高三数学函数性质人教版知识精讲
高三数学知识点全部汇总人教版
高三数学知识点全部汇总人教版高三数学知识点全部汇总一、函数与方程1. 函数概念及性质函数是描述两个变量之间相互关系的工具。
具有定义域、值域和对应关系等性质。
2. 一元二次函数一元二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a≠0。
3. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
4. 指数函数与对数函数指数函数是以底数为常数的幂函数，对数函数是指数函数的反函数。
5. 解方程与不等式解方程是求出使等式成立的未知数值，解不等式是求出使不等式成立的未知数值范围。
二、数列与数列求和1. 等差数列等差数列是具有相同公差的数列，常用通项公式an=a1+(n-1)d来表示。
2. 等比数列等比数列是相邻两项的比值相等的数列，常用通项公式an=a1*q^(n-1)来表示。
3. 递推数列递推数列是通过前一项和递推关系得到后一项的数列。
4. 数列求和数列求和是指对数列中的所有项进行加和运算，有等差数列求和公式和等比数列求和公式。
三、平面几何1. 平面图形的性质平面图形包括点、线、角、三角形、四边形、圆等，具有特定的性质和定理。
2. 三角形三角形是由三条边和三个内角组成的图形，有特殊的三边关系、三角形的性质和定理。
3. 圆与圆的相交关系圆与圆之间可以相离、相切或相交，并有相应的关系和定理。
四、空间几何1. 空间图形的性质空间图形包括点、线、面、体等，在三维空间中有特定的性质和定理。
2. 平行与垂直平行是指两条直线在同一平面内永不相交，垂直是指两条直线相交成直角。
3. 球与球的相交关系球与球之间可以相离、相切或相交，并有相应的关系和定理。
五、概率与统计1. 概率基本概念概率是用来描述事件发生可能性的大小，包括样本空间、事件、概率的概念。
2. 样本空间与事件样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集。
3. 随机变量与概率分布随机变量是随机试验结果的数值描述，概率分布用来描述随机变量取值的概率。
高三数学必修三函数知识点
高三数学必修三函数知识点函数是数学中非常重要的概念，它被广泛应用在各个领域。
在高中数学的必修三课程中，我们学习了许多与函数相关的知识点，下面将对其中的几个重要概念进行介绍和总结。
一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
一般来说，函数可以用公式、图像或者表格来表示。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
其中，定义域是指函数的输入集合，值域是函数的输出集合。
函数的性质包括单调性、奇偶性和周期性等。
二、线性函数与二次函数线性函数是一种特殊的函数，它的图像是一条直线。
线性函数的一般形式为f(x)=kx+b，其中k和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的斜率大小，截距b决定了直线与y轴的交点位置。
二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的平移，c决定了抛物线与y轴的交点位置。
三、指数函数与对数函数指数函数是形如f(x)=aˣ的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，a决定了曲线的变化速度。
对数函数是指数函数的逆运算，它可以表示为f(x)=logₐ(x)，其中a为底数，x为正实数。
对数函数的图像是一条递增的曲线，底数a决定了曲线的陡峭程度。
四、三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的一般形式为f(x)=asin(bx+c)+d，其中a、b、c、d为常数。
正弦函数的图像是一条波动的曲线，振幅a决定了波动的大小，角频率b 决定了波动的周期，c决定了波动的相位，d决定了波动的垂直平移。
反三角函数是三角函数的逆运算，表示为sin⁻¹(x)、cos⁻¹(x)和tan⁻¹(x)等。
反三角函数的定义域和值域与原三角函数相反。
数学高三函数知识点大全集
数学高三函数知识点大全集函数是高中数学的核心内容之一，也是高三数学考试的重点。
掌握函数的相关知识点对于高三学生来说至关重要。
本文将为你提供数学高三函数知识点大全集，涵盖了函数的定义、性质、图像、求解等方面。
希望能够帮助你系统地学习和梳理这些知识点。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个变量间的关系，每一个自变量（通常用x表示）对应唯一一个因变量（通常用y表示）。
函数可以用公式、图像或者表格来表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是所有可能的自变量取值的集合，值域是所有可能的因变量取值的集合。
3. 奇函数和偶函数：如果函数满足f(-x) = -f(x)，那么它是奇函数；如果函数满足f(-x) = f(x)，那么它是偶函数。
4. 单调性：如果函数在定义域上是递增的或递减的，那么它具有单调性。
5. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意x，有f(x+T) = f(x)，那么函数具有周期性。
二、常见函数类型1. 一次函数：也称为线性函数，形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
2. 二次函数：也称为抛物线，形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
3. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
4. 指数函数：形式为y = a^x，其中a为常数，a大于0且不等于1。
5. 对数函数：形式为y = log_a(x)，其中a为常数，a大于0且不等于1。
三、函数的图像与性质1. 函数图像的平移与伸缩：根据函数图像的性质，我们可以通过平移和伸缩来得到函数的图像。
平移可以通过改变函数的函数式中的参数来实现，伸缩可以通过改变函数式中的系数来实现。
2. 函数的对称性：函数图像可能具有对称轴，如y轴、x轴或者原点。
利用对称性，我们可以简化求解过程。
3. 函数与方程：将函数的图像与方程结合起来，可以解决一些复杂的问题。
四、函数的求解与应用1. 方程和不等式求解：利用函数图像的性质，我们可以将方程和不等式转化为函数的问题，从而求解。
高三数学 函数的值域、函数奇偶性与周期性、函数的单调性 知识精讲
高三数学 函数的值域、函数奇偶性与周期性、函数的单调性 知识精讲（一）函数的值域 1. 函数的值域：值域是全体函数值所成的集合，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定。
因此，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑其定义域。
2. 基本函数的值域：（1）一次函数y kx b k =+≠()0的值域为R ；（2）二次函数y ax bx c a =++≠20()，当a >0时值域是442ac b a-+∞⎡⎣⎢⎫⎭⎪，，当a <0时，值域是-∞-⎛⎝ ⎤⎦⎥，442ac b a ； （3）反比例函数y kxk =≠()0的值域为y R ∈，且y ≠0；（4）指数函数y a a a x=>≠()01，且的值域是R +； （5）对数函数y x a a a =>≠log ()01，且的值域是R ；（6）正弦函数y x =sin 、余弦函数y x =cos 的值域为[]-11，，正切函数y x =tan 、余切函数y x =cot 的值域为R 。
3. 求值域的基本方法： （1）分析观察法求值域有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。
（2）配方法求值域二次函数或能转化为形如：F x a f x bf x c ()[()]()=++2型的函数的值域，均可用配方法，但要注意f x ()的取值范围。
（3）不等式法求值域利用基本不等式a b ab a b c abc +≥++≥233，可求某些函数的值域，但要注意“全正、定值、取等号”的条件。
（4）判别式法求值域把函数转化为关于x 的二次方程F x y (,)=0，通过方程有实根，判别式∆≥0，从而求得原函数的值域。
形如y a x b x c a x b x c a a =++++1211222212()，不同时为零的函数的值域常用此法求得。
（5）反函数法求值域利用函数与它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。
高三数学所有函数知识点
高三数学所有函数知识点函数是数学中一个重要的概念，它在高三数学中占据着重要的地位。
函数可以描述数学中的关系，帮助解决各种实际问题。
下面将详细介绍高三数学中所有函数的知识点。
一、函数的基本概念函数是一种对应关系，如果存在一对元素，使得对于每一个自变量（输入）都对应唯一的因变量（输出），则称这种对应关系为函数。
函数可以用数学符号表示为：y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：定义域是指所有自变量的取值范围，值域是指所有因变量的取值范围。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的变化趋势，可以分为增函数和减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数在定义域内的对称性，可以分为奇函数和偶函数。
4. 周期性：周期函数是指函数在一定区间内以相同的规律重复的函数。
5. 对称轴和最值：函数的对称轴指的是函数的图像关于某条直线对称，最值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
6. 渐近线：渐近线是指函数的图像无限靠近但不与某直线相交的特殊直线。
三、常见函数类型1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b为常数，k表示斜率，b 表示截距。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不为0。
3. 反比例函数：y = k/x，其中k为常数，x不为0。
4. 幂函数：y = x^a，其中a为实数，x大于0。
四、函数的图像与性质1. 一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了线的倾斜程度，截距b决定了线与y轴的交点。
2. 二次函数的图像是一条抛物线，开口向上或向下取决于二次项系数的正负。
3. 反比例函数的图像是一条由坐标原点发出的双曲线。
4. 幂函数的图像根据指数a的正负来决定曲线在第一象限和第四象限的开口方向。
五、复合函数和反函数1. 复合函数是指将一个函数代入到另一个函数中的运算，常用符号为g(f(x))。
2. 反函数是指函数的逆运算，将函数的输入和输出互换得到的函数。
高中数学 函数概念及其性质知识总结 新人教版必修1
高中数学函数(hánshù)概念及其性质知识总结新人教版必修1高中数学函数(hánshù)概念及其性质知识总结新人教版必修1数学必修(bìxiū)1函数概念及性质〔知识点总结(zǒngjié)〕〔一〕函数的有关(yǒuguān)概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数某，在集合B中都有唯一确定的数f(某)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(某)，某∈A．其中，某叫做自变量，某的取值范围A叫做函数的定义域；与某的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(某)|某∈A}叫做函数的值域．2如果只给出解析式y=f(某)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域即是指能使这个式注意：○子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数某的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的某零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：〔1〕构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等〔或为同一函数〕〔2〕两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法那么，不管采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的根底.(3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(某),点P(某，y)的集合C，叫做函数y=f(某),(某∈A)的图象．C上每一点的坐标(某，y)均满足函数关系y=f(某)，反过来，y为坐标的点(某，y)，均在C上.即记为C={P(某,y)|y=f(某),某图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与交点的假设干条曲线或离散点组成.(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出某,y的一些对应值并列表，以内描出相应的点P(某,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来B、图象变换法〔请参考必修4三角函数〕常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
