计算机控制系统_离散域设计
离散控制器的设计与实现
离散控制器的设计与实现离散控制器是一种广泛应用于工业自动化领域的控制系统。
它使用离散的时间和状态空间进行控制，具有精确性高、稳定性强等优点。
本文将介绍离散控制器的设计原理和实现方法。
一、离散控制器的设计原理离散控制器的设计基于离散时间线性系统的数学模型，主要包括离散传递函数和离散状态空间模型。
离散传递函数描述了输入与输出之间的关系，离散状态空间模型则描述了系统的状态变化。
1. 离散传递函数离散传递函数的一般形式为：G(z) = (b0 + b1z^(-1) + b2z^(-2) + ...)/(1 + a1z^(-1) + a2z^(-2) + ...)其中，b0, b1, b2...为输入项的系数，a1, a2...为输出项的系数。
通过确定这些系数，我们可以设计出符合控制要求的离散传递函数。
2. 离散状态空间模型离散状态空间模型的一般形式为：x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)y(k) = Cx(k) + Du(k)其中，x(k)为系统状态向量，u(k)为输入向量，y(k)为输出向量，A 为状态转移矩阵，B为输入转移矩阵，C为输出转移矩阵，D为直接转移矩阵。
通过确定这些矩阵，我们可以设计出满足系统要求的离散状态空间模型。
二、离散控制器的实现方法离散控制器的实现方法包括传统PID控制器和现代控制理论中的状态反馈控制器和最优控制器等。
1. 传统PID控制器PID控制器是一种经典的控制器，由比例项、积分项和微分项组成。
离散PID控制器的离散传递函数可以表示为：G(z) = Kp + Ki(1/z) + Kd(z-1)/z其中，Kp、Ki和Kd分别为比例、积分和微分增益。
通过调节这些增益，我们可以实现对系统的控制。
2. 状态反馈控制器状态反馈控制器通过测量系统状态反馈进行控制。
离散状态反馈控制器的表达式为：u(k) = -Kx(k)其中，K为状态反馈增益矩阵，通过选择合适的增益矩阵K，我们可以实现对系统状态的精确控制。
计算机控制系统(7)
第7章计算机控制系统的直接设计方法在连续控制系统中，PID控制器以及其它控制器一般来说能够取得满意的响应性能。
PID控制作用的调整只限于调整比例增益，积分增益以及微分增益。
在数字控制系统中，控制算法不限于PID这样的特殊算法。
事实上，数字控制器可以产生无限多种控制作用。
在上一章中，我们讨论了连续域—离散化设计方法。
本章中，我们讨论在离散域（即Z域）数字控制器的直接分析设计方法。
主要内容有：1. 快速系统离散域直接设计所设计出来的控制器，当系统受到特殊类型输入作用时，在有限采样周期内，可以使误差趋于零，也就是说，在尽可能少的采样周期后，误差趋于零并维持零。
计算机控制系统常以多少个采样周期来计时，一个采样周期T称为一拍，所以常把快速系统称为最少拍系统。
因此最少拍系统的性能指标为⑴系统稳定。
⑵对某确定的典型输入信号（如阶跃输入），稳态误差等于零。
这有两种情况：①要求在采样点上稳态误差等于零，采样点之间稳态误差不为零，见图7.1（a）。
②不仅在采样点上，而且在采样点之间稳态误差都等于零,见图7.1（b）。
常把前者称为有纹波系统，后者称为无纹波系统。
⑶在满足以上条件的前提下，系统应以最快速度达到稳态。
2. 慢速系统离散域直接设计所谓慢速系统一般是指被控对象具有大惯性、长滞后的性质。
值得说明的是，随着科学技术的发展，计算机控制系统离散域直接设计方法的研究发展迅速，新方法层出不穷。
相信计算机控制系统的直接设计方法会日渐成熟，得到广泛的应用。
7.1 最少拍数字控制器设计方法我们从最简单的系统设计开始。
本节介绍最少拍数字控制器设计方法是针对被控对象脉冲传递函数是稳定的，且输入信号为单位阶跃函数。
这种方法有直观的物理概念，计算相当简单，调整、反复计算容易。
根据数字控制器的输出序列中的第一个值，即控制量的初值)0(u ，是否人为地加以规定，分两种情况处理：一是控制量的初值)0(u 不加规定；二是控制量的初值)0(u 加以规定。
计算机控制06离散化设计与连续化设计方法
计算机控制06离散化设计与连续化设计方法离散化设计方法是指将连续系统离散化为离散系统的设计方法。
在离散化设计中，连续系统的时间和状态被离散化成一系列离散时间和状态。
离散化设计的基本原理是将连续时间转换为离散时间，将连续状态转换为离散状态。
离散化设计的方法主要包括离散化采样和离散化控制。
离散化采样是指将连续时间变量转换为离散时间变量的方法。
常见的采样方式有周期采样和非周期采样。
周期采样是指以固定时间间隔对连续时间进行采样，而非周期采样是指根据需要对连续时间进行不规则的采样。
离散化采样的目的是为了得到连续系统在离散时间点上的状态。
