高中数学3.2.1 直线的点斜式方程
3.2.1 直线的点斜式方程(共26张PPT)
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第三章
直线与方程
跟踪训练
1．写出下列直线的方程
(1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1,1)，与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直． 解：(1)y－5＝4(x－2)； (2)k＝tan 45°＝1，所以y－3＝x－2； (3)y＝1； (4)x＝1.
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第三章
直线与方程
(3)∵直线的倾斜角为 60° ， ∴其斜率 k＝tan 60° ＝ 3. ∵直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3， ∴直线在 y 轴上的截距 b＝ 3 或 b＝－ 3. ∴所求直线方程为 y＝ 3x＋ 3 或 y＝ 3x－ 3.
【名师点评】 利用斜截式写直线方程时， 首先要考虑斜率 是否存在，其次要注意截距与距离的区别与联系．
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直线与方程
题型四
例4
直线在平面直角坐标系中位置的确定
)
1 方程 y＝ ax＋ 表示的直线可能是 ( a
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第三章
直线与方程
1 1 【解析】 直线 y＝ ax＋ 的斜率是 a， 在 y 轴上的截距是 ， a a 1 当 a>0 时，斜率 a>0，在 y 轴上的截距是 >0，则直线 y＝ a 1 ax＋ 过第一、 二、 三象限， 四个选项都不符合； 当 a<0 时， a 1 1 斜率 a<0， 在 y 轴上的截距是 <0， 则直线 y＝ ax＋ 过第二、 a a 三、四象限，仅有选项 B 符合．
第三章
直线与方程
3．2
直线的方程
3．2.1 直线的点斜式方程
第三章
直线与方程
3.2.1直线的点斜式方程
l 上.
斜率为k 的方程为： 经过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为k的直线 l 的方程为：
y − y0 = k ( x − x0 )
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定 点斜式方程 的，所以我们把它叫做直线的点斜式方程. 所以我们把它叫做直线的点斜式方程.
1、写出下列直线的点斜式方程：
(1) （1）经过点A(3,-1),斜率是 2 ； y + 1 = 2( x − 3);
-2 -1 O
x
2、写出下列直线的斜截式方程： 3 （1）斜率是 ，在 y 轴上的截距是-2； 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 y= x−2 2 （2）斜率是 − 2 ，在 y 轴上的截距是4.
y = −2 x + 4.
课堂小结： 课堂小结：
1、直线的点斜式方程：y − y1 = k ( x − x1 )
2、直线的斜截式方程：y = kx + b.
y
P0 x0 , y0 ) （
l
O
x
y − y0 = 0或y = y0
思考2: 思考
问题四：经过点P0 ( x0 , y0 ), 倾斜角 为90 的直线方程是什么？
y
o
l
P0 ( x0 , y0 )
x
O
x = x0
思考3: 思考
问题五：经过点P0 (0, b), 斜率 为k的直线方程是什么？
y
l
P0 (0, b)
y = kx + b
x
O
斜率
y轴上的截距
此方程由直线 l 的斜率和它在 y轴上的截距确 直线的斜截式方程。 所以这个方程也叫作直线的斜截式方程 定，所以这个方程也叫作直线的斜截式方程。
3.2.1直线的点斜式方程
1 6
，且与坐标轴围成面积为3的三角形，
求该直线的方程．
解：设直线方程为y＝- 16x＋b，
当 x＝0 时，y＝b，即直线与 y 轴的交点为(0，b)； 当 y＝0 时，x＝－6b，即直线与 x 轴的交点(－6b,0)． 又S＝12·|b|·|－6b|＝3b2＝3，故b＝±1，
∴所求直线方程为y＝- 16x＋1或y＝- x16－1.
4.写出满足下列条件的直线的方程．
(1)斜率为5，在y轴上截距为－1，________； (2)倾斜角30°，在y轴上截距为 ，________.
(3)已知直线l1：y＝－2x＋3，l2：y＝4x－2，直线l与l1平 行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
（3）由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
y
.p2L
O .P1 α
x
L1⊥ L2 k1k2= -1
探究一：点斜式方程
y
l
解:设P(x,y)是直线L上不
Px，y 同于P0的任意一点.
P0(x0,y0)
O
x
点斜式
(1)
定义： 方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，我们把（1）叫做 直线的点斜式方程，简称点斜式.
注意：①斜率要存在！
②已知直线上一点以及直线的斜率
（1）l1 // l2 的条件是什么？（2）l1 l2 的条件是什么？
解：（1）若 l1 // l2 ,则k1 k2 . 此时 l1，l2与y轴的交点不同即 b1 b2;
反之 k1 k2 且b1 b2 时，l1 // l2 .
高中数学 第三章 直线与方程 3.2 3.2.1 直线的点斜式
课前自学
课堂互动
课堂达标
探究点二 求直线的点斜式方程的方法步骤是什么？
提示 在直线的斜率存在时，先确定所过定点，再确定直线的
斜率，然后代入公式. 解 (1)∵直线过点 P(－4，3)，斜率 k＝－3， 由直线方程的点斜式得直线方程为 y－3＝－3(x＋4)， (2)与 x 轴平行的直线，其斜率 k＝0，由直线方程的点斜式可得直 线方程为 y－(－4)＝0×(x－3)，即 y＋4＝0. (3)过点 P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率 kPQ＝5－－（4－ －32）＝－77 ＝－1.又∵直线过点 P(－2，3).∴直线的点斜式方程为 y－3＝ －(x＋2).
