2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点
高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题论文
碎纸片的拼接复原摘要本文利用Manhattan距离，聚类分析，图像处理等方法解决了碎纸片的拼接复原问题。
由于碎纸机产生的碎纸片是边缘规则且等大的矩形，此时碎纸片拼接方法就不能利用碎片边缘的尖角特征等基于边界几何特征的拼接方法，而要利用碎片内的字迹断线或碎片内的文字位置搜索与之匹配的相邻碎纸片。
拼接碎片前利用数学软件MATLAB软件对碎片图像进行数据化处理，得到对应的像素矩阵，后设置阈值对像素矩阵进行二值化处理，得到相应的0-1矩阵。
下面分别对三个问题的解决方法和算法实现做简单的阐述：问题一，分别对附件1和附件2的碎片数据进行处理得到相应的0-1矩阵，依次计算某个0-1矩阵最右边一列组成向量与其他所有0-1矩阵的最左边向量的Manhattan距离，可以得到某个最小距离值、说明最小距离值对应的碎片是可与基准碎片拼接的，最终得到碎片拼接完整的图像。
问题二，同样对于附件3和附件4中的碎片数据进行处理得到相应的数值矩阵，并计算得到每个碎片顶部空白高度和文字高度，即指每行像素点都为255的行数、一行中存在像素点为非255的行数，根据空白高度和文字高度对碎片进行聚类分类，聚类阀值取3像素，得到11组像素矩阵，进而得到11类可能在同一行的碎片类。
其中对附件4中的英文的处理中，我们还采用水平像素投影累积的方法，进一步分类出可能在同一行的碎片类。
用问题一的方法，计算Manhattan 距离可以对每一类碎片按次序排列好，得到11行已经排列好的碎片，再应用曼哈顿距离在竖直方向上进行聚合得到完整的图像。
问题三，首先，对于附件5中的碎片数据我们采用正反相接，本文将b面最左边的一列像素拼接到a面最右边的一列像素的下面，构成360×1的向量，再把其他的碎片采用相同的办法得到360×1的向量，再用问题一的方法，计算出各碎片之间的Manhattan距离。
其次，根据每个碎片顶部的空白高度或者文字高度对碎片进行区间分类，得到22组矩阵，然后应用曼哈顿距离将得到的22组矩阵聚成两类，每类各包含两面的11组矩阵，最后利用Manhattan距离在竖直方向上进行聚合得到完整的图像。
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛全国一等奖B题艾滋病疗法的评价及疗效的预测3
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，以HIV 病毒破坏人体免疫系统而最终导致病人死亡，被称为“世纪顽症”。
医学界至今没有针对艾滋病的有效的治疗方法，对艾滋病的医学研究工作依然艰苦而漫长。
本文尝试运用数学原理和工具，来评价不同药物对艾滋病的治疗效果，为艾滋病的研究工作尽一份微薄的力量。
问题 1 我们首先运用模糊聚类法中的类平均法，将病人分为了6类，然后针对每一类病人，按照正文中所介绍的分类标准，将有治疗效果的病人选取出来，并计算出与此对应的比例，这个比例所反映的是药物对此类病人的有效率，然后用拟合的方法计算出有效类中每个病人的最佳治疗终止时间，最后统计得到该类病人的最佳治疗终止时间点集，也就得到了这类病人在各时段的疗效终止概率，直观地得到各分类的最佳疗效终止时间。
问题2采用了多元线性回归的方法，对四种治疗方案分别预测了每一时刻CD4细胞的浓度，并在此基础上画出CD4细胞的浓度曲线。
由曲线图即可直观地看出四种治疗方案任意时刻CD4细胞的浓度，从而判别四种治疗方案的优劣。
然后使用MATLAB 软件拟合最佳治疗方案中CD4细胞浓度与治疗时间的函数关系，通过函数图求出最佳治疗终止时间。
问题3 我们引入了一个可以直接表示结果的变量：)()1()()1()(i m i m i X i X i −+−+ε)(i ε称为性价差分比。
先利用问题2中建立的函数关系，分别预测四种治疗方案中一组CD4细胞的浓度值，求得四种治疗方案在各个时间段的性价差分比，并利用MATLAB 编程绘出四种治疗方案的性价差分比的曲线图。
然后我们采用了一种利用面积来体现整体优劣的方法，即面积比较、整体最优法，得出第三种治疗方案为整体较优的治疗方案。
关键字：模糊聚类 终止概率 线性拟合 性价差分比 面积比较整体最优法１ 问题重述 剥夺了千万人生命的艾滋病，是以HIV 病毒破坏人体的免疫系统而最终导致艾滋病人死亡的。
数学建模真题分析2006
yi 0 x i i , i 1, 2,..., n 设 E i 0, D i 2 且 1 2， n 相互独立 ...,
记
Q Q ( 0 , 1 ) y i 0 1 xi
i 1 2 i i 1
e 0 1 e e
越接近于0，说明线性回归方程（1）越显著。
回归方程的显著性检验
在实际工作中，实现我们并不能断定y与x之间 有线性关系，式(1）只是一种假设。当然这个假设 不是没有根据，我们可以通过专业知识或散点图做 粗略判断。但在求出回归方程之后，还须对这种线 性回归方程同实际观测数据拟合的效果进行检验。
y=[698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561
