基于遗传算法求解TSP问题的算法设计

自２０世纪６０年代以来，一种模拟生物自然遗传与进化过程并将生物进化原理、最优化技术和计算机技术结合起来的优化方法———遗传算法（ＧｅｎｅｔｉｃＡｌｇｏｒｉｔｈｍ，简称ＧＡ）被提出并得到广泛研究。

遗传算法是一种全局寻优搜索算法，它首先对问题的可行解进行编码，组成染色体，然后通过模拟自然界的进化过程，对初始种群中的染色体进行选择、杂交和变异，通过一代代进化来找出最优适应值的染色体来解决问题。

遗传算法具有很强的全局搜索能力和较强的自适应性，适合解决连续变量函数优化问题和离散变量的优化组合问题。

遗传算法主要应用于以下方面：函数优化，如一些非线性、多模型、多目标的函数优化问题；组合优化，如ＴＳＰ、背包问题、图形分割、装箱问题、图的着色等；生产调度问题，如ｊｏｂ－ｓｈｏｐ，ｆｌｏｗ－ｓｈｏｐ等；机器学习，如用遗传算法处理分类器；图像处理，如对图像的识别、提取、恢复的解决等；人工生命，基于遗传算法的进化模型是研究人工生命现象的重要基础理论；自动控制，如模糊控制器的优化设计、参数辨识、模糊控制规则学习；生物进化模型及验证工具等等。

１遗传算法求解步骤１）编码，初始化。

随机生成初始种群Ｐ（０），设置最大进化代数ｔｍａｘ，种群规模Ｎ，初始代数ｔ＝０；２）个体评价。

用所构造的适应度函数来计算ｐ（ｔ）中每个个体的适应度Ｆ（ｘｉ），适应度大小表示了该个体的好坏。

并以概率Ｐｉ从Ｐ（ｔ）中随机选取一些个体构成一个种群Ｐ（ｔ）。

Ｐｉ＝Ｆｉ／Ｎｉ＝１!Ｆｊｉ＝１，……，"#Ｎ３）选择操作。

根据各个体的适应度，选用合适的选择算子，从第ｔ代群体中选择一些个体成为中间群体ｐ（ｔ）；４）杂交操作。

将种群ｐ（ｔ）中的个体随机搭配成对，对于每个个体，以概率Ｐｃ交换它们之间的染色体，得到一个规模为Ｎ的杂交后群体；５）变异操作。

对杂交后的群体，以概率Ｐｍ改变某一个或某一些基因位上的基因值，生成新一代群体Ｐ（ｔ＋１）；６）终止判断。

若终止条件（①最优个体保持２０代不变；②ｔ＝ｔｍａｘ；③群体平均适应度与最优个体适应度之差小于ε，ε是任意小的正实数；只要满足其中一条就终止）满足，则算法终止，把种群Ｐｔ中的最好个体译码，然后作为最优解输出，结束；否则，ｔ＝ｔ＋１，转到２。

上述步骤的流程图如图１所示。

算法描述如下：初始化种群规模ｓｉｚｅ，杂交概率Ｐｃ，变异概率Ｐｍ，迭代次数ｔ＝０随机产生初始种群Ｐ（０）ｗｈｉｌｅ终止条件不满足ｂｅｇｉｎ新种群Ｐ（ｔ＋１）的个体数目ｋ＝０ｆｏｒｉ＝１ｔｏｓｉｚｅｄｏｆｉ＝ｆ（ｘｉ＇）ｂｅｇｉｎ摘要：ＴＳＰ是一个典型的组合优化问题，并且是一个ＮＰ难题，其可能的路径总数与城市数目ｎ是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最优解，因而寻找出有效的近似求解算法就具有重要的意义。

现提出一种求解ＴＳＰ问题比较有效的遗传算法，从其数学模型、遗传算子、评估函数、种群多样性等方面对算法进行了分析，结果表明提出的算法在求解ＴＳＰ问题上是有效的。

关键词：组合优化；ＮＰ难；ＴＳＰ；遗传算法；最短路径中图分类号：ＴＰ３０１文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－２９２８（２００７）０４－００５７－０４收稿日期：２００７－０２－２６作者简介：张春霞（１９７３－），女，新乡市人，河南交通职业技术学院讲师，硕士。