课前自学
课堂互动
课堂达标
提示 (1)经过点P(x0，y0)垂直于x轴的直线方程为x＝x0. (2)当直线与x轴垂直时，直线不能用斜截式表示，其方程可表示 为x＝0. (4)直线l在y轴上的截距b实际上是直线l与y轴交点的纵坐标，因 此b可以是正数，也可以是负数，还可以是0.
课前自学
课堂互动
课堂达标
示意图
方程
使用范 围
斜率存
y－y ＝k(x－x ) 在的直 ___________0__________________0___
线
课前自学
课堂互动
课堂达标
2.直线l在坐标轴上的截距 (1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的_纵__坐__标__b__. (2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a，0)的_横__坐__标__a__.
课前自学
课堂互动
课堂达标
规律方法 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定 斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). (2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直 线，但x＝x0除外.
3.2.1直线的点斜式方程
思维拓展
拓展1:
y ①过点(2, 1)且平行于x轴的直线方程为___ 1
x ②过点(2, 1)且平行于y轴的直线方程为___ 2
1 y ③过点(2, 1)且过原点的直线方程为___ x 2
④过点(2, 1)且过点(1, 2)的直线方程为___
x y 3 0
思维拓展
拓展2:
①过点(1, 1)且与直线y＝2x＋7平行的直线
（3）经过点C(0, 3)，倾斜角是0°；
y3
3
1.写出下列直线的点斜式方程：
（4）经过点D(－4, －2)，倾斜角是120°. y 2 3 ( x 4) 2.填空题： （1）已知直线的点斜式方程是 y－2=x－1，那么此直线的 斜率是__________,倾斜角是_____________. 45 1
(2) l1 l2 的条件是什么？
结论: l1 : y k1 x b1，l2 : y k2 x b2
l1 // l2 l1 l2
k1 k2 ,且 b1 b2
k1k2 1
练习（P95第4）:判断下列各对直线是否平行 或垂直。
1 1 （1）1 : y x 3, l2 : y x 2; l 2 2
（2）
平行
5 3 l1 : y x, l2 : y - x. 3 5
垂直
形式
条件
直线方程
应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0), 斜率存在 y y0 k ( x x 0 ) 且斜率为k 斜截式 在y轴上的截距 为b,且斜率为k
y kx b
斜率存在
注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率 存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率 不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解。
3.2.1直线的点斜式方程
2－1.若直线 ax＋by＋c＝0 在第一、二、三象限，则( A．ab＞0，bc＞0 C．ab＜0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0 D．ab＜0，bc＜0
D )
a 解析：由题意，直线的斜率一定大于 0，所以 k＝－b＞0， c 即 ab＜0；根据直线的纵截距大于 0，可得－b＞0，即 bc＜0.
的方程是？
y
l
P( x, y)
P 0 ( x0 , y0 )
y y0
y y0 k ( x x0 ) x x0
故:
x
x x0
o
y y0 k ( x x0 )
经过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为k的直线 l 的方程 为：
y y0 k ( x x0 )
点斜式方程和斜截式方程的应用 例 3: 已知直线 l 经过点 P(－5，－4)，且 l 与两坐标轴围成 的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程． 思维突破：由题意知所围三角形为直角三角形．根据直角 三角形面积公式以及直线方程求出该直线在两坐标轴的坐标即 可． 解：由已知：l 与两坐标轴不垂直．
∵直线 l 经过点 P(－5，－4)， ∴ 可设直线 l 的方程为 y－(－4)＝k[x－(－5)]， 即 y＋4＝k(x＋5)．
3.2.1 直线的点斜式方程
复习引入： 一、直线斜率的求解公式：
1)k t an 2)k
注意：
( 900 ) ( x2 x1 )
y2 y1 x2 x1
不是所有的直线都有斜率，源自斜率不存在的直线为与 x 轴垂直的直线
0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k, 则此直线 若直线 l 经过点P
y 2x 4
y2
y
3.2.1 直线的点斜式方程(高中数学人教版必修二)
（点P不同于点A时）
y 3 2[ x (1)]
o
P( x, y)
x
l直
线 上
2 坐标满足此方程的每一点都在直线 l 上.
问题2：若直线 l 经过点 P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k, 则此直线 的方程是？
y
P( x, y)
P ( x0 , y0 ) 0
y y0
l
y y0 k x x0
C4
3 所以，m 2或3,7.
若角A为直角， m 1 m 2, 解得： 7. 则 k AC
新知：
一、直线的点斜式方程
问题1: 若直线 l经过点A(-1,3),斜率为-2,点P在直线 l 上运动,则点P的坐标(x , y)满足怎样的关系式？
y
A(1,3)
y 3 2 x (1)
x
x x0
即： y y0 k ( x x0 )
(1)
o （1）过点 P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k的直线 l上每个点的坐标都 满足方程 y y0 k ( x x0 ) ；
（2）坐标满足这个方程的每一点都在过点 P0 ( x0 , y0 ),斜 率为k的直线 l 上.
l1 ∥ l 2 k1 k2 , 且b1 b2 l1 l 2 k1 k 2 1
练习5判断下列直线是否平行垂直：
1 1 (1)l1 : y x 3, l2 : y x 2; 2 2
平行
5 3 (2)l1 : y x, l2 : y x. 3 5
y
解：如图 k BP
P
o
B A
1 (3) 4 1 ( 3) 4, k AP 1 2 3 倾斜角为锐角时， , ; k 4 x 倾斜角为钝角时， ,4; k
3.2.1 直线的点斜式方程
y y0 (2)方程y-y0=k(x-x0)与方程k= 不是等价的,前者是整 x x0
条直线,后者表示去掉点P(x0,y0)的一条直线. (3)当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点 (x0，y0)的无数条直线.