高三函数定理知识点总结
高三函数定理知识点总结函数是数学中的重要概念，在高三数学中，函数定理是必须要掌握的知识点之一。
函数定理涉及到函数的定义、性质以及应用，下面将对高三函数定理知识点进行总结。
一、函数的定义和性质函数是一种建立起两个集合之间的关联关系的规则，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一一个元素上。
函数定义的基本形式是：y = f(x)。
其中，y 是函数的值，x 是自变量，f 是函数的规则。
函数有以下主要性质：1. 定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是函数取得的值的范围。
2. 单调性：函数的单调性分为递增和递减两种情况，递增表示函数随着自变量的增大而增大，递减则相反。
3. 奇偶性：根据函数在对称轴的对称性，可以判断函数是奇函数还是偶函数。
4. 周期性：如果存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期性。
二、函数的基本图像函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质。
常见函数的基本图像如下：1. 一次函数（线性函数）：y = kx + b，其图像为一条直线，斜率 k 决定了直线的倾斜程度，截距 b 决定了直线与 y 轴的交点位置。
2. 平方函数：y = ax^2，其图像为抛物线，开口的方向取决于 a 的正负，a 的绝对值决定了抛物线的开口程度。
3. 反比例函数：y = k/x，其图像为一条倾斜的曲线，渐进线为x 轴和 y 轴。
4. 指数函数：y = a^x，其中，a 为底数，其图像与 x 轴无交点，且随着 x 的增大，图像逐渐上升或下降。
5. 对数函数：y = loga x，其中，a 为底数，其图像是指数函数y = a^x 的反函数，与指数函数呈镜像关系。
三、函数的应用函数定理在实际问题的解决中具有广泛的应用。
以下是一些典型的函数应用场景：1. 函数的最值问题：通过求函数的极值点，可以解决很多最值问题，如求最大值、最小值等。
2. 函数的切线问题：切线是函数图像上一点的局部近似，可以用来求函数在某一点的斜率、切线方程等。
高三函数必考知识点
高三函数必考知识点函数是高中数学中的重要概念之一，而在高三数学中，函数作为一项必考知识点，占据了重要的地位。
下面将从定义、性质和应用三个方面，详细介绍高三函数必考的知识点。
第一部分：定义一、函数的定义函数是一种特殊的关系，亦即对于集合A和B之间的关系，若对于A中的每一个元素a，都有唯一确定的元素b与之对应，那么就称这一对应关系为函数。
常用的表示方式有以下两种：1. 符号表示：y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f表示函数名。
2. 函数表达式：y = f(x)，其中f(x)为函数表达式。
二、函数的定义域、值域和原像1. 定义域：函数中自变量的所有可能取值的集合称为定义域。
2. 值域：在定义域内，所有对应的因变量的取值的集合称为值域。
3. 原像：对于值域中的任意一个元素b，如果存在定义域中的一个元素a，使得f(a) = b，则称元素a是元素b的一个原像。
第二部分：性质一、奇偶性1. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，有f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。
2. 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，有f(-x) = f(x)，则称函数为偶函数。
二、单调性1. 递增：若对于定义域内的任意两个实数x1 < x2，有f(x1) <f(x2)，则称函数在该区间上递增。
2. 递减：若对于定义域内的任意两个实数x1 < x2，有f(x1) >f(x2)，则称函数在该区间上递减。
三、零点和极值点1. 零点：对于函数f(x)，若有f(x0) = 0，则称x0为函数的零点。
2. 极值点：对于函数f(x)，若存在x0，使得在x0的某个邻域内f(x) ≤ f(x0)（或f(x) ≥ f(x0)），则称x0为函数的极大值点（或极小值点）。
第三部分：应用一、最值问题对于函数f(x)，求解其最值问题，需要通过以下步骤进行分析：1. 求解定义域。
2. 求解导数，并求出导函数的零点。
3. 比较导函数的零点和定义域的端点，找出函数的极大值点和极小值点。
人教版高三数学三角函数知识精讲2
高三数学三角函数知识精讲一. 本周教学内容： 三角函数任意角的三角函数，三角函数线，同角三角函数关系与诱导公式，三角函数的图像和性质［基本知识点］1° 角的概念的推广（1）终边相同的角：{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}表示与角α终边相同的角的集合。
（2）象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角。
（3）坐标轴上的角：角的终边落在坐标轴上的角，也称轴限角，这个角不属于任何象限。
终边落在轴上的角，终边落在轴上的角，，x k k Z y k k Z {|}{|}ααπααππ=∈=+∈22° 弧度制（1）意义：圆周上弧长等长半径的弧所对的圆心角的大小为1弧度，它将任意角的集合与实数集合之间建立一一对应关系。
（2）弧度与角度的互换 180118011805718===≈πππ弧度弧度弧度，，()()'（3）弧度公式，扇形面积公式： l r =⋅||α S lr r 扇形==12122||α3° 任意角的三角函数（1）定义：设P(x ，y)是角α的终边上任意一点，且|PO|＝r ，则sin cos ααα===yr x r tg y x ，， csc sec ααα===ryr x ctg x y，， （2）三角函数的符号与角所在象限有关，如下表所示。
规律：一全正，二正弦，三双切，四余弦注意：角的范围的讨论及三角函数的定义的理解是三角的重要内容；而度数与弧度数的互化，弦长公式，扇形的面积公式的应用是难点内容，应注意熟练掌握。
（1）在讨论角的范围时，不要遗漏坐标轴上的角； （）角22α终边所在的位置与α终边的位置及k 的取值有关，要对k 的取值结合α的范围情况进行讨论。
（3）三角函数值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P 点的位置无关，当角的终边所在象限不确定时，要分情况讨论。
人教版高三数学上册知识点
人教版高三数学上册知识点一、函数与导数1. 函数的概念及性质函数是研究数与数之间的依赖关系的一种数学工具。
具体来说，如果对于任意一个自变量，都可以唯一确定一个因变量，那么我们称这样的关系为函数。
2. 导数的定义与求法导数是用来描述函数变化率的概念。
某一点的导数等于函数曲线在该点处的切线的斜率。
计算导数的方法有求导法则、复合函数求导法则、反函数求导法则等。
3. 导函数的应用导函数有许多应用，比如求函数极值、判定函数的增减性、求曲线的弧长等。
二、三角函数1. 弧度制与角度制三角函数在计算中常用的表示方法有弧度制和角度制。
弧度制是指以单位圆上的弧长作为度量单位，而角度制是指以圆周上的度量单位度为基准。
2. 基本变换式与和差化积三角函数的基本变换式是指正弦、余弦、正切、余切之间的基本关系式。
和差化积则是将两个三角函数的和差形式转化为乘积形式。
3. 三角函数的图像与周期性正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数都有各自的图像特点和周期性。
三、数列与数学归纳法1. 数列的概念与分类数列是由一列有序的数按某种规律组成的集合。
根据数列的规律性质和元素之间的关系，可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等不同种类。
2. 数列的通项公式与前n项和通项公式是指根据数列的规律性质，用一个公式来表示数列的第n个元素。
前n项和是指数列的前n个元素之和。
3. 数学归纳法的基本思想与应用数学归纳法是一种证明方法，通过证明当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而得出当n为任意正整数时，命题都成立的结论。
四、概率与数理统计1. 随机事件及其概率随机事件是指在相同条件下，结果不确定的事件。
概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用一个介于0和1之间的数表示。
2. 独立事件与条件概率独立事件指两个或多个事件之间相互独立发生的概率。
条件概率是指在某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
3. 统计量及其概念统计量是指根据样本数据来推断总体特征的一种指标。
高三数学函数的知识点
高三数学函数的知识点函数是数学中一种重要的概念，它在高三数学中占据着很大的比重。
本文将介绍高三数学函数的知识点，帮助学生们加深对函数概念和相关内容的理解。
一、函数的定义和性质1.1 函数的定义：函数是一种对应关系，将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
通常用符号表示为：y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。
1.2 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数的图像表示了自变量和因变量之间的关系。
1.3 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像关于y轴对称的性质。
如果函数满足f(-x)=-f(x)，则该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，则该函数是偶函数。
1.4 单调性：函数的单调性描述了函数图像的递增或递减特点。
如果对于定义域内的任意x1、x2，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则函数是递增的；当x1<x2时有f(x1)>f(x2)，则函数是递减的。
二、函数的基本类型2.1 常数函数：常数函数是指对任意的x值，函数的输出恒为一个常数。
例如，f(x)=3就是一个常数函数，其图像为一条水平线段。
2.2 一次函数：一次函数是指函数的表达式中只有x的一次幂，没有其他次数的幂。
例如，f(x)=2x+1就是一个一次函数，其图像为一条直线。
2.3 二次函数：二次函数是指函数的表达式中含有x的二次幂，并且没有其他次数的幂。
例如，f(x)=x^2+3就是一个二次函数，其图像为一个开口朝上的抛物线。
2.4 指数函数：指数函数是以常数为底数的x的幂函数。
例如，f(x)=2^x就是一个指数函数，其图像为递增的曲线。
2.5 对数函数：对数函数是指以常数为底数的对数函数。
例如，f(x)=log2(x)就是一个对数函数，其图像为递增而缓慢的曲线。
三、函数的运算和性质3.1 四则运算：函数之间可以进行加减乘除的四则运算。
