推广的非自治B_BBM方程的一致吸引子_朱朝生

收稿日期:2002-10-23基金项目:四川省重点科研基金资助项目作者简介:朱朝生(1968-),男,硕士生推广的非自治B -BB M 方程的一致吸引子朱朝生,　蒲志林(四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066) 摘要:对推广的非自治B -BBM 方程的长时间动力学行为进行了研究.由于非自治情形缺乏不变性质.一致吸引子被广泛地用于描述非自治耗散系统的长时间动力学行为.并证明了非自治的推广的B -BB M 方程的一致吸引子的存在性.关键词:非自治;B -BB M 方程;耗散系统;一致吸引子中图分类号:O175.26 文献标识码:A 文章编号:1001-8395(2003)06-0566-040　引言众所周知,自治的动力系统已经得到了深入的研究[1～7].这些研究包括吸引子,吸引子的维数估计,惯性流型,近似惯性流型,指数吸引子.但对非自治的动力系统的研究却很少见.从数学的观点来看,最重要的原因是由于在非自治的情形,几乎没有不变性.自从A .Haraus [8]给出了一致吸引子的定义以来,用一致吸引子来描述非自治耗散系统的长时间行为得到了大家的广泛认可.V .V .Chepyzhov 和M .I .Vishik [9]考察了二维有界区域上非自治Navier -Stokes 方程的长时间行为.本文研究非自治推广的B -BB M 方程.BB M 方程是T .B .B enjamin ,J .L .Bona 和J .J .Mahony [10]在水波研究中提出的u t +uu x -δu xxt =0,这是比KDV 方程更合适的数学物理方程.如果计及粘性及耗散作用(如湍流问题),则对应的模型方程为推广的B urgurs -BB M 方程[11]u t +uu x -μu xx -δu xxt +γu xxxx =0.文[12]研究了时滞B -BB M 方程的渐近性质.本文考虑如下形式的推广的非自治B -B BM 方程:u t +uu x -μu x x -βu xxt +γu x xxx +αu =f (x ,t ),(1)u (x ,τ)=u τ(x );　u (x ,t )=0,x ∈ Ψ,(2)其中μ,β,γ,α>0为常数,且Ψ R 1有界,f (x ,t )∈C b (Ψ×R ,R ),C b (Ψ×R ,R )表示Ψ×R 上的有界函数空间.本文给出了方程(1)和(2)一致吸引子存在的充分条件.1　预备知识令H =L 2([τ,∞),Ψ)和H m={u | iuxi ∈H ,i =0,1,2,…,m }.在H 和H m上分别定义模:‖u ‖=:(u ,u )12={∫Ψ|u |2d x }12, u ∈H ,‖u ‖m=‖ muxm ‖, u ∈H m .用C 表示通常的常数.定义1[9]　若X 是一个距离空间,我们称双参数簇{U σ(t ,τ)}:X ※X 为过程,如果下列条件成立:(i )U σ(t ,s )U σ(s ,τ)=U σ(t ,τ), :t ≥s ≥τ, τ∈R ;(ii )U σ(τ,τ)=I (恒等算子), τ∈R .其中s ∈R ,t ∈R +,σ∈΢,且΢={T (h )σ(x ,t )=σ(x ,t +h )}=H (σ) C b (R ,M ),H (σ)是σ的闭包.定义2[9]　过程{U σ(t ,τ)},σ∈΢称为一致有界(关于w .r .t .σ∈΢),如果对任意B ∈B (X ),集合∪σ∈΢∪τ∈R ∪t ≥τU σ(t ,τ)B ∈B (X ),B (X )表示X 上的所有有界集.定义3[9]　集合B 0∈E 对过程{U σ(t ,τ)},σ∈΢称为一致吸收的(w .r .t .σ∈΢),如果对任意τ∈R 和B ∈B (X ),存在T =T (t ,B )≥τ使得∪σ∈΢U σ(t ,τ)B B 0, t ≥T .定义4[9]　集合P ∈X 对过程{U σ(t ,τ)},σ　2003年11月　第26卷　第6期四川师范大学学报(自然科学版)Journal of Sichuan Normal University (Natural Science )Nov .,2003　Vol .26,No .6　∈΢称为一致吸引的(w.r.t.σ∈΢),如果lim t※+∞supσ∈΢dist΢(Uσ(t,τ)B,P)=0, τ∈R,　B∈B(X). 一个过程含有一个紧的一致吸收集就称为一致紧的,一个过程含有一个紧的一致吸引集就称为一致渐近紧的.显然,一致紧必一致渐近紧,反之不成立.定义5[9]　闭集A΢X对过程{Uσ(t,τ)}称为一致吸引子(w.r.t.σ∈΢),σ∈΢,如果(i)关于σ∈΢一致吸引(吸引性);(ii)A΢A′,其中A′(w.r.t.