大学物理学 第十章 静电场中的电介质
10静电场中的导体和电介质习题解答
第十章 静电场中的导体和电介质一 选择题1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。
设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( )20200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势⎰⎰'±'±='='='q q q R R q V 0d π41π4d 00εε 点电荷q 在球心处的电势为 aq V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势aq V V V 00π4ε='+=。
所以选（A ）2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )00002 . D . C 2 . B 2 .A εd E=εE=E E σσεσεσ== 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0εσ=E 。
所以选（C ）3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d<R )，固定一电量为+q 的点电荷。
用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心o 处的电势为( ))Rd (q R d q 11π4 D. 4πq C. π4 B. 0 A.000-εεε 解：球壳内表面上的感应电荷为-q ，球壳外表面上的电荷为零，所以有)π4π4000Rq d q V εε-+=。
所以选（ D ）4. 半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( )A ． R ／r B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 2 D. r / R解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q 、q ，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则r q R Q 00π4π4εε= 即 rR q Q = Rr r q R Q r R ==22 4/4/ππσσ 所以选（D ） o R d +q ． 选择题3图 选择题2图5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为 ( )A. ε0 EB. ε0εr EC. εr ED. (ε0εr -ε0) E解：根据有介质情况下的高斯定理⎰⎰∑=⋅q S D d ，取导体球面为高斯面，则有S S D ⋅=⋅σ，即E D r 0εεσ==。
第十章 静电场中的导体和电介质习题解答
10-1 如题图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点。
试求： (1) 球壳内外表面上的电荷；(2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势；(3) 球心O 点处的总电势。
习题10-1图解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q 。
(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为0d 4q qU aπε-=⎰aq04επ-=(3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和q Q q q O U U U U +-++=04qr πε=04qa πε-04Q qb πε++01114()q r a bπε=-+04Q bπε+ 10-2 有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷，如题图(a)所示。
试求：(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图(b))； (2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图(c))。
习题10-2图解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O 为原点，取平面上任意点P ，P 点距离原点为r ，设P 点的感生电荷面密度为．在P 点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，()220cos 024P q E r b θσεπε⊥=+=+ ∴ ()2/3222/b r qb +-=πσ (2) 以O 点为圆心，r 为半径，d r 为宽度取一小圆环面，其上电荷为 ()3222d d d //Q S qbr r r bσ==-+q Q a bO r()q brrr qb S Q S-=+-==⎰⎰∞2322d d /σ10-3 如题图所示，中性金属球A ，半径为R ，它离地球很远．在与球心O 相距分别为a 与b 的B 、C 两点，分别放上电荷为A q 和B q 的点电荷，达到静电平衡后，问： (1) 金属球A 内及其表面有电荷分布吗？(2) 金属球A 中的P 点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)B C R AP Oq A q Bba习题10-3图解：(1) 静电平衡后，金属球A 内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净电荷为零． (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为． ()()000d 4=4////AP A B S U U S R q a q a σπεπε==⋅+⎰⎰∵d 0AS S σ⋅=⎰⎰∴ ()()04///P A B U q a q a πε=+10-4 三个电容器如题图联接，其中C 1 = 10×10-6 F ，C 2 = 5×10-6 F ，C 3 = 4×10-6 F ，当A 、B 间电压U =100 V 时，试求：(1) A 、B 之间的电容；(2) 当C 3被击穿时，在电容C 1上的电荷和电压各变为多少？ABC 1C 2 C 3U习题10-4图解：(1) =+++=321321)(C C C C C C C 3.16×10-6 F(2) C 1上电压升到U = 100 V ，电荷增加到==U C Q 111×10-3 C10-5 一个可变电容器，由于某种原因所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为2:1，问电容器的电容与原来的电容相比改变了多少？(a) (b)习题10-5图解：如图所示，设可变电容器的静片数为n ，定片数为1-n ，标准情况下，极板间的距离为d （图a ），极板相对面积为S 。
第十章静电场中的导体和电介质
第⼗章静电场中的导体和电介质第⼗章静电场中的导体和电介质在上⼀章中，我们讨论了真空中的静电场。
实际上，在静电场中总有导体或电介质存在，⽽且在静电的应⽤中也都要涉及导体和电介质的影响，因此，本章主要讨论静电场中的导体和电介质。
本章所讨论的问题，不仅在理论上有重⼤意义，使我们对静电场的认识更加深⼊，⽽且在应⽤上也有重⼤作⽤。
§10-1 静电场中的导体⼀、静电平衡条件1、导体与电介质的区别：（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很⼤（相差10多个数量级，⽽不同导体间电导率数量级最多就相差⼏个数量级）。
（2）微观上导体内部存在⼤量的⾃由电⼦，在外电场下会发⽣定向移动，产⽣宏观上的电流⽽电介质内部的电⼦处于束缚状态，在外场下不会发⽣定向移动（电介质被击穿除外）。