例如，对于函数f(x)=2x和g(x)=x+1，可以进行f+g、f-g、f*g和f/g的运算。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第三章 函数概念与性质 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第三章函数概念与性质3.1.1.1函数的概念 (1)3.1.1.2函数概念的应用 (6)3.1.2.1函数的表示法 (10)3.1.2.2分段函数 (14)3.2.1.1函数的单调性 (21)3.2.1.2函数的最大(小)值 (25)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (35)3.3幂函数 (37)3.4函数的应用(一) (41)3.1.1.1函数的概念要点整理1．函数的概念(1)函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．温馨提示：(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间概念(a，b为实数，且a<b)3.其他区间的表示题型一函数关系的判断【典例1】(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( )[思路导引] 在“非空数集”A中“任取x”，在对应关系“f”作用下，B中“有唯一”的“数f(x)”与之“对应”，称f：A→B为集合A到集合B的一个函数．[解析](1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A 中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．[答案](1)见解析(2)C(1)判断对应关系是否为函数的2个条件①A、B必须是非空数集．②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．(2)根据图形判断对应是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l.②在定义域内平行移动直线l.③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．题型二用区间表示数集【典例2】把下列数集用区间表示，并在数轴上表示出来．(1){x|x≥3}；(2){x|x<－5}；(3){x|－4≤x<2或3<x≤5}．[思路导引] 用区间表示数集的关键是确定开、闭区间，含“或”的数集用符号“∪”连接区间．[解](1){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如图．(2){x|x<－5}用区间表示为(－∞，－5)，用数轴表示如图．(3){x|－4≤x<2或3<x≤5}用区间表示为[－4,2)∪(3,5]，用数轴表示如图．应用区间时的3个注意点(1)区间是数集，区间的左端点小于右端点．(2)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．[针对训练]3．已知全集U＝R，A＝{x|－1<x≤5}，则∁U A用区间表示为__________________．[解析]∁U A＝{x|x≤－1或x>5}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)．[答案](－∞，－1]∪(5，＋∞)4．用区间表示不等式{x|x2－x－6≥0}的解集为______________________．[解析]不等式x2－x－6＝(x－3)(x＋2)≥0，解得x≥3或x≤－2，所以不等式的解集为{x|x≤－2或x≥3}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)．[答案](－∞，－2]∪[3，＋∞)题型三求函数的定义域【典例3】求下列函数的定义域．(1)y＝2＋3x－2；(2)y＝(x－1)0＋2x＋1；(3)y ＝3－x ·x －1； (4)y ＝(x ＋1)2x ＋1－－x 2－x ＋6.[思路导引] 函数定义域即是使自变量x 有意义的取值范围．[解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧x ＋1≠0，－x 2－x ＋6≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x 2＋x －6≤0，即⎩⎨⎧x ≠－1，(x ＋3)(x －2)≤0，解得－3≤x ≤2且x ≠－1，即函数定义域为{x |－3≤x ≤2且x ≠－1}．[变式] (1)将本例(3)中“y ＝3－x ·x －1”改为“y ＝(3－x )(x －1)”，则其定义域是什么？(2)将本例(3)中“y ＝3－x ·x －1”改为“y ＝3－xx －1”，则其定义域是什么？[解] (1)要使函数有意义，只需(3－x )(x －1)≥0，解得1≤x ≤3，即定义域为{x |1≤x ≤3}．(2)要使函数有意义，则⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1>0，解得1<x ≤3，即定义域为{x |1<x ≤3}．求函数定义域的几种类型(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．3.1.1.2函数概念的应用要点整理1．常见函数的定义域和值域2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．3．相同函数值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和对应关系相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们不是相同的函数．题型一同一函数的判断【典例1】下列各组式子是否表示同一函数？为什么？(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝x2，y＝(x)2；(3)y＝1＋x·1－x，u＝1－v2；(4)y＝(3－x)2，y＝x－3.[思路导引] 两个函数表示同一函数的关键条件是定义域相同，对应关系一致．[解](1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．(2)y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一函数．(3)y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，u＝1－v2的定义域为{v|－1≤v≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与u＝1－v2是同一函数．(4)∵y＝(3－x)2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝(3－x)2与y＝x－3不是同一函数．判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．题型二求函数值和值域【典例2】(1)已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．①求f(2)、g(2)的值；②求f[g(3)]的值．(2)求下列函数的值域：①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y ＝2x ＋1x －3； ④y ＝2x －x －1.[思路导引] (1)代入法求值；(2)结合解析式的特征选择适当的方法求值域． [解] (1)①∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. ②g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. (2)①(观察法)∵x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)． ③(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3， 显然7x －3≠0，∴y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． ④(换元法)设x －1＝t ， 则t ≥0，且x ＝t 2＋1.∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.∵t ≥0，∴y ≥158. 故函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.(1)函数求值的方法①已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． ②求f [g (a )]的值应遵循由里往外的原则． (2)求函数值域常用的4种方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．题型三求抽象函数的定义域【典例3】 已知函数f (x )的定义域为[1,3]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [思路导引] 定义域是x 的取值范围，f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1是相对应的．[解] 因为函数f (x )的定义域为[1,3]，即x ∈[1,3]，函数f (2x ＋1)中2x ＋1的范围与函数f (x )中x 的范围相同，所以2x ＋1∈[1,3]，所以x ∈[0,1]，即函数f (2x ＋1)的定义域是[0,1]．[变式] (1)若将本例条件改为“函数f (2x ＋1)的定义域为[1,3]”，求函数f (x )的定义域．(2)若将本例条件改为“函数f (1－x )的定义域为[1,3]”，其他不变，如何求解？[解] (1)因为x ∈[1,3]，所以2x ＋1∈[3,7]，即函数f (x )的定义域是[3,7]． (2)因为函数f (1－x )的定义域为[1,3]， 所以x ∈[1,3]，所以1－x ∈[－2,0]， 所以函数f (x )的定义域为[－2,0]． 由2x ＋1∈[－2,0]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12，所以f (2x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12.两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f[g(x)]的定义域．(2)已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域：若f[g(x)]的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域．3.1.2.1函数的表示法要点整理温馨提示：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．题型一函数的表示法【典例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x 与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[思路导引] 把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画．[解]①列表法③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．理解函数的表示法的3个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．题型二函数的图象【典例2】作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[思路导引] 通过“列表→描点→连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域．[解](1)列表：画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．(2)列表：(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．描点法作函数图象的3个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．题型三函数解析式的求法【典例3】 (1)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式；(2)已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1，求f (x )的解析式； (3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式．[思路导引] 求函数解析式，就是寻找函数三要素中的对应关系，即在已知自变量和函数值的条件下求对应关系的表达式．[解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1.∴f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b . 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)解法一：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)2， ∴f (x )＝x 2.又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2(x ≥1)． 解法二：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2. 由于x ≥0，所以t ≥1.代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＋1＝t 2， 所以f (x )＝x 2(x ≥1)． (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①∴将x 用1x替换，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，解得f (x )＝2x －1x(x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x(x ≠0)．