研究方向：数据挖掘与人工智能。

基于遗传算法求解ＴＳＰ问题的算法设计（１．河南交通职业技术学院，郑州４５０００５；２．武汉大学，武汉４３００７２）张春霞１王蕊２当前最优解＝ｍａｘ（ｆｉ）对应的个体ｗｈｉｌｅｋ＜ｓｉｚｅｄｏ用双亲选择算子Ｓ从Ｐ（ｔ）中选择双亲ｂｅｇｉｎｉｆｐｃ＞ｒａｎｄｏｍ［０，１）ｔｈｅｎ用杂交算子Ｃ产生子代ｉｆｐｍ＞ｒａｎｄｏｍ［０，１）ｔｈｅｎ用变异算子Ｍ改变子代将生成的子代存入Ｐ（ｔ＋１）ｋ＝ｋ＋ｌｅｎｄｅｎｄｔ＝ｔ＋１ｅｎｄ输出当前最优解即为本次遗传进化最优解。

２ＴＳＰ的数学描述及模型ＴＳＰ（ｔｒａｖｅｌｉｎｇｓａｌｅｓｍａｎｐｒｏｂｌｅｍ旅行商问题）可描述为：已知ｎ个城市各城市间的相对距离，某一旅行商从某个城市出发访问每个城市一次且仅一次，最后回到出发城市，怎样安排才使其所走路线最短？ＴＳＰ是一个典型的优化组合问题，它需要求出旅行商从某一城市出发经过所有城市所走路程的最短路径，其可能的路径数与城市个数成指数关系增长。

用图论的术语来说，假设有一个图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其中Ｖ是顶点集，Ｅ是边集，设Ｄ＝（ｄｉｊ）是由顶点ｉ与顶点ｊ间的距离所组成的距离矩阵，ＴＳＰ就是求出一条通过所有顶点且每个顶点只通过一次的最短路径的哈密尔顿回路。

通常说的ＴＳＰ都指对称型的ＴＳＰ。

若对于ｎ个城市Ｖ＝｛Ｖ１，Ｖ２，…，Ｖｎ｝的一个访问顺序为Ｔ＝（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ），其中ｔｉ∈Ｖ（ｉ＝１，２，…，ｎ），且记ｔｎ＋１＝ｔ１，则ＴＳＰ数学模型为：ｍｉｎＬ＝ｎｉ＝１!ｄｔｉｔｉ＋１目前应用遗传算法解决问题，主要要解决编码问题和算子的设计问题。

编码方式约束了运算空间的大小，好的编码方式可以压缩求解空间，提高运算效率。

３算法设计３．１参数编码和初始种群的产生ＴＳＰ的编码策略主要包括二进制表示、近邻表示、次序表示、路径表示、矩阵表示和边表示等。

由于二进制表示不自然且需要额外的修正算子以保证个体的合法性，在实际中很少使用。

针对ＴＳＰ问题，编码规则通常是取ｎ进制编码，即每个染色体仅从１到ｎ的整数里面取一个值，每个个体的长度为ｎ，ｎ为城市总数。

路径表示可能是ＴＳＰ最自然、最直接的表示方式。

它直接采用城市在路径中的相当位置来进行表示。

可以定义一个ｓ×ｔ大小的ｐｏｐ矩阵来表示种群。

例如，假设城市数为３０，则定义ｔ＝３１，矩阵每一行的前３０个元素表示经过的城市编号，最后一个元素表示经过这些城市要走过的距离。

考虑到初始种群的多样性，在解空间中随机产生初始种群，并使其均匀分布于解空间。

城市的数目大小，一般ｓ取３００￣５００。

３．２适应度函数设计在ＴＳＰ的求解中，可以用费用函数或距离作为问题的适应值，来衡量求解结果是否最优，在ｐｏｐ矩阵中每一行最后一个元素表示经过的距离的总和，用它作为适应值。

