高中数学问题备忘录—数列
高三数学知识点归纳数列
高三数学知识点归纳数列高三数学知识点归纳 - 数列数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。
在高三数学中，数列是非常重要的知识点之一。
本文将对高中数学中涉及的数列知识点进行归纳和总结。
一、数列的概念和性质数列由一系列按照一定规律排列的数字组成，可以用数学公式表示。
数列中的每一个数字称为数列的项，通常用字母a表示。
例如，数列 {1, 2, 3, 4, 5} 可以表示为 a₁, a₂, a₃, a₄, a₅。
根据数列中的项之间的规律，数列可以分为等差数列和等比数列两种常见类型。
等差数列是指数列中每两个相邻项之间的差值都相等，常用的表示方式是 a₁, a₁+ d, a₁+2d, a₁+3d, ...；等比数列是指数列中每两个相邻项之间的比值都相等，常用的表示方式是 a₁, a₁r, a₁r², a₁r³, ...。
其中，a₁是首项，d是公差（等差数列）或公比（等比数列），r是公比。
数列的性质包括有限项数、通项公式、递推公式等。
有限项数是指数列中项的个数是有限的，可以通过计算得到。
通项公式是指通过一个公式可以直接计算数列中任意一项的值。
递推公式是指通过计算数列中前一项或前几项的值可以得到数列中下一项的值。
二、等差数列1. 基本概念与性质等差数列是指数列中每两个相邻项之间的差值都相等。
等差数列的性质：公差为d的等差数列的第n项可以表示为 an = a₁ + (n-1)d。
2. 等差数列的求和公式等差数列的求和公式：前n项和Sn = (a₁ + an) * n / 2 = (2a₁ + (n-1)d) * n / 2。
三、等比数列1. 基本概念与性质等比数列是指数列中每两个相邻项之间的比值都相等。
等比数列的性质：公比为r的等比数列的第n项可以表示为 an = a₁ *r^(n-1)。
2. 等比数列的求和公式等比数列的求和公式：前n项和Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r) (r ≠ 1)，当|r| < 1 时，可进一步得到Sn = a₁ / (1 - r)。
高中数列知识点归纳总结及例题
高中数列知识点归纳总结及例题数列是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学问题中都起着至关重要的作用。
通过学习数列的定义、性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对高中数列知识点进行归纳总结，并附上相关例题供读者练习。
1. 数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的一组数。
其中，每一个数称为数列的项，位置称为项数，用字母a表示数列的通项。
数列的性质包括等差数列和等比数列两种常见情况：1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列为{an}，公差为d，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2（3）项数公式：n = (an - a1) / d + 1例题1：已知等差数列{an}的首项是3，公差是4，求第10项的值。
解析：根据等差数列的通项公式，代入a1 = 3，d = 4，n = 10，求得a10 = 3 + (10-1) * 4 = 39。
1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设数列为{an}，公比为q，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 * q^(n-1)（2）前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)（3）项数公式：n = logq(an / a1) + 1例题2：已知等比数列{an}的首项是2，公比是3，求第5项的值。
解析：根据等比数列的通项公式，代入a1 = 2，q = 3，n = 5，求得a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。
2. 数列的求和数列的求和是数学中常见的问题之一，通过找到数列的规律和应用对应的公式，可以快速求解数列的和。
下面分别介绍等差数列和等比数列的求和公式。
2.1 等差数列的求和对于等差数列{an}，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中，a1为首项，an为末项，n为项数。
高考文科数列必考知识点
高考文科数列必考知识点一、什么是数列数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在高中数学教学中，数列通常是以一般项的形式给出，即 $a_n$。
二、数列的性质1. 有界性：数列可能是有上界或下界的，也可能是有上下界的。
有界数列的一种特殊情况是收敛数列。
2. 单调性：数列可能是递增的、递减的或保持不变的。
3. 极限性：数列可能会趋于某个有限的常数，也可能发散。
如果数列不趋于常数，那么它就是发散的。
三、等差数列1. 概念：等差数列是指数列的相邻两项之间的差值都是相等的。
常用的等差数列的一般项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$ 为首项，$d$ 为公差，$n$ 为项数。
2. 性质：等差数列的前 n 项和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 +a_n)$，其中 $S_n$ 为前 n 项和，$a_1$ 为首项，$a_n$ 为第 n 项。
四、等比数列1. 概念：等比数列是指数列的相邻两项之间的比值都是相等的。
通常等比数列的一般项公式为 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$，其中$a_1$ 为首项，$r$ 为公比，$n$ 为项数。
2. 性质：等比数列的前 n 项和公式为 $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中 $S_n$ 为前 n 项和，$a_1$ 为首项，$r$ 为公比。
五、斐波那契数列1. 概念：斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的一般项公式为 $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$，其中 $f_1 = 1$，$f_2 = 1$。
