北师大版初中数学八年级上册2.7 第1课时 二次根式及其化简
初中数学八年级上册(北师大版)2.7 二次根式(第1课时)课件
A． x 2
B． x
C． x2 2
D． x2 2
【解析】选C.A项中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A项
不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式，故B项不
一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞0，所以C项
一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二次根式，所以D
项也不正确.
3.（盐城·中考）使 x 2 有意义的x的取值范围是____.
第二章 实数
7 二次根式 第1课时
1．了解二次根式的概念. 2．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情
景下求根号内所含字母的取值范围. 3．会求二次根式的值.
1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个正数x的平方等于a，即 x 2 a ，
那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
思考 1.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3.－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
塔座
50 m
?m
am
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为__a_2___2_5_0_0_ m.
下球体
SHale Waihona Puke 下球体在平面图上的圆的面积为S，则该圆的半径
(1) x 1 x 1
(2) 3x x 0
(3) 4 x2 x为 全 体 实 数 (4) 1 x
x0
(5) x3 x 0
1 (6) x2
x0
2.已知a，b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1, 你能求出a及 a+b 的值吗？
【解析】依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= 12,把 b= 1 2代入原式，得a=1,所以a+b=1+12 =32 .
北师大版初中八年级数学上册第2章7第1课时二次根式及其性质课件
知识点二
最简二次根式
【例2】 化简:
(1) 20;(2)3
5
2
;(3) .
12
8
思路分析 (1) 20的被开方数中含有开得尽方的因数吗?(2)如何将
2
分母化为一个完全平方数?(3)怎样变形使 的分母不含有根号?
8
5
中的
12
解 (1) 20 = 4 × 5 = 4 × 5=2 5.
5
5×3
15
(2) 121 × 5 = 121 × 5=11 5.
3
3
3
(3)
=
= .
49
7
49
9
(4)
=
2
64
9·
(8)
2
=
9·
(8)
3
=
(x>0,y>0).
8
2
【方法归纳】
1.利用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简,使结果不含能开得尽
方的因数或因式.
2.利用商的算术平方根的性质对二次根式进行化简,使结果分母中不含有
15
15
15
(2)3 12=3 12×3=3 36=3× =3× 6 = 2 .
36
2
2
2
2 2
2
(3) =
=
=
= 2.
2
8
4×2
4× 2 2×( 2)
【方法技巧】
1.当被开方数是整数时,应该将它进行因数分解,分解出完全平方数.
2.当被开方数是小数或带分数时,应先将小数化成分数的形式或将带分数
化成假分数的形式.
实数
7
第1课时
二次根式及其性质
2.7.1二次根式的化简课件2021－2022学年北师大版八年级数学上册
2．式子 x2－x 1在实数范围内有意义的条件是
( B)
A．x≥1
B．x＞1
C．x＜0
D．x≤0
知识点 2 二次根式的性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； ab＝ ab(a≥0，b＞0)．
3．(例 2)下列各式正确的是
A． －4×－9＝ －4× －9
B． 4×9＝ 4× 9
C．
449＝ 4×
A．最大值是23
B．最小值是23
C．最大值是32
D．最小值是23
6 6．将 12－13化简成最简二次根式为__6___.
(A )
7．化简：
(1) 9×16；(2) －16×－81；(3)
634；(4)
16×25 81 .
解：(1) 9×16＝ 9× 16＝3×4＝12．
(2) －16×－81＝ 16×81＝ 16× 81＝4×9＝36．
1．下列式子一定是二次根式的是
A． －5
B． x
C．3 4
2．下列根式中是最简二次根式的是
A．
2 3
B． 3
C．
4 2
D． 7 D． 8
( D) ( B)
3．式子 x＋1有意义的 x 的取值范围是
A．x≠－1
B．x≥－1
C．x>－1
D．x≥0
4．化简 π－32＝__π_－__3__．
(B )
5．要使代数式 2－3x有意义，则 x 的
2.7 二次根式
第1课时 二次根式的化简
学习 目标
1．认识二次根式和最简二次根式的概念． 2．探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式 化为最简二次根式的形式.
知识点 1 二次根式的概念 一般地，形如___a_(a≥0)的式子叫做二次根式，a 叫做__被__开__方__数___.
