(教师参考)高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程课件2 新人教A版选修2-1
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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.2.1椭圆及其标准方程(1)》课件
③
③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)， ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4 3.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点 三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用 椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这 就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用 椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的 联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把 |PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
a、b、c 的关系
c2＝_a_2－___b_2
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试一试：椭圆的标准方程中a＝5，b＝4，那么椭圆的标准 方程是什么？
提示 当焦点在 x 轴上时，其标准方程为2x52 ＋1y62 ＝1，当焦点 在 y 轴上时，其标准方程为2y52 ＋1x62＝1.
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题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程
【例1】 求适合以下条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (3)经过点( 36， 3)和点(232，1)．
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[思路探索] 对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求
解，但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆
焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了防止讨
人教A版选修2-1第二章2.2.1 椭圆及其标准方程 课件(共25张PPT))
②定量：求a, b的值.
作业： P46
2, 3
巩固概念
判定下列椭圆的焦点在x还是在y轴？ ，写出 焦点坐标.
x2 32
y2 52
1
答：在 y 轴。（0，-4）和（0，4）
x2 y2 1 25 16
答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）
x2 m2
y2 m2 1
1
答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
x2 a2
y2 a2 c2
1
x2 a2
y2 a2 c2
1
观察下图，你能知道OF2表示什么？PF2表示 什么?
y
P
设PO为b,b a2 c2
ba
F1
O c F2
x 所以：a2－c2=b2
即：
x2 + y2 =1 a > b > 0
a2 b2
椭圆的标准方程
y
P
思考：当椭圆的焦点在y轴上时, 它的标准方程是怎样的呢
F2
练习：
已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和等大小于 6,则M点的轨迹是什么?
A.直线 C.线段
B.椭圆 D.不存在
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
化 列设建简式点系
方案一
y
P P
F1 O
F2 x
方案二
y
F2
O
x
F1
以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．
x2 b21ຫໍສະໝຸດ ab0
1）.椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和， 右边是1； 2）.椭圆的标准方程中三个参数a、b、c始终满足a2－ c2=b2 3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值； 4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦 点在哪一个轴上 .
人教A版高中数学选修2-1课件2.2.1《椭圆的标准方程》(新).pptx
两边再平方，得
a4-2a2cx+c2x2 = a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 ,
整理得
（a2-c2)x2+a2y2 = a2(a2-c2) .
令a2 c2 b2
(1)(a2 c2 )(x c )2 a2 y2 2
两边同除以a
a
2b
2 (a2
2，
c2 )得b2
36 16
36 16
x2 y2
2.已知椭圆 a2
b2
1, (a b 0), F1, F2为
焦点， 过F1的直线与椭圆交于A、 、 B两点,
则ABF2的周长为 4a
操作型：
线段AB的两端点A、B分别在x轴、y 轴上滑动，|AB|=8，点M是AB上一 点，且|AM|=3，点M随线段AB的运 动而变化，求点M的轨迹方程。
A 5 B 7 C 8 D 10
C x2
2.椭圆
y2
1的焦距为2,则m的值等于
m4
A 5 B 3 C 3或5 D 以上都不对
二、填空题：
1.已知a+b=10,c= 2 5 ,则椭圆的标准 方程为_x__2_____y__2_____1_或 _____y__2_____x__2_____1____
两边同除以a 2b 2，
x2 得
y2
1
a2 b2
x2 y2 (1)焦点在x轴上 : 1(a b 0)
a2 b2 y2 x2 (2)焦点在y轴上 : 1 (a b 0)
椭圆方程a2有b2特点 系数为正加相连 分母较大焦点定 右边数“1”记心间
例1 求适合下列条件的椭圆的标
a4-2a2cx+c2x2 = a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 ,
整理得
（a2-c2)x2+a2y2 = a2(a2-c2) .