2. 性质：斐波那契数列有许多有趣的性质，如黄金分割比例等。
六、递归数列1. 概念：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都依赖于前几项。
常见的递归数列有斐波那契数列和阶乘数列等。
2. 方法：递归数列可以通过递推关系式或初始值来求解。
递推关系式表示当前项和前几项的关系，初始值为已知的几个项。
高考数学数列知识点归纳
高考数学中的数列知识点主要包括以下内容：
1. 数列的定义与性质：
-数列的概念：数列是按照一定规律排列的数的集合。
-项数与前n项和：第n项表示数列中的第n个数，前n项和表示数列前n项的和。
-通项公式与递推公式：通项公式是指可以通过给定的项数n来直接计算某一项的公式，递推公式则是通过前一项或前几项来计算下一项的公式。
2. 常见数列：
-等差数列：数列中的每个数都与其前一个数之差相等。
-等比数列：数列中的每个数都与其前一个数之比相等。
-斐波那契数列：数列中的每个数都是前两个数之和，即第三项开始满足an = an-1 + an-2。
3. 数列的性质和运算：
-数列的有界性：数列可以是有界的（上有界、下有界）、无界的或发散的。
-数列的单调性：数列可以是递增的、递减的或保持不变。
-数列的极限：数列可能有极限（有限或无穷）或不存在极限。
4. 数列的求和：
-等差数列的求和公式：利用等差数列的性质，可以得到等差数列前n项和的通用公式。
-等比数列的求和公式：利用等比数列的性质，可以得到等比数列前n项和的通用公式。
5. 数列的应用：
-常见问题的建模与解决：通过将实际问题转化为数列的形式，利用数列的性质和公式来解决问题。
以上是高考数学中与数列相关的主要知识点。
掌握这些知识点，能够帮助学生在解答数列相关题目时更加熟练和准确。
需要注意的是，除了理论知识，还需要进行大量的练习和实践，以提高对数列概念的理解和应用能力。
高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)
数列一、 知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
高中数学备忘录数列、极限、数学归纳法
高中数学备忘录——数列、极限、数学归纳法1. 等差数列中的重要性质：若( )m n k l m n k l N +=+∈，，，，则m n k l a a a a +=+；2. 等比数列中的重要性质：若( )m n k l m n k l N +=+∈，，，，则m n k l a a a a =；3. 以上两个性质可推广到若干个，但等式两端的项数必须相等，脚标之和必须相等；4. 等差（比）数列通项公式的变式()()n k n k n k a a n k d a a q -=+-=有时非常好用；5. 两个实数 a b 、的等差中项唯一2a b A +=；2a b A +=是 a A b ，，成等差数列的充要条件； 6. 两个正数 a b 、的等比中项有两个G =2G ab =是 a G b ，，成等比数列的必要非充分条件；7. 等差数列{}n a 的前n 项和111()()(1)(1)2222n k n k n n n a a n a a n n d n n d S a n a n -+++--===+=-； 8. 用等比数列求和公式求数列的和时，勿忘1q =；已知前n 项和n S ，求n a , 勿忘1n =； 9. 等比数列{}n a 的前n 项和111 1(1) 111n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，，； 10. 1q ≠时，1(1)1n n a q S q -=-的优势：无需知道末项；11n n a a q S q-=-的优势：无需知道项数； 11. 等差数列{}n a 的前n 项和，次n 项和，再n 项和，…，第k 个n 项和成等差数列，公差为2n d ；12. 等比数列{}n a 的前n 项和，次n 项和，再n 项和，…，第k 个n 项和成等比数列，公比是n q ；13. 已知等差数列的前n 项和为n S ，则1()2n S d dn a n =+-，表明{}n S n 也是等差数列；即点( )()n S n n N n∈，共线(也就是当n 取不同值时，斜率相等)； 14. 项数有限的等差数列奇数项的和S 奇，偶数项的和S 偶满足n S S S +=奇偶；当n 为偶数时，2nd S S -=-奇偶；当n 为奇数时，n S S S a n-==奇偶中； ↓·↓·↓·↓·↓15. 若数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，则{}n n A a B b ⋅-⋅( A B 、为常数)也是等差数列；16. 若数列{}n a 、{}n b 都是等比数列，则{}A B n n a b ⋅( A B 、为常数)也是等比数列；17. 若数列{}n a 是等差数列，(0 1)n an b a a a =>≠，，则{}n b 是等比数列； 18. 若数列{}n a 是等比数列，log (0 1)n n a b a a a =>≠，，则{}n b 是等差数列； 19. 证明数列{}n a 为等差数列的方法：①根据定义：1n n a a d +-=( n N d ∈，为常数)；②根据通项公式：1(1)n a a n d =+-；③根据性质：122n n n a a a ++=+；20. 证明数列{}n a 为等比数列的方法：①根据定义：1n n a qa +=( n N q ∈，为非零常数)；②根据通项公式：11n n a a q -=； ③根据性质：212n n n a a a ++=；21. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和, {}n a 为等差数列的充要条件是2n S an bn =+( a b ，为常数)其公差是2a ；{}n a 为等比数列的充要条件是n n S aq a =-( a q ，为非零常数)其公比是q ；22. 