离散化控制是指将连续控制转换为离散控制的方法。
离散化控制的关键是将连续时间域的控制器转换为离散时间域的控制器，以实现对离散系统的控制。
离散化控制的常用方法包括脉冲响应、零阶保持和减少模型等。
离散化设计方法在很多领域都有应用。
在工业领域，离散化设计可以应用于过程控制系统、机器人控制系统和自动化生产线等。
在交通系统中，离散化设计可以应用于交通信号控制系统和车辆路线规划等。
在电力系统中，离散化设计可以应用于电力系统调度和电网控制等。
离散化设计方法可以提高系统的控制性能和稳定性，并且可以减少系统的复杂度和计算量。
连续化设计方法是指将离散系统连续化的设计方法。
在连续化设计中，离散系统的时间和状态被连续化为连续时间和状态。
连续化设计的基本原理是将离散时间转换为连续时间，将离散状态转换为连续状态。
连续化设计的方法主要包括插值方法和逼近方法。
插值方法是指根据已有离散数据点的值，通过插值技术推导出在两个离散数据点之间的连续数据点的值。
插值方法的常见技术有线性插值、多项式插值和样条插值等。
插值方法的目的是为了得到在离散系统状态之间的连续状态。
逼近方法是指通过逼近离散时间的函数来表示离散状态之间的连续状态。
逼近方法的常见技术有函数逼近、泰勒展开和傅里叶级数展开等。
逼近方法的目的是为了得到在离散系统状态之间的连续时间。
计算机控制系统_离散域设计1_z平面根轨迹
s域
3) K=1,s2+2s+1=1 s1=s2=-1为分离点
K<1时响应过程单调；K>1时振荡
-2
-1 0
离散系统：G(z) =
⎡ 1 − e− sT
Z⎢ ⎣
s
K⎤
s(s
+
2)
⎥ ⎦
=
K (1 − z−1 ) ⎡ 2 ⎤
2
Z ⎢⎣ s2 (s + 2) ⎥⎦
= K z + 0.935 (z − 1)(z − 0.819)
z平面根轨迹应相对于单位圆来分析
形状不同（z变自换动化的学院非线性关系）
10
R(s)
K
C(s)
R(s)
例5-2
s(s + 2)
K C(s) s(s + 2)
连续系统： G(s) = K
T=0பைடு நூலகம்1s
s(s + 2)
1) I型系统，阶跃响应稳态误差为0
s1 = 0, s2 = −2
Im K →∞
2)系统稳定，无论K多大(最小相位系统)
= −1
∏ (z − pi )
i =1
n
∏ 模值 ∏ 方程
K=
i =1 m
z − pi z − zi
i =1
m
n
相角 ∑ ∠(z − zi ) − ∑ ∠(z − p1 ) = (2k + 1)π
方程 i=1
i −1
k = 0, ±1, ±2,
z平面根轨迹的特殊性：
1) z平面极点的密集度很高，在用根轨迹分析系统性能时 ，要求根轨迹的计算精度较高。
控制器传函 D(z) = 4.2(z − 0.3679) z
数字控制器的离散化设计
1 T0s 1
被采样后的差分方程：
(T T0 ) u2 (k) T0u2 (k 1) Tu1(k)
5.2.2 数字控制器离散化设计步骤
(z)
G(z) Y(z)
E(z)
U(z)
r(t)
T
D(z) T
H0(s)
Gp(s)
y(t)
1、根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需 的闭环脉冲传递函数Ф(z)
如果某一极点 zj 在单位圆上，则系统临界稳定，对于 有界的输入，系统的输出持续地等幅振荡；
如果 G(z) 的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统 是不稳定的，对于有界的输入，系统的输出发散
4 差分方程
采样系统的数学模型用差分方程描述。
差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间 的函数关系。
差分方程由输出序列y(k)，及其移位序列y(k-1)、 y(k-2)、y(k-3)、……，以及输入序列u(k)，及 其移位序列 u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、……，所 构成。（ k = 0, 1, 2, …… ）
式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的 脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味 着系统在N拍之内达到稳态。
R(
z)
1
1 z
1
（3）单位速度函数 r(t) t
R(z)
Tz 1 (1 z 1)2
（4）单位加速度函数
r(t) 1 t 2 2
R(z)
T
2 z 1(1 z 1) 2(1 z 1)3
（5）典型输入函数
r(t) 1 t q1 (q 1)!
