高二数学 圆锥曲线的几何性质练习

圆锥曲线的几何性质

一、选择题（'

'

6636⨯=）

1.

.设22221(0)x y a b a b +=>>为

黄金椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠=（ ） A ，60

B ，75

C ，90

D ，120

2.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>右焦点为F ，右准线为l ，一直线交双曲线于P ，Q

两点，交l 于R 点，则（ ）

A ，PFR QFR ∠>∠

B ，PFR QFR ∠=∠

C ，PFR QFR ∠<∠

D ，PFR ∠与QFR ∠的大小不确定 3.已知点A(0,2)和抛物线24y x =+上两点B 、C ，使得AB BC ⊥，当点B 在抛物线上移动时，点C 的纵坐标的取值范围是 （ ）

A ，(,0][4,)-∞+∞

B ，(,0]-∞

C ，[4,)+∞

D ，[0,4,]

4.设椭圆方程2

213

x y +=，(0,1)A -为短轴的一个端点，M ，N 为椭圆上相异两点。若总存在以MN 为底边的等腰AMN ∆，则直线MN 的斜率k 的取值范围是 （ ） A ，(1,1)- B ，[1,1]- C ，(1,0]- D ，[0,1]

5.已知12,F F 分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任

意一点，若

2

12

PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）

A ，(1,)+∞

B ，(1,2] C

， D ，(1,3] 6.已知P 为抛物线2

4y x =上一点，记P 到此抛物线的准线的距离为1d ，P 到直线 2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 （ ）

图1

图2

A ，

B ，5

C ，15

+ D ，不存在 二、填空题（'

'

9654⨯=）

7.设双曲线226x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为双曲线右支上一点，且2PA x ∠

=1310PA x ∠+

，则1PA

x ∠的度数是 。 8.如图1，设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右

焦点分别为12,F F ，左准线为l ，P 为椭圆上一点， PQ l ⊥于点Q 。若四边形12PQF F 为平行四边形， 则椭圆离心率e 的取值范围是 。

9.圆心在x 轴上，半径为1的动圆与抛物线22y x =相交，交点处的切线互相垂直，动圆的圆心坐标是 。

10.已知直线(5)tan (0,)2y x π

θθπθ=-<<≠且与双曲线

22

1169

x y -=的两条准线交于 A ，B 两点。若OA OB ⊥，则sin θ= 。

11.设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，PQ 是过左焦点F 且与x 轴不垂直的弦。若在左准

线l 上存在点R ，使PQR ∆为正三角形，则椭圆离心率e 的取值范围是 。 12.设点B 、C 分别在第四、第一象限，且点B 、C 都在抛物线2

2(0)y px p =>上，O 为

坐标原点，30,60OBC BOC ∠=∠=

，k 为直线OC 的斜率，则3

2k k +的值为 。

三、解答题（''

20360⨯=）

13．如图2，给定椭圆2

2

221x y

a b

+=和圆

2

2

2

2

(0)x y a b a b +=+>>，CD 为圆的任一 条直径，CD 交椭圆于P 点，在CD 的一侧， 以P 为圆心，1PF 为半径画弧交圆于点A ；

在CD 的另一侧，以P 为圆心，2PF 为半径画弧交圆于点B ，求证：A 、P 、B 三点共线.

图3

14.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，AB 为抛物线的焦点弦，点M 在抛物线上，O 为坐标原点。求证：

（I ）直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列； （II ）当MA MB ⊥时，MFO BMF AMF ∠=∠-∠.

15.如图3，A 、B 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>

和双曲线22

221x y a b

-=的公共顶点.P 、Q 分别

为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满

足()AP BP AQ BQ λ+=+

(,1)R λλ∈>.

设直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别是12,k k ，

34,k k .

(I)求证：12340k k k k +++=；

（II ）设12,F F 分别为椭圆和双曲线的右焦点；若21//PF QF ，求2222

1234k k k k +++的值.

参考答案： 一、1.C

由

c a =

，得22

0a ac c --=， 而2

2

2

222222()()2()0AB BF FA a b a a c a ac c +-=++-+=--=，知90ABF ∠=

2.B 设l 为双曲线的右准线，作'',PP l QQ l ⊥⊥，由三角形相似有

''

PP PR RQ

QQ =

.

由双曲线定义得，

'

'

PF QF e PP

QQ

==

。所以

PR PF RQ

QF

=

，知FR 平分PFQ ∠。

3.A 设211(4,)B y y -、2

(4,)C y y -，显然2140y -≠。 又121121

,42

AB y k y y -=

=-+且AB BC ⊥，得1(2)BC k y =-+.

由2

1112(2)[(4)]4

y y y x y y x ⎧-=-+--⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得211(2)(21)0y y y y ++++=. 由0∆≥，得0y ≤或4y ≥。

4.A 设MN ：y kx b =+，代入2

213

x y +=，得222(13)6330k x kbx b +++-=. 由0∆>，得22

13b k <+.又由AM AN =，得121212()()(2)x x x x y y +-+++

12()0y y -=.因为1212()y y k x x -=-，12122()22y y k x x b ++=+++，

所以212(1)()2(1)0k x x k b ++++=，将122

613kb

x x k

+=-

+代入， 得2213b k =+，代入2213b k <+，得2

1k <，于是11k -<<.

5.D 2

22122222(2)44448PF a PF a PF a a a a PF PF PF +==++≥+=，当且仅当2

224a PF PF = 即22PF a =时取等号。这时14PF a =.由1212PF PF F F +≥，得

62a c ≥， 即3c

e a

=

≤，得(1,3]e ∈. 6.B 设2

(,2)P t t

，则2121d d t +=++