令a2 c2 b2
(1)(a2 c2 )(x c )2 a2 y2 2
两边同除以a
a
2b
2 (a2
2，
c2 )得b2
36 16
36 16
x2 y2
2.已知椭圆 a2
b2
1, (a b 0), F1, F2为
焦点， 过F1的直线与椭圆交于A、 、 B两点,
则ABF2的周长为 4a
操作型：
线段AB的两端点A、B分别在x轴、y 轴上滑动，|AB|=8，点M是AB上一 点，且|AM|=3，点M随线段AB的运 动而变化，求点M的轨迹方程。
A 5 B 7 C 8 D 10
C x2
2.椭圆
y2
1的焦距为2,则m的值等于
m4
A 5 B 3 C 3或5 D 以上都不对
二、填空题：
1.已知a+b=10,c= 2 5 ,则椭圆的标准 方程为_x__2_____y__2_____1_或 _____y__2_____x__2_____1____
两边同除以a 2b 2，
x2 得
y2
1
a2 b2
x2 y2 (1)焦点在x轴上 : 1(a b 0)
a2 b2 y2 x2 (2)焦点在y轴上 : 1 (a b 0)
椭圆方程a2有b2特点 系数为正加相连 分母较大焦点定 右边数“1”记心间
例1 求适合下列条件的椭圆的标
高中数学人教A版选修2-1课件： 2.2.1 椭圆及其标准方程 课件2
b2x2a2y2a2b2
两边除以 a 2b 2得 x2 y2 1(ab0). a2 b2
思考?
观察右图,你能从中找出 表示a,c, a 2 c 2 的线段么?
y P
F1 0
F2
x
1.椭圆的标准方程
y
M
焦点在x轴：
x2 a2
by22
1ab0
F1 o F2 x
(xc)2y2(xc)2y22a
代入坐标 M F 1(x c )2 y 2 ,M F 2(x c )2 y 2
得( 方 x c )2 程 y 2(x c )2 y 2 2 a （问题：下面怎样化简？）
移项，再平方
( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 a2cx a(xc)2y2
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
（-2，0）和（2，0），并且经过
5 (
,
3 )
，
22
求出椭圆的标准方程。
答案x2 y2 1 10 6
~ 求曲线方程的方法：
定义法：如果所给几何条件正好符合某 一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可 直接利用定义写出动点的轨迹方程.
两边除以 a 2b 2得 x2 y2 1(ab0). a2 b2
思考?
观察右图,你能从中找出 表示a,c, a 2 c 2 的线段么?
y P
F1 0
F2
x
1.椭圆的标准方程
y
M
焦点在x轴：
x2 a2
by22
1ab0
F1 o F2 x
(xc)2y2(xc)2y22a
代入坐标 M F 1(x c )2 y 2 ,M F 2(x c )2 y 2
得( 方 x c )2 程 y 2(x c )2 y 2 2 a （问题：下面怎样化简？）
移项，再平方
( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 a2cx a(xc)2y2
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
（-2，0）和（2，0），并且经过
5 (
,
3 )
，
22
求出椭圆的标准方程。
答案x2 y2 1 10 6
~ 求曲线方程的方法：
定义法：如果所给几何条件正好符合某 一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可 直接利用定义写出动点的轨迹方程.
高中数学人教A版选修2-1课件： 2.2.1 椭圆及其标准方程 课件
如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法， 可得出它的方程为：
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
y
F1
它也是椭圆的标准方程。
o
M
x
F2
2. 椭圆的标准方程:
y
B2 M
A1 F1 0 B1
F2 A2 x
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
y A2
F2
B1 0 F1
M B2 x
解：设 M(x，y)，P(x0，y0)，则
x
x0 ，y
y0 2
.
∵ P(x0，y0) 在圆 x2 + y2 = 4 上，
∴ x02 + y02 = 4
将 x0 x ，y0 2 y 代入
得 x2 +4 y2 = 4 即 x2 y2 1 .
4
∴ 点M的轨迹是一个椭圆 .
y
.P .
M
动点 M 没有轨迹 .
F1
F2
MF1 MF2 2a 2c
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标 系，建立椭圆方程，并通过方程研究椭圆的性质.
y
M (x, y)
F1
O
F2
x
取过焦点F1、F2的直线为x轴， 线段F1F2的垂直平分线为y轴，建 立直角坐标系。
y
M(x, y)
F1
O
F2
故所求椭圆的标准方程为： y2 x2 1 . (还有其他方法吗？) 10 6
（2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经 过点(- 3 ，5) .
