【品质管理资料】单元质量评估1精品版

单元质量评估一(第一章)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．(2011·山东省实验中学诊断性测试)若集合A ＝{x |0≤x ＋2≤5}，B ＝{x |x <－1或x >4}，则A ∩B 等于( )A ．{x |x ≤3或x >4}B ．{x |－1<x ≤3}C ．{x |3≤x <4}D ．{x |－2≤x <－1}答案：D2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁U B )等于( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x <－1}D ．{x |－1≤x ≤3} 解析：由题意可得，∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，A ＝{x |－2≤x ≤3}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}．答案：D3．设命题：p ：若a >b ，则1a <1b ；q ：若1ab <0，则ab <0，给出以下3个复合命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③綈p ∧綈q .其中真命题个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：p ：若a >b ，则1a <1b ，是假命题；q ：若1ab <0，则ab <0，是真命题．所以綈p 是真命题，綈q 是假命题；所以①p ∧q 是假命题，②p ∨q 是真命题，③綈p ∧綈q 是假命题．故选B.答案：B4．“a 2＋b 2≠0”的含义为( ) A ．a ，b 不全为0 B ．a ，b 全不为0 C ．a ，b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0解析：a2＋b2＝0⇔a＝0，b＝0，于是a2＋b2≠0就是对a＝0，b＝0，即a，b都为0的否定，而“都”的否定为“不都是”或“不全是”，所以应该是“a，b不全为0”．答案：A5．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为()A．存在一个三角形，内角和等于180°B．所有三角形，内角和都等于180°C．所有三角形，内角和都不等于180°D．很多三角形，内角和不等于180°解析：该命题是一个“存在性命题”，于是“存在”否定为“所有”；“不等于”否定为“都等于”．答案：B6．已知a，b∈R，则“b＝0”是“|a＋b i|≥0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当b＝0时，|a＋b i|＝|a|≥0，即由b＝0⇒|a＋b i|≥0；当|a＋b i|≥0时，推不出b ＝0.故选A.答案：A7．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为M∩P＝(2,3)，由x∈M或x∈Px∈M∩P，而由x∈M∩P⇒x∈M或x∈P，所以“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．答案：B8．由下列命题构成的复合命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是()A．p：5是偶数，q：2是奇数B．p：5＋2＝6，q：6>2C ．p ：a ∈{a ，b }，q ：{a }{a ，b }D ．p ：Q R ，q ：N ＝Z解析：∵“非p ”为真，∴p 为假． 又∵“p 或q ”为真，∴q 为真． 因此得出p 为假，q 为真．故选B. 答案：B9．设集合S ＝{x ||x －2|>3}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( ) A ．－3<a <－1 B ．－3≤a ≤－1 C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a <－3或a >－1解析：∵|x －2|>3，∴x >5或x <－1， ∴S ＝{x |x >5或x <－1}． 又T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8>5，a <－1.∴－3<a <－1. 答案：A10．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是：“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”B ．“x >1”是“|x |>0”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题p ：“∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1<0”，则綈p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0” 解析：逆否命题是对条件结论都否定，然后原条件作结论，原结论作条件，则A 是正确的；x >1时，|x |>0成立，但|x |>0时，x >1不一定成立，故x >1是|x |>0的充分不必要条件，故B 是正确的；p 且q 为假命题，则p 和q 至少有一个是假命题，故C 不正确；特称命题的否定是全称命题，故D 是正确的．答案：C11．(2010·延安模拟)命题A ：(x －1)2<9，命题B ：(x ＋2)·(x ＋a )<0；若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．[4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，－4]解析：由(x －1)2<9，得－2<x <4， ∴命题A ：－2<x <4. 命题B ：当a ＝2时，x ∈Ø， 当a <2时，－2<x <－a ， 当a >2时，－a <x <－2.∵A 是B 的充分而不必要条件， ∴命题B ：当a <2时，－2<x <－a ， ∴－a >4，∴a <－4，综上，当a <－4时，A 是B 的充分不必要条件，故选A. 答案：A12．设非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |y ＝(3－x )(x －22)}，则A ⊆(A ∩B )的一个充分不必要条件是( )A ．1≤a ≤9B ．6<a <9C ．a ≤9D ．6≤a ≤9解析：B ＝{x |3≤x ≤22}，而A ⊆(A ∩B )⇔A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥33a －5≤223a －5≥2a ＋1⇔6≤a ≤9，则A ⊆(A ∩B )的一个充分不必要条件是B. 答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，集合B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝__________. 解析：∵A ∩B ＝{2}，∴2∈A ，于是log 2(a ＋3)＝2， ∴a ＋3＝4，a ＝1.故b ＝2.∴A ＝{2,5}，B ＝{1,2}，∴A ∪B ＝{1,2,5}． 答案：{1,2,5}14．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的__________条件．解析：∵p ：x <－3或x >1，∴綈p ：－3≤x ≤1 q ：2<x <3，∴綈q ：x ≤2或x ≥3，则綈p ⇒綈q . 答案：充分不必要15．(2011·山东烟台适应性考试)命题p ：∀x ∈R ，f (x )≥m ，则命题p 的否定綈p 是________．答案：∃x ∈R ，f (x )<m16．(2010·江苏苏北三市高三联考)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：要使命题为真命题，只需Δ＝(a －1)2－4>0，即|a －1|>2，∴a >3或a <－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数m 的值组成的集合．解：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . ①m ＝0时，B ＝Ø，B ⊆A ；②m ≠0时，由mx ＋1＝0，得x ＝－1m .∵B ⊆A ，∴－1m∈A .∴－1m ＝2或－1m ＝3，得m ＝－12或－13.∴满足题意的m 的集合为{0，－12，－13}．18．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0.解：(1)、(2)是全称命题，(3)、(4)是特称命题． (1)∵a x >0(a >0，a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan0＝tan π， ∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)为真命题．(4)对任意x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题．19．(12分)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：设A ＝{x |(4x －3)2≤1}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}， 易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.故所求实数a 的取值范围是[0，12]．20．(12分)设全集为R ，集合A ＝{y |y ＝sin(2x －π6)，π4≤x ≤π2}，集合B ＝{a ∈R |关于x的方程x 2＋ax ＋1＝0的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上}．求(∁R A )∩(∁R B )．解：在集合A 中，∵π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤5π6. ∴sin(2x －π6)∈[12，1]．∴A ＝{y |12≤y ≤1}．在集合B 中，记f (x )＝x 2＋ax ＋1， 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1>0，2＋a <0，5＋2a >0.∴B ＝{a |－52<a <－2}．∴∁R A ＝{y |y >1或y <12}，∁R B ＝{a |a ≥－2或a ≤－52}．∴(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x ≤－52或－2≤x <12或x >1}．21．(12分)(2011·蚌埠模拟)已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减， ∴0<2a －6<1，∴3<a <72，若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎨⎧Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)≥0－－3a 2>3f (3)＝9－9a ＋2a 2＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >52，故a >52，又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧3<a <72a ≤52，a 无解．②若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤3或a ≥72a >52，∴52<a ≤3或a ≥72.故a 的取值范围是{a |52<a ≤3或a ≥72}．22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N ＋)，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0，p ≠1.∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，p (p －1)p ＋q ＝p ，即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．。