1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825];
X=[ones(size(x')),x'] [c,cint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05) rcoplot(r,rint)
回归分析起源于生物学研究，是由英国生物学家兼统计学家高尔登（Francis Galton 1822-1911）在19世纪末叶研究遗传学特性时首先提出来的。
高尔登在1889年发表的著作《自然的遗传》中，提出了回归分析方法以后， 很快就应用到经济领域中来，而且这一名词也一直为生物学和统计学所沿用 。
引例：钢材消费量与国民收入的关系
全国大学生数学建模竞赛 ——2006年B题详解
预备知识
回归分析与多项式拟合 线性规划 数据包络模型（DEA）
2006年B题三个问题的解答
一、预备知识——回归分析
数学建模的基本方法
2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点
2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点(总1页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅本题要求通过建立数学模型，讨论小区开放对周边道路通行的影响，并根据研究结果向城市规划和交通管理部门提出小区开放的合理化建议。
本题目主要考察学生在复杂环境因素下，针对小区开放的实际情况，建立合理简化的交通流模型。
第1问评价小区开放对车辆通行的影响的指标体系一般应包括以下三类指标：高效性、安全性和稳健性。
如何合理地选取评价指标，以及如何度量指标值，是本问的主要考察点。
评价指标可以有各种定义方式，依据其合理性与可计算性判断其价值。
第2问本问要求建立交通流模型研究小区开放对周边道路通行的影响，重点考虑因素有交通流量及流量分配、车辆的行驶规则、小区开放规则等。
尤其需要注意小区开放对道路通行的特殊影响因素，例如，小区道路与主路形成的交叉路口一般无交通信号设置，主路与小区内部道路的车速不同，小区内部车辆进出等。
未考虑这类特殊影响的交通模型，对本问题的价值不大。
第3问根据小区开放对周边道路通行的影响不同，小区应分类型讨论，主要分类因素有小区的大小、居住人口的密集度、进出小区路口的数量等，另外，周边道路上车流量的分布状况也会影响小区开放的效果。
评判时应注意，本问是否根据第二问所建立的模型进行计算，是否根据第一问的指标体系进行效果评价。
第4问本问主要考察：1.论文的合理化建议是否来自于模型计算结果；2.合理化建议是否充实。
2。
全国大学生数学建模竞赛题评阅要点
全国大学生数学建模竞赛题评阅要点1、目标函数的构成成分主要包括销售额表达式（注意如果作者利用了附录数据说明中的假设，则赢利与销售额等价），可以以课程为单位，也可以以学科为单位；包括由市场信息产生的对于不同课程的调控因子（竞争力系数）；由于数据说明中的提示，也应该包括每个课程的申报需求量的“计划准确性因子”（学生用词会不同）。
当然，前两点更重要些。
2、约束条件构成对于出版社来说，所谓产能主要是人力资源，即策划、编辑和版面设计人员的分布形成主要约束；此外，书号总量（500）也应该作为约束条件；同时，在数据说明中指出的“满足申请书号量的一半”也应该以约束方式表达。
3、规划变量可以以每个课程的书号数量，也可以以学科的书号数作为变量，但是得到的结果会有所不同。
实现以上三点，对于问题的理解是比较全面的，应该得到基本分值。
进一步提高的分值来源于实现上述三点的具体模型的考虑和建模水平。
1）如果注意到数据说明中提示的，同一课程的教材在价格和销售量的同一性，销售额表达式是比较容易表示的：构造每个课程的、用书号数表达的销售额，然后将所有书号的销售额的表达式累加，形成总社的销售额的基本表达式，这是目标函数的主体部分。
2）市场信息产生的对于不同课程的调控因子（也称竞争力系数）的表示，是一个信息不足情况下的决策模型。
主要是满意度和市场占有率的恰当表示和计算（由附件2），以及两个指标的联合形成竞争力系数问题，这里既可以使用拟合模型，也可以使用各种多因素分析模型等等，方法不同。
对这个问题解决的优劣，可以导致明显的评分差别。
其中应该特别注意需求信息是否重复使用的问题，也就是说，如果在构造销售额表达式时已经使用了课程的销售数据，则不同课程的支持强度的不同，主要由市场竞争力参数表达。
3）在优化问题中，应该恰当地表示“计划准确性因子”，数据给出的计划销量和实际销量之比应该是比较合适的表示。
4）加上前述约束条件构成适当的规划问题。
比较好的实现以上四点，应该得到80%的分值。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题参考答案
交巡警服务平台的设置与调度优化分析摘要本文以实现警察的刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能为宗旨，利用有限的警务资源，根据城市的实际情况与需求合理地设置了交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围及调度警务资源。
