旅行商问题的动态规划与子集编码求解法的研究与实现_吴陈
组合优化中的旅行商问题
组合优化中的旅行商问题组合优化问题是指在给定的集合或者结构中，寻找一个最优解或者一个近似最优解的问题。
而旅行商问题是组合优化中的一个经典问题，也是一个NP困难问题。
它的问题描述是：给定一些城市和它们之间的距离，求解一个最短路径，使得每个城市只经过一次，并且最后能够回到起始城市。
旅行商问题在实际生活中有着广泛的应用，比如物流配送、电路板布线、旅游路线规划等。
由于问题的复杂性，寻找解决该问题的最优算法一直是学术界和工业界的研究热点。
为了解决旅行商问题，已经提出了一系列的算法。
下面将介绍其中几种常见的算法。
1. 穷举法穷举法是最简单的解决旅行商问题的方法之一。
它的思想是对所有可能的路径进行穷举，计算路径的总长度，并选择其中最短的路径作为结果。
然而，由于旅行商问题的解空间巨大(复杂度是O(n!))，穷举法在问题规模较大时计算量会非常庞大，因此不适用于大规模问题。
2. 动态规划法动态规划法是另一种解决旅行商问题的常用方法。
它的思想是通过将问题分解成多个子问题，并利用子问题的最优解构造原问题的解。
具体来说，可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从城市i出发，经过集合j中的城市一次后，回到起始城市的最短路径长度。
通过动态规划的递推公式，可以求解出dp数组中的所有元素，从而得到整个问题的最优解。
3. 遗传算法遗传算法是一种基于生物进化和遗传机制的搜索算法。
它通过模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异等操作，逐步优化解的质量。
在解决旅行商问题时，可以将每个可能的路径编码成一个染色体，并用适应度函数评估每个染色体的优劣。
然后通过选择、交叉和变异等操作，使得优秀的染色体得以传递下去，最终得到一个接近最优解的路径。
4. 其他启发式算法除了上述提及的算法，还有一些启发式算法常被用于解决旅行商问题，如蚁群算法、模拟退火算法和遗传算法等。
这些算法多为基于自然现象和启发式规则的搜索算法，可以有效地在大规模数据集上求解旅行商问题。
关于旅行商问题的数学模型
关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。
本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。
1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。
旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。
城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。
例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。
2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。
2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。
3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。
因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。
基于动态规划的旅行商问题优化模型
基于动态规划的旅行商问题优化模型旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目的是找到一条最短的路径，使得旅行商能够恰好访问每个城市一次后回到起始城市。
这个问题的算法复杂度随着城市数量的增加而指数级增长，在实际应用中往往需要找到一种高效的解决方法。
为了优化旅行商问题，可以采用动态规划的方法来求解。
动态规划是一种将问题拆分成子问题并存储中间结果，以避免重复计算的算法思想。
在旅行商问题中，动态规划可以用来计算城市间的最短路径以及最优解。
首先，我们需要定义一个状态转移方程来描述问题的最优解。
设dp[i][j]表示从起始城市出发，经过城市集合i后到达城市j的最短路径长度。
我们可以利用子问题的最优解来计算整体问题的最优解。
状态转移方程如下：dp[i][j] = min{dp[i\j][k] + dist(k, j)}，其中i\j表示从i中去掉城市j后的城市集合，dist(k, j)表示从城市k到城市j的距离。
基于此状态转移方程，我们可以采用动态规划的方法求解旅行商问题。
具体步骤如下：1. 初始化二维数组dp，并将初始状态设置为无穷大。
2. 对于每个子问题(i, j)，遍历城市k，找到dp[i\j][k] + dist(k, j)的最小值。
3. 更新dp[i][j]的值为上一步骤中求得的最小值。
4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完所有的子问题。
5. 最后，dp[0][0]即为最优解，表示从起始城市出发经过所有城市一次后回到起始城市的最短路径长度。
除了动态规划方法外，还可以使用其他的优化策略来解决旅行商问题。
例如，遗传算法、模拟退火算法等启发式算法。
这些算法通常通过随机搜索的方式来找到较优解，虽然不能保证找到全局最优解，但在实际问题中具有较高的效率。
除了以上提到的求解方法，我们对于旅行商问题还可以做一些限定条件的优化。
例如，通过对城市进行聚类，可以先将城市分为若干组，再分别求解每个组内的最优路径。
这样可以减少计算量，提高求解效率。
动态规划解决旅行商问题_附代码
1.问题基本描述:求一个旅行商经过N个城市最后回到出发点的最短路径.即,在一个无向带权图的邻接矩阵中,求一个最短环包括所有顶点.2.解法:1)动态规划:假设从顶点i出发，令d(i,V’)表示从顶点i出发经过V’中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点i的最短路径的长度，开始时，V’=V-{i}，于是，旅行商问题的动态规划函数为：d(i,V’) = min{c ik + d(k,V’-{k})} (k∈V’)1)d(k,{}) = c ki (k ≠ i)2)简单来说,就是用递归表达:从出发点0到1号点,假设1是第一个,则剩下的路程就是从1经过剩下的点最后回到0点的最短路径. 所以当V’为空的时候, d(k,{}) = c ki (k ≠ i), 找的是最后一个点到0点的距离.递归求解1之后,再继续求V’之中剩下的点,最后找出min.如果按照这个思想直接做,对于每一个i都要递归剩下的V中所有的点,所以这样的时间复杂度就近似于N!,其中有很多重复的工作.可以从小的集合到大的集合算,并存入一个二维数组,这样当加入一个节点时,就可以用到之前的结果,如四个点的情况:动态填表:表中元素代表第i个节点经过V集合中的点最后到0点的最短值.如果有多个值,取其中最小的一个.这样一共循环(2^(N-1)-1)*(N-1)次,就把时间复杂度缩小到O(N*2)的级别.核心伪代码如下:{for (i =1;i<n;i++) //初始化第0列d[i][0]=c[i][0];for( j=1;j<2^(N-1)-1;j++)for(i=1 ; i<n ;i++){if(子集Vj中不包含i){对Vj中的每个元素k，计算d[i][Vj] = min{c[i][k] + d[k][{Vj-k}] | 每一个k∈Vj};}}对V[2^(n-1)-1]中的每个元素k,计算:d[0][2^(n-1)-1] = min{c[0][k] + d[k][2^(n-1)-2]};输出最短路径:d[0][2^(n-1)-1];}。
基于图论的旅行商问题求解算法研究
基于图论的旅行商问题求解算法研究1. 引言旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简称TSP）是计算机科学中的经典问题，属于组合优化问题的范畴。
其基本思想是在给定的一组城市以及它们之间的距离或成本数据的情况下，找到一条最短的路径，使得路径经过每个城市且仅经过一次，最终回到起点城市。
2. 图论基础在研究旅行商问题之前，我们需要了解图论的基本概念。
图由节点（顶点）和边（连接节点的线段）组成。
对于旅行商问题，我们可以将每个城市视为一个节点，城市之间的距离视为边的权重。
3. 穷举法穷举法是最简单、最直接的求解方法。
它列举了所有可能的路径，并计算每条路径的总长度，最后选择最短的路径作为最优解。
然而，随着城市数量的增加，穷举法的复杂度呈指数级增长，因此对于大规模的问题来说，穷举法的效率非常低下。
