[优质文档]2013新课程背景下高考数学试题的研究
2013年高考数学三角函数的题型分析word精品文档5页
2013年高考数学三角函数的题型分析[文献标识码]A近几年的高考中，三角函数题所占的分值不少，题目的类型比较固定，但是考查的知识点全面，涉及的内容广。
在2013年的高考题中，三角函数是怎样出题的？考查了哪些知识点？所占的分值是多少？与其他部分的知识点有哪些联系？针对上述这些问题，笔者对2013年各省市理科数学高考题中三角函数的试题进行了研究，统计了2013年各省市理科数学三角函数的知识点分布以及在各套试卷中所占的分值。
在这一统计工作的基础上，笔者对去年三角函数各知识点出现的频率进行了统计，对去年三角函数知识点的考查重点进行了分析。
各个知识点的考查都不是单独进行的，三角函数它是一种特殊的函数，三角函数体现出了函数的很多性质，那么这一特殊函数它通常和哪些知识点间有紧密的联系？笔者针对上述问题对去年的高考题进行了分析，并针对研究的结果，相应地提出了一些建议。
在现在的高考中，知识点之间的联系越来越紧密，三角函数与其他知识块综合考查。
笔者通过对这部分题型的统计、分析，总结出在2013年的高考中和三角函数综合考查的知识点有哪些，对高考中这些知识点间做个系统的梳理。
通过以上工作，对高考中三角函数有个整体的把握，摸清“出什么，怎么出”，有利于学生在复习中分清主次、找到联系。
对最新的高考题进行分析，有利于学生抓住高考试题的走向与重点所在。
对于2013年理科高考中三角函数试题的研究与分析，有助于对2014年三角函数这部分系统的把握。
现在对与各省市理科试卷中三角函数试题逐题进行系统统计与分析这样的研究相对较少，所以笔者进行这样的一项工作，通过分析“2013”把握“2014”。
三角函数这部分主要考查是从基础出发，稳中求变，稳中求新，能有自己的思维。
一、 2013年高考数学（理科）三角函数试题的统计与分析以2012年高考中全国各省市理科数学试卷中的三角函数试题为调研对象，进行统计、分析。
见下表：由表1得出，三角函数这部分知识在2013的高考试题中，主要集中在17、5、11这几道题中，尤其第17题。
2013年高考数学试题分析(新课标卷)
2013年高考数学试题分析（新课标卷）山西晚报网--2013-06-10■特邀名师许晓莉:山大附中数学高级教师、山西省学科带头人、山西省教学能手、山西省骨干教师、山西省优秀班主任、太原市德育标兵今年是山西省使用新课标卷高考的第三年，经历了第一年的易，第二年的难，考前按一线教师的估计今年应该难易适中，趋于稳定。
但从学生考完后的反应来看，有的感觉易，有的感觉难，说法不一。
7日晚我拿到试卷认真分析后，认为今年的考题不偏、不怪，理科数学与去年难度相近，文科数学与去年相比较为简单。
一、今年高考数学具体有以下特点1、试题构成总体稳定，风格特点基本没变从试题总体来看，主干知识中函数约22分，立体几何约22分，圆锥曲线约22分，三角约17分，概率统计约17分，数列约15分，不等式及其应用约10分，向量、二项式定理、集合、复数及算法各5分。
不过理科卷中一些常见知识没有考查，比如：命题与逻辑，排列组合，三角函数的图像和变换，线性规划，积分，正态分布，独立性检验与回归分析等。
文科卷的知识点覆盖比较全面。
今年的考题仍遵循了考试大纲所倡导的“高考应具有较高的，必要的区分度和适当的难度”这一原则。
很多题目似曾见过，但又不尽相同，进行了适度创新，体现了对考生思维能力和灵活应用知识的考查。
总之，试题融入了考纲的命题理念，以重点知识构建试题的主体，选材寓于教材又高于教材，立意创新又朴实无华，为以后的高中新课程的数学教学改革和日常教学，具有积极的导向作用。
2、试题知识点考查层次分明，难度设置比较合理理科试卷共24个题，其中22、23、24题是三选一。
1到12题是选择题，13到16题是填空题，17到24题是解答题。
选择题中前11个题目，比较常规，是学生平时常练的类型，容易上手。
不过个别题目问法较为新颖，需有一定的思辨能力。
第12题融合了数列、三角、圆锥曲线三大知识点，有一定的难度。
由于这个题属选择题，可以选择小题小做的办法，采用特值技巧加以解答。
2013年高考数学试题(新课标I)分析
2013年高考数学试题（新课标I）分析作者：黄丽来源：《都市家教·下半月》2013年第04期【摘要】2013年高考全国卷新课标1卷数学试题，严格遵循考试大纲和考试说明的各项要求，在考查基础知识的同时，注重了对数学思想方法的考查，强化了对数学理性思维的能力要求，展现了数学的学科价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，具有良好的选拔和导向功能。
【关键词】数学试题；高考；分析2013年高考新课标I卷数学试题，严格遵循考试大纲和考试说明的各项要求，在考查基础知识的同时，注重了对数学思想方法的考查，强化了对数学理性思维的能力要求，展现了数学的学科价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，具有良好的选拔和导向功能。
一、试卷保持相对稳定，平衡传承与创新2013年高考新课标I卷数学文、理试卷结构、题型、题量及分值分布等都与往年保持相对稳定，从宏观和微观上实现了“知识与技能，过程与方法，情感态度和价值观”的有机整合，继续承袭“多题把关”的命题特点，第20、21题并列压轴，选做题中的第24题沿袭了近几年的两问，第一问解不等式，第二问求参数范围。
文理两科的解答题，在题目设计上做到了入口宽、梯度合理，有利于不同程度的考生充分地发挥。
在保持相对稳定的基础上，2013年试卷进行了适度创新。
如文科第7题理科第5题，试题表面上以流程图的形式呈现，通过一系列地巧妙转换，化为考生熟悉的分段函数，一次函数与二次函数的最值问题，将基本不等式的应用与二次函数的最值问题有机结合起来，一气呵成，浑然一体。
又如文科第12题理科第11题，以考生熟悉的分段函数为载体，以绝对值不等式求参数范围的形式呈现，考查了分类整合及自主学习的能力，“动静结合”，“等与不等”自然转化，富有思考性和挑战性，是考查考生创新意识和潜在的数学素养的极好素材，是今年新课标I卷的点睛之笔。
二、突出主干知识，注重能力立意试卷依据考试说明，全卷涵盖了考试说明中的绝大部分知识点，对要求较高的三角函数、立体几何、概率统计、数列、函数和导数的应用、圆锥曲线等主干知识均以解答题形式出现，并都达到了一定的考查深度和广度。
2013年安徽省理科高考数学试卷(带详解)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 与B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若i+2=2z z z g ，则z ＝ ( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 【测量目标】复数的代数形式的四则运算，复数的基本概念.【考查方式】给出复数的关系式，利用复数的四则运算化简，再根据复数的基本概念求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由i+2=2z z z g 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，（步骤1）所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.（步骤2） 2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是 ( )第2题图A ．16 B ．2524 C ．34 D ．1112【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出具体的程序框图，根据算法求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】开始2＜8，110+22s ==，n ＝2＋2＝4；（步骤1） 返回，4＜8，113244s =+=，n ＝4＋2＝6；(步骤2) 返回，6＜8，31114612s =+=，n ＝6＋2＝8；（步骤3）返回，8＜8不成立，输出1112s =.（步骤4）3．在下列命题中，不是．．公理的是( )． A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【测量目标】平面的基本性质及其应用.【考查方式】给出4个命题，根据平面的基本性质进行判断.【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理．4．“a …0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【测量目标】函数图象的应用，函数单调性的判断,充分、必要性.【考查方式】给出两个条件，画出函数的图象先判断函数的单调性，再根据充分、必要性得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】函数f (x )的图象有以下三种情形：a ＝0 a ＞0 a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)内单调递增时，a …0，故选C.5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出实际问题情境，利用平均数与方差的计算进行判断. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，(步骤1) 五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=， 所以2212s s >，故选C. （步骤2）6．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f (10x )＞0的解集为 ( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}【测量目标】指数方程与对数方程，函数的定义域.【考查方式】给出不等式的解集，利用等价变换进行求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由题意知－1＜10x ＜12， 所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出圆的参数方程，利用极坐标方程与普通方程的互化求出普通方程，从而求出圆的切线方程，最后转化为极坐标形式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.(步骤1)所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.（步骤2） 8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n …2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()…，则n 的取值范围是 ( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}【测量目标】函数图象的应用，直线的斜率.【考查方式】给出自变量和因变量之间的关系式，转化为直线的斜率关系式，再利用函数的图象求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()L 可化为1212000===000n n f x f x f x x x x ()-()-()----L ，(步骤1)故上式可理解为y＝f(x)图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n可看成过原点的直线与y＝f(x)的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n＝2，②为n＝3，③为n＝4.（步骤2）9．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足=2OA OB OA OB==u u u r u u u r u u u r u u u rg，则点集{}=+,1,P OP OA OBλμλμμ+∈u u u r u u u r u u u rR…所表示的区域的面积是() A．22B．23C．42D．43【测量目标】平面向量基本定理及其应用，向量的数量积运算，平面向量在平面几何中的应用,判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出问题情境，根据向量的数量积运算求出定点的坐标，再利用平面向量的基本定理确定动点的坐标取值范围，从而根据图象求解面积.【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】以OAu u u r，OBuuu r为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A，B两点关于x轴对称，由已知|OAu u u r|＝|OBuuu r|＝OAu u u rg OBuuu r＝2，可得出∠AOB＝60°，(步骤1)点A(3，1)，点B(3，－1)，点D(23，0)．（步骤2）现设P(x，y)，则由OPuuu r＝λOAu u u r＋μOBuuu r得(x，y)＝λ(3，1)＋μ(3，－1)，即3,.xyλμλμ⎧(+)=⎪⎨-=⎪⎩由于|λ|＋|μ|…1，λ，μ∈R，（步骤3）可得33,11,xy⎧-⎪⎨-⎪⎩剟剟画出动点P(x，y)满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为232=43⨯.(步骤4)10．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【测量目标】函数图象的应用，函数零点的求解与判断，利用导数求函数的极值.【考查方式】给出函数的关系式和极值点，利用导数的运算求出导函数再利用特殊值法求解方程的根，最后根据图象进行判断. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由()f x '＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．（步骤1）如图所示， x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.（步骤2）第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．若83x x ⎛ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式和二项式中特定项的系数值，根据二项式的展开式定理求出通项，从而根据系数求解.【难易程度】容易 【参考答案】12【试题解析】∵83x x ⎛ ⎝的通项为1838C ()r r r rx a x -- 883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形边长、内角之间的关系式，根据正弦定理将内角的关系式转化为边长的关系式， 再利用余弦定理求解角度. 【难易程度】中等【参考答案】2π3【试题解析】∵3sin A＝5sin B，∴3a＝5b.①(步骤1)又∵b＋c＝2a，②∴由①②可得，53a b=，73c b=，（步骤2）∴22222257133cos52223b b bb a cCab b b⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C=.（步骤3）13．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__________．【测量目标】函数图象的应用，向量的数量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】给出问题情境，先将函数问题转化为向量坐标问题，再利用向量的坐标运算求解.【难易程度】中等【参考答案】[1，＋∞)【试题解析】如图，设C(x0，2x)(2x≠a)，A(a-，a)，B(a，a)，则CAu u u r＝(a x--，2a x-)，CBu u u r＝(a x-，2a x-)．（步骤1）∵CA⊥CB，∴CAu u u rg CBu u u r＝0，即－(a－2x)＋(a－2x)2＝0⇒(a－2x)(－1＋a－2x)＝0，∴2x＝a－1…0，∴a…1.（步骤2）14．如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等．设OA n＝a n.若a1＝1，a2＝2，则数列{a n}的通项公式是__________．【测量目标】几何证明选讲，数列的通项.【考查方式】给出问题情境，利用三角形的相似求出面积之比，再根据相似比求解线段之间的比值，进而转化为数列问题从而求解.【难易程度】较难【参考答案】32na n-【试题解析】设11OA BS△＝S，∵a1＝1，a2＝2，OA n＝a n，∴OA 1＝1，OA 2＝2.