2、导体的静电平衡条件（1）导体内部任何⼀点处的电场强度为零；（2）导体表⾯处的电场强度的⽅向,都与导体表⾯垂直.导体处于静电平衡状态的必要条件:0=i E（当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有⾃由电⼦定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，⾃然其内部电场（指外场与感应电荷产⽣的电场相叠加的总电场）必为0。
⼆、静电平衡时导体上的电荷分布1、导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本⾝带的电荷）只分布在导体表⾯。
这个可以由⾼斯定理推得：ii sq E ds ε?=，S 是导体内“紧贴”表⾯的⾼斯⾯，所以0i q =。
2、导体是等势体，导体表⾯是等势⾯。
显然()()0b a b i a V V E dl -=?=?，a,b 为导体内或导体表⾯的任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。
3、导体表⾯以处附近空间的场强为：0E n δε=，δ为邻近场点的导体表⾯⾯元处的电荷密度，?n 为该⾯元的处法向。
简单的证明下：以导体表⾯⾯元为中截⾯作⼀穿过导体的⾼斯柱⾯，柱⾯的处底⾯过场点，下底⾯处于导体内部。
由⾼斯定理可得：12i s s dsE ds E ds δε?+?=，1s ,2s 分别为⾼斯柱⾯的上、下底⾯。
张三慧《大学物理学：力学、电磁学》(第3版)(B版)(课后习题 静电场中的电介质)【圣才出品】
第10章 静电场中的电介质10.1 在HCl 分子中，氯核和质子（氢核）的距离为0.128 nm ，假设氢原子的电子完全转移到氯原子上并与其他电子构成一球对称的负电荷分布而其中心就在氯核上。
此模型的电矩多大？实测的HCl 分子的电矩为3.4×10－30C·m ，HCl 分子中的负电分布的“重心”应在何处？（氯核的电量为17e ）解：按假设模型计算，HCl 分子的电矩为此结果比实测数值大。
设如图10-1所示，在HCl分子中负电分布的“重心”在氯核与质子中间离氯核l 距离处。
这时HCL 分子的电矩应为图10-110.2 两个同心的薄金属球壳，内、外球壳半径分别为R1＝0.02 m 和R2＝0.06m 。
球壳间充满两层均匀电介质，它们的相对介电常量分别为εr1＝6和εr2＝3。
两层电介质的分界面半径R ＝0.04 m 。
设内球壳带电量Q ＝﹣6×10－8 C ，求：（1）D 和E 的分布，并画D-r ，E-r 曲线；（2）两球壳之间的电势差；（3）贴近内金属壳的电介质表面上的面束缚电荷密度。
解：（1）由D 的高斯定律可得再由，可得D-r 和E-r曲线如图10-2所示。
图10-2（2）两球壳之间的电势差为（3）10.3 两共轴的导体圆筒的内、外筒半径分别为R1和R2，R2＜2R1。
其间有两层均匀电介质，分界面半径为r0。
内层介质相对介电常量为εr1，外层介质相对介电常量为εr2，εr2＝εr1/2。
两层介质的击穿场强都是Emax 。
当电压升高时，哪层介质先击穿？两筒间能加的最大电势差多大？解：设内筒带电的线电荷密度为λ，则可导出在内外筒的电压为U 时，内层介质中的最大场强（在r ＝R L处）为而外层介质中的最大场强（在r ＝r 0处）为两结果相比由于r 0＜R 2，且R 2＜2R 1，所以总有E 2/E 1＞0，因此当电压升高时，外层介质中先达到E max 而被击穿。
而最大的电势差可由E 2＝Emax 求得为10.4 一平板电容器板间充满相对介电常量为εr 的电介质而带有电量Q 。
大学物理 电介质
χ = εr − 1 电极化率
令 ε r = (1 + χ e ) 为相对介电常量（相对电容率）
ε = ε 0ε r ～电介质的电容率
5
四、极化电荷与自由电荷的关系
E
=
E0
−
E'=
E0 εr
E'=
εr − 1 εr
E0
d
σ'=
εr − εr
1
σ
0
Q' =
εr − εr
即 D⇒ E ⇒ P ⇒σ′ ⇒q′
9
物理意义
E
单位试验电荷 的受力
单位体积内的 P 电偶极矩的矢
量和 无物理意义， D 只有一个数学 上的定义 D = ε0E + P
= ε 0ε r E
特点
真空中关于电场的讨论都 适用于电介质：高斯定律、 电势的定义、环路定理等
各向同性均匀电介质中
P = ε0χe E ，表面束缚电荷 σ ′ = P ⋅ n ，电介质中P ≠ 0
D = (1+ χ )ε0E
ε r = (1 + χ )
ε = ε rε 0
相对电容率或相对介电常量
电容率或介电常量
D＝ε0ε r E = εE
•注意： D 是辅助矢量，描写电场性质的物理量仍为 E ,V
对于真空 χ e = 0 ε r = 1 ε = ε 0 则 D = ε 0 E
3、有电介质时的高斯定理的应用
在垂直于电场方向的两个表面上，将产生极化电荷。
4.极化电荷
在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在介质表 面要出现电荷，这种电荷不能离开电介质到其它带电体，也不 能在电介质内部自由移动。我们称它为束缚电荷或极化电荷。 它不象导体中的自由电荷能用传导方法将其引走。
川师大学物理第十章 静电场中的导体和电介质习题解
第十章 静电场中的导体和电介质10–1 如图10-1所示，有两块平行无限大导体平板，两板间距远小于平板的线度，设板面积为S ，两板分别带正电Q a 和Q b ，每板表面电荷面密度σ1= ，σ2= ，σ3= ，σ4= 。
解：建立如图10-2所示坐标系，设两导体平板上的面电荷密度分别为σ1，σ2，σ3，σ4。
由电荷守恒定律得12a S S Q σσ+= （1）34b S S Q σσ+= （2）设P ，Q 是分别位于二导体板内的两点，如图10-2所示，由于P ，Q 位于导板内，由静电平衡条件知，其场强为零，即3124000002222P E σσσσεεεε=---= （3）3124000002222Q E σσσσεεεε=++-= （4） 由方程（1）~（4）式得142abQ Q Sσσ+== （5） 232a bQ Q Sσσ-=-= （6） 由此可见，金属平板在相向的两面上（面2，3），带等量异号电荷，背向的两面上（面1，4），带等量同号电荷。
10–2 如图10-3所示，在半径为R 的金属球外距球心为a 的D 处放置点电荷+Q ，球内一点P 到球心的距离为r ，OP 与OD 夹角为θ，感应电荷在P 点产生的场强大小为 ，方向 ；P 点的电势为 。
解：（1）由于点电荷+Q 的存在，在金属球外表面将感应出等量的正负电荷，距+Q 的近端金属球外表面带负电，远端带正电，如图10-4所示。
P 点的场强是点电荷+Q 在P 点产生的场强E 1，与感应电荷在P 点产生的场强E 2的叠加，即E P =E 1+E 2，当静电平衡时，E P =E 1+E 2=0，由此可得21r 2204π(2cos )Qa r ar εθ=-=-+-E E e其中e r 是由D 指向P 点。
因此，感应电荷在P 点产生的场强E 2的大小为图10–4xσ2 4σQQ aQ b 图10-2σ1σ2 σ4σ3 Q a Q b图10-1图10-322204π(2cos )QE a r ar εθ=+-方向是从P 点指向D 点。
大学物理第十章课后习题答案
强度 P ;
(2)极板上所带的电荷 Q
(3)极板和介质间隙中的场强 E0 ; (4)电容器的电容 C. 17. 如图所示,一平面板电容器两极板的面积都是 S,相距为 d.今在其间平行的
S 插入厚度为 l ,面积为 2 ,相对介质常数为 ε1.的均匀电介质.设两极板分别带电 Q
=
0.
①
再在 B 板内任取一点 P2，类似地有：
E
=
σ1 2ε 0
� en
+
σ2 2ε 0
� en
+
σ3 2ε 0
� en
−
σ4 2ε 0
� en
静电平衡时， E = 0 ,故 σ1 + σ 2 + σ3 − σ 4 = 0
②
联立①②，可解得σ1 = σ 4 , σ 2 = −σ 3 . 故结论得证. 2.
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第十章 静电场中的导体和电介质
一、 填空
1. 根据物质的导电性，可将物质分为
、
和
。
2. 从 物质 的 电结 构 来看 ， 金属 导 体具 有 带负 电 的
和带正电
的
。
3. 导 体处 于静 电平 衡时 ，导 体内 部各 点 的场 强为
，这称为导体的
条件。静电平衡下的导体是
3.