4. 最小生成树法最小生成树法（Minimum Spanning Tree, MST）将图中的所有节点通过边连接起来，形成一棵树。
通过对最小生成树进行遍历，我们可以得到一条经过每个节点且最短的路径。
然而，最小生成树法并不能得到最优解，因为它忽略了必须回到起始城市的约束。
5. 动态规划法动态规划法是一种常用的求解旅行商问题的方法。
它基于以下两个关键思想：子问题最优性和子问题重叠性。
动态规划法通过对问题进行逐步分解，将大问题划分为较小的、重复的子问题。
通过求解子问题并利用子问题之间的关系，最终可以得到问题的最优解。
具体到旅行商问题，我们可以使用动态规划来求解。
6. 遗传算法遗传算法是一种基于自然界进化规律的启发式算法，常用于解决复杂的组合优化问题。
它通过构造一个种群，每个个体代表一种可行解，并通过模拟自然选择、交叉和变异等遗传操作来逐代进化种群。
最终，进化到一定代数时，得到的个体就是问题的近似最优解。
在求解旅行商问题时，我们可以使用遗传算法来搜索解空间，并不断优化路径的长度。
7. 蚁群算法蚁群算法受到蚂蚁找食物行为的启发，通过模拟蚂蚁在搜寻食物时的行为来求解优化问题。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点TSP（Traveling Salesman Problem）是一种NP-hard问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商经过所有城市并返回原始城市的总距离最小。
由于TSP在实际应用中具有广泛的应用，很多研究者提出了多种方法来解决TSP问题。
本文将介绍几种常见的TSP求解方法及其优缺点。
1.枚举法枚举法是最简单直观的方法，它遍历所有可能的路径，并选择总距离最小的路径作为最优解。
由于TSP问题的解空间随问题规模呈指数级增长，这种方法只适用于规模较小的问题。
枚举法的优点是保证找到最优解，缺点是耗时较长。
2.最近邻法最近邻法从一个起始城市出发，每次选择与当前城市距离最近的未访问城市作为下一个城市。
直到所有城市都被访问一遍，并返回原始城市。
最近邻法的优点是简单易实现，缺点是容易陷入局部最优解，从而得不到整体最优解。
3.插入法插入法从初始路径开始，将未访问的城市不断插入到已访问城市之间，直到所有城市都被访问一遍。
插入方法有多种，比如最短边插入、最长边插入和最佳位置插入等。
插入法的优点是相对于最近邻法来说，可以得到更好的解。
缺点是算法复杂度较高，计算时间较长。
4.遗传算法遗传算法是一种群体智能算法，模拟生物进化的过程，通过遗传操作寻找优秀的解。
在TSP问题中，遗传算法可以将城市路径看作染色体，并通过选择、交叉和变异等操作进行优化。
遗传算法的优点是能够快速找到次优解，并且对于规模较大的问题也适用。
缺点是需要调节大量参数，算法收敛速度较慢。
5.动态规划动态规划是一种由上而下的分治思想，将原问题分解为若干子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题。
在TSP问题中，可以通过建立状态转移方程来求解最优路径。
动态规划的优点是求解过程中可以剪枝，避免重复计算，能够得到精确解。
缺点是算法时间复杂度较高，不适用于大规模问题。
以上是几种常见的TSP求解方法及其优缺点。
不同的方法适用于不同的问题规模和实际应用场景。
TSP问题的算法研究
TSP问题的算法研究简介旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简称TSP）是指在旅行商（salesman）需要依次拜访多个城市，并最终返回起点城市的问题。
TSP是一个著名的NP-hard问题，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将对TSP问题的算法研究进行探讨。
问题描述给定n个城市之间的距离矩阵D(n*n)，以及起点城市，要求找到一条最短的路径，使得旅行商能够依次经过每个城市，并最终回到起点城市。
传统方法基于暴力搜索的穷举算法最简单直观的解决TSP问题的方法是穷举法。
即尝试遍历所有可能的路径，计算每条路径的总长度，并找出最短路径。
但这种方法的时间复杂度为O(n!)，随着城市数量的增加，计算量呈指数级增长，不适用于大规模问题。
动态规划算法动态规划算法可以用于求解TSP问题的近似解。
其基本思想是将问题划分为子问题，并利用子问题的最优解求解原问题的最优解。
但是由于TSP问题的子问题形态特殊，采用动态规划算法时需要引入状态压缩技巧，以减小问题规模，提高求解效率。
进化算法遗传算法遗传算法是一种基于进化和遗传机制的优化算法，常用于解决TSP问题。
其基本思想是模拟生物进化中的遗传、突变、选择等过程，通过不断迭代优化求解策略，最终找到最优解。
遗传算法的步骤如下：1.初始化一组随机的路径作为初始种群。
2.计算每个路径的适应度评估值，即路径长度。
3.使用选择操作选取一部分适应度较高的个体作为父代。
4.使用交叉操作生成子代，在子代中引入新的解，并避免陷入局部最优解。
5.使用变异操作对子代进行突变，增加种群的多样性。
6.计算新种群中每个路径的适应度评估值。
7.重复步骤3-6，直到满足停止条件。
蚁群算法蚁群算法是基于蚁群觅食行为的启发式算法，常用于求解TSP问题。
其基本思想是通过模拟蚂蚁在寻找食物过程中的行为，不断更新路径信息素，从而实现解的优化。
蚁群算法的步骤如下：1.初始化一群蚂蚁，每只蚂蚁在一个城市开始。
基于动态规划算法的旅行商问题求解
基于动态规划算法的旅行商问题求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题。
它的任务是在给定一系列城市和每对城市之间的距离（或者称为成本），找到一条经过每个城市一次且回到起始城市的最短路径。
动态规划算法是求解旅行商问题的一种常用方法。
它基于以下思想：将大问题分解为若干个小问题，通过解决小问题的最优解来逐步得到大问题的最优解。
首先，我们需要定义旅行商问题的状态。
在本问题中，我们可以将状态定义为一个二元组 (i, S)，它表示旅行商当前所在的城市为 i，已经遍历过的城市集合为 S。
这里的状态空间是城市集合 C 的幂集除去空集：状态空间：C = {1, 2, ..., n}，其中 n 是城市的数量。
接下来，我们需要定义状态转移方程。
假设当前状态为 (i, S)，我们需要求解的是到达状态 (i, C) 的最短路径。
状态转移方程可以表示为：dp[i][S] = min{dist[i][j] + dp[j][S\{j}]}，其中 j∈S，j≠i其中，dp[i][S] 是从城市 i 出发，经过集合 S 中的城市，最后回到起始城市的最短路径长度。
dist[i][j] 表示城市 i 到城市 j 的距离。
S\{j} 表示从集合 S 中去掉元素 j 后的集合。
最后，我们需要定义问题的边界条件。
当集合 S 中只有一个城市 i 时，经过城市 i 后回到起始城市的路径长度就是从起始城市到达城市 i 的距离。
所以边界条件可以表示为：当 |S| = 1 时，dp[i][S] = dist[i][1]接下来，我们使用动态规划算法来解决旅行商问题。
1. 创建一个二维数组 dp[n][2^n]，其中 n 是城市的数量。
初始化数组 dp 的所有元素为无穷大。
2. 对于每个城市 i，将 dp[i][∅]（空集）的值设为 dist[i][1]。
3. 对于集合 S 的大小从 2 到 n-1 的每个值，依次遍历每个城市 i。
求解TSP问题算法综述
求解TSP问题算法综述一、本文概述本文旨在全面综述求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）的各种算法。
TSP问题是一个经典的组合优化问题，自提出以来就引起了广泛的关注和研究。
该问题可以描述为：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解一条最短的可能路线，使得一个旅行商从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后返回出发城市。
本文将首先介绍TSP问题的基本定义、性质及其在实际应用中的重要性。
接着，我们将综述传统的精确算法，如动态规划、分支定界法等，以及它们在求解TSP问题中的优缺点。
然后，我们将重点介绍启发式算法和元启发式算法，包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法等，这些算法在求解大规模TSP问题时表现出良好的性能和效率。
本文还将探讨近年来新兴的机器学习算法在TSP问题求解中的应用，如深度学习、强化学习等。
我们将对各类算法进行总结和评价，分析它们在不同场景下的适用性和性能表现。