（步骤1） 又易知△OA 1B 1∽△OA 2B 2， ∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭△△. ∴1122A B B A S 梯形＝311OA B S △＝3S .(步骤2)∵所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，且△OA 1B 1∽△OA n B n ，∴11113132n nOA B nOA B S OA S OA S S n S n ∆∆===+(-)-.∴1132n a a n =-，∴32n a n =-.（步骤3）15．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S 的面积为6【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出问题情境，画出图象进行判断. 【难易程度】较难 【参考答案】①②③⑤【试题解析】当CQ ＝12时，D 1Q 2＝211D C ＋C 1Q 2＝54，AP 2＝AB 2＋BP 2＝54，所以D 1Q ＝AP ，又因为AD 1∥2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜12时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；（步骤1）如图(2)，当CQ＝34时，由△QCN∽△QC1R得11C Q C RCQ CN=，即114314C R=，C1R＝13，故③正确；（步骤2）如图(3)所示，当34＜CQ＜1时，截面为五边形APQMF，所以④错误；（步骤3）当CQ＝1时，截面为APC1E，可知AC13EP2，且四边形APC1E为菱形，S四边形APC1E＝62，故⑤正确．（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos ωx gπsin4xω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．【测量目标】二倍角，两角和的正弦，函数sin()y A xωϕ=+的图象与性质，三角函数的单调性、周期性. 【考查方式】给出三角函数的解析式和周期，（1）利用三角恒等变换求解函数的周期，从而求解；（2）利用函数sin()y A xωϕ=+的性质进行分类讨论函数的单调性.【难易程度】中等【试题解析】(1)f(x)＝4cos ωx g sinπ4xω⎛⎫+⎪⎝⎭＝ωx g cos ωx＋2ωx(sin 2ωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭步骤1)因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1.（步骤2） (2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.若0…x …π2，则ππ5π2444x +剟.（步骤3）当πππ2442x +剟，即π08x 剟时，f (x )单调递增； 当ππ5π2244x +剟，即ππ82x 剟时，f (x )单调递减．（步骤4） 综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（步骤5）17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k …a …1＋k 时，求I 长度的最小值． 【测量目标】函数零点的求解，利用导数求函数的最值,导数的运算.【考查方式】(1)给出函数的关系式，转化为方程零点的问题，从而求解.(2)根据导数的运算求出导函数根据k 的取值讨论单调性，从而找出最值点并计算求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221ax a =+， 故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．(步骤1)因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +.(步骤2) (2)设d (a )＝21aa +，则d ′(a )＝22211a a -(+).令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k …a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a …1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k …a …1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．（步骤3）而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k --+.（步骤4）18．(本小题满分12分)设椭圆E ：2222=11x y a a+-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【测量目标】椭圆的标准方程与简单几何性质，直线的斜率与方程，两条直线的位置关系. 【考查方式】给出椭圆的关系式，（1）根据椭圆的几何性质求解标准方程；（2）根据直线的斜率求证. 【难易程度】中等【试题解析】(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14， 解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +.（步骤1） (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中221c a =-.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c +， 直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c -，故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c--．（步骤2） 当x ＝0时，y ＝0cy c x -，即点Q 坐标为0(0,)cy c x -. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝0y c x -.（步骤3）由于F 1P ⊥F 1Q ， 所以11F P F Q k k ⋅＝0000y yx c c x ⋅+-＝－1.（步骤4） 化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．（步骤5）19．(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos ∠COD .【测量目标】线面平行的判定，平面的基本性质，二倍角，面面垂直，线面角. 【考查方式】给出问题情境，（1）利用线线平行到线面平行，再利用平行的传递性求证；（2）先利用射影定理找出线面角，再利用二倍角在三角形中求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证明：设面P AB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内， 所以AB ∥面PCD .(步骤1)又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（步骤2） (2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF . 由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面， 所以OP ⊥CD .(步骤3)又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD . 从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，（步骤4） 故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．（步骤1） 由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ， 则OF ＝OP g tan ∠OPF ＝h g tan 60°＝3h .（步骤5） 根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP hOC OCP ==∠︒.（步骤6） 由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1， 因此(21)21OC h ==+-.（步骤7） 在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝36321OF hOC h==-(+)， 故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝22(63)1=17122---.（步骤8）20．(本小题满分13分)设函数f n (x )＝23222123nx x x x n-+++++L (x ∈R ，n ∈N *)．证明： (1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0＜x n －x n ＋p ＜1n.【测量目标】函数零点的应用，利用导数判断函数单调性，直接证明.【考查方式】给出函数的解析式，(1)利用导数的运算求出导函数，再利用函数零点的定义求证；（2）利用特殊值法代入求值，在利用放缩法求解不等式. 【难易程度】较难【试题解析】证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，()n f x '＝11+2n x xn-++L ＞0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增（步骤1）由于f 1(1)＝0，当n …2时，f n (1)＝22211123n+++L ＞0，故f n (1)…0.又2222221121131 ()3334334kk n n n k k f k ==⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-++-+=-+⎪⎝⎭∑∑ (2)112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-< ⎪⎝⎭-g，（步骤2）所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0.（步骤3）(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，（步骤4） 从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n . 对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝222102nn n n x x x n -++++=L ，①f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n pn p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+)L L ＋.② ①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n …1，得x n －x n ＋p ＝222211k k k k n p n p n n p nn p n p k k n k n x x x x k k k+++++==+=+-+∑∑∑… 21111(1)n p n pk n k n k k k ++=+=+<-∑∑…111n n p n =-<+.（步骤5）因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n.(步骤6)21．(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .【测量目标】对立事件的概率，排列与组合及其应用，不等式的基本性质.【考查方式】给出问题情境，(1)根据相互独立事件概率公式求解;(2)先分类讨论，再根据排列与组合求解概率，再利用不等式的性质求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k n k n k n --=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn kP n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.(步骤1) (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k …m …t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m kn k n k n kn k ------=.（步骤2） 此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m kn kn k k n k k kn n------=. 当k …m ＜t 时，P (X ＝m )…P (X ＝m ＋1)⇔C C m k m k k n k ---…11C C m k m kkn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2…(n －m )(2k －m )⇔m (2)(1)22k k n +-+.（步骤3） 假如k (2)(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k …2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+…t .故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值．（步骤4） (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k (2)(1)22k k n +-+＜t .因为1…k ＜n ，所以2(1)22k k n +-+－k ＝2211110222kn k k k k k n n n --(+)---=+++厖.而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++， 故2k －2(1)2k n ++＜n .显然2(1)22k k n +-+＜2k .因此k (2)(1)22k k n +-+＜t .（步骤5）。
[高考]2013年河南高三报告会：新课程背景下高考数学试题的研究—高考的变化趋势共57张PPT
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以多元化、多途径、开放式的设问背景，比较客观、 全面地测量学生观察、实验、联想、猜测、归纳、类比、 推广等思维活动的水平，激发学生探索精神、求异创新思 维.
以源于社会、源于生活的问题考查学生，有效地 测量学生抽象、概括以及建立数学模型的能力，对 学生认识世界、把握问题本质、灵活运用所学知识 分析问题、解决问题的能力.
(2011年全国新课标21,难度0.296分) 已知函数 f ( x) a ln x b .
x1 x 曲线y=f(x)在点(1， f(1))处的切线方程为x+2y–3=0．
(Ⅰ)求a、b的值； (Ⅱ)如果当x>0,x1时, f ( x) ln x k , 求k的取值范围．
x1 x
F(x)
x
2
sin
2x
π 4
1
三角函数是高中学习的重要的周期函数，考查时围绕课
标的要求，以其变换和性质为主．这类考题，常考常新，强
调对数学本质的认识，强调函数本身的性质．在第二问，在
讨论函数增区间时，增加了定义域的分析，这是对三角变换
中，不都是恒等变形的基本认识．常规题精心设计，把陷阱
设置在学生常发生错误的地方，使一些对概念的学习只限于
(2012年全国课标卷16,难度0.049) 数列{an}满足an+1 +(1)n an = 2n1，则{an}的前60项和 为 1830 .
相邻2个奇数项之和为2,相邻2个偶数项之和为4n．
本题将基础知识、基本方法、基本技能和数学素养融为一 体，在求解时，要善于从题目的条件和求解中提取有用的信 息，结合相关的知识储备，推动题目信息的延伸，归结到某 个确定的数学关系，最终确定求解方向，从而准确求解.本题 解法多样，用到的知识与技能各具特色.本题的设计为我们指 明了高中数学学习的方向，不能忽视基础和能力.
