高二数学教学案：空间向量的(坐标 )运算(2)
空间向量及其运算的坐标表示(单元教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册
第三单元空间向量及其运算的坐标表示一、内容和内容解析（一）内容空间直角坐标系，空间向量运算的坐标表示，向量平行和向量垂直时坐标之间的关系，向量长度公式的坐标表示、两向量夹角公式的坐标表示，以及空间两点间的距离公式.（二）内容解析内容本质：本单元的内容本质就是建立向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系，从而把空间向量的运算转化为数的运算.用空间直角坐标系刻画点的位置，建立空间向量及其运算的坐标表示，用这些知识解决简单的立体几何问题..蕴含的思想方法：在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”。
类比平面向量运算的坐标表示，到空间向量的坐标表示，蕴含了类比与转化的思想；把立体几何中的平行垂直和距离夹角问题转化为代数运算，体现了数形结合的数学思想方法.知识的上下位关系：在空间向量基本定理的基础上，找到一个特殊的“基底”：单位正交基底.同时为用空间向量解决空间距离、夹角问题等空间向量的应用做准备，让学生进一步体会用空间向量解决立体几何问题的思想和方法.通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及在空间向量基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间的推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础。
育人价值：在通过空间向量运算的坐标表示的学习中，采用类比方法，引导学生经历由平面推广到空间的过程，发展学生的数学思维和直观想象能力，提升学生的数学运算和直观想象的学科核心素养.基于以上分析，本单元的教学重点：掌握空间向量的坐标运算二、目标及其解析（一）单元目标1.了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示；2.掌握空间向量运算的坐标表示；3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用；4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题.（二）目标解析达成上述目标的标志是:1.理解空间直角坐标系建立的必要性，理清空间向量的坐标与空间点的坐标的关系；2.会类比平面向量运算的坐标表示，推导出空间向量运算的表示；3.能够用空间向量运算的坐标表示立体几何中垂直与平行关系，使几何关系“代数化”；4.能熟练地将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，解决夹角和距离的计算问题.三、教学问题诊断分析学生在平面向量中已经对坐标表示进行过完整的学习，平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系.空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念、运算及其几何意义、坐标表示等方面具有一致性;平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性，但是讨论对象由二维图形变为三维图形，需要学生的空间想象能力.破解方法：在教学中，做好平面向量相关知识的复习，利用平面向量基本定理和空间向量基本定理的类比，准确把握立体图形代数化的条件及其思想方法，学生经历必要的解题训练，；通过几何图霸等教学软件，提升学生的空间想象能力，增强常用基本立体图形代数化的熟练程度，几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论.四、教学支持条件分析1.向量方法有别于综合几何方法，综合几何方法是借助图形直观，从公理、定义和定理等出发，通过逻辑推理解决几何问题;而向量方法则是用向量表示几何元素，通过向量运算得到几何问题的解决，要求学生对第一单元空间向量及其运算和第二单元空间向量基本定理充分理解和熟练掌握.利用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”，在解决几何问题时具有程序性、普适性.2.硬件支持是导学案和多媒体，如果是pad智慧课堂更好.五、课时分配设计本单元共2课时，具体分配如下：第1课时，空间直角坐标系第2课时，空间向量运算的坐标表示。
高二数学教案：空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算（1）一、课题：空间向量的坐标运算 （1）二、教学目标：1．掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体，长方体）顶点的坐标；2．掌握空间向量的坐标运算规律．三、教学重点、难点：空间向量的坐标的确定及运算．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的基本定理：若{,,}a b c 是空间的一个基底，p 是空间任意一向量，存在唯一的实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．2．平面向量的坐标表示及运算律：（1）若p xi y j =+（,i j 分别是,x y 轴上同方向的两个单位向量），则p 的坐标为(,)x y ；（2）若12(,)a a a =，12(,)b b b =，则1122(,)a b a b a b +=++，1122(,)a b a b a b -=--， 12(,)()a a a R λλλλ=∈，1122a b a b a b ⋅=+，1122//,()a b a b a b R λλλ⇔==∈，11220a b a b a b ⊥⇔+=；（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--．（二）新课讲解：1．空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；（3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。
《空间向量运算的坐标表示》示范教案
3．1.5空间向量运算的坐标表示整体设计教材分析空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展，沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．学生已掌握了平面向量坐标运算及其规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺．所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构．课时分配1课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量的坐标运算规律；2．掌握空间向量平行与垂直的坐标表示；3．掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．过程与方法1．经历向量运算的坐标表示由平面到空间的类比过程，进一步熟悉类比、由一般到特殊的思维方法；2．通过空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉由直觉猜想到推理论证的思维方法，提高学生的科学思维素养．情感、态度和价值观通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．重点难点教学重点：1．空间向量的坐标运算；2．空间向量的夹角公式、距离公式的坐标表示；3．空间向量平行和垂直的条件的坐标表示．教学难点：1．向量坐标的确定；2．空间向量的夹角公式、距离公式和平行、垂直条件的应用．教学过程引入新课提出问题：在正方体的两个面内任取两点，如何求出这两点间的距离？请同学们积极思考并说出求解方案．活动设计：学生自由发言；教师板书记录．学情预测：学生可能回答：(1)可用尺子直接测量出来；(2)建立直角坐标系，求出A 、B 两点的坐标，再利用距离公式求出其模长．活动成果：因为上一节课已经学会了空间向量的坐标表示，所以建立空间直角坐标系后，向量MN →的坐标就可以表示出来，还须知道有了向量的坐标如何来求向量的模．设计意图：从实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．同时教具的辅助作用，使新课的引入显得生动自然、易于接受．把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步．探究新知提出问题：我们已经知道了空间向量坐标表示的由来，也已经学会了空间向量的加减、数乘和数量积运算的定义，请根据平面向量的坐标运算规律，猜想空间向量的坐标运算规律，填写下表，并证明你的结论．活动设计：1.学生自己推算并自觉讨论；教师巡视并注意和学生交流；2．部分学生到黑板上板演证明过程；教师点评补充．学情预测：学生基本上都能够猜想出空间向量运算的坐标表示，大部分同学能够给出证明，对数量积运算的坐标表示可能存在困难．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，λ是实数，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)； a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)； λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)； a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.证明一：加法的坐标表示的证明∵ a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ＋b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )＋(x 2i ＋y 2j ＋z 2k ) ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ＋(z 1＋z 2)k ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)．证明二：空间向量的数量积的坐标表示的证明 ∵a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )·(x 2i ＋y 2j ＋z 2k )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 1z 2i ·k ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2＋y 1z 2j ·k ＋z 1x 2k ·i ＋z 1y 2k ·j ＋z 1z 2k 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.设计意图：引导学生大胆地“由旧猜新”，即由平面向量的公式猜想出空间向量相应的公式，让学生在猜想的过程中发现二维与三维的内在联系，并根据学生的实际情况进行有针对性的指导，对普遍出现的问题组织全班性的讨论．理解新知 提出问题：空间向量的平行、垂直关系，空间向量的夹角、模的公式应如何用坐标表示？ 活动设计：1.学生自己推演，教师巡视指导；2．部分学生在黑板上板演，教师点评并请学生修改补充．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，且a ≠0，b ≠0. 1．a ∥b 存在唯一确定的实数λ，使得x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2； 2. a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；3.||a ＝ x 21＋ y 21＋ z 21；4．cos 〈a ，b 〉 ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2x 21＋ y 1 2 ＋ z 21x 22＋ y 22＋ z 22 . 设计意图：通过对公式的推导熟练坐标运算，增强学生应用向量坐标运算的意识． 运用新知 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，(1)求A ，B 中点M 的坐标和||AB ；(2)求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件．思路分析：(1)要求A ，B 中点M 的坐标，就是求向量OM →的坐标，已知A ，B 两点的坐标，就是已知向量OA →，OB →的坐标，由向量的加减运算即可求出向量OM →的坐标；要求||AB ，就是求||AB →，只需求出向量AB →的坐标即可．(2)要求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件，只需把到A ，B 两点距离相等这个条件用点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 表示出来即可．解：(1)∵M 为A ，B 的中点，∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12((3,3,1)＋(1,0,5))＝12(4,3,6)＝(2，32，3)．∴M 点的坐标为(2，32，3)．∵AB →＝OB →－OA →＝(1,0,5)－(3,3,1)＝(－2，－3,4)， ∴||AB→＝(－2)2＋(－3)2＋42＝29. ∴||AB ＝29.(2)∵点P(x ，y ，z)到A ，B 的距离相等， ∴||PA →＝||PB→. 又∵PA →＝(3－x,3－y,1－z)，PB →＝(1－x ，－y,5－z)，∴(3－x)2＋(3－y)2＋(1－z)2＝(1－x)2＋(－y)2＋(5－z)2， 整理得4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评：利用空间向量解决立体几何问题的关键就是立体几何问题向空间向量的转化，转化以后，再利用空间向量的运算或其坐标运算解决即可．