集合间的基本关系教案

1.1.2 集合间的基本关系
一、学习目标：
（1）了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;（2）理解子集、真子集、空集的概念;
（3）能体会图示对理解抽象概念的作用.
二、学习重点：子集、真子集的概念；
学习难点：元素与子集、属于与包含之间的区别及空集的概念。

三、自学指导：
用6分钟时间预习教材P6～P7，思考并完成下列内容：
1、集合间的关系有哪些？
2、你能找出子集的定义吗？真子集的定义又是什么？
3、若两个集合相等，它们满足什么条件？你有几种理解方法？
4、空集的定义是什么？你怎么理解空集呢？
5、你能用图形（Venn图）表示集合间的基本关系吗？
四、师生探究
探究一、两集合间的关系
我们都知道，实数之间可以比较大小，请大家比较下列数字大小：
1、3 9
2、4 2
3、1 5
4、-1 2
5、16 16
6、23 21
我们发现，对于实数，我们可以用不同的符号表示他们之间的大小关系，那么，对于我们上一节所学习的集合，他们之间是否存在类似的关系呢？这节课，我们就是来探究两个集合之间的基本关系。

2、构建概念
下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？
（1）设A={1，2，3} B={1，2，3，4，5}；
（2）设A高一（2）班全体女生组成的集合，B为这个班级的全体学生组成的集合；
（3）设A={x|x是两条边相等的三角形}，B={x|x是等腰三角形}；
（4）设A={x|x2=1},B={-1，1}；
（5）设A={x |x2=-1}。

在上面五组集合中，我们可以发现以下三个结论：
1、在（1）、（2）中，集合A 中的任何一个元素都是集合B的元素.这时我们说集合A与集合B有包含关系.称集合A是集合B的子集，记做：A⊆ B ；读作：A含于B。

2、在（3）、（4）中，集合A 中的元素和集合B中的元素一样，即：集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），因此，我们称集合A与集合B相等。

记作：A=B 。

3、对于（5），我们发现，在实数范围内，这样的x不存在，也就是说，集合A中不含任何元素，我们把这样的集合叫做空集，记
作：，并规定空集是任何集合的子集。

ϕ
3、子集的定义
文字语言
一般地，对于集合A、B，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A与集合B有包含关系，称集合A为集合B
的子集(subset)记做
读做“A包含于B”（或“B包含A”）
数学语言
对于集合A，B，若任意x∈A，都有x∈B，则称A B
图形语言
（Ｖeen图）上面集合的包含关系我们可以用下面的图形来表示：
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种
图称为Venn 图.
3、集合相等的定义
文字语言
如果集合A是集合B的子集（A⊆B）且集合B也是集合A的子集（B⊆A），
因此集合A和集合B中的元素是一样的，就说A与B相等，记A=B.
数学语言
对于集合A，B，若A⊆B，且B⊆A，那么称：A=B
图形语言
（Ｖeen图）
上面集合的包含关系我们可以用下面的图形来表示：
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.
3、空集的定义
文字语言：不含任何元素的集合称为空集。

记作：。

规定：空集是任何集合的子集。

3、真子集的定义
文字语言
若集合A是集合B的子集，且集合B中至少还有一个元素不属于
集合A，则称集合A是集合B的真子集。

数学语言
若集合A B ，但存在元素x ∈B,且x A,
我们把集合A 叫做集合B 的真子集（proper subset)，记做：A
B （或B A ）。

图形语言
（Ｖeen 图）
上面集合的包含关系我们可以用下面的图形来表示显然，空集是任何非空集和的真子集。

3、子集的特殊含义
问题探讨：
在实数中，a≤b 怎样理解？有几层意思？ 类比A
B 又有几
层含义？
探究二——子集的性质
(1)..任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆(2).C C C.A B A B B A ⊆⊆⊆对于集合、、，如果且那么(3).C C .对于集合、、，如果且那么A B A B B A C ⊂⊂⊂≠≠≠(4).C C .对于集合、、，如果且那么A B A B B A C ⊂⊂⊆≠≠
(5).C C .对于集合、、，如果且那么A B A B B A C ⊂⊂⊆≠≠
(6).C C .对于集合、、，如果且那么A B A B B A C ===∉
探究三、子集的个数
例1 写出集合{a ,b }的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集？ 变式训练：写出集合{a,b,c }的所有子集，其真子集有哪些？ 结论：若集合A 有含n 个元素，那么
集合A 的所有子集个数有2n 个.
集合A 的所有真子集个数有2n -1个.
集合A 的所有非空真子集个数有2n -2个.
注意：分类讨论思想在数学中的应用。

五、当堂训练
1、快速完成教材P7练习
2、3题； 2、已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y 均为实数}，试写出集合A 及其集合A 的子集。

A B A A B φ⊆特别提醒：若，时， 特别要注意考=虑的情形.
⊆⊆22{|20}{|1},A x x x B x ax B A a =--===例 已知集合，若 ，则实数的
值构成的集合为______.
ϕ
3、已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B ⊆ A,求实数m.
六、课堂小结
（一）基本内容：
1、子集、真子集、集合相等；
2、特殊集合：空集
（二）数学思想方法：
类比、分类讨论
七、作业布置
当堂训练：教材第12页练习第5题.
课后作业：作业内容见后面的“课时练案”.。