等差数列前n 项和的最大(小)值的求法：①二次函数配方法；②找出所有正(负)项；若m k S S =，则m k +为偶数时，2m k S +最大(或小)，m k +为奇数时，12m k S ++和12m k S +-大(或小)23. “若n n n c a b =，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求{}n c 的最大(小)项”，利用不等式1n n a a +≥(或1n n a a +≤)找到{}n c 的单调性；24. “若n n n c a b =，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求{}n c 的前n 项”用“错位相减”法；25. “若1n n nc a b =，其中{}n a 、{}n b 都是等差数列，求{}n c 的前n 项的和”用“裂项求和”法；（如111(1)1n n n n =-++；!(1)!!n n n n ⋅=+-等）； 26. “若n n n c Aa Bb =+( A B 、为常数)，其中{}n a 、{}n b 的和分别已知或可求，求{}n c 的前n 项的和”用“分组求和”法；（如13223n n c n -=⋅-+等）；27. 还有等差数列求和公式的推导方法“倒序相加法”求和；↓·↓·↓·↓·↓28. 数学归纳法证明与自然数有关的问题的步骤：以下斜体字在证题过程中照抄，“……”是证明过程 ①(验证)当0n n =时，……结论成立；②假设0( )n k k n n N =≥∈，时结论成立，即…… 则当1n k =+时，……即当1n k =+时，结论成立由①②可知，结论对任意0 n n n N ≥∈，成立。
高考数列知识点归纳
高考数列知识点归纳数列在高考数学中是一个非常重要的知识点，它涉及到高等数学中的重要理论和应用。
掌握数列的相关概念和性质，对于考生来说是非常关键的。
本文将对高考数列知识点进行归纳总结，帮助考生更好地备考和应对考试。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是一列按照一定规律排列的数的集合，通常用{an}表示，其中an代表数列的第n个项。
2. 等差数列：如果一个数列中任意两个相邻项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列可以由首项a1和公差d来确定。
3. 等比数列：如果一个数列中任意两个相邻项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列可以由首项a1和公比r来确定。
二、数列的通项公式1. 等差数列的通项公式：对于等差数列{an}，其通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列的通项公式：对于等比数列{an}，其通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
三、数列的基本性质1. 等差数列的性质：a) 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn为前n项和。
b) 通项和公式：Sn = (n/2)(a1 + a1 + (n-1)d) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)。
c) 项数公式：n = (an - a1)/d + 1。
d) 等差数列的和公式是高考中经常考察的一个知识点，考生应熟练掌握。
2. 等比数列的性质：a) 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)，其中Sn为前n项和。
b) 无穷项和公式：当0 < r < 1时，Sn趋近于a1/(1 - r)，即S =a1/(1 - r)。
c) 项数公式：n = loga(an/a1) / loga(r)。
四、数列的应用1. 判断数列的性质：考生在解决应用题时，常常需要判断数列是等差数列还是等比数列，需要根据题目中给出的条件来进行判断。
数列知识点总结高考
数列知识点总结高考一、数列的概念数列是指有限或无限个数的有序排列，以逗号分隔，记作{an}。
其中an称为数列的通项。
常见的数列有等差数列、等比数列等。
二、等差数列1. 等差数列的定义若一个数列中任意两项之间的差都相等，则这个数列称为等差数列。
其中，差值称为公差，记作d。
2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d3. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 24. 等差数列中的常见问题等差数列中的常见问题包括求首项、公差、通项、前n项和以及数列的性质等。
三、等比数列1. 等比数列的定义若一个数列中任意两项之间的比值都相等，则这个数列称为等比数列。
其中，比值称为公比，记作q。
2. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)3. 等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)4. 等比数列中的常见问题等比数列中的常见问题包括求首项、公比、通项、前n项和以及数列的性质等。
四、数列的性质1. 有限数列的性质有限数列的性质包括首项、末项、公差或公比、前n项和等。
2. 无限数列的性质无限数列的性质包括首项、公差或公比、极限等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是数列的重要性质，通过通项公式可以求得数列的任意项。
五、利用数列解决实际问题数列在实际问题中的应用十分广泛，例如等差数列可以用来描述等距离的运动过程，等比数列可以用来描述成倍增加的现象等。
总结：通过学习数列的知识，我们可以得到多种数学问题的解决方法，通过分析数列的性质和通项公式，可以更好地理解数学问题的本质。
因此，数列是数学学习中一个重要的基础知识。
以上就是数列的相关知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
高二数列六大方法知识点
高二数列六大方法知识点数列是高中数学中的重要概念，也是很多数学问题的基础。
在高二数学中，数列的学习是相当重要的一部分。
在本文中，我们将介绍高二数列中的六大方法知识点，帮助同学们更好地掌握和应用数列的知识。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差恒定的数列。
等差数列常用的表示方法是：an = a1 + (n-1)d，其中an是数列的第n项，a1是数列的首项，d是等差。
等差数列的求和公式为：Sn = (a1 + an) × n ÷ 2。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比恒定的数列。