22
人教A版选修2-1 , 2.2.1, 椭圆及其标准方程, 课件
平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆 的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的 和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2
F1 O y
M
F2 x
的坐标分别是(c,0)、(c,0) .
由椭圆的定义得
| MF1 | | MF2 | 2a.
2 2 2 2 2 2 2 2
两 边 同 除 以 a 2 ( a 2 c 2 )， 得 ：
x y 2 1. 2 2 a a c
2
2
请 看 图 片 ： 你 能 从 图 中 找 出 表 示 a , c , a 2 - c 2的 线 段 吗 ？
解 ： 令 b 2 a 2 - c 2 (a b 0 ),
因为 | MF1 | ( x c ) 2 y 2 ,| MF 2 | ( x c ) 2 y 2 ,
所 以 ( x c ) y ( x c ) y 2a .
2 2 2 2
移项，再平方
( x c ) y 4a 4a ( x c ) y ( x c ) y ,
探究点1
椭圆的定义
根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：
1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的
还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明 了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离有怎
样的大小关系？
结合实验及上面的 问题，你能给椭圆 下一个定义吗？
椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数
2
P
a c
F 1
2
y
a
人教A版高中数学选修2-1《2.2.1椭圆及其标准方程》课件
五、小结归纳，提高认识
一个定义： 椭圆的定义
二类方程:
x2 y2 1
y2 x2 1 a b 0
a2 b2
a2 b2
六、作业练习，巩固提高
1、课本P49A组第1题，第2题。〔作业本〕 2、思考题：你能说出以下式子的几何意义 吗？对应的曲线又是什么呢？
(1) x+c2 y2 + x-c2 y2 2a
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
问题：如何化简含两个根式的方程？
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
两边同时除以 a2 a2 c2 ，得
x2 a2
y2 a2 c2
1
问题：如何化简含两个根式的方程？
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a (1)
a b 0
〔2〕
从上述过程可以看到， 〔1〕椭圆上任一点的坐标都满足方程〔2〕； 〔2〕方程〔2〕的解对应坐标的点都在椭圆上。 那么〔2〕为椭圆的标准方程。
标准方程，表达数学式子的简洁美、对称 美，内在的每一个字母a,b都赋予它深刻 的含义，最能直观表达参数几何意义，方 便对椭圆的研究。
人生感悟： 标准的制定，是个内在优化的过程，到达 在一定的范围内获得最正确秩序，以促进 最正确社会效益为目的。
5 2
,
3 2
代入上式得：25 4a2
9 4b2
1
1
依题意可知c=2，所以a2 b2 =c2 =4 2
联系12可得，a 10，b 6.
因此，所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1. 10 6
求椭圆标准方程的方法
待定系数法求椭圆的标准方程： (1)判断焦点位置，设出标准方程；(先定位) (2)根据条件求出a、b、c的值。(再定量)
高中数学 2-2-1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修2-1
[解]
把方程 x2sinθ＋ y2sin2θ＝ 1 化为标准形式：
1 sinθ>0 x2 y2 ＋ ＝ 1 由 1 >0 1 1 sin2θ sinθ sin2θ sinθ≠sin2θ π π π 得 (2kπ，2kπ＋ )∪ (2kπ＋ ， 2kπ＋ )． 3 3 2
[答案] D
[分析 ]
x2 (1)本题可以设出椭圆标准方程为 2＋ a
y2 ＝ 1(a>b>0)，利用待定系数法求解，也可利用椭 b2 圆的定义即 2a＝ |MF1|＋ |MF2 |求解． (2)利用定义及余弦定理、面积公式求解．
[ 解]
(1)方法一：由已知可设椭圆的标准方程为
x2 y2 2 2 2＋ 2＝ 1(a>b>0)则 a － b ＝ 1① a b 9 1 4 ＋ ＝ 1② a2 b2 由①②解得 a2＝ 4， b2＝ 3， x2 y2 故椭圆标准方程为 ＋ ＝ 1. 4 3
方法二：由已知，设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝ 1(A>0，B>0， A≠ B) 1 A＝9 6A＋ B＝ 1 故 ⇒ 3A＋ 2B＝ 1 B＝ 1 3
，
x2 y2 即所求的椭圆标准方程是 ＋ ＝ 1. 9 3