例1 直线l经过点P0（-2，3），且倾斜角α =45°，求
是否都在直线l上? 为什么？
当 P与P重合 时，有x = x0 ,y = y0 ,此时满足y - y0 = k(x- x）； 0 0
y - y0 当x≠x0时，则k = ,即P(x,y)在过点P(x 0 0 ,y0 ), x - x0 斜率为k的直线l上.
直线的点斜式方程 由直线上一定点和直线的斜率确定的直线 方程，叫直线的点斜式方程.
【例】已知直线l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+3,若l1∥l2,则a= 【解析】因为l1∥l2，所以a2+1=2,a2=1①，所以a=〒1，
又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，
则3a≠3②，即a≠1，故a=-1. 答案:-1
例.过点P(2,1),且倾斜角是直线l:x-y-1=0的倾斜角的两 倍的直线方程为 ( A.x-2y-1=0 C.y-1=2(x-2) ) B.x=2 D.2x-y-1=0
解：（1）若l1 //l2，则k1 = k2，此时l1，l2与y轴的交点不同， 即b1 ≠b2；反之k1 = k2，且b1 ≠b2时，l1 //l2 . （2）若l1 ⊥ l2，则k1k2 = -1；反之k1k2 = -1时，l1 ⊥ l2 . 于是我们得到，对于直线 l1：y = k1x + b1，l2：y = k2x + b2， l1 //l2 k1 = k2且b1 ≠b2； l1 ⊥ l2 k1k2 = -1.
3.2.1 直线的点斜式方程
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
解 由题意可知，kl1＝2a－1，kl2 ＝4，
∵l1⊥l2， ∴4(2a－1)＝－1，解得 a＝38. 故当 a＝38时，直线 l1：y＝(2a－1)x＋3 与直线 l2：y＝4x－3 垂直.
反思与感悟 设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝ k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么： (1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； (2)两条直线重合⇔k1＝k2，且b1＝b2； (3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
跟踪训练 2 已知直线 l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，
求 l 的斜截式方程. 解 设直线方程为 y＝16x＋b，则当 x＝0 时，y＝b； 当 y＝0 时，x＝－6b.由已知可得12·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线 l 的斜截式方程为 y＝16x＋1 或 y＝16x－1.
跟踪训练 3 已知直线 l：y＝(a2－2)x＋2a＋9 与直线 y＝－12x＋1 垂直， 且与直线 y＝3x＋5 在 y 轴上的截距相同，求 a 的值.
解 由题意知(a2－2)×－12＝－1，解得 a＝±2. ∴当a＝2时，直线l：y＝2x＋13； 当a＝－2时，直线l：y＝2x＋5. 又直线l与直线y＝3x＋5在y轴上的截距相同， ∴a＝－2.
2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
A.k>0，b>0 C.k<0，b>0
√B.k>0，b<0
D.k<0，b<0
解析 ∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
3.2.1 直线的点斜式方程
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典例透析
②如图乙,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线不能用点斜式表
示,其方程为x-x0=0或x=x0.
-4-
3.2.1 直线的点斜式方程
12
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典例透析
【做一做1】 若直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率 是( )
A.2 B.-1 C.3 D.-3 解析:直线l经过点(-1,2),且斜率为3. 答案:C
题型一 求直线的点斜式方程
【例1】 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行. 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-5=4(x-2). (2)直线的倾斜角为45°,则此直线的斜率k=tan 45°=1. 故直线的点斜式方程为y-3=x-2. (3)直线与x轴平行,则倾斜角为0°,斜率k=0.
所以直线的斜率为 − 3.
3
故所求直线的点斜式方程为
y+1=−
3 (������
3
−
2).
(3)因为直线与y轴垂直,所以倾斜角为0°,
即斜率k=0.故所求直线的点斜式方程为y=-2.
-12-
3.2.1 直线的点斜式方程
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典例透析
题型一 题型二 题型三
题型二 求直线的斜截式方程
3.2.1 直线的点斜式方程
题型一 题型二 题型三
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典例透析
正解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1=-1,k2=a2-2.
3.2.1 直线的点斜式方程
-1-
3.2.1 直线的点斜式方程
-2-
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核心素养培养目标
Hale Waihona Puke 核心素养形成脉络1.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用 它们求直线的方程. 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关 系. 3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解 决直线的平行与垂直问题.
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课前篇 自主预习
一二
一、直线的点斜式方程 1.求直线的方程指的是求什么? 提示:就是求直线上任意一点的坐标(x,y)满足的关系等式. 2.如图,直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,设点P(x,y)是直线l上不同 于点P0的任意一点,怎样建立x,y之间的关系等式?该关系等式是直 线l的方程吗?
4.做一做:直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是
()
A.2
B.-1
C.3
D.-3
答案:C
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课前篇 自主预习
一二
二、直线的斜截式方程 1.已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则直线l的方程是 什么? 提示:将k及点(0,b)代入直线的点斜式方程得y=kx+b. 2.直线y=kx+b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗? 它的取值范围是什么? 提示:不是直线与y轴交点到原点的距离,是直线y=kx+b在y轴上 交点的纵坐标,截距b的取值范围是R. 3.一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么 不同? 提示:一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜 截式方程y=kx+b中的k可以为0.
提示:由斜率公式得k= 方程.
