杆件的刚度计算
杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算 1）构件的失效模式 若载荷过大，超出了构件的承载能力，构件将失去某些功能 而不能正常工作，称为构件失效。工程中，构件的失效模式主要 有： • 强度失效 ——构件的材料断裂或屈服。 • 刚度失效 ——构件的弹性变形过大，超出规定范围。 • 疲劳失效 ——构件在交变应力作用下的强度失效。
单向应力状态。因此，无论选用哪个强度理论，强度条件表达
式均演化为
max [ ]
例1 螺旋压力机的立柱如图所示。已
知：F =300kN，立柱横截面的最小直径为
42mm，材料许用应力为[]=140 MPa，试
校核立柱的强度。
解：1）用截面法求立柱轴力
2）求立柱横截面上的应力
max FN
150 103
• 稳定失效 ——构件丧失了原有的平衡形态。
本章只研究杆件强度失效与刚度失效的计算问题。
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算
1）构件的失效模式 2）杆件的强度计算
首先根据内力分析方法，对受力杆件进行内力分析（画出内力 图），确定可能最先发生强度失效的横截面（危险截面）。
其次根据杆件横截面上应力分析方法，确定危险截面上可能最 先发生强度失效的点（危险点），并确定出危险点的应力状态。
的杆件， 是指两指定截面的相对扭转角 或单位长度扭转角 ；
对于梁， 是指挠度 v 或转角 。
根据刚度条件，即上面不等式，刚度计算可解决三类问题：
• 校核刚度 • 设计截面 • 计算许可载荷
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆件的强度计算
轴向拉压杆横截面上正应力是均匀分布的，各点均处于
解：1）求 AB 与 BC 杆的轴力
第九章 杆件的变形及刚度计算
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第九章
杆件的变形及刚度计算
第九章
杆件的变形及刚度计算
三、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x )dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
第九章
杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
第7章 杆件的变形与刚度
② 刚度校核
Tmax 180 θ max = × GI P π 32 × 40 × 180 = = 1.89 < [θ ] 9 2 4 4 80 × 10 × π D (1 − α )
③右端面转角
2 20 xdx T ( x)dx 10 x 2 2 40 =∫ = ϕ =∫ 0= 0 GI l GI GI P GI P P P
D
解：本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
[例5] 求图示结构中刚性杆AB 中点C 的位移δC。[不讲]
①
2EA
EA
②
解：由平衡方程得 l
A
δA
a δC
C a
δB
B
F
P FN 1 = FN 2 = 2 FN 1l Fl δ A = Δl1 = = EA 2 EA FN 2 l Fl δ B = Δl 2 = = 2 EA 4 EA
1 3Fl δ C = (δ A + δ B ) = 2 8 EA
0.5 ×103 ×103 − 30 − 30 20 ( ) = + + 9 −6 200 ×10 ×10 1000 500 500 = −0.125mm
[例3]
长l =2m，重P=20kN 的均质杆，上端固定。杆的横截面
工程力学第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
第7章 杆件的变形与刚度
32Tmax ⋅180 4 32 × 2000 ×180 d ≥4 = ×103 = 83.5mm G[θ ]⋅ π 2 80 ×109 × 0.3π 2
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
[例2]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； [τ]=60MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚 度，并计算两端面的相对扭转角。 mC
D
解：本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
16mC
⊕
○ 1kN.m
π [τ ]
16 × 2000 3 = ×10 6 π 60 ×10
3
= 55.4mm
mA A
mB
mC
⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