(2)由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在 x x2 y2 轴上，设方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)， a b x2 y2 由 ＋ ＝ 1⇒c2＝ 5，∴ a2－b2＝5① 9 4 4 1 又 Q(2,1)在椭圆上，则 2＋ 2＝1② a b 由①②解得：a2＝ 5＋ 5，b2＝ 5， x2 y2 即所求的方程是 ＋ ＝1 5＋5 5
方法二：由已知得 c＝ 1， 又 2a＝|MF1 |＋|MF2 |＝ 3 8 ＋ ＝ ＝4. 2 2 ∴a＝2，∴ b2＝a2－c2＝4－1＝3. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 4 3 9 4＋ ＋ 4 9 5 ＝ 4 2
人教版高中数学选修二 2-1 第二章 2.2.1椭圆及其标准方程(网课)课件(共18张PPT)
54
x2 y2
1
98
(3)与 x2 y2 1 有相同焦距且过点（3，0）
54
x2 y2 1
98
x2 y2 1
9 10
1秒杀：化简：
x2 ( y 3)2 x2 ( y 3)2 10
小结
椭圆的标准方程
定义 图形
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c)
y
y
M
F2
M
F1 o
F2 x
o
x
F1
方程
x2 a2
x2 b2
1
a
b 0
焦点
a,b,c之间
的关系
F(±c，0)
F(0，±c)
2
7、椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点为(0,
2)，
求m的值.
m5
练习：
1、方程 x 32 y2 x 32 y2 10
表示焦点在x轴上的椭圆 。
2、方程 x 32 y2 x 32 y2 6
表示 以A(-3,0),B(3,0)为端点的线段 。
3、方程 x2 y 32 x2 y 32 10
标 为(____7_,_0_)__。
练习：
4.若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y
轴上的椭圆，求k的取值范围。 0 k 4
5、椭圆x2 y2 1的焦距为4，求m的值
9m
m 5或m 13
6、方程
x2 m2
y2 (m 1)2
1 表示焦点在
m 1
y轴上的椭圆，求实数m的取值范围.
a2 b2 1
y2 a2
x2 b2
1
方 （1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
人教A版高中数学选修2-1课件高二《2.2.1椭圆及其标准方程》
练 习：
（1） 点 A，B 的坐标是 (1,0),(1,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率 与直线 BM 的斜率的商是 2，点 M 的轨迹是 什么？
练 习： （1） 点 A，B 的坐标是 (1,0),(1,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率 与直线 BM 的斜率的商是 2，点 M 的轨迹是 什么？
例 1. 在圆 x2+y2=4 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足.当点 P 在圆上运 动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？
例 2．已知动圆 M 过定点 A (3,0) ，并且在 定圆 ( x 3)2 y2 64 的内部与其相切，求动 圆圆心 M 的轨迹方程。
例 2．已知椭圆两个焦点的坐标分别是 (2,0), (2,0), 并且经过点 ( 5 , 3) ，求它的标准方程.
22
举例分析
例 3．已知 B、C 是两个定点，|BC|=8，且△ ABC 的周长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨 迹方程。
巩固练习
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴ 焦点在 x 轴上，焦距等于 4，并且经过点
讲授新课
1. 定义椭圆： 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之
和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距.
2. 椭圆标准方程的推导：
讲授新课
1. 定义椭圆： 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之
和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距.
2．教材 P42 面 1、3 题
巩固练习
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1椭圆及其标准方程 课件(22张ppt)
人教高中数学选修2-1 第二章 2.2.1 椭圆及标准方程
想一想
生活中或是
自然界中有哪些 常见的椭圆图形？
观察以下几组图片
我们了解了生活中的椭圆后，再进一步学习数 学中的椭圆及其标准方程
椭圆定义：
第一定义：
平面内于两定点F1、F2距离之和等于 常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距 离叫做椭圆的焦距。
x2 a2
y2 a2 5
1
.
