-26x 2+12×26=26×(-x 2+12)，令V'=0，得x=.当0<x<2V'>0，V 是单调增函数；当<x<6时，V'<0，V 是单调减函数，所以当PO 1=m 时，仓库的容积V 取得最大值.三角形与三角函数模型例1 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形PQRS 的面积为S 2.(1)用a ，θ表示S 1和S 2；(2)当a 固定，θ变化时，求12S S 的最小值.(例1)【分析】用a ，θ表示S 1和S 2，a 固定时12S S 是关于θ的函数，然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.【解答】(1)S 1=12a sin θ·a cos θ=14a 2sin2θ， 设正方形边长为x ，则BQ=tan xθ，RC=x tan θ，所以tan x θ+x tan θ+x=a ，所以x=1tan 1tan aθθ++=sin22sin2a θθ+，所以S 2=2sin22sin2a θθ⎛⎫⎪+⎝⎭=222sin 2sin 24sin24a θθθ++. (2)当a 固定，θ变化时，12S S =14sin244sin2θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 令sin2θ=t ，则12S S =1444t t⎛⎫++⎪⎝⎭(0<t ≤1)，利用单调性求得t=1时，12min S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭=94.练习1 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 处沿直线步行到C 处，另一种是先从A 处沿索道乘缆车到B 处，然后从B 处沿直线步行到C 处.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min .在甲出发2 min 后，乙从A 处乘缆车到B 处，在B 处停留1 min 后，再从B 处匀速步行到C 处.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A=1213，cos C=35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内?(练习1)【解答】(1)因为cos A=1213，cos C=35，且0<A<π，0<B<π，0<C<π，所以sin A=513，sin C=45.因为A+B+C=π，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=513×35+1213×45=6365.由sin AC B =sin AB C =sin BC A ，得AB=sin sin C B ·AC=45×6563×1 260=1 040(m).(2)由(1)知BC=sin sin A B ·AC=500(m)，设乙出发t (t ≤8)min 后，甲到了D 处，乙到了E处，则有AD=50t+100，AE=130t ，根据余弦定理得DE 2=AE 2+AD 2-2AE·AD·cos A ，即DE2=7 400t2-14 000t+10 000，所以当t=1400027400⨯=3537时，DE2有最小值，此时乙在缆车上与甲的距离最短，(3)设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为v乙，由题意知甲到C处用时t甲=126050=1265(min)，乙到C处用时t乙=2+1040130+1+500v乙=11+500v乙(min)，所以-3≤1265-50011v⎛⎫+⎪⎝⎭乙≤3，解不等式得125043≤v乙≤62514.所以乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(m/min)范围内.练习2(2016·南通一调)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1 km的半圆面.公路l经过点O，且与直径OA垂直.现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上)，T为切点.(1)按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α(单位：rad)，将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ=t(单位：km)，将△OPQ的面积S表示为t的函数.(2)请你选用(1)中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值.(练习2)【解答】(1)①由题设知，在Rt△O1PT中，∠O1PT=α，O1T=1，所以O1P=1sinα，又OO 1=1，所以OP=1sin α+1.在Rt △OPQ 中，OQ=OP tan α=11sin α⎛⎫+ ⎪⎝⎭tan α=1sin cos αα+.所以Rt △OPQ 的面积为S=12OP·OQ=1211sin α⎛⎫+ ⎪⎝⎭1sin cos αα+=2(1sin )2sin cos ααα+=2(1sin )π0sin22ααα+⎛⎫<< ⎪⎝⎭.②由题设知，OQ=QT=t ，O 1T=1，且Rt △POQ ∽△PTO 1，所以OP OQ =1TP TO ，即OPt=1t ，化简得OP=222-1t t (t>1).所以Rt △OPQ 的面积为S=12OQ·OP=12t·222-1tt =32-1t t (t>1). (2)方法一：选用(1)中①的函数关系S=2(1sin )sin2αα+π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭.S'=222(1sin )cos sin2-(1sin )2cos2sin 2αααααα++=22(1sin )[cos sin2-(1sin )cos2]sin 2αααααα++=222(1sin )[sin(2-)-(1-2sin )]sin 2ααααα+=222(1sin )(2sin -1)π0sin 22αααα+⎛⎫<< ⎪⎝⎭. 由S'=222(1sin )(2sin -1)sin 2ααα+=0π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭，得α=π6. 