������-������0 ������-������0
3.2.1直线的点斜式方程题型全归纳
3.2.1直线的点斜式方程题型全归纳【知识梳理】1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．【常考题型】题型一、直线的点斜式方程【例1】(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．【类题通法】已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.【对点训练】1．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．题型二、直线的斜截式方程【例2】 (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．【类题通法】1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．【对点训练】2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．题型三、两直线平行与垂直的应用【例3】 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？(2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？【类题通法】判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．【对点训练】3．(1)若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.(2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.【练习反馈】1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,3B．－3，－3C．－3,2 D．2，－32．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋33．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．参考答案【例1】[答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0【对点训练】1.(1) y －5＝4(x －2)．(2) y －3＝x －2.(3) y ＝－1.【例2】[答案] (1)y ＝－33x －3 【对点训练】2．y ＝33x －5. 【例3】 [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直．(2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2.∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行．【对点训练】3．解析：(1)由题意可知kl 1＝2a －1，kl 2＝4.∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38. (2)因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1，且2a ≠2，解得a ＝－1，所以a ＝－1时两直线平行．【练习反馈】1．答案：D 2．选A 3．答案：y ＋4＝3(x ＋2)4．答案：y ＝－3x ＋25．解：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－13. ∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)，即x ＋3y ＋8＝0.。
新人教版必修二高中数学 3.2.1 直线的点斜式方程课件
代入点斜式方程，得l的直线方程：y - b =k （ x - 0）
即
y = kx + b。
(2)
例3：斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。
4
㈢巩固：
①经过点（- 2 ，2）倾斜角是300的直线的方程是
（A）y＋
2=
3 3
（ x－2）
（B）y+2= 3 （x－ 2 ）
②已（知C）直y线－方2=程y33－（3=x＋3（2）x－（4D）），y则－这2=条直3（线x＋经过2 ）的已知
截距式 xy1a,b0
ab
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
例题分析
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 3
，
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的
系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列.
A
. O
M
x
O
Ax
.
B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC边所在直线
的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
3、求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形面积 是6的直线方程.
补充练习
下列四个命题中的真题命是( )
A.经过定点0(Px0,y0 )的直线都可以用
方程yy0 k(xx0 )表示;
a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
x a
y b
1
说明: （1）直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫 y
3.2.1 直线的点斜式方程
二、典型问题与方法
1．直线的点斜式方程 例 1 直线 l 经过点 P0(－2，3)，且倾斜角 α＝45° ，求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l. (链接教材 P93 例 1) [解析] 直线 l 经过点 P0(－2，3)，斜率是 k＝tan 45° ＝1，
代入点斜式方程得 y－3＝x＋2. 画图时，只需再找出直线 l 上另一点 P1(x1，y1)，取 x1＝－1，y1＝4，得 P1 的坐标为(－1，4)， 过 P0，P1 的直线即为所求，如图． 【方法小结】由点斜式写直线方程时，由于过 P(x0，y0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时 方程为 y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在时，直线方程为 x＝x0. 【变式训练】 1．写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点 B(－ 2，2)，倾斜角是 30° ；(2)经过点 C(0，3)，倾斜角是 0° . 解：(1)因为倾斜角是 30° ，所以直线的斜率是 故直线的点斜式方程为 y－2＝ 3 ， 3
3．2.1 直线的点斜式方程
一、课本知识梳理
1．直线的点斜式方程和斜截式方程 名称 点斜式 已知条件 点 P(x0，y0) 和斜 率k 斜率 k 和在 y 轴上 的截距 b 示意图 方程 y－y0＝k(x－x0) 使用范围 斜率存在Βιβλιοθήκη 斜截式y＝kx＋b
斜率存在
2.直线 l 的截距 (1)直线在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0，b)的纵坐标 b． (2)直线在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点(a，0)的横坐标 a．
3 (x＋ 2)． 3
(2)因为倾斜角是 0° ，所以直线的斜率为 0，则直线的点斜式方程为 y－3＝0(x－0)，即 y＝3.
2．直线方程的斜截式及应用 例 2 已知直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，试讨论：(1)l1∥l2 的条件是什么？(2)l1⊥l2 的条件是什么？ (链接教材 P94 例 2) [解析](1)若 l1∥l2，则 k1＝k2，此时 l1，l2 与 y 轴的交点不同，即 b1≠b2；反之，k1＝k2，且 b1≠b2 时，l1∥l2. (2)若 l1⊥l2，则 k1k2＝－1；反之，k1k2＝－1 时，l1⊥l2. 【方法小结】对于直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1∥l2⇔k1＝k2，且 b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