新课程背景下高考数学试题能力导向研究
新课程背景下高考数学试题能力导向研究作者：陈开懋来源：《数学教学通讯·中等教育》2013年第09期摘要：本文利用S0L0分类理论，依据解答数学试题所用思维能力的水平高低，制定出符合目前高考的试题划分标准，并将高考数学试题划分为四个S0L0层次：单点结构水平（U）、多点结构水平（M）、关联结构水平（R）和抽象扩展结构水平（E）. 根据上述标准，对四个首批课改实验区从2007年到2012年共六年的高考数学试题进行S0L0层次划分，得到了不同年份、不同地区的高考数学试卷能力结构和S0L0层次分布趋势. 最后得出新课标高考数学试题合理的能力结构分布.关键词：高考；数学；能力结构；SOLO分类理论[⇩] 问题的提出自2007年首次新课程高考，广大一线教师、教研员都对新课标下的高考数学发表了自己的见解. 以“高考数学试题”为关键词，在中国期刊网上搜索，得到上百篇与高考数学试题相关的文章. 经分类整理，主要有以下四类：第一类，关注高考数学试题的命制技术；第二类，关注高考数学试卷的整体走向；第三类，关注高考数学试题的典型例题；第四类，关注高考数学试卷和新课程的联系. 这些研究都侧重对数学试题设计的探讨，对试卷结构、知识点的统计，研究仍停留在对高考数学试题考查能力种类的划分上，对能力考查的表达仍停留在“体现能力立意”、“以能力立意为核心”之类相对模糊的叙述上，而对试题考查的能力结构的划分比较模糊，缺少对具体试题能力结构的分析研究.《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》指出，贯彻“以人为本、全面实施素质教育”，必须“坚持能力为重”，着力提高学生的“学习能力、实践能力、创新能力”. 高考作为为高等院校选拔人才的考试，受到社会的高度关注. 新课程背景下的高考数学试题如何体现新课程改革的理念？新课程背景下的高考数学试题能否体现出较好的教学导向功能和选拔功能？新课程背景下的高考数学试题对我们广大一线教师的日常教学又提出了哪些新要求？这些问题都需要一个科学、客观、有效、公正的答案. 在此，笔者以首批课改省份2007年至2012年的六年高考数学试题作为研究对象，分析评价新课标下高考数学试题在能力导向上的特点，希望为一线教师提供一些教学启示.[⇩] 试题能力结构的评价工具——SOLO分类理论澳大利亚的教育心理学教授John Biggs在皮亚杰的发展阶段论的基础上经过研究发现，个人的总体认知水平实际上是一个纯粹的理论概念，无法直接评价，将其称为假设的认知结构（Hyposhertical Cognitive Structure， HCS）.但一个人回答某一个具体问题时所表现出来的思维结构却是可以测量的，称之为可观察的学习成果结构（Structure of The Observed LearningOutcome），简称SOLO. SOLO分类理论是评价学习者在具体学习活动中产生的一系列表现. 根据学生在回答具体问题时，答案所呈现出的结构复杂性和层次的变化特点，来判断学生所处的五种不同的思维层次，即SOLO的五个结构水平：前结构水平（prestructur-al）；单点结构水平（unistructural）；多点结构水平（multistructural）；关联结构水平（relational）；抽象扩展水平（extended abstract）. 五个层次可用下图表示：上图表明，学习过程是一个由浅入深、从量变到质变的发展过程，这个过程实现了从新手到专家的转变. 五个层次中，前结构可看做是“新手”的准备阶段，单点结构和多点结构主要是对学习的“量”的描述，考查的关键是学得知识点的多少及适当的知识迁移能力. 关联结构和抽象扩展结构主要是对学习的“质”的描述，考查学生高级思维能力和提出问题、分析问题、解决问题的能力，这种考查是在以知识的“量”为积累的水平上进行的.高考数学试题SOLO能力结构的划分在新课标《考试大纲》的能力考查要求中，已对数学学科的考查能力类型作出具体的划分：运算求解能力；数据处理能力；空间想象能力；抽象概括能力；推理论证能力；实践能力；创新意识.结合《高中数学课程标准（实验）》中对认知性和学习性目标的界定，笔者认为可以将SOLO分类理论中对学生思维层次划分的方法应用于高考数学试题中，按照学生顺利解答试题所需要的思维水平的层次来划分高考数学试题的能力结构，每一个层次代表顺利解题所需要达到的思维层次，以便更清晰地了解新课程改革后高考数学试题的能力结构特点.根据Biggs的研究成果，可以将高考数学试题划分为以下四个层次：单一结构水平（U）：试题的情景素材为学生所熟悉，题干给出的信息单元或者解题所需的知识点单一，正确解答只需回忆再现一个或两个知识点.多元结构水平（M）：试题的情景素材为学生所熟悉，题干给出的信息单元为2-3个，或者正确解答应回忆再现出三个以上知识点.关联结构水平（R）：试题的情景素材陌生新颖，正确的解答需要结合试题给出的情境素材，顺利回忆、再现多个知识点，并且联系题干给出的多个信息，从整体上把握解题思路，整理、归纳答案.抽象扩展结构水平（E）：在关联结构水平上，超越问题情境，采用合乎逻辑的演绎，将相关的知识点和题干信息综合成抽象的假设，得出的结论可能不唯一.[⇩] 新课程高考数学试题SOLO能力结构统计分析笔者对课改实验区的近六年高考数学试题进行统计分析，结合高考数学的考试说明和考试大纲中对各知识点的描述情况，根据顺利解答每个小题所需的知识点数量及各知识点之间联系的紧密程度划分试题的等级，并对每一年各个省的试题能力结构层次分布特点进行横向与纵向的分析评价，力求得出高考数学试卷能力结构层次的合理结论.1. 2007-2012年高考数学试题SOLO层次特点以SOLO分类理论的U、M、R、E四个层次为横坐标，试题比例为纵坐标作图，得出四个课改实验区的髙考数学试题的SOLO层次特点示意图. 如下图所示：2. 四个课改实验区的高考数学试题SOLO层次分布走势以新课程高考年份为横坐标，试题比例为纵坐标作图，得出各个课改实验区的高考数学试题SOLO层次分布走势图.以该分布走势图为依据分析每个课改实验区的SOLO层次特点，所得结果如下所示：[⇩] 研究结论和展望1. 研究结论本文根据SOLO分类理论，利用统计分析方法，建立了评价高考数学试题SOLO层次的标准，并利用该标准对宁夏、海南、广东、山东四省首批课改实验区的新课标高考数学试卷进行SOLO层次划分，通过按高考时间的横向研究和按高考不同地区的纵向研究，得出单一时点和多重时点下的高考数学试题SOLO层次分布趋势.横向研究表明2007年至2012年的髙考数学试题的SOLO层次分布图以单峰值居多，最高峰出现在M层次和R层次试题的图线数量相当. M层次试题的主要作用是考查主干知识，增加知识点覆盖面；R层次试题主要作用是考查学生利用特定的情景素材解决数学问题的能力，突显新课程改革的理念，体现高考试卷的能力立意. 各省的SOLO图线顶峰在M层次和R层次中移动，体现命题者力图在顺应新课程改革的背景下，尝试命制出既符合本省教学实际情况又有利于选拔学生的高考试卷.纵向研究得出四个课改省份的SOLO层次分布走势图，从而可以总结出新课程改革高考六年来各个实验区的高考数学试题的稳定性和变化情况.U层次试题，考查学生基础知识掌握程度，位于SOLO层次的最底端，可以降低试卷的难度. 新课标高考六年来，四个实验区高考数学试卷的单点结构水平试题比例在经过波动之后回归到10%上下，根据上述命题走势，笔者认为U层次试题作为一种调控试卷难易程度的试题，其所占比例不会太高，合理范围应该在10%左右.M层次试题，位于SOLO层次的第二层，其主要作用是扩大高考考查的知识面，确保高考试卷知识点覆盖的全面性.该水平试题属于中等难度试题. 从课改实验区六年的SOLO层次分布图上看，四省的多点结构水平试题比例已趋向平稳，其合理范围应该在40%上下浮动.R层次试题，能体现学生高水平的思维能力，学生解答此类试题必需联系题干中的多个知识点及相关信息.海南、宁夏、广东的R层次试题，除2011年比例接近50%外；其余五年均在35%—40%之间，而山东省的R层次试题比例六年保持相对稳定，均在50%左右. 经以上分析，笔者认为这种需要运用知识点和题干信息之间相互联系来解决的R层次试题能很好体现新课程改革对高考数学的能力要求，受到许多命题专家的青睐. 因而，该层次试题的合理比例将在40%左右.E层次试题，是用来区分出基础扎实、综合能力强的拔尖人才的试题. 这类试题试题会明显提高试卷的难度，但试题数量太多时将会导致学生答题时间不够，且容易降低学生的学习积极性.四个课改实验区的该试题比例始终维持在10%左右，由此可见，该层次试题的合理比例将在40%左右.2. 研究展望由于时间、精力以及笔者学识的限制，本研究内容尚有许多有待进一步完善之处.对本研究中四个课改实验区近六年来的十八套高考数学试题的SOLO层次的定级，尽管笔者是一线教师，也经过多次反复验证，但仍感缺少专家层面的检验，因而该SOLO层次的定级存在一定的主观性. 另一方面，笔者做本研究的目的，在于尝试为高考数学试题提供一种新的分析评价工具. 因此，本文可作为案例供感兴趣的研究者参考，并期待该理论在高考数学试题评价方面得到进一步的修正和完善.[⇩] 问题的提出自2007年首次新课程高考，广大一线教师、教研员都对新课标下的高考数学发表了自己的见解. 以“高考数学试题”为关键词，在中国期刊网上搜索，得到上百篇与高考数学试题相关的文章. 经分类整理，主要有以下四类：第一类，关注高考数学试题的命制技术；第二类，关注高考数学试卷的整体走向；第三类，关注高考数学试题的典型例题；第四类，关注高考数学试卷和新课程的联系. 这些研究都侧重对数学试题设计的探讨，对试卷结构、知识点的统计，研究仍停留在对高考数学试题考查能力种类的划分上，对能力考查的表达仍停留在“体现能力立意”、“以能力立意为核心”之类相对模糊的叙述上，而对试题考查的能力结构的划分比较模糊，缺少对具体试题能力结构的分析研究.《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》指出，贯彻“以人为本、全面实施素质教育”，必须“坚持能力为重”，着力提高学生的“学习能力、实践能力、创新能力”. 高考作为为高等院校选拔人才的考试，受到社会的高度关注. 新课程背景下的高考数学试题如何体现新课程改革的理念？新课程背景下的高考数学试题能否体现出较好的教学导向功能和选拔功能？新课程背景下的高考数学试题对我们广大一线教师的日常教学又提出了哪些新要求？这些问题都需要一个科学、客观、有效、公正的答案. 在此，笔者以首批课改省份2007年至2012年的六年高考数学试题作为研究对象，分析评价新课标下高考数学试题在能力导向上的特点，希望为一线教师提供一些教学启示.[⇩] 试题能力结构的评价工具——SOLO分类理论澳大利亚的教育心理学教授John Biggs在皮亚杰的发展阶段论的基础上经过研究发现，个人的总体认知水平实际上是一个纯粹的理论概念，无法直接评价，将其称为假设的认知结构（Hyposhertical Cognitive Structure， HCS）.但一个人回答某一个具体问题时所表现出来的思维结构却是可以测量的，称之为可观察的学习成果结构（Structure of The Observed Learning Outcome），简称SOLO. SOLO分类理论是评价学习者在具体学习活动中产生的一系列表现. 根据学生在回答具体问题时，答案所呈现出的结构复杂性和层次的变化特点，来判断学生所处的五种不同的思维层次，即SOLO的五个结构水平：前结构水平（prestructur-al）；单点结构水平（unistructural）；多点结构水平（multistructural）；关联结构水平（relational）；抽象扩展水平（extended abstract）. 五个层次可用下图表示：上图表明，学习过程是一个由浅入深、从量变到质变的发展过程，这个过程实现了从新手到专家的转变. 五个层次中，前结构可看做是“新手”的准备阶段，单点结构和多点结构主要是对学习的“量”的描述，考查的关键是学得知识点的多少及适当的知识迁移能力. 关联结构和抽象扩展结构主要是对学习的“质”的描述，考查学生高级思维能力和提出问题、分析问题、解决问题的能力，这种考查是在以知识的“量”为积累的水平上进行的.