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-7二次根式(第1课时)教学详案
第二章 实 数7 二次根式第1课时 二次根式及其化简教学目标1.会区分二次根式与最简二次根式;2.能运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;3.经历二次根式的基本性质，运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象、从特殊到一般的概括能力,体验归纳、猜想的思想方法.教学重难点重点：运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;难点：会利用积与商的算术平方根的性质化简二次根式.教学过程导入新课1.做一做：√169= 13 ，√42= 4 ，（√4）2= 4 ，√a 2= ｜a ｜ , （√a ）2=a.2.观察下列代数式：(1)√5 ； (2)√11 ； (3)√7.2 ； (4)√49121；(5)√a 2+1 ； (6)√(c +b )(c −b)(其中b =24，c =25).这些式子有什么共同特征？(1)形式上含有根号;(2)根指数都为2;(3)被开方数为正数. 探究新知一般地，形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式,其中a 是被开方数.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.【例1】 说一说下列各式哪些是二次根式.(1) √32； (2)6； (3) √−12；(4) √−m （m ≤0）； (5) √xy ； (6)√53.【解】（1）（4）.（2）没有开方运算；（3）被开方数是负数；（5）xy 可能是负数；（6）根指数不是2活动：探究二次根式的性质计算下列各式，你能发现什么?（1）√4×√9= 6， √4×9=6 ；√16×√25= 20， √16×25=20；√4√9＝23，√49＝23；√16√25＝45，√1625＝45． （2）用计算器计算：√6×√7 ≈6.481 ， √6×7≈6.481；√6√7≈0.925 8 ， √67≈0.925 8. 即：√4×√9= √4×9；√16×√25=√16×25；√6×√7=√6×7； √4√9=√49； √16√25=√1625； √6√7=√67. 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. √a b =√a √b(a ≥0,b ＞0).【例2】化简：（1）√81×64；（2）√25×6；（3）√59. 观察：化简以后结果中的被开方数又有什么特征？【解】（1）√81×64=√81×√64=9×8=72;（2）√25×6=√25×√6=5×√6=5√6; （3）√59=√5√9=√53. 被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数.一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.最简二次根式的特点：①被开方数不含分母;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式;③分母不含根号.【例3】化简：（1）√50；（2）√27； （3）√3. 【解】（1）√50=√25×2=√25×√2=5×√2=5√2； （2）√27=√2√7=√2×√7√7×√7=√147； （3）√3=√3√3×√3=√33. 注：化简时，要求最终结果是最简二次根式.课堂练习 1.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A ．√7B ．√3C ．√12D ．√22．若x 为任意数，则下列各式中一定成立的是（ ）A.24x x =B.24x x -=C.x x =2D.x x -=23．下列各式中正确的是（ ）A.416±=B.()222-=-C.24-=-D.3327=4．化简()225-⨯，结果是( ) A.-52 B.52 C.－10 D.10 5.要使式子√a+2a 有意义，a 的取值范围是（ ）A. a ≠ 0B. a ＞-2且a ≠ 0C. a ＞-2或a ≠ 0D. a ≥-2且a ≠ 0参考答案1.C2.A3.D4.B5.D课堂小结1.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.2.二次根式的性质： √ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)；√a b =√a√b (a ≥0,b ＞0).3.最简二次根式满足的条件：①二次根式的被开方数不含开得尽方的因数（或因式）；②二次根式的被开方数不含分母（即根号内不能是分数）；③分母不能含有根号. 布置作业习题2.9第1，2，3题板书设计7 二次根式第1课时 二次根式及其化简 1.二次根式的定义及其判断依据；2.二次根式的性质：√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)；√a b =√a √b (a ≥0,b ＞0).3.最简二次根式的定义及其判断依据.。
北师大版-数学-八年级上册--2.7 二次根式 精品教案
第二章 实数2.7．二次根式（第1课时）一、学生起点分析七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．二、教材任务分析本节分为三个课时。
第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．为此，确定本节课教学目标是：1.认识二次根式和最简二次根式的概念.2.探索二次根式的性质．3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第一环节：明晰概念问题1 ：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
介绍二次根式的概念。
一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。
a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．问题2：二次根式怎样进行运算呢？答：这是我们本节课要解决的新问题．意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．第二环节：探究性质（一）内容：通过探究得出b a b a •=⋅，ba b a =． 具体过程如下：（1）94⨯＝ ，94⨯＝ ； 2516⨯＝ ，2516⨯＝ ；94＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ． （2）用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？意图：最终归纳出b a b a •=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0， b ＞0）． 说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．第三环节：知识巩固例1 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95。