3.2.1直线的点斜式方程
问题引入
在平面直角坐标系内，如果给定
一条直线 l 经过的一个点 P0 x0 , y0 和斜率 k ，能否将直线上所有的点的
坐标 x, y 满足的关系表示出来呢？ l
y
P0 O
x
问题引入
直线经过点 P0 x0 , y0 ，且斜率为 k ，
设点Px, y 是直线上不同于点P 的任意一 0
x x0
0 ，或
x x0
y
l
P0
O x
y 轴所在直线的方程是：
x0
典型例题
例1 直线
画出直线 l ．
l 经过点 P0 2,3 ,且倾斜
y
4 3
角 45，求直线 l 的点斜式方程，并
P 解：直线 l经过点 P0 2,3 ，
l
斜率 k tan 45 1，
1、根据条件写出下列直线的方程： （1）过点A（-4,3），斜率k=3； （2)过点B（-1,4），倾斜角为135°；（Leabharlann ）过点C(-1,2)且与y轴平行；
（4）过点D（2,1）和E(3,-4)
2、根据条件写出下列直线的方程：
（1）过点A（-1,2），在y轴上 的截距为-2；
（2)过点B（3,4），且在两坐标 轴上的截距相等； （3）过点C(-5,-4)且其倾斜角 是直线 y 3x 3 的倾斜角的一半。
点，因为直线 l 的斜率为k ，由斜率公式得：
即：
y y0 k ， x x0
y y0 k x x0
y
P
P0 O
l
x
直线的点斜式方程 方程 y y0 k x x0 由直线上一点及
最新人教版高中数学必修二第三章直线与方程第二节第1课时直线的点斜式方程
3．2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程1.直线的点斜式方程(1)条件：直线过点P(x 0，y 0)，斜率为k. (2)图形：(3)方程：y －y 0＝k(x －x 0)．(1)利用点斜式表示直线方程的前提是什么？ 提示：直线的斜率存在．(2)直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ＝0，则直线的点斜式方程是什么？ 提示：直线的点斜式方程为y －y 0＝0或y ＝y 0.(3)直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率不存在，则直线的方程是什么？ 提示：x －x 0＝0或x ＝x 0. 2．直线的斜截式方程(1)条件：直线斜率k ，在y 轴上的截距b ．(2)图形：(3)方程：y＝kx＋b．(1)直线的斜截式方程y＝kx＋b中，k和b的几何意义是什么？提示：k是直线的斜率；b是直线在y轴上的截距．(2)截距是距离吗？提示：不是，直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，截距是实数而不是距离．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)任何一条直线的方程都可以写成点斜式y－y0＝k(x－x)( ×)提示：斜率不存在的直线不能用点斜式表示．(2)x轴所在的直线方程为x＝0.( ×)提示：x轴所在的直线方程为y＝0.(3)直线在y轴上的截距不能等于0.( ×) 提示：当直线过原点时，在y轴上的截距等于0. 2．直线y＝ 3 x＋1的倾斜角是( )A．π6B．π3C．2π3D．5π6【解析】选B.因为y＝ 3 x＋1，所以k＝ 3 .由于k＝tan θ，则tan θ＝ 3 ，即θ＝π3 .3．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则该直线的方程为( )A．y＝ 3 x＋2 B．y＝－ 3 x＋2C．y＝－ 3 x－2 D．y＝ 3 x－2【解析】选D.直线的倾斜角为60°，则斜率为tan 60°＝ 3 ，利用斜截式直接写出方程，即y＝ 3 x－2.类型一求直线的点斜式方程(数学抽象、数学运算)1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1【解析】选C.直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[]x－（－1），故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．过点P(2 3 ，3)且倾斜角为30°的直线方程为( )A．y＋4 3 ＝3x B．y＝x－ 3C．3y－3＝ 3 x D．y－ 3 ＝ 3 x【解析】选C.因为直线的倾斜角为30°，所以其斜率为tan 30°＝33，由直线过点(2 3 ，3)，所以直线方程为y－3＝33(x－2 3 )，即3y－3＝ 3 x.3．直线y＝k(x－1)＋2恒过定点( )A．(－1，2) B．(1，2)C．(2，－1) D．(2，1)【解析】选B.根据直线点斜式的定义可知，直线y－2＝k(x－1)恒过定点(1，2).4．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线的点斜式方程是________．【解析】由题意得：所求直线的斜率是k＝ 2 ，故所求直线方程是：y－1＝ 2 (x＋1). 答案：y－1＝ 2 (x＋1)求直线的点斜式方程的步骤【补偿训练】1.过点P( 3 ，－2 3 )且倾斜角为135°的直线方程为( )A．y＋4 3 ＝3xB．y＝x－ 3C．x＋y＝ 3D．y＋2 3 ＝(－1)×(x－ 3 )【解析】选D.因为直线的倾斜角为135°，所以斜率k＝tan 135°＝－1，又直线过点P( 3 ，－2 3 )，所以直线的点斜式为y＋2 3 ＝(－1)×(x－ 3 ).2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程为( )A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0【解析】选C.因为x－2y－2＝0的斜率为12，由题意得，所求直线的斜率为－2，由点斜式得y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.类型二求直线的斜截式方程(数学抽象、数学运算)1．斜率为－1，且在y轴上的截距为1的直线方程是( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0【解析】选B.直线的斜截式方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.2．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A．y＝12x＋4 B．y＝2x＋4C．y＝－2x＋4 D．y＝－12x＋4【解析】选D.直线y＝2x＋1的斜率k＝2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线斜率k＝－12，因为y轴上的截距为4，所以直线方程为y＝－12x＋4.3．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成60°角的直线的斜截式方程是________．【解析】与y轴相交成60°角的直线倾斜角为30°或150°，可得斜率为tan 30°或tan150°，即±33，可得方程为：y＝±33x－6.答案：y＝±33x－64．直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．【解析】当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.令y＝0得x＝2k－2k.由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k－2k×2＝2.解得k＝12.可得直线l的方程为y－2＝12(x－2)，即y＝12x＋1，综上可知，直线l的方程为x＝2或y＝12x＋1.求直线的斜截式方程的策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要已知直线斜率，与y轴交点，就可以直接用斜截式表示．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b 的值即可．(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入斜率k.【补偿训练】1.若直线l 的倾斜角为45°，且经过点(2，0)，则直线l 的斜截式方程是( ) A ．y ＝x ＋2B ．y ＝x －2C ．y ＝33 x －233D ．y ＝ 3 x －2 3【解析】选B.因为直线l 的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，又由直线经过点(2，0)可得y －0＝x －2即y ＝x －2.2．已知点(1，－4)和(－1，0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝______，b ＝______． 