考虑每一次索赔额的无索赔折扣模型
一类索赔相依二元风险模型的破产概率问题研究
轻 尾 分 布 时 的 破 产 概 率
注 意到 上述模 型 （ ． ） 任何 索赔 时刻 司能 有 三 种 索赔 ： 索赔 、 当前 主 索赔 引起 的 副 ２１在 主 由
索赔 、 先前 发生 的主 索赔 引起 的副 索赔 ． 了处 理 问题 的方 便 ， 模 型 （ ． ） 一 下 变 动 ， 有 为 将 ２ １做 即
是 ， 模 型 的风 险赢余 过程 可表示 为 ： 该
Ｉ ｔ ｖ ） （ （） ￡
＝“ ｃ一∑Ｘ 一∑ ， ＋ｔ ｉ
ｌ ｌ ＝ ｉ＝１
（． ２） １
其中 ｕ ０ ＞ 为保险公司的初始资本赢余 ； ＞ ｃ ０为保险人司保费收入率 ； ｔ表示 （ ，］ Ｎ（） ０ ｔ时间段 内发生 的 主索赔 次数 ， 是参数 为 ＞ ０的齐次 Ｐ ｉ ｏ ｏ ｓｎ过程 ； ｔ表 示 （ ， ］ 间段 内发 生 的 副 ｓ Ｍ（ ） ０ ｔ时
第２ 期
张
冕， 高
珊： 一类索赔相依二元风险模 型的破产 概率 问题 研究
一
１３ 一 ３
索赔次数 ， ｛ ｝ 、 ｝ 、 （ ） 且 置 １ ｛ Ｎ ｔ相互独立 ．
为保证 保 险公 司运行 上 的安全 ， 文假定 ： 本
Ｃ
＋
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．
（ ．） ２ ２
令 （ ） 示初 始赢 余为 “时保 险公 司的最终 破 产概 率 ， Ｍ表 即
Ｊ０
ｒⅡ十 ｃ ￡
（ ＋ Ａ一，ＦＹ Ｍ ｃ ，ｄ（） ）
ｒｕ＋ ｃ △
＋ Ａｐ ａ ｏＩ
Ｊ ０
（ ＋ Ａ一，Ｆ Ｇｙ ＋ ＡＯ 一 ） ｕ ｃ ，ｄ＊ （） ａ （ ｐＩ ） ［
Ｊ０ Байду номын сангаас
索赔计数相依风险模型
了人身保险和车险 ， 在一次交通事故 中， 车险的索赔有可能引发人身
险 的理 赔 ． 文 研究 了相 应 模 型 的生 存 概 率 的微 积 分 方 程 并得 到 了 本 索赔额 服从 指数 分布 时 的生存概 率 的精确 表达 式．
１ 模 型的建立
Ｍｏ ｅ ｓａ ｌｓ ｄ ｌｅ ｔｂ ｉｈｍｅ ｔ ｎ
２５ ９
（ ）＝Ｐ（ ｔ＞０ Ｕ ｔ Ｍ ， （ ）＜０Ｉ （ ）＝Ｍ ， 生存 ｕ ｏ ）则 概率为 （ ） 且 （ ） ＝１一 （ ） Ｍ， “ “．
ｃ＇）（ ＋）（ 一 Ｊ （ｅ ｔ ¨ ｘｄ一 ４ｕ＝ Ａ Ｍ Ａ ￣ｘｘ 一 一）￣ ５ Ａ ） （ ）ｐ （ ｔ ｆ （ （ ｅ ｛ （ 一 ） ｘ （） — ） ｐ＿ “ ｝ ．５ ） ｘ ｄ
考 虑 一 类 风 险模 型 ， 含 了 两 种 索 赔 ： 索赔 和 它 引 起 的副 索 包 主 赔 ． 相互独 立 同分布 的 随机变量 序列 ｛ ；≥１ 表 示 主索 赔 ， 表示 设 ｉ ｝ 置
第ｉ 次索赔 额 ， 其均 值和分 布 函数分 别 为 和 Ｆ ・ ； （ ） 副索赔 用均 值和 分 布 函数分别 为 和 Ｇ ・ 的非 负 独立 同分 布 随机 变 量序 列 ｛ ；≥ （） ｉ １ 来表 示 ， 风 险模 型 的赢余 过程 为 ｝ 该
一
０ 引 言
Ｉ ｔｏ ｕ ｔｏ ｎ ｒ ｄ ｃｉｎ
风 险 理 论 中通 常 用 经 典 风 险 模 型 来 描 述 保 险 公 司 的盈 余 过
程 ， Ｊ大部分风险模型都建立 在索赔计数过 程与索赔额 以及索赔 额
本身 相互 独立 的情 况下 ． 随着 保 险 理论 的发 展 ， 们 开始 研 究 索赔 额 人 或 索赔计 数过 程 相关 情 况 下 的风 险模 型 ， 即将 经典 风 险模 型 推 广 至 相依 风 险模 型 ． ａｇ等 对 一 类 索 赔计 数 相 依 的二 维 风 险模 型 进行 Ｄｎ 了分 析 ， 到 了生存 概率 的偏微 分方 程并 用递 归方 法求 解 ． ｕｎ等 Ｊ 得 Ｙｅ 研究 了一类 索赔 额 独 立 索赔 计 数 相关 的 二 项 风 险模 型． 冕 等 将 张 主副 索赔 相依 的离散 时 间的风 险模 型推广 到连 续 时间情 形．
基于GAM_Tweedie模型的车险定价研究
基于GAM_Tweedie模型的车险定价研究摘要：广义线性模型作为车险费率厘定的主流方法，其假设协变量的影响为预测函数的线性形式，但在实际的情况下，许多对索賠频率、索賠强度或纯保费的影响因素不仅仅是表现成线性形式的，单纯地用线性估计会造成一些变量的不显著而丢失重要影响因素。
本文以一组汽车保险损失数据为样本，建立Tweedie广义加法模型，通过与Tweedie广义线性模型对比，表明Tweedie广义加法模型可以更好的解释各因素对索赔额的影响。
关键词：广义线性模型，车险费率厘定，Tweedie分布，广义加法模型一、引言车险定价实则是对索赔频率、索赔强度或纯保费进行预测。
在车险定价实务中，经常假设索赔频率与索赔强度相互独立，并分别建立索赔频率和索赔强度的广义线性模型。
在独立的假设下，可以把索赔频率与索赔强度的预测值相乘从而求得纯保费的预测值。
这种方法简单易行，在非寿险精算实务中得到广泛的应用，但其忽略了索赔频率与索赔强度之间可能存在的相依关系，从而造成预测的偏差。
而在纯保费的预测中，主要是应用Tweedie广义线性模型。
Tweedie广义线性模型，是假定保单的累积赔付额服从Tweedie分布，对赔付额的均值函数建立回归模型。
其要求协变量的影响为预测函数的线性形式，但在实际的情况下，许多对纯保费的影响因素不仅仅是表现成线性形式的，如空间协变量，大多数情况下其对响应变量均值函数的影响是非线性的，如果单纯地用线性估计会造成一些变量的不显著而丢失重要的影响因素。
为了更好的拟合数据，从而有必要对其进行优化推广，在广义线性模型中纳入平滑预测项，将其推广到广义加法模型。
从线性和非线性两个方面去分析各因素对预测函数不同的影响程度。
本文以一组汽车保险损失数据为样本，建立Tweedie广义加法模型，利用R软件对模型的参数进行估计检验。
通过与Tweedie广义线性模型对比，表明Tweedie 广义加法模型可以更好的解释各因素对索赔额的影响，从而改进了传统广义线性模型对纯保费的预测精度。
保险产品设计方案的数学模型
保险产品设计方案的数学模型
保险产品设计方案的数学模型可以通过以下方式进行建模：
1. 风险评估模型：通过搜集和分析相关数据，建立风险评估模型，以量化被保险对象的风险水平。
该模型可以考虑被保险对象的个
人属性、健康状况、职业风险等因素，并根据统计方法和概率理论进
行风险评估。
2. 保险费率计算模型：根据风险评估结果和保险公司的盈利目标，建立保险费率计算模型。
该模型可以考虑被保险对象的风险水平、保险期限、保额等因素，以确定合理的保险费率。
3. 理赔概率模型：通过历史理赔数据和统计分析方法，建立理
赔概率模型，用于评估被保险对象在不同情况下发生理赔的概率。
该
模型可以考虑被保险对象的风险暴露时间、保险期限、保额等因素，
并结合理赔数据分析进行概率估计。
4. 赔付额度计算模型：根据保险合同的约定和法律规定，建立
赔付额度计算模型，用于计算在不同情况下的赔付额度。
该模型可以
根据理赔金额、保险责任、保险金比例等因素，结合保险合同条款进
行计算。
5. 保险产品利润模型：结合以上模型，建立保险产品利润模型，用于评估保险产品的盈利能力和可持续性。
该模型可以考虑保险公司
的经营成本、赔付成本、保险费收入等因素，以确定保险产品的定价
和盈利水平。
以上数学模型可以通过统计学方法、概率论、数理统计等数学工
具进行建模和计算，并可以根据实际情况进行调整和优化。
考虑索赔额的NCD系统平稳分布研究