等比数列常用的表示方法是：an = a1 ×r^(n-1)，其中an是数列的第n项，a1是数列的首项，r是公比。
等比数列的求和公式为：Sn = a1 × (1 - r^n) ÷ (1 - r)。
三、递推数列递推数列是指数列中的每一项都通过前面的项进行计算得出的数列。
递推数列的表示方法较为灵活，常用的有递推式和初值两种形式。
递推数列的计算可以通过不断递推或者构建递推关系式来完成。
四、求通项公式通项公式是求数列中的第n项的公式，它可以通过观察数列的特点让我们找到规律，从而便于计算数列中任意一项的值。
常见的数列如等差数列和等比数列都有通项公式，利用这些通项公式可以简化数列计算的过程。
五、数列的性质和应用数列除了一些基本的概念和计算方法外，还有一些性质和应用，这些内容通常也是高二数列的重点和难点。
比如数列的单调性、极限、递归和数列在实际问题中的应用等等，这些内容需要同学们深入理解和掌握。
六、综合练习与解题技巧数列的应用十分广泛，相应地解题技巧也是多种多样的。
在学习数列的过程中，同学们需要通过大量的练习来提高对数列特点的把握和运用能力。
可以通过课后习题、模拟试卷等方式进行综合练习，并结合老师的指导进行解题技巧的学习和掌握。
综上所述，高二数列的六大方法知识点对于同学们掌握数列的概念和运用都非常重要。
高中数学数列知识点归纳总结大全
高中数学数列知识点归纳总结大全数列作为数学中的重要概念，是许多数学问题的基础和核心。
本文将对高中数学中关于数列的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、数列的定义数列是一系列有序排列的数字按照一定规律排列而成的集合。
数列可以分为等差数列和等比数列两种类型。
其中，等差数列是指数列中相邻两个数之差恒定，而等比数列是指数列中相邻两个数的比值恒定。
二、等差数列1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以用来确定第 n 项的值，公式为：An = A1 + (n-1)d。
其中，An表示第 n 项的值，A1是首项的值，d是公差。
2. 等差数列的性质（1）等差数列的前 n 项和公式为Sn = (A1 + An) * n / 2。
（2）等差数列的任意三项可以构成一个等差中项。
（3）等差数列的前 n 项和与末项的关系可以表示为Sn = (n / 2)(A1 + An)。
三、等比数列1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用来确定第 n 项的值，公式为：An = A1 * r^(n-1)。
其中，An表示第 n 项的值，A1是首项的值，r是公比。
2. 等比数列的性质（1）等比数列的前 n 项和公式为Sn = A1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
（2）等比数列的前 n 项和与无穷项的关系可以表示为Sn = A1 / (1 - r)。
四、常见数列问题1. 求和问题求和问题是数列问题中常见的一类问题。
对于等差数列，可以利用前 n 项和公式直接求得和；对于等比数列，可以利用前 n 项和公式来求和。
2. 推导问题推导数列的通项公式，即确定数列中各项之间的规律，是数列问题中的重要内容。
根据已知的条件，可以通过观察和分析找到数列的规律，并将其表示为通项公式。
3. 应用问题数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，金融领域中的复利问题、物理学中的运动问题等。
对于这类问题，需要将问题中的现象抽象为数列，并运用数列的性质和公式来求解。
高中数学数列知识点总结归纳
高中数学数列知识点总结归纳数学数列是高中数学中的重要知识点之一，它是指由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在高中数学中，数列作为一种数学模型，能够帮助我们描述和解决各种实际问题。
本文将对高中数学数列的相关知识点进行总结和归纳。
一、数列的基本概念数列由一个个数按照一定的顺序排列而成，其中每个数叫做数列的项。
数列可以用公式来表示，这个公式可以根据数列的特点进行推导。
例如，等差数列的公式是an=a1+(n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1是首项，d是公差。
等比数列的公式是an=a1*r^(n-1)，其中r是公比。
数列还可以按照项数的有限性分为有限数列和无限数列。
二、常见数列及其性质1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
等差数列的常见性质有：（1）首项和公差确定一个等差数列；（2）通项公式：an=a1+(n-1)d；（3）前n项和公式：Sn=n/2*(a1+an)；（4）等差中项公式：若a1、an、an是等差数列中三项，且an是它们的中项，则an=(a1+an)/2。
等差数列在实际问题中的应用非常广泛，比如描述物体运动的位移、速度等。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
等比数列的常见性质有：（1）首项和公比确定一个等比数列；（2）通项公式：an=a1*r^(n-1)；（3）前n项和公式（仅当公比小于1时成立）：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)；（4）无穷项和公式（仅当公比小于1时成立）：Sn=a1/(1-r)。
等比数列在实际问题中常用于描述指数增长或指数衰减的情况。
3. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是由等差数列和等比数列的特点相结合而成的数列。
这种数列的常见特点有：（1）首项和公差确定等差部分；（2）从某一项开始，后一项与前一项的比保持不变，形成等比部分；（3）首项和公差确定等比部分。
三、数列的求和问题在解决数列的问题时，面临的一个常见问题就是求和。
高三数列知识点归纳总结
高三数列知识点归纳总结数列在数学中是非常重要的一种概念和工具。
在高三数学学习过程中，数列是一个重要的知识点，也是数学建模和应用题目中经常遇到的内容。
本文将对高三数列知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握数列相关的知识。
一、数列及其表示法1. 数列的定义数列是一列按照一定规律排列的数的集合，其中每个数称为该数列的项。