巩固练习已知长方体ABCO —A 1B 1C 1O 1，OA ＝OC ＝2，OO 1＝4，D 为BC 1与B 1C 的交点，E 为A 1C 1与O 1B 1的交点，则DE 的长度为________．答案： 5变练演编如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点E ′，F ′分别是A ′B ′，C ′D ′的一个四等分点．(1)求BE ′和DF ′所成角的余弦值.(2)能否利用向量求直线BD ′和平面ABCD 所成的角？你能否给出一个可行的方案？ (3)能否利用向量求二面角F ′ADC 的大小？你能否给出一个可行的方案？ 解：(1)不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,1,0)，E ′(1，34，1)，D(0,0,0)，F ′(0，14，1)．所以'BE ＝(1，34，1)－(1,1,0)＝(0，－14，1)，'DF ＝(0，14，1)－(0,0,0)＝(0，14，1)，|'BE |＝174，|'DF |＝174，'BE ·'DF ＝0×0＋(－14×14)＋1×1＝1516. 所以cos 〈'BE ，'DF 〉＝1516174×174＝1517.(2)方案一：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和BD →所成的角； 方案二：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和DD ′→所成的角的余角． (3)方案：二面角F ′ADC 的大小转化为'DF 和DC →所成的角．达标检测1．与向量a ＝(1,2,3)，b ＝(3,1,2)都垂直的向量为( )A ．(1,7,5)B ．(1，－7,5)C ．(－1，－7,5)D ．(1，－7，－5) 2．已知点A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC →＝25AB →，则点C 的坐标是( )A ．(－65，－45，－85) B. (65，－45，－85)C ．(－65，－45，85) D. (65，45，85)3．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值，并求出此时的||k a ＋b ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．答案：1.C 2.A 3.(1)k ＝－13，||k a ＋b ＝3213 (2)k ＝1063课堂小结1．知识收获：空间向量运算的坐标表示；空间向量平行与垂直关系的坐标表示；空间向量夹角和空间两点距离公式的坐标表示；2．方法收获：类比方法；转化方法； 3．思维收获：类比思维；转化思维． 布置作业 课本习题3.1A 组8,9,10. 补充练习1．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．设||a ＝1，||b ＝2，且a ，b 的夹角为120°；则||2a ＋b 等于________． 3．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，a ·b ，并确定λ，μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．答案：1.C 2.23．解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)， a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21， 由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0， 即当λ，μ满足－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，时λa ＋μb 与z 轴垂直．设计说明 本节课重点研究空间向量运算的坐标表示，并得出夹角、距离的坐标表示．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生把空间向量运算的坐标表示用平面向量运算的坐标表示类比出来，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料1已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n ，使n ⊥a ，n ⊥b . 解：设n ＝(x ，y ，z)，则 n ·a ＝(x ，y ，z)·(－2,2,0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·b ＝(x ，y ，z)·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.这个方程组有三个未知数，但只有两个方程．不妨把未知数x 当做已知，求y ，z.可得y＝x ，z ＝x ，于是n ＝(x ，x ，x)＝x(1,1,1)．显然，当x 取任意实数时，可以得到无穷多个向量都与a ，b 垂直，但这无穷多个向量都与向量(1,1,1)共线．2如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC.分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线． 证明：设A 1B 1的中点G ，连EG 、FG 、A 1B ， 则FG ∥A 1D 1，EG ∥A 1B ，∵A 1D 1⊥平面A 1B ， ∴FG ⊥平面A 1B.∵A 1B ⊥AB 1，∴EG ⊥AB 1. ∴EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C.又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析二：选基底，利用向量的计算来证明． 证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则EF → ＝ EB 1 → ＋ B 1F → ＝ 12(BB 1→ ＋ B 1D 1→) ＝ 12(AA 1→ ＋ BD →) ＝ 12(AA 1→ ＋ AD →－AB →)＝－a ＋b ＋c 2，AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1→＝－a ＋b ＋c2·(a ＋b )＝b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b 2＝(||b 2－||a 2＋0＋0)2＝0.∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C ， 又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B 1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)，∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)， AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)， ∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC.(设计者：徐西文)。
空间向量运算的坐标表示教学设计
空间向量运算的坐标表示教学设计讲课人：宋海阳指导人：韩红松一、教学内容分析课程标准指出：“用空间向量解决几何问题，提供了新视角。
空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
学生将在平面向量的基础上，把平面向量及运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。
”本节课是在学生已经掌握了平面向量运算的坐标表示的基础上进行的，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是用向量法解决立体几何问题的基础，让学生初步体会向量法在解决立体几何问题中的优越性，帮助空间想象能力较弱的同学顺利解题。
二、学生学情分析1学生学习本节内容的基础本节的学习对象是高二学生，他们已经掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算，数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构。
2、学生学习本节内容的能力具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。
具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。
3、学生学习本节内容的心理本节内容学生容易接受，学生在学习的过程中会有很强的求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。
三、教学目标分析1知识与技能：（1）会运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示；（2）熟记空间向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；（3）会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；（4）掌握用向量法解决两条异面直线所成角的方法。
2、过程与方法：（1）在与平面向量的坐标运算的比较的基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力；（2）通过对几何图形的研究，使学生恰当地建立空间直角坐标系，从“定性推理”到“定量计算”，从而提高分析问题和解决问题的能力3、情感态度价值观：（1）通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；（2）通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力。
北师大版数学高二-选修2教案 2.2《空间向量及其运算》
2.2《空间向量及其运算》教学设计【教学目标】1.了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。
2.了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
3 .掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。
4 .理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
【导入新课】复习引入1.有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa＝0.3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a新授课阶段一. 空间向量及其加减与数乘运算1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模。
得到： 零向量、 单位向量、 相反向量的概念。
相等向量： 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b，AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa()R λ∈3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b+ c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa+λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a． 4. 推广：⑴ 12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵ 122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶ 空间平行四边形法则．例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.⑴ 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；⑵ 单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD 在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，AC 与BC 共线，虽起点不同，但终点却相同.点评：解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．二、空间向量的数乘运算1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b。
1.3.2空间向量运算的坐标表示 教案—高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.3.2 空间向量运算的坐标表示教学设计一、内容和内容解析1.内容：空间向量的坐标运算；根据向量坐标判断两向量平行或垂直；向量长度公式；两向量夹角公式、空间两点间距离公式。
2.内容解析本节课是人教A版高中数学选择性必修第一册第一章第三节的第二课时。
引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法，为培养学生思维提供了更广阔的空间。