2022秋八年级数学上册 第二章 实数2.7 二次根式 1二次根式及其性质说课稿(新版)北师大版
2.7.1 二次根式及其性质各位评委大家好今天我说课的题目是北师大版八年级上册第二章第七节二次根式，下面我将从说教材，说教法学法、说教学过程。
说作业布置等几个方面谈谈我对这节课的设计一、说教材二次根式这一节主要讲了二次根式的含义和性质。
教材从实际问题引出二次根式的概念，然后对二次根式的性质进行探究。
在八年级的时候学生已学习过了平方根和算术平方根等概念并能用根号表示平方根和算术平方根，知道开方与乘方互为逆运算，这些知识为本节课的学习打下了根底，同时学好本节知识对于后面学习二次根式的运算求解一元二次方程做准备，因此本节知识具有呈上起下的作用。
二、说学情我将要所面对的学生是普通班，学生虽然已经对根式有了一定了解，但是很多学生对于其性质和简单的计算都还存在问题，但是九年级的学生思维能力有了很大开展，抽象概括能力得到很大提高，对于简单的实际问题还是能够很好的解决，因此本节课我从简单的实际问题入手，降低难度，以激发学生的学习兴趣。
结合以上对教材和学情的分析，以及新课标对本节课要求必须掌握等情况，我指定了如下教学目标：知识与技能目标：理解二次根式的概念和非负性。
能够利用非负性求未知量的范围。
方法与过程目标：经历探究、总结、归纳、抽象的过程获得二次根式的概念。
通过教师讲解，学生练习评价的过程掌握二次根式的非负性。
情感态度价值观：培养学生的数学建模能力，培养学生的抽象概括能力和学习兴趣。
一、说教学重难点重点：理解二次根式的概念及非负性难点：二次根式的非负性的应用二、说教法学法。
为了提高本堂课的效率，根据本节课内容和学生特点。
我采用了如下教法：1、发现教学法：通过实际问题总结归纳发现共性，得出二次根式概念。
2、讲解法：通过教师讲解相关知识，学生练习，到达知识应用的目的3、启发教学法：教师课堂上巧设问题启发学生思考加深对概念的理解。
在学法指导上，为了表达学生的主体性，我鼓励学生自主探究学习，同时在教师的引导下进行学习，然学生大胆尝试对知识的应用，通过亲自实践活动的过程，获得相关知识技能。
八年级数学上册 2.7.1 二次根式教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上册数学教案
课题：二次根式教学目标：1.认识二次根式和最简二次根式的概念.积的算术平方根与商的算术平方根的性质．积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根式化为最简二次根式．4.通过利用二次根式的性质进行计算，理解最简二次根式的含义.在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识．教学重点与难点：重点：二次根式的概念、性质及二次根式的化简.难点：（a≥0，b≥0）=（a≥0， b＞0）．并用它们进行二次根式化简.教学过程：一、创设情境，导入新课活动内容：求下列各数，思考下面的两个问题:1.我校有两个正方形的花坛，一个面积为8平方米，一个面积为2平方米，大家说这两个正方形的边长是多少？2. 5的算术平方根是多少？3.一个正数的平方是，这个数多少？4.直角三角形的斜边长是c，一条直角边是b，那么另一条直角边的长为多少？问题1：它们的值有什么共同特点?问题2：它们的值是最简形式吗？处理方式：学生独立完成，然后同伴交流所提出的两个问题。
引入我们今天要学习的内容.设计意图：由生活中的数学引出新课要探究的数学问题，一是，使学生感知数学在生活中的应用，激发学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础．二是加强前后知识间的联系，使学生认识到学习的必要性，从而增强学习的积极性.同时也顺利的引入了新课.二、探究学习，感悟新知活动内容1：（多媒体出示）观察下列各数并思考下面的问题：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？处理方式：以小组为单位，让学生充分讨论后回答，只要学生回答的合情合理均给予肯定和鼓励，通过式子的特点介绍二次根式的概念. 一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式.a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．设计意图：学生通过观察并与小组成员的讨论这些式子的共同点，使学生能够形成二次根式的概念，初步感知二次根式的形态.同时教会学生在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识，使学生学会学习．练一练：1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?2.当x X 围内有意义？3.m 能取得最小整数值是（）. 参考答案：， 2. 13x ≥ 3. 1处理方式：学生独立完成后进行交流讨论，使学生对二次根式有一个较深刻、全面的认识.使学生认识到：看一个式子是否为二次根式，关键看是否满足)0(≥a a 的形式.即:二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是非负数.设计意图：通过练习，让学生加强对二次根式定义的认识. 第1题着眼于弄清二次根式的形式，巩固二次根式有意义的条件.第2题和第3题都是用不同的形式来考察学生对二次根式有意义的理解.让学生在练习中发现乐趣，掌握知识.1x活动内容2：（多媒体出示）计算下列各题，你发现了什么规律？(1). 计算下列各式，你能得到哪些猜想？94⨯＝； 94⨯＝，2516⨯＝2516⨯＝，；处理方式：让学生完成题目后交流，发现算式的特点及规律.设计意图：引导学生发现算式的特点及规律，并产生猜想, 增强学生的求知欲．(2). 猜猜76⨯＝76⨯＝，也有类似的关系吗？你还能举出类似的例子吗？并用计算器验证.设计意图：引导学生验证猜想，得出规律,使学生获得成功的喜悦.并且收获了研究数学问题的探究方法．问题1：你能用字母表示这个规律吗？问题2：能用语言描述这个结论的意义吗?处理方式：小组内交流展示，重点引导学生认识算式的特点及二次根式有意义的条件.小组总结出结论a b = ( a ≥0，b ≥0)，这里应强调a ,b 的取值X 围.预设：如果不能得出a ,b 的取值X 围，教师应及时引导学生根据二次根式有意义的条件去发现。
北师大版八年级上册数学 2.7 第1课时 二次根式及其化简 优秀教案