高考数学试题SOLO能力结构的划分在新课标《考试大纲》的能力考查要求中，已对数学学科的考查能力类型作出具体的划分：运算求解能力；数据处理能力；空间想象能力；抽象概括能力；推理论证能力；实践能力；创新意识.结合《高中数学课程标准（实验）》中对认知性和学习性目标的界定，笔者认为可以将SOLO分类理论中对学生思维层次划分的方法应用于高考数学试题中，按照学生顺利解答试题所需要的思维水平的层次来划分高考数学试题的能力结构，每一个层次代表顺利解题所需要达到的思维层次，以便更清晰地了解新课程改革后高考数学试题的能力结构特点.根据Biggs的研究成果，可以将高考数学试题划分为以下四个层次：单一结构水平（U）：试题的情景素材为学生所熟悉，题干给出的信息单元或者解题所需的知识点单一，正确解答只需回忆再现一个或两个知识点.多元结构水平（M）：试题的情景素材为学生所熟悉，题干给出的信息单元为2-3个，或者正确解答应回忆再现出三个以上知识点.关联结构水平（R）：试题的情景素材陌生新颖，正确的解答需要结合试题给出的情境素材，顺利回忆、再现多个知识点，并且联系题干给出的多个信息，从整体上把握解题思路，整理、归纳答案.抽象扩展结构水平（E）：在关联结构水平上，超越问题情境，采用合乎逻辑的演绎，将相关的知识点和题干信息综合成抽象的假设，得出的结论可能不唯一.[⇩] 新课程高考数学试题SOLO能力结构统计分析笔者对课改实验区的近六年高考数学试题进行统计分析，结合高考数学的考试说明和考试大纲中对各知识点的描述情况，根据顺利解答每个小题所需的知识点数量及各知识点之间联系的紧密程度划分试题的等级，并对每一年各个省的试题能力结构层次分布特点进行横向与纵向的分析评价，力求得出高考数学试卷能力结构层次的合理结论.1. 2007-2012年高考数学试题SOLO层次特点以SOLO分类理论的U、M、R、E四个层次为横坐标，试题比例为纵坐标作图，得出四个课改实验区的髙考数学试题的SOLO层次特点示意图. 如下图所示：2. 四个课改实验区的高考数学试题SOLO层次分布走势以新课程高考年份为横坐标，试题比例为纵坐标作图，得出各个课改实验区的高考数学试题SOLO层次分布走势图.以该分布走势图为依据分析每个课改实验区的SOLO层次特点，所得结果如下所示：[⇩] 研究结论和展望1. 研究结论本文根据SOLO分类理论，利用统计分析方法，建立了评价高考数学试题SOLO层次的标准，并利用该标准对宁夏、海南、广东、山东四省首批课改实验区的新课标高考数学试卷进行SOLO层次划分，通过按高考时间的横向研究和按高考不同地区的纵向研究，得出单一时点和多重时点下的高考数学试题SOLO层次分布趋势.横向研究表明2007年至2012年的髙考数学试题的SOLO层次分布图以单峰值居多，最高峰出现在M层次和R层次试题的图线数量相当. M层次试题的主要作用是考查主干知识，增加知识点覆盖面；R层次试题主要作用是考查学生利用特定的情景素材解决数学问题的能力，突显新课程改革的理念，体现高考试卷的能力立意. 各省的SOLO图线顶峰在M层次和R层次中移动，体现命题者力图在顺应新课程改革的背景下，尝试命制出既符合本省教学实际情况又有利于选拔学生的高考试卷.纵向研究得出四个课改省份的SOLO层次分布走势图，从而可以总结出新课程改革高考六年来各个实验区的高考数学试题的稳定性和变化情况.U层次试题，考查学生基础知识掌握程度，位于SOLO层次的最底端，可以降低试卷的难度. 新课标高考六年来，四个实验区高考数学试卷的单点结构水平试题比例在经过波动之后回归到10%上下，根据上述命题走势，笔者认为U层次试题作为一种调控试卷难易程度的试题，其所占比例不会太高，合理范围应该在10%左右.M层次试题，位于SOLO层次的第二层，其主要作用是扩大高考考查的知识面，确保高考试卷知识点覆盖的全面性.该水平试题属于中等难度试题. 从课改实验区六年的SOLO层次分布图上看，四省的多点结构水平试题比例已趋向平稳，其合理范围应该在40%上下浮动.R层次试题，能体现学生高水平的思维能力，学生解答此类试题必需联系题干中的多个知识点及相关信息.海南、宁夏、广东的R层次试题，除2011年比例接近50%外；其余五年均在35%—40%之间，而山东省的R层次试题比例六年保持相对稳定，均在50%左右. 经以上分析，笔者认为这种需要运用知识点和题干信息之间相互联系来解决的R层次试题能很好体现新课程改革对高考数学的能力要求，受到许多命题专家的青睐. 因而，该层次试题的合理比例将在40%左右.E层次试题，是用来区分出基础扎实、综合能力强的拔尖人才的试题. 这类试题试题会明显提高试卷的难度，但试题数量太多时将会导致学生答题时间不够，且容易降低学生的学习积极性.四个课改实验区的该试题比例始终维持在10%左右，由此可见，该层次试题的合理比例将在40%左右.2. 研究展望由于时间、精力以及笔者学识的限制，本研究内容尚有许多有待进一步完善之处.对本研究中四个课改实验区近六年来的十八套高考数学试题的SOLO层次的定级，尽管笔者是一线教师，也经过多次反复验证，但仍感缺少专家层面的检验，因而该SOLO层次的定级存在一定的主观性. 另一方面，笔者做本研究的目的，在于尝试为高考数学试题提供一种新的分析评价工具. 因此，本文可作为案例供感兴趣的研究者参考，并期待该理论在高考数学试题评价方面得到进一步的修正和完善.。
新课程标准下高考数学命题模式与教学策略研究
考点聚焦新课程标准下高考数学命题模式与教学策略研究■樊国强摘要：在新课标的大背景下，数学高考试题往往是将传统课程当中的数学知识与新课程中的内容进行有机融合，既强化了试题当中的综合性，又让新增内容的能力考察功能得以凸显。
故而，教师根据高考改革的新命题模式进行教学策略的规划是尤为重要的。
关键词：新课程标准；高考；数学命题模式；教学策略随着新课程标准的不断深入和推广，现代教育领域对高中数学教学提出了更全面的要求，数学高考也随着教学方式的改变而革新，更侧重于培养学生的创新精神和应用意识。
因而，高中数学教师就要充分挖掘新高考的教学方向，并突破传统教学模式的枷锁，创新教学内容、改革教学方法，努力探究高考命题新模式，采用更科学、合理、有效的教学策略，使学生最终在高考中获得优异的成绩。
一、新课程标准下高考数学命题模式探究（一）整体设计试题高考的重要目标之一即为考查学生对基础知识的理解程度、掌握程度、运用程度。
在高考中，既要全面考察数学基础知识，又不刻意根据刻板的百分比进行知识点的分布，对于支撑知识体系的主干知识，考试中会给予较高的比例和深度。
高中数学教学的目的之一就是根据学生的实际情况，构建符合个体特征的知识结构。
数学高考命题模式反对学生通过死记硬背深化知识，但并不排除对基础概念性知识的记忆，如：“函数是什么？”、“三垂线定理的内容是什么？”等等。
学生是否能够灵活运用基础知识和基本理论，是高考数学命题贯彻“实际操作能力和数学理论知识结合”原则的前提，也是新课程标准下数学教学的必然发展趋势。
（二）数学命题体现数学思想和方法数学思想和方法是数学知识在更高层次上的概括，其既体现在数学知识不断发展的过程中，又体现在学生灵活运用数学知识的过程中。
故此，在考查学生数学知识掌握程度时，考察数学思想和方法是必然的。
数学思想方法有观点和思想的属性，是对数学知识更深层次的提炼和概括，在高考中，“特殊和一般”、“类比和比较”、“综合和分析”等等都是考查学生是否具有分析与解决问题能力的普通方法。
2013江西高考数学试卷评析及备考建议宜春中学杨文涛
2013江西高考数学试卷评析及备考建议杨文涛2013年的江西高考数学试卷难度不大，但要拿高分也不容易。
2013年的江西高考数学试卷，遵循《普通高中数学新课程标准（实验）》和《2013年江西省普通高考数学科考试说明》的各项要求。
重点考查高中数学的主体内容，主干知识，适当考查新课标的新增内容，体现了新课程改革的理念。
试卷在考查基础知识、基本技能和基本思想的基础上，突出了对考生空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识的考查。
和2012年高考比较，文理科试卷整体难度都略高于去年，命题上沿袭了去年的风格，如理科小题依旧考了集合、函数的定义域、推理与证明、统计、函数图像、程序框图、数列、圆锥曲线、极坐标与参数方程、不等式等内容；文科小题依然考了复数、集合、三角函数、推理与证明、统计、三视图、圆锥曲线、数列、程序框图、不等式等内容。
概率的大题依然和去年一样与几何相结合。
试卷总体上稳中有变，注重双基，尤其是文理科的第3题，都是来源于课本的数列练习题和二倍角公式运用。
选择题最后一题依然是江西特色的传统题：即函数图像题，但今年难度略低。
文理科大题的技巧和计算量均有一定增加，理科17题数列的裂项相消学生较难看出，文理科第20题方法简单但计算量都比较大。
最后一题难度和计算量都较大。
对支撑高中数学学科的主干知识模块，如三角、数列、概率及统计、函数及导数、立体几何、解析几何等继续进行了重点考查；对新增内容继续进行了部分考查，难度适中，体现命题专家坚定推行新课程改革的决心及勇气，也充分遵循了《考试说明》中“难度适中”的命题原则。
试题很好地照顾了不同层次的考生对基本概念、公式、定理等掌握的情况。
试卷整体具有较高的信度、效度和区分度，达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的目标。
有利于为高校选拔人才，使学生进入大学后更快地与大学接轨；有利于中学教学实际，更好地指导中学数学教学；有利于新课标的改革，更好地向新课标过渡；有利于提高各类学生对数学学习的兴趣和学习能力。
高考数学试题的功能研究
地促 进数学命题 规划和研 究 ，有利 于实现选拔 要求 与数 学问题 的测试功 能的对接．一 是 因为不 同时期 的高考 目的要 求是有所不 同 的｛二是不 同时能也 在变化．
２０ ０９年第 ９期
福建 中学数学 ３２数学思想 、数 学方法素质考查 功能 ．
本能力． 因此 。 考查学生的运算 能力 的试题可以设计 成考查运算单一基本能力的单一能力题型 ，如能单独 考查探究运算方 向的题 ； 可以设计成综合考查几个 也
单一基本 能力的题型，如综合考查分析运算条件 、探
能 之为试题的客观 功能．在数学命题的过程 中，如 称 果试题 的客观功能小于 目标功能 ，那么这样 的题是不
性， 其命题是被要求在课标范围之 内进行的 ，因此 ， 作 为 高考 的试 题 及功 能 都 受到 一 定 的客观 现 实 限
制．在实 际的拟题 中，我们是依据课标 在考试大纲的 内容范围内进行 拟题设计 的，最初设计成 的题其测试 功能是相对 比较随机的，它是在“ 试题” 成型后 自然形 成的 ，所 以，我们把“ 试题” 的这种 自然形成形式 的功
能作 为试题的 ；只有试题的客观功 能大于 目标功能才 是被允许 的．
究运算 方 向、选择 运算公 式三个单一 基本 能力 的题 型．这样在主观 上我们就可以赋 予高考数学试卷有梯 度的考查学生运算能力 ， 即在主观上可 以赋予试题有 区分度的考查运算功能．当然知识与技能的分类排序
是较容易的，这里就不 多说 了． 作 为命题者 ，试 题 的 目标 功 能一 经提 出来 ，一 般 是不 去改变它 的 ，在命 制试题 中人们是通 过改变 试题 的结构 ，条 件等来使 试题 的客观 功能逼近 试题 的 目标 功 能的．但有 时局 限于命题 实 际，也 会对 目
2013湖北高考数学试卷分析与专家点评
2013高考数学试卷分析与专家点评（湖北卷）“稳定和创新”是2013年湖北省高考数学试卷的总体特征，既体现了新课改精神，又贴近新课程教学的实际;今年理科试卷的起点和难度较低，体现人文关怀，又注意甄别选拔功能，既强调依纲靠本，又注重适度创新。
有部分题目较新颖，属于探究式问题，重点突出对学生能力的要求;选择题与填空题重点突出新课标新增内容的知识以及高中数学六大主干知识板块内容的考察，其中新课标新增加的内容难度不大，学生在此处比较容易得分;主干知识依然突出对基本概念、基本思想和基本方法的考察。
此外，选择题第9题考察了期望，题目较简单，计算量略大;填空题13题依然与去年一样考察了柯西不等式，学生只用考虑等式成立条件，就可以轻松解出此题，填空题14题考察了推理与证明，与去年相似，总体突出对学生归纳总结能力的考察;解答题第一个解三角形的题比较常规，学生只需要注意边角转化，正确运用正弦定理就可以解出此题数列题第一问求的是等差数列的通项公式，考生运用等比数列性质求解即可，第二问属于数列与不等式综合的存在性问题，难度适中，与平时练习区别不大。