Hale Waihona Puke R(z) B(z) (1 z1)q
计算机控制原理第6章2
7
数字PID 数字PID 控制器的另一个参数对系统 性能的影响
(4) 采样周期T的选择原则 采样周期T
从信号不失真要求上，必须满足采样定理的要求。 从控制系统的随动和抗干扰的性能来看，则T小些好。 根据执行机构的类型，当执行机构动作惯性大时，T应取大些。否则执行 机构来不及反应控制器输出值的变化。 从计算机的工作量及每个调节回路的计算成本来看，T应选大些。T大对 每个控制回路的计算控制工作量相对减小，可以增加控制的回路数。 从计算机能精确执行控制算式来看，T应选大些。因为计算机字长有限， T过小，偏差值e(k)可能很小，甚至为0，调节作用减弱,各微分、积分作用 不明显。
• 将连续系统的时间离散化：
t = KT ,
• 积分用累加求和近似：
t K
( K = 0, 1, L , n)
K
∫ e(t )dt = ∑ e( j )T = T ∑
0 j =0 j =0
e( j )
• 微分用一阶后向差分近似：
de(t ) e(k ) − e(k − 1) ≈ dt T
12
TD u (k ) = K p {e(k ) + ∑ e( j ) + [e(k ) − e(k − 1)]} TI j =0 T
TD u (k − 1) = K p {e(k − 1) + ∑ e( j ) + [e(k − 1) − e(k − 2)] TI j =0 T T
6
PID 控制器参数对系统性能的影响
(3) 微分时间常数TD对系统性能的影响 微分时间常数T 微分控制可以改善动态特性，如超调量减小，调节时间缩短 ，允许加大比例控制，使稳态误差减小，提高控制精度。 当TD偏大时，超调量较大，调节时间较长; 当TD偏小时，超调量也较大，调节时间也较长; 只有TD合适时，可以得到比较满意的过渡过程。
简述数字控制器的离散化设计的步骤
简述数字控制器的离散化设计的步骤
数字控制器是一种常用于控制机械和电子设备的计算机系统。
在数字控制器的离散化设计中，需要按照以下步骤进行：
1. 系统建模：首先需要对控制系统进行建模，确定其输入输出关系，选择适当的控制算法和控制器结构。
2. 离散化处理：通过对连续时间控制器进行离散化处理，将其转化
为离散时间控制器，以便于数字控制器进行实现。
3. 数字控制器设计：根据控制系统的需求和离散化处理后的控制器
模型，设计数字控制器的硬件平台和软件算法，并进行实现。
4. 系统测试与优化：对设计好的数字控制器进行系统测试，并进行
优化调整，以确保其满足控制系统的性能指标和稳定性要求。
需要注意的是，数字控制器的离散化设计是一项复杂的任务，需要深入理解控制系统的工作原理和数学模型，熟练掌握离散化技术和数字控制器的设计方法，以及具备良好的工程实践经验。
同时，还需要关注数字控制器的实时性和可靠性，以确保其在工业应用中的稳定运行。
06第六章 计算机控制系统的离散化设计
• H(z)的零点表达式中，包含G(z)在z平面单位圆外或单位圆上
的所有零点。
系统的准确性定对H(z)的要求：
p He ( z) ( z 1) p F ( z) (1 z 1）F ( z 1 )
pm
系统的快速性对闭环系统的要求
p He ( z) ( z 1) p F ( z) (1 z 1）F ( z 1 ) p尽可能小
如果m>n，则 e(k n m) ek n m 为未来时刻的状态，则就要求D(z) 具有超前性质，这是不可能的。
t=kT
(k-1)T kT (k+1)T
结论：
U ( z ) b0 z ( nm) b1 z ( nm1) bm1 z ( n1) bm z n D( z) E( z) 1 a1 z 1 an1 z ( n1) an z n
即若对象G(z)的分母比分子高d阶，则闭环传递函数H(z) 也必须至少有分母比分子高d阶。 或：若对象G(z)有d拍延时，则H(z)也必须至少有d拍延 时。
2）由系统的稳定性确定H(z)
系统稳定性的条件：特征方程的根应在单位圆内。
B( z ) G( z) A( z )
D( z )
设
解析设计法步骤：
根据控制系统的性能指标要求及其他约束条件，确定
出所需要的闭环脉冲传递函数H(z)。 根据式
1 H ( z) H ( z) D( z ) ,确定计算机 G( z ) 1 H ( z ) G( z ) H e ( z )