2．7 二次根式 第1课时 二次根式及其化简1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点) 2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点) 一、情境导入问题：(1)如图，在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，∠C ＝90°，那么AB 边的长是多少？(2)面积为S 的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)上述结果有什么共同特征？ 二、合作探究探究点一：二次根式的相关概念 【类型一】二次根式的定义下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)2；(2)4；(3)33；(4)1x ＋y ；(5)x ＋y (x≥0，y ≥0)；(6)3a 2＋8；(7)－x 2－12.解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是． 方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式． 【类型二】 二次根式有意义的条件当x________，x ＋3＋1x ＋1在实数范围内有意义．解析：要使x ＋3＋1x ＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x ＋3≥0和分母x ＋1≠0，解得x ≥－3且x≠－1. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简化简下列二次根式．(1)48；(2)8a 3b (a≥0，b ≥0)； (3)（－36）×169×（－9）. 解析：本题主要考查运用ab＝a ·b(a ≥0，b ≥0)及a 2＝a(a ≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43；(2)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝（2a ）2·2ab ＝2a 2ab ； (3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234.方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)．探究点三：最简二次根式在二次根式8a ，c 9，a 2＋b 2，a 2中，最简二次根式共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：8a 中有因数4；c9中有分母9；a 3中有因式a 2.故最简二次根式只有a 2＋b 2.故选A.方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式．三、板书设计二次根式错误!本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性等等．。
2.7二次根式(第1课时) 讲义 北师大版数学八年级上册
八年级上册 第二章 实数2.7二次根式知识点一 二次根式、最简二次根式的概念(1)√13 ;(2)√−6 ;(3√(−8)2) ;(4)√103 ; (5)√15−16 ;(6)√3−x (x ≤3);(7)√−x (x>0); (8) √((a −1)2);(9)√−x 2−5 ;(10)√(a −b )2 (ab>0).解：二次根式根指数都是2,且被开方数大于或等于0, 所以(1)(3)(5)(6)(8)(10)中的式子是二次根式,(2)(4)(7)(9)中的式子不是二次根式.巩固训练基础篇1．下列式子中，是二次根式的是( )A.33 B.39 C. 3 D. a 2．若0<x<1，则下列各式中是二次根式的是( ) A.x －1 B.x －2 C.1－xx2 D.－x －1 3．二次根式x －1中，x 的取值范围是( )A ．x ≥1 B ．x>1 C ．x ≤1 D ．x<1 4．若二次根式3－x 有意义，则x 的最大值是_________. 5．化简：1－x ＋x －1＝________.6．若x ＋1＋(y －2019)2＝0，则x y＝__________. 7．当x 为何值时，下列式子在实数范围内有意义．(1)1x －2； (2)1－2xx －12. 8．下列式子为最简二次根式的是( )A. 5 B.12 C.a 2D.1a9．下列根式中最简二次根式有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2x 2y ，ab 2，3xy5，2y 2c，75x 3y 3，5（a 2－b 2），m 2＋2n 3. 10．化简40的结果是( )A ．10 B ．210C ．45D ．20 11．下列计算错误的有( ) ①29＝29＝23；②25×6＝25×6＝56；③－2－9＝29＝29＝23；④（－16）×（－9）＝－16×－9＝4×3＝12.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12．设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示6为_____；表示38＝____________. 13．化简：(1)24； (2)6×25； (3)15； (4)87.巩固训练提高篇14．下列式子中二次根式有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个①13；②－2；③－x 2＋1；④38；⑤（－12）2；⑥1－x(x>1)．15．k ，m ，n 为三个整数，若135＝k 15，450＝15m ，180＝6n ，则下列有关于k ，m ，n 的大小关系，正确的是( )．k<m ＝n B ．m ＝n<k C ．m<n<k D ．m<k<n16．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D.15217．(1)若代数式x ＋2x －1有意义，则实数x 的取值范围是_______________________； (2)若(x －2－1)0有意义，则x 的取值范围是_________________.18．(1)若直角三角形两条直角边的长分别为15cm 和12cm ，那么此直角三角形斜边是____________ cm ； (2)直角三角形的两条边长分别为6和8，第三条边的长度为____________________. 19．把下列二次根式化为最简二次根式：(1)127； (2)145； (3)18； (4)12＋13.20．比较下列各组数的大小：200 23； (2)－215.21．有一道练习题是：对于式子2a－a2－4a＋4先化简，后求值，其中a＝ 2.小明的解法如下：2a－a2－4a＋4＝2a－（a－2）2＝2a－(a－2)＝a＋2＝2＋2.小明的解法对吗？如果不对，请改正．。
北师大版八年级上册 第二章 2.7.1 二次根式 教案