[变式] (1)若将本例(2)中条件“f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1”变为“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝1x2－1”，则f (x )的解析式是什么？(2)若将本例(3)中条件“2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ”变为“f (x )－2f (－x )＝9x ＋2”，则f (x )的解析式是什么？[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，所以f (x )＝x 2－2x .因为1x ≠0，所以1x＋1≠1，所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1)．(2)由条件知，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2， 则⎩⎨⎧f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2，解得f (x )＝3x －2.求函数解析式的3种常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．如典例3(1)．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f [g (x )]的解析式求f (x )的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f [g (x )]中求出f (t )，从而求出f (x )．如典例3(2)．(3)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．如典例3(3)．3.1.2.2分段函数要点整理1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎨⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画． 题型一分段函数求值【典例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (f (－2)))的值； (2)若f (a )＝32，求a .[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值． [解] (1)∵－2<－1，∴f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f [f (－2)]＝f (－1)＝2， ∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋12＝32.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，∴a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，∴a ＝±22∈[－1,1]； 当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，∴a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．题型二分段函数的图象【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象：①y ＝⎩⎨⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1；②y ＝|x ＋1|.(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动路程为x ，△ABP 的面积为y ，求：①y 与x 之间的函数关系式； ②画出y ＝f (x )的图象．[思路导引] (1)利用描点法分段作图；(2)先依据x 的变化范围求出关系式． [解] (1)①函数图象如图1所示．②y ＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧－x －1，x <－1，x ＋1，x ≥－1，其图象如图2所示．(2)①y ＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．题型三分段函数的综合问题【典例3】 已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|. (1)求f (x )的值域； (2)解不等式：f (x )>0；(3)若直线y ＝a 与f (x )的图象无交点，求实数a 的取值范围． [思路导引] 去掉绝对值符号，化简f (x )，再分段求解． [解] 若x ≤－1，则x －3<0，x ＋1≤0，f (x )＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4； 若－1<x ≤3，则x －3≤0，x ＋1>0，f (x )＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2； 若x >3，则x －3>0，x ＋1>0，f (x )＝(x －3)－(x ＋1)＝－4.∴f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x >3.(1)－1<x ≤3时，－4≤－2x ＋2<4.∴f (x )的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]． (2)f (x )>0，即⎩⎨⎧x ≤－1，4>0，①或⎩⎨⎧－1<x ≤3，－2x ＋2>0，②或⎩⎨⎧x >3，－4>0，③解①得x ≤－1，解②得－1<x <1，解③得x ∈∅.所以f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)． (3)f (x )的图象如图：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点．[变式] 若a ∈R ，试探究方程f (x )＝a 解的个数．[解] 由例3(3)知y ＝f (x )的图象，作出直线y ＝a ，可以看出：当a ＝±4时，y ＝a 与y ＝f (x )有无数个交点；当－4<a <4时，y ＝a 与y ＝f (x )有且仅有一个交点；当a <－4或a >4时，y ＝a 与y ＝f (x )没有交点．综上可知：当a ＝±4时，方程f (x )＝a 有无数个解． 当－4<a <4时，方程f (x )＝a 有一个解． 当a <－4或a >4时，方程f (x )＝a 无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝k x的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？[思路导引] 利用待定系数法求出x 在每一段上的解析式，再分段研究． [解] (1)设线段AD 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)， 将点A (2,20)，D (0,10)代入， 得⎩⎨⎧2m ＋n ＝20n ＝10，解得⎩⎨⎧m ＝5n ＝10，∴线段AD 的解析式为y ＝5x ＋10(0≤x ≤2)． ∵双曲线y ＝k x经过B (12,20)， ∴20＝k 12，解得k ＝240，∴BC 段的解析式为y ＝240x(12≤x ≤24)．综上所述，y 与x 的函数解析式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10(0≤x ≤2)20(2<x <12)240x (12≤x ≤24).(2)当x ＝18时，y ＝24018＝403，由于403<15，∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长． (3)令y ＝15，当0≤x ≤2时，解5x ＋10＝15，得x ＝1， 当12≤x ≤24时，解240x＝15，得x ＝16.由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．3.2.1.1函数的单调性要点整理1．函数的单调性温馨提示：定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质．(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等．(3)并非所有的函数都具有单调性，如f (x )＝ ⎩⎨⎧1，x 是偶数0，x 是奇数，它的定义域是N ，但不具有单调性．题型一函数单调性的判断与证明【典例1】 证明函数f (x )＝x ＋4x在(－∞，－2)上是增函数．[思路导引] 设出∀x 1<x 2<－2，判定f (x 1)与f (x 2)的大小关系． [证明] ∀x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2.∵x 1<x 2<－2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )＝x ＋4x在(－∞，－2)上是增函数．证明或判断函数单调性的方法步骤题型二求函数的单调区间【典例2】 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝1x －1； (2)f (x )＝|x 2－3x ＋2|.[思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数y ＝x 2－3x ＋2的图象，再将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，结合图象写出f (x )的单调区间．[解] (1)函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∀x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1). 因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． (2)f (x )＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎨⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－(x 2－3x ＋2)，1<x <2.作出函数的图象，如图所示． 根据图象，可知，单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.(1)求函数单调区间的2种方法①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． ②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． (2)求函数单调区间的注意点一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．题型三函数单调性的应用【典例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在[4，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．(2)已知y ＝f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．[思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系．[解] (1)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的增区间是[1－a ，＋∞)． 又∵已知f (x )在[4，＋∞)上是增函数， ∴1－a ≤4，即a ≥－3.∴所求实数a 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)∵f (x )在R 上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，得a <23，∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23.[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？(2)若本例(2)中“定义域(－∞，＋∞)”改为“定义域(－1,1)”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的递增区间为[1－a ，＋∞)． ∴1－a ＝4，得a ＝－3. (2)由题意可知⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，即a <23.②由①②可知，0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.