【解析】由题意，得⎩⎨⎧－4＝k ＋b ，0＝－k ＋b ， 解得k ＝－2，b ＝－2.答案：－2 －23．已知直线y ＝2x ＋b 过点(1，2)，则b ＝______． 【解析】将(1，2)代入y ＝2x ＋b ，得2＝2＋b ，解得：b ＝0. 答案：04．若直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，且l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________． 【解析】令x ＝0得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，得a ＝83 .答案：83类型三 两种方程的应用(数学运算、逻辑推理)角度1 图象的判断【典例】如图，直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )【思路导引】分a ＞0，a ＜0两种情况辨析．【解析】选B.由已知得a ≠0.若a ＞0，则直线y ＝ax ＋1a 的斜率与在y 轴上的截距都大于0，则A ，B ，C ，D 都不符合．若a ＜0，则直线y ＝ax ＋1a 的斜率与在y 轴上的截距都小于0，只有B 符合．若本例中的直线方程变为y ＝ax －1a，则其图象是下列中的( )【解析】选C.由已知得a ≠0，当a ＞0时，斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距－1a ＜0，都不符合此条件；当a ＜0时，斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距－1a ＞0，只有C 符合此条件．角度2 直线平行、垂直的判断的应用【典例】已知直线l 经过点P(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．【思路导引】首先确定直线的斜率是否存在，再得出直线的点斜式方程，最后利用面积求直线方程．【解析】显然，直线l 与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k ≠0)，则直线l 的方程为y －3＝k(x ＋2)，令x ＝0得y ＝2k ＋3；令y ＝0得x ＝－3k －2，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 12 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪（2k ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k －2 ＝4， 即(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2 ＝±8，若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2 ＝8，则整理得4k 2＋4k ＋9＝0，无解．若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2 ＝－8，则整理得4k 2＋20k ＋9＝0，解得k ＝－12 或k ＝－92，所以直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0.两条直线平行和垂直的判定(1)平行的判定．(2)垂直的判定．1．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是______________．【解析】b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b 分别取得最小值和最大值． 所以b 的取值范围是[－2，2].答案：[－2，2]2．已知直线l ：3ax －5y －a ＋2＝0，求证：不论a 为何值，直线l 总过第一象限． 【证明】方程3ax －5y －a ＋2＝0可化为 5y －2＝a(3x －1)， 即y ＝35 a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13 ＋25，所以它表示恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25 的直线．因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25 在第一象限，所以直线l 不论a 取何值，总过第一象限．3．已知斜率为2的直线l 不过第四象限，且和两坐标轴围成面积为4的三角形，求直线l 的方程．【解析】依题意，设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，又直线l 不过第四象限，所以b ≥0. 对于直线l ，令x ＝0，则y ＝b ；令y ＝0， 则x ＝－b2.由已知，可得12 ·|b|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 2 ＝4，即|b|2＝16，所以b ＝4(负值舍去).故直线l 的方程为y ＝2x ＋4.【补偿训练】1.直线y －2m ＝m(x －1)与y ＝x －1垂直，则直线y －2m ＝m(x －1)过定点( ) A ．(－1，2) B ．(2，1) C ．(1，－2) D ．(1，2)【解析】选C.由两直线垂直得m ＝－1，把m ＝－1代入y －2m ＝m(x －1)得y ＝－x －1，则该直线过定点(1，－2).2．直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是________． 【解析】当k ＝0时，直线y ＝2不过第三象限； 当k ＞0时，直线过第三象限； 当k ＜0时，直线不过第三象限． 答案：(－∞，0]3．等腰△ABC 的顶点A(－1，2)，AC 的斜率为 3 ，点B(－3，2)，求直线AC ，BC 及∠A 的平分线所在的直线方程． 【解析】AC ：y ＝ 3 x ＋2＋ 3 . 因为AB ∥x 轴，AC 的倾斜角为60°， 所以BC 的倾斜角α为30°或120°.当α＝30°时，BC 的方程为y ＝33 x ＋2＋ 3 ，∠A 的平分线的倾斜角为120°，即其所在直线方程为y ＝－ 3 x ＋2－ 3 .当α＝120°时，BC 的方程为y ＝－ 3 x ＋2－3 3 ， ∠A 的平分线的倾斜角为30°，3 3 x＋2＋33.即其所在直线方程为y＝。
高一数学 3.2.1直线的点斜式方程
练习
斜截式方程的应用：
1：写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：
（1）y 3x 2 (2) y 3x (3) x 3 y 2
1 2 y x 3 3
思：截距是距离吗？
截距可以取什么数？
练习
2、写出下列直线的斜截式方程：
3 (1)斜率是 , 在y轴上的截距是 2 2 (2)斜率是 2, 在y轴上的截距是 4
练习
3.判断下列各直线是否平行或垂直
1 (1) l1 : y x 3 2 1 l2 : y x 2 2 (2) 5 l1 : y x 3 3 l2 : y x 5
练习
4、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
(2) y 2
3x 3
2、直线的斜截式方程：
已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P（0， y b），求直线方程。
代入点斜式方程，得l的直线方程： y - b =k （ x - 0） (2) 即 y = kx + b。
.(0,b)
O
x
直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴 上的截距。 方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b 确定，所以方程(2)叫做直线的斜截式方程，简 称斜截式。
例题分析：
例3 已知直线l1 : y k1 x b1 , l2 : y k 2 x b2 试讨论 : (1)l1∥ l 2的条件是什么? (2)l1 l 2的条件是什么?
l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2
l1 ∥ l 2 k1 k2 , 且b1 b2 l1 l2 k1 k2 1
3.2.1直线的点斜式方程
问3:直线的斜截式方程y=kx+b在结 构形式上有哪些特点？
左端y的系数恒为1； k是直线的斜率； b是直线在y轴上的截距。
问4:能否用斜截式方程表示直角坐 标平面内的所有直线?
y=kx+b（直线斜率必须存在）
例2：写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率是2，在y轴上的截距为6； 。 （2）倾斜角是120 ，在y轴上的截 距为-3； 。 （3）倾斜角为30 ,在y轴上截距为0.