本节课是在学生学习了空间向量及其运算和基本定理的基础上进一步学习空间向量运算的坐标表示，是平面向量运算的坐标表示在空间的推广，是运用向量坐标运算解决几何问题的基础.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握空间向量运算的坐标表示（2）通过向量坐标判断两向量特殊位置关系（3）掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式（4）培养学生类比思想、转化思想，提升学生“数学运算”和“逻辑推理”学科素养2.目标解析（1）掌握空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算（2）会根据向量的坐标，判断两个向量平行或垂直（3）能根据向量的坐标计算出向量的模长，两向量夹角和空间两点距离，并能解决简单的立体几何问题三、教学问题诊断分析1.教学问题诊断：（1）空间向量运算的坐标表示同平面向量运算的坐标表示类似，可以类比平面向量运算的坐标表示进行推广，但怎样推广是学生的困难所在（2）学生难将向量坐标运算的代数结果与几何问题进行转化，利用空间向量运算的坐标表示解决一些立体几何问题是教学中的难点2.教学重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直的条件，距离公式，夹角公式3.教学难点：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题四、教学支持条件：多媒体辅助教学五、教学过程设计(一）知识回顾平面直角坐标系空间直角坐标系空间点和空间向量的坐标表示【设计意图】回顾上节课所学内容，为本节课的学习作铺垫。
(二）类比得到空间向量运算的坐标表示【探究一】有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得到空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示{}123123123123111213212223313233,,,,()()10设为空间的一个单位正交基底，则所以因为，所以a a a b b b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++=++=++++=++++++++======i j k a i j k b i j k a b i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k i i j j k k i j j k k i a b 112233.a b a b a b =++其他运算的坐标表示可以类似证明。
高二数学教案《9.6空间向量的坐标运算》
教学设计（主备人：岳建萍）教研组长审查签名：高中课程标准•数学必修第二册（下B）教案执行时间：9.6 空间向量的坐标运算教案一、内容及解析（一）内容：本节是在学习了空间向量及其运算的基础上，通过类比平面向量的有关知识，而得到空间直角坐标系的空间向量的坐标表示、坐标运算、平行向量、垂直向量坐标之间的关系，中点公式以及空间向量的夹角和距离公式，并通过空间向量的坐标运算来解决立体几何中的问题。
（二）解析：本节之前学习了空间向量及其运算，在那里的空间向量都是用有向线段来表示的，后来又介绍了选择空间的一个基底，用基向量来表示；在那里的向量运算也是基于上述两种表示形式进行的。
那么在本节我们把空间的一个基底和基向量进行特殊化，选择单位正交基底和空间任一点建立空间直角坐标系，把所有的空间向量都用空间直角坐标表示，把所有的空间向量运算都变成空间向量的直角坐标运算。
这一变化使得代数方法与几何背景之间的联系显得更加紧密，也使得空间向量的运算显得更加简明、方便。
所以本节教材在训练学习的坐标法思想、向量思想，以及帮助学生解决立体几何问题等方面都占有重要的地位和作用。
二、目标及解析（一）目标1、使学生掌握空间右手直角坐标系的概念，掌握空间向量的坐标运算规律，掌握模长公式、夹角公式、两点间距离公式，了解平面的法向量的概念。
2、使学生学会确定一些简单几何体的顶点坐标，会判断两个向量共线或垂直，会用中点坐标公式解决有关问题，会计算模长、夹角、两点间距离。
3、使学生进一步熟悉坐标法的思想、向量的思想，进一步培养学生对立统一的辩证唯物主义世界观。
（二）解析1、知道空间右手直角坐标系统的概念，会确定一些简单的几何体（正方体、长方体）顶点的坐标。
2、知道空间向量的坐标运算规律。
3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。
4、知道中点坐标公式、向量长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用运算公式解决有关问题。
5、知道平面的法向量的概念。
人教课标版高中数学选修2-1《空间向量运算的坐标表示》教案-新版
3.1.5 空间向量运算的坐标表示一、教学目标 （一）核心素养本节课是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，通过本节课的学习，让学生经历向量坐标运算由平面向空间推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展，提高学生的空间想象能力、探索能力及科学思维素养，使学生能在空间几何体中借助图形进行空间向量的运算，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定知识和方法基础． （二）学习目标1．掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示． 2．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．3．掌握向量的长度公式、夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题． （三）学习重点1．空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示． 2．两个向量共线或垂直的判断．3．向量的长度公式、夹角公式、空间两点间距离公式． （四）学习难点1．向量运算到坐标运算的转化．2．应用空间向量坐标运算解决立体几何问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第95页至第96页，填空：我们知道，向量在平面上可用有序实数对),(y x 表示，在空间中则可用有序实数组),,(z y x 表示．类似于平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘以及数量积运算的坐标表示．设),,(321a a a =，),,(321b b b =， 则=+),,(332211b a b a b a +++，=-),,(332211b a b a b a ---，=λ),,(321a a a λλλ，=⋅332211b a b a b a ++．（2）写一写：类似于平面向量的坐标表示，我们还可以得到：λ=⇔//⇔332211,,b a b a b a λλλ===)(R ∈λ；⋅⇔⊥0332211=++b a b a b a=||=；||||,cos b a >=<=．在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离==||d AB ．2．预习自测（1）已知向量)0,2,1(-=，)2,1,3(-=，)1,3,0(-=，则向量c b a m -+=的坐标为（ ） A ．)3,6,4(-B ．)1,0,4(C ．)1,4,2(---D ．)1,4,2(【知识点】空间向量加减运算的坐标表示． 【解题过程】-+=)0,2,1(-=)2,1,3(-+)1,3,0(--)120),3(12,031(-+-----+=)1,0,4(=． 【思路点拨】熟练掌握空间向量加减运算的坐标表示． 【答案】B ．（2）已知向量)3,0,1(-=，)2,1,0(-=，则向量23-的坐标为 ． 【知识点】空间向量线性运算的坐标表示． 【解题过程】23-)3,0,1(3-=2(0,1,2)--)2233),1(203,02)1(3(⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯=(325)=-，，． 【思路点拨】熟练掌握空间向量线性运算的坐标表示． 【答案】)5,2,3(-．（3）已知向量)3,1,2(-=a ，),1,2(x b --=，且⊥，则=x （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】空间向量垂直的坐标表示．【解题过程】∵b a ⊥，∴03)1()1()2(2=+-⨯-+-⨯=⋅x ，解得1=x ． 【思路点拨】空间向量的垂直即数量积为0，代入公式计算． 【答案】C ．（4）已知点)2,0,1(-A ，)0,1,4(B ，)1,1,0(-C ，则=∠BAC （ ） A ． 30B ． 45C ． 60D ． 90【知识点】空间向量夹角公式的坐标表示．【解题过程】)2,1,3(=，)1,1,1(-=，01211)1(3=⨯+⨯+-⨯=⋅， 故，的夹角为 90，即=∠BAC 90．【思路点拨】空间向量的夹角可转化为数量积的计算． 【答案】D ． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量加减、数乘、数量积的运算法则； （2）空间向量平行、垂直、长度、夹角公式； （3）空间向量基本定理． 2．问题探究探究一 由平面向量的坐标运算类比空间向量的坐标运算★ ●活动① 类比提炼概念我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量a ，b 来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）同学们，我们知道，向量在平面上可用有序实数对),(y x 表示，那么，向量在空间中则可用什么来表示呢？（抢答）可用有序实数组),,(z y x 表示．【设计意图】提出类比问题，由学生答出从平面到空间，从有序实数对到有序实数组的过渡，从二维拓展到三维，引出新课概念．●活动② 巩固理解，深入探究类似于平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘以及数量积运算的坐标表示．设),,(321a a a =，),,(321b b b =，则这几种运算的坐标表达式是什么呢？（抢答） 加法：+),,(332211b a b a b a +++=， 减法：-),,(332211b a b a b a ---=， 数乘：),,(321a a a λλλλ=， 数量积：⋅332211b a b a b a ++=．【设计意图】通过学生的抢答，使学生深入探究，更深刻地理解各种运算的坐标表示． ●活动③ 深入探究，证明猜想以上结论中，前三个比较容易证明，我们只对向量的数量积运算加以证明．设i ，，为单位正交基底，则123a a i a j a k =++，123b b i b j b k =++，所以123123()()a b a i a j a k b i b j b k ⋅=++⋅++r r r r r r r r ，利用向量数量积的分配率以及1i i j j k k ⋅=⋅=⋅=，0i j j k k i ⋅=⋅=⋅=， 即可得出a b ⋅332211b a b a b a ++=．【设计意图】引导学生进行探究，证明形式最复杂的数量积的坐标表示，让学生的理解更加深刻．探究二 探究空间向量性质的坐标运算★▲ ●活动① 类比探究，研究性质同学们，类似于平面向量的的性质坐标表示，我们可以得到哪些空间向量的性质？（抢答）平行、垂直、长度、夹角、距离．【设计意图】通过复习平面向量的性质，引出空间向量的性质，并转化为坐标表示，体现重点，突破难点．●活动② 巩固理解，深入探究那刚才我们得到的空间向量的性质应该怎么用坐标来表示呢？（抢答）平行：112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈r r r r；垂直：11223300a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++=r r r r；长度：||a ==r夹角：cos ,||||a ba b a b ⋅<>==r rr r r r ．距离：在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离212212212)()()(||c c b b a a AB d AB -+-+-==．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解各性质的同时，将它们的坐标表示由二维拓展到三维，从而加以应用．探究三 探究空间向量坐标运算的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，空间向量的坐标表示由二维拓展到了三维．在空间中的加法、减法、数乘、数量积等运算和平行、垂直、长度、夹角、距离等关系中，我们可以利用数量的运算关系，解决立体几何中的平行、垂直和长度、角度等问题．【设计意图】归纳知识点和定理，让学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量(2,1,3)a x =r ，(1,2,9)b y =-r，若与为共线向量，则（ ） A ．1=x ，1=yB ．21=x ，21-=y C ．61=x ，23-=y D ．61-=x ，23=y【知识点】空间向量平行的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵(2,1,3)a x =r ，(1,2,9)b y =-r 共线，∴932112=-=y x ，解得61=x ，23-=y ．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例． 【答案】C ．同类训练 已知空间中三点)2,0,2(-A ，)2,1,1(-B ，)4,0,3(-C ，设=，=，若向量k +与k 2-垂直，则k 的值为 ． 【知识点】空间向量的坐标运算，垂直的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题知，=)0,1,1(=，=)2,0,1(-=，则k +)2,,1(k k -=，k 2-)4,,2(-+=k k ，由⋅-)2,,1(k k )4,,2(-+k k 08)2)(1(2=-++-=k k k ，得01022=-+k k ，解得25-=k 或2=k ．【思路点拨】将向量垂直转化为数量的对应相乘．【答案】25-=k 或2=k ．【设计意图】利用平行和垂直的转化，使学生对空间向量的坐标运算更加熟悉． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间中三点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB 的中点M 到C 点的距离是（ ） A ．453B ．253 C ．