⊕
○ 1kN.m
θ max = T ⋅ 180 ≤ [θ ] (°/m) GI p π π 4 Tmax 180 IP = d ≥ ⋅ 32 G[θ ] π
d2
mA
d1
mB
解： ⑴按强度校核
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T1 16mB τ1 = = Wt1 π d13 16 × 600 = = 47.7 MPa < [τ ] 3 π ×4
第4章杆件的变形和刚度
拉刚度为EA，B点处受F作用，试求B点位移B。
a
【解】 M A 0，
F
L
1 2
L
cos
FCD
FNCD
2F
cos
FNCD
A
C
C
αD
F
B
LCD
FNCD LCD EA
2Fa
EAcos2
C1
L/2
L/2
B1
CC1
CC LCD
cos cos
B
BB1
2CC1
形。实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变x与 横向应变y之间存在下列关系：
y x
为材料的一个弹性常数，称为泊松比(Poisson ratio)。
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
【例4-1】 变截面直杆，ADE段为铜制，EBC段为钢制；
在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
【例4-2】 已知杆长L=2m，杆直径d=25mm，=300，材料
的 弹 性 模 量 E=2.1×105MPa ， 设 在 结 点 A 处 悬 挂 一 重 物
F=100kN，试求结点A的位移A。
【解】 1． 求轴力
Fx 0，
FNAC sin FNAB sin 0
B1
2C
FNAB FNAC
αα
Fy 0,
FNAC cos FNAB cos F 0
FNAC
FNAB
F
2 cos
A
第五章 杆件的变形与刚度计算
( )称为泊松比或横向变 形系数
3
二、拉压杆的变形
材料在线弹性范围内： E 等截面杆：
FN A
l l
FN l l EA
EA：称为截面抗拉压刚度
多段等截面杆： l 变截面杆：
l
FN i li Ei Ai
l
FN x dx E Ax
例题3-5 试按叠加原理求图示悬臂梁C处的挠度和转角。 解： 逐段刚化法 1.刚化AB段，考虑BC段的变形
Fl 顺时针 C1 2 E2 I 2 3 Fl2 wC1 3E 2 I 2
2 1 2 2
F
E1 I1 ,l1
B
A
E 2 I 2 ,l 2
C F
B
E2 I 2
C
wC1
2.刚化BC段，考虑AB段的变形
1
第五章 杆件的变形与刚度计算
§5-1 轴向拉压杆的变形
§5-2 圆轴扭转变形及刚度计算 §5-3 梁的弯曲变形及刚度计算
2
§5-1 轴向拉压杆的变形
一、线应变
b1
F
l 纵向线应变： l
l l1
b
F
横向线应变：
b b
l l1 l b b1 b
材料在线弹性范围内：
w″>0
M>0
w″<0
14
三、积分法求梁的挠度和转角
w
w
M ( x) dx C EI
F
M ( x) dxdx Cx D EI
A
B
通过边界条件确定积分常数 支承条件： wA 0, A 0 (悬臂梁)
wC 0, wD 0 (简支梁)
第九章杆件的变形及刚度计算
第九章 杆件的变形及刚度计算 三、微分方程的积分
w M ( x) EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M( x)
1.积分一次得转角方程
EIw M( x)dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M( x)dxdx C1x C2
第九章 杆件的变形及刚度计算
挠曲线方程为
w f (x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
4.挠度与转角的关系
tan w ' w '(x)
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
第九章 杆件的变形及刚度计算
5.挠度和转角符号的规定
2.由数学得到平面曲线的曲率
1
(x)
(1
| w |
w2
3
)
2
(1
|
w | w2 )
3
2
M(x) EI
第九章 杆件的变形及刚度计算
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0 M 0
M 0
曲线向上凸时: w 0 M 0 w
w 0
M
M
因此, w与 M 的正负号相同
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件
A
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 wA 和 wB 都等于0.
