杆件的刚度计算
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16
第二节
梁的变形及刚度计算
2、梁的挠曲线微分方程
假设梁的挠曲线方程为:
y f x
第六章推导弯曲正应力公式时已知
M 纯弯曲 EI
不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况
1
非纯弯曲
1 M( x ) ( x ) EI
17
第二节
梁的变形及刚度计算
1 M( x ) ( x ) EI
G G
T A dA d A G dA dx
2
τp
dA
O
d G A 2dA dx
d T dx GI p
2
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
1、扭转角公式：
由
l
d
l
T dx GI P
d
0
ds ( x)d , 且 ds dx 1 d d2y ( x) dx dx2
d2y M ( x) y" 2 dx EI
上式称为挠曲线近似微分 方程。根据弯矩正负号的 规定，等式两边符号一致。
18
第二节
梁的变形及刚度计算
3、积分法求梁的变形
1 y M ( x) EI 1 y M ( x) dx C 转角公式 EI 1 挠度公式 y M ( x) dx C dx D EI 积分常数 或 y 1 M ( x) dxdx Cx D EI C和D的值可
D=60mm，小端直径为
d=30mm，已知G=80GPa，
1
0
/m 。试求：
1)．校核该轴刚度； 2)．A截面相对于C 截 面的扭转角。
解：1．内力分析：
画扭矩图如图所。
7
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2．变形分析及刚度条件：
3.14 604 1012 I P1 1.27 106 (m 4 ) 32 32 d 4 3.14 304 1012 I P2 0.08 106 (m 4 ) 32 32 180 T1 180 2.5 103 0 1 1 . 4 ( /m) 9 6 GI P1 3.14 80 10 1.27 10 180 T2 180 1.5 103 0 2 1 . 35 ( /m) 9 6 GI P 2 3.14 80 10 0.08 10 故 max 1.4( 0 /m)
列弯矩方程为：M ( x ) M A RA x
Pl Px
（2）列挠曲线近似微分方程
EIy Pl Px
第二节
梁的变形及刚度计算
EIy Pl Px
（3） 积分
(b)
P 2 EIy Plx x C 2
EIy Pl 2 P 3 x x Cx D 2 6
1 Pl 2 P 3 Px 2 y x x ( 3l x ) EI 2 6 6 EI
将常数 C 和 D 代入(c)、(d)得：
（6）求最大转角和最大挠度
Pl 2 B ,即 2 EI
max
Pl 2 2 EI
Pl 3 Pl 3 yB ,即 y max 3 EI 3 EI
0 0
T 180 G IP
/m
4பைடு நூலகம்
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
二、圆轴扭转时的刚度计算
T GI P
0 T 180 或： G IP
精密机器轴：[θ]=0.150～0.500/m 一般传动轴：[θ] =0.500～1.00/m 精度低的轴：[θ] =1.00～2.50/m
(c )
(d )
（4）代入边界条件，确定积分常数 在 x = 0 处： A y A 0 将边界条件代入(c)、(d)得：
yA 0
C 0, D 0
21
第二节
梁的变形及刚度计算
EI y Plx P 2 x C 2
（5）确定转角方程和挠度方程
Pl 2 P 3 EIy x x Cx D 1 P 2 Px y Plx x ( 2l x ) 2 6 EI 2 2 EI
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和
2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最 大直径才为 75mm。 T (kNm) 2.814 x – 4.21
13
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
课堂练习
14
第二节
梁的变形及刚度计算
一、弯曲变形的概念
为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求
28
第二节
梁的变形及刚度计算
（2）校核刚度
吊车梁的许用挠度为：
l 920 y 1.84cm 500 500
将梁的最大挠度与其比较知：
ymax 1.5cm 1.84cm y
故刚度符合要求。
29
第二节
梁的变形及刚度计算
课堂练习
30
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 一、合理布置梁的载荷 F
说明：转角为负，说 明横截面绕中性轴顺 时针转动；挠度为负， 说明B点位移向下。
22
第二节
梁的变形及刚度计算
叠加原理、叠加法
当梁上同时作用几个载荷时， 梁的总变形为各个载荷单独作用下
梁的变形的代数和。
前提是小变形、线弹性
23
第二节
教材P163
梁的变形及刚度计算
表7-1
包括：
几种常见梁在简单载荷作用下的变形
9
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
[例] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，
已知：G=80GPa ，[ ]=70MPa，[ ]=1º/m ，试确定：
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ②若全轴选同一直径，应为多少 N
16 7024 6 80mm 3.14 70 10
16 4210 6 67.4mm 3.14 70 10
3 d2
16T
3
由刚度条件得：
T 180 Ip 32 G [ ]
d
4
0
11
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
32 180 T 4 32 7024180 4 d1 84mm 2 2 9 G [ ] 3.14 8010 1
1
N2 B
N3 C
③主动轮与从动轮如何安排合理
解：①图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：
m 7.024 N (kN m) n
A
500
T (kNm)
400 x
–7.024
– 4.21
10