我们也将展望TSP问题求解算法的未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和指导。
二、经典算法求解旅行商问题（TSP）的经典算法多种多样，每种算法都有其独特的优缺点和适用场景。
本节将对一些代表性的经典算法进行综述。
暴力穷举法（Brute-Force）：暴力穷举法是最简单直观的TSP求解算法。
其基本思想是生成所有可能的旅行路径，计算每条路径的总距离，然后选择最短的那条。
虽然这种方法在理论上可以找到最优解，但由于其时间复杂度为O(n!)，对于大规模问题来说计算量极大，因此并不实用。
动态规划（Dynamic Programming, DP）：动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题来求解的优化方法。
对于TSP问题，DP算法可以将一个大循环中的多个子问题合并成一个子问题，从而减少重复计算。
然而，TSP的DP算法仍面临“维度灾难”的问题，即当城市数量增多时，所需存储空间和计算时间呈指数级增长。
简述旅行商问题
旅行商问题：是一个经典的组合优化问题。
经典的TSP可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。
应如何选择行进路线，以使总的行程最短。
从图论的角度来看，该问题实质是在一个带权完全无向图中，找一个权值最小的Hamilton回路。
由于该问题的可行解是所有顶点的全排列，随着顶点数的增加，会产生组合爆炸，它是一个NP完全问题。
由于其在交通运输、电路板线路设计以及物流配送等领域内有着广泛的应用，国内外学者对其进行了大量的研究。
早期的研究者使用精确算法求解该问题，常用的方法包括：分枝定界法、线性规划法、动态规划法等。
但是，随着问题规模的增大，精确算法将变得无能为力，因此，在后来的研究中，国内外学者重点使用近似算法或启发式算法，主要有遗传算法、模拟退火法、蚁群算法、禁忌搜索算法、贪婪算法和神经网络等。
旅行商问题的几种求解算法比较
旅行商问题的几种求解算法比较作者:(xxx学校)摘要:TSP问题是组合优化领域的经典问题之一,吸引了许多不同领域的研究工作者,包括数学,运筹学,物理,生物和人工智能等领域,他是目前优化领域里的热点.本文从动态规划法,分支界限法,回溯法分别来实现这个题目,并比较哪种更优越,来探索这个经典的NP(Nondeterministic Polynomial)难题.关键词:旅行商问题求解算法比较一.引言旅行商问题(Travelling Salesman Problem),是计算机算法中的一个经典的难解问题,已归为NP 一完备问题类.围绕着这个问题有各种不同的求解方法,已有的算法如动态规划法,分支限界法,回溯法等,这些精确式方法都是指数级(2n)[2,3]的,根本无法解决目前的实际问题,贪心法是近似方法,而启发式算法不能保证得到的解是最优解,甚至是较好的解释.所以我认为很多问题有快速的算法(多项式算法),但是,也有很多问题是无法用算法解决的.事实上,已经证明很多问题不可能在多项式时间内解决出来.但是,有很多很重要的问题他们的解虽然很难求解出来,但是他们的值却是很容易求可以算出来的.这种事实导致了NP完全问题.NP表示非确定的多项式,意思是这个问题的解可以用非确定性的算法"猜"出来.如果我们有一个可以猜想的机器,我们就可以在合理的时间内找到一个比较好的解.NP-完全问题学习的简单与否,取决于问题的难易程度.因为有很多问题,它们的输出极其复杂,比如说人们早就提出的一类被称作NP-难题的问题.这类问题不像NP-完全问题那样时间有限的.因为NP-问题由上述那些特征,所以很容易想到一些简单的算法――把全部的可行解算一遍.但是这种算法太慢了(通常时间复杂度为O(2^n))在很多情况下是不可行的.现在,没有知道有没有那种精确的算法存在.证明存在或者不存在那种精确的算法这个沉重的担子就留给了新的研究者了,或许你就是成功者.本篇论文就是想用几种方法来就一个销售商从几个城市中的某一城市出发,不重复地走完其余N—1个城市,并回到原出发点,在所有可能的路径中求出路径长度最短的一条,比较是否是最优化,哪种结果好.二.求解策略及优化算法动态规划法解TSP问题我们将具有明显的阶段划分和状态转移方程的规划称为动态规划,这种动态规划是在研究多阶段决策问题时推导出来的,具有严格的数学形式,适合用于理论上的分析.在实际应用中,许多问题的阶段划分并不明显,这时如果刻意地划分阶段法反而麻烦.一般来说,只要该问题可以划分成规模更小的子问题,并且原问题的最优解中包含了子问题的最优解(即满足最优子化原理),则可以考虑用动态规划解决.所以动态规划的实质是分治思想和解决冗余,因此,动态规划是一种将问题实例分解为更小的,相似的子问题,并存储子问题的解而避免计算重复的子问题,以解决最优化问题的算法策略.旅行商问题(TSP问题)其实就是一个最优化问题,这类问题会有多种可能的解,每个解都有一个值,而动态规划找出其中最优(最大或最小)值的解.若存在若干个取最优值的解的话,它只取其中的一个.在求解过程中,该方法也是通过求解局部子问题的解达到全局最优解,但与分治法和贪心法不同的是,动态规划允许这些子问题不独立,(亦即各子问题可包含公共的子子问题)也允许其通过自身子问题的解作出选择,该方法对每一个子问题只解一次,并将结果保存起来,避免每次碰到时都要重复计算.关于旅行商的问题,状态变量是gk(i,S),表示从0出发经过k个城市到达i的最短距离,S为包含k个城市的可能集合,动态规划的递推关系为:gk(i,S)=min[gk-1(j,S\{j})+dji] j属于S,dji表示j-i的距离.或者我们可以用:f(S,v)表示从v出发,经过S中每个城市一次且一次,最短的路径.f(S,v)=min { f(S-{u},u)+dist(v,u) }u in Sf(V,1)即为所求2.分支限界法解TSP问题旅行商问题的解空间是一个排列树,与在子集树中进行最大收益和最小耗费分枝定界搜索类似,使用一个优先队列,队列中的每个元素中都包含到达根的路径.假设我们要寻找的是最小耗费的旅行路径,那可以使用最小耗费分枝定界法.在实现过程中,使用一个最小优先队列来记录活节点,队列中每个节点的类型为M i n H e ap N o d e.每个节点包括如下区域: x(从1到n的整数排列,其中x [ 0 ] = 1 ),s(一个整数,使得从排列树的根节点到当前节点的路径定义了旅行路径的前缀x[0:s], 而剩余待访问的节点是x [ s + 1 : n - 1 ]),c c(旅行路径前缀,即解空间树中从根节点到当前节点的耗费),l c o s t(该节点子树中任意叶节点中的最小耗费), rc o s t(从顶点x [ s : n - 1 ]出发的所有边的最小耗费之和).当类型为M i n He a p N o d e ( T )的数据被转换成为类型T时,其结果即为l c o s t的值.分枝定界算法的代码见程序.程序首先生成一个容量为1 0 0 0的最小堆,用来表示活节点的最小优先队列.活节点按其l c o s t值从最小堆中取出.接下来,计算有向图中从每个顶点出发的边中耗费最小的边所具有的耗费M i n O u t.如果某些顶点没有出边,则有向图中没有旅行路径,搜索终止.如果所有的顶点都有出边,则可以启动最小耗费分枝定界搜索.根的孩子(图1 6 - 5的节点B)作为第一个E-节点,在此节点上,所生成的旅行路径前缀只有一个顶点1,因此s=0, x[0]=1, x[1:n-1]是剩余的顶点(即顶点2 , 3 ,., n ).旅行路径前缀1 的开销为0 ,即c c = 0 ,并且,r c o st=n i=1M i n O u t .在程序中,bestc 给出了当前能找到的最少的耗费值.初始时,由于没有找到任何旅行路径,因此b e s t c的值被设为N o E d g e.