当α变化时，S ，S'的变化情况如下表：所以当α=π6时，△OPQ 的面积S 取得最小值为2π1sin 6πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=2(km 2). 方法二：选用(1)中②的函数关系S=32-1t t (t>1).S'=223223(-1)-2(-1)t t t t t ⨯=(t>1). 由S'=222((-1)t t t t =0(t>1)，得t=当t 变化时，S ，S'的变化情况如下表：所以当OPQ 的面积S 的最小值为33-1=2(km 2).【预测模型】预测模型分段函数模型例1(2016·南京三模)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC=90°，AB=5 km，BC=8 km，CD=3 km.现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6 km/h，乙的路线是ABCD，速度为v km/h.(1)若甲、乙两管理员到达D地的时间相差不超过15 min，求乙的速度v的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5 km.若乙先到达D地，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围.(例1) 【解答】(1)由题意可得AD=12 km.由题可知1216-6v≤14，解得649≤v≤647.(2)方法一：设经过t h，甲、乙之间的距离的平方为f(t).由于乙先到达D地，故16v<2，即v>8.①当0<vt≤5，即0<t≤5v时，f(t)=(6t)2+(vt)2-2×6t×vt×cos∠DAB=248-365v v⎛⎫+⎪⎝⎭t2.因为v2-485v+36>0，所以当t=5v时，f(t)取得最大值，所以248-365v v⎛⎫+⎪⎝⎭×25v⎛⎫⎪⎝⎭≤25，解得v≥154.②当5≤vt≤13，即5v≤t≤13v时，f(t)=(vt-1-6t)2+9=(v-6)221--6tv⎛⎫⎪⎝⎭+9.因为v>8，所以1-6v<5v，(v-6)2>0，所以当t=13v时，f(t)取得最大值，所以(v-6)22131--6v v⎛⎫⎪⎝⎭+9≤25，解得398≤v≤394.③当13≤vt≤16，即13v≤t≤16v时，f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2，因为12-6t>0，16-vt>0，所以f(t)在1316v v⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，即当t=13v时，f(t)取得最大值，21312-6v⎛⎫⨯⎪⎝⎭+21316-vv⎛⎫⨯⎪⎝⎭≤25，解得398≤v≤394.因为v>8，所以8<v≤39 4.方法二：设经过t h，甲、乙之间的距离的平方为f(t).由于乙先到达D地，故16v<2，即v>8.以点A为原点，AD为x轴建立平面直角坐标系，①当0<vt≤5时，f(t)=24-65vt t⎛⎫⎪⎝⎭+235vt⎛⎫⎪⎝⎭.由于24-65vt t⎛⎫⎪⎝⎭+235vt⎛⎫⎪⎝⎭≤25，所以24-65v⎛⎫⎪⎝⎭+235v⎛⎫⎪⎝⎭≤225t对任意0<t≤5v都成立，所以24-65v⎛⎫⎪⎝⎭+235v⎛⎫⎪⎝⎭≤v2，解得v≥154.②当5≤vt≤13时，f(t)=(vt-1-6t)2+32. 由于(vt-1-6t)2+32≤25，所以-4≤vt-1-6t≤4对任意5v≤t≤13v都成立，即5-63--6vtvt⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，对任意5v≤t≤13v都成立，所以5-6133--613vvvv⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，，解得398≤v≤394.③当13≤vt≤16，即13v≤t≤16v时，f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2.由①及②知8<v≤394，于是0<12-6t≤12-78v≤12-78×439=4，又因为0≤16-vt≤3，所以f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2≤42+32=25恒成立.综上所述，8<v≤39 4.【点评】当分段函数f(t)的图象连续时，整体考虑函数的单调性求最值，可减少很多(无效)计算量.一个小窍门是：分段函数的各个分界点，能用“闭区间”就不用开区间.练习某工厂有工人214名，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人，在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件，加工完A型零件所需时间为g(x)，加工完B型零件所需时间为h(x).(1)比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务的时间f(x)的解析式；(2)应怎样分组，才能使完成任务用时最少?【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x)，然后通过作差找出分界点，得到一个分段函数.【解答】由题设，每个工人在单位时间内加工5k个A型零件，所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件，所以g(x)=150035kx⨯=900kx.单位时间内加工B型零件的个数为3k，所以h(x)=15003(214-)k x⋅=500(214-)k x.(1)g(x)-h(x)=900kx-500(214-)k x=192600-1400·(214-)xkx x，因为1≤x<214，x∈N，因此，①当1≤x≤137时，g(x)>h(x)；②当138≤x≤213时，g(x)<h(x)，即当x≤137时，加工A型这一组所用的时间多；当x≥138时，加工B型这一组所用的时间多.要完成任务必须使两组全完成才能完成任务，故完成总任务的时间是f(x)=9001137500138213.