作 者 简 介 ： 建 标 （ ９ ２ ） 男 ， 徽 淮 南 人 。 士 研 究生 ． 张 １８ 一 ， 安 硕
通 讯 作 者 ： 传 玉 （ ９ ４ ） 男 ． 徽 芜 湖 人 ． 教 授 ， 导 王 １６ 一 ， 安 副 硕
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第 ２ 卷第 ｌ ３ 期
２０ ０ ８年 ３月
安
徽
工
程
科
技
学 院
学
报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＡｎ ｕ ｉｅｓｔ ｆＴｅｈ ｏｏ ｙ ａ ｄＳ ｉｎｅ ｏ ｒ ａ ｈ ｉＵｎｖ ｒｉ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｃｅ ｃ ｏ ｙ
ＶＯ． ． ｏ １ ２３ Ｎ ．１ Ｍ ａ ．． ０８ ｒ ２０
摘 要 ： 于 现行 的 ＮＣ 由 Ｄ系 统 仪 考 虑索 赔 次 数 而 没 有 考 虑 索赔 额 度 ， 而 存 在 着很 大 的 局 限 性 ． 立 考 虑 索 赔 因 建 额 度 的 一 类 ＮＣ 系 统 ． 类 Ｎ Ｄ 系统 是 基 于 索 赔 额 函数 而 建 立 的 。 且 存 在 唯 一 的平 稳 分 布 ． Ｄ 该 Ｃ 并 此外 ， 给 出 还 了求 解 这 一 平 稳 分 布 的方 法 。 给 出 了一 个 实 例 ． 并 关 键 词 ： Ｄ 系统 ； 稳 分 布 ； 赔 额 函数 ＮＣ 平 索
的基本 思路 是 ： 驾驶者在 上一保 险年度 不发生 索赔 ， 若 则保险 公司在 续保年 度对其 应缴 纳的保 费实施某 种 程度 的优惠． 目前 的 ＮＣ Ｄ系统仅 考虑索 赔次数 ［引， １ 理论 研究 尚处 起步 阶段 ， 研究 也不够成 熟． １ 且
１ 仅 考 虑 索赔 次 数 的 ＮＣ 系 统 的描 述 Ｄ
rfm模型 常见决策方法
RFM模型是一种用于评估客户价值和客户利润创收能力的客户分析方法。
其中，R（Recency）表示客户最近一次购买的时间距今有多远，F（Frequency）表示客户在最近一段时间内购买的次数，M（Monetary）表示客户在最近一段时间内购买的金额。
通过RFM模型的这三个要素，可以对客户进行分类和细分，并制定相应的决策和营销策略。
常见的决策方法包括：
1. 识别优质客户：通过RFM模型分析，可以识别出具有高RFM分值的优质客户，这些客户是企业的忠实客户，能够为企业创造更多的价值和利润。
对于这些客户，企业可以提供更加个性化的服务和优惠，以增加其忠诚度和满意度。
2. 衡量客户价值和客户利润创收能力：通过RFM模型分析，可以衡量客户的价值和客户利润创收能力，从而为企业制定更加科学的营销策略提供数据支持。
企业可以根据客户的价值和利润创收能力，制定更加精细化的营销策略，提高客户的购买意愿和购买金额。
3. 制定个性化营销策略：通过RFM模型分析，可以制定更加个性化的营销策略，针对不同类型客户的特点和需求，采取不同的营销手段和方式。
例如，对于低RFM分值的客户，企业可以通过促销活动等方式提高其购买意愿和购买金额；对于高RFM分值的客户，企业可以提供更加个性化的服务和优惠，以增加其忠诚度和满意度。
4. 优化产品和服务：通过RFM模型分析，可以了解客户的购买行为和偏好，从而为企业优化产品和服务提供数据支持。
企业可以根据客户的反馈和需求，改进产品和服务的质量和功能，提高客户的满意度和忠诚度。
总之，通过RFM模型分析，可以帮助企业更好地了解客户需求和行为，制定更加科学和个性化的营销策略和产品策略，提高企业的竞争力和市场份额。
车险费率厘定的索赔概率预测模型及其比较分析
车险费率厘定的索赔概率预测模型及其比较分析卢志义;蔡静【摘要】As extensions of classical linear model,Generalized linear models and Generalized additive models recently have been widely used in non-life actuarial science.In this paper,by using eight variables including gender and vehicle type as the rating factors,the probability of claim is modeled applying Generalized linear models and Generalized additive models respectively.Furthermore,the estimation effects between the two models are compared by applying the data of Wasa insurance company of Swedish.It is shown that Generalized additive models does not has clear advantage in fitting the data of automobile insurance because of the existence of more discrete covariables.Therefore,Generalized linear models should be adopt in insurance practice when there are more discrete risk factors.%广义线性模型和广义可加模型作为经典线性模型的扩展,近年来在非寿险精算中得到了广泛的应用.本文在对2种模型进行简介的基础上,将驾驶员的性别、车型等8个变量作为费率因子,分别建立了车险索赔发生概率估计的广义线性模型和广义可加模型,并选取瑞典瓦萨(Wasa)保险公司的车险数据对2种模型的估计效果进行比较分析.结果表明,对于离散型费率因子占绝大多数的车险数据,广义可加模型并不具有明显的优势.因此,在车险费率厘定实务中,若离散型费率因子较多,应选择结构相对简单的广义线性模型.【期刊名称】《河北工业大学学报》【年(卷),期】2017(046)003【总页数】7页(P56-62)【关键词】广义线性模型;广义可加模型;索赔概率;Logit联结函数;比较分析【作者】卢志义;蔡静【作者单位】天津商业大学理学院,天津300134;天津商业大学理学院,天津300134【正文语种】中文【中图分类】F224.7;O212对非寿险产品进行分类费率厘定的传统方法包括单项分析法、最小偏差法以及多元回归模型．单项分析法是最早出现的分类费率模型，属确定性模型，其优点是直观易懂，计算方便，而其主要缺陷是当各个费率因子存在相依关系时，单项分析法得到的结论不可靠．最小偏差法最早是由Bailey R和Simon L于20世纪60年代首先提出的[1]，包括边际总和法、最小二乘法、最小χ2法、最大似然法等，其思想是设定一个目标函数，并在目标函数达到最优时得到相对费率的估计．最小偏差法可通过迭代公式求解，简便易行，因而也称为迭代法．最小偏差法虽然克服了单项分析法的不足，但和单项分析法一样，仍然缺少一个完整的统计分析框架对模型进行分析和评价[2]．作为统计模型，多元回归模型克服了以上2种方法的缺点，在非寿险分类费率厘定中得到了较多的应用，但其严格的假设条件通常无法满足[2-3]．1972年，Nelder对经典线性回归模型作了进一步推广，建立了统一的理论和计算框架，对回归模型的应用产生了重要影响，这种新的统计模型称作广义线性模型．