立体几何，第一问属于探究式问题，第二问与传统的求线面角或已知线面角判断点的位置有所不同，需要学生先用参数求出所需要的角，再证明一个恒等式。
第19题这次没有考分布列与期望，第一问考的是正态分布，好在题目提供了公式与参考数据，学生虽平时复习时易忽略此处，但相信大部分考生依然能正确解出此题，第二问属于线性规划的应用题，考生一般都能解出但应注意格式，这个其实也在警示我们复习时要注意那些我们容易忽略的考点。
圆锥曲线第一问考上只需要考虑一个特殊情况即可，可以很轻松解出此题，第二问其实只是将第一问的结论一般化，计算量较大，但总体难度较去年减小。
压轴题依然考察的是导数与不等式的综合问题，学生第一问一般都能得分，第二问是利用第一问结论去证明，考生只需将所需证明结论还原为第一问函数形式即可，第三问总体难度较大。
新课程背景下数学学科高考命题趋势及应对策略
新课程背景下数学学科高考命题趋势及应对策略摘要：随着教育体制改革的不断推进，为使学生能尽快适应新课程的教学，高三数学老师要提高透视高考数学命题的能力，进一步优化高三数学的教学工作，提高教学质量和效果。
本文对目前高三数学教学的情况作了详细的分析，对存在的问题提出了解决的方案，希望对高三的数学教育尽绵薄之力。
关键词：高考数学命题对策对高三学生来说，所有学科的学习都是以参加高考为最终目标，因为数学具有较强的逻辑性，加之高三的学习任务繁重，学生要复习的知识点不计其数，无形之中就增加了高三数学学习的难度。
如下主要立足于当前新课程背景，分析目前高三数学教学的情况，结合数学学科高考命题趋势，探究具体的应对策略。
一、目前高三数学教学存在的不足1.无法准确掌握考试重点高考命题基本上都与考试大纲紧密相联系，在大方向相同的情况下每年都有所不同，特别这几年来，高考数学的命题出现了许多新的题型，对此，高三数学老师在进行高考总复习的过程中绝不能忽视这一状况，必须认真对待，不能掉以轻心，老师们还要对高考新发展趋势加以研究，带领高三学生进行有针对性的数学的总复习。
但在较短的时间里对《考试说明》还无法达到一个全面的理解，对其分析策略也不能准确掌握，即使目前的新趋势已引起了极大关注，但仍然无法对新增知识点进行更透彻的了解和研究。
2.教师无法对学生的高三数学总复习做到及时引导和强化训练高考的总复习是老师和学生之间互动的过程，通过大量的测试，老师能及时掌握每个学生存在的不足，然后有针对性地进行强化，有效提高复习效果。
但目前我国的高中依旧采用满堂灌的授课模式，面对紧张的高考总复习，老师们根本无法做到有针对性的教学，使学生们无法准确地把握总复习的正确方向，进而导致学生的实战能力普遍偏低。
3.对学生数学应用能力的培养没有引起足够的重视在高中的数学学习中，学生的数学实际应用能力占很大比重，只有掌握牢固的基础知识并不断地对其进行巩固和强化，才能有效提高学生的实际应用能力，但由于时间短，任务重，高三的老师在授课过程中顾虑重重，一边是担心学生无法透彻地掌握数学重点知识，所以对重点知识反复强调，一边是没有时间提高学生的数学表达能力，无法做到以实践为主的数学教学，这种状况严重影响了学生对知识点之间交叉融合能力的提高，也影响了学生数学的综合运用能力，使学生无法灵活的应对高考，答题精准度始终不高。
课程标准下数学高考命题的研究
课程标准下数学高考命题的研究一、概述随着教育改革的深入推进，数学课程标准也在不断完善和发展，为高考数学命题提供了更加明确的方向和依据。
高考作为选拔人才的重要途径，其命题质量直接关系到考生的切身利益和教育公平。
对课程标准下数学高考命题的研究显得尤为重要。
本研究旨在通过分析数学课程标准的基本理念、课程目标、内容标准以及评价建议，探讨高考数学命题的指导思想、基本原则和具体方法。
我们将重点关注命题如何体现课程标准的理念，如何结合课程内容的实际，以及如何有效地考查考生的数学素养和综合能力。
1. 高考作为选拔性考试的重要性高考，作为中国教育体系中的核心环节，一直被视为衡量学生知识水平、思维能力以及学习成果的重要标准。
其重要性不仅在于它对于学生个人发展的影响，更在于它对于国家选拔优秀人才、推动教育公平、提升教育质量的深远意义。
高考是选拔优秀人才的重要途径。
在高考中，数学作为一门基础学科，其命题质量直接关系到选拔结果的准确性和公正性。
通过科学合理的数学高考命题，可以全面、客观地评价学生的数学素养和思维能力，从而选拔出具有扎实数学基础和优秀思维能力的学生，为国家的科技创新和社会发展提供有力的人才保障。
高考对于推动教育公平具有重要作用。
在我国，高考是实现教育公平的重要途径之一。
通过统一的高考制度，不同地区、不同学校的学生可以在同一平台上进行竞争，从而获得平等的教育机会。
这种公平性的实现，离不开数学高考命题的规范化和标准化。
只有确保命题的公正性、科学性和客观性，才能确保每个学生都能在高考中展示自己的真实水平，实现教育资源的公平分配。
高考对于提升教育质量具有积极的促进作用。
数学高考命题的研究不仅关注试题本身的质量和难度，更关注试题背后所反映的教育理念和教学要求。
通过对数学高考命题的深入研究，可以推动数学教学内容的更新和优化，引导教师更加注重培养学生的数学素养和思维能力，从而提升整个数学教育的质量和水平。
高考作为选拔性考试的重要性不言而喻。
2013年高考数学学科的好题分析
2013年好题分析2013.8近年高校录取率已达到70%的情况下，高考改革顺利进行，高职与本科分类考试、本科统考、甄选特殊才能学生的自主招生等形式，形成了不同类别的类考试既各司其职又相互衔接，全方位实现高考的选拔功能．在这样的大形势下，2013年高考试题的改革必然又上了一个新的平台，显示了试卷加强了对全体考生的区分功能，体现了关怀每一位考生、让每一位考生展示、发挥学习水平的理念．很多省市的数学试卷，在试卷的总体结构和考查重点上都有所调整，更加重视学科思想和学科思维的考查．学科味道厚重，同时引导考生关注社会和科技的发展，渗透人文精神．突出考查了课程的主干知识和要着重培养的核心能力，加强了对数学本质和数学思想方法的考查．引导中学数学教学将注意力放在学科的核心内容上，更好地教学生掌握数学基础知识、基本技能和思想方法，夯实打牢一生发展的基础，形成可持续发展的能力．不少省市的数学试卷，难、中、易试题比例有所调整，中等题与容易题的比例增加，总体难度合理，有效的对高中生学业水平和数学能力进行考查，促进高中数学教学的发展，提高学生学习数学的兴趣，对中学数学教学有好的指导作用．即使区分高端考生的题目，也下了很大功夫，精心设计，做了铺垫，体现了“‘不超标’不仅仅是对考核的知识和能力的范围而言的，也包含了对如何考核高层次能力卷的限定”的原则，命制了很高水平的漂亮试题，改变了考生望而却步，直接放弃的作法．2013年的高考数学试卷的改革是在原有特色的基础上，又增加了新的亮点．试题背景新颖，内涵丰富，解法质朴、思想深刻．试题在内容和呈现方式等多方面不断渗透新课程理念，体现了对学习方式、探究及创新能力等方面的考查．在命题思路、考查方式、能力立意、试题难度、试题呈现方式诸多方面保持稳定，保持了大气、稳重、平和、亲切的风格．一．考查基础知识的试题也能有好的区分度新课改后，陕西连续几年出了考查课程中最基本内容的解答题，形成了试题的一个重要的特色，如2011年的“叙述并证明余弦定理”；2011年的证明三垂线定理及逆定理．今年又有如下的试题：(2013年陕西理17). (本小题满分12分)设{}a是公比为q的等比数列.n(Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列. (2013年陕西文19) 设S n 表示数列{a n }的前n 项和． (Ⅰ) 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式；(Ⅱ) 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有1,1nn q S q-=-判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．所考查的内容都是课程标准、考试大纲要求掌握的基本、重要的内容，这样的内容都是最基本的东西，反映了数学最本质的内容．把这些内容作为高考解答题的考查对象，即体现了“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”的原则，也在区分中端、甄别70%考生有良好的作用．(2013年北京理13)向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若λμ=+c a b (,λμ∈R )，则λμ= ． 本题主要考查了平面向量的基础知识，它的解法多样，但是必须在对向量的基本概念、向量的运算及向量基本定理等反映向量本质理解深刻，才能找到最优的解法并得到正确的答案．题目不难，多数考生都能不同层次解答此题，但是它却有好的区分度，尤其对中间考生区分更好，保证了选拔功能．(2013年湖北理18)(12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2﹣a 3|=10，a 1a 2a 3=125． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)是否存在正整数m ，使得121111?na a a +++≥ 若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得()3311115125,5,,3110,1,3,a q a a a q q q q ⎧⎧==-=⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨-==-⎩⎪⎪⎩=⎩或 故1533n n a -=⋅或a n = -5⋅(-1)n -1．(Ⅱ)若1151313,.353n n n n a a --⎛⎫=⋅⇒=⋅ ⎪⎝⎭故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3,5公比为13的等比数列， 从而12311531119191 1.11031013nn n a a a ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==⋅-<<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-若a n = -5⋅(-1)n -1，则()1111,5n n a -=-⋅-故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,5-公比为-1的等比数列，从而12121,,111111 1.50,n nn a a a a a a n ⎧-⎪+++=⇒+++<⎨⎪⎩ 为偶数为奇数.综上，对任何正整数m ，总有121111.na a a +++< 故不存在正整数m ，使得121111na a a +++≥ 成立． 本题是湖北理科试卷六个解答题中的第二个，考查的都是数列的最基础的知识：项、通项、前n 项和、数的大小比较，解答此题运用的方法也是最基本的：解含绝对值的方程组、分类讨论．大部分学生都可以上手解答，但能正确顺利解答整个题目却需要对数列知识及数学方法的熟练掌握，思维清晰，有一定的运算功底，它在淘汰低端考生、区分中等水平的考生甚至高端考生都会起一定的作用．我们认为考查基础知识的试题也能有好的区分度，数学基础知识是数学课程的核心内容，以这些基础知识为载体，都能设计出一些很好的数学试题．2013年很多试卷中都有这样的好的试题，既能有效的考查高中生学业水平和数学能力，又能保证选拔功能，还对促进高中数学教学的发展有良好的导向作用．二．最基本的内容是可以用来把关的每份试卷都一些把关题，分布在选择题、填空题和解答题中，如何设计数学试卷的把关题，是命题者命题水平高低的试金石．个别试卷把课程中一些非主干、相对次要的内容，超越一般性“理解”的范围作为载体考查，题目的难度也往往很高．