控制器的脉冲传递函数D(z) 。 根据D(z)编制控制算法程序。
F (z)
1 1 是 z 的有限多项式，不含有 (1 z ) 因子，
离散控制系统的稳定性分析与设计
离散控制系统的稳定性分析与设计离散控制系统（Discrete Control System）是指将时间划分为离散的、不连续的间隔，并且系统的状态在这些间隔中发生改变的一种控制系统。
离散控制系统广泛应用于各种领域，如工业控制、自动化、机器人技术等。
在设计离散控制系统时，稳定性是一个至关重要的考虑因素。
本文将介绍离散控制系统的稳定性分析与设计。
一、离散控制系统的基本概念离散控制系统由离散信号和离散时间组成。
离散信号是在某一离散时刻上的取值是确定的，而在两个离散时刻之间则可以是任意值。
离散时间是指系统的状态在一系列离散时刻上发生变化。
离散控制系统与连续控制系统相比，更适用于数字化和计算机控制领域。
二、离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性指系统对于输入信号的扰动具有一定的容忍度，系统能够维持在某一稳定状态而不产生不稳定的振荡。
稳定性分析是为了保证离散控制系统的正常工作和控制效果。
常用的稳定性分析方法包括传输函数法、根轨迹法和Lyapunov稳定性方法等。
1. 传输函数法传输函数法是一种基于系统的输入和输出之间的关系来分析稳定性的方法。
通过建立系统的传输函数，可以用频域的分析方法来判断系统的稳定性。
传输函数是输入变量和输出变量之间的比例关系，通常用拉普拉斯变换表示。
2. 根轨迹法根轨迹法是一种几何法，通过追踪系统传输函数的所有极点随参数变化而在复平面上运动的路径，分析系统的稳定性。
当系统的所有极点位于左半平面时，系统是稳定的。
3. Lyapunov稳定性方法Lyapunov稳定性方法是一种基于Lyapunov函数的方法，通过构造Lyapunov函数来分析系统的稳定性。
Lyapunov函数是一个实值函数，满足一定的条件，可以确定系统的稳定性。
若系统的Lyapunov函数对于所有的非零初始条件都是非负的，则系统是稳定的。
三、离散控制系统的稳定性设计在离散控制系统的设计过程中，稳定性是至关重要的考虑因素。
控制系统中连续域—离散化设计 非常全
5. 零极点匹配法
(1)离散化方法
D( s ) k ( s zi )
(s p )
i n
m
z e sT D( z )
k1 ( z e ziT )
(z e
m
m
piT
)
( z 1) n m
特点：
– 匹配 – 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加 (z+1)n-m因子 – 确定D(z)的增益k1的方法： D(s) s0 D( z) z 1 • 按右式来匹配 • 若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
du(t ) / dt e(t )
实质：将连续域中的微分 用一阶向后差分替换
du(t ) / dt [u(kT ) u[(k 1)T ]]/ T
u(kT ) u[(k 1)T ] Te(kT )
做z变换，得
U ( z) z 1U ( z) TE( z)
D( z) U ( z) / E( z) T /(1 z 1 )
D(s)
s 0
D( z)
z 1
(3) 应用
由于这种变换的映射关 系畸变严重，变换精度较低。 所以，工程应用受到限制， 用得较少。
图5-4 向后差分法的映射关系
6
2. 一阶向前差分法
(1)离散化公式
D( z ) D( s )
s z 1 T
D(s) U (s) / E (s) 1/ s
16
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
连续域—离散化设计 数字PID控制器设计 控制系统z平面设计性能指标要求 z平面根轨迹设计 w’变换及频率域设计
第5章-离散系统的设计课件
10
1）后向差分法
D(z) D(s) 1z1 s T
1 z 1 s
T z 1
1 sT
图5-5 S平面到Z平面的后向差分变换
后向差分的特点： ① D(s)稳定, D(z)也稳定； ② 不能保持D(s)的频率响应。
第5章-离散系统的设计
11
2）前向差分法
D(z) D(s) s1Tzz11
前向差分的特点：使稳定的D(s)变 换为不稳定的D(z), 故很少使用.