解：设各板表面的电荷面密度由左至右依次为：σ1 、σ 2 、σ 3 、
σ 4 、σ 5 、 σ 6 ，即有 σ 2 =- σ 3 ， σ 4 =- σ 5 ，由于 B、C 接
地，故两板外侧的电荷面密度σ1 =σ 6 =0
因U AB = U AC ,故有
大学物理(下)第十章作业与解答
第十章静电场中的导体和电介质一. 选择题1. 有一带负电荷的大导体，欲测其附近P点处的场强，将一电荷量不是足够小的正点电荷放在该点，如图，测得它所受电场力大小为F，则(A) 比P点处场强的数值大(B) 比P点处场强的数值小(C) 与P点处场强的数值相等(D) 与P点处场强的数值哪个大无法确定注意：此类型题如果1. q0的电荷与带电体的电荷相异，则选A（比P点处场强的数值大）2. q0的电荷与带电体的电荷相同，则选B（比P点处场强的数值小）[ ]2. 对于带电的孤立导体球(A) 导体内的场强与电势均为零(B) 导体内的场强为零，电势为恒量(C) 导体内的电势比导体表面高(D) 导体内和导体表面的电势高低无法确定[ ]3. 同心导体球与导体球壳周围电场的电场线分布如图，由电场线分布可知球壳上所带总电荷(A)(B)(C)(D) 无法确定[ ]4. 一无限大均匀带电平面A，其附近放一与它平行的有一定厚度的无限大导体板B，如图示，已知A上的电荷面密度为＋，则在导体板B的两个表面1和2上的感生电荷面密度为：(A)(B)(C)(D)[ ]5. 一不带电导体球半径为R，将一电量为 +q的点电荷放在距球心O为d（d >R）的一点，这时导体球中心的电势为（无限远处电势为零）(A) 0(B)(C)(D)注意：考虑球心的位置，距球面各点的距离相等；再考虑到，导体球达致静电平衡时感应电荷的代数和必为零，所以球面上的感应电荷对球心总的电势应为零，只剩下点电荷对球心的电势。
[ ]6. 在静电场中做一闭合曲面S，若有（式中为电位移矢量），则S面内(A) 既无自由电荷，也无极化电荷(B) 无自由电荷(C) 自由电荷和极化电荷的代数和为零(D) 自由电荷的代数和为零[ ]7. 一空气平板电容器，充电后两极板上带有等量异号电荷，现在两极板间平行插入一块电介质板，如图示，则电介质中的场强与空气部分中的场强相比较有：(A) ，两者方向相同(B) ，两者方向相同(C) ，两者方向相同(D) ，两者方向相反注意：根据高斯定理，电位移矢量无论在空气中还是介质中都是相等的。
第10章 静电场中的电介质
R2
解：1.场的分布 R1
r <R 0
导体内部
E1 ? 0
P? 0
?0
?r1
?r2
R0
? ? R0< r< R1
?r1 内
? E2 ?
Q
4??0?r1r 2
r^
? P2 ?
?0
?r1 ? 1
Q
4??0?r1r 2
^r
R1< r< R2
?r2 内
? E3
?
Q
4??0?r2r 2
^r
? P3 ?
?0
??r
分子中的正负电荷束缚的很紧，介质内部 几乎没有自由电荷。
电介质对电场的影响
实验表明 ,当在真空电场中放入电介质时 ,电场将 会发生变化 .
例: 在已达到静电平衡的两平行带电金属板引 入电介质
?Q
? Q 相对介电常数 ? Q
?Q
U ? U0 /?r ,?r ? 1 E ? E0 / ?r
10.2 电介质及其极化
极化电荷带负电
电极化强度通过任意封闭曲面的通量：
??
?SP ?d S ? ?SP cos? d S ? ?S? ??d S
??
? ? P S
?d
S
?
? qi?
（S内）
例1. 平行板电容器自由电荷面密度为 ó0
? 充满相对介电常数为 r 的均匀各向同
性线性电介质 , 求:板内的电场强度。
解：介质将均匀极化 ,其表面出现束缚电荷
-+
Eo
? p
+
F
F
-
Eo
?
外电场： E0
?
2.静电场中的电介质
自由电荷 束缚电荷
1 E dS
S
0
q
S
0
1
0
P dS
S
( 0 E P) dS q0
S S
电位移矢量定义：
D 0E P
( 0 E P) dS q0
S S
自由电荷
3、极化（束缚）电荷与极化强度的关系： 对于均匀的电介质，极化电荷集中在它的表面。电介质 产生的一切宏观效果都是通过未抵消的束缚电荷来体现。
如图，在平板电容器两极板间的介 质内沿着方向取一长度为dl，横截面为 dS的小圆柱体，在其内部极化可视为 是均匀的。
dl
' dS
' dS
P
点的总场强为：
' 退极化场 是电介质中的总电场强度。 E E E 0 E0 是自由电荷产生的电场。
' E 是极化电荷产生的退极化场
E E0 E'
' '
2.电极化强度矢量
宏观上，电介质极化程度用电极化强度矢量来描述， 其定义式为：
P lim
pi
S S S in
Pn '
P dS dS
'
极化强度力线
在任一曲面内极化电荷的负值等于极化强度的通量。
四、电介质中的高斯定理
根据介质极化和 真空中高斯定律 ' P d S q
S S
S
电位移矢量
0
' ( q q 0 ) S
1 E dS
(2)对各向同性电介质( P e 0 E)
大学物理下册第10章课后题答案
习题10-3图第10章 静电场中的导体和电介质习 题一 选择题10-1当一个带电导体达到静电平衡时，[ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 答案：D解析：处于静电平衡的导体是一个等势体，表面是一个等势面，并且导体内部与表面的电势相等。
10-2将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，导体B 的电势将[ ](A) 升高 (B)降低 (C)不会发生变化 (D)无法确定 答案：A解析：不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。
10-3将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。
若将导体N 的左端接地（如图10-3所示），则[ ](A) N 上的负电荷入地 (B) N 上的正电荷入地 (C) N 上的所有电荷入地 (D) N 上所有的感应电荷入地 答案：A解析：带负电的带电体M移到不带电的导体N附近的近端感应正电荷；在远端感应负电荷，不带电导体的电势将低于无穷远处，因此导体N的电势小于0，即小于大地的电势，因而大地的正电荷将流入导体N，或导体N的负电荷入地。
故正确答案为（A）。
10-4 如图10-4所示，将一个电荷量为q电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心O点有[ ](A)0E，4πε=qVd(B)24πε=qEd，4πε=qVd(C) 0E，0V(D)24πε=qEd，4πε=qVR答案：A解析：导体球处于静电平衡状态，导体球内部电场强度为零，因此0E。
导体球球心O点的电势为点电荷q及感应电荷所产生的电势叠加。
感应电荷分布于导体球表面，至球心O的距离皆为半径R，并且感应电荷量代数和q∑为0，因此4qVRπε==∑感应电荷。
大学物理作业-静电场中的电介质一解答
02
圆柱形电容器储能计 算
对于圆柱形电容器，其储能$W = frac{1}{2} pi R^2 L varepsilon_0 E^2$，其中$R$为圆柱底面半径，$L$ 为圆柱高，$varepsilon_0$为真空介电 常数，$E$为电场强度。
03
实例分析
通过具体数值代入公式进行计算，可 得电容器储存的能量。
电介质在生物医学中的应用
近年来，电介质在生物医学领域的应用逐渐受到关注。例 如，利用电介质的生物相容性和导电性，可以开发出用于 生物组织工程、神经刺激和生物传感等方面的新型生物医 学器件和系统。
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绝缘体
绝缘体在静电场中不导电，其内部和 表面均可存在电荷分布。绝缘体的电 导率极低，因此可以保持电荷长时间 不变。
Part
02
电介质在静电场中表现
电介质极化现象
电介质极化定义
电介质在静电场作用下，内部正 负电荷中心发生相对位移，导致 电介质两端出现等量异号电荷的 现象。
极化方式
电介质极化方式包括电子极化、 原子极化和取向极化等。
不同类型电介质特性比较
绝缘体电介质 电阻率高，导电性能差， 1
极化率较低，主要用于电 气绝缘。
分子晶体电介质 4
由分子通过分子间作用力 结合而成，极化率和介电 常数均较低。
半导体电介质
2
电阻率介于导体和绝缘体之间
，具有一些特殊的电学性质，
如压电效应、热电效应等。
离子晶体电介质 3 由正负离子通过离子键结
相关领域前沿动态介绍
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电介质材料的研究与应用
随着科技的发展，人们对于电介质材料的研究和应用不断 深入。新型的电介质材料不断涌现，如高介电常数材料、 压电材料、铁电材料等，它们在电子器件、传感器、能源 转换等领域具有广泛的应用前景。
大学物理答案第10章