函数单调性的3个应用要点(1)二次函数的单调性由于只与对称轴及开口方向有关，因此处理起来较容易，只需结合图象即可获解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．(3)需注意若一函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．3.2.1.2函数的最大(小)值要点整理 1．最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象最高点的纵坐标． 2．最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象最低点的纵坐标．温馨提示：(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)并不是每一个函数都有最值，如函数y ＝1x，既没有最大值，也没有最小值．(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值． 题型一图象法求函数的最大(小)值【典例1】(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值；(2)画出函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[思路导引] 作出函数f (x )的图象，结合图象求解． [解] (1)作出函数f (x )的图象(如图1)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1；当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.(2)f(x)的图象如图2所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.图象法求最大(小)值的步骤题型二利用单调性求函数的最大(小)值【典例2】已知函数f(x)＝x＋1 x .(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；(2)求f(x)在[2,4]上的最值．[解](1)证明：设∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x 2－1x2＝(x1－x2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－1x1x2＝(x1－x2)(x1x2－1)x1x2.∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，故(x1－x2)·(x1x2－1)x1x2<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．又f(2)＝2＋12＝52，f(4)＝4＋14＝174，∴f(x)在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.函数的最值与单调性的关系(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．题型三求二次函数的最大(小)值【典例3】(1)已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．[思路导引] 找出f(x)的对称轴，分析对称轴与给定区间的关系，结合单调性求最值．[解] (1)函数f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min ＝f(2)＝－7.(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴f (x )min＝⎩⎨⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.[变式] 本例(2)条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] 在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立， 即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立， 即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]． 又f (x )max ＝⎩⎨⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.①当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. ②当a >3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a >3.综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图． (2)在图象上标出定义域的位置． (3)观察单调性写出最值．题型四实际应用中的最值【典例4】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为关于月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[思路导引] 先将利润表示成关于x 的函数，再利用函数的单调性求最值． [解] (1)月产量为x 台，则总成本为(20000＋100x )元，从而f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋300x －20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25000，当x ＝300时，f (x )max ＝25000；当x >400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )<60000－100×400＝20000<25000.∴当x ＝300时，f (x )max ＝25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．求解函数最大(小)值的实际问题应注意的2点(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决．3.2.2.1函数奇偶性的概念要点整理 函数的奇偶性温馨提示：(1)奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质，以加深理解)．(2)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．题型一函数奇偶性的判断【典例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝x x －1；(4)f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x >0，－2x ＋1，x <0.[思路导引] 借助奇函数、偶函数的定义判断． [解] (1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法(2)图象法题型二奇函数、偶函数的图象【典例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象．(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[思路导引] 根据奇函数图象特征作出函数图象，再求解．[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．[变式] 若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．[解] 因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．题型三利用函数的奇偶性求值【典例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；。
人教版高中函数知识点总结
人教版高中函数知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一种对应关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
数学上通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 定义域和值域函数的定义域是自变量能够取到的所有值的集合，而值域是函数得到的因变量的所有可能值的集合。
3. 函数的符号表示通常用f(x)和y来表示函数，其中y=f(x)。
此外，还有其他表示函数的方式，比如y=f(x), y=f(u), z=f(x,y)等。
4. 函数的图像函数的图像是函数在直角坐标系中的表示，可以通过图像的形状和特点来理解函数的性质和特点。
二、函数的性质1. 奇函数和偶函数奇函数满足f(-x)=-f(x)的函数，偶函数满足f(-x)=f(x)的函数。
2. 单调性当函数在定义域内的任意两点x1和x2满足x1<x2时，如果f(x1)<=f(x2)，则函数在此区间上是递增的；如果f(x1)>=f(x2)，则函数在此区间上是递减的。
3. 有界性函数在定义域内是否有上界和下界的性质。
4. 周期性如果对于任意的x，有f(x)=f(x+T)，其中T是一个正数，则称函数具有周期性，而T称为函数的周期。
三、函数的运算1. 函数的和、差、积、商两个函数的和、差、积、商分别定义如下：(f+g)(x) = f(x) + g(x)(f-g)(x) = f(x) - g(x)(f*g)(x) = f(x) * g(x)(f/g)(x) = f(x) / g(x)2. 复合函数给定两个函数f(x)和g(x)，我们可以定义它们的复合函数为h(x) = f(g(x))。
3. 函数的逆如果一个函数f(x)在定义域D上是单射的，即对于任意的x1和x2，如果f(x1)=f(x2)，则x1=x2，那么f(x)在D上就存在逆函数f^-1(x)。
四、函数的极限1. 函数在无穷远处的极限当自变量x趋于无穷大时，我们研究函数f(x)的极限：lim[f(x)] (x→∞)。
第3章 函数的概念与性质-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(必修第一册)
第3章 函数的概念与性质§3.1函数的概念及其表示1. 设A .B 是非空的实数集，使对于集合A 中的任意一个数x ，如果按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有惟一确定的数y 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2. 函数的构成要素为：定义域.对应关系.值域.3. 区间：闭区间、开区间、半开半闭区间.4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5. 分段函数§3.2.函数的基本性质§3.2.1单调性与最大（小）值1.函数单调性的定义：设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆，如果12,x x D ∀∈、当12x x <时，都有：12()()f x f x <或12()()0()f x f x f x D -<，就称在区间上单调递增；特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数；12()()f x f x >或12()()0()f x f x f x D ->，就称在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数；2. 最大值、最小值：设函数()f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）x I ∀∈，都有()M f x ≤;（2）0,x I ∃∈使得0()M f x =，我们就称M 是函数()y f x =的最大值.如果存在实数N 满足：（1）x I ∀∈，都有()f x N ≥;（2）0,x I ∃∈使得0()f x N =，我们就称N 是函数()y f x =的最小值.§3.2.2奇偶性1.定义：设函数()x f 的定义域为I , 如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()x f x f =-（或()()0f x f x --=），那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.且若()()f x f x -=-（或()()0f x f x -+=），那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.2.奇函数的性质：若奇函数()x f 的定义域为I , 如果0I ∈，则有(0)0f =.3.奇偶性与单调性：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.§3.3幂函数1.幂函数的解析式： y x α=，x 是自变量，α是常数.2.几种幂函数的图象：3.幂函数的性质：（1） 定点：()1,1.（2） 单调性：当0α>时，y x α=在()0,+∞上单调递增；当0α<时，y x α=在()0,+∞上单调递减；。