2.7.1二次根式教学目的知识与技能：1.理解二次根式和最简二次根式的概念.2.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.过程与方法：在探究二次根式性质的根底上,能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.情感态度与价值观：在探究二次根式性质的过程中,体会由特殊到一般的数学思想.教学重难点【重点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.【难点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.教学准备【老师准备】预设学习过程中学生会遇到的问题.【学生准备】复习平方根和开平方的概念,计算器的使用.教学过程一、导入新课导入一:问题1：√5,√11,√7.2, √49,√(c+b)(c-b)(其中b=24,c=25),121上述式子有什么共同特征?【问题解决】都含有开平方运算,并且被开方数都是非负数.二次根式的定义:一般地,形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式,a 叫做被开方数.强调条件:a≥0.问题2：二次根式有哪些性质呢?这是我们本节课要解决的新问题.[设计意图]通过问题,回忆旧知识,为学习新知识打好根底.导入二:电视塔高h km,电视节目信号的传播半径为r km,那么它们之间存在近似关系r=√2Rℎ,其中R是地球半径,R≈6400 km.假设某个电视塔高为200 km,你能求出从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少吗?【问题探究】由于R≈6400 km,h=200 km,所以r=√2×6400×200.那么如何快速计算√2×6400×200呢?二、新知构建〔1〕活动探究【做一做】：(1)计算以下各式,你能得到什么猜测?√4×9=√4×√9=;√49=,√4√9= ; √2549= ,√25√49= .(2)根据上面的猜测,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进展交流.√6×7与√6×√7, √67与√6√7.问题1：观察上面的结果,你得出什么结论?问题2：从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗?【问题解决】 √ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0, b >0).积的算数平方根,等于算数平方根的积; 商的算数平方根,等于算数平方根的商.[设计意图] 最终归纳出√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0, b >0). 说明:公式中字母a ≥0,b ≥0(或b >0)这一条件是公式的一局部,不可忽略. 〔2〕例题讲解化简.(1)√81×64; (2)√25×6; (3) √59.〔解析〕直接运用两个公式√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0, b >0)进展计算. 解:(1)√81×64=√81×√64=9×8=72. (2)√25×6=√25×√6=5√6.(3) √59=√5√9=√53. 观察:化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?[设计意图] 由于如今还没有最简二次根式的概念,学生实际上并不知道化简的方向,因此这里以例题的形式呈现了有关结论.例1的化简结果5√6,√53中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.化简.(1)√50; (2) √27; (3) 1√3.解:(1)√50=√25×2=√25×√2=5√2. (2) √27=√2√7=√2×√7√7×√7=√147.(3) √3=√3√3×√3=√33.[设计意图]例2是在学习了最简二次根式之后设计的,旨在学生能分辨出哪些是最简的,哪些不是最简的,然后利用所学公式灵敏的化为最简二次根式.【议一议】(1)你是怎么发现√50的被开方数含有开得尽方的因是最简二次根式的?数的?你是怎么判断√147(2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经历与体会?与同伴进展交流.策略:对于较大的数,我们一般采取小学学过的短除法的形式来判断,如50=2×5×5,从而发现√50含有开得尽方的因数,14=2×7,故判断√14是最简二次根式.7说明:含有根号的数与一个不含根号的数相乘,一般把不含根号的数写在前面,并省略乘号.反思:以上化简过程的规律是:根号里面的数有一局部移到了根号外面,详细来说是能开得尽方的因数,开方后写到了根号外面.从而明确:被开方数假设有开得尽方的因数,一般需要进展化简.[知识拓展]对于二次根式应注意以下几点:(1)二次根式从形式上看,必须含有二次根号“√〞.(2)在二次根式√a中,字母a必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数,这是定义的一个重要组成局部,不可省略,因为负数没有平方根,所以当a<0时,√a没有意义.(3)在二次根式√a中,被开方数a可以是数,也可以是代数式,如√2,√x-y(x≥y),√a2+1等都是二次根式.(4)二次根式√a(a≥0)是非负数a的算术平方根,即√a(a≥0)是非负数,也就是说,式子√a包含两个非负数:①被开方数a,即a≥0(这是使√a有意义的条件);②√a本身,√a≥0(这是由算术平方根的意义所决定的).√5的形式,也就是说,当根号前(5)书写二次根式时不能写成223的系数是带分数时,要改写成假分数,这和代数式的书写要求是一致的.(6)要使√ab有意义,那么被开方数ab≥0,因此a与b同号或至少有一个为零.(7)假如一个二次根式的被开方数中的因数或因式是完全平方数或完全平方式,那么可以利用性质√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)及√a2=a(a≥0)将这些因数(式)开出来,从而将二次根式化简.三、课堂总结掌握并会运用公式√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab =√a√b(a ≥0,b >0). 四、课堂练习1.化简.(1)√45; (2) √89; (3) √12516.解:(1)√45=√9×5=√9×√5=3×√5=3√5. (2) √89=√8√9=√4×23=√4×√23=2×√23=2√23. (3)√12516=√125√16=√25×54=√25×√54=5×√54=5√54. 2.以下式子中,属于最简二次根式的是 ( )A .√9B .√7C .√20D .√13解析:A .√9 =3,C .√20 = 2√5,D . √13= √33.