第十章 静电场中的导体与电介质10－1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）.10－2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地题 10-2 图分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关.因而正确答案为（A ）.10－3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0== （B ）dεqV d εq E 020π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）RεqV d εq E 020π4,π4==题 10-3 图分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q 在导体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势.因而正确答案为（A ）.10－4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是( )（A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E ）. 10－5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ）（A ） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍（B ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍（C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍（D ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有()∑⎰⎰=⋅=⋅+ii S S εχq 01d d 1S E S E 即E ＝E ０/εｒ，因而正确答案为（A ）.10－6 不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）.试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力.题 10-6 图分析与解 根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A 外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷q d 的作用力.()20π4rεq q q F dc bd +=点电荷q d 与导体球A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电荷q b 、q c 处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷q b 、q c 受到的作用力为零.10－7 一真空二极管，其主要构件是一个半径R １＝5.0×10－4m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外、半径R ２＝4.5×10－3m 的同轴圆筒形阳极．阳极电势比阴极电势高300 V ，阴极与阳极的长度均为L ＝2.5×10－２ m ．假设电子从阴极射出时的速度为零．求：（１） 该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（２）电子刚从阳极射出时所受的力．题 10-7 图分析 （1） 由于半径R １＜＜L ，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性．从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少．由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率． （2） 计算阳极表面附近的电场强度，由F ＝q E 求出电子在阴极表面所受的电场力． 解 （1） 电子到达阳极时，势能的减少量为J 108.4Δ17ep -⨯-=-=eV E由于电子的初始速度为零，故J 108.4ΔΔ17ep ek ek -⨯-=-==E E E因此电子到达阳极的速率为1-7ek s m 1003.122⋅⨯===meVm E v （2） 两极间的电场强度为r rελe E 0π2-= 两极间的电势差1200ln π2d π2d 2121R R r r V R R R R ελελ-=-=⋅=⎰⎰r E负号表示阳极电势高于阴极电势．阴极表面电场强度r r R R R V R ελe e E 12110ln π2=-=电子在阴极表面受力r e e E F N)1037.414-⨯=-=（这个力尽管很小，但作用在质量为９.1１×10－3１kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的5×10１5倍．10－8 一导体球半径为R １ ，外罩一半径为R 2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为V ０ ．求此系统的电势和电场的分布． 分析 若200π4R εQV =，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电．若200π4R εQV ≠，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带电．一般情况下，假设内导体球带电q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由⎰∞⋅=pp V l E d 或电势叠加求出电势的分布．最后将电场强度和电势用已知量V 0、Q 、R １、R 2表示．题 10-8 图解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理()()∑⎰⋅=⋅=⋅02/π4d εq r E r r E S E ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为 r ＜R １时， ()01=r E R １＜r ＜R 2 时，()202π4r εqr E =r ＞R 2 时， ()202π4r εqQ r E +=由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布． r ＜R １时，20103211π4π4d d d d 2211R Q R q V R R R R r r εε+=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞∞lE l E l E l ER １＜r ＜R 2 时，200322π4π4d d d 22R Q r q V R R r r εε+=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞lE l E l Er ＞R 2 时，rqQ V r 03π4d ε+=⋅=⎰∞l E 3也可以从球面电势的叠加求电势的分布：在导体球内（r ＜R １）20101π4π4R εQR εq V +=在导体球和球壳之间（R １＜r ＜R 2 ）2002π4π4R εQr εq V +=在球壳外（r ＞R 2）为rqQ V 03π4ε+=由题意102001π4π4R εQR εq V V +==得Q R R V R q 21010π4==ε 于是可求得各处的电场强度和电势的分布： r ＜R １时，01=E ；01V V =R １＜r ＜R 2 时，22012012π4r R εQR r V R E -=；rR Q R r r V R V 201012π4)(ε-+= r ＞R 2 时，220122013π4)(r R Q R R r V R E ε-+=；rR QR R r V R V 2012013π4)(ε-+= 10－9 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km ，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．解 由于地球半径R 1＝6.37×106m ；电离层半径R 2＝1.00×105m ＋R 1 ＝6.47×106m ，根据球形电容器的电容公式，可得F 1058.4π4212210-⨯=-=R R R RεC10－10 两线输电线，其导线半径为3.26 mm ，两线中心相距0.50 m ，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容．