与古典线性模型相比，广义线性模型将因变量的分布假设从正态分布扩展到包括正态分布在内的指数型分布，其方差随着均值的变化而变化，解释变量通过线性关系对因变量的期望值的某种变换产生影响．由于广义线性模型的模型假设满足了保险数据中特别是非寿险数据中非对称分布、非常值方差、非线性影响的典型特征，因而从其诞生起，便被广泛地用于包括费率厘定、准备金估计等非寿险精算的各个领域．广义线性模型理论的建立，极大地推动了以统计方法为基石的精算学的发展．近年来，广义线性模型在许多国家的保险实践中得到了广泛的应用，并逐渐成为行业标准模型．McCullagh和Nelder在文献[4]中首次对广义线性模型进行了全面的总结，并将其应用于一组汽车保险损失数据的分析．文献[5-7]介绍了广义线性模型及其在精算中的应用．文献[8]是最早讨论广义线性模型在非寿险费率厘定中应用的文献．文献[9]详细讨论了广义线性模型在费率厘定中的应用问题，该文分别讨论了对索赔概率（Claim frequency）和索赔额度（Claim severity）进行估计时，因变量的分布及联系函数（Link function）的选取等问题．文献[10]是关于广义线性模型在非寿险定价中应用的第1部专著．较早的文献中，都是假设索赔频率与索赔额度相互独立．在此假设下，纯保费就是索赔频率与索赔额度期望的乘积．大部分模型都对索赔频率与索赔额度分别建立模型进行估计，而文献[11-12]则通过建立基于Tweedie类分布的广义线性模型对总赔付额进行估计，但此类模型隐含了索赔频率与索赔额度之间是独立的假设．然而，在实务中，许多情况下索赔频率与索赔额度是不独立的．为了在模型中反映二者之间的相依性，学者提出了2类模型．一类是在建立平均索赔额的估计模型中将索赔次数作为解释变量而反映二者之间的相依关系，此方面的研究见文献[13-16]；另一类方法则分别对索赔频率与索赔额度建立模型，然后通过Copulas将二者联结起来，如文献[17-18]．文献[19]对以上2种方法的估计进行了对比分析．广义线性模型是经典线性回归模型的延伸和扩展，它将线性模型中的分布从正态分布推广到指数分布族，从而使模型的适用条件和范围得到了极大的扩展．然而，广义线性模型的一个主要缺陷是，其解释变量是以线性预测量的形式出现的．对于连续型的解释变量，当其对因变量存在非线性效应时，只有对其进行了适当的变换，才能使其非线性效应得到体现．但是，采取何种变换才能反映出这种效应是一个较难解决的问题．可加模型也是经典线性回归模型的扩展，它将线性回归模型中的预测变量的参数形式改为非参数的形式．可加模型在预测变量的效应上是可加的，为分别检验预测变量的效应提供了条件，并且克服了高维度带来的问题．广义可加模型是广义线性模型与可加模型的结合，它集成了二者的优点，因此是处理非线性关系的一种更加灵活而有效的工具．广义可加模型是由Hastie和Tibshirani于1990年提出的，文献[20]对广义可加模型进行了详细的介绍．文献[10]对广义可加模型在非寿险费率厘定中的应用进行了讨论．为了同时在模型中纳入离散型、连续型、分类变量以及空间效应因子，文献[21]采用更加灵活的Bayesian广义可加模型分别对索赔频率和索赔额度进行了预测．从经典线性模型扩展到广义线性模型，是非寿险费率厘定的一大进步．而广义可加模型又在广义线性模型的基础上，引入了非参数光滑技术，从而使模型的拟合具有更小的偏差和更大的灵活性．但是，对于车险费率的厘定，由于其风险因子大多是分类变量，使得广义可加模型的优势并不能得到充分发挥．因而，一个自然的问题是，在非寿险分类费率厘定中，广义可加模型是否比广义线性模型具有更大的适用性？本文拟在实证分析的基础上对这一问题进行探讨．由于对索赔概率和索赔额度分别建立的广义线性（可加）模型在模型结构上基本相同，因而本文只对索赔概率的广义线性模型和广义可加模型的估计效果进行讨论．本研究的着眼点在于不同模型预测效果的比较分析，因而在研究视角与研究内容上与前述文献有着本质的区别．本文在对广义线性模型和广义可加模型进行介绍的基础上，采用瑞典瓦萨（Wasa）保险公司的车险索赔数据，建立了索赔发生概率的广义线性模型和广义可加模型，并对2种模型进行了比较分析．研究表明，与广义线性模型相比，虽然对于连续型变量的非线性部分的拟合，广义可加模型具有其自身的优点，但对于离散型费率因子占绝大部分的车险数据，广义可加模型并没有特别明显的优势．因此，根据模型的简约性原则（Principle of parsimony.简约性原则是指在统计建模中，应通过较少的假设和较少的变量达到较大的解释和预测能力[22]）.在车险费率厘定实务中，若离散型费率因子较多，应选择结构相对简单的广义线性模型．1.1 广义线性模型广义线性模型假设因变量服从指数型分布族，其方差随着均值的变化而变化，解释变量通过线性相加关系对因变量的期望值的某种变换产生影响．广义线性模型包括3个部分.1）随机成分，即因变量Y或误差项的概率分布．因变量Y的每个观察值yi相互独立且服从指数型分布族中的某一分布．指数型分布族的概率密度函数可以表示为其中：yi表示第i个观察值；a（φ），b（θi），c（yi，φ）为已知函数．2）系统成分，即解释变量的线性组合，表示为η=β1x1+β2x2+…βpxp．系统成分与古典线性模型没有区别．3）联结函数，联结函数g单调且可导，它建立了随机成分与系统成分之间的非线性关系，即g（μ）=η或E（Y）=μ=g-1（η）．上式表明，在广义线性模型中，对解释变量的线性组合（ηi）通过函数g-1的变换之后即得对因变量的预测值．常用的联结函数包括恒等函数、对数函数、指数函数、logit函数等[4]．显然，在正态分布假设和恒等联结函数下，广义线性模型等价于古典线性回归模型．需要强调的的，广义线性模型采用的是线性结构来描述解释变量对连结函数作用后的响应变量均值的影响，它虽然也体现了二者之间的非线性关系，但其函数形式有限．当解释变量以更加复杂的非线性影响形式存在时，就会极大地限制广义线性模型的应用，特别是当解释变量为连续型变量时．1.2 广义可加模型广义可加模型是广义线性模型的扩展，它保留了广义线性模型的基本框架，只是在模型的参数估计中植入了非参数光滑技术，从而使部分解释变量的影响表示成非参数函数形式．与广义线性模型相类似，广义可加模型也是由随机部分、系统部分和联结函数3部分组成，具体形式如下：设Y为反应变量，服从指数族分布，X1，X2，…，XP为解释变量，广义可加模型一般可表示为如下形式：其中：μ=E（Y|X1，…，XP）；g（·）是联结函数；sj（·）是变量Xj的非参数光滑函数，并且假设sj（·）的二次导数存在且连续．实务中比较常用的模型是光滑函数可以采用各种类型的函数，如光滑样条函数、局部回归函数、自然三次样条函数、B－样条函数和多项式函数等．实务中常采用多项式函数反映非线性效应．但多项式函数的缺陷是当其次数较小时，模型不能灵活地反映数据的变化趋势；而次数较大又会导致估计的不稳健，特别是对于xj左右两边的极端点．因而最常用的就是样条函数．广义可加模型不仅体现了解释变量的线性影响，也包含了非线性影响，并且对解释变量的具体函数形式不作具体规定，体现了模型的灵活性．光滑函数sj（xj）可以根据实际情况采用任何形式，一般可使用光滑样条函数来进行拟合．对于光滑样条函数来说，一般采用惩罚最小二乘法来求解，也可以通过惩罚极大似然法求解．光滑样条的求解结合了粗糙度惩罚的思想，即找到合适的sj （xj）使得惩罚最小二乘函数或者惩罚极大似然函数最小化．其数学形式为：其中：λ表示光滑参数；n表示光滑节点数代表光滑度，当λj较大时，光滑度相对权重较大，拟合的曲线较平滑，反之，曲线较粗糙．2.1 数据及变量本文采用文[10]中的数据进行实证分析，该数据是1994-1998年瑞典瓦萨（Wasa）保险公司的车险数据．