并分别对题目的各问，作了合理的解答。
问题一：（1）、根据题目所给数据，确定各节点之间的相邻关系和距离，利用Floyd 算法及matlab编程求出两点之间的最短距离，使其尽量满足能在3分钟内有交巡警平台警力到达案发结点的原则，节点去选择平台，把节点分配给离节点距离最近的平台管辖，据此，我们得到了平台的管辖区域划分。
（2）、我们对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁的问题，我们认定在所有调度方案中，某种方案中耗时最长的的围堵时间最短即最佳方案，利用0-1变量确定平台的去向，并利用线性规划知识来求解指派问题，求得了最优的调度方案。
（3）、在确定增添平台的个数和具体位置的问题中，我们将尽量保证每个节点都有一个平台可以在三分钟内到达作为主要原则来求解。
我们先找出到达每个平台的时间都超过三分钟的节点，并尝试在这些节点中选取若干个作为新的平台，求出合理的添加方案。
问题二：（1）、按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析现有的服务平台的设置是否合理，我们以各区覆盖率作为服务平台分布合不合理的评价标准，得到C、D、E、F区域平台设置不合理。
并尝试一些新的设置方案使得设置更为合理，最后以覆盖率最低的E区为例，使用一种修改方案得到一个比原方案更合理的交巡警服务平台的设置方案。
（2）、追捕问题要求在最快的时间内抓到围堵罪犯，在罪犯和警察的行动速度一致的前提假设下，我们先设定一个具体较小的时间，编写程序检验在这个时间内是否可以成功抓捕罪犯，不行则以微小时间间隔增加时间，当第一次成功围堵时，这个时间即为最佳围堵方案。
关健字： MATLAB软件，0-1规划，最短路，Floyd算法，指派问题一、问题重述“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点参考
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点问题（1）利用附件1的数据预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。
1．分析数据随机取若干个病人，画出他们CD4和HIV浓度随时间变化的图形（折线），可以看出CD4大致有先增后减的趋势，HIV有先减后增的趋势，启示应建立时间的二次函数模型（若先用一次函数模型，应与二次函数模型做统计附件1中个别病人缺CD4或HIV数据（数据表中为空），计算时应注意。
2．建立模型可能有以下形式的回归模型：1）总体回归模型用全部数据拟合一个模型，如y ij=b0+b1t ij+b2t ij2，t ij为第i病人第j次测量时间，y ij为第i病人第j次测量值（CD4，HIV）或测量值与初始值之比。
一次与二次函数模型比较，二次较优。
用数据估计b0,b1,b2, 对CD4，b2<0, b1>0, t=-b1/2b2达到最大；对HIV，b2>0,b1<0, t=-b1/2b2达到最小。
一般在25~30（周）CD4达到最大、HIV达到最小。
可以合理地确定最佳治疗终止时间。
2) 个人回归模型用每个病人的数据拟合一个模型，如上式（b k改为b ik, k=0,1,2），计算b ik的均值和均方差，用均值同1）可得CD4的最大点和HIV的最小点，一般为20~30（周）。
可对CD4统计b2i<0, b1i>0（存在正最大点）及b2i>0（不存在最大点）的频率，对HIV统计b2i>0, b1i<0（存在正最小点）及b2i<0（不存在最小点）的频率，在一定条件下可以作为终止治疗与继续治疗的概率（一般为0.6~0.8与0.3~0.2）；也可用b ik的均值和均方差在一定分布的假定下直接计算这些概率。
3）分段时序模型对yij用j以前的资料如yi，j-1, tij-ti，j-1，j-1段的斜率等为变量建立模型（j=3,4,5,6），由数据估计系数，预测yij，然后对CD4统计预测的yij大于实际的yi，j-1的频率，对HIV统计预测的yij小于实际的yi，j-1的频率，由此得到应终止治疗的时段。
2005-2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛A、B题评阅要点
水质排序最差的地区不一定是污染源最严重的地区。 用长江干流上的 7 个观测站点将长江分 为 6 个江段，逐段计算各江段的排污量，找出主要污染源所在的区域。 首先研究每个江段中污染物浓度 C (mg/L) 的变化规律。由于题目中给出了污染物的降 解系数，附件 3 给出了每个月的污染物浓度、流量、流速等数据，若忽略污染物的局部扩散 （研究的是总体污染） ，在考虑固定时段（月）的污染物浓度时，可利用一般一维水质模型 的近似解 C = C 0 e