2. 数列的表示法常见的数列表示法有：(1) 通项公式：用an表示第n个数列项的数的表达式；(2) 递推公式：表示每一项与前一项之间的关系，常用an+1 = an + d (等差数列)和 an+1 = an * q (等比数列)来表示。
二、等差数列1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二个数开始，每一项与它的前一项之差都是一个固定的常数d。
2. 等差数列的通项公式对于等差数列an，其通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
3. 等差数列的性质和应用(1) 公差d的求解：已知等差数列前两项或者任意两项可以求出公差d；(2) 求等差数列的和：部分和Sn的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2；(3) 等差数列的应用：等差数列在数学建模和应用题目中经常出现，如等差数列作为一种数值规律，可用于解决实际问题。
三、等比数列1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每一项与它的前一项之比都是一个固定的常数q。
2. 等比数列的通项公式对于等比数列an，其通项公式可以表示为an = a1 * q^(n - 1)，其中a1为首项，q为公比。
3. 等比数列的性质和应用(1) 公比q的求解：已知等比数列前两项或者任意两项可以求出公比q；(2) 求等比数列的和：部分和Sn的计算公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)；(3) 等比数列的应用：等比数列在金融领域、自然科学等领域中有广泛的应用，如利润计算、天文学中的指数增长等。
2024年高考数学数列易错知识点总结
2024年高考数学数列易错知识点总结在2024年高考中，数学数列是一个常见的考点，也是一道容易出错的题型。
为了帮助考生顺利应对数列相关的考试题目，下面总结了一些常见的易错知识点。
一、等差数列的通项公式：等差数列是指数列中任意两项之间的差相等的数列。
它的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。
对于等差数列来说，考生容易犯的错误有：1. 弄混公差和公比。
公差指的是等差数列中任意两项之间的差，公比指的是等比数列中任意两项之间的比值。
考生在计算等差数列的时候，应该注意区分这两个概念。
2. 弄混首项和通项。
首项指的是数列中的第一项，通项指的是数列中第n项的表达式。
在计算等差数列的时候，考生应该注意首项和通项的区别。
3. 对于计算等差数列的题目，考生有时会直接套用公式，而忽略对问题的分析和推理。
在解题过程中，不应只关注于公式的使用，还应注重思考问题的本质，并结合实际情况进行合理的推理和分析。
二、等差数列的前n项和公式：等差数列的前n项和公式为：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 +a_n)$。
在计算等差数列前n项和的过程中，考生容易犯的错误有：1. 弄混首项和末项。
求前n项和的公式中，首项$a_1$和末项$a_n$都是需要用到的。
考生容易弄混这两个项，在计算过程中应该注意清楚。
2. 计算公式时漏写除以2。
前n项和的公式是$\\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，但考生在计算的时候经常漏写除以2的操作，导致结果错误。
3. 求前n项和时，考生有时对问题的理解不准确。
在一些应用题中，需要根据题目给出的条件和要求来求解前n项和。
考生如果对问题的理解不准确，很容易在计算过程中出错。
三、等比数列的通项公式：等比数列是指数列中任意两项之间的比值相等的数列。
它的通项公式为：$a_n = a_1 \\times q^{(n-1)}$。
对于等比数列来说，考生容易犯的错误有：1. 弄混公比和公差。
高三知识点备忘录
高三知识点备忘录一、数学1. 数列与数列的求和a. 等差数列b. 等比数列c. 常数项数列d. 数列求和公式2. 函数与图像a. 指数函数与对数函数b. 二次函数与一次函数c. 正弦函数与余弦函数d. 函数图像的性质3. 三角函数与三角恒等式a. 正弦、余弦、正切函数的定义与性质b. 三角函数图像的变换c. 三角恒等式的推导与应用4. 解析几何a. 直线与平面的方程b. 点、线、面的位置关系c. 直线与平面的交点与夹角d. 空间几何问题的解法5. 微积分a. 导数的定义与计算b. 极限的概念与性质c. 函数的极值与最值d. 定积分与不定积分二、物理1. 力、力矩与机械平衡a. 力的合成与分解b. 物体的平衡条件c. 杠杆原理与力矩计算d. 机械平衡问题的解法2. 力学运动a. 速度与加速度的关系b. 牛顿三定律与力学问题解析c. 动量与动量守恒定律d. 能量与能量守恒定律3. 光学a. 光的传播与反射b. 光的折射与光的速度c. 光的像与镜的成像原理d. 光的色散与光的干涉4. 电学a. 电流与电阻b. 电压与电功c. 电路中的串并联d. 欧姆定律与电功率公式三、化学1. 物质的组成与性质a. 元素与化合物b. 化学方程式的平衡关系c. 化学反应速率与反应平衡d. 物质的导电性与酸碱性2. 离子与化学键a. 离子的生成与离子式b. 阴离子与阳离子的命名规则c. 金属键与离子键的形成d. 共价键与化合物的化学性质3. 化学反应与化学平衡a. 反应类型与反应方程式b. 摩尔反应与分子反应c. 反应速率与影响因素d. 化学平衡与平衡常数4. 酸碱与盐a. 酸碱的定义与性质b. 强酸弱酸与强碱弱碱的区别c. 酸碱溶液的中和反应d. 酸碱指示剂的应用四、英语1. 语法与词汇a. 时态与语态的使用b. 从句与复合句的构成c. 词汇搭配与短语表达d. 词义辨析与句子优化2. 阅读与理解a. 阅读技巧与提取信息b. 主旨与推理题的解答方法c. 阅读材料的结构与篇章连贯d. 阅读素材的分类与内容判断3. 写作与表达a. 作文结构与段落组织b. 逻辑思维与观点阐述c. 合理用词与语句流畅d. 语法错误与写作规范五、生物1. 分子与细胞a. 生物大分子的结构与功能b. 细胞膜与细胞器的组成c. 细胞的生物学特性与进化d. 细胞分裂与遗传信息的传递2. 遗传与进化a. 基因与染色体的结构b. 遗传变异与性状表现c. 遗传方法与分子生物技术d. 进化论与物种适应性3. 生物体与环境a. 生态系统与生物圈的概念b. 生物种群与生态位的关系c. 物种多样性与生态平衡d. 生态污染与环境保护4. 物质与能量的转换a. 光合作用与呼吸作用b. 能量来源与物质循环c. 生物代谢与能量转化d. 食物链与食物网以上提及的知识点仅为高三阶段的基本核心内容，希望同学们能够认真备忘，并针对薄弱的知识点进行加强复习。
