高中数学北师大版高一必修一3.3.1-2《指数函数的概念_指数函数y=2x和y=(12)x的图像和性质》word同步测试
北师大版高中数学必修1课件3指数函数y=2x和y=12x的图像和性质课件
值域大于0。图像经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，0
＜y＜1；x＞0时，y＞1。图像不关于x轴对称，也不关于y轴对称，
说明函数既不是奇函数也不是偶函数。
通过观察图2，可知图像左右延伸无止境，说明定义域是实 数。图像自左至右是下降的，说明是减函数，图像位于x轴上 方，说明值域大于 0 。图像经过点 (0,1) ，且 y 值分布有以下特 点：x＜0时，y＞1；x＞0时，0＜y＜1。图像不关于x轴对称，
答案：b＜a＜c (a，b 可利用指数函数的性质比较，而 c 是大于 1 的)。
2．比较 a 与 a 的大小(a＞0 且 a≠0)。
1 3
1 2
答案：分 a＞1 和 0＜a＜1 两种情况讨论： 当 0＜a＜1 时， a ＞ a ； 当 a＞1 时， a ＜ a 。
1 3 1 2 1 3 1 2
例题解析
2x 1 x 1
故函数 y＝10
的值域是{y|y≥1，y≠10}。
变式训练
3、求下列函数的定义域和值域： (1)y＝ 2
1
2 x x2
；(2)y＝ 32 x 1 ；(3)y＝ ax 1 (a＞0，a≠1)。
1
2 x x2
1 9
答案：(1)函数 y＝ 2
自左向右，图像逐渐 自左向右，图像逐 上升 在第一象限内的图 像纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都小于 1 渐下降 在第一象限内的图 像纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都大于 1
x＞0， ax＞1 x＜0， ax＜1
x＞0， ax＜1ห้องสมุดไป่ตู้x＜0， ax＞1
高中数学北师大版高一必修1教案 3.3指数函数的图像和性质
3．3 指数函数的图像和性质 第1课时 指数函数的图像与性质●三维目标1．知识与技能理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法培养学生数形结合的意识，提高学生观察、分析、归纳的思维能力． 3．情感、态度与价值观通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质．●重点难点重点：指数函数的概念、图像和性质及其应用． 难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．教学时，要让学生体会其中隐含的函数关系，引导学生通过y ＝2x 和y ＝(12)x 两个函数，感受到这两个函数中的指数幂具有的共性：可以写为y ＝a x 的形式．在学习指数函数的性质时，建议尽可能地引导学生通过观察图像，自己归纳概括出指数函数的性质．为了使学生能够主动研究指数函数的图像和性质，教师可以充分利用信息技术提供互动环境，先引导学生随意地取a 的值，并在同一个平面直角坐标系内画出它们的图像，然后再通过底数a 的连续动态变化展示函数图像的分布情况，这样就会使学生比较容易地概括出指数函数的性质．●教学建议为充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习过程，让学生体验数学发现和创造的历程，本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法．以多媒体演示为载体，启发学生观察思考，分析讨论为主，教师适当引导点拨，让学生始终处在教学活动的中心．●教学流程从指数概念的扩充过程引出指数函数的概念，并完成例1及变式训练⇒通过描点法做出函数y＝2x和y＝(12)x的图像，观察两个函数图像的特征⇒通过例2及其变式训练，加深对指数函数的认识⇒通过多媒体课件展示当底数a取不同的值时函数图像，让学生直观感知底数对图像的影响⇒通过例3及其变式训练，让学生初步掌握函数的图像和性质⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第40页)课标解读1.理解指数函数的概念．2．通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数a的关系．(重点易混点)3．掌握指数函数的图像与性质及其简单应用．(难点) 【问题导思】已知函数y＝2x，y＝(13)x.1．上面两个关系式是函数式吗？【提示】是．2．这两个函数形式上有什么共同点？【提示】底数为常数，指数为自变量．函数y＝a x叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a是一个大于0且不等1的常量．【问题导思】1．试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝(12)x(x∈R)的图像【提示】2．两函数图像有无交点？【提示】有交点，其坐标为(0,1)．3．两函数图像与x轴有交点吗？【提示】没有交点，图像在x轴上方．4．两函数的定义域是什么，值域是什么？【提示】定义域是R，值域是(0，＋∞)．5．两函数的单调性如何？【提示】y＝2x是增函数，y＝(12)x是减函数．a>10<a<1 图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1是R上的增函数是R上的减函数(见学生用书第40页)指出下列函数哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x (a >12，且a ≠1)．【思路探究】 紧扣指数函数的定义，能否转化为y ＝a x (a >0且a ≠1)的形式．【自主解答】 (1)(5)(8)为指数函数，(2)是幂函数；(3)是－1与指数函数y ＝4x 的乘积；(4)中底数－4<0，所以它不是指数函数，(6)中指数不是x ，(7)中底数x 不是常数．一般地，函数y ＝a x 叫作指数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常数，x 是自变量，正确完成例1需要准确理解指数函数的定义．严格对比指数函数的定义是解决好本题的关键．已知指数函数f (x )＝(a 2－8)a x 的图像过点(－1，13)．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (－13)的值．【解】 (1)∵f (x )＝(a 2－8)a x 为指数函数， ∴a 2－8＝1.①又∵图像过点(－1，13)，∴f (－1)＝13.②联立①②得a ＝3， ∴f (x )＝3x .(2)f (－13)＝3－13＝133＝393.设f (x )＝3x ，g (x )＝(13)x .(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图像；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 【思路探究】 建系→列表→描点→连线【自主解答】 (1)函数f (x )与g (x )的图像如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝(13)－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝(13)－π＝3π；f (m )＝3m ，g (－m )＝(13)－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图像关于y 轴对称．1．指数函数的图像根据底数不同分为两类：(1)当0<a <1时，指数函数y ＝a x 是定义域R 上的减函数； (2)当a >1时，指数函数y ＝a x 是定义域R 上的增函数．2．不论底数取何值，指数函数的图像恒过点(0,1)．即要求指数型函数过定点，只需让指数位置等于0即可．