程序旅行商问题的最小耗费分枝定界算法templateT AdjacencyWDigraph::BBTSP(int v[]){// 旅行商问题的最小耗费分枝定界算法// 定义一个最多可容纳1 0 0 0个活节点的最小堆MinHeap > H(1000);T *MinOut = new T [n+1];// 计算MinOut = 离开顶点i的最小耗费边的耗费T MinSum = 0; // 离开顶点i的最小耗费边的数目for (int i = 1; i <= n; i++) {T Min = NoEdge;for (int j = 1; j <= n; j++)if (a[j] != NoEdge &&(a[j] < Min || Min == NoEdge))Min = a[j];if (Min == NoEdge) return NoEdge; // 此路不通MinOut = Min;MinSum += Min;}// 把E-节点初始化为树根MinHeapNode E;E.x = new int [n];for (i = 0; i < n; i++)E.x = i + 1;E.s = 0; // 局部旅行路径为x [ 1 : 0 ] = 0; // 其耗费为0E.rcost = MinSum;T bestc = NoEdge; // 目前没有找到旅行路径// 搜索排列树while (E.s < n - 1) {// 不是叶子if (E.s == n - 2) {// 叶子的父节点// 通过添加两条边来完成旅行// 检查新的旅行路径是不是更好if (a[E.x[n-2]][E.x[n-1]] != NoEdge && a[E.x[n-1]][1] != NoEdge && ( + a[E.x[n-2]][E.x[n-1]] + a[E.x[n-1]][1] < bestc || bestc == NoEdge)) {// 找到更优的旅行路径bestc = + a[E.x[n-2]][E.x[n-1]] + a[E.x[n-1]][1]; = bestc;E.lcost = bestc;E . s + + ;H . I n s e r t ( E ) ; }else delete [] E.x;}else {// 产生孩子for (int i = E.s + 1; i < n; i++)if (a[E.x[E.s]][E.x] != NoEdge) {// 可行的孩子, 限定了路径的耗费T cc = + a[E.x[E.s]][E.x];T rcost = E.rcost - MinOut[E.x[E.s]];T b = cc + rcost; //下限if (b < bestc || bestc == NoEdge) {// 子树可能有更好的叶子// 把根保存到最大堆中MinHeapNode N;N.x = new int [n];for (int j = 0; j < n; j++)N.x[j] = E.x[j];N.x[E.s+1] = E.x;N.x = E.x[E.s+1]; = cc;N.s = E.s + 1;N.lcost = b;N.rcost = rcost;H . I n s e r t ( N ) ; }} // 结束可行的孩子delete [] E.x;} // 对本节点的处理结束try {H.DeleteMin(E);} // 取下一个E-节点catch (OutOfBounds) {break;} // 没有未处理的节点}if (bestc == NoEdge) return NoEdge; // 没有旅行路径// 将最优路径复制到v[1:n] 中for (i = 0; i < n; i++)v[i+1] = E.x;while (true) {//释放最小堆中的所有节点delete [] E.x;try {H.DeleteMin(E);}catch (OutOfBounds) {break;}}return bestc;}while 循环不断地展开E-节点,直到找到一个叶节点.当s = n - 1时即可说明找到了一个叶节点.旅行路径前缀是x [ 0 : n - 1 ],这个前缀中包含了有向图中所有的n个顶点.因此s = n - 1的活节点即为一个叶节点.由于算法本身的性质,在叶节点上lco st 和cc 恰好等于叶节点对应的旅行路径的耗费.由于所有剩余的活节点的lcost 值都大于等于从最小堆中取出的第一个叶节点的lcost 值,所以它们并不能帮助我们找到更好的叶节点,因此,当某个叶节点成为E-节点后,搜索过程即终止.while 循环体被分别按两种情况处理,一种是处理s = n - 2的E-节点,这时,E-节点是某个单独叶节点的父节点.如果这个叶节点对应的是一个可行的旅行路径,并且此旅行路径的耗费小于当前所能找到的最小耗费,则此叶节点被插入最小堆中,否则叶节点被删除,并开始处理下一个E-节点.其余的E-节点都放在while 循环的第二种情况中处理.首先,为每个E-节点生成它的两个子节点,由于每个E-节点代表着一条可行的路径x [ 0 : s ],因此当且仅当是有向图的边且x [ i ]是路径x [ s + 1 : n - 1 ]上的顶点时,它的子节点可行.对于每个可行的孩子节点,将边的耗费加上 即可得到此孩子节点的路径前缀( x [ 0 : s ],x) 的耗费c c.由于每个包含此前缀的旅行路径都必须包含离开每个剩余顶点的出边,因此任何叶节点对应的耗费都不可能小于cc 加上离开各剩余顶点的出边耗费的最小值之和,因而可以把这个下限值作为E-节点所生成孩子的lcost 值.如果新生成孩子的lcost 值小于目前找到的最优旅行路径的耗费b e s t c,则把新生成的孩子加入活节点队列(即最小堆)中.如果有向图没有旅行路径,程序返回N o E d g e;否则,返回最优旅行路径的耗费,而最优旅行路径的顶点序列存储在数组v 中.3.回朔法解TSP问题回朔法有"通用解题法"之称,它采用深度优先方式系统地搜索问题的所有解,基本思路是:确定解空间的组织结构之后,从根结点出发,即第一个活结点和第一个扩展结点向纵深方向转移至一个新结点,这个结点成为新的活结点,并成为当前扩展结点.如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向转移,则当前扩展结点成为死结点.此时,回溯到最近的活结点处,并使其成为当前扩展结点,回溯到以这种工作方式递归地在解空间中搜索,直到找到所求解空间中已经无活结点为止.旅行商问题的解空间是一棵排列树.对于排列树的回溯搜索与生成1,2,……, n的所有排列的递归算法Perm类似.设开始时x=[ 1,2,… n ],则相应的排列树由x[ 1:n ]的所有排列构成.旅行商问题的回溯算法找旅行商回路的回溯算法Backtrack是类Treveling的私有成员函数,TSP是Treveling的友员.TSP(v)返回旅行售货员回路最小费用.整型数组v返回相应的回路.如果所给的图G不含旅行售货员回路,则返回NoEdge.函数TSP所作的工作主要是为调用Backtrack所需要变量初始化.由TSP调用Backtrack(2)搜索整个解空间.在递归函数Backtrack中,当i = n时,当前扩展结点是排列树的叶结点的父结点.此时,算法检测图G是否存在一条从顶点x[ n-1 ]到顶点x[ n ]的边和一条从顶点x[ n ]到顶点1的边.如果这两条边都存在,则找一条旅行售货员回路.此时,算法还需判断这条回路的费用是否优于已找到的当前最优回路的费用best.如果是,则必须更新当前最优值bestc和当前最优解bestx.当i < n时,当前扩展结点位于排列树的第i–1 层.图G中存在从顶点x[ i-1 ]到顶点x[ i ]的边时,x[ 1:i ]构成图G的一条路径,且当x[ 1:i ]的费用小于当前最优值时,算法进入排列树的第I 层.否则将剪去相应的子树.算法中用变量cc记录当前路径x[ 1:i ]的费用.解旅行商售货员问题的回溯法可描述如下:templateclass Traveling {friend Type TSP(int * *,int [],Type);private:void Backtrack(int i);int n, //图G的顶点数* x, //当前解*bestx; //当前最优解Type * *a, //图G的邻接矩阵cc, //当前费用bestc, //当前最优值NoEdge; //无边际记};templatevode Traveling::Backtrack(int i){if(I==n){if(a[x[n-1]][x[n]]! = NoEdge &&a[x[n]][1]!= NoEdge &&(cc + a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][1]bestc== NoEdge) ){for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestc =cc + a[x[n-1]][x[n]]+ a[x[n]][1];}}else {for(int j=I; j<=n;j++)//是否可进入x[j]子树if(a[x[i-1]][x[j]]! = NoEdge &&(cc + a[x[i-1]][x[i]]< bestc||bestc == NoEdge//搜索子数Swap(x[i],x[j]);cc += a[x[i-1]][x[i]];Backtrack(I+1);cc -= a[x[i-1]][x[i]];Swap(x[i],x[j]);}}}templateType TSP(Type * *a,int v[],int n,Type NoEdge){Traveling Y;//初始化YY.x = new int[n+1];// 置x为单位排列for(int i=1;i<=n;i++)Y.x[i] = I;Y.a=a;Y.n=n;Y.bestc = NoEdge;Y.bestc = v; = 0;Y. NoEdge = NoEdge;//搜索x[2:n]的全排列Y.Backtrack(2);Delete[] Y.x;三.