由点(－3,2)在椭圆上知
9 a2
4 a2 5
1，所以
a ＝2 15.所以所
求椭圆的标准方程为
x2 y2 1
15 10
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1 椭圆及 其标准 方程 课件(22张ppt)【精品】
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a
（1）+（2）得：
（xc)2 y2
=
xc a
+a
（3）
对（3）两边平方可得椭圆的标准方程。
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1 椭圆及 其标准 方程 课件(22张ppt)【精品】
几何性质
椭圆方程 图形特征
范围
几何 性质
顶点
焦点
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12
12
e
c a
(0e1)
e
c a
(0e1)
|M 1| F ae0,x |M 2| F ae0x|M 1| a F e y 0 ,|M 2| a F e y 0
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想一想
生活中或是
自然界中有哪些 常见的椭圆图形？
观察以下几组图片
我们了解了生活中的椭圆后，再进一步学习数 学中的椭圆及其标准方程
椭圆定义：
第一定义：
平面内于两定点F1、F2距离之和等于 常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距 离叫做椭圆的焦距。
x2 a2
y2 a2 5
1
.
由点(－3,2)在椭圆上知
9 a2
4 a2 5
1，所以
a ＝2 15.所以所
求椭圆的标准方程为
x2 y2 1
15 10
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a
（1）+（2）得：
（xc)2 y2
=
xc a
+a
（3）
对（3）两边平方可得椭圆的标准方程。
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1 椭圆及 其标准 方程 课件(22张ppt)【精品】
几何性质
椭圆方程 图形特征
范围
几何 性质
顶点
焦点
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1 椭圆及 其标准 方程 课件(22张ppt)【精品】
12
12
e
c a
(0e1)
e
c a
(0e1)
|M 1| F ae0,x |M 2| F ae0x|M 1| a F e y 0 ,|M 2| a F e y 0
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1 椭圆及 其标准 方程 课件(22张ppt)【精品】
高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修2
【变式训练】设F1,F2为椭圆 x2 y2 1 的两个焦点,P为椭圆
94 上的一点,PF1⊥PF2,且|PF1|>|PF2|,求
PF1 的值.
PF2
【解题指南】可设法求出|PF1|,|PF2|后求比值,注意PF1⊥PF2
条件的应用.
【解析】∵PF1⊥PF2,
∴∠F1PF2为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2.
(3)a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点 M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆.a,b,c(都 是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边,a是斜边,所以 a>b,a>c,且a2=b2+c2.(如图所示)Biblioteka 类型 一 椭圆的定义及其应用
【典型例题】
1.(2013·宜春高二检测)已知椭圆
A.20
B.22
C.28
D.24
3.(2013·大连高二检测)椭圆 x2 y2 1的焦点为F1,F2, 92
点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=
.
【解题探究】1.椭圆的标准方程中,a,b,c的关系怎样? 2.题2中|PF1|与|PF2|存在哪些关系? 3.在椭圆中,|PF1|与|PF2|的关系是什么? 探究提示: 1.在椭圆的标准方程中,a,b,c的关系是a2=b2+c2. 2.存在两种关系,一是|PF1|+|PF2|=2a,二是 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2. 3.|PF1|+|PF2|=2a.
2
PF2
2
100,
得142-2|PF1||PF2|=100,
PF1 PF2 14
∴|PF1||PF2|=48.
2.2.1椭圆及其标准方程(2)-人教A版高中数学选修2-1课件
例2、已知椭圆的焦点在x轴上，并且经过点A( 3,2)、 B(2 3,1),求椭圆的标准方程.
解 ： 设 椭 圆 的方 程 为x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
依
题
意
有
( 3)2 a2
(2 3 a2
)2
(2)2 b2 1 b2
1 1
解
得a b
2 2
15 5
故 所 求 椭圆 的 方 程 为x 2 y 2 1 15 5
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
∵ 2a=10, c=4
y
M
∴ a=5, c=4
F1 o
F2 x
∴ b2=a2-c2=52-42=9
x2 y2
∴所求椭圆的标准方程为
25
9
1
解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
2.2.1 椭圆及其标准方程(二)
复习：根据所学知识完成下表
定义
不
图形
同
点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y y P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
焦点坐标
解:如图,以直线BC为x轴,线段BC的中点为原点,建立平面 直角坐标系,则B(-3,0),C(3,0). 设顶点A的坐标为(x,y)
数学：2.2.1《椭圆及其标准方程》课件(新人教A版选修2-1)
25
9
1 的两个焦点，
过F1的直线交椭圆于M、N两点，则四边形F1MF2N的
周长为 .