σ∈΢)对过程{Uσ(t,τ)},σ∈΢是闭一致吸引的(最小性).设不变半群{T(s),s≥0}作用到΢上:T(s)΢=΢,t≥0.并且U T(s)σ(t,τ)=Uσ(t+s,τ+s),σ∈΢,t≥τ,τ∈R,s≥0.(3)这样,吸引子的构造问题就转化为半群{S(t)}作用在X×΢的吸引子[9]S(t)(u,σ)=(Uσ(t,0)u,T(t)σ),t≥0,(u,σ)∈X×΢.(4)为了得到结果,我们引用下面的定理.定理6[9]　一簇过程{Uσ(t,τ)},σ∈΢(w.r. t.σ∈΢)为一致渐近紧并为(X×΢,X)-连续.΢为紧距离空间,{T(t)}:΢※΢为连续不变半群((T(t)΢=΢),满足方程(3),那么半群S(t)(u,σ)=(Uσ(t,0)u,T(t)σ),t≥0.(u,σ)∈X×΢存在紧吸引子A满足S(t)A=A(t≥0).而且ΠA=A΢为过程Uσ(t,τ)关于΢的一致吸引子.其中Π:(u,σ)=u为投影算子.2　主要结果定理7　设f(t)=f(·,t)∈C b(R,H),uτ∈H,则方程(1)和(2)存在唯一解.证明　用Faedo-Galerkin方法可以完成证明,此处略.引理8　设f∈C b(R,H),则存在一个常数C 使得下面的不等式成立‖u‖2L∞+β‖u‖2L∞≤C.并且对t0≥T(τ,uτ,μ,β,γ,α),存在一个常数C使得‖u‖2+β|u|2≤C,　t>t0. 证明　用u与(1)作内积并用Green公式得12dd t(‖u‖2+β‖u‖2)+μ‖u‖2+γ‖Δu‖2+α‖u‖2≤‖f‖‖u‖.(5)令C=min(α,μβ)得12dd t(‖u‖2+β‖u‖2)+C(‖u‖2+β‖u‖2)≤C2‖u‖2+12C‖f‖2dd t(‖u‖2+β‖u‖2)+ C(‖u‖2+β‖u‖2)≤‖f‖2C.用Gronwall不等式得‖u‖2+β‖u‖2≤(‖u(τ)‖2+β‖u(τ)‖2)e-C(t-τ)+‖f‖2C2(1-e-C(t-τ)).因此,对t1>τ,存在一个常数ρ1>0使得‖u‖2+β‖u‖2≤ρ1,t≥t1.于是可得到‖u‖2L∞+β‖u‖2L∞≤C.证毕.定理9　设f∈C b(R,H),存在一个常数C使得‖u‖2+β‖Δu‖2≤C,　t>t0. 证明　用-Δu与(1)作内积得12dd t(‖u‖2+β‖Δu‖2)+μ‖Δτ‖2+γ‖Δ u‖2+α‖u‖2≤‖f‖‖Δu‖.令C=min(α,μβ)得dd t(‖u‖2+β‖Δu‖2)+C(‖u‖2+β‖Δu‖2)≤‖f‖2Cβ=:C.由(5)式,令C=min(μ,γβ)得12dd t(‖u‖2+β‖u‖2)+C(‖u‖2+γ‖Δu‖2)≤‖f‖24α=:C.(6)在(6)式两边积分得∫t+1t(‖u‖2+β‖Δu‖2)d s≤12C(‖u(t)‖2+β‖u(t)‖2)+C≤C.567第6期朱朝生等:推广的非自治B-BBM方程的一致吸引子 进一步有∫t +1t C d s ≤C .用一致Gronwall 引理[5],容易得到‖ u ‖2+β‖Δu ‖2≤C , t ≥t 1+1.证毕.因此过程U σ(t ,τ):U σ(t ,τ)u τ=u (t ),U σ(t ,τ)H 1※H 1,t ≥τ,τ∈R 被定义,其中u (t )是方程(1)和(2)的解.现在来证明外力f (x ,t )为t 的几乎周期函数时,一致吸引子的存在性.为区别起见,记΢1=΢.由定理7可以定义双参数过程U σ1(t ,τ)(σ∈΢1):U σ1(t ,τ)u τ(x )=u (x ,t ).下面用定理6来证明.定理10　当f (x ,t )为t 的几乎周期函数时,半群S (t )(u ,σ1)=(U σ1(t ,0)u ,T (t )σ1),(u ,σ1)∈H ×΢1存在紧吸引子A ,而且A ΢1=ΠA 为过程{U σ1(t ,τ)}关于΢1的一致吸引子.Π:(u ,σ)=u 为投影算子.证明　由引理8知过程U σ1(t ,τ),f ∈΢1一致有界,而且B 0={u ∈H 1,‖u ‖1≤C }是一致吸收的.由定理9知B 1={u ∈H 2,‖u ‖2≤C }也是一致吸收的.因此,B 1在H 1中是渐近紧的.故U σ(t ,τ),f ∈΢是一致紧的.由定理7, σ1∈΢1,U σ1(t +s ,τ+s )=U T (s )σ1(t ,τ)(s ≥0)成立.于是只需证明过程U σ1(t ,τ)为(H ×΢1,H )-连续的.设u 1和u 2是方程(1)和(2)分别满足初值u 1τ和u 2τ对应于外力f 1(x ,t )和f 2(x ,t )的解.