高考数学复习备忘录(七)数列
高考数学备忘录（七）数列【知识要点】（一）等差数列：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
如 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a b A +=。
(二)等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 4.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．5. 若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S n 是等差数列{a n }的前n 项和，T n 是等差数列{b n }的前n 项和,则2121n n n nS a T b --=； （三）等比数列的有关概念： 1．等比数列的判断方法：定义法1(n n a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a a a a +-=(2)n ≥。
2．等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。
高考数学数列知识点归纳
高考数学数列知识点归纳在高考数学中，数列是一个重要的概念，无论是在选择题还是解答题中，数列都是经常出现的考点之一。
为了帮助同学们更好地复习和应对高考数学考试，下面将对数列的相关知识点进行归纳和总结。
一、数列的基本概念和性质1. 数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，根据数的规律可以分为等差数列、等比数列等。
2. 数列的通项公式和递推公式：通项公式表示数列中任意一项的公式；递推公式表示数列中每一项与其前一项之间的关系。
3. 数列的前n项和公式：前n项和公式是指数列前n项的和，对于等差数列和等比数列，都有相应的求和公式。
二、等差数列的相关知识点1. 等差数列的通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等差数列的前n项和公式：对于等差数列an，其前n项和Sn = (a1 + an) * n / 2。
三、等比数列的相关知识点1. 等比数列的通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 等比数列的前n项和公式：对于等比数列an，其前n项和Sn = a1(1 - q^n) / (1 - q)，其中q不等于1。
四、数列的应用题1. 求等差数列或等比数列的未知项：通过数列的已知项和数列的性质，可以求解等差数列或等比数列中的未知项。
2. 求等差数列或等比数列的和：通过数列的已知项和数列的性质，可以求解等差数列或等比数列的前n项和。
五、数列的题型分类1. 判断题：根据数列的定义、性质和公式，判断给定的数列是等差数列还是等比数列。
2. 填空题：根据数列的定义和给定的条件，填写数列中的未知项或求数列的和。
3. 选择题：根据数列的定义、性质和公式，选择与给定数列相应的特征或关系。
总而言之，在高考数学中，数列是一个必须掌握的知识点，它既有一定的规律性，又有一定的计算性。
在复习数列的过程中，同学们应该牢记数列的定义、通项公式、递推公式和前n项和公式，并通过大量的练习题加深对数列的理解和运用能力。
数列知识点总结高二手写
数列知识点总结高二手写数列知识点总结数列是数学中常见的概念，广泛应用于各个领域。
在高中数学中，数列也是一个重要的知识点，其中包括等差数列、等比数列以及其他类型的数列。
本文将对这些数列的定义、性质和常见问题进行总结，并提供一些解题技巧。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
其一般形式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
1. 等差数列的公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
通过这个公式，我们可以快速求解数列中任意一项的值。
2. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过公式Sn = (n/2)(a1 + an)来求解，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
这个公式可以帮助我们快速计算数列的前n项之和。
3. 等差数列的性质和常见问题（1）相邻两项之差恒定；（2）任意三项可以构成一个等差数列；（3）等差数列的和与项数成正比，和与首项、末项之和成正比；（4）常见问题：已知等差数列的首项和公差，求解第n项的值；已知等差数列的首项和末项，求解项数。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列。
其一般形式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
1. 等比数列的公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
通过这个公式，我们可以快速求解数列中任意一项的值。
2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过公式Sn = (a1 * (1 - r^n))/(1 - r)来求解，其中n为项数，a1为首项，r为公比。
这个公式可以帮助我们快速计算数列的前n项之和。
3. 等比数列的性质和常见问题（1）相邻两项之比恒定；（2）任意三项可以构成一个等比数列；（3）等比数列的和与项数、首项、公比有关；（4）常见问题：已知等比数列的首项和公比，求解第n项的值；已知等比数列的首项和末项，求解项数。
高中数学笔记-4-数列