3.若方程
x2 25 m
y2 16 m
1
表示焦点在x轴上的椭圆，
则m的取值范围是 .
学习目标 实例感知
结论：
演示画图
推导方程
例题演练 小结检测
2a F1F2 所成图形是椭圆； 2a F1F2 所成图形是线段； 2a F1F2 没有图形.
学习目标 实例感知 演示画图 推导方程 例题演练 小结检测
思考： 结合实验，你应如何给椭圆下定义？定义
含有几个要点？
椭圆定义的文字表述：
建系设点－列等式－代坐标－化简方程
2、椭圆的标准方程
3、求椭圆方程常用方法：待定系数法
学习目标 实例感知 演示画图 推导方程 例题演练 小结检测
达标检测
1.判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距.
x2 （1） 3
y2 4
1
（2）
3x2 4y2 1
x2 y2
2.已知F1、F2是椭圆
又∵焦点的坐标为 (2, 0),(2, 0) c 2
a2 b2 4 ①
又由已知
(
5 2
)2
a2
(
3 2
)2
b2
1
②
联立①②, 解得a2 10，b2 6
因此, 所求椭圆的标准方程为: x2 y2 1 . 10 6
学习目标 实例感知 演示画图 推导方程 例题演练 小结检测
x2 y2
a2 b2 1 c2 a2 b2
(a b 0)
高中数学人教A版选修2-1课件： 2.2.1 椭圆及其标准方程 课件
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
最新中小学教学课件
12
谢谢欣赏！
2019/7/9
最新中小学教学课件
13
1
椭倍圆.上，1如2 果线3段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的
3.已知椭圆
的两个焦点为F1、F2，
x2 y2
且|F1F2|=8，弦a2AB过2点5F1，1(则a△A5B)F2的周长为
.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
|MF1|的长等于
.
4若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两 个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的 最短距离为 ，则这个椭圆的方程为
3
[典型例析] 例1求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点坐标分别为（-4，0）和 （4，0），且椭圆经过点（5，0）；
（2）焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1， 0）；
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
其中a，b,2 c满a足2 ： 1
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验 点，会画出什么图形呢？
精选ppt
3
请同学们按照下列操作，动手画一画：
数
1.取一条定长的细绳；
学
2.把它的两端固定在图纸上的两点F1、F2；
实
3.用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢
验 移动，看看能画出什么图形？
精选ppt
4
根据刚才的实验请同学们回答下面 几个问题：
1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置
22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的标准方程为
x2 y2 a2 b2 1(ab0).
由椭圆的定义知
2 a(5 2 )2 ( 3 )2(5 2 )2 ( 3 )2 21 0
2
22
2
精选ppt
15
例 练题
演
所以 a 10 .
又因为 c 2 ,所以
b 2 a 2 c 2 1 0 4 6 .
数 a2cx a(xc)2y2
学 两边再平方，得
推 a 4 2 a 2 c c 2 x x 2 a 2 x 2 2 a 2 c a x 2 c 2 a 2 y 2
整理得 (a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
理 两边同a2除 (a2 以 c2)，得：
x2 a2
1
②
联立①②, 解 得 a210， b26
因此, 所求椭圆的标准方程为: x 2 y 2 1 .
10 6
精选pptቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
17
1.已知F1、F2是椭圆
x2 y2 1 的两个焦点，
25 9
课 过F1的直线交椭圆于M、N两点，则三角形
堂 MNF2的周长为 20 .
yM
F1 o
练
F2
x
N
习 2.已知椭圆的两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),
且过P(2,3)点，求椭圆的方程 .
x2
y2
1
16 12
精选ppt
18
最后回忆一下本节课的主要内容
定义 图形
方程 焦点
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o F2 x
ox
F1
x2 a2
by22
1ab0
y2 a2
bx22
1ab0
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的
圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，
学 椭圆是否可以采用类似的方法呢？
推
y
y
M
F2
理
M
F1 O
F2 x
O
x
F1
方案一 精选ppt
方案二
8
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分
数 别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的 学 距离的和等于2a (2a>2c>0)
推 请同学们自己完成剩下的步骤，求出 理 椭圆的方程.