(214-)x xkxx xk x∈∈⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩NN ，，，，，(2)要使任务完成最快，|g(x)-h(x)|应最小，令g(x)-h(x)=0，得x=1374 7.因为x∈N，所以需比较x=137和138时，|g(x)-h(x)|的大小.经比较，加工A型零件有137人，加工B型零件有77人时，完成任务的用时最少. 另外可以这样考虑，要使任务完成最快，即求函数f(x)的最小值.当1≤x≤137，x∈N时，f(x)=900kx，显然x=137时，f(x)最小.当138≤x≤213，x∈N时，f(x)=500(214-)k x，显然x=138时，f(x)最小，比较x=137和x=138时f(x)的大小，可知当x=137时，f(x)最小.数列模型例1商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2012年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；(2)若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元).(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 4) 【分析】将该问题转化为等比数列求和问题.利率问题有两种：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r，则n期后本利和为S n=p(1+r)+p(1+2r)+…+p(1+nr)=p(1)2n nn r+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(等差数列问题)；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，分n期还清.如果每期利率为r(按复利)，那么每期等额还款x元应满足：p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+…+x(1+r)+x(等比数列问题).【解答】依题意，公寓2012年底建成，2013年开始使用.(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000×800(元)=800 000(元)=80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元.依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1，化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1.所以1.05n≥1.734 3.。
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第3讲应用问题中的“瓶颈题”【突破应用问题】第3讲应用问题中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第89~98页)数学应用问题是高考中常见题型之一，是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有：(1) 函数与不等式模型；(2) 函数与导数模型；(3) 三角函数模型；(4) 数列模型.近几年江苏高考数学试题中，正在形成强调将数学应用于解决实际问题的趋势，这个趋势有以下两个特点：一是应用问题考查加大力度，连续多年考大题，形成江苏特色；二是由简单的直接应用向实际问题数学化转化，贴近生活，并且阅读量逐步增加.应用题在高考中的得分率一直比较低，怎样才能突破这个瓶颈，应该从以下几个方面抓起.首先，要掌握解决实际问题的一般步骤：(1) 阅读题目，理解题意；(2) 设置变量，建立函数关系；(3) 应用函数知识或数学方法解决问题；(4) 检验，作答(解应用题的一般思路如下面流程图所示).其次，要掌握数学建模的方法.下面以数学建模方法为例来谈谈如何突破应用题这个瓶颈.【解法概述】举题说法突破瓶颈关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法例1 某工厂有容量为300 t的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水.已知该厂生活用水为每小时10 t，工业用水量W(t)与时间t(单位：h，定义早上6时t=0)的函数关系式为，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10 t，以后每提高一级，每小时的进水量增加10 t，若某天水塔原有水100 t，在供水同时打开进水管.(1) 设进水量选用第n级，写出在t时刻时水的存有量；(2) 问：进水量选择第几级，既能保证该厂用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?【分析】题目涉及的关键词比较多：生活用水量、工业用水量、水的存有量、进水量、原有量.其数量关系为：存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量.第一问的关键点是求“进水量选用第n级”.第二问的关键点是“水塔中水不空不溢”转化为“存有量∈(0，300)”.【解答】(1) 因为存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量=10t，所以在选用第n级的进水量时，t时刻水的存有量为y=10nt-10t+100(0<t≤16).(2) 要使水搭中水不空不溢，则0<y≤300，问题转化为确定n，使0<10nt-10t-+100≤300在(0<t≤16)上恒成立，即-10t+1<n≤20t+1对一切0<t≤16恒成立.=x，x≥14，则上式转化为-10x2+10x+1<n≤20x2+10x+1对一切x≥14恒成立.由于g (x )=20x 2+10x +1在11944∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上的最小值为， h (x )=-10x 2+10x +1在1742∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上的最大值为，所以72<n ≤194，从而确定n =4.