数据包含64 548个观测值，在观察期间，至少发生一次索赔的有670个，其中有27个索赔次数为2次，最大索赔额为365 347．数据包括9个变量，每个变量的含义如表1所示.文[8]采用此数据建立广义线性模型对索赔次数和索赔强度进行估计，并得出相对费率．本文分别建立广义线性模型和广义可加模型对索赔概率进行估计，并对2种模型的拟合效果进行对比分析．2.2 索赔概率的预测模型为估计索赔概率，本文仍采用常用的Logistic回归模型，即假设因变量服从二项分布，使用Logit联结函数．为了得到良好的估计效果，对于连续型费率因子，可采用多项式回归的思想，将费率因子的高次项加入线性预测部分．对于本文的数据，通过绘制散点图，发现索赔频率的logit函数与年龄呈非线性关系，于是，根据散点图，考虑将年龄的二次方项加入线性预测量，建立如下广义线性模型：采用SAS的GENMOD过程进行分析，输出结果见表2～表4.由表3和表4可知，7个费率因子变量总体效应是显著的，且各变量的等级因子大部分都通过了参数的显著性检验．以下采用广义可加模型对索赔概率进行拟合．同广义线性模型相同，在用广义可加模型拟合索赔发生概率时，假设因变量服从二项分布，使用Logit联结函数．考虑将驾驶员的年龄、性别、所在区域、车型、车龄、折扣以及保单持有期作为解释变量，索赔概率作为因变量，建立如下模型：其中，s（·）表示光滑函数．利用SAS软件进行数据拟合，程序运行结果见表5～表7.由此可知，所建立的广义可加模型的非参数部分的拟合优度较好，大部分分类变量的等级因子是显著的．2.32 种模型的比较分析考虑到2种模型在模型评价指标上的差异性和非一致性，本文主要采用模型的偏差（Deviance）对所建立的2种模型进行评价和比较．本例中，广义可加模型的偏差为6 659.04，而广义线性模型的偏差为6 699.54，由此可知广义可加模型的拟合结果稍好．这说明，较广义线性模型而言，广义可加模型的非参数特性增加了模型的灵活性和适应性，具有较好的拟合效果和更大的适用范围．但是，从数据可以看出，两模型的偏差并无明显的差别，因而广义可加模型比广义线性模型并未体现出明显的优势．事实上，广义可加模型也有其局限性，在样本量不变的情况下，当模型中的解释变量较多时，广义可加模型会因为“维度的灾难（curse of dimensionality）”而使方差急剧增加，从而导致拟合效果的下降．另外，虽然对连续型解释变量的非线性部分来说，广义可加模型具有更好的拟合优度和更大的灵活性．但是，车险数据大都比较复杂，既有只取少数几个值的分类变量，也有连续型的变量，并且一般情况下分类变量较多．对分类变量占绝大多数的车险数据进行拟合，采用对于连续变量非线性拟合有极强能力的广义可加模型并不是最佳的选择．因而，在实务中，应将2种模型结合使用，互相映衬．如可以采用两阶段法进行建模，即在第1阶段采用广义可加模型对各费率因子进行探索性研究，找出对具有非线性影响的费率因子及其影响形式；第2阶段，将不同类型（线性影响和非线性影响）的费率因子以不同的形式纳入模型，建立广义可加模型，并将其与广义线性模型的拟合效果进行对比，在兼顾模型复杂程度与拟合效果的基础上选择较好的模型．【相关文献】[1]孟生旺，刘乐平．非寿险精算学[M]．第2版.北京：中国人民大学出版社，2011．[2]孟生旺．广义线性模型在汽车保险定价中的应用[J]．数理统计与管理，2007，26（1）：24-28．[3]孟生旺．非寿险定价[M]．北京：中国财政经济出版社，2011．[4]McCullagh P，Nelder J．Generalized linear models[M]．London：Chapman and Hall，1983．[5]De Jong P，Heller G．Generalized linear models for insurance data[M]．New York：Cambridge University Press，2008．[6]Haberman S，Renshaw A E．Generalized linear models and actuarial science[J]．The Statistician，1996，45：407-436．[7]卢志义，刘乐平．广义线性模型在非寿险精算中的应用及其研究进展[J]．统计与信息论坛，2007，22（4）：26-31．[8]Brockman M J，Wright T S．Statistical motor rating:making effective use of yourdata[J].Journal of the Institute of Actuaries，1992，119：457-543．[9]Renshaw A E．Modeling the claims process in the presence of covariates[J]．ASTIN Bulletin，1994，24：265-285．[10]Johansson B，Ohlsson E．Non-Life insurance pricing with Generalized Linear Models[M]．Springer，2010．[11]JorgensenB，deSouzaMCP．FittingTweedie’scompoundPoissonmodeltoinsuranceclaimsdata[J]．Scan dinavianActuarialJournal，1994，1：69-93．[12]Quijano-XacurOA，GarridoJ．Generalisedlinearmodelsforaggregateclaims:ToTweedieornot[J].EuropeanActuar ialJournal，2015，5（1）：181-202．[13]Frees E W，Wang P．Copula credibility for aggregate loss models[J]．Insurance Mathematics and Economics，2006，38（2）：360-373．[14]Gschlubl S，Czado C．Spatial modelling of claim frequency and claim size in non-life insurance[J]．Scandinavian Actuarial Journal，2007，3：202-225．[15]Frees E W，Gao J，Rosenberg M A．Predicting the frequency and amount of health care expenditures[J]．North American Actuarial Journal，2002，15（3）：377-392．[16]Garrido J，Genest C，Schulz J．Generalized linear models for dependent frequency and severity of insurance claims[J]．Insurance:Mathematics and Economics，2016，70：205-215．[17]Czado C，Kastenmeier R，Brechmann E C，Min A．A mixed copula model for insurance claims and claim sizes[J]．Scandinavian Actuarial Journal，2012，4：278-305．