运筹学第二章

最优解: x1 = 2 x2 = 6 Z = 36
F E A B G C
3
2 1
f( x
1
)=1 2
O
1
2
3
4
D 5 6
7
H 8 12
) =0
x1
2.用图解法求解极小化问题 用图解法求解极小化问题
min Z = 1.5x1+0.7x2 5x1+2x2 ≥60 3x1+2x2 ≥40 3x1+ x2 ≥ 35 x 1, x 2 ≥ 0
2 x1 + 3x2
做目标函数2x 的等值线, 做目标函数 1+3x2的等值线,与 阴影部分的边界相交于Q(4,2)点, 阴影部分的边界相交于 点 这表明最优解是:x 这表明最优解是 1= 4,x2 =2
0
4 Z=2x1+3x2
8
x1
11
例2
x2
10 9 8 7 6 5 4 3
f(x
2
m Z = 6x1 + 4x2 ax 2x1 + x2 ≤ 10 x + x ≤8 1 2 s.t. x2 ≤ 7 x1 , x2 ≥ 0
4
某制药厂生产甲,乙两种药品,它们均需在A, 例1 某制药厂生产甲,乙两种药品,它们均需在 , B,C三种设备上加工.每种设备所用的时间,每 三种设备上加工. , 三种设备上加工 每种设备所用的时间, 吨药品的加工时间以及所获利润如下表1-1所示 所示. 吨药品的加工时间以及所获利润如下表 所示. 问甲,乙两种药品各生产多少吨, 问甲,乙两种药品各生产多少吨,可使该厂所获 利润最大? 利润最大?
1
二,线性规划模型的定义
对于一般线性规划模型,通常定义如下:
求一组变量x 的值,使目标函数: 求一组变量 1,x2,……xn的值,使目标函数:Z = c1x1 + c2x2 + …… + cnxn的值最大或最小,并满足的约束条 的值最大或最小, 件: a11x1 + a12x2 + …… + a1nxn ≤(≥,=) b1 a21x1 + a22x2 + …… + a2nxn ≤(≥,=) b2 …… am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn ≤(≥,=) bm + x1,x2 …… xn≥ 0
A B C 利润 (元/吨) 700 300
加工时间(小时/吨) 甲 乙
设备使用时间
3 9 540
5 5 450
9 3 720
5
例2 设每人每月至少需要60单位的糖,40单位的蛋白质合 设每人每月至少需要 单位的糖,40单位的蛋白质合 单位的糖
5单位的脂肪.食品A每千克含糖,蛋白质和脂肪各为5,3 单位的脂肪.食品A每千克含糖,蛋白质和脂肪各为5 个单位,食品B分别为2 个单位.每千克售价: 和3个单位,食品B分别为2,2和1个单位.每千克售价:A 1.5元 0.7元 为1.5元,B为0.7元,在保证一个人最低营养要求的前提 每月两种食品各买多少,方能使费用最少? 下,每月两种食品各买多少,方能使费用最少?
式中: 决策变量; 常数; 式中:xj——决策变量;aij,cj,bi——常数; 决策变量 常数 i = 1,2,3 …… m ;j = 1,2,3 …… n
2
三,线性规划数学模型的特点
1.线性 1.线性 对所研究的问题用线性方程或线性不等式表示.即与 解决问题有关的一些限制条件(或约束条件),以及 决策人所追求的目标等,均用线性的数学表达式来描 述; 2.肯定性 2.肯定性 对数学模型的各个参数取肯定的数值,即作肯定估计; 模型本身不考虑不肯定因素,包括概率分析; 3.目标单一性 3.目标单一性 虽然决策人追求的可能有几个目标,但线性规划模型 只有一个目标,即最大值或最小值,其本质上是求极 值的问题.
3
四,如何建立线性规划模型
由线性规划模型的定义可知,模型的建立是以下 述三个基本设想为前提的: ⑴比例性 每种活动的资源耗用量与活动的量成比例;每种 活动对目标函数的贡献与活动的量成比例; ⑵相加性 总的资源耗用量是各种活动的资源耗用之和;目 标函数之总值是各种活动的贡献量之和; ⑶非负性 各种活动的量只能取零或正值,不取负值.
糖 蛋白质 脂肪 售价 含量(单位/千克 千克) 千克) 含量(单位 千克) (元/千克) 千克 A B
每人每月最低需求量(单位) 每人每月最低需求量(单位)
5 2 60
3 2 40
3 1 35
1.5 0.7
现要做100套钢架 每套需2.9米 套钢架, 米和1.5米的圆钢各 例3 现要做 套钢架,每套需 米,2.1米和 米的圆钢各 米和 一根.已知原料长7.4米,问如何下料,使用的原料最少(余料 一根.已知原料长 米 问如何下料,使用的原料最少( 6 最少或根数最少)? 最少或根数最少)?
