河南省许昌县第一高级中学2016届高三数学下学期第二十一次考试试题 理

许昌县一高（高三）第21次考试 数学（理科）试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=031x x xP，{|Q y y ==，则=Q P （ ）A ．]2,1(B ．)2,1[C ．]2,1[D ．∅2．设x R ∈，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++”为纯虚数的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ， 30=∠B ，ABC ∆，则=∠C （ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ．1204. 已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ． 11a b>B ．()2log 0a b ->C ．21a b-< D ．1132a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5. 下列函数在),0(+∞上为减函数的是（ ）A ．1--=x yB ．)2(+-=x x yC ．)1ln(+=x yD ．xe y =6. 将函数()()sin f x x ϕ=+的图象周期缩小到原来的一半，再向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．43π B ．4πC ．0D ．4π- 7. 变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为（ ）A ．223 B ．5 C ．29D ．58. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：① 若α⊂m ，A l =α ，点m A ∉，则l 与m 不共面；② 若m 、l 是异面直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ；③ 若α//l ，β//m ，βα//，则m l //；④ 若α⊂l ，α⊂m ，A m l = ，β//l ，β//m ，则βα//. 其中为真命题的是（ ）A ．①③④ B．②③④ C ．①②④ D ．①②③ 9. 如图， AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=（ ）A ．1-B ．81-C ．41-D ．21-10. 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =，则QF =（ ）A ．25 B ． 38C ． 3D ． 6 11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为（ ）A．5C．2D12. 设x x f lg )(=，若函数ax x f x g -=)()(在区间)4,0(上有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．lg 2lg ,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． lg 2,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．lg 20,2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．设()[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=e ,x ,x,x ,x x f 11102 (其中e 为自然对数的底数)，则()0e f x dx ⎰的值为 ______．14.已知点(,)(0,4)(2,0)P x y A B -到和的距离相等，则24x y+的最小值为 .15．在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面， 90=∠ACB ，30=∠BAC ，1=BC ，且三棱AOCBP服务时间/小时柱111C B A ABC -的体积为3，则三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 ． 16．给出下列命题：①.命题“若方程210ax x ++=有两个实数根，则14a ≤”的逆否命题是真命题； ②.“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π”是“1=a ”的必要不充分条件； ③.函数2()2x f x x =-的零点个数为2； ④幂函数a x y =()R a ∈的图像恒过定点()0,0⑤.“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ∙<” ；⑥.方程sin x x =有三个实根. 其中正确命题的序号为__________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，770,S =且126,,a a a 成等比数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2n n n b a =⋅，数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）．．．．．．．．．．．．．中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面ABC ，︒=∠90BCA ，ACO1A 1B 1C12AA AC BC ===．（Ⅰ）求证：11AC B A ⊥； （Ⅱ）求二面角C BB A --1的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点、上顶点分别为,A B 、坐标原点到直线AB且.a = （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 交椭圆于M N 、两点，且该椭圆上存在点P ,使得四边形(MONP 图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l 的方程.21、（本小题满分12分）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）证明：对于任意不小于2的正整数n ，不等式11111ln 2ln 3ln n n++>- 恒成立. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 23.（本小题满分12分）已知椭圆C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=，点F 1、F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22222( t 为参数，t∈R)．（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上一动点，求点P 到直线l 的距离的最大值.. 24．（本小题满分10分）设函数()f x x a =-. （I ）当2a =，解不等式()41f x x ≥--； （I I ）若()1f x ≤的解集为[]0,2，11(0,0)2a m n m n+=>>，求证：24m n +≥许昌县一高 高三第21次考试 数 学 理科答案一、ACDDB BDCBB CB 二、43; 16π; ② 三、17.解：（1）设公差为d ，则有1221672170a d a a a +=⎧⎨=⎩，即11211131013()(5)a d a d a d a a d +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩或1100a d =⎧⎨=⎩（舍），32n a n ∴=- (2) ()135210n n T n +=-+，18解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为 2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +===（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小 时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=； 3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=． 随机变量ξ的分布列为因为ξ～(3,)5B ，所以355E np ξ==⨯= 19解：（Ⅰ）因为1AO ⊥平面ABC ，所以1AO BC ⊥.又BC AC ⊥，1AO AC A = ,所以BC ⊥平面11A ACC ，所以1AC BC ⊥.因为1AA AC =，所以四边形11A ACC 是菱形，所以11AC AC ⊥，1BC AC C = ,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11A B AC ⊥．（Ⅱ）以12AA =，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则1(0,1,0),(2,1,0),(0,1,0),(0,A B C C -，11(2,2,0),AB BB CC ===设(,,)m x y z =是面1ABB 的一个法向量，则10m AB m BB ⋅=⋅= ，即220x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1z =，取m = . 同理面1CBC的一个法向量为(0,n =．因为cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅所以二面角1A BB C --．20.（1）直线AB 的方程为0,bx ay ab +-=坐标原点到直线AB 的距离为222216,3a b a b ⇒=+又,a =解得4,a b == 故椭圆的方程为221168x y +=(2)由（1）可求得椭圆的左焦点为1(F - 易知直线l 的斜率不为0,故可设直线:l x my =-点1122(,)(,),M x y N x y 、因为四边形MONP 为平行四边形，所以12121212(,)(,),OP OM ON x x y y P x x y y =+=++⇒++联立2222(2)802160x my m y x y ⎧=-⎪⇒+--=⎨+-=⎪⎩ ⇒2121212121264(1)0()m x x y y y y x x m y y ⎧∆=+>⎧⎪+=⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪+=⎪⎪+=+-⎩⎩,因为点1212(,)P x x y y ++在椭圆上，所以22221212()2()1616x x y y +++=⇒+=⇒m =那么直线l的方程为x =-21、解： 2(1)(1)()'()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=+-+==。