(1)指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图像如图3－3－1所示，则( )图3－3－1A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1 (2)函数y ＝15x 的图像是( )【解析】 (1)结合图像易知0<a <1，b >1.(2)因为指数函数y ＝15x 的底数15>1，所以函数y ＝15x 是R 上的增函数，排除A 、C ；又因为当x ＝0时，y ＝1，即图像过点(0,1)，故选B.【答案】 (1)C (2)B比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5,1.73； (2)2.3－0.28,0.67－3.1.【思路探究】 (1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)利用中间量1比较大小． 【自主解答】 (1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7， 故构造函数y ＝1.7x ，则函数y ＝1.7x 在R 上是增函数． 又2.5<3，所以1.72.5<1.73.(2)(中间量法)由指数函数的性质，知 2．3－0.28<2.30＝1,0.67－3.1>0.670＝1，所以2.3－0.28<0.67－3.1.比较指数式大小的方法1．单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．2．中间量法：比较不同底且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小．(1)下列不等关系中，正确的是( ) A ．(12)23<1<(12)13 B ．(12)13<(12)23<1C ．1<(12)13<(12)23D ．(12)23<(12)13<1(2)(2013·长沙高一检测)设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 3>y 2D ．y 1>y 2>y 3【解析】 (1)∵函数y ＝(12)x 在R 上是减函数，而0<13<23，∴(12)23<(12)13<(12)0，即(12)23<(12)13<1. (2)从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y 1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y 2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝(2－1)－1.5＝21.5.因为指数函数y ＝2x (x ∈R)是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y 1>y 3>y 2. 【答案】 (1)D (2)C第2课时 指数函数的图像与性质的应用●三维目标1．知识与技能(1)掌握和指数函数有关的简单图像变换．(2)能根据指数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题． (3)注意指数函数的底数的讨论． 2．过程与方法(1)通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生成为一个会与别人共同学习的人．(2)通过探索、比较复杂函数与简单初等函数的关系，培养学生利用化归思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过讨论比较复杂的函数的单调性、奇偶性，使学生感知知识之间的有机联系，感受数学的整体性，感受并体会数学中的化归思想的巨大作用及其在生活中对处理生活琐事的指导作用，激发学生的学习兴趣．(2)在教学过程中，通过学生的相互交流，增强学生数学交流能力，合作学习的能力，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．●重点难点重点：讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性．难点：将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题． 讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性是本课的教学重点．将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题以及在解决具体实际问题中目标函数模型的确立、目标函数的定义域的确立是本课的教学难点．●教学建议判断复合函数的单调性时常按照定义进行，并且首先要判断定义域是否关于原点对称．有时也可将所给函数转化为两个或多个基本初等函数的复合函数，进而通过讨论每个基本初等函数的单调性确定所求复合函数的单调性．判断复合函数的奇偶性时，往往要进行通分，这样可以得到比较对称的形式，同时在证明函数的单调性或求函数的值域时往往要进行常数分离．另外，结合图形往往使得解题更加的简单，特别是在分析题目时，图形有助于我们的思考，找到解题思路．解决具体实际问题时，为了更快、更准确地确定目标函数模型，可以先由特殊的情况开始，多列举几种情形，分析、观察、寻找其中的规律，确立目标函数模型，同时也应根据具体问题的实际意义确定函数的定义域．●教学流程复习指数函数的图像与性质和复合函数的相关知识⇒通过指数函数的图像，利用图像的变换得到和指数函数相关的函数图像⇒完成例1及其变式训练，掌握函数的三种常见变换⇒师生合作交流，得出和指数函数相关的复合函数的单调性问题⇒通过例2及其变式训练，使学生加深对复合函数单调性的认识⇒合作探究和指数函数相关的函数奇偶性问题，完成例3及其变式训练，深化对知识的理解⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第42页)课标解读1.理解并掌握指数函数的图像和性质．(重点)2．掌握函数图像的简单变换．(易混点)3．能运用指数函数的有关性质去研究指数型函数的性质．(难点)【问题导思】若已知函数f(x)＝2x的图像．1．如何得到f(x)＝2x－1的图像？【提示】向右平移1个单位．2．如何得到f(x)＝2x－2的图像？【提示】向下平移2个单位．3．如何得到f (x )＝(12)x 的图像？【提示】 作f (x )＝2x 关于y 轴的对称图像． 4．如何得到f (x )＝－2x 的图像？【提示】 将f (x )＝2x 的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴下方． 1．平移变换(1)左右平移：y ＝f (x )――→a >0，左移a 个单位a <0，右移|a |个单位y ＝f (x ＋a ) 特征：左加右减：(2)上下平移：y ＝f (x )――→k >0，上移k 个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k 特征：上加下减． 2．对称变换(1)y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； (2)y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； (3)y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 3．翻折变换(1)y ＝f (x )――→y 轴左侧部分去掉，保留y 轴右侧部分，把y 轴右侧部分以y 轴为对称轴翻折到y 轴左侧 y ＝f (|x |)．(2)y ＝f (x )――→x 轴下侧部分去掉，保留x 轴上侧部分，把x 轴下侧部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上侧 y ＝|f (x )|.