分析 假设两根导线带等量异号电荷，电荷在导线上均匀分布，则由长直带电线的电场叠加，可以求出两根带电导线间的电场分布,-++=E E E再由电势差的定义求出两根导线之间的电势差，就可根据电容器电容的定义，求出两线输电线单位长度的电容解 建立如图坐标，带等量异号电荷的两根导线在P 点激发的电场强度方向如图，由上述分析可得P 点电场强度的大小为)11(π20xd x E --=ελ 电场强度的方向沿x 轴，电线自身为等势体，依照定义两导线之间的电势差为x xd x l E U lRd Rd )11(π2d 0--=⋅=⎰⎰-ελ 上式积分得RR d ελU -=ln π0 因此，输电线单位长度的电容Rd εR R d εU λC ln /πln /π00≈-==代入数据 F 1052.512-⨯=C题 10-10 图10－11 电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）.当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号.假设金属片面积为50.0 mm 2，两金属片之间的距离是0.600 mm .如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF ，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？题 10-11 图分析 按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离：解 按下按键时电容的变化量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011Δd d S εC按键按下的最小距离为mm 152.0ΔΔΔ00200min =+=-=SC d Cd d d d ε10－12 一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm 2，厚度为0.10 mm ．把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V 电压时，极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的电场强度．解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率εr ＝173，故充满此介质的平板电容器的电容F 1053.190-⨯==dSεεC r （2） 电容器加上U ＝12V 的电压时，极板上的电荷C 1084.18-⨯==CU Q极板上自由电荷面密度为2-80m C 1084.1⋅⨯==-SQσ 晶片表面极化电荷密度2-400m C 1083.111⋅⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-σεσr （3） 晶片内的电场强度为1-5m V 102.1⋅⨯==dUE 10－13 如图所示，半径R ＝0.10 m 的导体球带有电荷Q ＝1.0 ×10－８C ，导体外有两层均匀介质，一层介质的εr ＝5.0，厚度d ＝0.10 m ，另一层介质为空气，充满其余空间．求：（1） 离球心为r ＝5cm 、15 cm 、25 cm 处的D 和E ；（2） 离球心为r ＝5 cm 、15 cm 、25 cm 处的V ；（3） 极化电荷面密度σ′．题 10-13 图分析 带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的．任取同心球面为高斯面，电位移矢量D 的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D 呈均匀对称分布，由高斯定理⎰∑=⋅0d qS D 可得D （r ）．再由r εε0/D E =可得E （r ）．介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系⎰∞⋅=rV l E d 求得，或者由电势叠加原理求得．极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度n P ='σ．解 （1） 取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得 r ＜R 0π421=⋅r D01=D ；01=ER ＜r ＜R ＋d Q r D =⋅22π422π4r QD =；202π4r εεQ E r = r ＞R ＋d Q r D =⋅23π423π4r QD =；203π4rQ E ε= 将不同的r 值代入上述关系式，可得r ＝5 cm 、15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外． r 1 ＝5 cm ，该点在导体球内，则01=r D ；01=r Er 2 ＝15 cm ，该点在介质层内，εｒ ＝5.0，则2822m C 105.3π42--⋅⨯==r Q D r 12220m V 100.8π42-⋅⨯==r εεQE r r r 3 ＝25 cm ，该点在空气层内，空气中ε≈ε0 ，则2823m C 103.1π43--⋅⨯==r QD r ； 13220m V 104.1π43-⋅⨯==r Q E r ε （2） 取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得 r 3 ＝25 cm ，V 360π4d 0r 331==⋅=⎰∞rεQV r Er 2 ＝15 cm ，()()V480π4π4π4d d 0020r3222=+++-=⋅+⋅=⎰⎰+∞+dR Qd R Q r Q V r r dR d R εεεεεrE r E r 1 ＝5 cm ，()()V540π4π4π4d d 000321=+++-=⋅+⋅=⎰⎰+∞+d R εQd R εεQ R εεQ V r r dR RdR rE r E（3） 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε＝ε0 ，极化电荷可忽略．故在介质外表面；()()()20π411d R εQ εE εεP r r n r n +-=-=()()282m C 106.1π41--⋅⨯=+-==d R εQεP σr r n在介质内表面：()()20π411R εQ εE εεP r r n r n -=-=()282m C 104.6π41--⋅⨯-=-=-='R εQ εP σr r n介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号． 10－14 人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷.设某细胞壁厚为5.2 ×10－9m ，两表面所带面电荷密度为±5.2 ×10 －3C ／m 2，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求（1） 细胞壁内的电场强度；（2） 细胞壁两表面间的电势差． 解 （1）细胞壁内的电场强度V /m 108.960⨯==rεεσE ；方向指向细胞外． （2） 细胞壁两表面间的电势差V 101.52-⨯==Ed U ．10－15 如图（a ）所示，有两块相距为0.50 的薄金属板A 、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒Ｋ 内，金属盒上、下两壁与A 、B 分别相距0.25 mm ，金属板面积为30 mm ×40 mm .求（1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？题 10-15 图分析 薄金属板A 、B 与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（ｂ）所示，由于两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A 、B 间的电容.解 （1） 由等效电路图可知13232123C C C C C C C C ++⋅=+=由于电容器可以视作平板电容器，且32122d d d ==，故1322C C C == ，因此A 、B 间的总电容12C C =（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于2C （或者3C ）极板短接，其电容为零，则总电容13C C =10－16 在A 点和B 点之间有5 个电容器，其连接如图所示．