变式练习：直线l经过点P0(-2,3), o 且倾斜角为60 ,求直线l的点斜式方 程，并画出直线l.y
P P0 o
x
问题（二）：直线的斜截式方程 问1:若直线l的斜率为k，且与y轴的 交点为P(0，b)，则直线l的方程是什 么？ y=kx+b 问2:方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，
其中b叫做直线在y轴上的截距. 下列直线:y=-2x+1，y=x-4，y=3x，y=-3 在y轴上的截距分别是什么？
问5:已知直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，
分别在什么条件下l1与 l2平行？垂直？
l1 / /l2 k1 k2 , b1 b2
l1 l2 k1 k2 1
目标检测：
P95练习：
1，2 ， 3 ， 4
作业:
P100习题3.2 A组： 1，5，10.
y y0 k x x0
x
o
y y0 问3:代数式 k 可看作是 x x0
一个关于x,y的方程,化为整式即为 y y0 k ( x x0 ) ,那么直线l上每一 点的坐标都满足这个方程吗?
y l P(x,y)
P0(x0,y0)
3.2.1直线的点斜式方程
3.2.1直线的点斜式方程研究给定一个点),(000y x P 和斜率k ，怎样确定一条直线？1、如图，直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，设点),(y x P 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，由斜率公式得：k=例1直线l 经过点)3,2(0-P 倾斜角α=450变式：写出下列直线的点斜式方程：1直线l 经过点)3,2(0-P 斜率是0 ： .2.直线l 经过点)3,2(0-P 斜率不存在 ： . 2、直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为（0，b ），求直线l 的点斜式方程截距：直线l 与y 轴交点（0，b ）的纵坐标 叫做直线l 在y 轴上的 方程（2）由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，所以方程（2）叫做直线的斜截式方程，简称斜截式练习：写出下列直线的斜截式方程：1. 斜率是2，在y 轴上的截距是-22. 斜率是-2，在y 轴上的截距是4【例2】已知直线l 1：y = k 1 + b 1，l 2：y 2 = k 2 x + b 2 .试讨论：（1）l 1∥l 2的条件是什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？变式：判断下列各对直线是否平行或垂直：1211(1):3,:222l y x l y x =+=-1253(2):,:35l y x l y x ==- 当堂检测1. 过点(4,2)-，倾斜角为135ο的直线方程是（ ）. A．20y ++-=B360y +++= C．40x +--=D．40x ++-= 2. 已知直线的方程是21y x +=--，则（ ）.A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1-B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1-D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1- 3. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（ ）. A ．(0,0) B ．（3，1）C ．(1,3) D ．(1,3)-- 4. 直线l的倾斜角比直线122y x =+的倾斜角大45ο，且直线l 的纵截距为3，则直线的方程是 .5. 已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是：.6.求倾斜角是直线1y =+的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程.（1）经过点1)-； （2）在y 轴上的截距是5.。
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【延伸探究】若把典例3中的平行改为垂直,此时直线l的方程又如何?
【解析】方法一:因为直线l与y=-2x+5垂直.
所以kl=
1 2
,由直线方程的点斜式知y+3=
1(x-2),
2
即l:x-2y-8=0.
方法二:因为已知直线方程为y=-2x+5.
又l与其垂直,则可设l为y= 1x+b,
2
因为l过点A,所以有-3= 1×2+b,则b=-4,
2.直线在y轴上的截距 定义:直线l与y轴交点(0,b)的_纵__坐__标__b_. 符号:可正,可负,也可为零.
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢? 提示:不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线, 其方程都不能用点斜式表示.
(4)直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别和联系 ①斜截式方程中,k≠0时,y=kx+b即为一次函数,k=0时,y=b不是一次 函数. ②一次函数y=kx+b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程.
【知识拓展】 1.截距的理解 (1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的.直线与y轴的交点(0,b) 的纵坐标b称为此直线的纵截距,值得强调的是,截距是坐标,它可能是 正数,也可能是负数,还可能是0,不能将其理解为“距离”而恒为非负 数.
3.由点斜式方程可知直线l2的斜率为
1,所以其倾斜角为30°,所以
3
直线l1的倾斜角为60°,其斜率k=tan60°= ,3由直线方程的点斜式
可得,直线l1的方程为y+3= 3(x-2).
【方法技巧】求直线的点斜式方程的方法步骤
【拓展延伸】求直线的点斜式方程的注意点 (1)前提条件:只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程. (2)倾斜角为0°,即k=0时,这时直线l与x轴平行或重合,l的方程是yy0=0. (3)倾斜角为90°时,直线无斜率,这时直线l与y轴平行或重合,l的方 程是x-x0=0.
6
2.(变换条件)若将本题中“l的斜率与l1的斜率互为相反数”改为“直
线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解?
【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,由 题意可得直线l的斜率为- 1 ,在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l
3
的方程为y=- 1 x+6.