2008 A 题评阅要点 ............................................................................................................. 28 2008B 题 高等教育学费标准探讨 .................................................................................... 29
2009 B 题评阅要点 ............................................................................................................. 40
CUMCM-2009, A 题：第 1 页 / 共 42 页
2005A 题: 长江水质的评价和预测
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源 的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁： “以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然 的环境，减少污染。 ” 长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府 部门和专家们的高度重视。2004 年 10 月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长 江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线 21 个重点城市做了实地考察，揭 示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯 救，长江生态 10 年内将濒临崩溃” （附件１） ，并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附 件 2） 。 附件 3 给出了长江沿线 17 个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及 干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速） 。通常认为一个观测 站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染 物都有一定的自然净化能力， 即污染物在水环境中通过物理降解、 化学降解和生物降解等使 水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的 自然净化能力可以认为是近似均匀的， 根据检测可知， 主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降 解系数通常介于 0.1~0.5 之间，比如可以考虑取 0.2 (单位：1/天)。附件 4 是“1995~2004 年 长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002) 给出的《地表 水环境质量标准》中 4 个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。 请你们研究下列问题： （1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染 状况。 （2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪 些地区? （3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去 10 年的主要统计数据，对长江未来水 质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来 10 年的情况。 （4）根据你的预测分析，如果未来 10 年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比 例控制在 20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？ （5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。
2006年全国数学建模B题题目及优秀论文赏析
为了叙述的方便，我们把题目中所用的变量用下列参数来代替： Y1 ：问题一中的 CD4 细胞计数；（个/ul）
Y2 ：问题一中的 HIV 浓度：（单位不详） X ：问题一中的周次数： Z1 ：问题二中的按疗法一治疗的患者的 CD4 细胞计数；（个/ul）
Z 2 ：问题二中的按疗法二治疗的患者的 CD4 细胞计数；（个/ul）