练习 如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30°.设Sm.(练习)(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2 m 的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转，摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面?请说明理由.【解答】(1) 作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB=30°，∠ASB=60°.又R t △SAB中，可求得BA=3，即摄影者到立柱的水平距离为3 m . 由SC=3，∠CSO=30°，在R t △SCO中，可求得因为m .(2) 连接SM ，SN ，设SN=a ，SM=b .得a2+b2=26，cos∠MSN=222-22+a bab=11ab≥2222+a b=1113>12.又因为∠MSN∈(0，180°)，所以∠MSN<60°，故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.列表分析法：对于数据较多、较复杂的应用性问题通过列表的方式探索问题的数学模型的方法例1 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1 4.(1) 设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元，试写出它们的表达式；(2) 问：至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【分析】在研究旅游业的投入产出问题时，根据“本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少11”“54和旅游业收入每年会比上年增加”，其投入资金数列和收入(产出)数列均为等比数列，注意题目“设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元”中的“n年内”说明“a n”，“b n”表示等比数列的前n项和.【解答】(1) 第n年的投入与收入资金数列表如下：(1) 第1年投入800万元，第2年投入800³11-5⎛⎫ ⎪⎝⎭万元，…，第n 年投入800³-111-5⎛⎫ ⎪⎝⎭n 万元，所以n 年内的总投入a n =800+800³11-5⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+800³-111-5⎛⎫ ⎪⎝⎭n =4 000³415⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n ； 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400³114⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，…，第n 年旅游业收入为400³-1114⎛⎫+ ⎪⎝⎭n 万元， 所以n 年内的总收入b n =400+400³114⎛⎫+ ⎪⎝⎭+…+400³-1114⎛⎫+ ⎪⎝⎭n =1 600³5-14⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n .(2) 设至少经过n 年旅游业的总收人才能超过总投入，所以b n -a n >0，即1 600³5-14⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n -4 000³41-5⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n >0，化简，得5³45⎛⎫ ⎪⎝⎭n +2³54⎛⎫ ⎪⎝⎭n -7>0，即45⎛⎫ ⎪⎝⎭n <25，可得n ≥5，所以至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.图象分析法：即通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题的数学模型的方法例1 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)所示的抛物线段表示.(1) 写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f (t )，写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系Q=g (t )；(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)图(1) 图(2)(例1) 【分析】(1) 观察图象求出市场售价函数P=f (t )和种植成本函数Q=g (t ).(2) 由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数h (t )=f (t )-g (t ).【解答】(1) 由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f (t )=300-02002-300200300≤≤⎧⎨<≤⎩t t t t ，，，；由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g (t )=2(-150)200t +100，0≤t ≤300.(2) 设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )=f (t )-g (t )，即h (t )=2211175-020020022171025--200300.20022⎧++≤≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩t t t t t t ，，，当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )=-1200(t -50)2+100，所以当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得h (t )=-1200(t -350)2+100，所以当t =300时，h (t )取得区间(200，300)上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.