但是这样做，尽管从学科完备性角度讲有一定的合理性，却会引导教学降低真正属于教学核心内容的部分的权重，有可能使教学重心偏离课程的核心，不符合课程改革的方向和发展趋势．高考配合减负和素质教育，就是要导引教学回归课程基础内容、核心内容，让学生把这些基础的、核心的内容掌握得更好，重点掌握原理、思想、方法．因此，在高考命题中，对基础和核心内容的考查，无论是在内容比例还是分数权重上都应该是重点．即便是把关题，也最好是尽量难在基础和核心内容的考查上．今年不少高考数学试卷中，都有一些漂亮的、优秀的把关题．(2013年福建理9)已知等比数列{a n }的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+++=)1(2)1(1)1( ，m n m n m n m n a a a c +-+-+-⋅⋅⋅=)1(2)1(1)1( ，*),(N n m ∈则以下结论一定正确的是( )A . 数列{b n }为等差数列，公差为m qB . 数列{b n }为等比数列，公比为m q 2C . 数列{c n }为等比数列，公比为2m q D . 数列{c n }为等比数列，公比为mm q 分析：()()()()211111,1mm n m n m n m n m n q q b a q a q a qa q------=+++=⋅-()111111,mn m n mn mn m n m n b a a q q b a a q-+---=== 数列{b n }为等比数列，公比为.mq2)1()1()1(2)1(1)1(--+-+-+-⋅=⋅⋅⋅=m m mn m m n m n m n m n qaa a a c()()21111)1(1m mm mn mmn m n m m mn n n q q a q a a a c c ===----+数列{c n }为等比数列，公比为2.m q本题以等比数列的部分项的和、积为背景，生成两个新数列，需将问题回归到等差、等比数列的基本性质，探究出两个数列的通项，作出判断．题目对阅读理解有较高要求，要对数列中的项、项数、变量、不变量等重要概念及抽象的字母有着“清醒”的认识，读出题目的本质特征---刻画的就是一个等比数列的前m 项的和、积的性质，想一想、算一算，就能得出正确答案．但是能做到这些并不容易，该题能有选拔把关的功能．(2013年山东理16)定义“正数对”：0,01,ln ln , 1.x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln +(a b ) = b ln +a ； ②若a >0，b >0，则ln +(ab ) = ln +a +ln +b ； ③若a >0，b >0，则ln ln ln ;a a b b +++⎛⎫≥-⎪⎝⎭④若a >0，b >0，则ln +(a +b )≤ln +a +ln +b +2．其中的真命题有 ①③④ (写出所有真命题的序号) 解：对于①，由定义，当a ≥1时，a b≥1，故ln +(a b)=ln(a b)=b ln a ，又b ln +a =b ln a ，故有ln +(a b)=b ln +a ；当a <1时，a b<1，故ln +(a b)=0，又a <1时b ln +a =0，即ln +(a b)=b ln +a ． 可知①正确；对于②，此命题不成立，可令12,,3a b ==则2,3ab =由定义ln +(ab )=0，ln +a +ln +b =ln2，所以ln +(ab )≠ln +a +ln +b ；由此知②错误；对于③，当a ≥b >0时，1,a b ≥此时ln ln 0,a a b b +⎛⎫⎛⎫=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当a ≥b ≥1时，ln ln ln ln ln ,a a b a b b ++⎛⎫-=-=⎪⎝⎭此时命题成立； 当a >1>b 时，ln ln ln ln ,a a b a b ++⎛⎫-=<⎪⎝⎭故命题成立； 同理可验证当1>a ≥b >0时，ln ln ln ;a a b b +++⎛⎫≥-⎪⎝⎭成立；故③正确； 对于④，可分a ≤1，b ≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论，依据定义判断出④是正确的故答案为①③④.本题表面形式上做了一个新的定义0,01,ln ln , 1.x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，但事实上，这就是一个分段函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<=1,ln 10,0)(x x x x g ，即当10<<x 时，为常数函数，当1≥x 时完全具备底数大于1的对数函数的性质．于是学生在分析题目中所呈现的一些性质时，就可以分析题目中出现的b a baab a b+,,,与数字1的关系，从而看是否具备相关性质．题目把高中数学中最重要的函数模型“对数函数”做了一些巧妙的包装，有效的考查了考生对数学中核心知识和方法掌握的情况，考查了分析问题解决问题和自主学习的能力，富有思考性和挑战性，是今年山东卷的点睛之笔．(2013年全国新课标Ⅰ卷理20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求∣AB ∣.解：(1)由圆M ：(x +1)2+y 2=1，可知圆心M (−1，0)，半径1；圆N ：(x −1)2+y 2=9，圆心N (1，0)，半径3．设动圆的半径为R ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切， 则∣PM ∣=R +1，∣PN ∣=3-R ， ∣PM ∣+∣PN ∣= 4， 而∣MN ∣=2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，a =2，c =1，b 2=a 2-c 2=3．故曲线C 的方程为221.43x x += (2)圆M 与圆N 内切，半径差为2，故动圆P 的半径R ≤2. (由于∣PM ∣-∣PN ∣=2R -2≤4-2=2，所以R ≤2) 当且仅当⊙P 的圆心为(2，0)，R =2时，其半径最大，其方程为(x -2)2+y 2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得AB=②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，由平面几何知切线l的斜率：4k==±设l与x轴的交点为Q，则()1,4,0.2QMQQP=⇒-l的方程为()4.4y x=±+得)2224,47880,1,43y xx xx y⎧=+⎪⎪⇒+-=⎨⎪+=⎪⎩故18.7AB==由于对称性可知：当l的方程为)44y x=-+时，也有18.7AB=综上可知：AB=18.7本题是一道比较难的试题，有是一道好的试题，题目把直线、圆、椭圆融合在一起，考查了解析几何最本质的东西：用代数方法研究几何问题．试题首先要分析圆与圆的位置关系，利用椭圆定义得出曲线C的方程．再要依题设条件分析出动圆P中半径最长的定圆，问题就转化为直线与椭圆相交，讨论相交弦长的常规问题．该题好在准确把握解析几何的研究对象：几何图形的性质，准确把握解析几何的研究方法：解析法．运算量适中，借助图形分析，一步步找到解决问题的突破口．无论对知识的理解、对数学思想方法的掌握、数学能力的表现都有较高要求，但是题目所涉及的内容全部都是基础的、核心的内容．可见最基本的内容是可以用来把关的．三．不超纲照样可以命制区分高端考生的难题．高考试卷中必然会有难题，用来区分高端考生．2013年多数高考试卷中都有好的、严格遵循课程标准和考试大纲的难题．以数学的核心内容、核心方法、核心思想可以命制不超纲区分高端考生的难题．(2013年北京理20)(本小题共13分)已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,n n a a ++ 的最小值记为n B ，n n n d A B =-．(Ⅰ)若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3, ，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，4n n a a +=)，写出1d ,2d ,3d ,4d 的值；(Ⅱ)设d 是非负整数．证明：n d d =-(1,2,3,n = )的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列；(Ⅲ)证明：若12a =，1n d =(1,2,3,n = )，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．解：(Ⅰ)121d d ==，343d d ==．(Ⅱ)(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且0d ≥，所以12n a a a ≤≤≤≤ ．因此n n A a =，1n n B a +=，1n n n d a a d +=-=-(1,2,3,n = )． (必要性)因为0n d d =-≤(1,2,3,n = )，所以n n n n A B d B =+≤． 又因为n n a A ≤，1n n a B +≥， 所以1n n a a +≤．于是，n n A a =，1n n B a +=． 因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=， 即{}n a 是公差为d 的等差数列．(Ⅲ)因为12a =，11d =，所以112A a ==，1111B A d =-=． 故对任意1n ≥，11n a B =≥． 假设{}n a (2n ≥)中存在大于2的项． 设m 为满足2m a >的最小正整数，则2m ≥，并且对任意1k m <≤，2k a ≤． 又因为12a =，所以12m A -=，且2m m A a =>．于是，211m m m B A d =->-=，1min{,}2m m m B a B -=≥． 故111220m m m d A B ---=--=≤，与11m d -=矛盾．所以对于任意1n ≥，有2n a ≤，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2． 因为对任意1n ≥，12n a a =≤， 所以2n A =．故211n n n B A d =-=-=．因此对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =，即数列{}n a 有无穷多项为1． 本题以高中数学主干知识数列为背景命制，在知识层面，涉及到周期的概念、等差数列的概念等，在能力层面，借助研究数列的一般方法，综合考查考生的抽象概括能力、推理论证能力以及分析问题解决问题的能力．试题有深刻的数学背景，鲜明的数学特色，文字语言、符号语言相融合的抽象表述．由于创新与独特，所以参考书中看不到，考生事先准备不了，能回答此题，必得有真才实学，很高的学习与研究数学的水平．但是所用的知识与方法都紧扣课程标准，体现了“‘不超标’不仅仅是对考核的知识和能力的范围而言的，也包含了对如何考核高层次能力卷的限定”的原则．本题设问层次分明，有“亲民”的特点．较大比例的考生能够发挥其良好的数学素养，作出第一问；部分考生能解答第二问，表现较高的数学学习水平；少数有卓越的数学功力的考生才能完满的解答完全题．该题把关把得“靠谱”，说明难题不回避基础概念、基本方法，不超越课标和考试说明范围，同样能够很好地考查核心能力，实现区分尖端考生的目标．(2013年浙江理22)已知a ∈R ，函数f (x )=x 3−3x 2+3ax −3a +3． (1)求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x ∈[0，2]时，求|f (x )|的最大值．