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据。 ACTG320（见附件 1）是同时服用 zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和 indinavir（茚地那韦） 3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度（每毫升血液里的数量）。 193A（见附件 2）是将 1300 多名病人随机地分为 4 组，每组按下述 4 种疗法中的一种 服药，大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度（这组数据缺 HIV 浓度，它的测试成本很高）。4 种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或 400mg didanosine（去羟基苷），这两种药 按月轮换使用；600 mg zidovudine 加 2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine，再加 400 mg nevirapine （奈韦拉平）。
继续使用的疗效。由于这些数据是在随机分组的人群中获得的，所以我们假设这
些样本是独立的，这样我们就可以采用统计学中的多个独立样本的非参数检验
法，利用SPSS11.5软件中的多个独立样本比较秩和检验功能完成，运用
Kruskal-Wallis H Test和中位数检验法在统计学意义上给出每种疗法的相对疗
全国大学生数学建模竞赛A、B题评阅要点
全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点1、目标函数的构成成分主要包括销售额表达式（注意如果作者利用了附录数据说明中的假设，则赢利与销售额等价），可以以课程为单位，也可以以学科为单位；包括由市场信息产生的对于不同课程的调控因子（竞争力系数）；由于数据说明中的提示，也应该包括每个课程的申报需求量的“计划准确性因子”（学生用词会不同）。
当然，前两点更重要些。
2、约束条件构成对于出版社来说，所谓产能主要是人力资源，即策划、编辑和版面设计人员的分布形成主要约束；此外，书号总量（500）也应该作为约束条件；同时，在数据说明中指出的“满足申请书号量的一半”也应该以约束方式表达。
3、规划变量可以以每个课程的书号数量，也可以以学科的书号数作为变量，但是得到的结果会有所不同。
实现以上三点，对于问题的理解是比较全面的，应该得到基本分值。
进一步提高的分值来源于实现上述三点的具体模型的考虑和建模水平。
1）如果注意到数据说明中提示的，同一课程的教材在价格和销售量的同一性，销售额表达式是比较容易表示的：构造每个课程的、用书号数表达的销售额，然后将所有书号的销售额的表达式累加，形成总社的销售额的基本表达式，这是目标函数的主体部分。
2）市场信息产生的对于不同课程的调控因子（也称竞争力系数）的表示，是一个信息不足情况下的决策模型。
主要是满意度和市场占有率的恰当表示和计算（由附件2），以及两个指标的联合形成竞争力系数问题，这里既可以使用拟合模型，也可以使用各种多因素分析模型等等，方法不同。
对这个问题解决的优劣，可以导致明显的评分差别。
其中应该特别注意需求信息是否重复使用的问题，也就是说，如果在构造销售额表达式时已经使用了课程的销售数据，则不同课程的支持强度的不同，主。
2006年数学建模B题题目即答案
解求与立建的型模、四
。服漏和药停断间有没中程过疗治在者患 。虑考予不况状病患者患后间时止终疗治佳最 。略忽响影 的量数 VIH 和 4DC 内体者患对况状界外�关有物药的疗治与只化变的量数 VIH 与 4DC 。合拟线曲做点据数对�的续连是化变的间时随量数 VIH、4DC 4 3 2 1
设假型模、三
析分的题问、二
。变改么什有�止 终前提者或�测预和价评的中�2�对�用费的法疗种 4 虑考要需人病果如。元美 02.1 enipariven gm 004�元美 58.1 enibaticlaz gm 52.2�元美 58.0 enisonadid gm004�元美 06.1 eniduvodiz gm006 �下如格价品药的供提家国达发不对商给供要主的品药病滋艾 �3� 。间时止终疗治佳最定确者或�果效的疗治续继测预法 疗的优较对并� �准标为 4DC 以仅�劣优的法疗种 4 价评�据数的 2 件附用利�2� 。 �疗治止终前提择选可则�好不果效药服续继为认果如�药服续继后止终试测在指疗治 续继�间时止终疗治佳最定确者或�果效的疗治续继测预�据数的 1 件附用利�1� �题问下以成完你请 。 �平拉韦奈� enipariven gm 004 加再�enisonadid gm 004 加 eniduvodiz gm 006�enisonadid gm 004 加 eniduvodiz gm 006� �滨他西扎�enibaticlaz gm 52.2 加 eniduvodiz gm 006�用使换轮月按 药种两这� �苷基羟去�enisonadid gm004 或 eniduvodiz gm006�为别分药用日的法疗种 4。 �高很本成试测的它�度浓 VIH 缺据数组这�度浓 4DC 的试测周 8 隔每约大�药服 种一的中法疗种 4 述下按组每�组 4 为分地机随人病名多 0031 将是�2 件附见�A391 。 �量数的里液血升毫每�度浓的 VIH 和 4DC 的试测周几隔每人病名多 003 的物药种 3 �韦那地茚�rivanidni 和�定夫美拉�eniduvimal� �定夫多齐�eniduvodiz 用服时同是�1 件附见�023GTCA 。