(见学生用书第43页)函数图像的作法利用函数f (x )＝(12)x 的图像，作出下列函数的图像：(1)f (x ＋1)；(2)－f (x )；(3)f (－x )．【思路探究】 作出y ＝(12)x的图像→明确f (x )与f (x ＋1)， －f (x )，f (－x )图像间 的关系――→平移变换对称变换分别得出图像【自主解答】 作出f (x )＝(12)x 的图像，如图所示：(1)f (x ＋1)的图像：需将f (x )的图像向左平移1个单位得f (x ＋1)的图像，如图(1)． (2)－f (x )的图像：作f (x )的图像关于x 轴对称的图像得－f (x )的图像，如图(2)． (3)f (－x )的图像：作f (x )的图像关于y 轴对称的图像得f (－x )的图像，如图(3)．1．利用已知的函数图像作图，主要运用图像的平移、对称等变换，平移变换需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如(1)；对称变换需分清对称轴是什么，如(2)(3)．2．利用变换作图，一般步骤是： 选基函数→写出变换过程→画图像函数y ＝2|x |的图像是( )【解析】 法一 由于y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x ≥0，12x x <0，所以A 正确． 法二 y ＝2|x |――→偶函数对称变换――→保留y 轴右侧部分，并对y 轴右侧部分翻折到左边y ＝2|x |，知选A. 【答案】 A与指数函数有关的复合函数(1)y ＝3x 2－2x ＋7；(2)y ＝4x －2·2x ＋5.【思路探究】 将复合函数写成y ＝f (u )，u ＝φ(x )的形式，然后利用复合函数的单调性求解．【自主解答】 (1)函数的定义域为R ，对u ＝x 2－2x ＋7＝(x －1)2＋6，当x ≥1时，u 为增函数，x ≤1时，u 为减函数，又3>1，∴函数y ＝3x 2－2x ＋7的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．(2)令2x ＝t ，则t 是x 的增函数，y ＝t 2－2t ＋5＝(t －1)2＋4，当t ≥1，即2x ≥1，即x ≥0时，y 是t 的增函数；当t ≤1，即2x ≤1，即x ≤0时，y 是t 的减函数；又函数的定义域为R ，∴函数y ＝4x －2·2x ＋5的单调增区间是[0，＋∞)，减区间是(－∞，0]．1．求函数的单调区间，首先求函数的定义域，对复合函数的单调性，应注意y ＝f (u )与u ＝g (x )单调性的一致性和相反性． 2．在复合函数中，一般情况下，如果两个函数都是增函数或都是减函数，则复合函数是增函数；如果两个函数一增一减，则复合函数为减函数，简称“同增异减”．(1)函数y ＝(12)x 2－3x ＋2的单调增区间是________． (2)y ＝(2－1)－x 2＋2x ＋3的单调增区间是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(1,3)D ．(－1,1)【解析】 令u ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14，令y ＝(12)u 在定义域内是减函数，而求y ＝(12)x 2－3x ＋2的增区间，只需求u 的减区间，∴x ∈(－∞，32]． (2)函数y 的定义域为R ，u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；x ≥1时，u 是减函数，又0<2－1<1，∴y 的增区间为(1，＋∞)．【答案】 (1)(－∞，32] (2)A指数函数的综合问题已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x )的值域．【思路探究】 (1)将两个已知条件代入解析式即可求a ，b ；(2)求出函数的定义域，再依据奇偶性的判断方法求解；(3)依据单调性的证明步骤给出过程，再依据单调性求值域．【自主解答】 (1)∵⎩⎨⎧ f1＝52，f2＝174，∴根据题意得⎩⎨⎧ f 1＝2＋2a ＋b ＝52，f 2＝22＋22a ＋b ＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. 故a ，b 的值分别为－1,0.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋2－x ，f (x )的定义域为R ，关于原点对称．因为f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)设任意x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1＋2－x 1)－(2x 2＋2－x 2)＝(2x 1－2x 2)＋(12x 1－12x 2)＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2. 因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数．当x ＝0时，函数取得最小值，为f (0)＝1＋1＝2，所以f (x )的值域为[2，＋∞)．1．指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． 2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．设a 为实数，f (x )＝a －22x＋1(x ∈R)． (1)证明f (x )在R 上为增函数；(2)试确定a 的值，使f (x )为奇函数．【解】 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(a －22x 1＋1)－(a －22x 2＋1) ＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1. 由于指数函数y ＝2x 在R 上为增函数，且x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，即2x 1－2x 2<0.又由2x >0，得2x 1＋1>0,2x 2＋1>0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在R 上为增函数．(2)若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即a －22－x＋1＝－(a －22x ＋1)． 变形得2a ＝22－x ＋1＋22x ＋1＝2·2x2－x ＋1·2x ＋22x ＋1＝22x ＋12x ＋1＝2. 解得a ＝1.所以当a ＝1时，f (x )为奇函数.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.1 正整数指数函数 3.1.1 指数函数概念素材2 北师大版必修1
3.1 正整数指数函数
一、教材分析
1.《指数函数》在教材中的地位、作用和特点
2.教学目标、重点和难点
（1）知识目标：①掌握指数函数的概念；②掌握指数函数的图象和性质；③能初步利用指数函数的概念解决实际问题；
（2）技能目标：①渗透分类讨论、数形结合的基本数学思想方法②培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳的能力；
（3）情感目标：①体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题②通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力③领会数学学科的应用价值。
（4）教学重点：指数函数的图象和性质。
（5）教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。
二、教法设计
1.创设问题情景.