应选B .3.一个直角三角形的两边长为4和5 ,那么另一边长是多少? 解:当另一边为斜边时,其边长为√42+52=√41,当另一边为直角边时,其边长为√52-42=3.故边长为√41或3. 五、板书设计2.7.1 二次根式1.√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0,b >0). 2.最简二次根式. 例1 例2 六、布置作业 〔1〕、教材作业【必做题】教材第64页随堂练习. 【选做题】教材第65页习题2.9第3,4题. 〔2〕、课后作业【根底稳固】1.化简以下各式.(1)√4×36; (2)√75;(3) √12; (4)√12.2.化简√(-3)2的结果是 .3.假设√20n 是整数,那么正整数n 的最小值为 . 【才能提升】4.以下二次根式中, 已经化成最简二次根式的是 ( )A .√15B .√20C .2√2D .√1215.如下图,长方形内相邻两正方形的面积分别为2和4,求长方形内阴影局部的面积. 【拓展探究】6.观察以下各式: √2−25= √85= √4×25=2 √25; √3−310= √2710= √9×310=3 √310……猜测 √5−526等于多少,并通过计算验证你的猜测.【答案与解析】1.解:(1)√4×36=√4×√36=2×6=12. (2)√75=√25×√3=5√3. (3) √12=√2√2×√2=√22. (4)√12=2√3=√32×√3×√3=√36. 2.3(解析:√(-3)2=3.)3.5(解析:√20n =√4×5×n ,所以n 的最小值为5.)4.C(解析:根据最简二次根式的定义可得.)5.解:由题意,得AB =2,BE =CD =√2,所以阴影局部的面积=BE ×(AB-CD )=√2·(2-√2)=2√2-2.6.解: √5−526=5√526.验证: √5−526= √12526=√25×526=5√526.教学反思本节课经历从详细实例到一般规律的探究过程,运用类比的方法,得出实数运算律和运算法那么,使学生清楚新旧知识的区别和联络.本节课对运算技能要求略高.根据新课标精神,对学生不能过分要求技巧,应关注学生对运算法那么的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否根据算理正确地进展计算,能否确认结果的合理性等,对于较复杂的实数运算,应关注学生是否会使用计算器进展运算.教学设计中要考虑学生的层次不同,对知识深度和广度的要求也有所不同,因此,增加知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.教材习题答案随堂练习(教材第42页)解:(1)√32=√16×2=√16×√2=4√2. (2)√72=√36×2=√36×√2=6√2. (3)√127=√12×77×7=√4×21√72=2√217. (4)√1.5=√3 2=√64=√6√4=√62. (5)√5=√15=√525=√5√25=√55.习题2.9(教材第43页)1.解:(1)√9×49=√9×√49=3×7=21. (2)√16×7=√16×√7=4√7. (3)√1225=√4×3√25=2√35. (4)√27=√9×3=√9×√3=3√3. (5)√18=√9×2=√9×√2=3√2. (6)√313=√3×1313×13=√39√132=√3913. (7)√950=√18100=√18√100=3√210. (8)√2=√12=√22×2=√22.2.解:由勾股定理得另一条直角边的长=√152-102=√125=√25×5=√25×√5=5√5(cm).3.解:面积为8的正方形的边长为√8,面积为2的正方形的边长为√2.由图形可以看出面积为8的正方形的边长是面积为2的正方形的边长的2倍,所以有√8=2√2.4.解:如下图.线段AB的长等于√20,理由:因为AC=4,BC=2,所以AB=√AC2+BC2=√42+22=√20.素材如何快速而准确地将二次根式化成最简二次根式?可分为以下两种情况考虑.(1)假设被开方数是整数并且比拟大时,可用小学学过的“短除法〞先将被开方数分解成假设干个因数的乘积,两个一样的因数开出一个因数,如化简√1080,由于1080=2×2×2×3×3×3×5=22×32×2×3×5,所以√1080=√22×√32×√2×3×5=2×3×√30=6√30.(2)假设被开方数是分数,且分母是质数,那么利用分数的根本性质将分子、分母同时乘以分母,如化简√313=√3√13=√3×√13√13×√13=√3913;假设被开方数是分数,且分母不是质数,那么先将分母分解因数,再考虑分子、分母同乘以几,如化简√950=√9√50=√9×√2√25×2×√2=3√210.观察以下各个二次根式:①√52-42,②√172-82,③√372-122,④√652-162……(1)求①,②,③,④的值;(2)仿照①,②,③,④写出第⑤个二次根式;(3)仿照①,②,③,④,⑤写出第n个二次根式,并化简.〔解析〕(1)根据二次根式的性质进展计算即可;(2)根据(1)中的规律写出第⑤个二次根式即可;(3)根据(1)中的规律,用字母表示第n个二次根式,并化简.解:(1)①原式=√9=3;②原式=√225=15;③原式=√1225=35;④原式=√3969=63.(2)第⑤个二次根式为√1012-202.(3)第n个二次根式为√(4n2+1)2-16n2(n≥1,且n为整数).√(4n2+1)2-16n2=√(4n2-4n+1)(4n2+4n+1)=√(2n-1)2(2n+1)2=(2n-1)(2n+1)(n≥1,且n为整数).。
第1课时二次根式及其化简PPT课件(北师大版)
A．3
B．5
C．15
D．25
【解析】因为135＝15×9 , 所以要使 135n 是整数，正整
数n的最小值为15.
2.（淮安·中考）计算： 9 11 3 .
解:原式= 32 +1-3 =3+1-3=1.
3. 设 a 0 ，b 0，化简下列二次根式.
1 72;
2 8a2b3 .
解：1 72 98 32 22 2 3 2 2 6 2
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式; a叫做被开方数.
例1：判断下列式中哪些是二次根式.
⑴，
⑵ 16,
(3)
，
(4) (m 3)2 .
解：(1)、(3)、(4)是二次根式，（2）不是二次根式.
二 二次根式的性质及化简
问题：视察比较
1 49 = 4 9
2 25 4 = 25 4
第二章 实数
2.7 二次根式
第1课时 二次根式及其化简
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点） 2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.（难点）
导入新课
视察与思考
问题：如图，正方形ABCD的边长为2，它的对角线AC 的长是多少？
甲同学： AC AB2ห้องสมุดไป่ตู้ BC2 22 22 8;
例2：化简：(1) 50； (2) 2 ； (3) 1 .