三种方法的比较1.动态规划法和回朔法的比较:这本来就是两个完全不同的领域,一个是算法领域,一个是数据结构问题.但两者又交叉,又有区别.从本质上讲就是算法与数据结构的本质区别,回朔是一个具体的算法,动态规划是数据结构中的一个概念.动态规划讲究的是状态的转化,以状态为基准,确定算法,动态规划法所针对的问题有一个显著的特征,即它所对应的子问题树中的子问题呈现大量的重复.动态规划法的关键就在于,对于重复出现的子问题,只在第一次遇到时加以求解,并把答案保存起来,让以后再遇到时直接引用,不必重新求解.简单的说就是:动态规划法是从小单元开始积累计算结果.回朔讲究过程的推进与反还,随数据的搜索,标记,确定下一步的行进方向,回朔是去搜索. 如果想要搜索时,发现有很多重复计算,就应该想到用动态规划了.动态规划和搜索都可以解决具有最优子结构的问题,然而动态规划在解决子问题的时候不重复计算已经计算过的子问题,对每个子问题只计算一次;而简单的搜索则递归地计算所有遇到的的子问题.比如一个问题的搜索树具有如下形式:........A......./.......B...C...../.\./.....D...E...F如果使用一般深度优先的搜索,依次搜索的顺序是A-B-D-E-C-E-F,注意其中节点E被重复搜索了两次;如果每个节点看作是一个子问题的话,节点E所代表的子问题就被重复计算了两次; 但是如果是用动态规划,按照树的层次划分阶段,按照自底向上的顺序,则在第一阶段计算D,E,F;第二阶段计算B,C;第三阶段计算A;这样就没有重复计算子问题E.搜索法的优点是实现方便,缺点是在子问题有大量的重复的时候要重复计算子问题,效率较低;动态规划虽然效率高,但是阶段的划分和状态的表示比较复杂,另外,搜索的时候只要保存单前的结点;而动态规划则至少要保存上一个阶段的所有节点,比如在动态规划进行到第2阶段的时候,必须把第三阶段的D,E,F三个节点全部保存起来,所以动态规划是用空间换时间.另外,有一种折衷的办法,就是备忘录法,这是动态规划的一种变形.该方法的思想是:按照一般的搜索算法解决子问题,但是用一个表将所有解决过的子问题保存起来,遇到一个子问题的时候,先查表看是否是已经解决过的,如果已解决过了就不用重复计算.比如搜索上面那棵树,在A-B-D-E的时候,已经将E记录在表里了,等到了A-B-D-E-C的时候,发现E已经被搜索过,就不再搜索E,而直接搜索F,因此备忘录法的搜索顺序是A-B-D-E-C-(跳过E)-F自底向上的动态规划还有一个缺点,比如对于下面的树:........A......./.......B...C......G...../.\./.\..../.....D...E...F..H (I)如用自底向上的动态规划,各个阶段搜索的节点依次是:D,E,F,H,IB,C,GAA才是我们最终要解决的问题,可以看到,G,H,I根本与问题A无关,但是动态规划还是将它们也解决了一遍,这就造成了效率降低.而备忘录法则可以避免这种问题,按照备忘录法,搜索的次序仍然是:A-B-D-E-C-(跳过E)-F.备忘录法的优点是实现简单,且在子问题空间中存在大量冗余子问题的时候效率较高;但是要占用较大的内存空间(需要开一个很大的表来记录已经解决的子问题),而且如果用递归实现的话递归压栈出栈也会影响效率;而自底向上的动态规划一般用for循环就可以了.值得一提的是,用动态规划法来计算旅行商的时间复杂度是指数型的.2. 分支限界法和回朔法的比较:分支限界法类似于回溯法,也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法.但在一般情况下,分支限界与回溯法的求解目标不同.回溯法的求解目标是找出T中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解,即在某种意义下的最优解.我们先看一个列子:设G=(V,E)是一个带权图.图1中各边的费用(权)为一正数.图中的一条周游线是包括V中的每个顶点在内的一条回路.一条周游路线的费用是这条路线上所有边的费用之和.所谓旅行售货员问题就是要在图G中找出一条有最小费用的周游路线.给定一个有n个顶点的带权图G,旅行售货员问题要找出图G的费用(权)最小的周游路线.图1是一个4顶点无向带权图.顶点序列1,2,4,3,1;1,3,2,4,1和1,4,3,2,1是该图中3条不同的周游路线.1 256 1043 20 4图1 4顶点带权图该问题的解空间可以组织成一棵树,从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图G的一条周游路线.图1是当n=4时这种树结构的示例.其中从根结点A到叶结点L的路径上边的标号组成一条周游路线1,2,3,4,1.而从根结点到叶结点O的路径则表示周游路线1,3,4,2,1.图G的每一条周游路线都恰好对应解空间树中一条从根结点到叶结点的路径.因此,解空间树中叶结点个数为(n-1)!.A1B2 3 4C D E3 24 2 3F G H I J K4 3 4 2 3 2L M N O P Q图2 旅行售货员问题的解空间树对于图1中的图G,用回溯法找最小费用周游路线时,从解空间树的根结点A出发,搜索至B,C,F,L.在叶结点L处记录找到的周游路线1,2,3,4,1,该周游路线的费用为59.从叶结点L返回至最近活动结点F处.由于F处已没有可扩展结点,算法又返回到结点C处.结点C成为新扩展结点,由新扩展结点,算法再移至结点G 后又移至结点M,得到周游路线1,2,4,3,1,其费用为66.这个费用不比已有周游路线1,2,3,4,1的费用小.因此,舍弃该结点.算法有依次返回至结点G,C,B.从结点B,算法继续搜索至结点D,H,N.在叶结点N算法返回至结点H,D,然后再从结点D开始继续向纵深搜索至结点O.依次方式算法继续搜索遍整个解空间,最终得到1,3,2,4,1是一条最小费用周游路线.以上便是回溯法找最小费用周游路线的实列,但如果我们用分支限界法来解的话,会更适合.由于求解目标不同,导致分支限界法与回溯法在解空间树T上的搜索方式也不相同.回溯法以深度优先的方式搜索解空间树T,而分支限界法则以广度优先或以最小消耗优先的方式搜索解空间树T.分支限界法的搜索策略是,在扩展结点处,先生成所有的儿子结点(分支),然后再从当前的活动点表中选择下一个扩展结点.为了有效地选择下一扩展结点,以加速搜索的进程,在每一活结点处,计算一个函数值(限界),并根据这些已计算出的函数值,从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点,使搜索朝着解空间树上的最优解的分支推进,以便尽快的找出一个最优解.四.结论:参考文献:动态规划dynamic programming图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：dongtai guihua动态规划(卷名：自动控制与系统工程)dynamic programming研究多段（多步）决策过程最优化问题的一种数学方法，英文缩写DP，是最优控制和运筹学的重要数学工具。
《旅行商问题》课件
3 鲁棒性
蛮力解法和分支限界法对问题大小敏感，动 态规划法稳定，遗传算法和模拟退火算法适 应性强。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 可扩展性
分支限界法和动态规划法适用于大规模问题， 其他解法在问题规模较小时表现更好。
应用场景举例
物流配送
优化快递员路径，减少时间和成本。
城市规划
优化城市道路规划，提高交通效率。
生产制造
优化零件加工顺序，增加生产效率。
分支限界法
2
通过优化子问题，逐步找到最短路径。
3
动态规划法
利用子问题的最优解构建整体最优解。
遗传算法
4
模拟进化过程，通过基因编码求解最优路
径。
5
模拟退火算法
模拟金属退火过程，通过接受劣解概率性 地跳出局部最优。
解法优缺点对比
1 时间复杂度
分支限界法和动态规划法相对较高，蛮力解 法最高。
2 精度
遗传算法和模拟退火算法可能得到次优解， 其他解法可得到最优解。
《旅行商问题》PPT课件
# 旅行商问题PPT课件 什么是旅行商问题 - 旅行商问题的定义 - 实际场景示例 - 问题的复杂度分析
问题示例：旅行商问题
旅行商问题是指一个旅行商人需要依次访问N个城市并回到起始城市，要求找到一条最短路径，使得经过每个 城市仅一次。
1
蛮力解法
穷举所有可能的路径，计算最短路径。
网络优化
优化数据传输路径，提高网络效率。
结语
旅行商问题在实际应用中的重要性
解决旅行商问题可以帮助优化各种物流和路径规划 场景，提高效率。