（1） 求A 、B 两点之间的等效电容；（2） 若A 、B 之间的电势差为12 V ，求U A C 、U CD 和U D B ．题 10-16 图解 （1） 由电容器的串、并联，有μF 1221=+=C C C AC μF 843=+=C C C CD51111C C C C CD AC AB ++= 求得等效电容C AB ＝4 μF ．（2） 由于AB DB CD AC Q Q Q Q ===，得V 4==AB ACABAC U C C U V 6==AB CDABCD U C C U V 2==AB DBABDB U C C U 10－17 如图，有一个空气平板电容器，极板面积为S ，间距为d ．现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当（1） 充足电后；（2） 然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ ＜d ）、相对电容率为εｒ 的电介质板；（3） 将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C ，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E ．题 10-17 图分析 电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U ．插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱．由于极板间的距离d 不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有()δSεεQ δd S εQU r 00+-=相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有()δd SεQU -=0 综上所述，接上电源的平板电容器，插入介质或导体后，极板上的自由电荷 均会增加，而电势差保持不变． 解 （1） 空气平板电容器的电容dSεC 00=充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为U dS εQ 00=d U E /0=（2） 插入电介质后，电容器的电容C 1 为()()δd εδS εεδS εεQ δd SεQ Q C r r r -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=0001/ 故有()δd εδSUεεU C C r r -+==011介质内电场强度()δd εδUS εεQ E r r -+=='011 空气中电场强度()δd εδU εS εQ E r r -+==011 （3） 插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为δd SεC -=02 U δd S εQ -=02导体中电场强度 02='E 空气中电场强度δd UE -=2 无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E 0/εｒ．10－18 为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为εｒ 的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A ，B 为平板电容器的导体极板，d 0 为两极板间的距离．试说明检测原理，并推出直接测量量电容C 与间接测量量厚度d 之间的函数关系．如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？题 10-18 图分析 导体极板A 、B 和待测物体构成一有介质的平板电容器，关于电容C 与材料的厚度的关系，可参见题10－17 的分析． 解 由分析可知，该装置的电容为()d d d SC r r -+=00εεε则介质的厚度为()()C εSεεd εεC εS εεC d εd r r r r r r r 1110000---=--=如果待测材料是金属导体，其等效电容为dd SεC -=00导体材料的厚度CSεd d 00=-= 实时地测量A 、B 间的电容量C ，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度．通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度．10－19 有一电容为0.50 μF 的平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01 mm 的聚四氟乙烯薄膜所隔开，（1） 求该电容器的额定电压；（2） 求电容器存贮的最大能量． 分析 通过查表可知聚四氟乙烯的击穿电场强度E b ＝1.9 ×107 V ／m ，电容器中的电场强度E ≤E b ，由此可以求得电容器的最大电势差和电容器存贮的最大能量． 解 （1） 电容器两极板间的电势差V 190b max ==d E U（2） 电容器存贮的最大能量J 1003.92132max e -⨯=CU W10－20 半径为0.10 cm 的长直导线，外面套有内半径为1.0 cm 的共轴导体圆筒，导线与圆筒间为空气．略去边缘效应，求：（1） 导线表面最大电荷面密度；（2） 沿轴线单位长度的最大电场能量．分析 如果设长直导线上单位长度所带电荷为λ，导线表面附近的电场强度0π2εσR ελE ==查表可以得知空气的击穿电场强度E b ＝3.0 ×106（V ／m ），只有当空气中的电场强度E ≤E b 空气才不会被击穿，由于在导线表面附近电场强度最大，因而可以求出σ的极限值．再求得电场能量密度，并通过同轴圆柱形体元内电场能量的积分求得单位长度的最大电场强度．解 （1） 导线表面最大电荷面密度250max m C 1066.2--⋅⨯==b E εσ显然导线表面最大电荷面密度与导线半径无关．（2） 由上述分析得b E R ελ10max π2=，此时导线与圆筒之间各点的电场强度为()1210m π2R r R rR r E <<==ελ0=E (其他)222102m 0m 2121rE R E w b εε==沿轴线单位长度的最大电场能量r rER r r w W R Rb d 1πd π2212210m ⎰⎰⎰⎰Ω=⋅=ε 14122210mm J 1076.5lnπ--⋅⨯==R R E R W b ε 10－21 一空气平板电容器，空气层厚1.5 cm ，两极间电压为40 k V ，该电容器会被击穿吗？ 现将一厚度为0.30 cm 的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为7.0，击穿电场强度为10 ＭV· m －1．则此时电容器会被击穿吗？分析 在未插入玻璃板时，不难求出空气中的电场强度小于空气的击穿电场强度，电容器不会被击穿．插入玻璃后，由习题10－17 可知，若电容器与电源相连，则极板间的电势差维持不变，电容器将会从电源获取电荷．此时空气间隙中的电场强度将会增大．若它大于空气的击穿电场强度，则电容器的空气层将首先被击穿．此时40 k V 电压全部加在玻璃板两侧，玻璃内的电场强度如也大于玻璃击穿电场强度的值，则玻璃也将被击穿．整个电容器被击穿．解 未插入玻璃时，电容器内的电场强度为16m V 107.2/-⋅⨯==d U E因空气的击穿电场强度16m V 100.3-⋅⨯=b E ，b E E <，故电容器不会被击穿．插入玻璃后，由习题6 －26 可知，空气间隙中的电场强度()16m V 102.3-⋅⨯=+-=δδd εVεE r r此时，因b E E > ，空气层被击穿，击穿后40 k V 电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电场强度17m V 103.1/-⋅⨯==δV E由于玻璃的击穿电场强度1bm MV 10-⋅='E ，b E E '> ，故玻璃也将相继被击穿，电容器完全被击穿．10－22 某介质的相对电容率 2.8r ε=，击穿电场强度为611810V m -⨯⋅ ，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047 μF ，而耐压为4.0 k V 的电容器，它的极板面积至少要多大． 解 介质内电场强度16m V 1018-⋅⨯=≤b E E电容耐压U m ＝4.0 k V ，因而电容器极板间最小距离m 1022.2/4-⨯==b m E U d要制作电容为0.047 μF 的平板电容器，其极板面积210m 42.0==εεCdS 显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装． 10－23 一平行板空气电容器，极板面积为S ，极板间距为d ，充电至带电Q 后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d ．求：（1） 电容器能量的改变；（2） 此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系．分析 在将电容器两极板拉开的过程中，由于导体极板上的电荷保持不变，极板间的电场强度亦不变，但电场所占有的空间增大，系统总的电场能量增加了．根据功能原理，所增加的能量应该等于拉开过程中外力克服两极板间的静电引力所作的功． 解 （1） 极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为20220221SεQ E εw e == 在外力作用下极板间距从d 被拉开到2d ，电场占有空间的体积，也由V 增加到2V ，此时电场能量增加SεdQ V w W e e 022ΔΔ== （2） 两导体极板带等量异号电荷，外力F 将其缓缓拉开时，应有F ＝－F e ，则外力所作的功为SεdQ QEd 02e 2ΔA ==⋅-=r F 外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加．。