解：(1)因为f (x )=x 3−3x 2+3ax −3a +3，所以f '(x )=3x 2−6x +3a ， 故f '(1)=3a −3，又f (1)=1，所以所求的切线方程为y =(3a −3)x −3a +4. (2)由于f '(x ) =3(x −1)2+3(a −1)，0≤x ≤2．故当a ≤0时，有f '(x )≤0，此时f (x )在[0，2]上单调递减，故 |f (x )|max =max {∣f (0)∣，∣f (2)∣}=3−3a ．当a ≥1时，有f '(x )≥0，此时f (x )在[0，2]上单调递增，故 |f (x )|max =max {|f (0)|，|f (2)|}=3a −1．当0<a <1时，由3(x −1)2+3(a −1)=0，得()()()12121211,3.x x x x f x x x x x '==+⇒<=--x 0 (0,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,2) 2 f '(x ) + 0 - 0 + f (x )3-3a↗极大值 f (x 1)↘极小值 f (x 2)↗3a -1所以函数f (x )的极大值()(1121f x a =+-极小值()(2121f x a =-- 故f (x 1)+f (x 2)=2>0，()()(12410.f x f x a -=->从而f (x 1)>∣f (x 2)∣．所以∣f (x )∣max =max {f (0)，∣f (2)∣，f (x 1)}． 当203a <<时，f (0)>|f (2)|，又()()(()2134021230.a a f x f a a --=--=>故()()(1max121f x f x a ==+-当213a ≤<时，f (2)≥f (0)．又()()(()213422132a a f x f a a --=--=所以当2334a ≤<时，f (x 1)>|f (2)|．故()()(1max121f x f x a ==+-当314a ≤<时，f (x 1)≤|f (2)|， 故f (x )max =|f (2)|=3a −1．综上所述(max 33,0,3()1210,4331,.4a a f x a a a a ⎧⎪-≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩ 本题是浙江省的压轴题，只是把求闭区间上的含参数的三次函数最值的常规问题变化为求相应的绝对值函数的最值问题．研究问题的基本方法与基本思路不变，只有真正理解根据导函数的结构特征，讨论函数的变化，解决最值的方法实质，有很强的运算功力，头脑清晰，思维严谨才能解好此题．体现了通性通法，回避了特殊技巧，彰显“数学在根本上是靠概念而不是玩技巧的”．总之，只要下了大功夫，精心设计，就可以有“不超标”，又考核高层次能力的高水平的漂亮试题．四．给全体考生展示自己学习水平是高考命题的基本理念．随着高考录取率的增加，高考的淘汰功能降低，最优秀的个别数学优秀生又有其他选拔途径．数学高考需要区分全体考生，按不同层次排列70%以上的考生．高考由考核的功能转化让考生展示与考核兼顾的功能．我们曾在多篇文章中呼吁“给全体考生展示自己学习水平，让多数考上大学的考生，数学成绩及格．”只有这样，考生才能感到，多年的努力学习终能取得好成绩，有了成就感，对未来继续学好数学充满信心，符合发展性评价理念．2013年的数学试卷，不少省市增加了基础题、容易题、中等题的比例，总体难度适当降低，不仅提高学生学习数学的兴趣，对中学数学教学有好的指导作用．同时试卷具有良好的选拔功能，对不同水平的学生有很好的区分作用，为各类高校选拔合格新生提供可靠依据．A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}本题中正确理解()f x x表示(x ，f (x ))点与原点连线的斜率是解答的关键．题目以函数为载体,将数形结合的思想有机地融为一体,题面新颖而又不偏不怪．既有课本例题的影子，又对常归的表述有所变化．符合多数考生可解的水平．(2013全国新课标Ⅰ卷理11)已知函数()()22,0,ln 1,0,x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A 、(－∞，0]B 、(－∞，1]C 、[－2，1]D 、[－2，0]二次函数和对数函数是考生必须应知应会的内容，本题用分段函数的形式联系二者，并与一次函数比大小，这样的设计，是多数考生能够解答，又具有高考试题的味道，不是死记硬背能成的．(2013年江苏理15) (14分) 已知()()cos ,sin ,cos ,sin ,a b ααββ==0<β<α<π．(1)若a b -= 求证：.a b ⊥(2)设c =(0，1)，若,a b c += 求α，β的值．解：(1)由()()cos ,sin ,cos ,sin ,a b ααββ==则()cos cos ,sin sin ,a b αβαβ-=--由()222cos cos sin sin 2,a b αβαβ-=-+= 得cos αcos β+sin αsin β=0．所以0,.a b a b ⋅=⇒⊥(2)由()()cos cos ,sin sin 0,1,a b αβαβ+=++=得 ()cos cos 0,1cos .sin sin 1,2αβαβαβ+=⎧⇒-=-⎨+=⎩ 因为0<β<α<π，所以0<α−β<π． 所以22,,33ππαβαβ-=⇒=+ 得：2sin sin sin 1,33ππβββ⎛⎫⎛⎫++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为4,.33332πππππββ<+<⇒+< 所以，5,.66ππαβ== 本题是江苏解答题的第一个试题，起点低，入口容易，解决问题不需要特殊的技巧，不同层次的学生都能得到相应的分数．但要得满分还需要对向量、三角函数的概念、性质及三角恒等变换较好掌握．这样的试题即给广大考生展示自己的机会，让广大教师和学生从题海中解脱出来，真正做到重视数学学习过程，理解数学本质．五．试卷的功能在于各种试题的搭配与布局好的数学试卷不是难题的数量，新题的多少，而是各种题型，各个知识的合理搭配，知识结构与能力结构的合理布局．如北京试卷，选择题、填空题、解答题搭配合理，在考查中各自发挥了重要作用．知识组块的分值比例与课标要求匹配，能力组块的构成充分体现能力立意的命题思路．试卷题目叙述简洁，运算量有所减小，抽象概括能力考查难度仍然较高，逻辑思维与严谨表述的要求有所增加．得到全市师生的一致好评．又如福建试卷，命题关注学生后续学习的需要，有效地检测了学生是否具备进一步学习所必备的基础知识、基本技能和基本思想．同时，根据数学各模块在中学数学的地位及课时比例，合理选取试题素材，确定考查力度．在基本保证考试内容抽样的合理性和典型性的同时，从学科整体意义的高度考虑问题，检测了考生是否具备一个有序的网络化的知识体系，并能从中提取相关的信息，有效、灵活地解决问题，从而使高考试卷的评价功能得以合理体现．命题关注不同要求层次的问题的设计，既有容易题，也有中等题、难题，力求使得不同层次的考生的水平都得到合理的评价．各种题型的试题梯度明显，例如选择题和填空题的起点低，再逐步增加难度，而最后两题有较大的思维量．解答题在整体难度递进的同时，每一小题也均从易到难．使大部分考生都能得到一定的基本分，同时又有助于思维层次较高的考生充分发挥，既体现对考生的人文关怀，又彰显了选拔功能．江苏高考数学试卷整体难度不大，学生容易上手．试卷结构稳定，突出基础，重视能力，知识点广，难度递增，区分度高，利于选拔，各种层次的考生都可充分展现自己的真实能力．全国课标卷和其他不少省市的试卷，都体现了锐意改革，又能保持一贯的风格，精心设计各种试题，精心搭配整体试卷，保证了试卷的选拔功能，又给广大考生充分展示的空间．随着高考改革的深入，高考数学试卷越出越好，对中学数学教学导向更加良好，2013年的试卷就是证明．。
新课程背景下对高考数学试题的分析及研究
新课程背景下对高考数学试题的分析及研究摘要：数学是我国教育中重要的一门学科，数学不仅是一门技术，也是一种思想，学习数学可以锻炼人们的思维。
高考是我国进行人才选拔的一场考试，这场考试可以改变很多人的命运，其中数学便是作为高考中必须考查的一门学科。
随着时代的不断变化，我国对于高中数学教学也提出了更多的要求，在新课程的背景下，这也让高考中的数学试题发生了一定的变化。
本文主要根据新课程背景下高考试题的变化进行详细的案例分析，希望可以提高高中数学试题教学的有效性。
关键词：新课程；高考数学试题；研究分析；前言：根据《高中数字课程标准》中的内容我们可以得知，高中数学的教学更注重基础和技巧，让学生掌握基础的数学知识，利用技巧进行解题。
从近几年的高考试题就可以看出，高考数学试题考查的内容和难度并没有特别大的改变，主要是对题目的形式进行改变，进行了多方面的创新。
如果学生不能找到规律就很容易掉进试题陷阱，所以老师要准确的收集信息，将高考数学试题的变化进行详细的分析讲解给学生，让学生在面对试题时可以从容不迫的进行解答。
1.新课程下高考数学试题更注重数学基础能力的考查高考作为一项综合选拔人才的考试，它更注重的是对于基础的考查，不论是数学试题还是其它科目试题的考查，有百分之六十的内容是考查学生对于知识基础的掌握[1]。
数学所能考查的内容并不是特别多，以选择题为例，第一题目都是相对简单的，但是还会有同学在这个简单的题目上失分，究其原因，主要是在新课程下虽然高考数学试题对于内容的考查也没有很大的改变，但是改变了对于问题的问法，不一样的问法只是改变题目的躯壳，但是考查的核心内容没有改变，但就有同学转不过弯，进而不能将题目进行正确的作答。
例如，以“三角函数”这一知识点进行考查，三角函数是高考数学考查的重点，三角函数可以和图形，曲线以及函数进行结合考查，是学生在学习中的一个难点。
经过对比分析，近几年的高考数学试卷可以看出，三角函数的考查有困难的题目，但总会有最基础的问题，一般是学生只要学习相关的知识都是可以解答出来的。
“三新”背景下高中数学多选题的命题分析与解题研究
三新背景下高中数学多选题的命题分析与解题研究 三新 背景下高中数学多选题的命题分析与解题研究陈清方（四川省广元外国语学校，四川㊀广元㊀６２８０００）ʌ摘要ɔ 三新 背景之下，多选题作为高考数学必考题型，可以有效地考查学生对数学知识的掌握程度和应用能力．文章通过对 三新 基本内容的概述，分析高中数学多选题的特点和命题原则，提出了高中数学多选题的命题技巧，并结合实例总结出解答高中数学多选题的具体策略，以帮助学生更好地应对高中数学多选题．ʌ关键词ɔ 三新 背景；数学学科；多选题；命题技巧；解题策略㊀㊀为适应新时代对创新型人才的迫切需求，高考改革稳中渐进．数学学科多选题承载着考查学生解决数学问题的深度和广度的重任，成为新高考中数学学科必考题型．面对多选题，学生易陷丢分之窘境，被制约冲击高分，甚至满分；教师难破选项之局，对命题㊁解题难以深入研究．因此，探讨高中数学多选题的命题技巧与解题策略具有重要的意义．一㊁ 三新 的基本概念三新 是指 新课程 新教材 新高考 ．在 三新 背景下，高中数学教育被赋予了新的挑战和机遇．当下，高中数学教育必须落实立德树人根本任务，将学生的全面发展作为教育的终极目标．这一目标的实现，需要数学教师帮助学生落实 四基 ㊁提高 四能 ，提升学生的数学核心素养．首先，新高考的数学学科试题倡导更高的题目综合性和更快的解决问题速度．命题者在题目设计上更加注重对学生学科素养的考查．随着题目数量的增加，考生需要更快的解题速度．同时，题目的选材范围和题干的阅读量也在不断增大，强调考查学生对信息㊁数据的筛选㊁处理和逻辑推理等综合能力．其次，‘普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）“带来了新的契机．新的教育观念使学生成为课堂的主体，打破了传统的教学方式．在课堂教学中，教师由主体地位转变为教学活动的组织者㊁设计者㊁指导者与参与者．该教育理念强调师生之间的互动交流，激发学生在学习过程中的主动性．最后，新教材为教师提供了更灵活的教学工具．教师在教学过程中需抓住教材中的重点，以帮助学生更好地理解和掌握所学知识，从而提高他们的综合素质．新教材在编排上具有承上启下的特征，有机整合重要知识点，更符合高中生的认知规律．