后续研究方向
进一步研究旅行商问题的求解算法，寻找更高效、 精确的解决方案。
旅行商问题编码解读
旅行商问题编码解读
旅行商问题是一个经典的组合优化问题，其目标是找到一条路线，使得旅行商可以访问给定的一组城市，并回到起点城市，同
时让旅行路径的总长度最小。
该问题在现实生活中有许多应用，
如物流规划、电路设计等。
为了解决这个问题，可以使用编码来表示旅行路径。
一种常见
的编码方式是采用序列编码，即将路径表示为一串数字，每个数
字代表一个城市的访问顺序。
例如，一个表示四个城市的路径可
以被编码为"1-3-2-4-1"，其中数字表示城市的标识符。
在编码过程中，需要考虑以下几个要点。
首先，路径的起点和
终点是相同的，旅行商必须回到起点城市。
其次，每个城市只能
访问一次，确保路径的完整性和合法性。
最后，路径的总长度应
该最小化。
为了找到最佳路径，可以使用不同的算法和技术。
其中，著名
的算法包括贪婪算法、遗传算法和蚁群算法等。
这些算法通过迭
代和优化的过程，逐步寻找最优解。
同时，还可以使用启发式方
法来加速搜索过程，如局部搜索和模拟退火等。
旅行商问题的解决有助于提高资源利用和路径规划的效率，从
而优化物流配送、线路规划等方面的问题。
通过合理地编码和应
用有效的算法，可以更好地解决旅行商问题，并应用于实际场景中。
旅行商问题是一个重要而具有挑战性的问题，通过编码和算法
的应用，可以找到最优的旅行路径。
这有助于解决各种实际问题，并提高资源利用和路线规划的效率。
动态规划解决背包问题和旅行商问题
动态规划解决背包问题和旅行商问题动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的算法思想，它通过将问题划分为多个子问题，并记录子问题的解来解决原始问题。
在背包问题和旅行商问题中，动态规划是一种常见且高效的解决方法。
1. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以用动态规划的方法解决。
给定一组物品，每个物品有自身的价值和重量，同时给定一个背包的容量，要求在不超过背包容量的前提下，选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
动态规划的思路是定义一个二维数组dp[i][j]，其中i表示从第1个到第i个物品，j表示背包的容量。
dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包中能够放入的物品的最大价值。
通过状态转移方程可以求解dp[i][j]，其中状态转移方程为:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
通过计算dp[i][j]，最终可以得到在背包容量为j的情况下的最大价值。
可以通过回溯的方法找到具体放入背包的物品。
2. 旅行商问题旅行商问题是一个典型的组合优化问题，它要求在给定的一组城市中，寻找一条最短的路径使得旅行商经过每个城市一次后返回起始城市。
动态规划可以通过建立一个二维数组dp[S][i]来解决旅行商问题，其中S表示城市的集合，i表示当前所在的城市。
dp[S][i]表示从起始城市出发经过集合S中的城市，最后到达城市i的最短路径长度。
对于dp[S][i]，可以通过以下状态转移方程来计算：dp[S][i] = min(dp[S-{i}][j] + d[j][i])其中S-{i}表示从集合S中去除城市i，d[j][i]表示从城市j到城市i的距离。
通过计算dp[S][i]，最终可以得到从起始城市出发经过所有城市一次后返回起始城市的最短路径长度。
同样可以通过回溯的方法找到具体的最短路径。
算法优化解决旅行商问题的方法研究
算法优化解决旅行商问题的方法研究第一章：引言算法调优已经成为计算机科学领域的热门话题。
旅行商问题（TSP）是一个关键的问题，它涉及到许多领域，如物流、运输、厂房布局等。
这个问题是NP难问题之一，原因在于旅行商问题需要在指数级的时间内穷举所有可能的路径，才能找到最优的解决方案。
针对这个问题的调优困难，许多学者尝试通过各种算法在减少时间复杂度的同时获得最佳解决方案。
本文将介绍其中一些最有效的算法优化技巧。
第二章：算法优化2.1 贪心算法贪心算法是解决旅行商问题的一种有效方法。
贪心算法是一种声明性方法，它需要从不同的视角盯着问题看，并按照一定的顺序进行排列。
它起初只考虑局部解决方案，并再次看这些局部解决方案对整个问题的影响。
这种算法易于实现，但最终结果可能没有达到最优。
2.2 动态规划动态规划是另一种解决旅行商问题的有效方法。
动态规划需要以一种自上而下的方式，通过构建决策树，将复杂问题分解为更小的子问题。
它被认为是求解最优问题的最佳选择，动态规划算法的时间复杂度为$O(n^{2}2^{n})$ 。
因此，动态规划算法仅适用于中等大小的TSP问题，而且有时不一定能获得最佳答案。
2.3 量子计算除了传统的计算方法之外，还可以使用量子计算作为优化技巧。
量子计算技术是一种全新的计算方法，它在解决旅行商问题时展现出了巨大的优越性能。
量子计算相关的算法，例如Grove的算法，可以在$O(n^{1.5})$的时间内解决旅行商问题。
虽然量子计算技术是一种新的领域，但它已经成为解决TSP问题的最前沿技术之一。
第三章：实验结论大量的研究表明，将不同的算法相结合，能够产生巨大的不同。
例如，将贪心算法与局部搜索算法结合起来使用，可以在可接受的时间复杂度内产生更优的结果。
其他研究表明，多项式时间中的不同算法可以在实际中产生500秒以内的巨大差异，而更复杂的算法可以在实际中产生数倍于这个数值的优势。
第四章：结论在这篇文章中，我们介绍了解决旅行商问题的三种主要算法：贪心算法，动态规划和量子计算。
概述数学建模经典问题——旅行商问题.ppt
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于是，dmin(i, 1)代表与第i个结点关联的所有边 中最长边的长度，dmin_j(i, 1) 代表与第i个结点关联 的所有边中次长边的另一个结点编号(其中一个结点 编号为i)，第i结点的dmin(i, k)和dmin_j(i, k)可由距 离矩阵w轻易求得。
通过对下界b2进行改进，可以得出一个求对称 型TSP更好的下界b3。
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互间的距离设定为∞，其他数值不变。
二、多面体理论
从上世纪70年代开始的关于算法复杂性的研究 表明，要想为TSP找到一个好的算法，也即多项式 算法，似乎是不可能的。由于推销员的每条路线可 以用一个以1开始的排列来表示，因此所有可能的路 线有条。这样，若用枚举法来解决这一问题，即使 不太大，例如n＝30，用目前最快的计算机，也要 化几百万年才能求出一条最短的路线。
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假定收益的数学性质与相同，则最小比率TSP的 数学模型也与标准TSP类似，仅目标函数不同：
min Z
i j dij xij
i j pij xij
毫无疑问，由于目标函数中的非线性因素，最 小比率TSP的求解比之标准TSP显得更为困难。
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(3) 多人TSP
若标准TSP中，出发点有多个推销员同时出发，各自行 走不同的路线，使得所有的城市都至少被访问过一次，然后 返回出发点，要求所有推销员的总行程最短，则问题就成为 一个多人的旅行商问题（简记MTSP）。
若e j T 若e j T
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称X为路线T的关联向量，其m=n(n-2)/2个分量中，恰好 有个为1，其余的都为0。
图有许多Hamilton回路，设为T1, T2… Ts,，对应的关联向 量记为X1, X2… Xs ，在m维空间Rm中，考虑这些向量生成的 凸包（convex hull） Qn ：
求解旅行商问题的几种算法的比较研究
求解旅行商问题的几种算法的比较研究
李敏;吴浪;张开碧
【期刊名称】《重庆邮电大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(020)005
【摘要】旅行商问题具有重要的理论和实际研究价值,在工程实践中应用广泛.采用遗传算法、蚁群算法和模拟退火算法对旅行商问题进行求解,并选取中国旅行商问题进行仿真,比较了3种算法的优劣,得出了它们各自不同的适用范围:蚁群算法适用于缓慢地较精确的求解场合;模拟退火算法适用于快速精确的求解;遗传算法适用于快速求解,但结果准备度要求不高的情况.