253 D ．213 【知识点】空间向量的坐标运算，空间两点的距离公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵AB 的中点为)3,23,2(M ，∴||MC ==uuu r ．【思路点拨】先求出中点坐标，再利用距离公式． 【答案】C ．同类训练 设向量)2,,1(λ=，)2,1,2(-=，，夹角的余弦值为98，则=λ ．【知识点】空间向量夹角公式的坐标表示． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵||||,cos b a b a >=<985362=+-=λλ，∴2-=λ或552=λ． 【思路点拨】利用向量的夹角公式进行计算．【答案】2-=λ或552=λ． 【设计意图】利用长度和夹角的公式的运算，使学生熟练掌握空间向量的坐标运算． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 在正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是1BB ，11B D 的中点，求证：1DA EF ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用坐标表示解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】不妨设正方体的棱长为1，分别以，，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)21,1,1(E ，)1,21,21(F ，所以)21,21,21(--=，又)1,0,1(1A ，)0,0,0(D ，所以)1,0,1(1=DA ，所以1111(,,)(1,0,1)0222EF DA ⋅=--⋅=uu u r uuu r ，因此1DA ⊥，即1DA EF ⊥．【思路点拨】先建立空间直角坐标系，再将和1DA 用坐标表示出来，利用空间向量垂直的坐标表示得到数量积等于0． 【答案】见解题过程．同类训练 在正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是11B A ，11D C 上的点，且113EB E A =，113FD F C =，求BE 和DF 所成角的余弦值．【知识点】在空间几何体中利用坐标表示解决异面直线所成角问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】不妨设正方体的棱长为4，分别以，DC ，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)0,4,4(B ，)4,3,4(E ，)0,0,0(D ，)4,1,0(F ，所以)4,1,0(-=BE ，)4,1,0(=DF ，17||=，17||=，⋅)4,1,0()4,1,0(⋅-=15=，所以||||,cos DF BE >=<1715171715=⨯=．【思路点拨】先建立空间直角坐标系，再将和用坐标表示出来，利用空间向量夹角公式的坐标表示得到夹角的余弦值． 【答案】见解题过程．【设计意图】在空间直角坐标系中，用向量的坐标解决平行、垂直、长度、角度等问题是立体几何的基本思想方法，需要深刻理解，熟练掌握． 3. 课堂总结 知识梳理（1）设),,(321a a a =，),,(321b b b =，则①+),,(332211b a b a b a +++=，②b a -),,(332211b a b a b a ---=，③),,(321a a a a λλλλ=，④b a ⋅332211b a b a b a ++=．（2）设),,(321a a a =),,(321b b b =，则①λ=⇔//332211,,b a b a b a λλλ===⇔)(R ∈λ；②0=⋅⇔⊥0332211=++⇔b a b a b a ；③=||232221a a a ++=；④||||,cos b a >=<232221232221332211bb b aa ab a b a b a ++++++=．（3）在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离212212212)()()(||c c b b a a AB d AB -+-+-==． 重难点归纳（1）熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘以及数量积的坐标运算以及平行、垂直、长度、角度、距离的坐标表示．（2）合理选取单位正交基底建立空间直角坐标系是立体几何证明与运算的基础． （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知)1,2,3(-A ，)3,5,4(-B ，则与向量平行的一个向量的坐标为（ ）A ．)1,1,31( B ．)1,1,31(--C ．)1,23,21(-D ．)1,23,21(-【知识点】空间向量平行的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】)2,3,1(-=)1,23,21(2-=．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例．【答案】C ．2．已知向量)2,5,1(-=，)2,2,(+=m m ，若b a ⊥，则m 的值为（ ） A ．6-B ．2C ．6D ．8【知识点】空间向量垂直的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意，有=⋅b a ⋅-)2,5,1()2,2,(+m m 0)2(210=+-+=m m ，解得6=m ． 【思路点拨】利用空间向量垂直的坐标表示列式．【答案】C ．3．已知点)2,1,(x A ，)4,3,2(B ，且62||=，则实数x 的值是（ ） A ．3-或4 B ．6-或2 C ．3或4- D ．6或2-【知识点】空间两点的距离公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵62)42()31()2(||222=-+-+-=x ，解得6=x 或2-=x ． 【思路点拨】熟练掌握空间两点的距离公式． 【答案】D ．4．已知向量)3,2,1(=，),2,(2y y x x -+=，并且，同向，则x ，y 的值分别为 ． 【知识点】向量平行的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意知//，∴32212yy x x =-+=，即⎩⎨⎧=-+=x y x x y 2232，解得⎩⎨⎧-=-=62y x ，或⎩⎨⎧==31y x ．当⎩⎨⎧-=-=62y x 时，2)6,4,2(-=---=，向量，反向，故舍去．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例，解出答案后还需验证．【答案】1=x ，3=y ．5．已知向量)1,3,2(--=a ，)4,0,2(=b ，)2,6,4(--=c ，下列结论正确的是（ ） A ．//，//B ．//，⊥C ．⊥，//D ．⊥，⊥【知识点】空间向量平行及垂直的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⋅0410)3(2)2(=⨯+⨯-+⨯-=，∴⊥；∵216342=--=--，∴//． 【思路点拨】利用空间向量平行及垂直的坐标表示，将几何关系转化为坐标关系． 【答案】C ．6．已知)4,2,0(=AB ，)3,1,0(-=BC ，则ABC ∠= ． 【知识点】空间向量夹角的坐标公式． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵)4,2,0(=AB ，)3,1,0(-=BC ，∴101220=+-=⋅，52420||222=++=AB ，103)1(0||222=+-+=， ∴><,cos ||||BC AB BC AB =105210⨯=22=，∴4,π>=<， ∴43,π>=<，即43π=∠ABC ．【思路点拨】利用向量夹角的坐标公式进行计算，需特别注意所求角和向量夹角的关系．【答案】43π． 能力型 师生共研7．已知)sin ,1,(cos αα=，)cos ,1,(sin αα=，则向量+与-的夹角的大小为 ． 【知识点】空间向量数量积的坐标运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵+)cos sin ,2,sin (cos αααα++=，-)cos sin ,0,sin (cos αααα--=，∴⋅+)()(-)cos )(sin cos (sin 02)sin )(cos sin (cos αααααααα-++⨯+-+= αααα2222cos sin 0sin cos -++-=0=，∴向量+与-的夹角的大小为 90．【思路点拨】将夹角问题转化为用坐标求数量积． 【答案】 90．8．已知空间中三点)2,0,2(-A ，)2,1,1(-B ，)4,0,3(-C ，设=，=．（1）若3||=，且//，求；（2）求与夹角的余弦值；（3）若)3//()(b a b a k -+，求k 的值．【知识点】空间向量坐标表示的综合应用．【数学思想】转化思想． 【解题过程】（1）∵//，∴m =)2,,2()2,1,2(m m m m --=--=， 则3||3)2()()2(||222==+-+-=m m m m ，∴1±=m ，即)2,1,2(--=c 或)2,1,2(-=c ；（2）∵)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，∴⋅)2,0,1()0,1,1(-⋅=b 1-=，又2||=a ，5||=b ， ∴||||,cos b a b a >=<521⨯-=1010-=； （3）∵)2,,1(k k k -=+，)6,1,4(3-=-，)3//()(k -+， ∴62141-==-k k ，∴31-=k ．【思路点拨】牢记空间向量各种运算和性质的坐标表示，再进行坐标的运算． 【答案】（1）)2,1,2(--或)2,1,2(-（2）1010-（3）31-． 探究型 多维突破9．已知空间中三点)3,2,0(A ，)6,1,2(-B ，)5,1,1(-C ．（1）求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积；（2）若3||=，且a 分别与，AC 垂直，求向量a 的坐标．【知识点】空间向量的运算，垂直的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】（1）由题中条件可知，)3,1,2(--=，)2,3,1(-=， ∴><AC AB ,cos ||||AC AB =21=，则><AC AB ,sin 23=， 则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积||||S AB AC =><AC AB ,sin 37=；（2）设),,(z y x a =，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=++023*******z y x z y x z y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=111z y x ，则)1,1,1(=或)1,1,1(---=．【思路点拨】采用合理的向量公式，再转化成坐标进行运算． 【答案】（1）37；（2）)1,1,1(或)1,1,1(---．10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：CD EF ⊥；（2）在平面PAD 内求一点G ，使⊥GF 平面PCB ．【知识点】用向量的坐标进行空间几何体中的证明及计算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】不妨设正方形ABCD 的边长为2，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)0,0,0(D ，)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，)0,2,0(C ，)0,1,2(E ，)1,1,1(F ，)2,0,0(P ，（1）)1,0,1(-=，），02,0(=．∵⋅0=DC ，∴CD EF ⊥； （2）设点),0,(z x G ，则)1,1,1(---=z x ，由题意，要使⊥GF 平面PCB ，只需⋅)1(2-=x 0=，⋅)1(22-+=z 0=，解得1=x ，0=z ，故)0,0,1(G ，即G 为AD 中点．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将几何性质转化为坐标运算，并由解方程组得到点G 的具体位置．【答案】见解题过程．自助餐1．已知向量)5,0,2(=，)1,1,1(--=，)2,2,1(-=，则=-+32（ ） A ．)3,5,2(- B ．)3,5,2( C ．)3,5,0(- D ．)3,5,2(-【知识点】空间向量线性运算的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】=-+32)1,1,1()10,0,4(--+)6,6,3(--=)3,5,2(．【思路点拨】空间向量线性运算就是将坐标独立地进行相应的运算．【答案】B ．2．已知)5,4,3(A ，)1,2,0(B ，)0,0,0(O ，若=C 的坐标是（ ） A ．)58,54,56(--- B ．)58,54,56(-- C ．)58,54,56(-- D ．)58,54,56( 【知识点】空间向量的坐标运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】)4,2,3(---=，则===---)4,2,3(52)58,54,56(---．【思路点拨】熟练掌握空间向量的坐标运算法则． 【答案】A ．3．已知向量)1,0,1(=，)1,1,2(--=，)0,1,3(=，则|2|+-等于（ ）A ．103B ．102C ．10D ．5【知识点】空间向量的坐标运算，长度公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵2+-)0,3,9(=，∴|2|+-103039222=++=【思路点拨】利用空间向量线性运算的坐标公式得到所求向量的坐标，再计算长度． 