(保证D(z)是物理可实现的有理多项式 )
第5章-离散系统的设计
23
4） e ( z ) 的零点必须包含G(z)中位于单位圆上及单位 圆外的极点;（保证闭环系统稳定）
5） ( z ) 的零点必须包含G(z)中位于单位圆上及单位 圆外的零点;（保证控制器D(z)稳定）
6） ( z ) 中必须包含G(z)中的纯延迟环节. （保证控制器是物理可实现的）
注：在上述条件下构造 ( z ) 和 e ( z ) 时，只需考虑六条 设计原则中的前三条即可，故取 e(z)(1z1)m就可 满足前三点要求。
第5章-离散系统的设计
25
1）单位阶跃输入时设计最少拍系统的数字控制器D(z)
当r(t) = 1(t)时，R(z)Z1(t)11z1，则
e(z) 1z1 (z) 1e(z) z1
连续控制器离散化的基本思想是：在采样周期很小 的条件下，寻找一个与原连续控制器D(s)在输入输 出关系上近似的数字控制器D(z)。
带有零阶保持器的Z变换法
差分变换法
后向差分法 前向差分法双线Leabharlann 变换法第5章-离散系统的设计
7
1．带有零阶保持器的Z变换法
原理：该方法是在原连续控制器的基础上串联 一个虚拟的零阶保持器，再进行Z变换，从而 得到D(s)的离散化形式D(z) 。
计算机控制系统第4章计算机控制系统的离散化设计方法
2024/8/6
22
2.振铃幅度RA
用振铃幅度RA来衡量振铃强弱的程度。
它的定义是，在单位阶跃输入作用下，数字控制器D(z)的第0次输
e() lim e(k) lim (1 z 1)E(z)
k
z1
e (z)
E(z) R(z)
1
(z)
1
1 D(z)G(z)
一般控制系统有三种典型输入形式：
（1）单位阶跃输入：
R(
z)
1
1 z
1
（2）单位速度输入：
R(z)
Tz 1 (1 z 1)2
（3）单位加速度输入：
R(z)
T
2 z1(1 z1) 2(1 z1)3
27
三、 Dahlin算法的设计步骤
(1)确定闭环系统的T0和振铃幅度RA指标； (2)确定RA与T的关系，尽量选择较大的T； (3)确定N=τ/T； (4)求G(z)和φ (z)； (5) 求D(z)。
2024/8/6
28
本章内容结束
2024/8/6
29
D(z) (z) G(z)[1 (z)]
将Φ(z)代入上式，便得到Dahlin控制器D(z)的基本形式
z (N1) (1 eT T0 ) D(z) G(z)[1 z 1eT T0 z (N1) (1 eT T0 )]
2024/8/6
14
1．
2024/8/6
15
2．
2024/8/6
16
计算机控制系统设计方法
(1)前向差分法
利 用 级 数 展 开 可 将 Z=esT 写 成 以 下 形 式
Z=esT=1+sT+…≈1+sT
可得
z 1 s T
即给定模拟控制器传递函数D(s)，其等效离散 传递函数D(z)为：
D( z ) D( s)
s
z 1 T
法 2( 数值微分 ): 设微分控制规律为
de(t ) u (t ) dt 两边求拉氏变换后可推导出控制器为
香农采样定理给出了从采样信号恢复连续信号的最低采样频 率。在计算机控制系统中，完成信号恢复功能一般由零阶保持器 H(S)来实现。零阶保持器的传递函数为：
1 e sT H ( s) s j T j T j T jT 2 2 2 1 e 2e (e e ) H ( j ) 其频率特性为 j 2 j T T sin sin T T j 2 2 2 T e T T T 2 2 2 从上式可以看出，零阶保持器将对控制信号产生附加相移 (滞后)。对于小的采样周期，可把零阶保持器H(S)近似为： ( sT ) 2 1 1 sT T sT s 1 e T 2 H ( s) T (1 s ) Te 2 s s 2
U ( s) D( s ) s E ( s)
采用前向差分近似可得
e(k 1) e(k ) u (k ) T
上式两边求Z变换后可推导出数字控制器为
U ( z) z 1 D( z ) D( s) z 1 s E( z) T T
s平面和z平面之间的映射关系
因为s平面上的虚轴是稳定与不稳定区域的分界线， 所以应着重研究虚轴在z平面内的映象。
3.1 数字控制器的连续化设计技术
现代控制理论离散系统
数字信号处理系统
数字信号处理系统
数字信号处理算法
数字信号处理系统的应 用
数字信号处理系统是一种基于计算机 技术的信号处理平台，可以对各种信 号进行采集、分析、处理和传输。
数字信号处理算法包括滤波、频谱分 析、频域变换、逆变换等。这些算法 能够对信号进行精确的分析和处理， 以满足各种应用需求。
