Cauchy_Schwarz不等式的四种形式的证明及应用

0, 1, 2, …, n。由定
积分的定义, 有
∫ ∑ b f a
(x ) g (x ) dx ) =
n
lim f
n→∞ i= 1
(x i) g
(x i)
bn
a,
∫ ∑ b f 2 (x ) dx = a
n
lim
n→∞
i=
1
f
2 (x
i)
bn
a
∫ ∑ b g 2 (x ) dx = a
n
lim
n→∞
例如, 除有限点外, f (x ) = g (x ) , x ∈ [ a, b ], 有
∫ ∫ b
b
f (x ) dx = g (x ) dx , 但 f (x ) 与 g (x ) 并不成比
a
a
例。
例 2 设 f (x ) , g (x ) 都 在 [ a, b ] 上 可 积, 则
M inkow sk i 不等式:
第 23 卷第 6 期 2 0 0 8 年 1 2 月
宿州学院学报 Journa l of Suzhou Un iversity
Vol. 23, No. 6 D ec. 2 0 0 8
Cauchy-Schwarz 不等式的四种形式的证明及应用
李 静1, 2
(1. 安徽大学 数学学院, 安徽 合肥 230001; 2. 宿州学院 数学与计算科学系, 安徽 宿州 234000)
线性相关。
例 3 证明:
a1 + a2 + … + an ≤ a21 + a22 + … + an2
n
n
证明 这里可取 Α= (a1, a2, …, an) , Β= (1, 1,
…, 1) , 由 Cauchy2Schw arz 不等式易知 (a1 + a2 + … + an) 2 = (Α, Β) 2
a
∫ ∫ ≤
b
f 2 (x ) dx
1 2
+
b
g 2 (x ) dx
1 2
a
a
3 n 维欧氏空间中的 Cauchy-Schwarz 不等 式
在 n 维欧氏空间中, 对任意的向量 Α= (a1, a2,
…, an) , Β = (b1, b2, …, bn) , 定义内积: (Α, Β) = a1b1
无论是在初等数学还是在高等数学中, Cauchy2 Schw arz 不等式都非常重要, 有着广泛的应用。本文 给出 Cauchy2Schw arz 不等式的四种形式的证明, 并 举例说明其应用。
1 在实数域中的 Cauchy 不等式
命题 1 设 ai, bi ∈ R ( i = 1, 2, …, n)
a
a
∫ ∫ b
≤ 2 f 2 (x ) dx
b
g 2 (x ) dx
1 2
a
a
∫ ∫ ∫ b
b
b
] f 2 (x ) dx + 2 f (x ) g (x ) dx + g 2 (x ) dx
a
a
a
∫ ∫ ∫ b
b
≤ f 2 (x ) dx + 2 f 2 (x ) dx
b
g 2 (x ) dx
1980. [ 3 ]李贤平. 概率论基础[M ]. 北京: 高等教育出版社, 1997. [ 4 ] 林正炎, 白志东. 概率不等式 [M ]. 北京: 科学出版社,
2006.