[18]Kramer N，Brechmann E C，Silvestrini D，et al．Total loss estimation using copula-based regression models[J]．Insurance:Mathematics and Economics，2013，53（3）：829-839．[19]Shi P，Feng X，Ivantsova A．Dependent frequency-severity modeling of insurance claims[J].Insurance:Mathematics and Economics，2015，64：417-428．[20]Wood S．Generalized Additive Models：an introduction with R[M]．Chapman&Hall，2006．[21]Denuit M，Lang S．Non-life rate-making with BayesianGAMs[J]．Insurance:Mathematics and Economics，2004，35（3）：627-647．[22]Spirer H F，Spirer L．Misused Statistics[M]．2nd edition.CRC Press，1998．。
2021精算师考试《精算管理》真题模拟及答案(2)
2021精算师考试《精算管理》真题模拟及答案(2)1、资产负债表中的“存货”项目，应（）。
（单选题）A. 直接根据“库存商品”科目的期末贷方余额填列B. 根据“库存商品”科目的期末借方余额和“原材料”科目的期末借方余额计算填列C. 根据“原材料”、“库存商品”、“委托加工物资”、“周转材料”、“在途物资”、“发出商品”、“材料成本差异”等总账科目期末余额的分析汇总数填列D. 根据“原材料”、“库存商品”、“在途物资”、“发出商品”、“材料成本差异”等总账科目期末余额的分析汇总数，减去“存货跌价准备”科目余额后的净额填列E. 根据“存货”明细账科目余额分析计算填列试题答案：D2、在年龄区间（x，x+1]上，当0≤s≤0.6时，s p x=e-0.2s；当0.6＜s≤1时，s p x=1-0.2s·q x。
如果n x=90，并且有两次死亡分别发生在（x+0.45）与（x+0.85）处，则q x的极大似然估计为（）。
（单选题）A. 0.0112B. 0.0135C. 0.0143D. 0.0154E. 0.0161试题答案：A3、（二）甲公司为增值税一般纳税人，适用的增值税税率为13%，原材料采用实际成本法核算，发出材料采用先进先出法计价。
2019年6月初，M材料库存50吨，金额为36万元，甲公司6月份发生的与M材料有关的业务如下:(1)5日，购入M材料100吨，以银行存款支付价款60万元，增值税税额7.8万元，材料尚未收到，10日该批M材料运达企业并验收入库。
(2)12日，销售部门领用M材料60吨;13日,行政管理部门领用M材料10吨。
(3)15日，发出M材料40吨委托乙公司加工，以银行存款支付不含税运费2万元，增值税税额0.18万元。
(4)25日，因自然灾害导致M材料毁损10吨，根据保险合同规定，应由保险公司赔偿2万元，其余损失由甲公司承担。
(5)30日,由于市场价格下跌，预计结存M材料的可变现净值为15万元，期初未计提存货跌价准备。
销售费用分析评估模型汇总下
销售费用分析评估模型汇总摘要销售费用是企业中不可避免的一项开支，对于企业的盈利能力和竞争力有重要影响。
因此，对销售费用进行分析评估是企业管理中的关键任务之一。
本文将针对销售费用分析评估进行总结和归纳，提出了几种常用的销售费用分析评估模型，包括ROI模型、销售费用占比模型以及销售额-销售费用关联模型，并对它们的应用范围、优缺点等进行了讨论。
1. ROI模型ROI（Return on Investment）模型是一种常用的销售费用分析评估模型，用于衡量销售费用对企业盈利能力的影响。
ROI模型的计算公式如下：ROI = (销售利润 - 销售费用) / 销售费用ROI模型的优点在于简单直观，能够快速评估销售费用的回报情况。
通过计算ROI，可以判断投入销售费用是否值得，并对销售策略进行优化调整。
然而，ROI 模型忽略了时间因素和市场竞争等外部影响因素，可能导致评估结果不准确。
2. 销售费用占比模型销售费用占比模型是一种常见的销售费用分析评估模型，用于评估销售费用在总成本中的比重。
该模型的计算公式如下：销售费用占比 = 销售费用 / 总成本销售费用占比模型能够帮助企业了解销售费用在总成本中的比重，进而判断企业对销售的重视程度。
通过比较销售费用占比的变化趋势，可以评估销售费用管理的效果，并进行相应的调整。
然而，销售费用占比模型的局限性在于只考虑了销售费用在成本中的比例，而没有分析销售费用对盈利能力的具体影响。
3. 销售额-销售费用关联模型销售额-销售费用关联模型是一种综合考虑销售费用和销售额之间关系的评估模型。
该模型通过统计分析历史销售数据，建立销售额与销售费用之间的数学模型，进一步预测和评估销售费用的合理水平。
常见的销售额-销售费用关联模型包括线性回归模型、多项式回归模型、神经网络模型等。
销售额-销售费用关联模型的优点在于能够较准确地预测销售费用与销售额之间的关系，并进行决策支持。
通过该模型，企业可以进行预算编制和费用控制，并在不同业务环境下进行灵活的调整。
汽车保险索赔次数双泊松回归模型运用
汽车保险索赔次数双泊松回归模型运用1引言在拟合汽车保险索赔次数的模型中，泊松分布模型是拟合索赔次数的最简单且常用的模型，具有均值与方差相等的特性。
而索赔次数模型往往具有方差大于均值的性质，此时如果继续使用泊松分布模型会低估参数的标准误差，高估其显著性水平，导致多余的解释变量保留在预测模型中，最终导致不合理的保费。
对于此类问题，研究人员通常利用各种不同的混合泊松模型来预测索赔次数。
Ruohonen［1］提出结构函数为三参数伽玛函数的泊松分布，同时用实际损失数据与两参数结构函数泊松模型即负二项模型进行了比较，得到了比较满意的结果。
Panjer［2］运用广义poisson －pascal分布(即Hofmann分布，含三个参数)来建立汽车索赔次数模型，拟合效果也比较理想。
NorisonIsmail和AzizJemain［3］讨论了负二项回归模型和广义泊松回归模型的参数估计及其在索赔频率预测中的应用，而DenuitMichel［4］等人应用负二项回归、泊松－逆高斯回归和泊松－对数正态回归对汽车保险的索赔频率进行了实证研究。
国内关于索赔频率模型的研究主要有孟生旺和袁卫［5］用混合Poisson模型研究了非同质风险的索赔分布。
高洪忠、任燕燕［6］研究了一类更广泛的分布，即GPSJ 类分布，这类分布描述了一次风险事件多种索赔结果的情况。
毛泽春和刘锦蕚［7］分析了免赔额及NCD赔付条件对索赔次数分布的影响，通过比较风险事件与索赔事件的差异引出了一类同质集合保单索赔次数的分布(Pois-son－Gamma)。
毛泽春和刘锦蕚［8］引出了一类指数类混合型索赔次数的分布并研究了其散度(disper-sion)的性质，同时给出了拟合类分布的矩估计方法。
徐昕、袁卫、孟生旺［9］将两参数负二项回归模型推广到三参数情况，并利用新模型对Yip和Yau［10］中的汽车保险损失数据进行了拟合，得到了较好的效果，提出了解决过离散问题的一种新办法。
第二章 个别保单的理赔额与理赔次数模型
(
y
100) 1 exp[ (x exp[(100 ) ]
100)
]
2.1.5 通货膨胀效应
1、通货膨胀率已知为r
•对损失额的影响
设X表示过去时期内损失额, Z表示现在或未来时
