人教A版数学必修五第三章3.4《基本不等式》第二课时《基本不等式》的应用no.2课下检测

【创新方案】2013版高中数学 第三章 3.4 基本不等式 第二课时 基本不等式的应用 NO.2 课下检测 新人教A 版必修5
一、选择题
1．下列函数中，最小值为4的函数是( )
A ．y ＝x ＋4x
B ．y ＝sin x ＋4sin x
C ．y ＝e x ＋4e －x
D ．y ＝log 3x ＋log x 81 解析：A 、D 不能保证是两正数之和，sin x 取不到2，只有C 项满足两项均为正，当且仅当x ＝ln2时等号成立．
答案：C
2．已知m ＝a ＋
1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n
B ．m <n
C ．m ＝n
D ．不确定 解析：∵a >2，∴a －2>0.
又∵m ＝a ＋
1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥ 2 a －2 ×1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2
，即a ＝3时，“＝”成立)． 即m ∈[4，＋∞)，由b ≠0得b 2≠0，
∴2－b 2<2.∴22－b 2<4，即n <4.
∴n ∈(0,4)，综上易知m >n .
答案：A
3．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a a －b
－10ac ＋25c 2的最小值是( ) A ．2
B ．4
C ．2 5
D ．5 解析：2a 2＋1ab ＋1a a －b
－10ac ＋25c 2 ＝2a 2＋
a －
b ＋b ab a －b －10a
c ＋25c 2 ＝2a 2＋1b a －b
－10ac ＋25c 2 ≥2a 2＋1 b ＋a －b 2
2－10ac ＋25c 2(b ＝a －b 时取“＝”号)
＝2a 2＋4a 2－10ac ＋25c 2＝(a 2＋4a 2)＋(a －5c )2≥4. (当且仅当a ＝2，b ＝
22，c ＝25
时取“＝”号)． 答案：B 4．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )
A ．3
B ．4 C.92 D.112
解析：∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x 2x ＋2
>0. ∴0<x <8.∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2
＝ (x ＋1)＋9x ＋1－2≥2 x ＋1 ·9x ＋1
－2＝4. 当且仅当x ＋1＝9x ＋1
， 即x ＝2时，取“＝”号，
此时x ＝2，y ＝1.
答案：B
二、填空题
5．已知a >0，b >0，且a 2＋b 22
＝1，则a 1＋b 2的最大值为________． 解析：a 1＋b 2＝2×a
1＋b 22 ≤2×12
[a 2＋(1＋b 22)2] ＝22(1＋12)＝324，当且仅当a ＝32，b ＝22
时等号成立． ∴a 1＋b 2的最大值为324
. 答案：324
6．当0<x <2时，不等式x (2－x )≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵0<x <2，∴2－x >0，
∴x (2－x )≤(x ＋2－x
2)2
＝1.∴a ≥1.
答案：[1，＋∞)
7．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
解析：设水池的造价为y 元，长方体底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4x
m ．那么 y ＝120·4＋2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋2·4x ＝480＋320⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋4x ≥480＋320·2 x ·4
x ＝1 760(元)． 当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
答案：1 760
8．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，设x ＋y 的取值范围是________． 解析：原式等价于x ＋y ＋3＝xy ≤(
x ＋y 2)2(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以x ＋y ＋3≤ x ＋y 24
， 即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0.
解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．
所以x ＋y 的取值范围是[6，＋∞)．
答案：[6，＋∞)
三、解答题
9．已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数，
求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c
＞3. 证明：
b ＋
c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c －3
＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )－3.
∵a ，b ，c 都是正数，
∴b a ＋a
b ≥2b a ·a b
＝2，
同理c a ＋a c ≥2，c b ＋b c ≥2，
∴(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥6.
∵a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号，
∴(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )＞6，
∴
b ＋
c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＞3.
10. 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用
旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上
要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元
/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x (单位m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．
解：(1)设矩形的另一边长为a m ，
则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a
＝225x ＋360a －360.
由已知ax ＝360，得a ＝360x
， ∴y ＝225x ＋3602x
－360(x >0)． (2)∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800. ∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x ＝3602x
时，等号成立． 即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元．。