杆件强度与刚度计算课件
通过强度计算案例的学习，可以深入了解杆件 强度的计算方法和应用技巧，提高解决实际工 程问题的能力。
03
杆件刚度计算
Hale Waihona Puke 刚度定义与分类刚度定义
刚度是指杆件在受力后抵抗变形的能力。
刚度分类
根据受力情况，刚度可分为静刚度和动刚度；根据变形性质，刚度可分为弹性刚 度和塑性刚度。
复合材料
复合材料如碳纤维、玻璃纤维等具有轻质、高强、抗腐蚀等 优点，可以替代传统金属材料用于制造高强度杆件。
新的计算方法
有限元分析
有限元分析是一种数值计算方法，可 以模拟杆件的受力、变形和破坏过程 ，为杆件设计提供更精确的计算结果 。
人工智能与机器学习
人工智能和机器学习技术可以用于优 化设计过程，自动识别和预测杆件的 性能，提高设计效率和准确性。
杆件强度与刚度计 算课件
目 录
• 杆件强度与刚度概述 • 杆件强度计算 • 杆件刚度计算 • 杆件强度与刚度的实际应用 • 杆件强度与刚度的未来发展
01
杆件强度与刚度概述
定义与概念
杆件强度
指杆件在受力条件下，抵抗破坏 的能力。
杆件刚度
指杆件在受力条件下，抵抗变形 的能力。
强度与刚度的重要性
保证结构安全
优化设计
通过计算强度和刚度，可以对机械零件进行优化设计，以减小重量、降低成本和提高性 能。
航空航天中的应用
01 02
飞行器结构
在航空航天领域中，杆件广泛应用于飞行器的各种结构中，如机身、机 翼、尾翼等。计算强度和刚度是确保飞行器在各种工作状态下都能够保 持稳定性和安全性的基础。
杆件的刚度计算
G
d dx
G
d dx
T A dA d A G dA dx
2
τp
d T dx GI p
dA
O
d 2 G A dA dx
2
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
1、扭转角公式：
由
d
l
T GI P
dx
d
l
T GI P
4
12
1 . 27 10
12
6
(m )
4
4
32 3 . 14 30 10
4
d
0 . 08 10 2 . 5 10
9 3
6
(m ) 1 . 4 ( /m)
0
1
2
32 180
T1 GI
P1
180
32 180 3 . 14 180 3 . 14
A
L∕2 L∕2
F
B
x
L-2X
x
F／2
F／2
M 0
FL／4
x x
M 0
L-2X
x x
31
FX／2
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施
T
T2
T3
T
T2
A
B
C
T3
x
T
T3 T
x
T2 B T
T3 C
A
32
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 二、合理布置梁的支撑
q A
L
q B A
q 8 . 04 N/cm ( 80 . 4 kgf/m ) I 32240 cm
钢结构压杆的刚度计算
钢结构压杆的刚度计算
钢结构压杆的刚度计算是指对钢结构中压杆的刚度进行评估和计算的过程。
刚度是衡量结构抵抗变形的能力，对于压杆而言，刚度计算涉及确定其弯曲、剪切等变形的程度。
在进行钢结构压杆的刚度计算时，需要考虑以下因素：
1.杆件截面特性：包括截面尺寸、惯性矩、回转半径等，这些因素决定了杆
件的弯曲刚度和剪切刚度。
2.材料特性：如弹性模量、泊松比等，这些参数影响材料的受力行为和刚度。
3.支撑条件：如固定、简支或自由等，不同的支撑条件会对压杆的刚度产生
影响。
为了计算压杆的刚度，可以采用以下示例公式：
弯曲刚度（EI）：用于计算杆件在弯曲载荷作用下的变形程度。
公式为：EI = E×I，其中E是材料的弹性模量，I是杆件的惯性矩。
剪切刚度：用于计算杆件在剪切载荷作用下的变形程度。
公式为：KG=G×J，其中G是材料的剪切模量，J是杆件的截面剪切惯性矩。
综合以上因素和公式，可以对钢结构压杆的刚度进行全面评估，为结构的稳定性和安全性提供保障。
总的来说，钢结构压杆的刚度计算涉及多个因素和复杂的公式，旨在准确评估其抵抗变形的能力，以确保结构的可靠性。
刚度系数k怎么计算
刚度系数k怎么计算
刚度系数k的计算方法可以根据不同的情境和对象而有所不同。
在材料力学中，刚度系数k通常表示材料或结构在受力时抵抗弹性变形的能力。
对于杆件而言，其刚度系数k可以通过公式k = E*I/L来计算，其中E为材料的弹性模量，I为截面的惯性矩（也称为截面二阶矩），L为杆件的长度。