2.强化“指数函数”概念.
3.突出图象的作用.
4.注意数学与生活和实践的联系.
三、学法指导
1.再现原有认知结构.
2.领会常见数学思想方法.
3.在互相交流和自主探究中获得发展.
4.注意学习过程的循序渐进.
四、程序设计
1.创设情景、导入新课
2.启发诱导、探求新知
3.巩固新知、反馈回授
4.归纳小结、深化目标
5.板书设计
五、教学评价
通过多种评价方式让更多的学生获得学习的自信，在轻松融洽的课堂评价氛围中完成本节课的教学和学习任务。
北师大版高一数学必修第一册3.3.2指数函数的图象和性质课件
目标检测
3 体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能 反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图．
答案：可用指数函数S＝S0at来刻画体内癌细胞数量S随时间t变化的规律， 其中初始量S0＞0，增长比例a＞1，t≥0．图略．
目标检测
1
在同一直角坐标系中画出函数 y 3x 和 y (1)x 的图象，并说明它们 3
的关系．
答案：图象已在前面问题3中给出，此处Fra bibliotek去．函数y
3x
和
y
( 1 ) x的 3
图象关于y轴对称．
目标检测
2 比较下列各题中两个值的大小： （1）6 2 ，7 2 ； （2）0.3－3.5，0.3－2.3； （3）1.20.5，0.51.2．
2 ＝2x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数y＝2x的 图象，画出函数 y (1)x 的图象？
2
新知探究
因为 y (1)x 2x，点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数y＝2x
2 的图象上任意一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(－x，y)都在函数
y
(
1 2
)x
的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象
x 问题3 选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，例如a＝3，a＝4， a＝ ， a＝ 在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，
它们有哪些共性？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等．
北师大版高一数学必修1第三章《指数函数》
第三章 指数函数第1节 正整数指数函数知识点1：正整数指数函数的概念函数y=a x （a>0,1≠a +∈N x ）叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N +。
知识点2：正整数指数函数的图像特征及其单调性 1、正整数指数函数的图像是散点图；2、当1>a 时，在定义域上递增；当10<<a 时，在定义域上递减。
知识点3：指数型函数我们把形如xka y =（1,0≠>∈a a R x k ，、）的函数叫作指数型函数。
例：已知正整数指数函数f(x)的图像经过点（3,27）. （1）求函数f(x)的解析式； （2）求f （5）的值；（3）函数f(x)有最值吗？如有，试求出；若无，请说明理由。
第2节 指数扩充及其运算性质 知识点1：分数指数幂1、定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n （m ，n 互素），存在唯一的正实数b ，使得mna b =，我们把b 叫作a 的nm次幂，记作n ma b =。
2、意义知识点2：无理数指数幂无理数指数幂αa （a>0，α是无理数）是一个确定的实数。
知识点3：实数指数幂及其运算性质1、当a>0时，对任意的R ∈α，αa 都有意义，且是唯一确定的实数。
2、实数指数幂的运算性质：对任意实数m 、n ，当a>0，b>0时，nm nma a a +=•；()mn nma a =；()n n nb a ab =。
知识点4：根式及其分数指数幂的运算 1、指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算； （2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式； （2）利用分数指数幂的运算性质求解. 3.根式的性质（其中n ∈N +，且n>1）； （1）当n 为奇数时，a a n n =；（2）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,||a a a a a a nn；（3）00=n ；（4）负数没有偶次方根。
北师大版(2019)高中数学必修第一册课程目录与教学计划表
北师大版（2019）高中数学必修第一册课
程目录与教学计划表
教学计划、进度、课时安排
教材课本目录是一本书的纲领, 是
教与学的路线图。
不管是做教学计
划、实施教学活动, 还是做学习计
划、复习安排、工作总结, 都离不
开目录。
目录是一本书的知识框
架, 要做到心中有书、胸有成竹,
就从目录开始吧！
课程目录
必修第一册
第一章预备知识
1 集合
1.1 集合的概念与表示
1.2 集合的基本关系
1.3 集合的基本运算
本节综合与测试
2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
2.2 全称量词与存在量词
本节综合与测试
本节综合与测试
本章综合与测试
第七章概率
1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象
1.2 样本空间
1.3 随机事件
1.4 随机事件的运算
本节综合与测试
2 古典概型
2.1 古典概型
2.2 古典概型的应用
本节综合与测试
3 频率与概率
4 事件的独立性
本章综合与测试
第八章数学建模活动（一）
1 走进数学建模
2 数学建模的主要步骤
3 数学建模活动的主要过程本章综合与测试
本册综合。
【优质课件】高中数学北师大版必修一3.3.1指数函数的概念 指数函数y=2x和y=12x的图像和性质优秀课件.ppt
• [规律总结] 前五个小题的图像变换方法我们 已在前边学过，后两个小题是图像翻折问 题．由y＝f(x)变到y＝|f(x)|，把x轴下方的图 像上翻；由y＝f(x)变到y＝f(|x|)，把y轴左边 图像删除，利用偶函数图像对称性补充完 整．
• 指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图像过点(3， π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
D．b<c<a
[答案] B [解析] 因为 y＝0.5x 在 R 上是减函数，
又12>13>14，
1
1
1
所以 0.52 <0.53 <0.54 ，即 a<b<c.