【答案】A ．4．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点， 1CC CA BC ==，则BM 和AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101B ．52C ．22D ．1030 【知识点】空间向量夹角的坐标公式求异面直线所成角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】以1C 为原点，11A C ，11B C ，C 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz C -1，不妨设2=CA ，则)2,0,2(A ，)0,0,1(N ，)2,2,0(B ，)0,1,1(M ．∴)2,1,1(--=BM ，)2,0,1(--=，3401=++-=⋅，6211||222=++=，5201||222=++=，><AN BM ,cos ||||AN BM =563⨯=1030=，即BM 和AN 所成角的余弦值为1030．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为向量夹角的坐标公式进行计算． 【答案】D ．5．已知向量)1,sin ,(cos θθ=a ，)2,1,3(-=b ，则|2|b a -的最大值为 ．【知识点】空间向量的线性运算及长度公式的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵=-2)0,1sin 2,3cos 2(+-θθ， ∴|2|-22)1sin 2()3cos 2(++-=θθθθcos 34sin 48-+=)3sin(88πθ-+=488=+≤，即|2|b a -的最大值为4．【思路点拨】熟练掌握空间向量的坐标运算，再使用辅助角公式求出最值．【答案】4．6．在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F ，G ，H 分别是1CC ，BC ，CD ，11C A 的中点．证明：（1）GE AB //1，EH AB ⊥1；（2）⊥G A 1平面EFD ．【知识点】用向量的坐标进行空间几何体中的证明．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】以A 为原点，，，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz A -，设正方体棱长为1.则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,1,0(D ，)1,0,0(1A ，)1,0,1(1B ，)1,1,1(1C ，)1,1,0(1D ，∴)21,1,1(E ，)0,21,1(F ，)0,1,21(G ，)1,21,21(H ． （1）)1,0,1(1=AB ，)21,0,21(=，)21,21,21(--=， ∵GE AB 21=，01=⋅EH AB ，∴GE AB //1，EH AB ⊥1；（2）∵)1,1,21(1-=A ，)0,21,1(-=，)21,0,1(=，∴⋅G A 10=，⋅G A 10=， 即⊥G A 1DF ，⊥G A 1DE ，又DF DE D =，则⊥G A 1平面EFD ．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将向量关系转化为坐标的运算．【答案】见解题过程．。
高二数学9.5空间向量及其运算(二)教案
B b M
P p
a
A A'
与向量 a, b 共面，根据平面向量的基本定
理，一定存在实数 x, y 使 p xa yb
（ 必 要 性 ） 设 存 在 实 数 x, y 使
O
p xa yb 取 空 间 任 意 一 点 M ， 作
M A a, M B b, M A' x,a 'A P ，y则b MP xa yb p ，于是点 P 在
C
a
b a
O
b Bb
A
OB OA AB a b ; BA OA OB a b ; OP a( R)
运算律： ⑴加法交换律： a b b a ⑵加法结合律： ( a b ) c a (b c ) ⑶数乘分配律： (a b ) a b
3．平行六面体：
D' A'
a
D
A
C' B' C B
平行四边形 ABCD平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体， 叫做平行
三、讲解范例：
例 1 已知 A, B,C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件：
1
2
2
OP OA OB OC ，
5
5
5
试判断：点 P 与 A, B,C 是否一定共面？
解：由题意： 5OP OA 2OB 2OC ， ∴ (OP OA) 2( OB OP) 2(OC OP ) ，
∴ AP 2PB 2PC ，即 PA 2PB 2PC ，
C B
3．如图， E, F , G, H 分别为正方体 AC1 的棱 A1B1, A1D1, B1C1,D1C1 的中点，
求证： （ 1） E, F , D , B 四点共面； （ 2 ）平面 AEF // 平面 BDHG ．
高三数学下9.6空间向量的坐标运算2教案
课 题：9 6空间向量的直角坐标及其运算 (二)教学目的：1.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问题；2.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直 教学重点：夹角公式、距离公式教学难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A x i y j z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 二、讲解新课： 1模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则2||a a a a =⋅=+2||b b b b =⋅=+．2．夹角公式：2cos ||||a ba b a b a⋅⋅==⋅+3．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，或,A B d =三、讲解范例：例1已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ， 求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件 解：（1）设M 是线段AB 的中点，则13()(2,,3)22OM OA OB =+=．∴AB 的中点坐标是3(2,,3)2，,A B d ==（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，,化简得：46870x y z +-+=,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是46870x y z +-+=．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件46870x y z +-+=的系数构成一个向量(4,68)a =-，发现与(2,3,4)AB =--共线例2．如图正方体1111ABCD A B C D -中，11111114B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz -， 则(1,1,0)B ，13(1,,1)4E ，(0,0,0)D ， 11(0,,1)4F ， ∴11(0,,1)4BE =-，11(0,,1)4DF =， ∴1117BE DF ==， 11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=．111515cos ,1744BE DF ==．例3．已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅来求面积 解：∵(1,2,2)AB =-，(2,0,3)AC =--，∴2||13AB ==，||(AC =-=(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=，∴cos cos ,||||3AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>===⋅⨯ ∴213sin sin ,1cos ,A AB AC AB AC =<>=-<>=，所以，1||||sin 22ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=． 点评：三角形的内角可看成由该角的顶点出发的两边所在向量的夹角四、课堂练习： 1若(3cos ,3sin ,1)A θθ，(2cos ,2sin ,1)B θθ，求||AB 的取值范围；2．已知(,2,0)a x =，2(3,2,)b x x =-，且a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围；3．若(cos ,sin ,2sin )P ααα，(2cos ,2sin ,1)Q ββ，求||PQ 的最大值和最小值4．求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足． 求证：OA //BD ．证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，i ,j ,k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设BD ＝),,(z y x ．∵BD ⊥α，∴BD ⊥i ，BD ⊥j ，∴BD ·i ＝),,(z y x ·(1,0,0)＝x ＝0，BD ·j ＝),,(z y x ·(0,1,0)＝y ＝0,∴BD ＝(0,0,z )．∴BD ＝z k ．即BD //k ．由已知O 、B 为两个不同的点，∴OA //BD ．说明：⑴请注意此例建立空间直角坐标系的方法，这是今后解题时常用的方法； ⑵如果表示一个向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则表示该向量所有的有向线段所在直线都垂直于α．如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α．如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量． 五、小结 ：1．空间向量的模长公式、两点间的距离公式的形式与平面向量中相关内容一致，因此可类比记忆；2．在计算异面直线所成角时，仍然用向量数量积的知识，建立空间直角坐标系后能方便的求出向量的坐标，则通常考虑用坐标运算来求角3．对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的坐标运算求解，并可以使解法简单化．值得注意的是——坐标系的选取要合理、适当． 六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记：。
高二理科数学《3.1.5空间向量运算的坐标表示(2)》名师课件人教版选修2-1
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练习
已知 A（1，0，0），B（0，1，0）， C（0，0，2），求分别满足下列条件的点 D 的坐标。 （1）DB∥AC，DC∥AB； （2）DB⊥AC，DC⊥AB 且 AD=BC。
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例题讲解
例 1．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中， E、F分别为AB，BC的中点，试在BB1上找 一点M，使D1M 面EFB.
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例题讲解
例 2．如图：在棱长为2的正方体ABCD A1B1 C1 D1中 ，P为DD1的 中 点 ，O为 底 面ABCD中 心 ， Q为BC中点.
（1）求证：B1O PA； D1
（2）求B1O与PO所成 A1
角的大小；
P
C1 B1
（3）求PQ的长.
D
C
A
O
Q
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例题讲解
例 3．如图：正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，
F分别是BB1，D1B1的中点，求证EF DA1.
z
D1
F
C1
A1
B1
A x
D O
EC y
B
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课后作业
《学案》P84 面双基训练。
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空间向量及其运算的坐标表示(两个课时)高二数学教学课件练习(人教A版2019选择性)
素养目标
数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算
环节2：教学重难点
重点： 1.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示 2.能利用空间向量的坐标运算解决垂直、夹角、长度等 问题
难点：能利用空间向量的坐标运算解决垂直、夹角、 长度等问题
情景一：
问题1 平面向量中有哪些运算？
加法 减法 数乘 数量积
课本P22 练习
2.已知
a
2,
1, 3
，
b
4,
2,
x
，且
a
b
，求
x
的值．
【详解】因为
a
b
，所以
a
b
0
，
所以 2 (-4)+(-1)2+3x=0 ，
所以
x
10 3
.
课本P22 练习
4.如图，正方体OABC DABC 的棱长为 a、点 N，M 分别在 AC，BC 上， AN 2CN ， BM 2MC ，求 MN 的长．
【详解】因为正方体OABC DABC 的棱长为 a、点 N，M 分别在 AC，BC 上，AN 2CN ，
BM 2MC ，
所以
M
a 3
,
a,
2a 3
,
N
a 3
,
2a 3
,
0
，
所以 MN
a2 4a2 0
5a .