【总页数】4页(P624-626,630)
【作者】李敏;吴浪;张开碧
【作者单位】重庆邮电大学,自动化学院,重庆,400065;重庆邮电大学,自动化学院,重庆,400065;重庆邮电大学,自动化学院,重庆,400065
【正文语种】中文
【中图分类】TP393
【相关文献】
1.求解旅行商问题的几种智能算法 [J], 朱献文;李福荣
2.一种混合局部搜索算法的遗传算法求解旅行商问题 [J], 宗德才;王康康
3.用于求解对称旅行商问题的粒子群算法和蚂蚁算法的融合 [J], 郑洁;李凯;李晓;丁建立
4.基于PR算法的自适应ACO算法求解旅行商问题 [J], 张晓霞;李国宣;孙暄尧;杨
丹
5.遗传算法和蚂蚁算法混合求解旅行商问题 [J], 熊道勇;肖人岳
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旅行商问题的求解方法动态规划法和贪心法;算法论文
旅行商问题的求解方法摘要旅行商问题（TSP问题）时是指旅行家要旅行n个城市然后回到出发城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。
该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。
本文主要介绍用蛮力法、动态规划法、贪心法和分支限界法求解TSP问题，其中重点讨论动态规划法和贪心法，并给出相应求解程序。
矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
关键字：旅行商问题；动态规划法；贪心法；分支限界法1引言旅行商问题(TSP)是组合优化问题中典型的NP-完全问题，是许多领域内复杂工程优化问题的抽象形式。
研究TSP的求解方法对解决复杂工程优化问题具有重要的参考价值。
关于TSP的完全有效的算法目前尚未找到，这促使人们长期以来不断地探索并积累了大量的算法。
归纳起来，目前主要算法可分成传统优化算法和现代优化算法。
在传统优化算法中又可分为：最优解算法和近似方法。
最优解算法虽然可以得到精确解，但计算时间无法忍受，因此就产生了各种近似方法，这些近似算法虽然可以较快地求得接近最优解的可行解，但其接近最优解的程度不能令人满意。
但限于所学知识和时间限制，本文重点只讨论传统优化算法中的动态规划法、贪心法和分支限界法，并对蛮力法做简单介绍，用以比较。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
2正文2.1蛮力法2.1.1蛮力法的设计思想蛮力法所依赖的基本技术是扫描技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素一次处理一次，从而找出问题的解。
一次处理所有元素的是蛮力法的关键，为了避免陷入重复试探，应保证处理过的元素不再被处理。
在基本的数据结构中，一次处理每个元素的方法是遍历。
残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
2.1.2算法讨论用蛮力法解决TSP问题，可以找出所有可能的旅行路线，从中选取路径长度最短的简单回路。
如对于图1，我们求解过程如下：酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
（1）路径：1->2->3->4->1；路径长度：18；（2）路径：1->2->4->3->1；路径长度：11；（3）路径：1->3->2->4->1；路径长度：23；（4） 路径：1->3->4->2->1；路径长度：11；（5） 路径：1->4->2->3->1；路径长度：18；（6） 路径：1->4->3->2->1；路径长度：18；从中，我们可以知道，路径（2）和（4）路径长度最短。
动态规划解决旅行商问题附代码.docx
1.问题基本描述:求一个旅行商经过N个城市最后回到出发点的最短路径.即,在一个无向带权图的邻接矩阵中,求一个最短环包括所有顶点.2.解法:1)动态规划:假设从顶点i出发，令d(i,V’)表示从顶点i出发经过V’中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点i的最短路径的长度，开始时，V’=V-{i}，于是，旅行商问题的动态规划函数为：d(i,V’) = min{c ik + d(k,V’-{k})} (k∈V’) 1)d(k,{}) = c ki (k ≠ i)2)简单来说,就是用递归表达:从出发点0到1号点,假设1是第一个,则剩下的路程就是从1经过剩下的点最后回到0点的最短路径. 所以当V’为空的时候, d(k,{}) = c ki (k ≠ i), 找的是最后一个点到0点的距离.递归求解1之后,再继续求V’之中剩下的点,最后找出min.如果按照这个思想直接做,对于每一个i都要递归剩下的V中所有的点,所以这样的时间复杂度就近似于N!,其中有很多重复的工作.可以从小的集合到大的集合算,并存入一个二维数组,这样当加入一个节点时,就可以用到之前的结果,如四个点的情况:动态填表:表中元素代表第i个节点经过V集合中的点最后到0点的最短值.如果有多个值,取其中最小的一个.这样一共循环(2^(N-1)-1)*(N-1)次,就把时间复杂度缩小到O(N*2)的级别.核心伪代码如下:{for (i =1;i<n;i++) //初始化第0列d[i][0]=c[i][0];for( j=1;j<2^(N-1)-1;j++)for(i=1 ; i<n ;i++){if(子集Vj中不包含i){对Vj中的每个元素k，计算d[i][Vj] = min{c[i][k] + d[k][{Vj-k}] | 每一个k∈Vj};}}对V[2^(n-1)-1]中的每个元素k,计算:d[0][2^(n-1)-1] = min{c[0][k] + d[k][2^(n-1)-2]};输出最短路径:d[0][2^(n-1)-1];}。
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2015年第18期信息与电脑China Computer&Communication算法语言旅行商问题（TSP 问题）是组合优化中最为著名的问题[1,2]，是一个经典的NP 完全难题。
目前有很多解决旅行商问题的算法，如神经网络、免疫算法、蚁群算法及破圈法等等[3]。
旅行商问题在日常的生产生活中，都有较为广泛的应用。
如电路布线、货物配送路线、输油管路铺设路线等等。
因此，求解出旅行商问题的高效算法具有很好的实际意义。
本文对旅行商问题进行算法研究，利用动态规划方法，对图中顶点子集采用编码的方法，实现旅行商问题的求解。
旅行商问题在旅行过程实例中可以理解为，要到n 个城市去，首先从某个城市出发，遍历所有的城市后回到出发的城市，确定出最短的路线。
１ 动态规划法设图G=（V ，E ）是一个简单赋权有向图，任意两点之间有来回两个方向的有向弧，弧上带有不一定相等的权值（表示某种代价或成本），要求找到一个包含所有顶点的具有最短路径的回路。
假设现在要从城市S=0出发，最后又回到0，期间1，2，3，4都必须并且只能经过一次，使代价最小。
动态规划法求解TSP 问题的推导如下。
1.1 递归公式的推导假设d （i ，U ）表示从顶点i 出发经过U （U 是一个顶点子集，U ⊂V ，i ∉U ）中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s 的最短路径长度。
算例中的解应该是d （0，{1，2，3，4}），即表示应求从顶点s=0出发，经过顶点1，2，3，4后到达s=0的一条最短路径长。
当U 为空集，那么d （i ，U ），表示从i 不经过任何点就回到s 了，如从城市3->城市0（0为起点城市）。
此时d （i ，U ）=C is （就是城市i 到城市s 的距离）。
如果U 不为空，必须在U 这个城市集合，尝试每一个，并求出最优解，此时d （i ，U ）=min{C ik + d （k ，U-{k}）},其中C ik 表示城市i 到城市k 的距离，d （k ，U-{k}）表示从k 出发，经过U-{k}中的顶点一次且仅一次到达出发点s 的最短路径长。
所以，综上两种情况，d （i ，U）的计算公式为：（1）1.2 动态规划法中的子集编码和计算搜索以5个顶点的图为例。
设顶点集V={0，1，2，3，4}。
假设从城市0出发。
