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中国科学院——中国科技大学
2001年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称：量子力学（实验型）
一、（10分）
设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动
()()
()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 00,0
试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

二、（10分）
设一个质量为m 的粒子束沿正x 方向以能量E 向x=0处的势垒运动 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=04
3
00x E x x V 试用量子力学的观点回答：在x=0处被反射的反射系数是多少？
三、（20分）
1、在坐标表名胜中写出一维量子体系的坐标算符q
ˆ和动量算符p ˆ，并推导其间的对易关系。

2、在动量表象中做1所要求做的问题。

四、（20分）
设一个微观粒子在球对称的中心势场()r V 中运动，且处于一个能量和轨道角动量的共同本征态。

1、在球坐标系中写出能量本征态波函数的基本形式，写出势能()r V 在此态中平均值〈V 〉的表达式，并最后表示成径向积分的形式。

2、设V(r)为r 的单调上升函数（即对任意r,
0>dr dV ）。

试证明：对任意给
定的r 0，均有
()[]()022<-⎰dr r r R V r V ro o ，
其中R(r)是径向波函
五、（20分）
设一个质量为m 的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表象中有
()m h X E E
nm n m n 222=-∑
其中E 为能量，x 为坐标。

六、（20分）
设一微观体系的哈密顿H=H 0+H ‘，其中H ’
为微扰。

在一个由正交归一函数作为基的表象中。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000201000
H ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c c c H 000000' 其中c 为常数
1、求H 的精确本征值
2、求H 的准确到微扰的二级修正的本征值
3、比较1和2的结果，指出其间关系。

大连理工大学2002年
一．玻尔量子论的核心思想有哪两条？
二．波函数为ψ=exp(ikx-iωt)的平面波的群速度和相速度。

三．简述定态的概念和和处于定态下的粒子具有什么样的特征？
中山大学2001年
简述态叠加原理和它对态函数所服从的波动方程的限制。

中山大学2002年
1．什么叫做定态，定态应该具有什么样的形式？
2．假设力学量F不显含时间t,那么在任意定态下的平均值与时间无关。

河南师范大学1996年
假设一维谐振子处于的态中，求（1）势能的平均值（2）在何处找到粒子的几率最大。

河南师范大学1998年
1．假设一维粒子出于的状态，求（1）粒子动量的平均值（2）几率的最大位置。

2．
河南师范大学1999年
1．写出德布罗意关系式，并且比较1000eV的质子和10000eV的电子谁的德布罗意波长长（只要求数量级正确）。

2．氢原子处于基态，（a0为玻尔半径）求（1）势能的平均值（2）最可几半径。

河南师范大学2000年
已经知道粒子的状态用ψ（x,y,z）表示，求粒子处于z1 ----- zz 范围内的几率。

河南师范大学2002年
1．为什么说微观粒子的状态可以用波函数来完全描述？
2．量子态叠加原理和经典的态叠加原理有什么本质的区别？
河南师范大学2002年
1．什么是光电效应，光电效应有什么特点。

2．经典波和几率波有什么区别？
3．原子的轨道半径在量子力学中如何解释？
中国科学院-----中国科学技术大学1994年（1998）年
1，自由粒子的能量为E=p2/2m，写出物质波包的色散关系，并证明物质波包必然色散。

中国科学院-----中国科学技术大学1995年
1，简要的说明量子力学的态叠加原理和经典力学的叠加原理的本质区别。

中国科学院-----中国科学技术大学1996年
1，尝试设计一个实验来证明“单个粒子做为一个整体是不可分割的”
中国科学院-----中国科学技术大学2000年
在电子的双缝干涉实验中，什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释？为什么？
中国科学院-----固体物理研究所2001年
中国固体物理研究所1999 年
1．举出一个实验事实来说明微观粒子具有波粒二象性。

2．量子力学的波函数和经典的波场有什么本质的区别？
3．如图象所示，一个光子入射的半反半透镜面M，P1 和P2为光子探测器，尝试用量子和经典的观点的来说明P1 和P2是否能同时接收到光信号（l1=l2）
已知μ子的静止能量为105．7MeV，平均寿命为2.2X10-8s．试求动能为150
MeV的μ子的速度v是多少?平均寿命τ是多少? 相对论动能公式E k=mc2-m0c2
得
1)
k
E m
=-
即
1k
E
m c
-=
解v=0.91c 3分
若一无线电接收机接收到频率为108Hz的电磁波的功率为1微瓦，则每秒
接收到的光子数为_______________.
(普朗克常量h=6.63X10—34J·s)
量子物理
一、选择题：
1、金属的光电效应的红限依赖于 [ C ]
（A）入射光的频率；（B）入射光的强度；
（C）金属的逸出功；（D）入射光的频率和金属的逸出功。