椭圆的标准方程有精哪选p些pt 特征呢？
13
椭圆的标准方程的特征：
数 （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式 学 的平方和，右边是1; 归 （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，
则焦点在哪一个轴上;
纳 （3）椭圆的标准方程中a、b、c满足a2=b2+c2
精选ppt
14
例 练题
演
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 ( 5 , 3 ) .求它的标准方程.
M
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得：
理
|M 1| F |M 2| F 2 a
因为 |M 1 |( F x c )2 y 2 ,|M 2 |F (x c )2 y 2
所(x 以 c )2 y 2(精x选 pc p) t 2 y 2 2 a
10
移项，再平方
( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
纳
两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点. 两焦点之间的距离叫做焦距.
精选ppt
6
根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？
数
先来回忆：求曲线的方程的基本步骤
学
推 （1）建系设点;
（2）写出点集；
理 （3）列出方程； （4）化简方程；
（5）检验
精选ppt
7
第一步： 如何建立适当的坐标系呢？
数 想一想：圆的最简单的标准方程，是以
y2 a2 c2
1
精选ppt
11
请看图片：你 找能 出从 表 a、c图 示 、a2中 -c2的线段么
数
y
P
学
a2 c2
a
F1
O c F2
x
推
理
所b 以 2= a 2-令 c 2 (a> b > 0 ), 所以椭圆的 a x2 2方 b y2 2 1 程 (a为 b0).
类似的由方案二到 可椭 以圆 得的方程
关系
c2=精a选2p-ptb2
19
课后作业：
1.在椭圆的定义中，若a=c能得到什么 图形？若a<c能得到什么图形？
2.查查资料，看看椭圆还有其他的定 义方法么？
数 是固定的还是运动的？
学 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没
有？说明了什么？
观
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点
察 距离大小有怎样的关系？
精选ppt
5
思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆
数 是怎样定义的？
学
椭圆定义：
归
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和
等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.
为y2 a2
x2 +b2
=1(a>b>0).
精选ppt
12
1.我们把ax形 22+by如 22 =1(a>b>0)叫做椭圆的标准
数
y
M
它表示焦点在x轴上的椭圆
学
F1 o F2 x
归 2.也把形 ay22 +如 bx22 =1(a>b>0)叫做椭圆的标准
纳 它表示焦点在y轴上的椭圆
y
F2 M
ox
F1
第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程
在生活中，还有另外一种曲线比较常 见，例如
引
运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线
言
精选ppt
2
通过图片已经知道了椭圆的形状，能否 动手画一个椭圆呢？
数 先回忆圆的画法：平面内，到定
点的距离等于定长的点的轨迹就
学 是圆.
实
如果把这一个定点分裂成两个定
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
思考？能用其他方法求它的方程么？
精选ppt
16
例 练题
演
解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:
x2 y2 a2 b2 1(ab0).
又∵焦点的坐标为 (2,0),(2,0) c 2
a2b2 4 ①
又由已知(52)2 a2
(b232)2
精选ppt
9
方案一
解：以焦点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂
数 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x, y)是椭圆上任意一
y
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
学 与F1和F2的距离的和等于正
常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的
推 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
精选ppt
3
请同学们按照下列操作，动手画一画：
数
1.取一条定长的细绳；
学
2.把它的两端固定在图纸上的两点F1、F2；
实
3.用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢
验 移动，看看能画出什么图形？
精选ppt
4
根据刚才的实验请同学们回答下面 几个问题：
1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置
22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的标准方程为
x2 y2 a2 b2 1(ab0).
由椭圆的定义知
2 a(5 2 )2 ( 3 )2(5 2 )2 ( 3 )2 21 0
2
22
2
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例 练题
演
所以 a 10 .
又因为 c 2 ,所以
b 2 a 2 c 2 1 0 4 6 .
数 a2cx a(xc)2y2
学 两边再平方，得
推 a 4 2 a 2 c c 2 x x 2 a 2 x 2 2 a 2 c a x 2 c 2 a 2 y 2
整理得 (a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
理 两边同a2除 (a2 以 c2)，得：
x2 a2
1
②
联立①②, 解 得 a210， b26
因此, 所求椭圆的标准方程为: x 2 y 2 1 .