大学物理学 第十章 静电场中的电介质
2021/8/10
8
单位矢若量面元en
dS
endS
取在电介质的表面上，面元法线方向
由电介质指向真空，则电介质表面上的极化电
荷面密度为
d q出 dS
P
en
P cos
Pn
即 P • en P cos Pn
讨论 1）当θ = 0 0 时，P与n同向，σ 最大（正电荷）。
2）当θ< 90 0 时， 介质表面上将出现一层正极化电荷。
D4r 2 q
D
q
rˆ
E
D
0 r
4r 2
4
q
0
r
r
2
rˆ
-+
q' +q
-+ +-
-+
R
+
-
+r
+-
+
-
P E
D
r
E
q
4 0 r r 2
E0
q
4 0r 2
2021/8/10
为什么？
16
P 0(r 1)E
0 ( r
1)
q
4 0 r
r
2
rˆ
(1
1
r
)
q
4 r
2
rˆ
-
q' +q
-+
+
+-
-
+
E0
F
F
③在外电场作用下，分子固有电矩不同程度地转向和外电
场方向一致而发生的极化，称为取向极化 。
2021/8/10
5
3）极化结果 ①电介质从原来处处电中性变成出现了宏观的极化电荷。
10-7 静电场中的电介质
板间电势差：
U AB
d1 d 2 E dl E1d1 E2d 2 1 2 AB
S
电容器的电容：
q S S C d1 d 2 d1 d2 U AB
r 1 0
r 2 0
r 1 0
r 2 0
P
pi
V
单位体积内分子电偶极矩的矢量和
描述了电介质极化强弱，反映了电介质内分子 电偶极矩排列的有序或无序程度。
pi :分子偶极矩 :电极化强度 P 2 的单位： Cm P
如果电介质内各处极化强度的大小和方向都相同， 就称为均匀极化。我们只讨论均匀极化的电介质。
5
三、极化强度与极化电荷的关系
D 0 r E E
例1 . 已知:导体球 R 、Q 、 r 求:1. 球外任一点的 E
(1101A)
r
R
2. 导体球的电势 u
解: 过P点作高斯面得 2 D 4 r Q D dS Q
S
r
S
电势
P
Q D 4r 2
D 方向：沿径向向外
0 r E
D E
电位移矢量 D
0 E 真空中
介质中
介质中的高斯定理 D dS q S
自由电荷
通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该闭 合曲面所包围的自由电荷的代数和。
12
* D、E、P 三矢量之间关系
有电介质存在时的高斯定理的应用 SD dS q
即 或
n E2 E1 0
E1t = E2 t
上式表示，从一种介质过渡到另一种介质， 电场强度的切向分量不变。
静电场中的电介质
εr
ε0
σ + + + + + + −σ 0 - - - - - - - - - - '
闭合曲面内 自由电荷总数
闭合曲面内束 缚电荷总数
εr − 1 Q′ = Q0 εr
v v 1 ∫ E ⋅ dS = (Q0 − Q′)
S
ε0
εr − 1 Q′ = Q0 εr
v v Q0 ∫ E ⋅ dS =
v + E0 + + v＇ + E + v + E =0 + +
感应电荷 （自由电荷） 自由电荷）
v E0
v v v＇ E = E0 + E = 0
感应电荷电场强度
导体内电场强度 外电场强度
+σ0 + + + + + + + + + + + -σ ′
- - - - - v v v 导体 E0 E E'
感应电荷 自由电荷） （自由电荷）
注意 σ 0 ≠ σ ′
S
σ0 + + + + + + + + + +
d
-σ 0 -
v E0
--------S
σ′ E′ = ε0
+σ0 + + + + + + + + + + + -σ ′
- - - - - v v v ε r E0 E E'
+σ′ + + + + + + -σ 0 - - - - - - - - - - -
大学物理---静电场中的导体和电介质
, E ; E
+
+ + + +
++ ++
E 0
注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关. 导体凸出部分的表面曲率越大处, 电荷面密度越大, 附近 电场也越强。孤立导体表面的电荷密度与曲率之间不存 在单一的函数关系。
尖端放电现象
E
带电导体尖端附近电场最强
B A
Q RB （4）电容 C 2 π 0 r l ln U RA
2 π 0 r lRA 0 r S d RB RA RA , C d d 2
en
+
+
E
d+ l
+
eτ
导体内部电势相等
U AB
AB
E dl 0
A
B
二
静电平衡时导体上电荷的分布
1 实心导体
E 0
2
q E dS 0
S
+
+ + + +
+
S
+
q 0
有空腔导体
空腔内无电荷
0
+
+ +
结论 导体内部无电荷
结论 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
空腔内有电荷
E dS 0， qi 0
S1
电荷分布在表面上
E d S 0 ， q 0 i
S2
内表面上有电荷吗？
S2
q
q
S1
q内 q
结论 当空腔内有电荷 q 时,内表面因静电感应出 现等值异号的电荷 q ，外表面有感应电荷 q （电荷 守恒）
大学物理静电场中的导体和电介质
03
在静电场中，导体和电介质的 性质和行为表现出显著的差异 ，因此了解它们的特性是学习 大学物理静电场的重要基础。
学习目标
01
掌握导体和电介质的定义、性质和分类。
02
理解静电场中导体和电介质的电场分布和电荷分布。
03
掌握导体和电介质在静电场中的行为和相互作用， 以及它们在电路中的作用。
02
导体
导体的定义与性质
感应电荷的产生是由于导体内 部自由电荷受到电场力的作用 而重新分布，这种效应称为静 电感应现象。
静电感应现象在生产和生活中 的应用十分广泛，如静电除尘、 静电喷涂等。
导体的静电平衡状态
当导体放入静电场中并达到稳定状态时，导体内部的自由电荷不再发生定向移动， 此时导体的状态称为静电平衡状态。
在静电平衡状态下，感应电荷在导体内、外表面产生附加电场，该电场与外界电场 相抵消，使得导体内部的总电场为零。
应用
了解电场强度在电介质中 的分布和变化规律，有助 于理解电子设备和器件的 工作原理。
电介质的电位移矢量
01
02
03
04
定义
电位移矢量是指描述电场中电 荷分布情况的物理量。
特点
在静电场中，电位移矢量与电 场强度之间存在线性关系，可
以用介电常数表示。
计算
根据电位移矢量的定义和电场 强度的计算公式，可以计算出
定义
导体是指能够让电流通过的物质。在 静电场中，导体内部自由电荷会受到 电场力的作用而发生移动，从而形成 电流。
性质
导体具有导电性，其导电能力与温度 、光照、化学状态等因素有关。金属 导体是电导率最高的物质之一，而绝 缘体则几乎不导电。
导体的静电感应现象
当导体放入静电场中时，导体 表面会产生感应电荷，感应电 荷的分布与外界电场有关。
第十章电荷和静电场(导体和电介质)
导体
证明: 设有两个相距很远的带电导体球，如图： 证明: 设有两个相距很远的带电导体球，如图： 用很长的细导线连接两导体球, 用很长的细导线连接两导体球, 忽略两球间的静电感应， 导体球上的电荷仍均匀分布。 忽略两球间的静电感应， 导体球上的电荷仍均匀分布。 Q 整个导体系统是等势体。 整个导体系统是等势体。 R 1 Q σA R q A 球：UA = = 4π ε0 R ε0 r A B 1 q σB r = B 球： UB = q + + ε 4π ε r
σ1 σ2σ3 σ4
σ1 σ2 σ3 σ4 r r r r a点 − − − =0 E4 E3 E2 E 1 2ε0 2ε0 2ε0 2ε0
a