令v =u 1(t )-u 2(t ), f =f 1-f 2,则有v t -μv xx -βv xxt +γv xxxx +αv +u 1v x +vu 2x = f ,(7)用v 与(7)式作内积得12dd t(‖v ‖2+β‖ v ‖2)+μ‖ v ‖2+γ‖Δv ‖2+α‖v ‖2≤‖(vu 2x ,v )‖+‖( f ,v )‖≤‖v ‖‖ u 2‖‖ v ‖+‖ f ‖‖v ‖≤3μ2‖ v ‖2+C 3μ‖ u 2‖2‖v ‖2+α‖v ‖2+14α‖ f ‖2.d d t(‖v ‖2+β‖ v ‖2)≤μ‖ v ‖2+2C 3μ‖ u 2‖2‖v ‖2+12α‖ f ‖2≤C (‖v ‖2+β‖ v ‖2)+C ‖ f ‖2.用Gronwall 不等式的变形容易得到‖v ‖2+β‖ v ‖2≤(‖v (τ)‖2+β‖ v (τ)‖2+C ‖ f ‖2(t -τ))e C (t -τ)=(‖u 1(τ)-u 2(τ)‖2+β‖ u 1(τ)- u 2(τ)‖2+C ‖f 1-f 2‖2(t -τ))e C (t -τ).从而过程U σ1(t ,τ)为(H ×΢1,H )-连续的.由定理6可知,定理10成立.证毕.现在来证明外力f (x ,t )为t 的拟周期函数时,一致吸引子的存在性.当f (x ,t )为t 的的拟周期函数时,即存在一组有理独立的实数α1,α2,…,αk 满足f (x ,α1t ,…,αi t +2π,…,αk t )=f (x ,α1t ,…,αi t ,…,αk t ),　1≤i ≤k .为区别起见,记΢2=΢.则类似于定理10有定理11　当f (x ,t )为t 的拟周期函数时,半群S (t )(u ,ω)=(U ω(t ,0)u ,T 1(t )ω),(u ,ω)∈H ×΢2存在紧吸引子A 2,而且A ΢2=ΠA 2为过程{U σ2(t ,τ)}关于΢2的一致吸引子.Π:(u ,σ)=u 为投影算子.参考文献[1]Chueshouv I D .Global attractors for non -linear problem of mathematical physics [J ].Uspekhi Math Nauk ,1993,48:135～162.[2]Henry D .Geometric Theory of Semilinear Parabolic Differential Equations [M ].New York ,Berlin :Springer -Verlag ,1981.[3]Hale J K .Asymptotic Behavior of Dissipative Systems [M ].Providence RI :Am Math Soc ,1988.[4]Stuart A M .Theory and Numerics of Ordinary and Partial Differential Eq uations [M ].Oxford :Oxford Univ Press ,1995.[5]Temam R .Infinite Di mensional Dynamical Systems in M echanics and Physics [M ].New York :Sprin ger -Verlag ,1988.[6]罗宏,蒲志林,陈光淦.具有一般非线性项的Cahn -Hilliard 方程的整体吸引子[J ].四川师范大学学报(自然科学版),2002,25(4):335～338.568 四川师范大学学报(自然科学版)26卷[7]陈光淦,蒲志林,罗宏.耗散Zakharov 系统的近似惯性流形[J ].四川师范大学学报(自然科学版),2002,25(5):454～458.[8]Harau S A .Attractors of asymptotically compact processes and applications to non -linear partial differential equations [J ].Comm PartialDifferential Eq uations ,1988,13:1383～1414.[9]Chep yzhov V V ,Vishik M I .Attractors 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uniform attractor for generalized nonautonomous B -BBM equation is proved .Key words :Non -autonomous ;B -BBM equation ;Dissipative system ;Uniform attractor 2000MSC :35Q35;58F39;58F12(编辑　李德华)569第6期朱朝生等:推广的非自治B -BBM 方程的一致吸引子。