据数组两的布公 GTCA 构机验试疗医病滋艾国美了到得在现 。法 疗 SDIA 的好更找寻、验试极积在都织组疗医和家国多许。高很也本成且而�用作副有 体人对仅不法疗 SDIA 些一的前目�法疗的 SDIA 治根能到找有没还类人止为今迄 。力能疫免体人高提以�度速的少减 4DC 低降地效有 要少至�4DC 的多更生产时同�量数的 VIH 内体人少减量尽是�的目的疗治病滋艾 。作发 SDIA 致导�加增速迅将 VIH�少减 剧急会量数其�时解裂而染感 VIH 被 4DC 当�用作要重着起中侵入的 VIH 御抵在胞细 4DC 的统系疫免类人。命生的人害危重严而从�力能的病疾种各抗抵失丧体人使�统系 疫免的人坏破毒病种这。的起引�VIH 称简文英 ,”毒病损缺疫免体人“为名全学医� 毒病滋艾由是它�SDIA 称简文英� ”症合综损缺疫免性得获“为名全学医的病滋艾 。命生的人万 0003 近了噬吞经 已它�间年多 02 的来以现发年 1891 从�一之疫瘟的重严最会社类人前当是病滋艾
2006年全国大学生数学建模竞赛B题教学教材
2）假设检验 做疗法有无显著性差异的两两比较： 用1个0-1变量构造两种疗法的统一模型，可 以用t检验作回归系数是否为零的假设检验。 结果是疗法1与2无显著性差异，而疗法1与3， 2与3，3与4均有显著性差异。
有现成的计算公式和软件确定参数
用回归分析方法做统计检验： 得到的模型有无显著意义，它的置信度多大，用 它作预测时准确程度如何。
简例
最小二乘拟合
x0123456789 y 1.04 1.22 1.38 1.59 1.80 1.99 2.21 2.39 2.65 2.83
z 0.28 0.61 2.19 2.56 2.49 1.17 3.17 1.29 2.11 3.27
1 2 36.4271 40
3.0445
2 4 47.8467 0
3.0681
2 4 47.8467 8
3.8918
2 4 47.8467 16
3.9703
2 4 47.8467 23
3.6109
2 4 47.8467 30.7143 3.3322
2 4 47.8467 39
3.0910
问题（1） 利用附件1的数据，预测继续治疗的效果, 或者确定最佳治疗终止时间。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同 时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提 高人体免疫能力。
附件2 193A数据
1300多名病人按照4种疗法服药大约每隔8周测试的CD4浓度。
[整理]06年全国数学建模B题列车调度问题
![[整理]06年全国数学建模B题列车调度问题](https://img.taocdn.com/s3/m/4f087187998fcc22bcd10d92.png)
2006年全国大学生数学建模竞赛夏令营题目（A、B、C三题任选一题）B题：铁路大提速下的京沪线列车调度我国铁路自1997年以来先后进行了５次大提速，以前客车的最高时速为60至80公里/小时，到2004年4月18日的第５次提速后，京沪等部分干线客车的最高时速达到了160至200公里/小时。
据悉，在2006年实施第6次大提速后，将使部分干线上运行客车的最高时速都提高到200公里/小时。
另外，我国在“十一五”期间将修建京沪高速客运专线铁路，计划运行初期的最高时速为300公里/小时(参看附件1)。
目前，我国铁路大都采用客货混运的机制，目前主要干线铁路客车最高时速可达160公里/小时，货车最高时速为80公里/小时，客车与货车的运行数量比例大约为5 ：7。
根据铁路安全规程的要求，既有线路同方向相继列车的间隔时间不得少于7分钟。
京沪线是我国最繁忙的铁路线之一，贯通北京至上海，途经40多个城市，全长1463公里(参看附件2) 。
目前全线采用上行线和下行线独立双向运行方式，分别运行着175趟和176趟客车，最高时速160公里/小时，具体的车次和时刻表如附件3和附件4所示。
请你研究以下问题（第1，2题必须做，其它题中至少选做1个）：（1）从京沪全线选择一个区间段，如济南至徐州，或南京至上海，根据现行的列车时刻表最多能安排多少趟货车，并制订出具体的“列车运行图”。
（2）对现行的列车时刻表进行分析，如果要在客流增加时（如春运和黄金周期间）在北京至上海、北京至南京、天津至上海、北京至合肥、北京至青岛间各增开一对临时客车，在不改变现行列车时刻表及尽量减少对货车影响的条件下，制订出临时客车的时刻表(只安排京沪线区间)及“列车运行图”（只考虑客车）。
（3）如果在即将实行的第6次大提速时将京沪线上的客车的最高时速提高到200公里/小时，货车的最高时速提高到120公里/小时，制订出相应的客车时刻表和“列车运行图”。
按照第1题选择的区间段进行估计，与提速前相比货车可以提高多少运力？（4）针对预计到2010年投入运行的京沪高速铁路客运专线（现京沪线用作货运），如果高速列车时速达到300公里/小时，普通列车提速到200公里/小时。
（整理）高教社杯全国大学生数学建模竞赛b题.