数字信号处理系统广泛应用于音频、 图像、视频处理等领域。在音频处理 方面，数字信号处理系统可以对声音 进行降噪、增强、混响等处理；在图 像和视频处理方面，可以对图像和视 频进行压缩、增强、识别等处理，以 满足各种应用需求。
感谢您的观看
THANKS
信号处理
对数字信号处理算法进行离散化仿 真，验证其效果和性能。
数字电路设计
对数字电路设计进行离散化仿真， 验证电路的功能和性能。
04
05
离散系统的优化设计
离散系统优化设计的方法
数学规划法
01
通过建立离散系统的数学模型，利用数学优化方法（如线性规
划、整数规划等）来求解最优解。
智能优化算法
02
如遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等，通过模拟自然界
LabVIEW
由美国国家仪器公司开发的图形化编程环境， 适用于离散系统仿真和测试。
Modelica
基于方程的仿真语言，适用于多领域物理系 统建模和仿真。
Scilab
开源工程计算软件，支持离散系统仿真和数 值计算。
离散系统仿真的步骤
参数设置
设置仿真时间、步 长等参数。
仿真运行
根据设定的参数进 行仿真，并记录输 出结果。
最优控制
最优控制是在满足一定约束条件下，寻找使某个性能指标达到最优的控制 策略。
计算机控制系统经典设计方法——模拟控制器的离散化方法
模拟控制器的离散化方法（续三）
例7.6 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用保持Z变换法求 数字控制器D(z)。
【答案】
z－1 1 e aT） （ D( z ) aT 1 1 e z
u (k ) ?
D(s)稳定，D(z)稳定；
保持Z变换法特点
D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
模拟控制器的离散化方法（续五）
一阶后向差分:
D( z ) D( s )
1 z 1 s T
U ( s) 1 D( s ) E ( s) s
u (kT ) u[(k 1)T ] Te(k )
一阶向后差分的s与z替换关系是 z变量与s变量关系的一种近似
图7-22 后向差分矩形积分法
模拟控制器的离散化方法（续八）
D(s)稳定，D(z)不一定稳定；若D(s)有离虚 轴较远的点，只有缩小采样周期T才有可能 稳定； D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
前向差分变换法特点
图7-25 前向差分法的映射关系
模拟控制器的离散化方法（续九）
例7.7 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用后向差分求数字控制器D(z)。
z e sT
K z ( z e z1T )(z e z2T )( z e zmT ) D( z )＝ ( z 1) nm ( z e p1T )(z e p2T )( z e pnT )
模拟控制器的离散化方法（续十三）
例7.9 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用双线性变化法求数字控制器D(z)。 【答案】
【答案】
aT D( z ) 1 1 aT z
离散控制系统设计
若j>q,
2.φ (z)零点必须包括 零点必须包括G(z)的单位圆上或圆外的零点。 的单位圆上或圆外的零点。 零点必须包括 的单位圆上或圆外的零点
b i为不稳定零点 ， F2(z) 为： 3. F1(z)和 F2(z)的阶数选取。 的阶数选取。 和 的阶数选取 个极点在单位圆上z=1， －若G(z)有j个极点在单位圆上 有 个极点在单位圆上 ， 当j<=q ， 当j>q
个零点b1,b2,…,bu和v个极点 个极点a1,a2,…,av在单位圆上或圆外， 在单位圆上或圆外， 设 G(z)有u个零点 有 个零点 和 个极点 在单位圆上或圆外 则广义对象的传递函数可表示为： 则广义对象的传递函数可表示为：
若GC(z)不含纯滞后， 则d=0；
否则 d>=1。
设 G(z)有u个零点 个零点b1,b2,…,bu和v个极点 个极点a1,a2,…,av在单位圆上或圆外， 在单位圆上或圆外， 有 个零点 和 个极点 在单位圆上或圆外 则广义对象的传递函数可表示为： 则广义对象的传递函数可表示为： G’(z)表示不含单位圆上及圆外零极点部分。