3．函数 y＝(12) x－1的值域是(
)
A．(－∞，0)
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
[答案] B
[解析] ∵ x－1≥0， ∴(21) x－1≤(12)0＝1，且(21) >0. x－1 ∴所求值域为(0,1]．
[解析]
由题意可得
a3＝π，∴a＝3
1
π＝π3
，
x
1
所以 f(x)＝π3 ，因此 f(0)＝π0＝1，f(1)＝π3 ，f(－3)＝π－1＝Leabharlann π.易错疑难辨析•
函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函
数，求实数a的值．
• [错解] 因为f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函 数，所以有a2－3a＋3＝1.
• (1)若函数f(x)＝(a2－a－1)·ax是一个指数函 数，则实数a的值为________；
• (2)若指数函数f(x)的图像经过点(－1,4)，则 f(2[答)＝案]__(_1)_2__(2_)1_16.
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_8
的图像向左平移 1 个单位得
到，结合指数函数的图像可知 A 正确．故选 A.
解析 答案
考点一
考点二
考点三
(2)曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图像如图所示，由图可知：如 果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b ∈[－1,1]．
[答案] (1)A (2)[－1,1]
C．f(c)<f(a)<f(b)
D．f(b)<f(c)<f(a)
解析 答案
考点一
考点二
考点三
易知
f(x)＝2x－2－x
在
R
上为递增函数，又
a＝79
1 4
＝97
1 4
9 >7
1 5
＝
b>0，c＝log279<0，则 a>b>c，所以 f(c)<f(b)<f(a)．选 B. [答案] B
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型
函数图像，数形结合求解．
考点一
考点二
考点三
[母题变式] 1．将本例(1)改为函数 f(x)＝2|x－1|的图像是( )
解析 答案
考点一
考点二
考点三
2x－1，x≥1， f(x)＝12x－1，x＜1，
故选 B.
答案：B
解析 答案
解析 答案
考点一
考点二
考点三
(1)设 t＝x2＋2x－1，则 y＝12t.因为 t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝12t 为关于 t 的减函数，所以 0＜y＝12t≤12－2＝4，故所求函数的值 域为(0,4]．
(2)因为 x∈[－3,2]，若令 t＝12x，则 t∈14，8.则 y＝t2－t＋1＝
北师大版高中数学必修第一册3.3.1指数函数的概念及其图象课件
+1.
令2x=t, 则 t ∈[1,4], 且f(t)=(t+1)²+1, ∴f(1)≤f(t)≤f(4), 即 5 ≤f(t)≤26,
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
即函数y=4x+2x+1+2 的值域为[5,26].
方法归纳 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0, 且a≠1):
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同； (2)求函数y=af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y= a 的单调性确定函数y=af(x)的值域；
(3)求函数y=f(a) 的定义域，需先确定y=f(u) 的定义域，即u的取值 范围，亦即u=a 的值域，由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值 范围，得y=f(a) 的定义域；
解析：f(-1)=2-(-1)=2,∴f(-1)=f(2)=a ·2²=1,∴
6. (12分)设f(x)=3x,
垂
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x) 的图象；
解析：函 数f(x)与g(x)的图象如图所示.
(2)计算f(1)与g(一1),f(π) 与g(一π),f(m) 与g(-m) 的值，从中你能得 到什么结论?
例1求下列函数的定义域和值域：
(1)y=√ 1-3×;
解析：要使函数式有意义，则1-3x≥0, 即3*≤1=30,因为函数y=3×在R上是 增函数，所以x≤0, 故函数y =√1-3 ×的定义域为(一0,0).
因为x≤0, 所以0<3x≤1, 所以0≤1-3x<1, 所以 √1-3×∈[0,1],即函数y=√1-3× 的值域为[0,1].