另外，对于弹簧等弹性元件，其刚度系数k可以通过公式k = F/ΔL来计算，其中F为弹簧所受的力，ΔL为弹簧的形变量。
在建筑结构设计中，刚度系数k也是一个非常重要的参数，可以用来评估结构的抗震性能等。
此时，刚度系数k的计算可能涉及到更为复杂的公式和计算过程，需要考虑结构的整体刚度、各构件的刚度以及它们之间的连接关系等因素。
需要注意的是，在计算刚度系数k时，需要确保所有的物理量都是正确的，并且符合相关的计算条件和假设。
此外，对于不同的材料和结构类型，可能需要采用不同的计算方法和公式来计算刚度系数k。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况进行选择和调整。
总之，刚度系数k的计算方法需要根据具体情况而定，需要考虑材料、结构、受力情况等因素。
在实际应用中，需要遵循相关的计算规则和标准，确保计算结果的准确性和可靠性。
细长杆弯曲刚度
细长杆弯曲刚度全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：细长杆是一种常见的结构件，在工程中被广泛应用。
细长杆的弯曲刚度是指在受力时弯曲的难度和程度，是衡量杆件抗弯性能的重要指标。
在实际工程中，细长杆的弯曲刚度往往是影响其稳定性和承载能力的关键因素之一。
本文将介绍细长杆弯曲刚度的概念、计算方法以及影响因素。
一、细长杆弯曲刚度的概念细长杆在受外力作用下会发生弯曲变形。
弯曲变形程度可以用一个参数来表示，即弯曲刚度。
弯曲刚度越大，弯曲变形越小，反之则弯曲变形越大。
细长杆的弯曲刚度与其材料的力学性能、几何形状和受力情况有着密切的关系。
在实际工程中，细长杆往往是以梁的形式出现，弯曲刚度可以用弯曲刚度系数来表示。
弯曲刚度系数是一个反映杆件抗弯性能的综合参数，通常用弯曲弹性模量和截面形态系数的乘积来表示。
细长杆弯曲刚度的计算是一个复杂的过程，需要考虑材料的力学性能、几何形状和受力情况等多个因素。
一般来说，可以使用弹性理论来计算细长杆的弯曲刚度。
对于简支梁，可以根据材料力学性能和截面形状，采用梁的基本理论来计算弯曲刚度系数。
对于其它形式的细长杆，如悬臂梁和悬索等，需要考虑不同的受力情况和边界条件，选择合适的计算方法。
1. 材料的力学性能：细长杆的弯曲刚度与材料的弹性模量和弯曲强度有着密切的关系。
一个材料的弹性模量越大，弯曲刚度也就越大，弯曲强度越大则弯曲刚度也越大。
2. 几何形状：细长杆的截面形状对其弯曲刚度有着重要影响。
一般来说，截面形态越对称，弯曲刚度越大。
截面面积越大，弯曲刚度也就越大。
3. 受力情况：细长杆的受力情况对其弯曲刚度有着直接的影响。
不同的受力情况下，细长杆的弯曲刚度会有所不同。
在受弯或受拉情况下，弯曲刚度也会有所差异。
细长杆的弯曲刚度是一个重要的工程参数，对其进行准确的计算和分析可以为工程设计提供重要的参考依据。
在实际工程中，通过选择合适的材料和截面形状，优化细长杆的受力情况，可以提高杆件的抗弯性能和工作效率，确保结构的稳定性和安全性。
杆件的刚度计算
梁的变形及刚度计算
2、梁的挠曲线微分方程
假设梁的挠曲线方程为:
y f x
第六章推导弯曲正应力公式时已知
纯弯曲 1
M EI
不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况
非纯弯曲
1
( x )
M ( x ) EI
17
第二节
1
梁的变形及刚度计算
M ( x ) EI
( x )
ds ( x ) d , 且 1
L∕5 3L∕5 L∕5
B
M 0
qL2／8
M qL2／40
x
x
qL2／50
0 qL2／50
33
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 三、合理选择梁的截面形状
对于平面弯曲梁，从弯曲正应力强度考虑，比较合 理的截面形状是在截面面积A一定的前提下，使截面具有
尽可能大的弯曲截面系数WZ ,比值WZ／A越大，截面越经
20
第二节
梁的变形及刚度计算
(b )
EI y Pl Px
（3） 积分
EI y Plx
Pl 2
P 2
x C
2
(c )
EIy
x
2
P 6
x Cx D
3
(d )
（4）代入边界条件，确定积分常数 在 x = 0 处： A y A 0
yA 0
y
M
( x ) dx C
M
( x ) dx C dx D