7
3
解: (1) 50 25 2 25 2 5 2;
(2) 2 2 2 7 1 14; 7 7 7 7 7
(3) 1 1 3 1 3. 3 3 3 3
当堂练习
1.（自贡·中考）已知n是一个正整数，135n 是整数，则
2.7 二次根式 第1课时 北师大版数学八年级上册教学课件(共23张ppt)
数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围
内开平方时，被开方数只能是正数或0.
问题2：上面问题的结果分别是 3， 5， 65，
从形式上和被开方数上看有什么共同特点？
②被开方数a ≥0
ℎ
，分别
5
二、合作交流，探究新知
归纳总结
二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根
所以2x+y=2×1+2017=2019.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初
中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
三、运用新知
例4 化简
（1） 81×64；（2） 25×6；（3）
5
.
9
解：（1） 81×64= 81 × 64=9×8=72
（2） 25×6= 25 × 6=5 6
6
16 25 ＝ 20
，16 25 ＝ 20
4
＝
9
4
， ＝
9
16 ＝
25
16
，
；
25
＝
；
；
.
有何发现？
二、合作交流，探究新知
（2）用计算器计算：
6 7 ＝ 6.480 ， 6 7＝ 6.480 ；
6
6
＝ 0.9255 ，
＝ 0.9255 ．
7
7
有何发现？
二、合作交流，探究新知
要点归纳
解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开
方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.
方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值
2.7 二次根式(第1课时) 北师大版数学八年级上册教学课件
2
2
1 3
，
（
0）2
．
1
0
3
（ a）2 a
二次根式性质
解释下列式子的含义并计算结果.
22
-22
2 2 3
2
2
2
3
a2 a
-
2 3
2
2 3
二次根式的化简
计算下列各式的结果，并回答问题．
49 6
4 9 6
16 25 20
16 25 20
4 2． 4 2．
93
93
16 4 ． 25 5
A． x ＞0 B．x ≥ -2 C．x ≥ 2
D．x ≤ 2
）．
随堂练习
4.（1） 45 ；（2） 解： （1） 45
27 ；（3） 95 9
1 3
；（4）
5 3 5；
8 ；（5） 9
125 ． 16
（2） 27 9 3 9 3 3 3 ；
（3） 1 1 3 3 ； 3 3 3 3
第二章实数
7.二次根式（1）
学习目标
1 ．了解二次根式和最简二次根式的概念； 2 ．探索积的算术平方根与商的算术平方根的性质； 3 ．利用积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根
式化为最简二次根式.
复习回顾
1 ．正数有没有算数平方根，负数呢，0的算数平方根是什么？
有
没有
0
2 ．求下列各数的算数平方根，并用式子表示.
Байду номын сангаас
C．
27＝
2 7
D．
2419＝ 2·
1 49
4．已知 a－2018＋ b＋2019＝0，则(a＋b)2＝__1___．
八年级数学上册2.7 第1课时 二次根式及其化简
16 25 ＝ 20 ， 16 25 ＝ 20 ；
4＝ 9
16 ＝ 25
， 4＝ 9
， 16 ＝ 25
；
． 有何发现？
（2）用计算器计算：
6 7 ＝ 6.480 ， 6 7＝ 6.480 ；
6 ＝ 0.9255 ， 7
6 ＝ 0.9255 ． 7
有何发现？
要点归纳
积的算术平方根等于算术ห้องสมุดไป่ตู้方根的积 ab a b （a≥0，b≥0），
商的算术平方根等于算术平方根的商
a a bb
（a≥0， b＞0）．
例5：化简
5
（1） 81 64；（2） 25 6 ；（3） 9 .
解：(1) 81 64 81 64 98 72
(2) 25 6 25 6 5 6; (3) 5 5 5
9 93
要点归纳
例7. 化简:
① 2028
② 252 -172
③ 4a2b(a 0，b 0)
解：① 原式 4 3169 26 3 ② 原式 （25 17）(25-17） 428 4 21 ③ 原式 4 a2 b 2a b
要点归纳
最简二次根式的条件： ①是二次根式； ②被开方数中不含分母； ③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
5
问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， h 的算术平方根． 5
问题2 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫作二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
2.7.1 二次根式及其性质 北师大版数学八年级上册教学课件
(2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外； (3)去根号后漏掉括号．
例5 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根 式？不是最简二次根式的，请说明理由．
0.7 x 2 y 3 x .
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
法则； (2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负
数，除式是正数； (3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分
母中的根号化去．
分母有理化 (1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化； (2)依据：分式的基本性质及 ( a )2 a (a≥0)； (3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
积的算术平方根，等于__算__术__平__方__根__的__积__; 商的算术平方根，等于__算__术__平__方__根__的__商__;
例3 化简：
(1)
81 64;(2)
25 6;(3)
5 .
9
解：(1) 81 64 81 64 9 8 72;
(2) 25 6 25 6 5 6;
第二章 实数
2.7 二次根式 第1课时 二次根式及其性质
二次根式的定义 二次根式的性质 最简二次根式
观察下列代数式：
5, 11, 7.2, 49 , (c b)(c b)(其中b 24，c 25）. 121
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的 共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负 数.