期内的损失额, 则两者的关系为Z=(1+r)X。容易计
算得到
FZ
(z)
FX
(
(1
z
r)
)
f Z (z)
1 (1 r)
f
– 注意：损失事件不等于理赔事件，理赔额不等于损失 额
保险公司的理赔过程 （1）发生保险事故，造成财产损失或人身伤亡； （2）被保险人提出索赔，保险公司根据保险事故的实际 发生情况进行理赔。但并不是所有的保险事故都必然引起 索赔，而且保险公司的理赔额也并不总是等于实际的损失 额。
• 记号：
– X表示投保人实际损失额（ground-up loss）。
未定义,
YP
X
d,
L d,
X d dX L
X L
YP的分布容易计算，
FY P ( y) P(Y P y) P( X d y X d )
FX
(d y) FX (d ) , P(X d)
0<y<L-d
1,y L-d
密度函数为
f Y
P
(
y
)
11fX(FdfXX((Ldy))),,y
经计算得到c的期望和方差为1061021110610210399eccdcaca????221062210211106102108152eccdcaca????于是由公式计算得到103991010399eyecex22varvarvar1081510210200001310816yxecexc10816第二节理赔次数的分布?221ab0分布族?定义22设随机变量n的分布列满足
§2Chap 2 理赔额与理赔详解
324
dx 3
324
dx
0
0
(3 x)5
0
(3 x)5
0
(3 x)5
324 3 (3
x)3
|0
324 4 (3
x)4
|0
43
1
另法：
f (x)
324 (3 x)5
x 1
4 34 (3 x)41
X ~ Pareto(4,3)
EX 3 1 1 41
0.2
P(a X P( X
t a)
a)
e a
e (t a) e a
1 e t
T ~ E( )
假设人的寿命服从指数分布，则人的寿命活过
岁而没有死亡的话，
继续存活的时间仍服从相同的指数分布
❖2、Gamma分布
性质：（1）当
固定时，
图2-2
密度函数
X ~ Gamma( , )
f (x)
x 1e x
❖ 损失分布
损失次数N 一次损失额X
—离散型随机变量 —连续型随机变量
理赔分布
理赔次数N 一次理赔额Y
完全理赔 部分理赔
§2.2一次理赔额的分布
❖ 一、几种常见的损失分布 ❖ 指数分布 ❖ Gamma分布 ❖ Pareto分布 ❖ 对数正态分布 ❖ Weibull分布
❖1、指数分布
常常表示寿命的分布
0.2 0.001
e ] 0.001x 1000 0
39.9999126.4 166.4
设某责任险的实际损失额具有分布密度函数
fX
(x)
2 (1 200
x ),0 200
x
200
❖例2.3 。保单上规定如果实际损失额高于50元，保险公司将赔偿 损失额高于50元的部分80%,同时还规定了最高赔偿限额为150，
保险公司保险费收取的优化模型
保险公司保险费收取的优化模型摘要目录一问题的提出某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，在这一年内，若客户没有要求赔偿，则参保人可分为0,1,2,3,四类得到相应补助，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。
新客户属于0类，若在一年没有要求赔偿，客户延续其保单时，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。
若客户中途退出保险，则无论何种情况，均退还保险金适当部分。
政府将于下一年实施安全带法规，则受伤司机和乘员将会减少，进而医疗费减少，最终影响我们所需求的保险费数额。
已知每年事故数量不会减少，而死亡的司机会减少40%，医疗费下降范围为20%~40%，以及当年度此保险公司的统计报表。
表1 本年度发放的保险单数表2 本年度的索赔款和2的数据为例验证你的方法。
问题二在给出医疗费下降20%和40%的情况下，同时估算今后5年每年每份保险费的数额。
二问题分析根据我们对保险业的了解，保险公司对保险费的收取取决于多方面的因素，例如，社会经济的发展、医疗费用、事故数量、司机死亡率的变化和维修费的改变等，其中最重要的莫过于保险公司的盈利状况和投保人对于保险费的接受能力。
现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，法规的实施，直接影响一些上述因素的变化，使得公司不得不对保险费的金额作出相应的变化。
首先，安全带法规的实施中受伤司机和乘员数减少，导致医药费下降，死亡人数减少，死亡赔偿费减少，进而使保险费降低，从而参保人数增加三问题基本假设1）四、符号说明五、模型的建立与求解5.1模型Ⅰ的建立与求解对于问题1，主要以验证为主，我们决定建立模型Ⅰ来进行判断，针对模型一我们做出以下模型假设：1）偿还退还总量不变2）保险公司支出不变3）每年的事故数量不变（即得修理费和每个人的索赔次数不变）4）死亡赔偿金不变5）公司运营支出不变5.1.1 原始数据之间的关系5.1.2 下一年的数据分析下一年0类续保人数=0类索赔人数-0类死亡人数+1类降为0类的人数（1类索赔人数-1类死亡人数）+2类降为0类的人数（2类索赔人数-2类死亡人数），即：下一年1类续保人数=0类升为1类的人数(0类总投保人数-0类索赔人数-0类注销人数+0类死亡人数)+3类降为1类的人数（3类索赔人数-3类死亡人数），即：下一年2类续保人数=1类升为2类的人数(1类续保人数-1类索赔人数-1类注销人数+1类死亡人数)，即：下一年3类续保人数=2类升为3类人数（2类续保人数-2类索赔人数-2类注销人数+2类死亡人数）+3类续保人数-3类索赔人数-3类注销人数+3类死亡人数），即：经计算得到实施安全带法规后第一年的数据如下表3 实施安全带法规第一年发放的保单数当司机死亡数减少40％，医疗费用减少x时，可以得到下表表4 实施安全带法规后第一年的索赔款5.1.3 模型Ⅰ的建立与求解以保险公司获益最少，即公司的收支平衡建立模型可以得到保险公司的基本保险金和医疗费用减幅的关系式如下：8.0587y+1325.6x-3865.4=0由于医疗费的减少范围在20%到40%，经过计算可以得到如下结果：表5 医疗费用减少20%～40%范围内各项费用情况下，基本保险费最少应该在446~413元。
第14章 索赔模型与索赔矩阵
2018/11/6
1
14.1索赔模型
索赔费用的构成 索赔费用的一般计算 上级管理费索赔模型
施工效率索赔模型 工期索赔模型 价格调整模型
ห้องสมุดไป่ตู้
2018/11/6
2
索赔费用的构成
(1)人工费 (2)材料费 (3)施工机械使用费 (4)分包费用 (5)工地管理费
1）研究全员劳动生产率的多变量模型，它对因素的量
度包括了对全员劳动生产率和相关因素的统计分析 2）随工作重复次数的增加，工人对工作掌握程度、熟 练程度会得到提高，工作方法也会更科学，相应的劳动 生产率会在一定范围内日益增长
2018/11/6
6
工期索赔模型
1.网络分析法模型：通过分析索赔事件发生前后的网络 计划，对比两种工期计算结果得出工期索赔值，它是一 种科学合理的分析方法，适用于各种索赔事件的工期索 赔计算 2.比例分析法模型：干扰事件常常仅影响某些单项工程、
工程项目数据库(DBl)、工程量及定额数据库(DB2) ，索
赔案例数据库(DB3)和索赔定量计算模型数据库(DB4) 等；其他管理软件所提供数据的配合，如P3 和 Expedition等。
2018/11/6 12