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
T Wt 16 [ ]
d13
16T 3 3 d1
挠曲线近似 微分方程
通过梁支承处已知的变形条件来 确定，这个条件称为边界条件。
用数学语言描述：它 们是弯矩M（x）的函数
19
第二节
梁的变形及刚度计算
以A为原点，取直角坐标系，x 轴向右，y轴向上。 （1） 求支座反力 由平衡方程得：RA 列弯矩方程
P , M A Pl
(a )
(b)
20
1
D 4
说明刚度不够
8
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
扭转角为： AC AB BC T1l1 T2l2 1 T1l1 T2l2 ( ) GI P1 GI P 2 G I P1 TP 2 1 2.5 103 0.8 1.5 103 1 ( ) 9 6 6 8010 1.27 10 0.0810 0.215rad
4 d2 32 180 T 4 32 4210180 74.4 mm 2 2 9 G [ ] 3.14 8010 1
综上：
d1 85mm, d2 75mm d d1 85mm
12
② 全轴选同一直径时
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
梁的简图 挠曲线方程 截面转角 最大挠度
设计计算时可直接查表应用
24
第二节
梁的变形及刚度计算
直接查表
y BP y Bq pl3 3EI ql 4 8 EI Pl 2 BP 2 EI ql3 Bq 6 EI
由叠加法得：
y B y BP Pl 3 ql 4 y Bq 3 EI 8 EI
15
第二节
梁的变形及刚度计算
1、挠度与转角
挠度 ：用y 表示。
规定：挠度向上为正， 反之为负。 比如，C 截面的挠度为 yC 转角：用θ 表示。 规定：转角以逆时针为正，
反之为负。
比如，C 截面的转角为 θC
dy , tg dx dy 挠度对坐标的一阶 dx 导等于转角 tg
T Tl dx GI P GI P
式中：
GI P ——抗扭刚度
G ——剪切弹性模量
I P ——截面的极惯性矩
T——研究段截面上的扭矩 L——研究段的长度
3
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2、单位长度扭转角：
T l GI P
工程中常以
0
单位：rad(弧度)
/ m 为单位来计算，则上式写为：
Pl 3 55 1000 9203 yCP 1.38cm 6 48EI 48 20 10 32240 5ql 4 5 8.04 9204 yCq 0.116cm 6 384EI 384 20 10 32240 由叠加法，得梁的最大挠度为：
ymax ycp ycq 1.38 0.116 1.5cm
A
L∕2 L∕2
F
B
x
L-2X
x
F／2
F／2
M 0
FL／4
x x
M 0
L-2X
x x
31
FX／2
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施
T T2 T3
T
T2
A
B
C
x
T
T3 T
x
T2 B
T3 T A
T3 C
32
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 二、合理布置梁的支撑
q A
（1）计算变形
计算梁挠度的有关数据为： P = 50 + 5 = 55 kN 由型钢表查得
q 8.04N/cm(80.4kgf/m) I 32240 cm4
27
第二节
梁的变形及刚度计算
E 200GPa 20 106 N/cm2
材料的弹性模量
因P和q而引起的最大挠度均位 于梁的中点C，由表7-1查得：
5
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
刚度计算的三方面：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
max
T max Ip G[ ]
T
max
GI p[ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
6
第一节
[例]
圆轴扭转时的变形及刚度计算
图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为
材料力学
第七章 杆件的刚度计算
第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算
第二节 梁的变形及刚度计算 第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施
1
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
一、圆轴扭转时的变形
tg
G1G d dx dx
d d G dx dx
根据虎克定律：
有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而
引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。 绕曲线——梁在载荷作用下发生弯曲变形，梁轴线由直线 弯曲成一条光滑连续曲线。 梁曲线上任一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移 称为该点的挠度 。 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。
pl 2 ql 3 2 EI 6 EI
25
B BP Bq
第二节
梁的变形及刚度计算
弯曲构件的刚度条件:
max
ymax y
y 许 用 挠 度 许 用 转 角 , 单 位: rad
26
第二节
梁的变形及刚度计算
将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。
L
q B A
L∕5 3L∕5 L∕5
B
M 0
qL2／8
M qL2／40
x
0 qL2／50 qL2／50
x
33
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 三、合理选择梁的截面形状
对于平面弯曲梁，从弯曲正应力强度考虑，比较合 理的截面形状是在截面面积A一定的前提下，使截面具有
第二节
梁的变形及刚度计算
2、梁的挠曲线微分方程
假设梁的挠曲线方程为:
y f x
第六章推导弯曲正应力公式时已知
M 纯弯曲 EI
不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况