高中数学笔记----------4-数列基本概念：1.等差数列{a n }中:(1)a n =a+(n －1)d=a m +(n －m)d; p+q=m+n ⇒ a p +a q =a m +a n . (2)a 1+a 2+…+a m , a k +a k+1+…+a k+m －1,…仍成等差数列.(3)a p =q,a q =p (p ≠q) ⇒ a p+q =0; S p =q,S q =p (p ≠q) ⇒ S p+q =－(p+q); S m+n =S m +S n +mnd⑷S 2n-1=a n (2n-1) （常用于数列的比较中和代换中）; 为等差数列，公差为d23.等比数列{a n }中;(1) m+n=r+s, a m ·a n =a r ·a s(2) a 1+a 2+…+a m , a k +a k+1+…+a k+m －1,…仍成等比数列(4) 111 (1)(1) (1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注意:①a n －b n =(a －b)(a n －1+a n －2b+a n －3b 2+…+ab n －2+b n －1)②S m+n =S m +q m S n =S n +q n S m .4.等差数列与等比数列的联系(1)如果数列{a n }成等差数列, 那么数列{n aA }(n aA 总有意义)必成等比数列. (2)如果数列{a n }成等比数列, 那么数列{log ||a n a }(a>0,a≠1)必成等差数列.(3)如果数列{ a n }既成等差数列也成等比数列,那么数列{ a n }是非零常数数列; 数列{a n }是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.(4)如果两等差数列有其公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 5.数列求和的常用方法.(1)公式法: ①等差数列求和公式, ②等比数列求和公式 ③常用公式:, 12+22+32+…+n 2=16n(n+1)(2n+1), 13+23+33+------+n 3=2(2)分组求和法: 在直接运用公式法求和有困难时,常将"和式"中"同类项"先合并在一起,再运用公式法求和.(3)倒序相加法: 在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性,则常考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和.(4)错位相减法: 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列通项相乘构成,那么常选用错位相减法,将其和转化为"一个新的等比数列的和"求解".(5)裂项相消法: 如果数列的通项可"分裂成两项差"的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和,常用裂项形式有:①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k=-++ ③2211111()1211k k k k <=---+; 21111111(1)1k k k k k k k -<<=-+-- ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ⑤ 11(1)!!(1)!n n n n =-++⑥ 12(1)2(1)n n n n n+-<<-- ⑦ --）；--）（注意:运用等比数列求和公式时,务必检查其公比与1的关系,必要时应分类讨论.裂项相消法更多的用于数列中不等式的证明） 6.数列的通项的求法:（11种类型） 类型1 )(1n f a a n n +=+ ；（累加法）解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
高考数学数列手写知识点
高考数学数列手写知识点高考数学，作为高中阶段的最后一次考试，对于学生来说具有重要的意义。
其中，数列作为数学中的基础概念之一，一直是考了又考的重点内容。
数列的手写知识点对于考生们来说也是必备的技能之一。
本文将从数列的定义、常见数列的性质和求解方法三个方面进行探讨，以帮助考生们更好地掌握数列相关知识。
一、数列的定义数列，是由一系列有顺序的数按一定规律排列而成的序列。
数列中的每一项称为数列的项，用一般的字母a、b、c等表示，数列的第n项用an 表示。
数列的一般形式可以表示为{an}，其中n表示项的位置。
除了一般数列的定义外，等差数列和等比数列是高考考纲要求掌握的重点。
下面将分别介绍这两类常见数列的性质和求解方法。
二、等差数列的性质和求解方法1. 等差数列的性质（1）公差：等差数列的相邻两项之间的差值是固定的，称为公差，用d表示。
（2）通项公式：对于等差数列{an}，我们可以通过递推关系式或通项公式来表示第n项an的数值。
其中，递推关系式为an = a1 + (n-1)d，通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 求解等差数列（1）已知首项和公差，求任意项的值：根据通项公式，我们可以根据已知条件求解任意项的值。
对于已知数列的首项a1和公差d，第n项的值为an = a1 + (n-1)d。
（2）已知首项和末项，求项数：如果已知等差数列的首项a1和末项an，可以通过末项的通项公式an = a1 + (n-1)d，解方程求解项数n的值。
三、等比数列的性质和求解方法1. 等比数列的性质（1）公比：等比数列的相邻两项之间的比值是固定的，称为公比，用q表示。
（2）通项公式：对于等比数列{an}，我们可以通过递推关系式或通项公式来表示第n项an的数值。
其中，递推关系式为an = a1 * q^(n-1)，通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
2. 求解等比数列（1）已知首项和公比，求任意项的值：根据通项公式，我们可以根据已知条件求解任意项的值。
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高中数学备忘录——数列、极限、数学归纳法
1. 等差数列中的重要性质：若( )m n k l m
n k l N +=+∈，，，，则m n k l a a a a +=+； 2. 等比数列中的重要性质：若( )m n k l m
n k l N +=+∈，，，，则m n k l a a a a =； 3. 以上两个性质可推广到若干个，但等式两端的项数必须相等，脚标之和必须相等；
4. 等差（比）数列通项公式的变式()()n k n k n k a a n k d a a q -=+-=有时非常好用；
5. 两个实数 a b 、的等差中项唯一2a b A +=；2
a b A +=是 a A b ，，成等差数列的充要条件； 6. 两个正数 a b 、