99 3
课本P22 习题
2. M x, y, z 是空间直角坐标系 Oxyz 中的一点，写出满足下列条件的点的坐标；
（3）与点 M 关于 z 轴对称的点为x, y, z （4）与点 M 关于原点对称的点为x, y, z
课本P22 习题
高二数学选修2-1-《空间向量运算的坐标表示》参考教案2
3.1.5空间向量运算的坐标运算教学目标通过与平面向量类比学习,掌握空间向量加、减、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的平行、垂直判断，掌握长度、夹角公式的坐标表示。
能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。
教学重点利用坐标解决立体几何问题教学过程一、复习引入在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组},,{z y x ，使OA xi yj zk =++，),,(z y x 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、 新课讲解1.空间向量的坐标运算：2.空间向量平行、垂直的坐标表示a ⊥b =x 1x 2+y 1y 2=0a //b =x 1=βx 2，y 1=βy 23.距离公式(1)向量的长度（模）公式 222121||a a a a =++(2)空间两点间的距离公式212121(,,)AB OB OA x x y y z z =-=---222212112||()()()AB d AB x x y y z z ==-+-+-4.两个向量夹角公式=+b a );,,(332211y x y x y x +++=-b a );,,(332211y x y x y x ---=a λ);,,(111z y x λλλ21cos ,||||a b a b a b a ⋅==+,[0,]a b π∈） 三、典型例题例1已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)．(1)求△ABC 的面积；(2)求△ABC 中AB 边上的高．解 (1)由已知得AB→＝(1，－3，2)，AC →＝(2，0，－8)， ∴|AB→|＝1＋9＋4＝14，|AC →|＝4＋0＋64＝217， AB→·AC →＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， cos 〈AB→，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－1414×217＝－14217， sin 〈AB →，AC →〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC→|·sin 〈AB →，AC →〉 ＝12×14×217×2734＝321.(2)设AB 边上的高为CD ，则|CD →|＝2S △ABC |AB →|＝3 6. 分析：根据夹角公式求出两异面直线上的对应向量夹角的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值。
北师大版数学高二学案 空间向量运算的坐标表示
3.3空间向量运算的坐标表示学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标(重点).2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直(重点).3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题(重、难点).知识点一空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.【预习评价】(1)空间向量的坐标与点的坐标的联系是什么？(2)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算之间有什么联系？提示(1)①起点在原点的向量，坐标与终点坐标相同.②起点不在原点的向量，坐标是终点坐标减去起点对应坐标.(2)空间向量的坐标运算是平面向量的坐标运算在空间中的拓展.知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23.【预习评价】(1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同？ (2)已知a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，且b 1b 2b 3≠0，类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？提示 (1)空间向量的坐标运算多了个竖坐标. (2)a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.知识点三 空间两点间的距离已知点A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则A ，B 两点间的距离d AB ＝|AB →|＝（a 2－a 1）2＋（b 2－b 1）2＋（c 2－c 1）2. 【预习评价】(1)空间向量的平行、垂直有什么应用？(2)空间向量的夹角与距离在立体几何中有什么应用？提示 (1)应用向量平行可证明、判断两直线平行，应用向量垂直可证明、判断两直线垂直问题.(2)求异面直线所成的角、线段的长等.题型一 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示【例1】 设O 为坐标原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标. 解 设OQ→＝λOP →， ∴QA→＝OA →－OQ →＝OA →－λOP → ＝(1，2，3)－λ(1，1，2)＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB→＝OB →－OQ →＝OB →－λOP → ＝(2，1，2)－λ(1，1，2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10，∴当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值. 又OQ→＝λOP →＝43(1，1，2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 所以，所求点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.规律方法 (1)建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为最佳选择.(2)向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标.求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.【训练1】 设正四棱锥S －P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求SP 1→、P 2P 3→的坐标.解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O 为底面正方形的中心，P 1P 2⊥Oy 轴，P 1P 4⊥Ox 轴，SO 在Oz 轴上. ∵P 1P 2＝2，而P 1.P 2.P 3.P 4均在xOy 平面上， ∴P 1(1，1，0)，P 2(－1，1，0).在xOy 平面内，P 3与P 1关于原点O 对称，P 4与P 2关于原点O 对称，∴P 3(－1，－1，0)，P 4(1，－1，0). 又SP 1＝2，OP 1＝2，∴在Rt △SOP 1中，SO ＝2，∴S (0，0，2). ∴SP 1→＝OP 1→－OS →＝(1，1，－2)，P 2P 3→＝OP 3→－OP 2→＝(0，－2，0). 题型二 向量的平行与垂直【例2】 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点. 求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)如图，建立空间直角坐标系， 设AC ∩BD ＝N ，连接NE ， 则点N ，E 的坐标分别为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，(0，0，1).∴NE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又点A ，M 的坐标分别是(2，2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，∴AM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE→＝AM →.又NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM . 又∵NE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∵D (2，0，0)，F (2，2，1)， ∴DF →＝(0，2，1)，∴AM →·DF →＝0，∴AM→⊥DF →，即AM ⊥DF .同理，AM →⊥BF →，即AM ⊥BF . 又DF ∩BF ＝F ，且DF 平面BDF ，BF 平面BDF ，∴AM ⊥平面BDF .规律方法 解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题.【训练2】 在正三棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两垂直，G 是△PAB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2. 求证：(1)平面GEF ⊥平面PBC ； (2)EG ⊥BC ，PG ⊥EG .证明 (1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，PA ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，令PA ＝PB ＝PC ＝3，则A (3，0，0)，B (0，3，0)，C (0，0，3)，E (0，2，1)，F (0，1，0)，G (1，1，0)，P (0，0，0).于是PA→＝(3，0，0)，FG →＝(1，0，0)， 故PA→＝3FG →，∴PA ∥FG . 又PA ⊥平面PBC ， ∴FG ⊥平面PBC ，又FG 平面GEF ，∴平面GEF ⊥平面PBC . (2)∵EG→＝(1，－1，－1)， PG→＝(1，1，0)，BC →＝(0，－3，3)， ∴EG →·BC→＝3－3＝0，EG →·PG →＝1－1＝0，∴EG→⊥BC →，EG →⊥PG →，∴EG ⊥BC ，EG ⊥PG .【探究1】 已知A (1，0，0)，B (0，－1，1)，OA →＋λOB →与OB →夹角为60°，则λ的值为( ) A.±66 B.66 C.－66D.±6解析 因为OA→＝(1，0，0)，OB →＝(0，－1，1)，所以OA→＋λOB →＝(1，0，0)＋λ(0，－1，1)＝(1，－λ，λ)， 所以cos 60°＝cos 〈OA →＋λOB →，OB →〉＝2λ1＋2λ2·2＝12(*)，解得λ＝±66，由(*)式知λ＞0，故λ＝66. 答案 B【探究2】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是AA 1，CB 1的中点.(1)求BM ，BN 的长； (2)求△BMN 的面积.解 以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，则B (0，1，0)，M (1，0，1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.(1)BM→＝(1，－1，1)，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1， 所以|BM→|＝3，|BN →|＝0＋14＋1＝52，即BM 的长为3，BN 的长为52.(2)因为cos 〈BM →，BN →〉＝BM →·BN →|BM →||BN →|＝12＋13×52＝155，又〈BM→，BN →〉∈[0，π]，所以sin 〈BM→，BN →〉＝105.故S △BMN ＝12|BM →|·|BN →|·sin 〈BM→，BN →〉＝12×3×52×105＝64.即△BMN 的面积为64.【探究3】 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110B.25C.3010D.22解析 以C 1为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则A (2，0，2)，N (1，0，0)，M (1，1，0)，B (0，2，2)， 所以AN→＝(－1，0，－2)，BM →＝(1，－1，－2)， 所以cos 〈AN →，BM →〉＝AN →·BM →|AN →||BM →|＝－1＋45·6＝35×6＝3010. 答案 C规律方法 求两直线夹角的步骤(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上.(2)求方向向量：依据点的坐标求出直线方向向量的坐标. (3)代入公式：利用两向量的夹角公式计算两直线方向向量的夹角. (4)转化：把两向量的夹角转化为异面直线的夹角时注意角的范围. 特别提醒 两直线夹角的范围与向量夹角的范围不同.课堂达标1.已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.0°B.45°C.90°D.180°解析 ∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝2－25×6＝0，〈a ，b 〉∈[0°，180°].