1
非纯弯曲
1 M( x ) ( x ) EI
17
第二节
梁的变形及刚度计算
1 M( x ) ( x ) EI
G G
T A dA d A G dA dx
2
τp
dA
O
d G A 2dA dx
d T dx GI p
2
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
1、扭转角公式：
由
l
d
l
T dx GI P
d
0
ds ( x)d , 且 ds dx 1 d d2y ( x) dx dx2
d2y M ( x) y" 2 dx EI
上式称为挠曲线近似微分 方程。根据弯矩正负号的 规定，等式两边符号一致。
18
第二节
梁的变形及刚度计算
3、积分法求梁的变形
1 y M ( x) EI 1 y M ( x) dx C 转角公式 EI 1 挠度公式 y M ( x) dx C dx D EI 积分常数 或 y 1 M ( x) dxdx Cx D EI C和D的值可
D=60mm，小端直径为
d=30mm，已知G=80GPa，
1
0
/m 。试求：
1)．校核该轴刚度； 2)．A截面相对于C 截 面的扭转角。
解：1．内力分析：
画扭矩图如图所。
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第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2．变形分析及刚度条件：
3.14 604 1012 I P1 1.27 106 (m 4 ) 32 32 d 4 3.14 304 1012 I P2 0.08 106 (m 4 ) 32 32 180 T1 180 2.5 103 0 1 1 . 4 ( /m) 9 6 GI P1 3.14 80 10 1.27 10 180 T2 180 1.5 103 0 2 1 . 35 ( /m) 9 6 GI P 2 3.14 80 10 0.08 10 故 max 1.4( 0 /m)
列弯矩方程为：M ( x ) M A RA x
Pl Px
（2）列挠曲线近似微分方程
EIy Pl Px
第二节
梁的变形及刚度计算
EIy Pl Px
（3） 积分
(b)
P 2 EIy Plx x C 2
EIy Pl 2 P 3 x x Cx D 2 6
1 Pl 2 P 3 Px 2 y x x ( 3l x ) EI 2 6 6 EI
将常数 C 和 D 代入(c)、(d)得：
（6）求最大转角和最大挠度
Pl 2 B ,即 2 EI
max
Pl 2 2 EI
Pl 3 Pl 3 yB ,即 y max 3 EI 3 EI
0 0
T 180 G IP
/m
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第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
二、圆轴扭转时的刚度计算
T GI P
0 T 180 或： G IP
精密机器轴：[θ]=0.150～0.500/m 一般传动轴：[θ] =0.500～1.00/m 精度低的轴：[θ] =1.00～2.50/m
(c )
(d )
（4）代入边界条件，确定积分常数 在 x = 0 处： A y A 0 将边界条件代入(c)、(d)得：
yA 0
C 0, D 0
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第二节
梁的变形及刚度计算
EI y Plx P 2 x C 2
（5）确定转角方程和挠度方程
Pl 2 P 3 EIy x x Cx D 1 P 2 Px y Plx x ( 2l x ) 2 6 EI 2 2 EI
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和
2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最 大直径才为 75mm。 T (kNm) 2.814 x – 4.21
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第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
课堂练习
14
第二节
梁的变形及刚度计算
一、弯曲变形的概念
为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求
28
第二节
梁的变形及刚度计算
（2）校核刚度
吊车梁的许用挠度为：
l 920 y 1.84cm 500 500
将梁的最大挠度与其比较知：
ymax 1.5cm 1.84cm y
故刚度符合要求。
29
第二节
梁的变形及刚度计算
课堂练习
30
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 一、合理布置梁的载荷 F
说明：转角为负，说 明横截面绕中性轴顺 时针转动；挠度为负， 说明B点位移向下。
22
第二节
梁的变形及刚度计算
叠加原理、叠加法
当梁上同时作用几个载荷时， 梁的总变形为各个载荷单独作用下
梁的变形的代数和。
前提是小变形、线弹性
23
第二节
教材P163
梁的变形及刚度计算
表7-1
包括：
几种常见梁在简单载荷作用下的变形
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第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
[例] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，
已知：G=80GPa ，[ ]=70MPa，[ ]=1º/m ，试确定：
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ②若全轴选同一直径，应为多少 N
16 7024 6 80mm 3.14 70 10
16 4210 6 67.4mm 3.14 70 10
3 d2
16T
3
由刚度条件得：
T 180 Ip 32 G [ ]
d
4
0
11
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
32 180 T 4 32 7024180 4 d1 84mm 2 2 9 G [ ] 3.14 8010 1
1
N2 B
N3 C
③主动轮与从动轮如何安排合理
解：①图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：