通过下面的函数计算最后一位元素。

％求城市距离的总和ｆｕｎｃｔｉｏｎ［ｐｏｐ］＝ｄｉｓｔａｎｃｅ（ｐｏｐ）［ｓ，ｔ］＝ｓｉｚｅ（ｐｏｐ）；ｆｏｒｉ＝１：ｓｄｄ＝０；ｆｏｒｊ＝１：ｔ－２ｄｄ＝ｄｉｓ（ｐｏｐ（ｉ，ｊ），ｐｏｐ（ｉ，ｊ＋１））＋ｄｄ；ｅｎｄｄｄ＝ｄｄ＋ｄｉｓ（ｐｏｐ（ｉ，１），ｐｏｐ（ｉ，ｔ－１））；ｐｏｐ（ｉ，ｔ）＝ｄｄ；ｅｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎ［ｄ］＝ｄｉｓ（ｍ，ｎ）％３０个城市坐标ｘ＝［８７９１８３７１６４６８８３８７７４７１５８５４５１３７４１２７２２２５１８４１３１８２４２５４１４５４４５８６２］；ｙ＝［７３８４６４４６０５８６９７６７８７１６９６２６７８４９４９９６４６０６２５４５０４０４０４２３８２６２１３５３５３２］；ｍ＝ｍ＋１；ｎ＝ｎ＋１；ｄ＝ｓｑｒｔ（（ｘ（ｍ）－ｘ（ｎ））＾２＋（ｙ（ｍ）－ｙ（ｎ））＾２）＾０．５；计算出初始群体的适应值后，就要进行选择操作，进行初步优化。

３．３选择算子设计选择就是从群体中选择优胜个体、淘汰劣质个体的操作，它是建立在群体中个体适应度评估基础上。

这里采用方法是最优保存方法。

算法就是首先将群体中适应度最大的ｋ个个体直接替换适应度最小的ｋ个个体。

３．４杂交算子设计杂交算子的设计直接影响到种群收敛速度和最优解的取得，在遗传算法中起着核心的作用，它是指将个体进行两两配对，并以杂交概率Ｐｃ把配对的父代个体加以替换重组而生成新个体的操作。

有关路径表示的杂交算子主要有：部分映射杂交、有序杂交、循环杂交、基于位置杂交、有序杂交等。

这里采用的方法是有序杂交法。

具体实现的步骤是：步骤１：随机选取两个杂交点ｃｒｏｓｓｐｏｉｎｔ（１）和ｃｒｏｓｓｐｏｉｎｔ（２）；步骤２：两后代先分别按对应位置复制双亲Ｘ１和Ｘ２匹配段中的两个子串Ａ１和Ｂ１；步骤３：在对应位置交换双亲匹配段以外的城市，如果交换后，后代Ｘ１＇中的某一城市ａ与子串Ａ１中的城市重复，则将该城市取代子串Ｂ１与Ａ１中的城市ａ具有相同位置的新城市，直到与子串Ａ１中的城市均不重复为止。

对后代Ｘ２＇亦然，如图２所示，有序杂交算子能够有效地继承双亲的部分基因成分，达到了进化过程中的遗传功能，使该算法并不是盲目搜索，而是趋向于使群体具有更多的优良基因，最后实现寻优的目的。

３．５变异算子设计变异操作是以变异概率Ｐｍ对群体中个体串某些基因位上的基因值作变动，若变异后子代的适应度值更加优异，则保留子代染色体，否则，仍保留父代染色体。

对于ＴＳＰ问题，已知的变异算子有倒位、插入、移位、互换、基于位置的变异、打乱变异等。

这些变异算子除了倒位变异外，都没有考虑边的邻接关系，不能保留原有边的邻接关系。

这样就不能把巡回路线上的优良性能较好的遗传到下一代，也就不能提高寻优速度。

这里采用的方法是倒位变异法，即首先在父体中随机地选择两截断点，然后将该两点所夹的子串中的城市进行反序。

例如有父体Ｘ为（１３７４８０５９６２）。

如果ｒａｎｄ＜Ｐｍ那么随机选择来自同一个体的两个点ｍｕｔａｔｅｐｏｉｎｔ（１）和ｍｕｔａｔｅｐｏｉｎｔ（２），比如说３和７，倒置这两点之间的部分，产生后代子体Ｘ＇为（１３７５０８４９６２）。