3
类型三 两直线平行与垂直的应用
【题型探究】
类型一 求直线的点斜式方程
【典例】1.(2015·杭州高一检测)经过点(-5,2)且平行于y轴的直线
方程为
.
2.直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,则直线l
的点斜式方程为
.
3.(2015·景德镇高一检测)一直线l1过点A(2,-3),其倾斜角等于直线
l2:y=
问题1:根据图中的条件,能否写出该直线的方程? 问题2:直线在y轴上的截距有几种情况?
【总结提升】 点斜式与斜截式的关系 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点P(0,b).它 们都不能表示斜率不存在的直线. (2)在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的形式,它是推导其它 形式的基础. (3)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形式不惟 一,而斜截式的形式是惟一的.
【补偿训练】(2015·潍坊高一检测)直线l与直线l1:y=3x+6在y轴上有 相同的截距,且l的斜率与l1的斜率互为相反数,求直线l的方程.
【解题指南】确定l1的斜率和它在y轴上的截距,再求出l的斜率和它在
y轴上的截距,由斜截式写方程. 【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,所以 直线l的斜率为-3,在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y=3x+6.
【知识探究】 知识点1 直线的点斜式方程 观察图形,回答下列问题:
问题1:上图中直线l的斜率如何用点P与点P0表示? 问题2:要得到直线的点斜式方程应具备什么前提条件?
【总结提升】 1.直线的点斜式方程的前提条件 (1)已知一点P0(x0,y0)和斜率k. (2)斜率必须存在. 只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程.
【补偿训练】(2015·福安高一检测)直线l过点P(2,-3)且与过点 M(-1,2),N(5,2)的直线垂直,求直线l的方程. 【解题指南】先求出过已知两点M,N的直线的斜率,再由已知条件判断 直线l的倾斜角,可得所求直线的方程.
【解析】直线MN的斜率k=
22
5 1
=0,所以该直线平行于x轴.又直线l
Байду номын сангаас
【方法技巧】求直线的斜截式方程的策略 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的 斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程, 只需知道参数k,b的值即可. (3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入参数 b;同理如果已知截距b,只需引入参数k.
【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以l的斜率 k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=-2,由 斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.
【延伸探究】
1.(变换条件)若将典例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”, 其他条件不变,又如何求解?
【解析】1.由题意可知,kl1=2a-1,kl2=4.因为l1⊥l2,所以4(2a-1)=-1,
解得a=3 .故当a=
8
83时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直.
答案: 3
8
2.因为l1∥l2,所以a2-2=-1,且2a≠2,解得a=-1;所以a=-1时两直线平
行.
答案:-1
1 3
x
的倾斜角的2倍,求这条直线l1的点斜式方程.
【解题探究】1.典例1中平行于y轴的直线的斜率存在吗? 提示:平行于y轴的直线的斜率不存在,则过点(-5,2)且斜率不存在的 直线方程为x=-5. 2.典例2中逆时针旋转90°后得直线l的倾斜角为多少? 提示:直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°,逆时针旋转90°后直线l 的倾斜角为135°,所以直线l的斜率为-1.
垂直于直线MN,因此直线l的倾斜角为90°,又直线l过点P(2,-3),所以
直线l的方程为x-2=0,即x=2.
类型二 求直线的斜截式方程 【典例】(2015·常德高一检测)已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方 程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程. 【解题探究】由直线l1的方程y=-2x+3,能得出此直线的斜率为多少吗? 由l2的方程y=4x-2,可知此直线在y轴上的截距为多少? 提示:直线l1的斜率为-2,直线l2在y轴上的截距为-2.
【延伸探究】
1.(变换条件)若将本题中的“直线l与直线l1:y=3x+6在y轴上有相同的
截距”,改为“截距互为倒数”,其他条件不变,又如何求直线l的方程?
【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,所 以直线l的斜率为-3,在y轴上的截距为 1 .由斜截式可得直线l的方程
6
为y=-3x+ 1 .
2
所以l:y= 1x-4,即x-2y-8=0.
2
【方法技巧】两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2, (1)若l1∥l2,则k1=k2,此时两直线与y轴的交点不同,即b1≠b2;反之 k1=k2且b1≠b2时,l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2. (2)若l1⊥l2,则k1·k2=-1; 反之k1·k2=-1时,l1⊥l2. 所以有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
A.y=2x+7
B.y=2x-7
C.y=-2x+7
D.y=-2x-7
【解析】选A.由直线的点斜式方程可得:y-1=2(x+3),即y=2x+7.
3.直线l的点斜式方程是y-2=-2(x+3),则此直线的斜率等于 ( )
A.3
B.-3
C.2
D.-2
【解析】选D.由直线的点斜式方程的形式可知该直线的斜率为-2.
3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程
【知识提炼】 1.直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式
斜截式
已知 条件
点P(x0,y0)和_斜__率__k_
斜率k和直线在y轴上的截距_b_
图示
方程 形式
适用 条件
点斜式 y-y0= _k_(_x_-_x_0)_
斜截式 _y_=_k_x_+_b_
斜率存在
【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l⊥l1,所以l的斜
率k=
1 k1
1. 2
由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=
-2,由斜截式可得直线l的方程为y= 1 x-2.
2
2.(变换条件)若将典例中“且与l2在y轴上的截距相同”改为“且与l2 在y轴上的截距互为相反数”,又如何求解? 【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以l的斜率 k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=2,由 斜截式可得直线l的方程为y=-2x+2.
【典例】1.(2015·鄂州高一检测)若直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:
y=4x-3垂直,则a=
.
2.若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a=