m 7.024 N (kN m) n
A
500
T (kNm)
400 x
–7.024
– 4.21
10
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
T Wt 16 [ ]
d13
16T 3 3 d1
挠曲线近似 微分方程
通过梁支承处已知的变形条件来 确定，这个条件称为边界条件。
用数学语言描述：它 们是弯矩M（x）的函数
19
第二节
梁的变形及刚度计算
以A为原点，取直角坐标系，x 轴向右，y轴向上。 （1） 求支座反力 由平衡方程得：RA 列弯矩方程
P , M A Pl
(a )
(b)
20
1
D 4
说明刚度不够
8
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
扭转角为： AC AB BC T1l1 T2l2 1 T1l1 T2l2 ( ) GI P1 GI P 2 G I P1 TP 2 1 2.5 103 0.8 1.5 103 1 ( ) 9 6 6 8010 1.27 10 0.0810 0.215rad
4 d2 32 180 T 4 32 4210180 74.4 mm 2 2 9 G [ ] 3.14 8010 1
综上：
d1 85mm, d2 75mm d d1 85mm
12
② 全轴选同一直径时
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
梁的简图 挠曲线方程 截面转角 最大挠度
设计计算时可直接查表应用
24
第二节
梁的变形及刚度计算
直接查表
y BP y Bq pl3 3EI ql 4 8 EI Pl 2 BP 2 EI ql3 Bq 6 EI
由叠加法得：
y B y BP Pl 3 ql 4 y Bq 3 EI 8 EI
15
第二节
梁的变形及刚度计算
1、挠度与转角
挠度 ：用y 表示。
规定：挠度向上为正， 反之为负。 比如，C 截面的挠度为 yC 转角：用θ 表示。 规定：转角以逆时针为正，
反之为负。
比如，C 截面的转角为 θC
dy , tg dx dy 挠度对坐标的一阶 dx 导等于转角 tg
T Tl dx GI P GI P
式中：
GI P ——抗扭刚度
G ——剪切弹性模量
I P ——截面的极惯性矩
T——研究段截面上的扭矩 L——研究段的长度
3
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2、单位长度扭转角：
T l GI P
工程中常以
0
单位：rad(弧度)
/ m 为单位来计算，则上式写为：
Pl 3 55 1000 9203 yCP 1.38cm 6 48EI 48 20 10 32240 5ql 4 5 8.04 9204 yCq 0.116cm 6 384EI 384 20 10 32240 由叠加法，得梁的最大挠度为：
ymax ycp ycq 1.38 0.116 1.5cm
A
L∕2 L∕2
F
B
x
L-2X
x
F／2
F／2
M 0
FL／4
x x
M 0
L-2X
x x
31
FX／2
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施
T T2 T3
T
T2
A
B
C
x
T
T3 T
x
T2 B
T3 T A
T3 C
32
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 二、合理布置梁的支撑
q A
（1）计算变形
计算梁挠度的有关数据为： P = 50 + 5 = 55 kN 由型钢表查得
q 8.04N/cm(80.4kgf/m) I 32240 cm4
27
第二节
梁的变形及刚度计算
E 200GPa 20 106 N/cm2
材料的弹性模量
因P和q而引起的最大挠度均位 于梁的中点C，由表7-1查得：
5
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
刚度计算的三方面：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
max
T max Ip G[ ]
T
max
GI p[ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
6
第一节
[例]
圆轴扭转时的变形及刚度计算
图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为
材料力学
第七章 杆件的刚度计算
第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算
第二节 梁的变形及刚度计算 第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施
1
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
一、圆轴扭转时的变形
tg
G1G d dx dx
d d G dx dx
根据虎克定律：
有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而
引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。 绕曲线——梁在载荷作用下发生弯曲变形，梁轴线由直线 弯曲成一条光滑连续曲线。 梁曲线上任一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移 称为该点的挠度 。 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。
pl 2 ql 3 2 EI 6 EI
25
B BP Bq
第二节
梁的变形及刚度计算
弯曲构件的刚度条件:
max
ymax y
y 许 用 挠 度 许 用 转 角 , 单 位: rad
26
第二节
梁的变形及刚度计算
将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。
L
q B A
L∕5 3L∕5 L∕5
B
M 0
qL2／8
M qL2／40
x
0 qL2／50 qL2／50
x
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第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 三、合理选择梁的截面形状
对于平面弯曲梁，从弯曲正应力强度考虑，比较合 理的截面形状是在截面面积A一定的前提下，使截面具有