学生通过自学教材，其自主学习能力得到有效提升，更好地适应了新时代的教学模式．二㊁高中数学学科多选题的特点和命题原则（一）数学学科多选题的特点１．知识涉及面广高中数学的多选题通常涵盖多个知识点，要求考生对数学知识的掌握全面而深入．考生需要厘清各个知识点的基本内容，并能够对其进行深入的分析和运用．同时考生需要了解不同知识点之间的联系和区别，以便在解题时能够准确地判断和识别出正确的选项．２．选项干扰性强高中数学的多选题中，有些题目考查相似或相近概念的辨析，有些题目考查分类讨论的不同情况，有些题目考查同一说法的不同表述，有些题目考查对同一问题的不同深度的思考，有些题目考查完全不相关的选项或者似是而非的选项糅合，等等．正是由这些考查方式产生的干扰选项，使得解题的复杂性增加，同时提高了考试的难度．考生需要充分理解题目要求，明确题目考查的知识点，并运用自己的判断和分析能力，从选项中找出所有的正确选项．３．对能力的高度考查解答高中数学多选题不仅要求考生熟练掌握数学知识，还要求考生具备一定的判断㊁分析和推理能力．考生需要具备较高的认知能力，能够综合运用所学知识进行深入思考．这需要考生在平时的学习中注重锻炼自己的思维能力和解决问题的能力，通过实践来提高自己的解题能力和认知水平．同时考生还需９４１要善于总结解题的方法和技巧，以便在考试中能够迅速准确地找到正确选项．（二）高中数学多选题的命题原则１．科学性原则高中数学多选题必须严格符合课程标准，涵盖的知识点应该准确㊁全面．在试题命题时，教师应该重视对数学基础知识㊁基本技能㊁基本思想和基本活动经验的考查，同时也要关注对从数学角度发现和提出问题㊁分析和解决问题的能力的考查．命题者应该立足于课程标准，深挖教材，关注数学学科动态和时事热点，确保命题的科学性和准确性．２．公平性原则高中数学多选题必须保证对所有考生一视同仁，不存在歧视和偏见．在命题时，命题者应该考虑到不同地区㊁不同背景㊁不同学习水平的考生，尽量避免出现对某些考生群体不公平的情况．同时，教师在审题㊁阅卷等环节也应该制定严格的规范和标准，确保评分的公平性和公正性．３．难度适宜原则高中数学多选题必须根据学生的实际情况，控制好难度和区分度，难度过低或过高都不利于选拔出优秀的学生．在命题时，命题者应该根据学生的平均水平和实际情况来确定难度，同时也要考虑到不同层次学生的需求和能力水平．在阅卷时，教师应该根据学生的实际表现和答题情况来评定分数，避免出现评分标准过于主观或刻板的情况．４．创新性原则高中数学多选题必须具有一定的新颖性和创新性，能够考查学生的创新思维和应用能力．在命题时，命题者应该注重考查学生的数学思维能力和问题解决能力，避免出现死记硬背的题目．同时，命题者也可以设置一些与实际问题相结合的题目，让学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新思维和实践能力．三、高中数学多选题的命题技巧（一）在数学概念和理论的基础上，对重点教学内容进行考查数学是一门非常抽象的科目，有的学生会对它产生浓厚的兴趣，有的学生却觉得它枯燥无味．高中阶段是学生数学学习的关键时期，采用科学的方法对高中数学学习具有十分重要的意义．数学选择题的学习重点是对零散知识的整合与运用，而多选题需要学生站在多个角度去思考．学生除了要具备较强的逻辑思维能力之外，还需要有扎实的数学理论支撑．所以，在高中数学选择题的命题中，教师要以某种数学理论为依据，对零散的数学知识进行整合，在相同的情境下能够呈现多种选择．同时，教师需对高中数学选择题各知识点进行整合，把握理论的要点和难点，并将其呈现为问题，使学生能够将所学知识进行实际应用．如 指数函数 一节中，教师可将与函数相关的知识进行综合考查．在题目设计上，既需凸显共同点，又要明确相异之处，以确保学生在解题过程中不会混淆答案．（二）丰富多选题的命题形式，构建综合实用的命题结构在高中数学多选题的命题过程中，教师要将教材中的理论基础知识有机地融合起来，完善多选题的命题方式，建立综合㊁实用的命题结构，从而更好地调动学生的学习热情．在新课程标准的指导下，高中数学多选题应注重与实际生活密切相关，能有效地培养学生的创新能力．将多选题的命题思路和具体考查学生的知识点进行有机的结合，既可以在问题的主题内容上进行创新，又可以把数学知识和生活情境联系起来，从而提高数学知识的实用性．全面而实用的命题结构既适应了新时代对学生数学学习能力的要求，也可以在现实环境中，培养学生将数学知识运用到实际生活中去的能力，从而使其能够借助数学思维来分析和解决问题．如在 等差数列 一节中，教师可以将数学问题赋予生活化的情境，如居民水费㊁高速公路里程碑㊁薪资等；或者将数学问题与数学文化结合，如‘九章算术“‘算法统宗“等数学名著中的相关问题．（三）拓展多选题的命题思维，提高学生的创新能力在进行命题时，教师要积极拓展命题思维，对命题方式进行创新，注重对学生问题的解决能力的培养，让学生能积极地㊁多方面地去思考解题方式，提高他们的创造性．高中数学多选题既要科学㊁合理地运用数学知识，又要充分发挥多选题的特点，拓宽学生的思维方式，鼓励学生用多种方式解决问题，以提高他们的创造力，使其能够独立探究和解决问题．在教学过程中，教师应积极探讨各种命题思维，寻找各种解决问题的方法，激发学生的主动创造力，促使学生从多个角度解决问题．如有关随机事件概率的相关题目，对于同样的问题，学生可以从不同的角度给出解答，既可直接计算，也可先计算对立事件的概率，然后转化为所求结果．这样的命题方式不仅能够开拓学生的思维，还能培养０５１他们的创新思维．通过引导学生灵活运用各种解题方法，教师可以激发学生的兴趣，提高他们的问题解决能力．四㊁高中数学学科多选题的解题策略（一）审清题意将整个题目仔细阅读一遍，并用笔圈点勾画，标记关键信息，联系相关的数学基础知识，初步建立关键信息之间的联系，为后续解题奠定基础．（二）梳理线索根据选项信息直接排除明显的干扰项，如与客观世界不符㊁与题意不符的选项等，然后将有关联的选项放在一起，或者将对立的选项放在一起，明晰解题的线索．（三）顺藤摸瓜从分组后的选项中选择一个相对较容易的线索，利用所学知识与关键信息构建联系，寻求解题的突破口．完成后，对对立的选项就可以直接做出判断；对关联的选择，可进一步求解．（四）排除法排除法是一种常用的解题方法，通过排除不可能的选项来缩小答案范围．在解答数学多选题时，排除法同样有效．通过对选项进行分析，学生可以排除一些明显不符合题目要求的选项，从而缩小选择范围．（五）推理法推理法是一种通过逻辑推理来解决问题的策略．在解答数学多选题时，学生可以运用推理法对选项进行逐一分析，从而找到正确的答案．通过对每个选项进行逻辑推理，学生可以判断其是否符合题目的要求和条件．如在解答几何问题时，学生可以通过推理法判断图形的形状㊁大小和位置关系等．（六）检查答案在完成多选题后，学生一定要对答案进行检查和核对．检查答案可以帮助学生发现可能存在的错误和漏洞．首先，检查每个选项是否符合题目的要求和条件；其次，检查答案是否符合逻辑和实际情况；最后，检查计算过程是否有错误或遗漏．通过检查答案，学生可以及时发现并纠正错误，提高解题的准确性和完整性．下面以一道人教版高中数学多选题为例，说明如何运用上述解题策略进行分析和解答．题目㊀已知焦点为Ｆ的抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）与直线ｙ＝ｘ－２相交于Ａ，Ｂ，且满足ＯＡʅＯＢ（Ｏ为坐标原点），则（㊀㊀）．Ａ．ｐ＝１Ｂ．ＡＢ＝４Ｃ．ＳәＡＢＯʒＳәＡＢＦ＝４ʒ３Ｄ．以ＡＢ为直径的圆与ｙ轴恰好只有一个交点此多选题主要考查学生对抛物线的性质的理解与应用．首先需要学生抓住关键信息，即抛物线的方程㊁直线方程以及垂直关系．然后梳理线索，发现选项Ａ是选项Ｂ，Ｃ，Ｄ的基础．因而先突破选项Ａ．解析如下：联立有ｙ２＝２ｐｘ，ｙ＝ｘ－２，{消ｙ得ｘ２－（４＋２ｐ）ｘ＋４＝０，由韦达定理有ｘ１＋ｘ２＝４＋２ｐ，ｘ１ｘ２＝４；消ｘ得ｙ２－２ｐｙ－４ｐ＝０，由韦达定理有ｙ１＋ｙ２＝２ｐ，ｙ１ｙ２＝－４ｐ．对于选项Ａ，由ＯＡʅＯＢ知ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０，即４－４ｐ＝０，解得ｐ＝１，故Ａ正确．对于选项Ｂ，由弦长公式计算得ＡＢ＝２１０，故Ｂ错误．对于选项Ｃ，设直线ｙ＝ｘ－２与ｘ轴的交点为Ｍ，由ＳәＡＢＯＳәＡＢＦ＝ＯＭＭＦ＝４３知，Ｃ正确．对于选项Ｄ，以ＡＢ为直径的圆的圆心坐标为ｘ１＋ｘ２２，ｙ１＋ｙ２２æèçöø÷＝（３，１），半径为ｒ＝ＡＢ２＝１０，则圆心到ｙ轴的距离为ｄ＝３＜１０＝ｒ，故以ＡＢ为直径的圆与ｙ轴相交，有两个交点，故Ｄ错误．在解答多选题时，学生需要根据题目的特点和要求，采取适当的解题思路．通过运用解题策略，学生可以在突破选项Ａ后，顺利完成对选项Ｂ，Ｃ，Ｄ的判断．因此，在解答多选题时，学生要根据题目的特点和要求，灵活运用不同的解题策略进行分析和判断．结 语综上所述，通过对 三新 背景下数学学科多选题的命题技巧与解题策略的深入研究，数学领域的教育者可以更有效地提升高中学生的数学核心素养．在未来的高中数学教学实践中，教育者将能够更加灵活地运用相关技巧和策略，通过不断优化教学方法，紧密地结合社会需求，培养学生独立思考和解决问题的能力，从而为社会培养更多具备创新能力和实践能力的数学人才．ʌ参考文献ɔ［１］赖建成． 三新 背景下的高中数学三角函数模块教学策略研究［Ｊ］．凯里学院学报，２０２３，４１（３）：１０６－１１０．［２］林巧攀．高中数学解题过程中学生反思能力的培养策略［Ｊ］．亚太教育，２０２２（１２）：１３３－１３５．［３］胡丽梅．新高考下高中数学一题多变的训练策略分析［Ｊ］．科技风，２０２２（１２）：４０－４２．１５１。
2013年高考新课标全国I卷数学(文)试题精解精析(解析版)
二、填空题考点一览表：题号主要考点13 向量的数量积公式14 线性规划基础知识15 球体的体积公式16 三角恒等变换公式总体来说2013全国新课标（1）文科卷的难度相比2012年来说有所下降，并且更加注重基础知识与基本能力的考查，这就要求老师们在平日教学的过程中注重培养学生的能力.第Ⅰ卷本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！一、 选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B=( ) （A ）｛1,4｝ （B ）｛2，3｝ （C ）{9，16} （D ）｛1,2}（2）212(1)i i +=- = ( ) （A ）112i -- （B ）112i -+ （C ）112i + （D ）112i -（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ） （A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =- 对减，得123n n a a -=，故选D. 【考点定位】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查学生的基本运算能力以及转化与化归能力.（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[3,4]-（B ）[5,2]-（C ）[4,3]-（D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =，则POF ∆的面积为（ ）（A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）（A ）10（B ）9 （C ）8 （D ）5 【答案】D ；【解析】因为225cos 10A -=，且锐角△ABC ，故1cos 5A =，故2222cos a b c bc A =+-，解得5b =.【考点定位】本题考查二倍角公式以及余弦定理的基本应用，考查学生的基本运算能力以及转化与化归的能力（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-【答案】D ；【解析】作出函数图像，()f x 在点（0,0）处的切线为制定参数的标准；当0x ≤时，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。