新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 重点难点归纳总结
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示 (1)3.1.1函数的概念 (1)第一课时函数的概念(一） (1)第二课时函数的概念(二) (5)3.1.2函数的表示法 (12)第一课时函数的表示法 (12)第二课时分段函数 (16)3.2函数的基本性质 (23)3.2.1单调性与最大(小)值 (23)第一课时函数的单调性 (23)第二课时函数的最大(小)值 (29)3.2.2奇偶性 (33)第一课时奇偶性的概念 (33)第二课时函数奇偶性的应用 (37)3.3幂函数 (40)3.4函数的应用(一) (47)3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第一课时函数的概念(一）知识点函数的概念对函数概念的再理解(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．1．在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？提示：确定．2．对应关系f必须是一个解析式的形式吗？提示：不一定．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．()(3)定义域中的每一个x可以对应着不同的y.()(4)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．答案：①②④3．函数f(x)＝14－x的定义域是________．解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．答案：{x|x<4}4．已知f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝________．解析：∵f(x)＝x2＋1，∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2.答案：2题型一函数关系的判断[例1](1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A．0B．1C．2 D．3(2)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有()A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍[解析](1)①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.(2)A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系，故选A、D.[答案](1)B(2)AD1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集；(2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应．2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．[注意] 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．[例2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝x －1·1－x ； (2)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. [解] (1)由题意得，⎩⎨⎧x －1≥0，1－x ≥0⇒x ＝1，∴函数的定义域为{1}．(2)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1，且x ≠1，∴函数的定义域为{x |x >－1，且x ≠1}．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．[例3]已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．[解析]∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.[答案]1317求函数值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a))的值应遵循由里向外的原则．第二课时函数的概念(二)知识点一区间的概念1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2．特殊区间的表示用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2＜x≤3}＝________；(3){x|x＞－1且x≠2}＝________；(4)R＝________；(5){x|x≤－1}∩{x|－5≤x＜2}＝________；(6){x|x＜9}∪{x|9＜x＜20}＝________．答案：(1)[1，＋∞)(2)(2，3](3)(－1，2)∪(2，＋∞)(4)(－∞，＋∞)(5)[－5，－1](6)(－∞，9)∪(9，20)知识点二同一个函数定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一个函数．()(2)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．()答案：(1)×(2)√2．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z答案：C题型一区间的应用[例1]将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}；(3){x|2≤x≤8且x≠5}；(4){x|3<x<5}．[解](1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图①.(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图②.(3){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图③.(4){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，用数轴表示如图④.用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．[例2](多选)下列式子表示同一个函数的是()A．f(x)＝|x|，φ(t)＝t2B．y＝x2，y＝(x)2C．y＝1＋x·1－x，y＝1－x2D．y＝（3－x）2，y＝x－3[解析]A：f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一个函数；B：y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一个函数；C：y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝1－x2的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与y＝1－x2是同一个函数；D：∵y＝（3－x）2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝（3－x）2与y＝x－3不是同一个函数．[答案]AC判断两个函数是否为同一个函数的步骤题型三求函数的值域[例3]求下列函数的值域：(1)y＝x－1；(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；(3)y＝3x－1 x＋1；(4)y＝2x＋41－x.[解](1)(直接法)∵x≥0，∴x－1≥－1，∴y＝x－1的值域为[－1，＋∞)．(2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}．(3)(分离常数法)y＝3x－1x＋1＝3x＋3－4x＋1＝3－4x＋1.∵4x＋1≠0，∴y≠3，∴y＝3x－1x＋1的值域为{y|y∈R，且y≠3}．(4)(换元法)令t＝1－x(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象(图略)可得函数的值域为(－∞，4]．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．抽象函数与复合函数的定义域一、概念1．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．2．复合函数的概念若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C ⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．[说明]由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．二、结论理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x 的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．[迁移应用]1．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域[例1] 已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，53 C ．[－3，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 [思路点拨] 解题的关键是求出函数y ＝f (x )中x 的范围，这个范围即为3x －2的范围，建立不等式求出自变量x 的范围即可．[解析] 由－x 2＋2x ＋3≥0， 解得－1≤x ≤3，即函数f (x )的定义域为[－1，3]． 由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53， 则函数f (3x －2)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53.[答案] A2．已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域[例2] 已知f (x 2－1)定义域为[0，3]，则f (x )的定义域为________． [思路点拨] 定义域是指自变量的取值范围，则f (x 2－1)中x ∈[0，3]，求出x 2－1的范围，这个范围即为f (x )的定义域．[解析] 根据f (x 2－1)定义域为[0，3]，得x ∈[0，3]， ∴x 2∈[0，9]，∴x 2－1∈[－1，8]． 故f (x )的定义域为[－1，8]． [答案] [－1，8]3．已知f (g (x ))的定义域，求f (h (x ))的定义域[例3] 若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________．[思路点拨] 由f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，即－12≤x ≤2，可求得12≤x ＋1≤3，也就是f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由此可推出12≤x －1≤3，进而求出x 的范围即为f (x －1)的定义域．[解析] 由题意知－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.故f (x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，43.1.2 函数的表示法第一课时 函数的表示法知识点 函数的表示方法函数三种表示法的优缺点比较1．函数y ＝f (x )的关系如下表，则f (11)＝( )x 0<x <5 5≤x <10 10≤x <15 15≤x ≤20y23 45A ．2B ．3C．4 D．5答案：C2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝()A．2 B．4C．0 D．3答案：C3．若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________．答案：f(x)＝－18x题型一函数的表示法[例1](链接教科书第67页例4)某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系y＝f(x)．