索赔矩阵的应用程序与设想 第一，对于项目管理水平和信息管理水平相对较低的用 户的设想 第二，对于自己已经拥有一定数量较高水平的索赔管理 人员，并且能够建立起较为完备的项目管理信息系统的 用户的设想
第三，在第二步的基础之上，运用专家系统的理论和
成熟的信息技术逐步建立起索赔专家系统的设想
2018/11/6
13
单位工程或分部分项工程的工期，要分析它们对总工期
建模论文
机动车商业保险费与一年中索赔次数及金额关系摘要关键字：保险费奖罚政策散点图机动车辆保险一直都是财产保险中的一个重要部分.随着我国经济的发展,机动车辆在我国的普及率越来越高,机动车辆保险已经成为社会所关注的一个重要险种.站在商家的角度，盈利是最为重要的。
保险公司应该对保险人所要交的保险费用和保险金额及机动车发生事故等因素做出综合的分析，从而根据一系列的因素确定机动车发生事故后，保险公司应赔付的金额。
机动车车辆保险经营的盈亏，直接关系到整个财产保险行业的经济效益，同时为了提高驾驶人员的安全意识，也使交通环境得到改善，我们建模小组将对机动车商业保险费与一种年中的索赔次数及金额进行研究，研究出了一种汽车保险公司在保持一定份额的保险公司使用奖罚系统。
考虑一年中索赔金额、次数及保险费的关系，对于保险人而言，上一年所发生的赔款次数和保险系数是至关重要的。
针对这一年所要缴的保险费而言公司的赔款金额是有上限的。
对于上年的赔款次数及系数我们通过散点式模型确定了函数。
通过采用数学知识与图形的结合我们最终确定模型，用以保险费用，同时增强驾驶员交通意识，保障安全和道路的畅通。
一、问题的重述随着社会经济的快速发展，机动车的数量呈几何级数不断增长，而频频发生的交通事故也使得人们对自己爱车的投保问题引起了重视。
机动车车辆保险在财产保险公司业务量中有着非常重要的作用，机动车车辆保险经营的盈亏，直接关系到整个财产保险行业的经济效益。
保险的营销最大盈利问题将在考虑盈利的基础上主要实现对车主的警示问题，让他们知道注意安全与否并不是“小问题”，不能想着出了事故也无所谓，反正有保险公司赔付，而是他们是时刻的行车状态都与他们要交付的保费息息相关。
而做好机动车车辆保险，其中一个很重要的部分就是保险费拟定的问题。
对于保险费的拟定，要考虑的因素非常多，该命题主要是研究机动车商业保险费与一年中索赔次数及金额关系。
该课题研究的意义：提高驾驶人员的安全意识、文明意识，同时也使交通环境得到改善；还可以提高保险公司的管理水平和服务质量。
模型改进
模型改进:之前我们在算今年每年各类保单投保人数时,需要根据以往的数据得出结论.在这里我们利用无赔款折扣优惠系统(NCD),给出该NCD系统的转移概率矩阵,利用马氏链模型给出各等级保单持有人的比例,此方法可以将模型推广到计算n年之后各类别的保单持有人总数,以下给出建立此模型的具体过程:假设:1)一年中赔案发生的概率与保单持有人所在的等级无关,2)当初第三类别的投保人若在此一年中没有索赔,则下一年继续为第三类别.3)每年总的投保人数按比例w增长那么我们建立此NCD模型的转移矩阵,即上一年的赔案情况在保费折扣率等级间进行转移的规则. 若上一年没有要求赔偿，则提高一个类别；若在上一年内要求过赔偿，如有可能则降低两个类别，否则为0类。
这个转移矩阵可列表表示如下:上述NCD系统等级变动的概率可以排列成如下矩阵:一年后等级0% 25% 40% 50%初始0% 1-p p 0 0等级25% 1-p 0 p 040% 1-p 0 0 p50% 0 1-p 0 p式子中的p表示一年间没有赔案发生的概率,1-p即为一年间至少有一件赔案发生的概率.这个矩阵称为转移概率矩阵,记为P. 记ijp为第i行j列上的元素.i,j=1,2,3,4.p服从泊松分布,已在模型中求得结果.我们记在第一年中,第i个等级保单持有人数在总人数中的比例记为(0)ik,i=0,1,2,3,显然3(0)0iik =∑=1. 由于每年总的投保人数按比例增长,那么在一年后,第i个等级保单持有人所占的比例变动为:(1)(0)(0)(0)(0)01122334i i i i i k k p k p k p k p =+++ (i=0,1,2,3) (1)根据马氏链模型的性质,今后每年的保单持有人在总人数中的比例i k 只取决于上一年的状态和转移概率,与以前各时期的状态无关,由此我们可以得到,第n+1年与第n 年的保单持有人比例有如下关系:(1)(1)(1)(1)()()()()01230123(,,,)()n n n n n n n n k k k k k k k k P ++++=+++ (2)也可进一步简单地表示为:(1)()n n k k P +=在这个马氏链模型中的转移矩阵P,存在正整数N,使N P >0,即它是正则链,由正则链定理可得,若干年之后(即在n 充分大之后), ()n k 和(1)n k +趋于相等,各个等级保单持有人在总人数中的比例趋于稳定.设第i 个等级保单持有人数在总人数中的比例稳定在i k ,i=0,1,2,3,则01,23(,,)k k k k k =是NCD 系统的稳定分布.由式(2)可知,稳定分布满足方程:k=Kp,即:01,2301,23(,,)(,,)k k k k k k k k P =从而有方程组:001210321323()(1)(1)k k k k p k k p k p k k pk k p k p=++-=+-==+ 再利用3(0)0i i k=∑=1,得到: 2023(1)(1)1p p k p p -+=-+, 123(1)1p p k p p -=-+, 2223(1)1p p k p p -=-+, 33231p k p p=-+ 在以上的建模过程中我们已经得到2007年总投保人数2007m ,及给出的2006年总投保人数2006m ,则增长比例w=20072006m m ,根据w,我们可以得到今后第j 年的总投保人数j m ,则第j 年的i 类投保总人数:ij i j x k m =其它各项数据的算法同原模型的算法.我们在这里给出的是一种在今后几年中各类保单投保总人数的新算法.此种算法的优势在于可以推广到N 年之后,预测范围较广,且算法公式简洁.不足之处在于我们需要知道近两年的总投保人数变化,并且在假设每年总的投保人数按比例w 增长时,肯定存在一定的误差,但由于保险业务每年的投保人数变化不会太大,所以w的值不大,所以不会造成太大的误差.总体而言,在需要推广至多年以后的投保情况时,上述方法更适用.。
应用随机过程 期末复习资料
第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男,1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为｛X n ，n=1，2， ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2， ···｝是随机过程。
例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。
令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量.为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2， ···｝的统计规律性。
例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1—p 后退一步（假设步长相同）。
以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则｛X(t)， t ≥0｝就是（直线上的）随机游动。