σ1 σ2 σ3 σ4 + + − =0 b点 σ1 σ2σ3 σ4 2ε0 2ε0 2ε0 2ε0
由电荷守恒定律： 由电荷守恒定律：
A板 B板
σ1S +σ2S = Q
导体球表面： q 导体球表面： 内表面： 内表面：−q 电荷守恒） （电荷守恒） 导体球壳： 导体球壳： 外表面：Q+ q + (2) 先用高斯定理求场强分布，再用积分求电势。 先用高斯定理求场强分布，再用积分求电势。
q
q
R3
R1
Q +q
R2
0 q
由高斯定理： 由高斯定理：
(r < R ) 1
2
E = 4π ε0r
0
0
Q UA =UB , ∴
结论： ★ 结论：
静电场中的电介质(2)
23
[例2]如图，两个半径分别为R1和R3的同心导体球面，带电量分 别为+Q、-Q，其中间充满相对介电常数分别为r1和r2的两层各向 同性均匀电介质，它们的分界面为一半径为R2的同心球面。求此 带电体系产生电场的能量。
解： 分析电场分布，求E。
选取球形高斯面，
则
D dS D4r2 Q
S1
D 0rE
S令
D 0rE E
称为电位移矢量
介质场中的高斯定理： D dS q0
S
说明：① D是一个辅助量，真正有意义的是场强 E。
它指出，通过闭合曲面的电位移通量，等于此闭合曲面内所 含的自由电荷。
② q0指曲面内所包含的自由电荷，与极化电荷无关，
E是由空间所有的电荷产生。
10
四、电位移矢量与电场强度的比较
E E0
r
' (1 1 ) r
介质场中的高斯定理
sD dS q0
29
三、电场的能量
e
1 2
DE
W
V edV
V
1 2
D
EdV
V
1 E2dV
2
We
Q2 2C
1 2
C(
UA
UB )2
1 2
Q(
U
A
UB)
四、电容和电容器
孤立导体:
q U
C
先设q 再求C
电容器: q C 先设q 再求C
解：两层介质中有
D1 D2 0 D
0 +
+
+
+
A
+
r1
d1
E1
D 1
0 0r1
E2
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。
E
'
在电介质内部：附加场与外电场方向相反，削弱 在电介质外部：附加场与外电场方向相同，加强
③位移极化在任何电介质中都存在，而有极分子的取向 极化是由有极分子构成的电介质所独有。
④两种分子的微观极化过程不同，但产生极化电荷的宏 观效果是一样的。
四、 极化强度（描述介质在外电场作用下被极化的强弱程度的物理量）
面内出现的净余极化电荷总量 q的负值。
S P d s qS内
通过任意闭合曲面的极化强度矢量的通量等于该闭合
曲面内的束缚电荷总量的负值。
q' SP d S
P dS q dV PdV dV
S
V
V
V
P
D 的高斯定理微分形式：
D 0
ห้องสมุดไป่ตู้
二、各向同性、线性介质 D、E、P 的关系
P 0(r 1) E
D 0E P 0r E
三、有电介质时电场、束缚电荷的计算
DdS
q0
S
D
0
r
E
P 0 r 1E
P nˆ
p
:每极个化 分子强的度分P子电n偶p 极矩nqp l
ql 。
en
P
dS
l
在极化介质内取一面 元矢量
d S d Sen
en
P
沿 l 方向，取一斜高为 l 、 底面积为d S 的斜柱体。
其体积为： d l d S cos
因极化越过面元的电荷总量为: dS
宏观：中性不带电
2）无极分子：无外场时，分子的正电重心和负电重心重合
的分子，如CH4
,
H2,
N
。
2
微观：
p
0
宏观：中性不带电
三、电介质的极化
1）无极分子的位移极化 ①无外场时，电介质分子的
正、负电荷重心重合。
p
0
②加外场：正负电荷 电场力的作用 发生位移→形成电偶极 子→趋于外电场方向排列→电介质侧面出现极化电荷。
电介质分子的电偶极子模型：
每一个分子中的正电荷集中于一点，称为正电荷重心； 负电荷集中于另一点，称为负电荷重心
等效的正负点电荷— 分子等效电偶极子
模型简单但抓住了要害
p
ql
二、有极分子和无极分子
1）有极分子：无外场时，分子的正电中心和负电重心不
重合的分子，如H 2O
,
NH
3
,
SO
。
2
微观： p ql
F
F
F
F
p 0
p 0
p
0
③在外电场作用下，正、负电荷重心发生相对位移而产生 的极化，称为位移极化 。
2） 有极分子的取向极化
①无外场时，分子作无规则热运各分子的
固有电矩沿各方向的概率相同 ，对整个介质
p
0
②加外场：电偶极子 力偶矩的作用 发生转向→趋于外电场方向
大学物理学
第十章 静电场中的电介质
电介质固有的电结构做出某种简化假设，建立模型，提出极化现象的 微观机制；再据此确立定量描述极化的相关物理量；寻求其间的关系—极 化规律。若结果与实验相符，则研究正确，否则需要修正。
§10.1 电介质的极化
一、电介质的电结构
电中性的分子中，带负电的电子(或负离子)与带正电的 原子核(或正离子)束缚得很紧，不能自由运动－束缚电荷 。 ----几乎不存在可以自由宏观移动的电荷
0
(c r d )
c
Q
Q
a
Q
0
r b d
Q
3）由极化强度与场强的关系：
P 0 ( r 1)E
p
Q(
r
4
rr
1)
2
(a r b)
0
( 其它)
4）束缚电荷激发的场强：
E E E0
E E E0
1
0
(q0
SP d s )
q＝- P d S S
即
S
(
0E
P)
d
s
q0
定义(引入)电位移矢量： D 0 E P
SD d s q0
通过介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该曲面所
包围的自由电荷的代数和，与面内的束缚电荷无关。
由D E
D1t D2t
1 2
D1t 1 r1 D2t 2 r 2
切向分量的边值关系
结 论
在两种介质的分界面上，电位移矢量的切向分量 是不连续的，有突变。
D1）
D2n
D1n
0
法向分量的边值关系
结
在两种介质的分界面上，当有自由面电荷存在时，
论 电位移矢量的法向分量发生突变，是不连续的。当无自
由面电荷时，电位移矢量的法向分量是连续的。
由
DE
0 0 时 0 0 时
D2n D1n 0
D2n D1n
2 E2n 1E1n
给定自由电荷分布，如何求稳定后的电场分布和束缚电荷分布？
一、电位移矢量及其高斯定理
S
E0
d s
q0
0
S
E d
s
q
0
E E0 E
L E0 d l 0
L Edl 0
E d s q0 q
S
0
S E d s
b l
da 与分界面垂直，长为 l ，但 l 趋于零。 介质1
由取环e路Et为1定分e理t界，面l 可的得E切2 向e单tLE位l d矢l0量E，1方aEb向1t E与2 Eacb2dt
的方向一致。
0
切向分量的边值关系
结 论
在两种介质的分界面上，电场强度的切向分量是 连续的。
-+
S
-
+
+
- +' + +-
+-
+-
R
+
-+
r
例题2 置于球心的点电荷 +Q 被两同心球壳所包围，大球壳 为导体，小球壳为电介质，相对电容率为εr ，球壳的尺寸如图所 示。试求以下各量与场点径矢r 的关系：1）电位移D ；2）电场 强度E；3） 极化强度P ； 4）束缚电荷激发的电场强度E ' ；5） 面电荷密度 。
c
Q
Q
a
Q
0
r b d
E
Q( 4
r 1)
r 0r 2
0
(a r b) (其它)
5）面电荷分为自由电荷和束缚电荷。
束缚电 荷： P2
2
(
P2
P1
)
nˆ 21
Q
a
P2
nˆ 21
P2
r
1
a
nˆ2P11 0
1、定义
P
p
( 单 位 C/m 2 ) —面电荷密度？
电介质中某点的极化强度矢量等于该点处单位体积 内分子电矩的矢量和。
Δτ : 宏观上足够小，使得其中所有分子的极化程度都相同。
微观上足够大，使得其中含有足够多的分子。
说明
1）若某区内各点
P
=
常矢，则称为均匀极化
。
2）真空：P 0 导体：P 0
解：1）由有介质 的高斯定理：
Q
SD d S q0
D
Q
4r
2
(r c, r d)
2）由静电场0的性能(c 方 程r ：dD)
E
Q
4 0r 2 (r a, b r c, r d )
E
Q
4 r 0r 2
(a r b)
2、极化强度和极化电荷分布的关系
极化强度是定量描述电介质极化程度的物理量，而极化电 荷是电介质极化产生的。两者之间必定存在定量关系。
1）极化强度和极化电荷密度的关系 以无极分子的位移极化为例
n: 单位体积内分子个数。
l : 正电重心相对于负电重心发生的位移。
q : 每 个 分 子 等 效 的 正 电 荷。
束缚电荷体密度等于电极化强度散度负值。
五、各向同性、线性电介质的极化规律
P、E 关系：
实验证明： P 0 e E
e --- 电极化率
e r 1 若介质中各点 e 相等，则称为均匀介质 。
r e 1 称为电介质的相对电容率
§10.2 D的高斯定理
D
DdS S
DdS
侧 面1
Dd
侧 面2
S
D1
en1S
D2
en2S
en
（ D2
D1）S
设界面上的自由电荷面密度为 0
由高斯定理
D 0S
en