D.[0,1]
答案：C 解析：因为指数函数y=3x 在区间[-1,1]上是增函数，所以3-¹ ≤3×≤3¹ ,于是
北师大版高中数学必修1课件3指数函数y=2x和y=12x的图像和性质课件
y＞1；当 x＞0 时，0＜y＜1
问题 7 把
y＝2x 和
1 y＝ 的图像，放在同一坐标系中，你能发 2
x
现这两个图像的关系吗？
1 在同一坐标系中作出 y＝2x 和 y 2
x
两个函数的图像，如图。经过仔细研 究发现，它们的图像关于 y 轴对称。
问题8 你能证明上述结论吗？
3
< 1.7 。
3
-2 -1
0.5
1
2
3
4
5
6
-0.5
② 0.8
0.1
与 0.8
x
0.2
的底数是 0.8，它们可以看成函
1.8
fx =
1.6
0.8x
1.4
数 y= 0.8 ，当 x=-0.1 和-0.2 时的函数值；因为 0<0.8<1，所以函数 y= 0.8 在 R 是减函数，而
x
1.2
x x x
1 问题 9 能否用 y＝2x 的图像画 y＝ 的图像？请说明画法的理由。 2
1 x 因为 y＝2 和 y 两个函数的图像关于 2
x
x
y 轴对称， 所以可以先画其
中一个函数的图像，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图像。
例题解析
例 1 比较下列各题中两个值的大小： ① 1.7 2.5 ， 1.7 3 ； ② 0.80.1 ， 0.8 0.2 ； ③ 1.7 0.3 ， 0.9 3.1
例 2 求下列函数的定义域和值域： (1)y＝ 2
1 x4
x
；
2 (2)y＝ 3
；
(3)y＝10
1 x4
2x 1 x 1
北师大版高中数学必修一指数函数的概念及图像和性质教案
§3 指数函数的概念及图像和性质（共3课时）一. 教学目标：1．知识与技能（1）理解指数函数的概念和意义； （2）2xy =与1()2xy =的图象和性质；（3）理解和掌握指数函数的图象和性质； （4）指数函数底数a 对图象的影响；（5）底数a 对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小 （6）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. （2）培养学生观察问题，分析问题的能力. 二．重、难点重点：（1）指数函数的概念和性质及其应用. （2）指数函数底数a 对图象的影响；（3）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小 难点：（1）利用函数单调性比较指数幂的大小 （2）指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、教法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体. 四、教学过程第一课时讲授新课指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2xy =-（4）x y π= （5）2y x = （6）24y x =（7）xy x = （8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8xy x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,xy == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)xy a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)xy a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 先来研究a ＞1的情况下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2xy =的图象.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭从图中我们看出2()2xxy y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2x xy y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x ,y 点(-)x y x ,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x xx x y y y y ====的函数图象.2x第二课时问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看x y a =（a ＞1）与xy a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题3：指数函数xy a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]xa b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（3）对于指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；x 例题分析例1 比较下列各题中两个数的大小： (1) 3 0.8 , 30.7 (2) 0.75-0.1, 0.750.1例2 (1)求使4x>32成立的x 的集合； (2)已知a 4/5>a2 ,求实数a 的取值范围.练习p73 1,2作业p77习题3-3 A 组 4,5课后反思：第三课时（1）提出问题指数函数y=a x(a>0,a≠1)底数a对函数图象的影响，我们通过两个实例来讨论a>1和0<a<1两种情况。
高中数学 3.3《指数函数》课件(1) 北师大版必修1
规律方法 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指 数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指 数函数图像的变化规律来判断． (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同 底的两个幂，或者通过中间值来比较．
【训练 2】 求下列函数的定义域与值域；
(1)y＝
；(2)y＝23 ；(3)y＝
解 (1)令 x－4≠0，得 x≠4，∴定义域为{x|x∈R 且 x≠4}．
∵x－1 4≠0，∴
≠1，∴y＝
的值域为{y|y＞0 且
y≠1}．
(2)定义域为 R.
故 y＝23－|x|的值域为{y|y≥1}． (3)定义域为[2，＋∞)．
【示例】 若直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|＋1(a＞0 且 a≠1)的 图像有两个公共点，求 a 的取值范围． [思路分析] 本题涉及两个函数图像的交点，需作出图像，根据 交点的个数，讨论 a 的取值范围．
解 当 a＞1 时，通过平移变换和翻折变换可得(实线)，由图可
知 1＜2a＜2，即12＜a＜1，与 a＞1 矛盾；
(2)函数 y＝ax 的图像与函数 y＝a－x 的图像关于 y 轴对称，y＝ax 的图像与 y＝－ax 的图像关于 x 轴对称，函数 y＝ax 的图像与 y ＝－a－x 的图像关于坐标原点对称． (3)使用指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)的单调性时，要首先讨论 底数 a 与 1 的关系． 当 a＞1 时，y＝ax 在 R 上单调递增，且 x＞0 时，ax＞1；当 x ＝0 时，ax＝1；当 x＜0 时，0＜ax＜1； 当 0＜a＜1 时，y＝ax 在 R 上单调递减，且 x＞0 时，0＜ax＜1； 当 x＝0 时，ax＝1；当 x＜0 时，ax＞1. 单调性是指数函数最重要的一个性质，运用此性质可以求与指 数函数有关的函数的值域、单调区间．