练习 某公司为帮助尚有26.8万元的无息贷款，但没有偿还能力的残疾人商店，借出20万元，将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(不计息).已知该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q (百件)与销售价p (元/件)的关系用图中的一条折线表示.职工每人每月工资600元，该店应交付的其它费用为每月13 200元.(练习)(1) 若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；(2) 若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价格定为多少元?【解答】(1) 设该店每月的利润为S元，有职工m名，则S=q(p-40)³100-600m-13 200.又由图可得q=-21404058-825881+≤≤⎧⎨+<≤⎩p pp p，，，，所以当40≤p≤58时，S=(-2p+140)(p-40)³100-600m-13 200，当58<p≤81时，S=(-p+82)(p-40)³100-600m-13 200.由题设知，当p=52时，S=0，即(-2³52+140)(52-40)³100-600m-13 200=0，解得m=50，即此时该店有员工50人.(2) 由题意知S=(-2140)(-40)100-372004058 (-82)(-40)100-372005881+⨯≤≤⎧⎨+⨯<≤⎩p p pp p p，，，，当40≤p≤58时，求得当p=55时，S取最大值7 800(元)；当58<p≤81时，求得当p=61时，S取最大值6 900(元).所以当p=55时，S有最大值为7 800 元.设该店最早可在n年后还清所有债务，依题意得12³7 800³n-268 000-200 000≥0，解得n≥5，即该店最早可在5年后还清所有债务，此时消费品价格定为每件55元.建立坐标系法：通过建立坐标系，得到函数模型来解应用题例1 如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，半径为2 m，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC的长1 m.现要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P在圆弧DC上，E在线段AB上，F在线段AD上)作圆柱的侧面，若以PE为母线，问：如何裁剪可使圆柱的体积最大?其最大值是多少?(例1)【分析】该问题是方案设计问题，如何确定点P 的位置使得以PE 为母线，以矩形PEAF(其中P 在圆弧DC 上，E 在线段AB 上，F 在线段AD 上)作圆柱的侧面围成的圆柱的体积最大.(例1)【解答】因为点P 在圆弧DC 上，其圆心为A ，半径为2 m ，且AD⊥AB，BC⊥AB， 所以分别以AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系x O y ，如图，则圆弧DC 的方程为x 2+y 2=4(0≤xy >0)，设P(x ，y )(0<x≤，圆柱底面半径为r ，体积为V ，则2πr =AE=x ，则r =2πx， 所以V=πr 2l =2π2π⎛⎫ ⎪⎝⎭x14πx即V 2=2116πx 4(4-x 2).设t =x 2∈(0，3]，则u =t 2(4-t )，u '=-3t 2+8t =-3t 8-3⎛⎫ ⎪⎝⎭t ，令u'=0，得t=83.当83<t≤3时，u'<0，u是减函数；当0<t<83时，u'>0，u是增函数，所以当t=83时，u有极大值，也是最大值，所以当x=m时，V有最大值m3，此时y m.故裁一个矩形，两边长分别为3m和3m时，能使圆柱的体积最大，其最大值为9πm3.练习某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)(练习)【解答】如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立平面直角坐标系.设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A(-1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020).设P(x，y)为巨响发生点，由A，C同时听到巨响声，得PA=PC，故点P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因点B比点A晚4 s听到爆炸声，故PB-PA=340³4=1 360.由双曲线定义知点P在以A，B为焦点的双曲线22xa-22yb=1上，依题意得a=680，c=1 020，所以b2=c2-a2=1 0202-6802=5³3402，故双曲线方程为22680x-225340⨯y=1.将y=-x代入上式，得x因为PB>PA，所以x=-680yP(-680，，故PO=3 400.答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心3 400 m处.【专题突破】分类解密专题突破函数与不等式模型的应用题例1 某工厂有工人214名，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人，在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件，加工完A型零件所需时间为g(x)，加工完B型零件所需时间为h(x).(1) 比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务的时间f(x)的解析式；(2) 应怎样分组，才能使完成任务用时最少?【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x)，然后通过作差找出分界点，得到一个分段函数.【解答】由题设，每个工人在单位时间内加工5k个A型零件，所以x个工人在单位时间内加工5k²x个A型零件.总共需要1500³3个A型零件，所以g(x)=150035⨯kx=900kx.