15
16
�
解:设 x1, x2 , x3, x4 , x5分别代表五种 不同的原料用量方案(余料最少) 不同的原料用量方案(余料最少)
方案 x1 x2 x3 x4 x5 2.9米 米 1 2 0 1 0 2.1米 米 0 0 2 2 1 1.5米 米 3 1 2 0 3 合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 余料 0 0.1 0.2 0.3 0.8
x2 40 C 30 20
10
B A 0 5 10 15 20 x1
5x1+2x2 =60
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3.从上述例题中,可以总结出: 1.若某一线性规划问题有最优解, 1.若某一线性规划问题有最优解,则一定有一个可行 若某一线性规划问题有最优解 域的顶点对应一个最优解. 域的顶点对应一个最优解. 2.无穷多最优解 若例1中目标函数变为Z=50x 无穷多最优解: 2.无穷多最优解:若例1中目标函数变为Z=50x1+50x2, 则该线性规划有无穷多个最优解, 则该线性规划有无穷多个最优解,Z对应的直线平移 后将与约束条件直线x =300重合 重合. 后将与约束条件直线x1+ x2 =300重合. 3.无界解 即无最优解. 见例题) 无界解: 3.无界解:即无最优解.(见例题) 4.无可行解 无可行解: 4.无可行解:若在上例题中加一个约束条件 -2x1+x2 ≥4,则该题可行域为空集,无可行解. ≥4,则该题可行域为空集,无可行解.
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五,两变量线性规划问题的图解法
用图解法求解线性规划问题是利用数学模型中方程的 几何图形来直接找到最优解, 几何图形来直接找到最优解,图解法适用于包含两个 决策变量的线性规划问题. 决策变量的线性规划问题.
2.图解法步骤 图解法步骤 1) 将约束方程用图形绘出 2) 作出 问题的可行域 作出LP问题的可行域 3) 作出目标函数的图形 称为等值线),找出其移动的方向 作出目标函数的图形(称为等值线 找出其移动的方向 称为等值线 4) 移动等值线到可行域边界得到最优点
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4.图解法的优点及局限性 1.优点:直观,形象, 1.优点:直观,形象,容易使人具体地认识线 优点 性规划模型的求解过程. 性规划模型的求解过程. 2.局限性 仅适用于只有两个变量的, 局限性: 2.局限性:仅适用于只有两个变量的,即二维 的线性规划问题. 的线性规划问题. 作业】 P24) 【作业】(P24) 1. 习题 第1题 2. 习题 第2题 3. 习题 第4题
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线性规划问题( 问题 的共同特征: 问题) 线性规划问题(LP问题)的共同特征: 每一个问题变量都用一组决策变量(x1, x2, …, xn) 每一个问题变量都用一组决策变量( 表示某一方案,这组决策变量的值代表一个具体方案, 表示某一方案,这组决策变量的值代表一个具体方案, 这些变量是非负的. 这些变量是非负的. 存在一定的约束条件,这些约束条件可以用一组线 存在一定的约束条件, 性等式或线性不等式来表示. 性等式或线性不等式来表示. 目标函数用决策变量的线性函数来表示.按问题 目标函数用决策变量的线性函数来表示. 的不同,要求目标函数实现最大化和最小化. 的不同,要求目标函数实现最大化和最小化.
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x1 + 2x 2 22 x
2 x1 + 3x2
1.用图解法求解极大化问题 用图解法求解极大化问题
例1Fra Baidu bibliotek
OBJ : max Z = 2x1 + 3x2 x1 + 2x2 ≤ 8 4x ≤ 16 1 s.t. 4x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0
x1 + 2x 2
x2
4 3
4x1=16 x1+2x2=8 Q(4,2) 4x2=12
第二章 线性规划及单纯形法
第一节 基本概念
一,线性规划 线性规划是运筹学的一个重要分支,是现代科学管 理的重要手段之一,是帮助管理者作决策的一个有 效的方法. 线性规划,是一种最优化的数学模型 最优化的数学模型(所谓最优化 最优化的数学模型 方法,即:最小的投入最大的产出). 线性规划就是一种"以线性数学表达式描述所研究 以线性数学表达式描述所研究 的问题, 的问题,并从问题在一定条件下所有的可行解中求 出它的最优解"的技术. 出它的最优解