假设0是出发点，计算目标就是d （0，{1，2，…，n-1}）。
对n 个顶点0，1，2，…，n-1来说，U 就是{1，2，…，n-1}的一个子集，所以U 的所有取值的范围是{1，2，...，n-1}的幂集。
为了便于递归计基金项目：本文受江苏科技大学大学生创新计划和国家自然科学基金资助（项目编号：NFS61100116）。
作者简介：吴陈（1962-），男，湖北天门人，博士，教授。
研究方向：智能信息处理、模式识别。
张吉缘（1995-），男，四川遂宁人，本科。
研究方向：算法和程序设计。
王绍雷（1993-），男，江苏东海人，硕士研究生。
研究方向：移动软件设计与开发。
旅行商问题的动态规划与子集编码求解法的研究与实现吴 陈1 张吉缘1 王绍雷2（1.江苏科技大学计算机科学与工程学院，江苏 镇江 212003；2.江苏科技大学苏州理工学院电子与信息工程系，江苏 镇江 212004）摘 要：本文实现了TSP 问题的动态规划法求解法的研究，并采用了对动态规划中的子集编码的方法提高动态规划的计算效率，对算法的运行设置和计算的结果采用图形化界面显示。
由于动态规划法的局限性，增加了遗传算法和模拟退火算法两种智能算法与之对比和分析。
整个算法系统采用VS2010作为开发工具，用中国地图上的坐标模拟经纬度作为计算数据来源，使用不同的算法计算出TSP 问题求解的最优路径。
关键词：旅行商问题；动态规划；子集编码；VS2010；遗传算法；模拟退火算法中图分类号：TP312 文献标识码：A 文章编号：1003-9767（2015）18-049-03算，必须对这些子集都加以表示。
这里给出了一种用编码表示的方案，即用一个一维数组来存储一个子集的编码以表示子集。
在算例中，每个子集需要用一个长度为4的0、1编码表示，{1，2，3，4}中的1、2、3、4分别对应编码的第1、2、3、4位。
如果编码的某位上为1，则表明该位上对应的元素属于子集，为0则相反。
若以直接写成连续的0、1序列来加以说明，则1100表示子集{1，2}；1111表示子集{1，2，3，4}；0000表示空集。
这样正好能将{1，2，3，4}的幂集中的所有16个元素，即它的所有子集全部编码表示出来，一共需要16个一维数组，这可用一个二维数组来表示，每一行作为一个一维数组表示一个子集的编码。
综上所述，存放所有子集的二维数组应这样初始化：由扫描整型变量i从0扫描到15，将i的值转换为4位的二进制数，存放在二维数组的第i行（i=0，1，…，15）（每位0或1作为行中的一个元素）。
将该0、1序列视为{1，2，3，4}的一个子集，对应j位上为1时表明j+1属于该子集（j=0，1，2，3）。
例如，i=5时，转成的二进制数为0101，表示子集{2，4}。
由于i取16个不同的取值，i转换为二进制的0、1序列也是16个不同的。
所以，该二维数组每行表示{1，2，3，4}的一个子集，正好将{1，2，3，4}的幂集表示完毕。
这样表示集合的方法的优点。
①从一个子集中去掉一个元素，只要将对应位上1改为0，方便实现了子集中元素的剔除。
②一个子集去掉一个元素后得到的新子集所处在二维数组中的位置，恰好就是原子集编码对应位上由1改为0后，再将得到的编码由二进制转换为十进制后得到的数。
例如，0101表示子集{2，4}，{2，4}去掉2后得到{4}，0101中将2-1=1的位上的1改为0后得到0001，而子集{4}的编码也是0001（仅第4位上为1）。
二进制的0001转成十进制后为1，恰好也是{4}在二维数组中存储的行号。
这样做的最大好处是，子集的定位或查找不必进行搜索，只需直接计算就可得到。
否则，程序中由子集产生的子子集所涉及的下步计算，每次都要先去搜索定位子子集所在的位置，再去做相应的计算，效率会降低。
③编码0000表示空子集，一个顶点到0000，即表示从该顶点回到起点s=0的路径长，即d（i，{ }）=C i0。
1.3 递归计算结果的存储表示将d（i，U）（U V）的所有计算值用一个二维数组来表示是很自然的。
对于n个顶点的图，用一个n×2n-1的二维数组来存储所有可能的计算结果，将该二维数组仍命名为d。
在算例中，U的取值是{1，2，3，4}的幂集中的任意一个元素，二维数组就是5×25-1=5×16，即5行16列的。
为了计算方便起见，该二维数组的列i（i=0，1，…，15）被看成是转换为4位二进制数后所表示的{1，2，3，4}的一个子集的编码。
这样会带来定位子子集不需搜索的好处。
0，1，2，…，15有16个数，{1，2，3，4}的子集数和子集编码0000～1111也是16个，它们是一一对应的，只是视角不同。
初始化时，正常扫描每行每列，且赋初值“999”（表示无穷大）。
第0列表示没有子集元素的一列，即空子集，空子集可记为{ }。
程序开始运行后，按d（i，{ }）=C i0（i=1，2，3，4），直接从权值矩阵对第0列中的部分元素值赋值。
以后按树状层次图自底向上递归计算。
所有顶点经过小的顶点集回到出发点的最短路径长计算完，再计算上层中的，即计算所有顶点经过更大的顶点集回到出发点的最短路径长。
最后计算最顶层即d（0，{1，2，3、，4}）。
为了保证计算正确，采用的办法是对d的每行，分批分别计算含元素个数为1，2，3的子集所对应的列中要填的值，最后计算d（0，{1，2，3，4}）。
虽然子集的编码表示法给定位子集，即找子集所对应的位置（下标），带来了方便，但这也将原来d的列序（0，1，…，15）有所打乱。
所以，在计算d中元素值时，行扫描指针i取1，2，3，4时，对列进行扫描，只能将子集中所含元素个数为i的对应位置填表，而不再按自然顺序填表。
２ 与其他求解ＴＳＰ问题算法得到的解的比较2.1 遗传算法遗传算法是模仿自然界中生物遗传与进化的一种方法，模拟生物的变异、交叉、选择过程来完成对问题的求解[3]。
2.2 模拟退火算法模拟退火算法模拟加温分子运动，逐步冷却的方法求解[4,5]。
由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解。
计算与新解所对应的目标函数差。
判断新解是否被接受的依据最常用的是Metropo1is准则：若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp （-Δt′/T）接受S′作为新的当前解S。
当新解被确定接受时，用新解代替当前解，同时修正目标函数值即可。
2.3 结果比较这里以乌鲁木齐、太原、济南、合肥、郑州、南京、南昌、台州、广州、海口、贵阳、拉萨、西安及兰州14（下转第52页）0.8。
由于工作日与休息日的计算方法一样，这里仅考虑工作日的情况。
再通过上述相似系数的计算公式，可以计算得出这一周的平均相似系数为0.8460。
根据试验中所探讨的数据，设定S大于0.8的时候，是判定道路交通流量呈现相似性的界定值。
在此基数上，可以得出结论，即：日常工作日与周末休息日之间，交通流量所呈现的相似性差别是比较大的，但是周末与周末、工作日与工作日内部的交叉对比中，其相似度又是较高的；另外，同样是周一，跨周的周一之间的相似度，要远远高于一周内不同工作日之间所呈现的相似性。
2.2 未来5d的交通流量预测在针对上述数据样本完成周期相似性分析后，下面选从2015年6月1日开始到2015年6月28日所发生的数据作为计算样本，其中6月8日到6月5日的数据作为未来5d的交通流量预测数据，通过应用LSSVM预测模型，可以得到实际值与预测值之间的误差指标数据。
具体分析，6月8日至6月12日期间可以看到，6月10日实际值与预测值的各个误差指标在这5d里最小，而6月12日这一天的各项误差指标则在上表所统计的五个工作日内是最大的值，因为6月12日这一天道路交通流量有很多在正常情况之外的状况发生。
因此，从这个角度来看，当道路意外状况发生的时候，统计数据会有一定的偏差。
３ 结 语现阶段城市内的车辆越来越多，如何借助信息化手段合理管理城市内的交通流量是关系民生的重大问题，希望在不久的将来，人们可以在享受交通带来的便利的同时，又可以避免交通失控带来的不便。
本文通过算法探索出了工作日与休息日内城市交通流量数据之间所阐述的相似性联系，也针对跨周的情况对各个工作日之间对应的交通流程相似性展开讨论。
正是因为在算法的世界交通流量是有据可依的，因此研究也能够为交通流量管制提供一些建议。
参考文献[1]史忠科.交通控制系统导论[M].北京:科学出版社,2010(7).[2]唐小娥,曹长修.组合预测方法研究[J].控制与决策,2003(8).个城市的数据作为来源。