∴〈a ，b 〉＝90°.答案 C2.设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到C 的距离CM 的值为( ) A.534 B.532 C.532D.132解析 AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，又C (0，1，0)，所以CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3，故M 到C 的距离为CM ＝|CM →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32＝532.答案 C3.设O 为坐标原点，M (5，－1，2)，A (4，2，－1)，若OM →＝AB →，则点B 应为________.解析 设B (x ，y ，z )，由OM →＝AB →得(5，－1，2)＝(x －4，y －2，z ＋1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝5，y －2＝－1，z ＋1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，z ＝1. 答案 (9，1，1)4.若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x 的值为________.解析 ∵c －a ＝(1，1，1)－(1，1，x )＝(0，0，1－x )， 2b ＝(2，4，2).∴2×(1－x )＝－2，∴x ＝2. 答案 25.已知a ＝(1－t ，1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，求|a －b |的最小值. 解 ∵a －b ＝(1－t ，1－t ，t )－(2，t ，t )＝(－1－t ，1－2t ，0)， ∴|a －b |＝（t ＋1）2＋（1－2t ）2＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95∴|a －b |min ＝355.课堂小结1.在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况.2.运用向量坐标运算解决几何问题的方法：3.若〈AB →，CD →〉＝α，两条异面直线AB ，CD 所成角为θ，则cos θ＝|cos α|.。
数学高二人教大纲9.6空间向量的坐标运算说课稿
数学高二人教纲领9.6 空间向量的坐标运算讲课稿各位评委、老师：大伙好!我是来自 #，特别有幸可以参加此次的讲课活动，期望各位评委、老师对我的讲课内容提出可贵建议、今日我讲课的题目是《空间向量的坐标运算》，下边我将从教材剖析、学生状况、教课目的、教课方法、教课过程和教课方案说明六个方面来介绍我对本节课的教课假想 .【一】教材剖析1.地位和作用空间向量的坐标运的确是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量差不多定理的基础长进一步学习的知识内容、是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推行和拓展 , 交流了代数与几何的关系，丰富了学生的认知构造、为学生学习立体几何供给了新的视角、新的看法和新的方法，给学生的思想开发供给了更为广阔的空间、为运用向量坐标运算解决立体几何问题确定了知识和方法基础、2.教课程序在教课中我对教材做了适合的调整：第一步，用类比的方式研究新知识，并作简单的应用；第二步，例题解说、练习题办理、3.要点、难点教课要点：空间右手直角坐标系、空间向量的坐标运算、教课难点：空间向量坐标的确定、【二】学生状况本课的学习对象高二学生, 他们已掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了必定观看、剖析、解决问题的能力，但在研究问题的内部联系和内在进展上还有所短缺 . 所以经过教师的指引 , 学生的自主研究 , 不停地完美自我的认知构造 .【三】教课目的1.知识教课点 : 掌握空间右手直角坐标系、空间向量的坐标运算规律，平行向量与垂直向量坐标之间的关系、2.能力培育点 : 经过空间坐标系的成立和空间向量坐标运算规律的研究，进展学生的空间想象能力、研究能力，进一步熟习类比、由一般到特别、由直觉猜想到推理论证等思想方法，提高学生的科学思想修养、3.德育浸透点 : 经过教师的指引、学生研究，激发学生求知欲念和学习兴趣，使学生经历数学思想全过程，品味到成功的愉悦、【四】教课方法本节课我将采用了“启迪研究”和“类比”的教课方法，依据本课教材的特点和学生的实质状况在教课中要点突出以下两点： (1) 由教材的特点确定类比思想为教课的主线、(2) 由学生的特点确定自主研究式的学习方法、在教课中经过创建问题情境，启迪指引学生运用科学的思想方法进行自主研究、将学生的独立思虑、自主研究、交流议论等研究活动贯串于讲堂教课的全过程，突出学生的主体地位、除使用惯例的教课手段外，还将使用教具模型和计算机来协助教课、计算机演示有助于提高学生的空间想象能力和关怀他们化解难点 .【五】教课过程1 问题的提出： 在正方体的两个面内任取两点，怎样求出这两点间的距离？请同学踊跃 思虑并说出求解方案、 学生可能回答：〔 1〕可用尺子斩钉截铁丈量出来、〔 2〕成立直角坐标系，求出 A 、B 两点坐标，再利用距离公式求出其模长、MC 1N〔从实质问题引入，使学生认识数学根源于实质。
《空间向量的坐标与空间直角坐标系》第二课时示范公开课教学设计【高中数学】
《空间向量的坐标与空间直角坐标系》教学设计第二课时◆教学目标1、运用空间向量坐标解决平行与垂直问题.提升学生的数学抽象素养.2、用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题，提升学生的数学抽象素养.3、理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．提高逻辑推理、数学运算的数学素养．◆教学重难点◆教学重点：掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系教学难点：向量坐标下的线性运算与数量积运算.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第20-24页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习空间向量的坐标与空间直角坐标系第二课时空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直及空间直角坐标系的知识内容．（2）通过类比平面向量的平行、垂直表示，从而引入空间向量及的平行、垂直表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来,使几何问题代数化,从而避开了抽象的逻辑推理和复杂的空间想象,降低了思维难度,使得空间向量的平行、垂直问题的解决变得简单．因此，本节内容在高中数学中，既是对平面向量的补充，又是对以后立体几何应用空间向量解决问题提供工具．计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知第三部分 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直问题2：我们已经知道,如果a ，b 是空间向量:(1)当0≠a 时,a //b 的充要条件是存在实数λ,使得b =λa ; (2)a ⊥b 的充要条件是a b =0.如果已知a ，b 的坐标,即111222(,,),(,,)==a x y z b x y z ,那么上述结论怎样用它们的坐标表示?师生活动：在教师的指导下共同归纳坐标表示．教师讲解：可以看出，当0≠a 时，222111//(,,)(,,)λλ⇔=⇔=a b b a x y z x y z 212121λλλ=⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩x x y y z z ，更进一步，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有，222111//⇔==x y z a b x y z ， 而且，12121200⊥⇔⋅=⇔++=a b a b x x y y z z追问1：问题2中结论(1)是共线向量基本定理.请问这里的实数λ唯一吗?为什么要规定0≠a ?若0=a ,会出现什么情况?师生活动：学生回忆平面向量相关问题，老师指导学生总结答案.预设的答案：如果0=a ，则实数λ不会再唯一，而是任意的实数都可以了，所以规定0≠a ，因为规定零向量与任何向量都平行,所以教材中只研究0≠a 时两个空间向量a ，b 平行的条件．设计意图：将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来,使几何问题代数化,从而避开了抽象的逻辑推理和复杂的空间想象,降低了思维难度,使得空间向量的平行、垂直问题的解决变得简单．三、初步应用例4 （1）已知(1,-1,1),(,,)==a b x y z ，且a //b ，求x ，y ，z 所满足的关系式；（2）、已知(1,-1,1),(2,2,6)=-=-c d ，求一个非零空间向量n ，使得,⊥⊥n c n d ． 师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：（1）因为(1,-1,1)=a 的每一个坐标分量均不为0，则a //b 111⇔==⇔=-=-x y z x y z （2）设(,,)=n x y z ，则,⊥⊥n c n d 0022600⎧⋅=--+=⎧⎪⇔⇔⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩n c x y z x y z n d ，将z 看成已知数，求解方程组可得,2=-=x z y z ，因此(-,2,)(1,2,1)==-n z z z z ，取z=1，则满足条件的一个非零空间向量(-1,2,1)=n ．设计意图：(1)是共线向量基本定理坐标法的应用,需注意之处是分母不为零;问题(2)是利用坐标法来解决垂直问题,是今后求平面法向量的基本方法,为后续线面、面面平行与垂直的证明,以及线面角、二面角、空间距离的求解做铺垫．第四部分 空间直角坐标系问题3 ：由空间向量坐标的定义可以看出，当单位正交基底的始点是同一个点O ，而且空间向量的始点也是O 时，空间向量的坐标实际上是由它的终点位置确定的．（1）如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？（2）我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置，在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序时数来刻画点在平面内的位置，那么怎样才能刻画空间中点的位置呢？师生活动：学生阅读课本总结答案，由老师指定学生回答．教师讲解：为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系xOy 的基础上,通过原点O ,再作一条数轴z ,使它与x 轴,y 轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直.轴的方向通常这样选择:从z 轴的正方向看,x 轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y 轴的正半轴重合,这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O 叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy ,yOz ,zOx 叫做坐标平面,三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限,如图所示.空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间,有了一一对应关系,空间一点M 的位置完全由有序实数组(x ,y ,z )确定,因此将(x ,y ,z )称为点M 的坐标,记作M (x ,y ,z ).此时,x ,y ,z 都称为点M 的坐标分量,且x 称为点M 的横坐标(或x 坐标),y 称为点M 的纵坐标(或y 坐标),z 称为点M 的竖坐标(或z 坐标).设计意图：培养学生数学抽象、数学建模的数学学科核心素养.使学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系,积累从具体到抽象的活动经验,养成在日常生活实践中用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的习惯．初步应用例5、已知棱长为1的正方体1111 ABCD A BC D 中,E 是1CC 的中点,F 是11A B 的中点.以D 为原点,1,,DA DC DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立如图1-1-25所示的空间直角坐标系.求以下各点的坐标:1,,,,A B B E F .师生活动：学生尝试识别坐标系并给出点的坐标，由老师指定学生回答．预设的答案：解:注意到正方体的棱长为1,因此1(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1),A B B 又因为E,F设计意图：通过典型例题的分析和解决，让学生感受空间向量坐标运算在解决空间几何中的应用．发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养．