控制对象传函如下， 控制对象传函如下，τ 是滞后时间 采样周期为T,则令 采样周期为 则令 则广义对象的(零阶保持器与被控过程 的脉冲传递函数为 则广义对象的 零阶保持器与被控过程)的脉冲传递函数为： 零阶保持器与被控过程 的脉冲传递函数为：
上式中若GC(z)不含纯滞后， 则d=0； 若GC(z) 含纯滞后， 则d>=1。
闭环系统的脉冲传递函数
因为有： 因为有： degP(z)－degQ(z) >=0，则： － ，
上式确定了D(z) 可实现时 (z)应满足的条件： 可实现时φ 应满足的条件 应满足的条件： 上式确定了 的分母比分子高N阶 则确定φ 时必须至 若G(z)的分母比分子高 阶，则确定 (z)时必须至 的分母比分子高 少分母比分子高N阶 少分母比分子高 阶。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
s1=s2=-1为分离点
C(z) D( z )G ( z ) ( z ) R( z ) 1 D( z )G ( z )
K<1时响应过程单调；K>1时振荡
1 D( s )G ( s ) 0
K K (1 z 1 ) 2 Z 2 2 s( s 2) s ( s 2)
自动化学院 8
分离点与汇合点：重根
闭环特征方程：
离散系统中根轨迹的绘制法则
开环传递函数
D( z )G ( z ) 0.819) K ( z 0.935) 0 设为重极点，令： ( z ) ( z p )2
s1 0, s2 2
K
Im s域 -2 -1 0
1) I型系统，阶跃响应稳态误差为0 2)系统稳定，无论K多大(最小相位系统) 3) K=1,s2+2s+1=1
1 e 离散系统： G ( z ) Z s
sT
1 D( z )G ( z ) 0
连续系统闭环特征方程
z zc z pc
控制器设计的常用方法—零极点对消法
用控制器的零极点对消被控对象不希望的极零点， 从而使整个闭环系统具有满意的品质。 注意：不要用D(z)去对消对象在单位圆外、单位圆 上以及接近单位圆的零极点，否则会因为不精确对 消而产生可能的不稳定的现象。 原因：有限字长、对象本身特性发生变化。
(1)确定理想根轨迹位置
d=[1.0000 -1.3679 0.3679]
% e 1 100% 15% 0.517
ts
2
1 e sT 20 ( z 0.7174) G( z ) Z 0.0736 s( s 10) ( z 1)( z 0.3679) s
被控对象的脉冲传递函数
Matlab指令 num=[20]; den=[1 10 0]; [n,d]=c2dm(num,den,0.1,'zoh') 根轨迹进入期望极点范围？
性能指标要求： % 15% t r 0.55 s t s 1s K v 5
n=[ 0
0.0736
0.0528]
3 4
动态指标如下： 超调量 % e / 上升时间 t r 峰值时间 调节时间 0.8
（5%误差带）
1 2
100%
（1） （2） （3）
arccos
Im( s ) d tp Im( s ) d
t s 自动化学院 3.5 / Re( s ) 3.5 /( n ) （4）
m n
(z p )
i 1 i
i 1 1
i 1 n
1
K 0.005
K 0.0047 K
2 2
模值 方程
K
i 1 m i 1
z pi
i
zz
相角 方程
( z z ) ( z p ) (2k 1)
i 1 i
k 0, 1, 2,
自动化学院
例5-1 采样周期T=0.5s，系统控制指标： % 17% t s 2.3 s tr 1.7 s
% e / 0.5
tr
1 2
5.1.2 频域性能指标要求
从开环频率特性分析闭环特性： 1. 低频段：反映系统的稳态特性 低频段斜率——系统类型(0型、I型等） K的幅值↑——稳态误差↓
自动化学院 1
3、动态特性要求：
主要以系统单位阶跃响应的升起时间、峰值时间、超调量和 调节时间来表示。 任意高阶系统动态指标是由系统的零极点分布决定的，并且 很难计算。但在很多情况下，高阶系统中都有一对主导极点 ，这时可把高阶系统近似看作二阶系统来研究。
自动化学院 2
动态指标的求取（二阶系统s平面）
d Im( s ) n 1
z e sT e ( j )T e ReT e j Im T z T
等ξ线——z平面的对数螺线
e n t 1-
2
sin( n 1 2 t arccos )
R e T Re( s )
等Re线——z平面的同心圆 等Im线——z平面通过原点的射线 T Im( s ) 依据设计指标得出s域的理想极点，可以进一步转换 为z域的理想极点，作为设计指标。
高通滤波器
L(dB )
滞后—极点在零点右侧
自动化学院
0
不精确对消的根轨迹