求解ＴＳＰ时，变异算子的设计要比杂交算子的设计灵活的多。

任何具有局部搜索功能的算子都可作为它的变异算子。

４仿真实验与结果分析以初始化程序中给出城市的位置坐标，并用编程实现仿真，分析结果。

这里设定交叉概率Ｐｃ＝０．９，变异后概率Ｐｍ＝０．２，初始种群个数ｓ＝２５０，选择个数ｋ＝２０，５０代后还有很多交叉路径，所得最短距离为４７３．４９９９，离最优结果还差很远。

很多文献中记录了对遗传算法的改进，如文献［２］改进的遗传算法遗传５０代后所得最短距离为４２５．０７７８，已经非常接近最优结果，通过文献［３］知道这个问题的最优结果４２３．７６０１。

从上面的叙述中可以看出，从搜索角度，遗传算法具有许多独特的优点：１）不必非常明确描述问题的全部特征，通用性和鲁棒性强，能很快适应问题和环境的变化；对领域知识依赖程度低，不受搜索空间限制性假设的约束，不必要求连续性、可导或单峰等。

２）从多点进行搜索，如同在搜索空间上覆盖的一张网，搜索的全局性强，不易陷入局部最优：具有隐并行性，非常适合于并行计算。

参考文献：［１］潘正君，康立山，陈毓屏．演化计算［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００４．［２］敖友云，迟洪钦．基于遗传算法求解ＴＳＰ问题的一种算法Ｘ１：９８｜４５６７１｜３２０Ｘ２：８７｜１４０３２｜９６５Ｘ１＇：８３｜４５６７１｜９０２Ｘ２＇：９８｜１４０３２｜７５６图２有序杂交算子５９张春霞王蕊：基于遗传算法求解ＴＳＰ问题的算法设计第四期参考文献：［１］杨纶标，高英仪．模糊数学原理与方法［Ｍ］．广州：华南理工大学出版社，２００４：８０－２１３．［２］赵建．海水入侵水化学指标及侵染程度评价研究［Ｊ］．地理科学，１９９８，１８（１）：６４－６９．［３］梁相钦．饮用水水质准则［Ｍ］．北京：人民卫生出版社，２００３：１４－２０．［４］涂向阳，高学平．模糊数学在海水入侵地下水水质评价中的应用［Ｊ］．水刊学报，２００３（８）：７０－１０４．Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｅａｗａｔｅｒｉｎｔｒｕｓｉｏｎｉｓａｇｅｏｌｏｇｉｃａｌｈａｚａｒｄｉｎｍａｎｙｃｏａｓｔａｌｃｏｕｎｔｒｙｆａｃｉｎｇ．Ｉｔｓｉｎｆｌｕｅｎｃｅｉｓｓｅｒｉｏｕｓｂｕｔｎｅｇｌｅｃｔｅｄｅａｓｉｌｙ，ｓｏｉｔｉｓｎｅｃｅｓｓａｒｙｔｏｅｖａｌｕａｔｉｎｇｓｅａｗａｔｅｒｉｎｔｒｕｓｉｏｎ．Ｆｉｖｅｈｙｄｒｏ－ｃｈｅｍｉｃａｌｉｎｄｅｘｅｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇＣ１－，Ｍ，ＳＯ４２－，ｒＨＣＯ－３／ｒＣｌ－ａｎｄＳＡＲ，ａｒｅｓｕｇｇｅｓｔｅｄｔｏｂｅｉｍｐａｃｔｆａｃｔｏｒｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｆｕｚｚｙｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｍｏｄｅｌｏｆｆｕｚｚｙｃｓｙｎｔｈｅｓｉｚｅｄｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｓｅａｗａｔｅｒｉｎｔｒｕｓｉｏｎｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ，ａｎｄｔｈｅｓｅａｗａｔｅｒｉｎｔｒｕｓｉｏｎｄｅｇｒｅｅｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｆｏｕｒｒａｎｋｉｎｇ．Ｔａｋｉｎｇｔｈｅ２８４ｗｅｌｌｉｎｇａｒｄｅｎｏｆＹｏｎｇＦｕｏｆＹａｎｔａｉｃｉｔｙａｓａｎｅｘａｍｐｌｅ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｉｔｓｗａｔｅｒｑｕａｌｉｔｙｄａｔａｉｎ２００６，ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｇｉｖｅｓａｅｖａｌｕａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｗｅａｔｅｒｉｎｔｒｕｓｉｏｎ；ｆｕｚｚｙｓｙｎｔｈｅｓｉｚｅｄｅｖａｌｕａｔｉｏｎ；ｃｈｅｍｉｃａｌｉｎｄｅｘｅｓ；ｗａｔｅｒｑｕａｌｉｔｙＦｕｚｚｙＳｙｎｔｈｅｓｉｚｅｄＥｖａｌｕａｔｉｏｎｉｎＥｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆＳｅａｗａｔｅｒＩｎｔｒｕｓｉｏｎＴＩＡＮＭｅｉｑｉｎｇ，ＸＩＡＯＴｏｎｇｌｉａｎｇ（ＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＳｕｑｉａｎＣｏｌｌｅｇｅ，Ｓｕｑｉａｎ２２３８００，Ｃｈｉｎａ）（上接第４０页）［Ｊ］．