（整理）⾼教社杯全国⼤学⽣数学建模竞赛b题.车道被占⽤对城市道路通⾏能⼒的影响摘要车道被占⽤是指因交通事故、路边停车、占道施⼯等因素，导致车道或道路横断⾯通⾏能⼒在单位时间内降低的现象。
由于城市道路具有交通流密度⼤、连续性强等特点，⼀条车道被占⽤，也可能降低路段所有车道的通⾏能⼒，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。
如处理不当，甚⾄出现区域性拥堵。
对于问题⼀，本⽂提⾼结果的精准度，结合两种⽅法进⾏研究，且两种⽅法的结果⼗分吻合。
由于实际通⾏能⼒是建⽴在基本通⾏能⼒和可能通⾏能⼒之上的，所以在求解实际通⾏能⼒之前，需要算出基本通⾏能⼒和可能通⾏能⼒，针对问题⼀创建了⼀张流程图，并借助软件加以拟合。
对实际通⾏能⼒计算，得出实际通⾏能⼒的变化过程，根据GREENSHIELD K-V线性算法得出道路越堵，车速越慢，则实际通⾏能⼒就越差，反之就会较好。
对于问题⼆，因为所占的车道不同，并且给的条件中有说明左转车流⽐例和右转车流⽐例不同，那只需验证两者是否存在显著性差异，运⽤配对样本t检验的⽅法就是要先满⾜这⼀⽅法的两个前提条件，⾸先必须验证是否满⾜正态分布，经过SPSS软件的验证可以得出符合正态分布。
然后再进⾏配对，从配对的结果中可以看出存在显著性差异，再结合左右转的车流量⽐例，更加可以看出存在显著性差异。
对于问题三，主要是对所推出来的回归⽅程的判断和分析因变量和各因⼦之间的关系，在本问中要先求出排队长度，排队长度是根据堵塞密度，进出车辆数之间的差值来求解，再根据最⼩⼆乘法来判断所假设的这⼀模型是否符合多元线性回归关系，本问中得出符合多元线性回归关系。
再在排队长度和最⼩⼆乘法的基础之上，运⽤SPSS软件，在进⾏结果分析时得出实际通⾏能⼒对于排队长度没有影响，所以可以剔除，⽽事故持续时间和上游车流量对排队长度都有明显的影响，然后得出他们的相关系数，求出最后的相关⽅程式。
对于问题四，题⽬中给出了事故发⽣点到上游路⼝的距离为140⽶，并且上游车流量为1500pcu/h，结合视频1中多次出现的120⽶这⼀个顶点，推算出120⽶内⼤概最⼤的堵塞车流量，然后按⽐例分配推算出140⽶的最⼤堵塞车流量，视频1中的可以通过加权平均来求出平均的实际通⾏能⼒，则事故持续时间就是要靠140⽶的最⼤堵塞车流量和平均实际通⾏能⼒来计算，最后得出事故持续时间为2.37min。
2006全国大学生数学建模竞赛题目(B题)
2006全国大学生数学建模竞赛题目-----------------------------------------------------------B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。
许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。
ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir （茚地那韦）3种药物的 300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。
193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。
4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine 加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。
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2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点
问题（1）利用附件1的数据预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。
1．分析数据随机取若干个病人，画出他们CD4和HIV浓度随时间变化的图形（折线），可以看出CD4大致有先增后减的趋势，HIV有先减后增的趋势，启示应建立时间的二次函数模型（若先用一次函数模型，应与二次函数模型做统计分析比较）。
附件1中个别病人缺CD4或HIV数据（数据表中为空），计算时应注意。
2．建立模型可能有以下形式的回归模型：
1）总体回归模型用全部数据拟合一个模型，如yij=b0+b1tij+b2tij2，tij为第i病人第j次测量时间，yij为第i病人第j次测量值（CD4，HIV）或测量值与初始值之比。
一次与二次函数模型比较，二次较优。
用数据估计b0,b1,b2, 对CD4，b2<0, b1>0, t=-b1/2b2 达到最大；对HIV，b2>0,b1<0, t=-b1/2b2 达到最小。
一般在25~30（周）CD4达到最大、HIV达到最小。
可以合理地确定最佳治疗终止时间。
2) 个人回归模型用每个病人的数据拟合一个模型，如上式（bk改为bik, k=0,1,2），计算bik 的均值和均方差，用均值同1）可得CD4的最大点和HIV的最小点，一般为20~30（周）。