90
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
E ΝΓ 2 ≤ E Ν2 E Γ2
(4)
等号成立当且仅当 P {Γ= t0Ν} = 1, 这里 t0 是某一个
常数。
证明 对任意实数 t, 定义 u ( t) = E ( tΝ- Γ) 2 =
t2E Ν2 - 2tE ΝΓ+ E Γ2, 显然对一切 t, u ( t) ≥ 0, 因此二
次方程 u ( t) = 0 或者没有实数根或者有一个重根。
Α, 则 (Χ, Α) = 0,
且
0
≤
‖Χ‖2
=
Β-
(Β, Α) ‖Α‖2
Α, Β -
(Β, Α) ‖Α‖2
Α
=
(Β, Β) -
(Β, Α) ‖Α‖2
(Α,
Β)
=
‖Β‖2 -
当 Α, Β 线性相关时, 等号成立。
(Α, Β) 2 ‖Α‖2
反之, 当等号成立时, 或 Α= 0 或 Χ= 0, 即 Α, Β
∫
b
(f (x ) + g (x ) ) 2dx
1 2
a
收稿日期: 2008206208 作者简介: 李静 (1978- ) , 女, 安徽濉溪人, 硕士, 讲师, 主要研究方向: 概率与数理统计。
89 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
( an ) 2
≥
a1 × 1 +
a1
+
an × 1
an
a2 ×
2
1 +…
a2
= (1 + 1 + … + 1) 2 = n2
2 微积分中的 Cauchy2Schw arz 不等式
命题 1 设 f (x ) , g (x ) 在[ a, b ] 上可积, 则
∫ ∫ ∫ b
b
f (x ) g (x ) dx ) 2 ≤ f 2 (x ) dx
所以[ E ΝΓ]2 - E Ν2 E Γ2 ≤ 0, 这正是 (4)。此外, 方程
u ( t) = 0 有一个重根 t0 存在的充要条件是
[ E ΝΓ]2 - E Ν2 E Γ2 = 0
这时 E ( tΝ- Γ) 2 = 0, 因此 P {t0Ν- Γ= 0} = 1,
即 P {Γ= t0Ν} = 1。
b
g 2 (x ) dx
a
a
a
(2)
证明 类似命题 1 可以利用判别式证明之。下
面给出另一种证法:
因为 f , g 都在[ a, b ] 上可积, 则由定积分的性质
f 2, f g , g 2 均在[ a, b ] 上可积, 对区间[ a, b ] 进行 n
等分, 分点为 x 1 =
a+
bn
a i, i =
1 2
a
a
a
∫b
+ g 2 (x ) dx a
∫b
] (f (x ) + g (x ) ) 2dx a
∫ ∫ ≤
b
f 2 (x ) dx
1 2
+
b
g 2 (x ) dx
1 2
2
a
a
因 为两边都大于等于零, 且右边大括号内也大
于等于零, 所以有
∫
b
(f (x ) + g (x ) ) 2dx
1 2
i,
,
则:
∑ 2
P (A iA j ) = E (X 1 + … + X n) 2
1≤i< j ≤n
-
E
(X
2 1
+
…+
X
2 n
)
2
有 Cauchy2Schw arz 不等式, 得
(E (X 1 + … + X n) ) 2 ≤ P (X 1 + … + X n >
0) E (X 1 + … + X n) 2
b2i ≥ 0
i= 1
i= 1
i= 1
由 于 Π x ∈ R , 因此上述不等式的判别式大于
n
n
n
∑ ∑ ∑ 零, 即: 4 ( aibi) 2 - 4 ( a2i ) ( b2i ) ≤ 0
i= 1
i= 1
i= 1
易得 (1) 式成立。
例 1 设 ai ∈R + ( i = 1, 2, …, n) , 求证 (a1 + a2
∫ ∫ ≤
b
f 2 (x ) dx
1 2
+
b
g 2 (x ) dx
1 2
a
ห้องสมุดไป่ตู้
a
证 由 (2) 式
∫b
2
f (x ) g (x ) dx
a
∫ ∫ b
≤ f 2 (x ) dx
b
g 2 (x ) dx
a
a
∫ ∫ b
b
] 2 f (x ) g (x ) dx ≤ 2 f (x ) g (x ) dx
例 4 证明 Chung2E rdo s 不等式:
n
n
∑2 P (A i)
P ∪A i ≥ n
i= 1
i= 1
∑ ∑ P (A i) + 2
P (A iA j )
i= 1
1≤i< j ≤n
证明 定义随机变量 X k (Ξ) , Ξ ∈ 8 :
X k (Ξ) =
0, 若 Ξ | A 1 若 Ξ ∈A i
+ a2b2 + … + anbn; 定义 Α的长度或范数为 ‖Α‖ =
(Α,
Α)
1 2
。
命题 3 (Α, Β) ≤ ‖Α‖ ‖Β(3) ; 当且仅当
Α, Β 线性相关时等号成立。