单位时间内加工B型零件的个数为3k，所以h(x)=15003(214-)⋅k x=500(214-)k x.(1) g(x)-h(x)=900kx-500(214-)k x=192600-1400(214-)⋅xkx x，因为1≤x<214，x∈N，因此，①当1≤x≤137时，g(x)>h(x)；②当138≤x≤213时，g(x)<h(x)，即当x≤137时，加工A型这一组所用的时间多；当x≥138时，加工B型这一组所用的时间多.要完成任务必须使两组全完成才能完成任务，故完成总任务的时间是：f(x)=9001137500138213.(214-)∈∈⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩x xkxx xk xNN ，，，，，(2) 要使任务完成最快，|g(x)-h(x)|应最小，令g(x)-h(x)=0，得x=1374 7.因为x∈N，所以需比较x=137和138时，|g(x)-h(x)|的大小.经比较，加工A型零件有137人，加工B型零件有77人时，完成任务的用时最少. 另外可以这样考虑，要使任务完成最快，即求函数f(x)的最小值.当1≤x≤137，x∈N时，f(x)=900kx，显然x=137时，f(x)最小.当138≤x≤213，x∈N时，f(x)=500(214-)k x，显然x=138时，f(x)最小，比较x=137和x=138时f(x)的大小，可知当x=137时，f(x)最小.练习某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异).(1) 当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，求内环线列车的最小平均速度；(2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1 min，问：内、外环线应各投入几列列车运行?【解答】(1) 设内环线列车运行的平均速度为v km/h，由题意可知30 9v³60≤10⇒v≥20，所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，列车的最小平均速度是20 km/h.(2) 设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18-x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2min，则t1=3025x³60=72x，t2=3030(18-)x³60=6018-x.于是有|t1-t2|=7260-18-x x≤1⇒22-15012960114-12960⎧+≤⎨+≤⎩x xx x，⇒≤x≤.又x∈N*，所以x=10，所以当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1 min.函数与导数模型的应用题例1 (2014²常州期末)几名大学毕业生合作开3D打印店，生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元.该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20 000元.假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)=-a(x+5)2+10 050；②当60≤x≤76时，t(x)=-100x+7 600.设该店月利润为M(元)(月利润=月销售总额-月总成本).(1) 求M关于销售价格x的函数关系式；(2) 求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格.【解答】(1) 当x=60时，t(60)=1 600，代入t(x)=-a(x+5)2+10 050，解得a=2.所以M(x )=2**(-2-2010000)(-34)-200003460(-1007600)(-34)-200006076.∈∈⎧+⎪≤<⎪⎨+⎪⎪≤≤⎩x x x x x x x x x N N ，，，，，即M(x )=32*2*-24810680-3600003460-10011000-2784006076.∈∈⎧++⎪≤<⎪⎨+⎪⎪≤≤⎩x x x x x x x x x N N ，，，，，(2) 设g (u )=(-2u 2-20u +10 000)(u -34)-20 000，34≤u <60，u ∈R ，则g '(u )=-6(u 2-16u -1 780).令g '(u )=0，解得u 1(舍去)，u 2∈(50，51).当34<u <50时，g '(u )>0，g (u )单调递增；当51<u <60时，g '(u )<0，g (u )单调递减.因为x ∈N *，M(50)=44 000，M(51)=44 226，所以当34≤x <60时，M(x )的最大值为44 226.当60≤x ≤76时，M(x )=100(-x 2+110x -2 584)-20 000单调递减，故此时M(x )的最大值为M(60)=21 600.综上所述，当x =51时，月利润M(x )取最大值44 226元.故该打印店月利润最大为44 226元，此时产品的销售价格为51元/件.练习 根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式p =*2*21915-601020540∈∈⎧≤≤⎪⎪⎨+⎪≤≤⎪⎩x x x x x x N N ，，，，，100%⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭日废品量日产品废品率日产量.已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润y =日正品赢利额-日废品亏损额)(1) 将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；(2) 当该车间的日产量为多少件时，日利润最大?最大日利润是几千元?