积分常数 或 y 1 M ( x ) dxdx Cx D EI C和D的值可 用数学语言描述：它 通过梁支承处已知的变形条件来 们是弯矩M（x）的函数 确定，这个条件称为边界条件。
杆单元刚度矩阵
杆单元刚度矩阵
【原创版】
目录
1.杆单元刚度矩阵的定义
2.杆单元刚度矩阵的计算方法
3.杆单元刚度矩阵的应用
正文
一、杆单元刚度矩阵的定义
杆单元刚度矩阵，又称为杆件刚度矩阵，是在结构力学中，用来描述杆件在受力情况下的形变情况的一个矩阵。
它可以用来表示杆件在各个方向上的刚度，是杆件在受力情况下的形变情况的重要参数。
二、杆单元刚度矩阵的计算方法
杆单元刚度矩阵的计算方法通常基于杆件的材质、截面形状、边界条件等因素。
常见的计算方法包括：
1.静态分析法：通过求解杆件在受力情况下的形变，得到刚度矩阵。
2.动态分析法：通过求解杆件在受力情况下的振动特性，得到刚度矩阵。
3.有限元分析法：将杆件划分为多个小段，对每个小段进行静态或动态分析，然后综合得到刚度矩阵。
三、杆单元刚度矩阵的应用
杆单元刚度矩阵在实际工程中应用广泛，可以用来：
1.分析杆件在受力情况下的形变情况，为结构设计提供参考。
2.计算杆件在受力情况下的应力分布，为材料选择和强度分析提供依据。
3.预测杆件在受力情况下的振动特性，为结构稳定性分析和振动控制提供参考。
杆件的强度刚度计算
材料力学习题第12章12-1一桅杆起重机，起重杆AB的横截面积如图所示。
钢丝绳的横截面面积为10mm2。
起重杆与钢丝的许用σ，试校核二者的强度。
力均为M Pa[=120]习题2-1图习题12-2图12-2重物F=130kN悬挂在由两根圆杆组成的吊架上。
AC是钢杆，直径d1=30mm，许用应力[σ]st=160MPa。
BC是铝杆，直径d2= 40mm, 许用应力[σ]al= 60MPa。
已知ABC为正三角形，试校核吊架的强度。
12-3图示结构中，钢索BC由一组直径d =2mm的钢丝组成。
若钢丝的许用应力[σ]=160MPa,横梁AC单位长度上受均匀分布载荷q =30kN/m作用，试求所需钢丝的根数n。
若将AC改用由两根等边角钢形成的组合杆，角钢的许用应力为[σ] =160MPa，试选定所需角钢的型号。
12-4图示结构中AC为钢杆，横截面面积A1=2cm2；BC杆为铜杆，横截面面积A2=3cm2。
[σ]st = 160MPa，[σ]cop [F。
= 100MPa，试求许用载荷]习题12-3图习题12-4图12-5图示结构，杆AB为5号槽钢，许用应力[σ] = 160MPa，杆BC为bh= 2的矩形截面木杆，其截面尺寸为b = 5cm, h = 10cm,许用应力[σ] = 8MPa，承受载荷F = 128kN，试求：（1）校核结构强度；（2）若要求两杆的应力同时达到各自的许用应力，两杆的截面应取多大？习题12-5图习题12-6图12-6图示螺栓，拧紧时产生∆l = 0.10mm的轴向变形，试求预紧力F，并校核螺栓强度。
已知d1=8mm, d2=6.8mm, d3=7mm, l1=6mm, l2=29mm, l3=8mm; E=210GPa, [σ]=500MPa。
12-7图示传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入功率P1=368kW，从动轮2和3分别输出功率P2=147kW 和P3=221kW。
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ds ( x)d , 且 ds dx 1 d d2y ( x) dx dx2
d2y M ( x) y" 2 dx EI
上式称为挠曲线近似微分 方程。根据弯矩正负号的 规定，等式两边符号一致。
18
第二节
梁的变形及刚度计算
3、积分法求梁的变形
1 y M ( x) EI 1 y M ( x) dx C 转角公式 EI 1 挠度公式 y M ( x) dx C dx D EI 积分常数 或 y 1 M ( x) dxdx Cx D EI C和D的值可
说明：转角为负，说 明横截面绕中性轴顺 时针转动；挠度为负， 说明B点位移向下。
22
第二节
梁的变形及刚度计算
叠加原理、叠加法
当梁上同时作用几个载荷时， 梁的总变形为各个载荷单独作用下
梁的变形的代数和。
前提是小变形、线弹性
23
第二节
教材P163
梁的变形及刚度计算
表7-1
包括：