的等比中项有两个G =2G ab =是 a G b ，，成等比数列的必要非充分条件； 7. 等差数列{}n a 的前n 项和111()()(1)(1)2222
n k n k n n n a a n a a n n d n n d S a n a n -+++--===+=-； 8. 用等比数列求和公式求数列的和时，勿忘1q =；已知前n 项和n S ，求n a , 勿忘1n =； 9. 等比数列{}n a 的前n 项和111 1(1) 111n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩
，，
； 10. 1q ≠时，1(1)1n n a q S q
-=-的优势：无需知道末项；11n n a a q S q -=-的优势：无需知道项数； 11. 等差数列{}n a 的前n 项和，次n 项和，再n 项和，…，第k 个n 项和成等差数列，公差为2n d ；
12. 等比数列{}n a 的前n 项和，次n 项和，再n 项和，…，第k 个n 项和成等比数列，公比是n q ；
13. 已知等差数列的前n 项和为n S ，则1()2n S d dn a n =+-，表明{}n S n 也是等差数列；即点( )()n S n n N n
∈，共线(也就是当n 取不同值时，斜率相等)； 14. 项数有限的等差数列奇数项的和S 奇，偶数项的和S 偶满足n S S S +=奇偶；当n 为偶数时，2nd S S -=-奇偶；当n 为奇数时，n S S S a n
-==奇偶中； ↓·↓·↓·↓·↓
15. 若数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，则{}n n A a B b ⋅-⋅( A B 、
为常数)也是等差数列； 16. 若数列{}n a 、{}n b 都是等比数列，则{}A B n n a b ⋅( A B 、
为常数)也是等比数列； 17. 若数列{}n a 是等差数列，(0 1)n a
n b a a a =>≠，，则{}n b 是等比数列；
18. 若数列{}n a 是等比数列，log (0 1)n n a b a a a =>≠，，则{}n b 是等差数列；
19. 证明数列{}n a 为等差数列的方法： ①根据定义：1n n a a d +-=( n N d ∈，
为常数)；②根据通项公式：1(1)n a a n d =+-； ③根据性质：122n n n a a a ++=+；
20. 证明数列{}n a 为等比数列的方法：
①根据定义：1n n a qa +=( n N q ∈，
为非零常数)；②根据通项公式：11n n a a q -=；
③根据性质：212n n n a a a ++=； 21. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和, {}n a 为等差数列的充要条件是2n S an bn =+( a b ，
为常数)其公差是2a ；{}n a 为等比数列的充要条件是n
n S aq a =-( a q ，为非零常数)其公比是q ；
22. 等差数列前n 项和的最大(小)值的求法：①二次函数配方法；②找出所有正(负)项；若m k S S =，则m k +为偶数时，2m k S +最大(或小)，m k +为奇数时，12m k S ++和12
m k S +-大(或小)
23. “若n n n c a b =，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求{}n c 的最大(小)项”，利用不等式1n n a a +≥(或1n n a a +≤)找到{}n c 的单调性；
24. “若n n n c a b =，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求{}n c 的前n 项”用“错位相减”法；
25. “若1n n n
c a b =，其中{}n a 、{}n b 都是等差数列，求{}n c 的前n 项的和”用“裂项求和”法；（如111(1)1
n n n n =-++；!(1)!!n n n n ⋅=+-等）； 26. “若n n n c Aa Bb =+( A B 、
为常数)，其中{}n a 、{}n b 的和分别已知或可求，求{}n c 的前n 项的和”用“分组求和”法；（如13223n n c n -=⋅-+等）；
27. 还有等差数列求和公式的推导方法“倒序相加法”求和；
↓·↓·↓·↓·↓
28. 数学归纳法证明与自然数有关的问题的步骤：以下斜体字在证题过程中照抄，“……”是证明过程 ①(验证)当0n n =时，……结论成立；
②假设0( )n k k n n N =≥∈，时结论成立，即……
则当1n k =+时，……
即当1n k =+时，结论成立
由①②可知，结论对任意0 n n n N ≥∈，成立。
29. 数列{}n a 的极限是A ，说明随着n 的无限增大，n a 与A 越来越近，而且无限接近．．．．
； 30. “lim lim n n n n a A b B →∞→∞==，”是“lim()n n n a b A B →∞
+=+”的充分非必要条件； 31. “若lim lim n n n n a A b B →∞→∞
==，，则lim()n n n a b A B →∞+=+”可推广到有限，不可推广到无限； 32. 22222123(1)1lim(
)lim 22
n n n n n n n n n n →∞→∞+++++== （先求和，再求极限）； 33. 若k 为常数，则2222123lim()0n k n n n n
→∞++++= （用加法的推广形式直接求极限）； 34. 若0c d ⋅≠，则 0lim 0n n n n n a q p ap bq c b cp dq p q d
→∞⎧<≠⎪+⎪=⎨+⎪<≠⎪⎩，，； 35. 1111112222lim k k k k n a n b n c a a n b n c a --→∞+++=+++ (20 a k ≠，为常数) 36. 1lim(1)n n e n
→∞+=；lim()b d n a n an b e an d -→∞+=+ 37. 如下两个极限的条件易记混：
若没有说明是等比数列，则lim 0n
n q →∞=成立的条件为||1q <（这里的q 可为零）； 无穷等比数列的和1lim 1n n a S S q
→∞==-成立的条件为0||1q <<（这里的q 不可为零）； 38. 已知无穷等比数列的和为a ，可由11a a q =-和0||1q <<求得q 的范围，本质是根据定义域求值域。