例4：乘客到火车站买票,当所有售票窗口都在忙碌时,来到的乘客就要排队等候.乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X （t ）表示t 时刻的队长，用Y(t ）表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t)， t ∈T ｝和｛Y(t)， t ∈T ｝都是随机过程。
定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X （t ）是概率空间),,(P ℑΩ上的随机变量，则称{X(t ）， t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。
E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t ）的所有可能状态构成的集合。
例1:E 为{0,1} 例2:E 为［0, 10]例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为),0[∞+注：(1）根据状态空间E 的不同,过程可分为连续状态和离散状态,例1，例3为离散状态，其他为连续状态。
（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a ，b]时,称｛X(t), t ∈T ｝为连续参数的随机过程；当T 取Z ， Z +时,称{X （t)， t ∈T}为离散参数的随机过程。
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上述 ＮＣ 系统 中只 考 虑 了索 赔 次数 的历 史 纪 录 ，其 奖惩 措 施 仅 以 索赔 次 数 为依 据 ，而６
作 者 简 介 ：宋
熠 （９ ２一 ，男 ，湖 南 怀 化 人 ，硕 士 ， 主要 从 事 保 险数 学 、概 率 统 计 应 用 的 研 究 １８ ）
险水 平 ，使费 率 能更准 确 的反 映风 险状况 ．在此 基础 上对 原 ＮＣ Ｄ系 统进 行 改进． 定义 设 （ ０≤ ＜＋ ｃ ） ｏ 为某 一保 险年 度 内发 生 的索赔 次数 ， ０＜ Ｃ ＜＋ ｏ ，１≤ ｉ Ｃ（ ｏ ≤ ） 该保 为
险 年度内 一次的 赔额， 称 Ｓ ∑ Ｃ为 每 索 则 一 该保险 年度的 赔权 索 度．
１４ 向低 折扣 转移 的特 殊性 ．
各类 ＮＣ 系统 的差 别仅体 现在 向低 折扣 类 的转 移法 则 上 ，不 同 的保 险 公 司 根 据 自己 的财 务 状 况 和利 Ｄ
润 目标 制定不 同的转移 法则 ，基本 上 表现 为 一旦 发生 索 赔就 向低 折扣 类转 移．
２ 考 虑 每 一 次 索赔 额 的 ＮＣ 系 统 Ｄ
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２
西 南师 范大 学学报 （ 自然科 学版）
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第３ ３卷
次索赔 额 对 ＮＣ 系统 的影 响 ，在识 别风 险质量 上存 在 着一 定 的偏 差 ， Ｄ 是不够 完 善 的．因此应 综合 考虑 索赔 次数 与索 赔额 对 系统 的联合 影 响 ，建立 索赔 次数 与索 赔额 的联 合 函数 ，以便 更准 确 的描述 保 单 持有 人 的 风
这 个角 度 ，对 ＮＣ Ｄ系统 进行 研 究．
１ ＮＣ 系统 及 其 基 本 假 设 Ｄ
关 于 ＮＣ Ｄ系 统 的完 全描述 ，应包 含 以下 ４个 方 面 的内容
１ １ 折 扣 类 总 数 与 各 折 扣 类 的 折 扣 水 平 ．
：
假设共 有 ＋ １个折 扣类 ，折扣 类 ｉ 的折扣 水 平为 ｄ。 假定 它们 可按 递 增次 序排 列 如下 ： ，
文献 标 识 码 ：Ａ 中 图 分 类 号 ：Ｏ２ １ ９ １．
目前 ， 寿险 精算 理论 的应 用 与研 究 在 我 国 尚处 于初 始 阶段 ，而对 无 赔 款 优 待 模 型 （ Ｄ，ｎ ｌ ｍ 非 ＮＣ ｏｃａ ｉ
ｄｓｏ ｎ ） ｉ ｕ ｔ 的研 究 更是 少 之又少 ．ＮＣ 系统是 非 寿 险 中机 动 车辆保 险广泛 采 用 的一种 经验 费率 厘定 机制 ， ｃ Ｄ 该 机 制 的基 本 思路 是 ， 驾驶 者在 上一 年 度不 发生 索赔 ，则保 险公 司在 续保 年 度 对 其应 缴 保 费实 施 某种 程 度 若 的优惠 ． 对 于该 系统 的研 究 ， 世学 首先 给 出 了该 系 统 的理论 基 础 ，证 明 了该 系统具 有 唯一 的平 稳分 布 ；肖 成 艳颖 考虑 了索赔额 对 该 系统 的影 响 ，提 出 了计 算 费 率 的新 方 法 ； ｒ ｎＫｌ ｅ Ｄｏｏ ｉ ｒ等人 则 利 用 效 用 理论 从 利 ｇ 益平 衡 的角 度得 到建 立 ＮＣ Ｄ系统 的新方 法 ｊ 。然 而 以上 研 究都 没 有 考 虑每 一 次 索 赔额 对 ＮＣ 系统 的影 Ｄ 响．虽 然 之前有 学 者通 过实 证分 析提 出 了考 虑索 赔额 的情 况 ， 是 并 未 给 出 具 体 的实 施 办 法 ．本 文将 从 但
１ １ —
＾ 。 。
定理１ 索 度Ｓ 赔权 一∑Ｃ 的 分布 ｚ 一∑ＰＫ一是Ｆ ｚ 概率 为Ｆ （） （ ） （）
ｆ １ 荨 一 ０
证
Ｆｓ ｚ） Ｐｓ Ｓ ≤ ｚ） （ 一 （
摘 要 ：考 虑 了 每 一 次 索 赔 额 对 ＮＣ 系统 及 保 险 公 司期 望 保 费 的 影 响 ，对 ＮＣ 系 统 进 行 了 改 进 ，证 明 了改 进 后 的 Ｄ Ｄ
系统 存 在 唯 一 的 平 稳 分 布 ，并 通 过 例 子 说 明 了改 进 后 的 Ｎ Ｄ 系 统 与 原 系统 的差 异 ． Ｃ 关 键 词 ： 赔 款 折 扣 系统 ；费 率 ；索 赔 权 度 ；无 索 赔 折 扣 ；平 稳 分 布 无
０ ： ｄｏ ＜ ｄ１＜ ｄ２＜ … ＜ 一 １＜ ｄ ＜ １
１ ２ 索赔发 生 的概率 ．
设 Ｐ（ 尼＝ ０ ，２ ，ｌ ，… ） 投保人 在 一年 中恰 发 生 ｋ次 索赔 的概 率 ， 分布 已知 ． 为 其 １ ３ 向高折 扣转 移的 共性 ． 投 保人 若在 某一 年 中不 发生 索赔 ，则 在 下一 保 险年 度 或 仅 递 增一 个 折 扣 类 ，或停 留在 最 高 折 扣 类 （ 如 投 保人 原 已位于 最 高折扣 类 ） ．
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第３ ３卷 第 ４期
Ｖｏ．３ Ｎｏ ４ １ ３ ．
西 南 师 范 大 学 学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＳ ｕｈ ｓ ｉａＮｏｍａ Ｕｎｖ ｒｉ （ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ａ ｏ ｏ ｔｗｅ ｔ ｎ ｒ ｌ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｃｈ ｙ Ｓ ｅ ｉ
２０ ０ ８年 ８月
Ａ ｕ ２ ０８ ｇ． ０
文 章 编 号 ：１ ０ ５ ７ （ ０ ８ ０ —０ ０ — ４ ０ ０～ ４ １ ２ ０ ） ４ ０ １ ０
考 虑 每 一 次 索赔 额 的无 索赔 折 扣模 型
宋 熠 ， 柏 超
中南 林 业 科 技 大 学 理 学 院 ，长 沙 ４０ ０ １０４