几种常见梁在简单载荷作用下的变形
T Tl dx GI P GI P
式中：
GI P ——抗扭刚度
G ——剪切弹性模量
I P ——截面的极惯性矩
T——研究段截面上的扭矩 L——研究段的长度
3
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2、单位长度扭转角：
T l GI P
工程中常以
0
单位：rad(弧度)
/ m 为单位来计算，则上式写为：
梁的简图 挠曲线方程 截面转角 最大挠度
设计计算时可直接查表应用
24
第二节
梁的变形及刚度计算
直接查表
y BP y Bq pl3 3EI ql 4 8 EI Pl 2 BP 2 EI ql3 Bq 6 EI
由叠加法得：
y B y BP Pl 3 ql 4 y Bq 3 EI 8 EI
1
D 4
说明刚度不够
8
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
扭转角为： AC AB BC T1l1 T2l2 1 T1l1 T2l2 ( ) GI P1 GI P 2 G I P1 TP 2 1 2.5 103 0.8 1.5 103 1 ( ) 9 6 6 8010 1.27 10 0.0810 0.215rad
(c )
(d )
（4）代入边界条件，确定积分常数 在 x = 0 处： A y A 0 将边界条件代入(c)、(d)得：
yA 0
C 0, D 0
21
第二节
梁的变形及刚度计算
EI y Plx P 2 x C 2
（5）确定转角方程和挠度方程
Pl 2 P 3 EIy x x Cx D 1 P 2 Px y Plx x ( 2l x ) 2 6 EI 2 2 EI
16
第二节
梁的变形及刚度计算
2、梁的挠曲线微分方程
假设梁的挠曲线方程为:
y f x
第六章推导弯曲正应力公式时已知
M 纯弯曲 EI
不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况
1
非纯弯曲
1 M( x ) ( x ) EI
17
第二节
梁的变形及刚度计算
1 M( x ) ( x ) EI
（1）计算变形
计算梁挠度的有关数据为： P = 50 + 5 = 55 kN 由型钢表查得
q 8.04N/cm(80.4kgf/m) I 32240 cm4
27
第二节
梁的变形及刚度计算
E 200GPa 20 106 N/cm2
材料的弹性模量
因P和q而引起的最大挠度均位 于梁的中点C，由表7-1查得：
G G
T A dA d A G dA dx
2
τp
dA
O
d G A 2dA dx
d T dx GI p
2
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
1、扭转角公式：
由
l
d
l
T dx GI P
d
0
16 7024 6 80mm 3.14 70 10
16 4210 6 67.4mm 3.14 70 10
3 d2
16T
3
由刚度条件得：
T 180 Ip 32 G [ ]
d
4
0
11
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
32 180 T 4 32 7024180 4 d1 84mm 2 2 9 G [ ] 3.14 8010 1
材料力学
第七章 杆件的刚度计算
第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算
第二节 梁的变形及刚度计算 第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施
1
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
一、圆轴扭转时的变形
tg
G1G d dx dx
d d G dx dx
根据虎克定律：
D=60mm，小端直径为
d=30mm，已知G=80GPa，
1
0
/m 。试求：
1)．校核该轴刚度； 2)．A截面相对于C 截 面的扭转角。
解：1．内力分析：
画扭矩图如图所。
7
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2．变形分析及刚度条件：