教师讲解：可以看出,在空间中建立了空间直角坐标系之后,如果指定空间中的单位向量123,,e e e 的始点都在原点O,且它们的方向分别与x 轴、y 轴、z 轴的正方向相同,则{123,,e e e }是单位正交基底,且向量OP 的坐标与P 点的坐标相同,即123(,,)(,,)=++=⇔OP xe ye ze x y z P x y z反之,如果{123,,e e e }为单位正交基底,则任意选定一点作为原点O,并使得x 轴、y 轴、z 轴的正方向分别与123,,e e e 的方向相同,则可以建立空间直角坐标系,而且其中向量OP 的坐标与P 点的坐标仍然相同．为了方便起见,以后谈到空间直角坐标系时,总是默认为已经按照上述方式指定了单位正交基底{123,,e e e };谈到空间中向量的坐标时,总是认为已经按照单位正交基底{123,,e e e }建立了空间直角坐标系.可以看出,在空间直角坐标系中,同样可以讨论轴对称、中心对称等,它们的意义与平面直角坐标系中的类似与两点关于直线对称类似,如果连接两点的线段的中点在一个平面内,且这两点确定的直线垂直于该平面,则称这两点关于该平面对称．问题4 ：以x 轴、y 轴、z 轴作为参照直线,坐标平面为参照面,通过平行、垂直确定出对称点的位置填空．设点P (x ,y ,z )为空间直角坐标系中的一点,则有:(1)与点P 关于原点对称的点为1P ;(2)与点P 关于x 轴对称的点为2P ;(3)与点P 关于y 轴对称的点为3P ;(4)与点P 关于z 轴对称的点为4P ;(5)与点P 关于平面xOy,对称的点为5P ;(6)与点P 关于平面xOz,对称的点为6P ;(7)与点P 关于平面y O z 对称的点为7P师生活动：学生自行填写，由老师指定学生回答． 预设的答案：设点P (x ,y ,z )为空间直角坐标系中的一点,则有:(1)与点P 关于原点对称的点为1P (-x ,-y ,-z );(2)与点P 关于x 轴对称的点为2P (x ,-y ,-z );(3)与点P 关于y 轴对称的点为3P (-x ,y ,-z );(4)与点P 关于z 轴对称的点为4P (-x ,-y ,z );(5)与点P 关于平面xOy 对称的点为5P (x ,y ,-z );(6)与点P 关于平面x Oz 对称的点为6P (x ,-y ,z );(7)与点P 关于平面y O z 对称的点为7P (-x ,y ,z ).设计意图：引导学生总结对称问题的规律,例如,关于谁对称,谁就不改变,其余坐标则相反.问题5 ：利用空间向量的坐标与空间直角坐标系的关系,空间直角坐标系中两点之间的距离公式与中点坐标公式是什么？师生活动：学生尝试总结，由老师指定学生回答．预设的答案：设111222(,,),(,,)A x y z B x y z 为空间直角坐标系中的两点,则111222(,,),(,,)==OA x y z OB x y z ,所以=-=AB OB OA 222111212121(,,)(,,)(,,)-=---x y z x y z x x y y z z ,因此||==ABAB 2这就是空间直角坐标系中两点之间的距离公式.上面的推导过程也说明,空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.追问：类比平面向量的中点坐标公式，能否推导出空间向量的中点坐标公式？ 师生活动：学生同桌交流证明过程，由老师指定学生回答．预设的答案：设线段AB 的中点为M(x,y,z),则(,,)=OM x y z , 又因为12121212121211(,,)(,,)22222+++=+=+++=（）x x y y z z OM OA OB x x y y z z 所以M 的坐标为． 设计意图：类比平面直角坐标系中两点的距离公式与中点坐标公式,猜想出结论,再引导学生用空间向量的知识证明结论,培养学生严谨论证的数学思维．初步应用例6、在空间直角坐标系中，已知A(-2,-3,5),B(0,2,2),C(2,7,-1),求证：A 、B 、C 三点共线．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：因为(2,5,3),(4,10,6)=-=-AB AC ,所以2=AC AB ,因此//,AC AB 又因为这两个向量有公共的始点，所以A,B,C 共线．设计意图：呈现了证明空间中三点共线的一种相当简捷的方法.利用两个空间向量平行证明三点共线,要说明两个向量有公共点,培养学生严谨论证的数学思维．例7、如图1-1-26所示,已知直三棱柱111-ABC A B C 中,12===CA CB CC ,AC⊥CB,且D,E 分别是棱AB,11B C 的中点.建立适当的空间直角坐标系,求1A B 与DE 的长.)2,2,2(212121z z y y x x +++师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：解以C 为坐标原点,1,,CA CB CC 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立如图1-1-27所示的空间直角坐标系.由题意可知C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),1A (2,0,2),1B (0,2,2),1C (0,0,2).因此1=A B 又因为D 是AB 的中点,所以D 的坐标为200200(,,)(1,1,0)222+++=,即D(1,1,0).同理可得E(0,1,2).从而=DE 设计意图：建立空间直角坐标系,找出相应点的坐标及线段的中点坐标,再运用空间直角坐标系中两点间距离公式求得线段的长度.例7为后续学习空间中的线面关系以及空间中的角、距离的求法打下了基础.培养学生严谨论证的数学思维．四、归纳小结，布置作业问题6：（1）空间向量的坐标表示空间向量的平行和垂直分别是什么？（2）空间向量坐标的距离公式和中点公式是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）222111//⇔==x y z a b x y z ， 12121200⊥⇔•=⇔++=a b a b x x y y z z（2）||==AB AB 2； )2,2,2(212121z z y y x x +++设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量坐标表示距离和中点及垂直平行的关系．布置作业：教科书第,25页练习A3, 4,5,6题．五、目标检测设计1.在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是________．设计意图：考查学生对空间坐标系的理解．2.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)且k a＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________．设计意图：考查学生对空间向量垂直的简单应用．3．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝\s\up7(()ϒ⎥AB，b＝\s\up7(()ϒ⎥AC．(1)若|c|＝3，c∥\s\up7(()ϒ⎥BC．求c；(2)若k a＋b与k a－2b互相垂直，求k．设计意图：考查学生对空间向量坐标表示垂直平行的计算．参考答案：1．关于x轴对称[点P(3 ,4 , 5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．]2．75[由于k a＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，因为两向量互相垂直，则有(k－1)×3＋k×2＋2×(－2)＝0，解得k＝75．]3．[解](1)因为\s\up7(()BC＝(－2，－1,2)，且c∥\s\up7(()BC，所以设c＝λ\s\up7(()BC＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c|＝3|λ|＝3，解得λ＝±1．即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)因为a＝\s\up7(()AB＝(1,1,0)，b＝\s\up7(()AC＝(－1,0,2)，所以k a＋b＝(k－1，k,2)，k a－2b＝(k＋2，k，－4)．又因为(k a＋b)⊥(k a－2b)，所以(k a＋b)·(k a－2b)＝0．即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0．解得k＝2或k＝－．故所求k的值为2或－52．。
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高二下学期数学第九章复习（4）
空间向量的（坐标 ）运算（2）
一、基础训练：
1．已知空间三点的坐标为)2,5,1(-A 、)1,4,2(B 、)2,3,(+q p C ，若A 、B 、C 三点共线，
则=p 3 ，=q 2 ．
2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中， 4=AB ，3=AD ，51
=AA ，o
BAD 90=∠，o
DAA BAA 6011=∠=∠，则1AC
3．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
()||||
AB AC OP OA AB AC λ=++
，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 （ B ） ()A 外心
()B 内心 ()C 重心 ()D 垂心 4．若(1,1,3)A m n +-，(2,,2)B m n m n -，(3,3,9)C m n +-三点共线，则m n +=0．
5．已知(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -
，若||a ,a AB a AC ⊥⊥
，则a 的坐标
为 ()()1,1,1,1,1,1---．
6．已知b a ,
是空间二向量，若||3,||2,||a b a b ==-= ，则a 与b 的夹角为60
．
7．已知向量)3,2,1(-=，)1,1,1(=，则向量在向量
． 二、例题分析：
例1．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，0
90=∠ACD ，将它沿对角线AC 折起，
使AB 与CD 成0
60角，求B 、D
间的距离．（答案：2,
例2．在矩形ABCD 中，已知1=AB ，a BC =，⊥PA 平面ABCD ，2=PA ，若BC 边上存在唯一一点Q ，使得DQ PQ ⊥，M 是AD 上一点，M 在平面PQD 上的射影恰好是PQD ∆的重心，求线段AM 的长度及M 到平面PQD 的距离．（答案：
2
3
）
P
A
B C
D
Q M
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例3．在ABC ∆中2AB BC AC ===，现将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA
平移到
111A B C ∆的位置，31=BB ，D 是AB 的中点，F 是11C A 的中点，E 在1BB 上，
⑴当13
1
BB BE =时，求直线EC 与DF 所成角的大小； ⑵当E 点在1BB 上变化时，BE 为多长时DF CE ⊥．
答案：⑴arccos 10
；⑵23．
三、课后练习： 班级 学号 姓名
1．四面体SABC 中，SC ＝AB ＝１，SA 与BC 中点分别为,P Q
，且2
PQ =，则异面直线AB 与SC 所成的角为90
．
2．已知2=，且点A 、B 、C 、D 不共线，则下列结论正确的是
（ D ） ()A 四边形ABCD 是平行四边形 ()B 四边形ABDC 是平行四边形
()C 四边形ABCD 是梯形 ()D 四边形ABDC 是梯形
3．已知32134e e e a -+=，321245e e e b +-=，其中},,{321e e e 是一组正交基底，b
及
． 4．从O 点出发的三条射线两两垂直，空间一点P 到这三条射线的距离分别为,,a b c ，则P
到O
5．已知平面
α内的60BOC ∠= ，OA a =，OA 是平面α的斜线段，且
45AOB AOC ∠=∠= ，则点A 到平面α
． 6．如图，,,,,,M N E F G H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点， 若此四面体的对棱相等，
则EF 与GH 所成的角等于90
； ()EF NH MG ⋅+=
_0．
7．已知空间三个点(2,0,2)P -,(1,1,2)Q -和(3,0,4)R -，设a PQ = ,b PR =
，
⑴求a 与b
的夹角θ（用反三角函数表示）；
⑵试确定实数k ，使ka b + 与2ka b -
互相垂直；
E
D
A B C A
B C
1
1
F
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⑶试确定实数k ，使ka b + 与a kb +
互相平行．
答案：⑴arccos ⎛ ⎝⎭
；⑵5
2,2-；⑶1k =±． 8．如图，点P 是矩形ABCD 外一点，⊥PA 平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中
点，
⑴求证：AB MN ⊥；
⑵若PDA θ∠=，能否确定θ使得MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线？若可以确定θ，试求θ的值？若不能，说明理由． 答案：⑵ 45
．
9．已知ABC ∆，将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA
平移到111A
B C ∆的位置，11BC AB ⊥，11BC AC ⊥，求证：11AB AC =．
P
A B
C
D
M N。