[解](1)用列表法可将函数y＝f(x)表示为x 01234 5y 50403020100(2)用图象法可将函数y＝f(x)表示为(3)用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．1．函数的三种表示法的选择解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．2．用三种表示法表示函数时的注意点 (1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．题型二函数图象的作法及应用[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0，2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)．[解] (1)当x ∈[0，2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分，如图①，观察图象可知，其值域为[1，5]．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x 的一部分，如图②，观察图象可知其值域为(0，1]．描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．[注意] 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．题型三函数解析式的求法角度一用待定系数法求函数解析式[例3]已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．[解]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，∴{2a＝2，2b＝－4，2a＋2c＝0，∴{a＝1，b＝－2，c＝－1，∴f(x)＝x2－2x－1.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．角度二用换元法(配凑法)求函数解析式[例4]求下列函数的解析式：(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．[解](1)法一(换元法)：令t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.换元法、配凑法求函数解析式已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，有两种方法：(1)换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，再用x 替换t ，便得到f (x )的解析式．利用换元法解题时，换元后要确定新元t 的取值范围，即函数f (x )的定义域； (2)配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出g (x )，用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可．角度三 用方程组法求函数解析式[例5] 已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，求f (x )的解析式．[解] 在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代换x ，可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ， 则⎩⎨⎧f （x ）－2f （－x ）＝1＋2x ， f （－x ）－2f （x ）＝1－2x ， 消去f (－x )，可得f (x )＝23x －1.方程组法求函数的解析式方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f (－x )，f (x )的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f (－x )，f (x )的方程，联立解出f (x )．第二课时 分段函数知识点 分段函数 1．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．对分段函数的再理解(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝{x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )(3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．( )(4)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.则f (－2)＝________．答案：23．函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x ＞0，－2，x ＜0的定义域为________________，值域为____________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)4．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是________(填序号)．答案：④[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52.[解] 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋5＝12.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值．解：当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3，即a ＝－23∈(－2，2)，符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.2．(变设问)本例条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围．解：当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2； 当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2； 当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上可得，x 的取值范围是{x |x <2}．1．求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．。
高三数学函数性质人教版知识精讲
高三数学函数性质人教版知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容：函数性质二. 重点、难点： 1. 奇偶性〔1〕定义域A 关于原点对称。
任取A x ∈⇔=-)()(x f x f 偶函数⇔图象关于y 轴对称〔2〕定义域B 关于原点对称，任取B x ∈⇔-=-)()(x f x f 奇函数⇔图象关于原点对称2. 单调性运算单调性的方法：定义法、复合函数法、图象法、导数法 )(x f y = )(x g y = )]([)(x g f x F y == ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ 3. 周期性关于函数)(x f y =，D x ∈存在一个非0常数T ，任取D x ∈)()(x f T x f =+恒成立，那么)(x f y =叫周期函数，T 叫做周期。
【典型例题】1. 奇偶性[例1] 判定以下函数奇偶性〔1〕212xx y x +-=〔2〕)1lg(2x x y ++= 〔3〕1122-+-=x x y答案：〔1〕R x ∈且0≠x ，对称)21212()21121()(+--=+-⋅-=--x x x x x x f)()211121()21122(x f x x x xx =-+-⋅=--⋅= ∴ )(x f y =偶函数 〔2〕R x ∈，对称)11lg()1lg()(22x x x x x f ++=++-=-12)1lg(-++=x x )(x f -=∴ )(x f y =奇函数〔3〕}1,1{-∈x ，对称0)()()(=-==-x f x f x f∴ 既奇又偶[例2]〔1〕11)(-+==xa mx f y ，m 为何值时，)(x f 为奇函数 〔2〕)sin()(α+==x x f y ，α为何值时，)(x f 为偶函数答案：〔1〕xxx a ma a m x f -+=-+=--1111)( 11)1(1)1(1-+--=--+=x x x x a a m a a m1)1(11)(--+=-+=xx x a m a a m x f ∴ 2=m 时，)(x f y =奇函数 〔2〕)()(x f x f =- )sin()sin(x x +=-ααx x x x sin cos cos sin sin cos cos sin ⋅+⋅=⋅-⋅αααα ∴ 0cos sin 2=⋅αx ∴ 0cos =α∴ 2ππα+=k Z k ∈[例3] )(x f y =为R 上偶函数，),0(+∞∈x 时1sin )(2+-=x x x f ，求)0,(-∞∈x ，)(x f 解析式。
高三数学函数必背知识点
高三数学函数必背知识点数学函数是高中数学的重要内容之一，对于高三学生来说，掌握数学函数的必背知识点是非常重要的。
下面将按照适当的格式，为你详细介绍高三数学函数的必背知识点。
一、函数的定义和性质函数是两个集合之间的一种对应关系，常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为函数值或因变量。
函数具有以下性质：1. 定义域：函数能够取到实数的范围。
2. 值域：函数能够取到的所有可能的函数值。
3. 单调性：函数随自变量的增大或减小，函数值的增大或减小趋势。
4. 奇偶性：函数在对称中心关于y轴对称为偶函数，在对称中心关于原点对称为奇函数。
5. 周期性：函数的一段区间中，存在最小的正数T使得f(x+T)=f(x)，这个T为函数的周期。
二、常见函数类型及其性质1. 线性函数：f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线和y轴的交点。
2. 二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像通常为开口向上或开口向下的抛物线，对称轴为x = -b/2a，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
3. 幂函数：f(x) = x^a，其中a为常数且a≠0。
幂函数的图像根据a的正负和大小可以呈现不同的形状，例如当a>1时，图像向上开口，当0<a<1时，图像向下开口。
4. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。
指数函数的图像通常为上升或下降的曲线，曲线上的每个点(x, y)对应的底数为a，指数为x，函数值为y。
5. 对数函数：f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a≠1。
对数函数是指数函数的反函数，反映了指数运算的逆运算，例如log2(8) = 3。
三、函数的性质与图像的关系1. 奇偶性与图像的关系：奇函数的图像关于坐标原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
高三数学三角函数公式归纳整理知识点分析人教版
三角函数公式各象限三种三角函数（正、余弦／正切）的符号： 一全正；二正弦；三为切；四余弦；其余为负。
诱导公式x x f sin )(= x x f cos )(= x x f tan )(= x x f cot )(=)(x f -x sin -x cosx tan - x cot -)2(x f +πx cosx sin - x cot - x tan - )2(x f -πx cosx sinx cot x tan )(x f +πx sin - x cos - x tan x cot )(x f -πx sinx cos -x tan - x cot - )23(x f +πx cos - x sinx cot - x tan - )23(x f -πx cos -x sin -x cotx tan)2(x k f +πk ∈Zx sin x cosx tan x cot同角三角函数间的关系：倒数关系： tan α·cot α＝1 sin α·csc α＝1 cos α·sec α＝1 商的关系： ααcos sin ＝tan α＝ααcsc secααsin cos ＝cot α＝ααsec csc 六角形记忆法：构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数； （2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。
由此，可得商数关系式。