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1.已知F1、F2是椭圆
x2 y2 1 的两个焦点，
25 9
课 过F1的直线交椭圆于M、N两点，则三角形
堂 MNF2的周长为 20 .
yM
F1 o
练
F2
x
N
习 2.已知椭圆的两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),
且过P(2,3)点，求椭圆的方程 .
x2
y2
1
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最后回忆一下本节课的主要内容
定义 图形
方程 焦点
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o F2 x
ox
F1
x2 a2
by22
1ab0
y2 a2
bx22
1ab0
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的
圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，
学 椭圆是否可以采用类似的方法呢？
推
y
y
M
F2
理
M
F1 O
F2 x
O
x
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方案一 精选ppt
方案二
8
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分
数 别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的 学 距离的和等于2a (2a>2c>0)
推 请同学们自己完成剩下的步骤，求出 理 椭圆的方程.
椭圆的标准方程有精哪选p些pt 特征呢？
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椭圆的标准方程的特征：
数 （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式 学 的平方和，右边是1; 归 （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，
则焦点在哪一个轴上;
纳 （3）椭圆的标准方程中a、b、c满足a2=b2+c2
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例 练题
演
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 ( 5 , 3 ) .求它的标准方程.
M
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得：
理
|M 1| F |M 2| F 2 a
因为 |M 1 |( F x c )2 y 2 ,|M 2 |F (x c )2 y 2
所(x 以 c )2 y 2(精x选 pc p) t 2 y 2 2 a
10
移项，再平方
( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
纳
两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点. 两焦点之间的距离叫做焦距.
精选ppt
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根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？
数
先来回忆：求曲线的方程的基本步骤
学
推 （1）建系设点;
（2）写出点集；
理 （3）列出方程； （4）化简方程；
（5）检验
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第一步： 如何建立适当的坐标系呢？
数 想一想：圆的最简单的标准方程，是以
y2 a2 c2
1
精选ppt
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请看图片：你 找能 出从 表 a、c图 示 、a2中 -c2的线段么
数
y
P
学
a2 c2
a
F1
O c F2
x
推
理
所b 以 2= a 2-令 c 2 (a> b > 0 ), 所以椭圆的 a x2 2方 b y2 2 1 程 (a为 b0).
类似的由方案二到 可椭 以圆 得的方程
关系
c2=精a选2p-ptb2
19
课后作业：
1.在椭圆的定义中，若a=c能得到什么 图形？若a<c能得到什么图形？
2.查查资料，看看椭圆还有其他的定 义方法么？
数 是固定的还是运动的？
学 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没
有？说明了什么？
观
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点
察 距离大小有怎样的关系？
精选ppt
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思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆
数 是怎样定义的？
学
椭圆定义：
归
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和
等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.
为y2 a2
x2 +b2
=1(a>b>0).
精选ppt
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1.我们把ax形 22+by如 22 =1(a>b>0)叫做椭圆的标准
数
y
M
它表示焦点在x轴上的椭圆
学
F1 o F2 x
归 2.也把形 ay22 +如 bx22 =1(a>b>0)叫做椭圆的标准
纳 它表示焦点在y轴上的椭圆
y
F2 M
ox
F1
第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程
在生活中，还有另外一种曲线比较常 见，例如
引
运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线
言
精选ppt
2
通过图片已经知道了椭圆的形状，能否 动手画一个椭圆呢？
数 先回忆圆的画法：平面内，到定
点的距离等于定长的点的轨迹就
学 是圆.
实
如果把这一个定点分裂成两个定
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
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思考？能用其他方法求它的方程么？
精选ppt
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例 练题
演
解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:
x2 y2 a2 b2 1(ab0).
又∵焦点的坐标为 (2,0),(2,0) c 2
a2b2 4 ①
又由已知(52)2 a2
(b232)2
精选ppt
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方案一
解：以焦点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂
数 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x, y)是椭圆上任意一
y
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
学 与F1和F2的距离的和等于正
常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的
推 坐标分别是(c,0)、(c,0) .