【解答】(1) 由题意可知，y =2x (1-p )-px =2*3*24-21915-5-1020.3180∈∈⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩x x x x xx x x x N N ，，，，，(2) 考虑函数f (x )=2*3*24-21915-5-1020.3180∈∈⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩x x x x xx x x x N N ，，，，，当1≤x ≤9时，f '(x )=2-290(15-)x ，令f '(x )=0，得x当1≤x<15-3f '(x )>0，函数f (x )在[1，上单调递增； 当x ≤9时，f '(x )<0，函数f (x )在9]上单调递减. 所以当x=15-3f (x )取得极大值，也是最大值，又x 是整数，f (8)=647，f (9)=9，所以当x =8时，f (x )有最大值647.当10≤x ≤20时，f '(x )=53-260x =2100-60x ≤0，所以函数f (x )在[10，20]上单调递减，所以当x =10时，f (x )取得极大值1009，也是最大值.由于1009>647，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大.答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是1009千元.三角形与三角函数模型例1 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2.(例1)(1) 用a，θ表示S1和S2；(2) 当a固定，θ变化时，求12SS的最小值.【分析】用a，θ表示S1和S2，a固定时12SS是关于θ的函数，然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.【解答】(1) S1=12a sinθ²a cosθ=14a2sin2θ，设正方形边长为x，则BQ=tanθx，RC=x tanθ，所以tanθx+x tanθ+x=a，所以x=1tan1tanθθ++a=sin22sin2θθ+a，所以S2=2sin22sin2θθ⎛⎫⎪+⎝⎭a=222sin24sin24sin24θθθ++a.(2) 当a固定，θ变化时，12SS=14sin244sin2θθ⎛⎫++⎪⎝⎭，令sin2θ=t，则12SS=1444⎛⎫++⎪⎝⎭tt(0<t≤1)，利用单调性求得t=1时，12min⎛⎫⎪⎝⎭SS=94.练习 某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具5ππ243θ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，现准备定制长与宽分别为a ，b (a >b )的硬纸板截成三个符合要求的△AED，△BAE，△EBC(如图所示).(练习)(1) 当θ=π6时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；(2) 现有三种规格的硬纸板可供选择，A 规格长80 cm ，宽30 cm ，B 规格长60 cm ，宽40 cm ，C 规格长72 cm ，宽32 cm ，问：可以选择哪种规格的硬纸板使用?【解答】(1) 由题意∠AED=∠CBE=θ.因为b =BE²cos π6=AB²sin π6²cos π6=a ，所以a b=.(2) 因为b =BE²cos θ=AB²sin θ²cos θ=12AB²sin 2θ，所以b a =12sin2θ.因为5π24≤θ≤π3，所以5π12≤2θ≤2π3，所以b a∈12⎤⎥⎣⎦，. A 规格：3080=38<4，不符合条件； B 规格：4060=23>12，不符合条件；C 规格：3272=49∈12⎤⎥⎣⎦，，符合条件. 所以应选择C 规格的硬纸板.解析几何模型例1 一艘轮船在沿直线返回港口的途中接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西方向80km处，受影响的范围是半径长为r(r>0)km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45°方向且不改变航线，假设台风中心不移动.(1) r在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响?(2) 当r=60时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?【分析】建立平面直线坐标系，求出圆心到直线的距离d，通过弦心距和半径作比较进行判断.(例1)【解答】如图，以台风中心为原点建立平面直角坐标系x O y.(1) 由图可知轮船在直线l：x+y-80=0上移动，原点到直线l的距离d所以0<r.(2) 因为.航程为km，所以当r=60km时，轮船在航行途中受到影响的航程是40km.【点评】此类问题实际上就是判断直线与圆的位置关系，该类问题的解决有代数法和几何法两种方法.练习 (2014²江苏卷)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直，保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m .经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO=43.(练习)(1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大? 【解答】方法一：(练习(1))(1) 如图(1)所示，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系x O y .由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO=-43.又因为AB⊥BC，所以直线AB 的斜率k AB =34.设点B 的坐标为(a ，b )，则k BC =-0-170b a =-43，k AB =-60-0b a =34，解得a =80，b =120，所以m ).因此新桥BC 的长是150m .(2) 设保护区的边界圆M 的半径为rm ，OM=dm (0≤d ≤60).由条件知，直线BC 的方程为y =-43(x -170)，即4x +3y -680=0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M(0，d )到直线BC 的距离是r ，即r680-35d .