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两平方关系： sin 2α＋cos 2α＝1 1＋tan 2α＝sec 2α＝α2cos 11＋cot 2α＝csc 2α＝α2sin 1记忆方法： 奇变偶不变， 符号看象限。
个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc xsin xy21y -±122+±y y 112+±y 221y y -±y1 cos x21y -±y112+±y 122+±y y y1 221yy -±tan x221yy -± 221yy -± yy1 12-±y112-±y cot x221yy -± 221yy -± y1 y 112-±y 12-±ysec x211y -± y1 12+±y112+±y y 122-±y y csc x y1 211y -± 112+±y 12+±y122-±y y y和差角公式()()()βαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos ±=±±=±=±二倍角公式（升幂缩角）()()()ααααααααααααααααααααααααα22222222222222tan 1tan 22tan tan 1tan 11cos 2sin 21sin cos 2cos 1cos sin cos sin cos sin tan 1tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin -=+-=-=-=-=-+=+-+=+=+==半角公式（降幂扩角）降幂公式ααα2cos 12cos 1tan 2+-=万能公式2tan 12tan2tan 2tan 12tan 1cos 2tan 12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=余余正正 正余余正和差化积sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=-积化和差()()()()()()()()1sin sin cos cos 21cos cos cos cos 21sin cos sin sin 21cos sin sin sin 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦=++-⎡⎤⎣⎦=++-⎡⎤⎣⎦=+--⎡⎤⎣⎦三倍角公式αααααααααα2333tan 31tan tan 33tan cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin --=-=-=化a sin x ±b cos x 为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）⎪⎭⎫ ⎝⎛±+=±a b x b a x b x a arctan sin cos sin 22三角函数增减性导数 f‘(x ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππk k 22,2(k ∈Z )⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 2,22(k ∈Z )⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,2(k ∈Z )⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22,223(k ∈Z )f (x ) = sin xcos x 增、凸减、凸 减、凹 增、凹 f (x ) = cos xx sin - 减、凸 减、凹 增、凹 增、凸 f (x ) = tan xxx x 222sec cos 11tan ==+增、凹增、凸增、凹增、凸f (x ) = cot －csc 2x 减、凹 减、凸减、凹 减、凸记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了【被减成负数】，所以要“挣钱”【音似“正弦” 】）余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余” ） ☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
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高三数学函数性质人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：函数性质二. 重点、难点： 1. 奇偶性（1）定义域A 关于原点对称。
任取A x ∈⇔=-)()(x f x f 偶函数⇔图象关于y 轴对称（2）定义域B 关于原点对称，任取B x ∈⇔-=-)()(x f x f 奇函数⇔图象关于原点对称2. 单调性计算单调性的方法：定义法、复合函数法、图象法、导数法 )(x f y = )(x g y = )]([)(x g f x F y == ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ 3. 周期性对于函数)(x f y =，D x ∈存在一个非0常数T ，任取D x ∈)()(x f T x f =+恒成立，那么)(x f y =叫周期函数，T 叫做周期。
【典型例题】1. 奇偶性[例1] 判断下列函数奇偶性（1）212xx y x +-=（2）)1lg(2x x y ++= （3）1122-+-=x x y答案：（1）R x ∈且0≠x ，对称)21212()21121()(+--=+-⋅-=--x x x x x x f)()211121()21122(x f x x x xx =-+-⋅=--⋅= ∴ )(x f y =偶函数 （2）R x ∈，对称)11lg()1lg()(22x x x x x f ++=++-=-12)1lg(-++=x x )(x f -= ∴ )(x f y =奇函数（3）}1,1{-∈x ，对称0)()()(=-==-x f x f x f∴ 既奇又偶[例2]（1）11)(-+==xa mx f y ，m 为何值时，)(x f 为奇函数 （2）)sin()(α+==x x f y ，α为何值时，)(x f 为偶函数答案：（1）xxx a ma a m x f -+=-+=--1111)( 11)1(1)1(1-+--=--+=x x x x a a m a a m1)1(11)(--+=-+=xx x a m a a m x f ∴ 2=m 时，)(x f y =奇函数 （2）)()(x f x f =- )sin()sin(x x +=-ααx x x x sin cos cos sin sin cos cos sin ⋅+⋅=⋅-⋅αααα ∴ 0cos sin 2=⋅αx ∴ 0cos =α∴ 2ππα+=k Z k ∈[例3] )(x f y =为R 上偶函数，),0(+∞∈x 时1sin )(2+-=x x x f ，求)0,(-∞∈x ，)(x f 解析式。
答案：)0,(-∞∈x1sin ]1)sin()[()()(22++=+---=-=x x x x x f x f2. 单调性[例4] 求下列函数的增区间（1）)6(log 221--=x x y（2）3||22--=x x y （3）)2)(1(--=x x x y （4）21xxy +=答案：（1）↓=t y 21log 62--=x x t ∴ )2,(--∞∈x ↑（2）作图⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--=03203222x x x x x x y ∴ ↑+∞-),1)(0,1(（3）令x x x t )2)(1(--=x x x 2323+-= 2632+-='x x t ),2()331,0(02630)2)(1(2+∞⋃-⇒⎩⎨⎧>+->--x x x x x ∴ )331,0(-，↑+∞),2( （4）)(x f y =奇函数，0>x 时，0)(>x f 0=x ，0)(=x f ，0<x 时，0)(<x f ),0(+∞∈x111)(2+==xx f y ∴ ↑ ∴ R 上↑另解：R xx y ⇒>+⋅+='01)1(122 ∴ R 上↑[例5]（1）若1)3(2)(2+-+==x a ax x f y 在区间↓+∞-),2[，求a 取值范围。
（2）若k kx x x y ++-=232在（31，1）上↓，求k 的取值范围。
答案：（1）① 0=a ，16+-=x y 成立② 0≠a ⎪⎩⎪⎨⎧-≤--<22)3(20a a a 03<≤-⇒a ∴ )0,3[-∈a（2）k kx x x x f ++-=232)( k x x x f +-='43)(20432<+-k x x 解集为A ∴ A ⊆)1,31(∴ ]1,(0)1(0)31(-∞∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤'≤'k f f3. 周期性[例6] 求下列函数是否为周期函数（1）)(x f y =，R x ∈，满足)3()1(+=+x f x f（2）)(x f y =，R x ∈，满足)()2(x f x f -=+（3）)(x f y =，R x ∈，满足)(1)2(x f x f =+ （4）)(x f y =，R x ∈，满足1)(1)()2(+-=+x f x f x f答案：（1）令t x =+1 ∴ )2()(+=t f t f ∴ )()2(x f x f =+ ∴ T=2 周期函数（2）)()]([)2()4(x f x f x f x f =--=+-=+ ∴ T=4 周期函数（3）)()2(1)4(x f x f x f =+=+ ∴ T=4（4）11)(1)(11)(1)(1)2(1)2()4(++--+-=++-+=+x f x f x f x f x f x f x f )(1)(22x f x f -=-= )()(11)4(1)8(x f x f x f x f =--=+-=+ ∴ T=8[例7] )(x f y =，R x ∈，偶函数，)1()(-==x f x g y 奇函数，则=)2007(f 。
答案：)(x g y =奇)1()1(--=--⇒x f x f)(x f y =偶⇒)1()1(+=--x f x f∴ )1()1(--=+x f x f ∴ )()2(x f x f -=+ ∴ )()4(x f x f =+ )(x g y =奇 ∴ )2007()1(0)0(f f g =-==[例8] )(x f y =，R x ∈，偶函数，周期函数，2=T ，]3,2[∈x ，x x f =)(，则=-)21(f ，]0,1[-∈x ，=)(x f 。
答案：25)25()221()21()21(==+==-f f f f]0,1[-∈x x x f x f x f -=+-=-=2)2()()(【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题：1. 在区间（∞-，0）上为增函数的是（ ）A. )(log 21x y --=B. xx y -=1C. 2)1(+-=x yD. 21x y +=2. 若)(x f 在区间M 上是减函数，且0)(>x f ，则下列函数在区间M 上是增函数的是（ ）A. )(2x f y = B. )()21(x f y = C. )(x f y =D. )(log 2x f y =3. 函数245x x y --=的递增区间是（ ）A. ]2,(--∞B. ]2,5[--C. ]1,2[-D. ),(+∞-∞4. 若函数)(x f y =是偶函数，R x ∈，在0<x 时，y 是增函数，对于01<x ，02>x ，且||||21x x <，则下列结论正确的是（ ）A. )()(21x f x f ->-B. )()(21x f x f -<-C. )()(21x f x f -=-D. )()(21x f x f -≥-5. 若函数)(x f y =在R 上单调递增，且)()(2m f m f ->，则实数m 的取值范围是（ ） A. )1,(--∞ B. ),0(+∞ C. )0,1(- D. ),0()1,(+∞⋃--∞二. 简答题：1. )(x f y =，R 上奇函数，)0,(-∞∈x ，1sin )(2+-=x x x f ，求x 0>时，)(x f 解析式。
2. )(2)(x x a a a ax f y ---==为R 上↑，求a 的取值范围。
3. )(x f y =，R x ∈，在↑∈)2,0(x ，)2(+=x f y 为偶函数，试比较)1(f 、)25(f 、)27(f 的大小关系。
试题答案一.1. B2. B3. B4. A5. D 二.1. ),0(+∞∈x 1sin ]1)sin()[()()(22---=+----=--=x x x x x f x f 2.（1）)1,0(∈a02<-a a↓--x x a a （2）)2,1(∈a 02<-a a↑--x x a a ∴↑)(x f（3）),2(+∞∈a 02>-a a↑--x x a a∴ ),2()1,0(+∞⋃∈a3. )2(+=x f y 偶)2()2(+=+-⇒x f x f令21=x ∴ )25()23(f f = 23=x ∴ )27()21(f f = )(x f y =在（0，2）↑∴ )27()21()1()23()25(f f f f f =>>=。