2020年高中数学 3.3.1《指数函数的概念》教案 北师大
课 题：指数函数的定义【教学目标】1． 通过实际问题了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义.2． 在学习的过程中体会研究具体函数的过程和方法.3．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活得哲理；培养学生观察问题、分析问题的能力.【教学重点】指数函数定义及其理解.【教学难点】指数函数的定义及其理解.【教学步骤】（一）引入课题引例1 任何有机体都是由细胞作为基本单位组成的，每个细胞每次分裂为2个，则1个细胞第一次分裂后变为2个细胞，第二次分裂就得到4个细胞，第三次分裂后就得到8个细胞……问题： 1个细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的关系式是什么？分裂次数 细胞个数0=x 021==y1=x 122==y2=x 224==y3=x 328==y……由上面的对应关系，我们可以归纳出，第x 次分裂后，细胞的个数为xy 2=.这个函数的定义域是非负整数集，由x y 2=，任给一个x 值，我们就可以求出对应的y 值. 引例2 一种放射性元素不断衰变为其他元素，每经过一年剩余的质量约为原来的84%. 问题：若设该放射性元素最初的质量为1，则x 年后的剩余量y 与x 的关系式是什么？时间 剩余质量经过1年 184.0%841=⨯=y经过2年 284.084.084.0=⨯=y经过3年 3284.084.084.0=⨯=y……由上面的对应关系，我们可以归纳出，经过x 年后，剩余量x y 84.0=.问题：上面两个实例得到的函数解析式有什么共同特征？它们的自变量都出现在指数位置上，底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们称这样的函数为指数函数.(二)讲授新课1．指数函数的定义：一般地，形如)1,0(≠>=a a a y x且的函数，叫做指数函数，其中x 是自变量,a 是不等于1的正的常数．说明：（1）由于我们已经将指数幂推广到实数指数幂，因此当a ＞0时，自变量x 可以取任意的实数，因此指数函数的定义域是R ，即),(+∞-∞∈x .(2)为什么要规定底数1,0≠>a a 且呢.因为当0=a 时，若0>x ，则x a 恒为0；若x ≤0，则x a 无意义. 而当0<a 时，x a 不一定有意义，例如2-=a ，21=x 时，2)2(21-=-=x a 显然没有意义.若1=a 时，xa 恒为1，没有研究的必要.因此，为了避免上述情况，我们规定1,0≠>a a 且.注意：此解释只要能说明即可，不必深化，也可视学生情况决定是否向同学解释.练一练：下列函数中，哪些是指数函数？ x y 2=，xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，x y 10=，x e y =， x y =，2x y =，1-=x y ，x y )4(-=，x y 32⋅=. 分析：紧扣指数函数的定义，形如)1,0(≠>=a a a y x且函数叫做指数函数，即a 前面的系数为1，a 是一个正常数，指数是x . 解： x y 2=，xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，x y 10=，x e y =都是指数函数，其余都不是指数函数. (三)典型例题例1 已知指数函数x x f 2)(=，求)2(-f ，)1(-f ，)0(f ，)1(f 的值. 解：41212)2(22===--f ； 212)1(1==--f ； 12)0(0==f ；22)1(1==f .例2 已知指数函数xy 3=，若27=y ，求自变量x 的值.解：将27=y 代入x y 3=，得 x 327=，即 x 333=，所以 3=x .例3 设x a x f =)(，若9)2(=f ，求a 的值.解：由已知，得9)2(2==a f ，即 223=a ，因为 0>a ，所以 3=a .(四)课堂练习1．已知指数函数x x f 3)(=，求)2(-f ，)1(-f ，)0(f ，)1(f 的值.2．已知指数函数x y 2=，若16=y ，求自变量x 的值.(五)课堂小结1.指数函数的定义；2.研究函数的方法.(六)课后作业教材P 102练习 1，2，3.(七)板书设计【教学设计说明】1．本节课的教学，首先从实际问题引入指数函数的概念，这样既说明指数函数的概念来源于生活实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识.由于本节课是指数函数的起始课，只介绍了指数函数的定义，因此应让学生在理解概念的基础上，落实所学知识.在例题方面，选取紧密联系函数解析式的三种类型题目.例1，已知自变量求函数值；例2，已知函数值求自变量，例3，已知指数函数经过某点确定底数a.通过这三方面例题的讲授，使学生对指数函数的解析式有一个较全面的理解，同时为后面指数函数的图像与性质的学习奠定基础.2．本节课的教学过程：（1）从实际问题引入，得到指数函数的概念；（2）对指数函数的进一步理解；（3）例题、练习、小结、作业.。
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_20
. 64
课堂练习
1、求下列函数的定义域、值域：
1 y 72x1,
1
3 y 3x ,
2
y
1 5
2
x
,
4 y 5 x1
2、函数y=a2x-3+3恒过定点
3 2
,
4
。
例题讲解
例2：课本例1 练习：课本练习1
课堂小结
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些学习数学方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
理解：
(1)如果a<0, 比如y=(-4)x，这时对于x=1／4,x=1／2等，在 实数范围内函数值不存在； (2)如果a=0，当x>0时, y=0;当x≤0时，y无意义。 (3)如果a=1，y=1，是个常值函数，没有研究的必要；
练习：
下列函数中，哪些是指数函数？
(1) y 4x (2) y x4 (3) y 4x (4) y 4x1 解析：
列出x,y的对应表，用描点法画出图象
x … -3
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
y 2x … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 …
画 y ( 1 )x 的图象
2
列出x,y的对应表，用描点法画出图象
x … -3
y
y 3x x N*
探究
问题一中函数y=2x与问题二 中函数y=3x的解析式有什么共同 特征？
底为常数
指数为自变量
形如 y a x ( a 0, 且a 1 ) 的函数叫做指数函数，
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第三章 §3 3.1、3.2指数函数的概念 指数函数y ＝2x 和y ＝（12）x 的图像
和性质
一、选择题
1．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1
；③y ＝3x ；④y ＝x 3
，其中指数函数的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[答案] B
[解析] ①中，3x
的系数2不是1，因此不是指数函数；②中3的指数是x ＋1，不是x ，因此不是指数函数；③中满足指数函数的定义，故③正确；④中函数是幂函数，故选B.
2．函数y ＝2－x
的图像是下图中的( )
[答案] B
[解析] ∵y ＝2－x
＝(12
)x ，
∴函数y ＝(12)x
是减函数，且过点(0,1)，故选B.