可对CD4统计b2i<0, b1i>0（存在正最大点）及b2i>0（不存在最大点）的频率，对HIV统计b2i>0, b1i<0（存在正最小点）及b2i<0（不存在最小点）的频率，在一定条件下可以作为终止治疗与继续治疗的概率（一般为0.6~0.8与0.3~0.2）；也可用bik的均值和均方差在一定分布的假定下直接计算这些概率。
3）分段时序模型对yij用j以前的资料如yi，j-1, tij-ti，j-1，j-1段的斜率等为变量建立模型（j=3,4,5,6），由数据估计系数，预测yij，然后对CD4统计预测的yij大于实际的yi，j-1的频率，对HIV统计预测的yij小于实际的yi，j-1的频率，由此得到应终止治疗的时段。
4）纵向数据回归模型（处理这类问题的专门方法）将模型2）的bik分解为固定效应参数bk,与随机效应参数bik之和（k=0,1,2），设bik服从零均值正态分布，利用极大似然估计可以得到bk的估计值及bik的方差。
bk的估计值用于计算CD4的最大点和HIV的最小点，它与bik的方差一起可以像2）一样在正态分布假定下计算终止治疗与继续治疗的概率。
注1 建立几种模型相互比较、验证者较优。
注2 不能只有模型，不做统计分析；对模型结果进行统计分析，考虑与数据拟合程度、注意去除异常数据者较优。
注3 注意到有一些数据是当出现CD4下降、HIV上升就及时结束的，并做出适当考虑者较优。
注4 注意到题目中“艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度”，并对结果做出适当考虑者较优。
问题（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣，并对较好疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。
回归模型方法
1．分析数据对于每种疗法随机取若干个病人，画出他们CD4随时间变化的图形（折线），可以看出疗法1~3的CD4基本上水平，略有下降，而疗法4有先增后减的趋势。
启示应建立时间的一次与二次函数模型，经统计分析比较，确定哪种较优。
2．建立模型
1）回归模型可以引入4（或3）个0-1变量表示4种疗法建立统一模型，或者对每种疗法各建立一个模型（一般来说前者较优）；仍可利用问题（1）中的各种模型。
以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法1~3用一次模型较优，且一次项系数为负，即CD4在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即CD4先增后减，在t=20左右达到最大。
可以通过4条回归曲线进行比较，显示疗法4在30周之前明显优于其它。
年龄的处理：简单地增加年龄变量；按年龄分组，考虑不同年龄的影响。
2）用假设检验做疗法有无显著性差异的两两比较用1个0-1变量构造两种疗法的统一模型，可以用t检验作回归系数是否为零的假设检验（与回归系数置信区间是否含零点等价）。
结果是疗法1与2无显著性差异，而疗法1与3，2与3，3与4均有显著性差异。
注注意问题（1）的几个注。
线性规划模型方法
1．数据分析考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如14~25岁,25~35岁,35~45岁及45岁以上4组。
每组中按照4种疗法和4个治疗阶段（如0~10周，10~20周，20~30周，30~40周），构造16个决策单元。
取4种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的CD4值与开始治疗时CD4值的比值为输出。
2. 建立模型利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价。
计算结果：对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效。
表明只有14~25岁的年4种轻患者，才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法。
由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测。
若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法。
问题（3）如果病人需要考虑4种疗法的成本，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。
根据提供的价格疗法1~4每天的费用分别为：1.60（取最大）, 3.45, 2.45, 3.65，显然若经济允许应采用疗法4，否则可设定包含疗效和费用的决策函数，进行决策。
考虑费用的线性规划模型
将问题（2）中的输入改为4种疗法的费用，计算结果是疗法2的效率大大降低，而疗法4对第1年龄组仍然是最有效的；疗法1对其它年龄组有效且费用低。
可以类似地建立预测模型，并进行预测。