因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以-80-(60-)80≥⎧⎨≥⎩r d r d ，，即680-3-805680-3-(60-)805⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩dd d d ，，解得10≤d ≤35.故当d =10时，r =680-35d最大，即圆面积最大，所以当OM=10m 时，圆形保护区的面积最大.方法二：(1) 如图(2)所示，延长OA ，CB 交于点F.(练习(2))因为tan ∠FCO=43，所以sin ∠FCO=45，cos ∠FCO=35. 因为OA=60，OC=170，所以OF=OC tan ∠FCO=6803， CF=cos ∠OC FCO =8503，从而AF=OF-OA=5003.因为OA⊥OC，所以cos ∠AFB=sin ∠FCO=45. 又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos ∠AFB=4003，从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC 的长是150m .(2) 设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD⊥BC，且MD 是圆M 的半径，并设MD=r m ，OM=dm (0≤d ≤60).因为OA⊥OC，所以sin ∠CFO=cos ∠FCO.故由(1)知sin ∠CFO=MD MF =-MD OF OM =680-3r d=35，所以r =680-35d.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以680-3-80-805-(60-)80680-3-(60-)805⎧≥⎪≥⎧⎪⎨⎨≥⎩⎪≥⎪⎩dd r d r d d d ，，即，，解得10≤d ≤35.故当d =10时，r =680-35d最大，即圆面积最大，所以当OM=10m 时，圆形保护区的面积最大.立体几何体模型例1 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m )，其中容器的中间为圆柱形，高为l ，左、右两端均为半球形，半径为r ，按照设计要求容器的体积为80π3 m 3，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元.设该容器的建造费用为y 千元.(例1)(1) 求y 关于r 的函数解析式，并求该函数的定义域； (2) 求该容器的建造费用最小时半径r 的值.【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y 关于r 的函数表达式，再利用导数研究其最值.【解答】(1) 因为容器的体积为803πm 3，所以43πr 3+πr 2l =803π，解得l =2803r -43r =2420-3⎛⎫⎪⎝⎭r r， 由于l ≥2r ，所以0<r ≤2，所以建造费用y =2πrl ³3+4πr 2c =2πr ³2420-3⎛⎫⎪⎝⎭r r ³3+4πr 2c ，所以y =160πr -8πr 2+4πcr 2，定义域为(0，2].(2) y '=-2160πr -16πr +8πcr =328π[(-2)-20]c r r ，因为c >3，所以c -2>0，当r 3=20-2c 时，即y '=0，m ，则m >0，所以y '=28(c-2)r π(r -m )(r 2+mr +m 2).①当0<m <2，即c >92时，当r =m 时，y '=0；当r ∈(0，m )时，y '<0；当r ∈(m ，2)时，y '>0，所以r =m 时，函数y 取得极小值点，也是最小值点.②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r∈(0，2)时，y'<0，函数单调递减，所以r=2时函数y取得最小值点.综上，当3<c≤92时，建造费用最小时r=2；当c>92时，建造费用最小时r=练习如图，一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.(练习)(1) 将此枕木翻转90°(即宽度变为厚度)，枕木的安全负荷会如何变化?为什么?(设翻转前后枕木的安全负荷分别为y1，y2，且翻转前后的比例系数相同都为k)(2) 现有一根横断面为半圆(已知半圆的半径为R)的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问：截取枕木的厚度d为多少时，可使安全负荷y最大?【解答】(1) 安全负荷y1=k²22adl(k为正常数)；翻转90°后，y2=k²22dal，因为12yy=da，所以当0<d<a时，y1<y2，安全负荷变大；当0<a<d时，y2<y1，安全负荷变小；当a=d时，y1=y2，安全负荷不变.(2) 如图，设截取的宽为a，厚度为d，则22⎛⎫⎪⎝⎭a+d2=R2，(练习)即a2+4d2=4R2.y=2100kad=100ka22-4⎛⎫⎪⎝⎭aR=400k²(4R2a-a3)(a∈(0，2R)，k>0)，y'=-2234-4003⎛⎫⎪⎝⎭ka R，令y'=0，得a=R.当a∈⎛⎫⎪⎪⎝⎭R时，y'>0，函数y在⎛⎫⎪⎪⎝⎭R上为增函数；当a∈2⎫⎪⎪⎝⎭R R，时，y'<0，函数y在2⎫⎪⎪⎝⎭R R，上为减函数，所以当a=R时，安全负荷y最大，此时厚度d=R.答：当截取枕木的厚度为R时，可使安全负荷最大.【归纳提升】常见应用问题与数学模型及其处理方法：1. 优化问题：实际问题中的“优选”、“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.2. 预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.3. 最(极)值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题，常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.4. 等量关系问题：建立“方程模型”解决.5. 测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.总之，解应用题的关键是将文字语言翻译成数学语言，常借助画图法抽象成数学问题，并注意解模后的验证.。