13 自动化学院 14
低通滤波器
采用一阶控制器 的设计流程：
设计方法和设计举例 参见课件
自动化学院
15
自动化学院
16
根轨迹设计例题5.4(P152)
例：太阳光源跟踪系统的离散化根轨迹设计，采样周期T =0.1s
(2) 设计数字控制器D(z)
2015-4-9
5.1 z平面设计的性能指标要求
计算机控制系统
5.1.1 时域性能指标要求
1、稳定性要求 2、稳态特性要求：
主要以系统在一定指令信号及干扰信号作用下稳态误差的大 小来衡量。 影响稳态误差的主要因素是系统的 类型及开环放大系数
第5章 计算机控制系统 离散域设计
北京航空航天大学 xiajie 2015年4月
自动化学院
9
10
5.2.2 z平面根轨迹设计方法
根轨迹法实质上是一种闭环极点的配置技术，即通过 反复试凑，设计控制器的结构和参数，使整个闭环系统的 主导极点配置在期望的位置上。
仿真验证的必要性
即便将希望的闭环极点配置在允许域内，仍 可能出现系统的动态性能不满足指标要求的 情况。 原因
离散系统的脉冲传函的零点数多于对应的连续系 统，且系统的性能不仅受极点影响，还受零点影 响。 允许域是按照二阶系统的品质指标近似绘制的， 实际系统常为高于二阶的系统。高阶系统的响应 主要取决于其一对主导极点，非主导极点对系统 性能也会有影响。
11 自动化学院 12
1、设计步骤
1）据给定时域指标，在z平面画出期望极点的允许范围 2）设计数字控制器D(z)。 sT
1 e （1）首先求出广义对象脉冲传递函数 G ( z ) Z G ( s ) s （2）确定控制器D(z)的结构形式 z zc D( z ) K c 常用控制器有一阶相 z pc 位超前及相位滞后环节：
100% 17%
1.7
1 0.8 0.6 R=0.4673 0.4 0.2 0 -1 -0.5 0 0.5 thita=35.30du 0.5 1
arccos
Im( s ) Im( s ) 1.232
2、中频段：反映系统动态特性 截止频率ωc—系统带宽,ωc↑,tr,tp,ts↓,动态响应快 相位稳定裕度γ、幅值稳定裕度h—稳定裕度高，鲁棒性好 3、高频段：反映系统抑制高频噪声的能力 高频段幅值衰减快——抑制高频噪声的能力强 鉴于离散系统频率特性 G (e jT ) 是ω的超越函数 ，因 此，频率域设计时，并不直接利用z平面的频率特性，而是 将其变换到其他更合适的平面(w,w’)上进行，同时相关 的性能要求也会发生变化。
5 自动化学院 6
T Im( s ) 35.3
t s 3.5 / Re( s ) 2.3 Re( s ) 1.52 R e T Re( s ) 0.467
自动化学院
Exp5-1.m
1
2015-4-9
5.2 z平面根轨迹
D(z)为数字控制器 G(z)为广义被控对象
希望极点： 根轨迹增益 控制器增益
D( z )G ( z ) 0.0736k
( z 0.7174) ( z 0.7174) K z ( z 1) z ( z 1)
系统的根轨迹
D( z )
4.2( z 0.3679) z
0.3485 j 0.3096 K 0.3030 kd K / 0.0736 4.2
K 1.07 分离点p1 0.907 K 1570 汇合点 p2 2.779 C ( s) K 求临界稳定点： R( s ) s ( s 2) z a jb 令 z 1
K 7.379
2
根轨迹方程
K ( z zi )
m
(z p )
i 1 i
n
D( z )G ( z ) 1
若要求数字控制器不影响系统稳态性能，则要求：
D( z )
z 1
1
Kc
1 pc 1 zc
3）进行数字仿真研究，检验闭环系统的动态响应。 4）在计算机上编程实现 D(z)算法。 自动化学院
2
2015-4-9
控制器D(z)零极点分布
超前—极点在零点左侧
0
D( z ) K c L(dB )
2 n C ( s) ( s ) 2 R( s ) s 2 2 n s n
Z域极点的理想位置
z平面等ξ线，等Re线和等Im线与连续域参数对应
2
0 1
特征根为 s j 1 2 1,2 n n 单位阶跃响应 c( t ) 1
d Re( s ) n
1 e sT G( z ) Z G ( s ) s 系统闭环脉冲传函
R ( s)
例5-2
连续系统： G ( s ) 图5-4 离散控制系统 闭环系统特征方程
K s( s 2)
C ( s)
R( s )
K C ( s) s( s 2)
K s( s 2)
T=0.1s
采用零极对消法，选用
改进控制器D(z)的设计
G ( z ) 0.0736