3.14 604 1012 I P1 1.27 106 (m 4 ) 32 32 d 4 3.14 304 1012 I P2 0.08 106 (m 4 ) 32 32 180 T1 180 2.5 103 0 1 1 . 4 ( /m) 9 6 GI P1 3.14 80 10 1.27 10 180 T2 180 1.5 103 0 2 1 . 35 ( /m) 9 6 GI P 2 3.14 80 10 0.08 10 故 max 1.4( 0 /m)
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和
2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最 大直径才为 75mm。 T (kNm) 2.814 x – 4.21
13
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
课堂练习
14
第二节
梁的变形及刚度计算
一、弯曲变形的概念
为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求
列弯矩方程为：M ( x ) M A RA x
Pl Px
（2）列挠曲线近似微分方程
EIy Pl Px
第二节
梁的变形及刚度计算
EIy Pl Px
（3） 积分
(b)
P 2 EIy Plx x C 2
EIy Pl 2 P 3 x x Cx D 2 6
9
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
[例] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，
已知：G=80GPa ，[ ]=70MPa，[ ]=1º/m ，试确定：
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ②若全轴选同一直径，应为多少 N
有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而
引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。 绕曲线——梁在载荷作用下发生弯曲变形，梁轴线由直线 弯曲成一条光滑连续曲线。 梁曲线上任一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移 称为该点的挠度 。 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。
pl 2 ql 3 2 EI 6 EI
25
B BP Bq
第二节
梁的变形及刚度计算
弯曲构件的刚度条件:
max
ymax y
y 许 用 挠 度 许 用 转 角 , 单 位: rad
26
第二节
梁的变形及刚度计算
将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。
28
第二节
梁的变形及刚度计算
（2）校核刚度
吊车梁的许用挠度为：
l 920 y 1.84cm 500 500
将梁的最大挠度与其比较知：
ymax 1.5cm 1.84cm y
故刚度符合要求。
29
第二节
梁的变形及刚度计算
课堂练习
30
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 一、合理布置梁的载荷 F
4 d2 32 180 T 4 32 4210180 74.4 mm 2 2 9 G [ ] 3.14 8010 1
综上：
d1 85mm, d2 75mm d d1 85mm
12
② 全轴选同一直径时
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
Pl 3 55 1000 9203 yCP 1.38cm 6 48EI 48 20 10 32240 5ql 4 5 8.04 9204 yCq 0.116cm 6 384EI 384 20 10 32240 由叠加法，得梁的最大挠度为：
ymax ycp ycq 1.38 0.116 1.5cm
1
N2 B
N3 C
③主动轮与从动轮如何安排合理
解：①图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：
m 7.024 N (kN m) n