计算机与数字工程，２００６（４）．［３］ＺｂｉｇｎｉｅｗＭｉｃｈａｌｅｗｉｃｚＤａｖｉｄ，ＢＦｏｇｅｌ．如何求解问题－现代启发式方法［Ｍ］．曹宏庆，李艳，董红斌，等译．中国水利水电出版社，２００３．［４］高经纬，张煦，李峰，等．求解问题的遗传算法实现［Ｊ］．计算机时代，２００４（２）．［５］熊伟清，郭举良，魏平．一种快速求解问题的遗传算法［Ｊ］．微电子学与计算机，２００４（１）．［６］高经维，张煦，李峰，等．求解ＴＳＰ问题的遗传算法实现［Ｊ］．计算机时代，２００４（２）．［７］易敬，王平，李哲．基于遗传算法的ＴＳＰ问题研究［Ｊ］．信息技术，２００６（７）．６０安阳工学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｙａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ２００７年Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴＳＰｉｓａｔｙｐｉｃａｌｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｈｉｃｈｉｓａｌｓｏａＮＰｈａｒｄ－ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｉｔ＇ｓｓｉｚｅｉｓｉｎｃｒｅａｓｅｄｂｙｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｎ．Ｓｏ，ｉｔｉｓｈａｒｄｔｏｆｉｎｄａｐｒｅｃｉｓｉｏｎｒｅｓｕｌｔ，ａｎｄｉｔｉｓｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏｓｅａｒｃｈｆｏｒｔｈｅｎｅａｒｒｅｓｕｌｔ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｉｍｐｒｏｖｅｄｇｅｎｅｔｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａｎａｌｙｚｅｄｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ，ａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｅｖａｌｕａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｄｉｖｅｒｓｉｔｙ．ＴｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｈａｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｏｓｅａｒｃｈＴＳＰｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ＮＰｈａｒｄｐｒｏｂｌｅｍ；ＴＳＰ；Ｇｅｎｅｔｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｓｈｏｒｔｅｓｔｐａｔｈＡＭｅｔｈｏｄＤｅｓｉｇｎＢａｓｅｄｏｎＧｅｎｅｔｉｃＡｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒＳｏｌｖｉｎｇＴＳＰＺＨＡＮＧＣｈｕｎｘｉａ１ＷＡＮＧＲｕｉ２（ＨｅｎａｎＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５０００５，Ｃｈｉｎａ；ＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ４３００７２，Ｃｈｉｎａ）。