3．函数y ＝1－2x
的定义域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)
[答案] B
[解析] 由题意，得1－2x
≥0，∴2x
≤1，∴x ≤0， ∴函数y ＝1－2x
的定义域为(－∞，0]． 4．已知函数f (x )＝2x －1
＋1，则f (x )的图像恒过定点( )
A ．(1,0)
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(1,1)
[答案] C
[解析] 代入选项易知C 正确．
5．经过点(－32，8
27)的指数函数的解析式为( )
A ．y ＝(94)x
B ．y ＝(32)x
C ．y ＝(49)x
D ．y ＝(23
)x
[答案] A
[解析] 将点(－32，827)代入指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)中，则a －
32 ＝827，即(1a )3
2 ＝(23)3，所以1a ＝
23，即a ＝9
4
. 6．(2014·山东高考)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x
，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．(1,3) C ．[1,3) D ．(1,4)
[答案] C
[解析] 本题考查指数函数集合的运算． |x －1|<2，∴－2<x －1<2 即－1<x <3，y ＝2x,
0≤x ≤2 ∴20
≤y ≤22
，即1≤y ≤4 ∴A ∩B ＝[1,3) 二、填空题 7．函数f (x )＝a x 2
＋2x －3
＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.
[答案] 9
[解析] ∵函数f (x )＝a x 2
＋2x －3
＋m (a >1)恒过点(1,10)，
∴10＝a 0
＋m ，∴m ＝9. 8．(2015·江苏高考)不等式2 x 2
－x
＜4的解集为________．
[答案] (－1,2)
[解析] 由题意得：x 2
－x <2⇒－1<x <2， 解集为(－1,2)． 三、解答题
9．若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，求实数a 的取值范围． [解析] y ＝(4－3a )x 是指数函数，需满足：
⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－3a >0，
4－3a ≠1，解得a <4
3
且a ≠1，
故a 的取值范围为{a |a <4
3且a ≠1}．
10．已知函数f (x )＝a x
＋x －2
x ＋1
(a >1)． (1)求f (x )的定义域；
(2)判断函数f (x )在(－1，＋∞)上的单调性．
[解析] (1)只需x ＋1≠0时，f (x )都有意义，故f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－1}． (2)设x 1，x 2是(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a x
1＋x 1－2x 1＋1－(a x
2＋x 2－2x 2＋1
) ＝(a x 1－a x
2)＋3 x 1－x 2 x 1＋1 x 2＋1 .
∵－1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 又a >1，∴a x
1<a x
2，即ax 1－ax 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上是增加的.
一、选择题
1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2x
，x >0，x ＋1，x ≤0，
若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
[答案] A
[解析] 本题考查分段函数求值．
∵f (1)＝21
＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a
＝－2不成立． 当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3. 2．函数y ＝2
x ＋1的图像是图中的( )
[答案] B
[解析] x ＝0时，y ＝2；且y ＝2x ＋1
的图像是y ＝2x
的图像向左平移1个单位得到的，为增函数．
二、填空题
3．若指数函数f (x )的图像经过点(2,4)，则f (3)＝________. [答案] 8
[解析] 设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，因为图像经过点(2,4)，所以f (2)＝4，即a 2
＝4.因为a >0且a ≠1，得a ＝2，即函数的解析式为f (x )＝2x ，∴f (3)＝23
＝8.
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2－x
－1，x ≤0x 12，x >0.则满足f (x )>1的x 的取值范围是________．
[答案] {x |x >1或x <－1}
[解析] 由已知f (x )>1可化为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≤0，
2－x
－1>1或⎩
⎪⎨⎪⎧
x >0，x 1
2>1，解得x >1或x <－1，故{x |x >1或x <－1}．
三、解答题 5．已知f (x )＝
1
2x
－1
＋a 是奇函数，求a 的值及函数的值域． [解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立． 即
12－x
－1＋a ＝－[1
2x －1
＋a ]， ∴2a ＝－12－x －1－1
2x －1＝1，
∴a ＝12
.
∵2x
－1≠0，∴x ≠0.
∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵2x
>0且2x
≠1，∴2x
－1>－1且2x
－1≠0， ∴
12x －1<－1或1
2x －1
>0， ∴y <－12或y >12
.
∴f (x )的值域为(－∞，－12)∪(1
2
，＋∞)．
6．画出函数y ＝|2x
－1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|2x
－1|＝k 无解？有一解？有两解？
[解析] 函数y ＝|2x
－1|的图像是由函数y ＝2x
的图像向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，图像如图所示．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|2x
－1|的图像无交点，即方程无解；
当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|2x
－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；
当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|2x
－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解． 7．设f (x )＝4
x
4x ＋2，若0<a <1，试求：
(1)f (a )＋f (1－a )的值；
(2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (1000
1001)的值．
[解析] (1)f (a )＋f (1－a ) ＝
4a
4a ＋2＋41－a
41－a ＋2＝4a
4a
＋2＋44
a 4
4
a ＋2 ＝4a
4a ＋2＋44＋2·4a ＝4a
4a ＋2＋22＋4a ＝4a
＋2
4a ＋2
＝1. (2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (1000
1001
)
＝[f (11001)＋f (10001001)]＋[f (21001)＋f (9991001)]＋…＋[f (5001001)＋f (5011001
)]＝500×1＝500.。