2、用频率为的单色光照射一金属表面产生光电效应，用频率为的单色光照射该金属表面也产
生光电效应，而且测得它们的光电子z有Ek1>Ek2的关系，则 [ A ]
A. > ；
B. < ；
C. = ；
D.不能确定。

3、用两束频率、光强都相同的紫光照射到两种不同的金属表面上，产生光电效应，则：
[ C ] （A）两种情况下的红限频率相同；
（B）逸出电子的初动能相同；
（C）在单位时间内逸出的电子数相同；
（D）遏止电压相同。

4、光电效应中光电子的最大初动能与入射光的关系是 [ C ]
（A）与入射光的频率成正比；（B）与入射光的强度成正比；
（C）与入射光的频率成线性关系；（D）与入射光的强度成线性关系。

5、根据德布罗意的假设 [ B ]
（A）辐射不能量子化，但粒子具有波的特性；（B）运动粒子同样具有波的特性；
（C）波长非常短的辐射有粒子性，但长波辐射却不然；
（D）长波辐射绝不是量子化的；（E）波动可以量子化，但粒子绝不可能有波动性。

6、钠光谱线的波长是，设为普朗克恒量，为真空中的光速，则此光子的 [ D ]
（A）能量为；（B）质量为；
（C）动量为；（D）频率为；（E）以上结论都不对。

s为单位）加上为好 [ D ]⋅7、如果电子被限制在边界与之间，为。

电子动量分量的不确定度数量级为（以kg/m
（A）；（B）；（C）；（D）；（E）。

8、如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 [ ]
A、动量相同；
B、能量相同；
C、速度相同；
D、动能相同
9、根据波尔理论氢原子在n＝5轨道上的角动量与在第一激发态的轨道角动量之比为[ ]
A、 5：2；
B、5：3；
C、5：4；
D、5：1
10、根据玻尔理论氢原子中的电子在n=4的轨道上运动的动能与在基态的轨道上运动的动能之比为
A. ;
B. ;
C. ;
D. [ ]
11、若粒子（电量为2e）在磁感应强度为B的均匀磁场中沿半径为R圆形轨道运动，则该粒子的德布罗意波长是 [ ]
（A）h/(2 e RB) （B）h/(eRB)
（C）1/( 2e R B h ) （D）1/ (e R B h)
二、填空题：
1、已知某金属的逸出功为，用频率为光照射使金属产生光电效应，则，（1）该金属的红限频率 =____________；（2）光电子的最大速度 =___________。

2、光子波长为λ，则其能量= ，动量的大小= 。

3、简要叙述玻尔理论的3个基本假设：。

4、设描述微观粒子运动的波函数为Ψ（x，t），则ΨΨ*表示；Ψ（x，t）须满足的条件是；其归一化条件是。

5、 (还是统一按教材上的不确定度称呼为好)测不准关系的内容
是，其物理意义
是。

6、从量子力学观点来看，微观粒子几率密度的表达式：。

其物理统计意义是：___________________________________________________。

7、质量为me，速率为υ的低速运动电子，其波长λ= 。

8、若粒子在均匀磁场中沿半径为的圆形轨道运动，磁场的磁感应强度为，则粒子的德布罗意波长 =_____________。

三、计算题
1、铝的逸出功为4.2eV，今用波长为200nm的紫外光照射到铝表面上，发射的光电子的最大初动能为多少？遏止电势差为多少？铝的红限波长是多少？
解：
由爱因斯坦方程，得
发射的光电子的最大初动能为
由动能定理，得
遏止电势差
由爱因斯坦方程，得
铝的红限频率
铝的红限波长
2、波长λ＝500nm的光波沿X轴正向传播，如果测定波长的不确定度为10－7，试求同时测定光子位置坐标的不确定度。

四、简答题
1．说明德布罗意公式的意义；德布罗意的假设是在物理学的什么发展背景下提出的？又最先被什么实验所证实？。