I 假设检验21-24#

假设检验(复习)
一． 假设检验的基本概念：
1． 问题的提出： （估计：对未知参数，用样本求出具体的θˆ
） 例１：设产品的质量合格标准为：次品率
01.0≤p ，现200
21,,,ξξξξ →，经
检查发现有３件次品．问ξ合格吗？
（即：由20021,,,ξξξ 推断
01.0≤p ？）
通常使用格式： 原假设 ;
01.0:0≤p H 备择假设
01
.0:1>p H
例２：设有一批枪弹，其
),(~2
000σμN v ，其中s m 9500=μ，s m 1020=σ
储存一段时间后，初速度的均值0μ和方差20σ是否发生变化？
则
n v v v v ,,,210 →
以推断是否发生变化．即：
;950:0=μH 950
:1<μH ;
10:0=σH
10
:1≠σH
以上两例属“参数假设检验问题”（总体分布已知）
例３：设建筑材料，抗拉强度),(~2σμςN ；
（i ）改变配料后，N
?
~ς
（ii ）若不关心服从什么分布，而只想知道ς
是否符合标准c E ≥ς
？
则 n ςςςς,,,21 →
，推断
N H N H i ⨯
~:;~:)(10ςς c E H c E H ii <≥ςς:;:)(10
该例属“非参数假设检验问题”（分布是否相同 或 总体分布未知）
2． 假设检验的基本原理： 假设检验的基本思想是 ：“小概率事件原理” ⇔ 认为在一次试验中不可能发生。

作法是：设有0H 需要检验，先假设0H 正确．在此假定下，构造一个事件Ａ，并且
在
0H 正确下Ａ为小概率事件．即：对于给定的α，有：α=}{0为真H A P
若n ξξξξ
,,,21 →),,,(21n x x x （一次试验）⎩⎨
⎧⇒⇒)
()
(00接受正确没发生拒绝错误发生了H A H A
注１．
α的大小由实际问题而定；
注２．考虑到“小概率事件”在一次试验中也不一定绝对不发生，一旦发生，这将 出现推断上的错误（控制的概率值
α很小）．即：拒绝0H 或接受0H 不是绝对的，
而是以样本信息),,,(21n x x x 及一定的可靠程度α
-1采取的一个决策．
例：设打包机正常包装的大米)9.0,100(~2N ξ
，某天开机后检验机器工作是否正常，
便随机抽取９袋刚包装的大米，得数据：
99.3 , 98.7 , 100.5 , 101.2 , 98.3 , 99.7 , 105.1 , 102.6 , 100.5 问：打包机工作是否正常？ （设为已知9.0=σ，取05
.0=α）
解： 由问题知100:;
100:0100≠=μμH H
由于ξ为
μ
的UMVUE ，所以考虑0
μξ-应很小，即：0
μξ
-较大为小概率事件．
则
k
∃ 使得
05.0}100{0=≥-为真H k P ξ
由
)1,0(~00
N n
σμξ- ， 则05.0}3
9.09
9
.0100
{
0=≥
-为真H k
P ξ
有：
96.139.0975.02
05.01===-u u k
588.0=⇒k
即：当
588.0100≥-x 时，拒绝0H ，588.0100<-x 时，接受0H
则将样本空间X 划分为 0X ，1X ，即：10X X X ⋃=
其中}588.0100:),,{(10
≥-=x x x x X i n 满足 拒绝域
}588.0100:),,{(11<-=x x x x X i n 满足 接受域 0.588 即称 临界值
一般地，对
0H 、1H 问题：先找统计量),,,(21n T ξξξ ，以此构造检验法则；
对于给定的 ，得出 拒绝域 或 接受域
3．两类错误：
n ξξξ,,,21 （部分）ξ−−→−推断（总体），难免绝对不犯错误
(i)
0H 为真而拒绝0H ，即：第一类错误（拒真）．控制为α=}{00为真
拒H H P α
（ii ）0H 不真而接受0H ，即：第二类错误（纳伪）．记为：β=}{00不真
接受H H P 下面对
α、β进行分析：
设 ),(~2
0σμξN ，
2
0σ已知．
n ξξξξ,,,21 →，在α下，
)(:;
:101
100μμμμμμ<==H H 考虑
由
α=}{00为真拒H H P 且
)1,0(~00
N n
σμξ-
有：αλσμξασμξα
α=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=+≥⇒=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≥-∆--10010000u n P u n P H H
即：{}
α
λ
ξ=≥为真0H P
又
为真0H 时，),
(~2
0n
N σμξ，
得 ξ
的密度曲线
);(00μx p 为：
又由 β=}{10为真接H H P 的含义
有
{}
β
λξ=<为真1H P 又
为真1H 时，),
(~2
1n N σμξ 得
ξ
的密度曲线
);(11μx p 为：
可以看出：① ↘ ↗ ; ↘ ↗ 即： 、 不能同时减少． ② 当分别0H 、为真1H 时，),
(~2
1,0n
N σμξ，有小大→→n
n 20
,
σ
即：两密度曲线变陡，从而α、β都变小．但充分大的样本量在实际中不可用
为此：在实际中，通常由供、需双方协商定出α；或由两类错误的后果而定．
（常取α=0.001, 0.005, 0.01, 0.05, 0.1等 便于查表的数值 ~ 标准化数值）
注：有时只限定α而忽略β，称该检验问题为显著性检验，α称为显著性水平．
α⇒β
β⇒ααβ
0的接受域
3． 假设检验(参数检验)的一般步骤：
① 根据问题的要求提出
0H 、1H ；
② 构造统计量、确定拒绝域； ③ 选定适当的
α（通常是给定），求出临界值；
④ 根据样本观测值),,,(21n x x x 确定是否拒绝
0H ．
例：设
),(~2σμξN ，μ
、2
σ均未知．对给定的
α，n x x x x ,,,21 →
检验问题：0
10
0μμμμ≠：；
＝：H H
当为真0H 时，构造统计量)1(~0
--=*
n t n
S x t μαμαμ=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≥-⇒-*)1(2100
n t n S x P 得 拒绝域
)}1(:),,,{(2
10
210-≥-=-*n t n S x x x x x X i n αμ满足
或 n S n t x *
-
-≥-)1(2
10αμ
注１：关于“一个正态总体μ与2
σ的检验”的拒绝域
0X ，参看Ｐ.217、P. 224表
关于“两个正态总体
μ与2σ的检验”的拒绝域0X ，参看Ｐ.229、P. 235表
注２：对于“非正态总体”的μ与2
σ的检验，通常在大样本下，作统计量的近似检验
如：设 总体为
ξ，ξD 已知．在α下，检验均值ξE ：
利用统计量
)()
1,0(∞→−→−-=n N n
D E u L
ξξξ
有：αξμξαμ=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥--
2100u n D P
从而得 拒绝域}:),,,{(2
10210
α
ξμ-
⋅≥-=u
n D x x x x x X i n 满足
类似地，对其它情况．如：方差的检验及两个总体的μ
与2
σ的检验等，
参看Ｐ.237~245.。