北师大版八年级数学上册《二次根式》(第1课时)
二、新课讲解
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ___6____，4 9 ___6____；
2
2
4 ___3____， 4 ___3____；
9
9
25
5
____7___，
25
5
____7___ .
49
49
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等， 借助计算器验证，并与同伴进行交流.
•
12、人乱于心，不宽余请。15:22:0715:22:0715:22Saturday, May 01, 2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21.5.121.5.115:22:0715:22:07May 1, 2021
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年5月1日 星期六 下午3时 22分7秒15:22:0721.5.1
个二次根式是最简二次根式.
二、新课讲解
例2 化简： 解：
二、新课讲解
(1)你是怎么发现 50的被开方数含有开得尽方的因数的？ 你是怎么判断 14 是最简二次根式的？
7 (2)将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？ 与同伴进行交流.
三、归纳小结
1．二次根式的定义. 2．最简二次根式的定义.
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12、人乱于心，不宽余请。15:22:0715:22:0715:22Saturday, May 01, 2021
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21.5.121.5.115:22:0715:22:07May 1, 2021
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年5月1日 星期六 下午3时 22分7秒15:22:0721.5.1
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八年级
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2.7 二次根式
第1课时二次根式及其化简
一、学习目标
1、了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断。
2、能熟练地把二次根式化为最简二次根式。
3、了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用。
4、进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力。
5、通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点。
6、通过本节的学习，渗透转化的数学思想。
二、重点难点
1、学习重点
会把二次根式化简为最简二次根式
2、学习难点
准确运用化二次根式为最简二次根式的方法
三、学习方法
程序式学习
四、课时安排
二课时
五、学习过程
1、复习引入
准备本节内容需要的二次根式的性质和与性质相关例题、练习题以及引入材料。
【预备资料】
⑴、二次根式的性质
⑵、二次根式性质例题
⑶、二次根式性质练习题
【引入材料】
看下面的问题：
已知：＝1.732，如何求出的近似值?
解法1：
解法2：
比较两种解法，解法1很繁，解法2较简便，比例说明，将二次根式化简，有时会带来方便。
2、概念讲解与巩固
【概念讲解材料】
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)、被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如:都不是最简二次根式，因为被开方数的因数(或系数)为分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1)实际上就是要求被开方数的分母中不带根号。
又如也不是最简二次根式，因为被开方数中含有能开得尽方的因数或因式，不满足条件(2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因数或分解成因式后而言的，如。
判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
【概念理解学习材料1】
例1、下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
分析：判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
解：最简二次根式有，因为
被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式。
说明：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
【概念理解巩固材料1】
正选练习题1
判断下列各式是否是最简二次根式？
【概念理解学习材料2】
例2、判断下列各式是否是最简二次根式？
分析：（1）显然满足最简二次根式的两个条件。
（2）或
解：最简二次根式只有，因为
或
说明：最简二次根式应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）。
【概念理解巩固材料2】
正选练习题2
判断下列各式是否是最简二次根式？
【概念理解学习材料3】
例3判断下列各式是否是最简二次根式？
分析：最简二次根式应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）来进行判断发现和
是最简二次根式，而不是最简二次根式，因为
在根据定义知也不是最简二次根式，因为
解：最简二次根式有和，因为
，
【概念理解巩固材料3】
正选练习题3
判断下列各式是否是最简二次根式？
【概念理解学习材料4】
例4判断下列各式是否是最简二次根式？
分析：被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断。
（1）不能分解因式，显然满足最简二次根式的两个条件。
（2）
解：最简二次根式只有，因为
说明：被开方数比较复杂时，应先进行因式分解再观察。
【概念理解巩固材料5】
正选练习题5
判断下列各式是否是最简二次根式？
3、化简二次根式为最简二次根式方法学习与巩固
【化简方法学习材料1】
例1、把下列二次根式化为最简二次根式
分析：本例题中的2道题都是基础题，只要将被开方数中能开的尽方的因数或因式用
它的算术平方根代替后移到根号外面即可。
解：
【化简方法巩固材料1】
正选练习题1
化简
【化简方法学习材料2】
例2、把下列二次根式化为最简二次根式
分析：本例题中的2道题被开方数都是多项式，应先进行因式分解。
解：
说明：被开方数中能开的尽方的因数或因式的算术平方根移到根号外面后要注意符号问题。
在化简二次根式时，要防止出现如下的错误:
化简二次根式的步骤是：
(1)把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式。
(2)化去根号内的分母，即分母有理化。
(3)将根号内能开得尽方的因数(式)开出来。
【化简方法巩固材料2】
正选练习题2
化简
【化简方法学习材料3】
例3、把下列二次根式化为最简二次根式
分析：被开方式比较复杂时，要先对被开方式进行处理。
解：
说明：运算中要注意运算的准确性和合理性。
【化简方法巩固材料3】
正选练习题3
化简
4、小结
⑴最简二次根式概念
⑵二次根式的化简
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分。
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维
可以让他们更理性地看待人生。