初中数学竞赛辅导资料(平行和垂直)
七年级数学：《平行垂直》知识点归纳
七年级数学：《平行垂直》知识点归纳一、知识梳理二、1、平行线的定义：三、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．四、2、平行的表示：五、用符号“∥”表示，读作“平行于” ．六、3、同一平面内两条直线的位置关系：七、平行或相交．八、4、平行公理：九、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．十、5、平行的传递性：十一、平行于同一直线的两直线平行．十二、6、平行与角的联系：十三、若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．十四、7、垂直定义：十五、如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直．十六、其中一条直线叫做另一条直线的垂线．它们的交点叫做垂足．十七、两条线段、射线垂直是指这两条线段、射线所在的直线垂直．十八、8、垂直的表示：十九、用符号“⊥”表示，读作“垂直于” ．二十、9、垂直公理：二十一、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．二十二、10、点到直线的距离：二十三、直线外一点到这条直线的垂线段的长度．二十四、11、垂线段的性质：二十五、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．二十六、12、垂直与角的联系：二十七、若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．二、典型例题例1、概念辨析(1)两条不相交的直线叫做平行线．(2)两条直线不相交就平行．(3)两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行．(4)在同一平面内不相交的两条线段必平行．(5)经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．(6)同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行．(7) 点A为直线l外一点，点B在直线l上，若AB＝5厘米，则点A到直线l的距离为5cm．解析：(1)错误，必须加同一平面内，否则在立体几何中，会出现异面的情况．比如一个正方体，上面和前面相交的棱与右面和后面相交的棱，所在直线就是既不平行也不相交．(2)错误，理由同(1)．(3)正确．(4)错误，反例如下图：(5)错误，必须在直线外，否则，如果这个点在直线上，所作直线就与已知直线重合．(6)正确．(7)错误，如下图，当点B在B2处，点A到直线l的距离为5cm，当点B在B1，点A到直线l的距离小于5cm．例2、试画图说明平面内三条直线的位置关系．分析：我们知道，同一平面内的两条直线有相交、平行两种关系．那么到了三条直线，就会出现三条都平行，两条平行，都不平行的情况．在三条都平行的情况外，必然有相交的情况，我们可以从交点数来考虑，即有一个，有两个，有三个交点三种．解答：例3、(1)如图，P是∠AOB外一点，过点P画直线PC∥OA，交OB于点C，过点P画直线PD∥O B，交OA反向延长线于点D，量出∠AOB、∠CPD的度数，你有什么发现？点P如果在∠AOB内部呢？(2)如图，P是∠AOB外一点，过点P画直线PC⊥OA，交OA于点C，过点P画直线PD⊥O B，交OB于点D，量出∠AOB、∠CPD的度数，你有什么发现？点P如果在∠AOB内部呢？分析：本题不难，主要是根据要求作图，然后发现度数之间的联系，不是相等就是互补，最后，再关注所研究的两个角的位置关系，发现其中一个角的两边与另一个角的两边分别平行，从而得出最后结论．解答：(1)当P是∠AOB外一点，∠AOB＋∠CPD＝180°当P是∠AOB内一点，∠AOB＝∠CPD发现：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．(2)当P是∠AOB外一点，∠AOB＝∠CPD当P是∠AOB内一点，∠AOB＋∠CPD＝180°发现：若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．三、思维提升例1、网格作图(1)利用图(1)中的网格，利用直尺过P点画直线AB的平行线和垂线．(2)把图(2)网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．(3)如果每个方格的边长是单位1，那么图(2)中组成的三角形的面积等于______．分析：网格作图是今后的重点内容，我们应该引起足够的重视，(1)对于作平行，有2种作法，第一种观察线段AB是横2竖4的长方形对角线，那么，过要画的点P，也应该是构造横2竖4的长方形对角线．第二种，采用平移的方法，从点A平移到点P，需要向右4格再向下1格，那么点B也要同样平移，然后将线段两端延长，变成直线．对于作垂直，则和平行相反，过点P需要构造横4竖2的长方形对角线．(2)我们可以保持EF不动，将AB，CD平移，注意，有2种情况．(3)对于网格图形的面积，我们通常可以采用割补法，割，把大图形分成几个小图形，计算面积和，补，把大图形再补成一个更大的，可直接计算面积的图形，减去周围几个小图形的面积和．本题适合用补的方法．解答：例2、垂线段再认识如图，在6×6的正方形网格中，点P是∠AOB的边OB上的一点．过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为H；(1)请找出图中所有的垂线段，并说明这条垂线段的长度是哪个点到哪条直线的距离．(2)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______．（用“＜”号连接）分析：要找垂线段，首先要找出所有的垂足，因为垂线段是直线外一点到垂足的距离．这里的垂足显然只有P，H，那么点O，点C，可以和点P，点H组成垂线段．要说明垂线段长度是哪个点到哪一条直线的距离，那么必然选择的是垂线段的两个端点中，不是垂足的那个点，到垂足所在的另外一条与垂线段垂直的直线的距离．解答：(1)OP，OP的长度是点O到直线PC的距离．CP，CP的长度是点C到直线OB的距离．OH，OH的长度是点O到直线PH的距离．CH，CH的长度是点C到直线PH的距离．PH，PH的长度是点P到直线OC的距离．(2)PH＜PC＜OC．例3、思考类作图同一平面内已知线段AB长为10cm，点A、B到直线l的距离分别为6cm和4cm，符合条件的直线l有_______条?分析：显然，同学们都能想到作线段AB的垂线，将线段AB分成6cm，4cm两部分．但其实，在线段AB的两侧还有两条，分别以A、B为圆心、6cm和4cm为半径作圆，当所画的直线与两个圆分别都只有一个交点时，也符合题意，这样的直线有两条，即共有3条．到了初三，我们会知道，这三条线就是所画的两个圆的切线．解答：如图，三条红色的直线即为所求．变式如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有________个．分析：我们可以先找线，再确定点，先找出到l1距离为2的直线，到12距离为1的直线，显然，它们的交点，就满足题意．画图后，不难发现到l1距离为2的直线有2条，到12距离为1的直线有2条，这4条直线两两相交，有4个交点，这4个交点就是"距离坐标"是(2，1)的点．解答：如图，到l1距离为2的直线是2条蓝色直线，到12距离为1的直线是2条红色直线，四个交点即为所求．。
初中数学易考知识点平行线和垂直线的性质
初中数学易考知识点平行线和垂直线的性质在初中数学中，平行线和垂直线是比较基础且常被考察的知识点。
掌握平行线和垂直线的性质对于解题和理解几何概念都非常重要。
接下来，本文将分别介绍平行线和垂直线的性质。
一、平行线的性质平行线是指不相交的两条直线在平面上延伸时永不相交的直线。
下面是平行线的几个性质：1. 平行线的定义两条直线在平面上平行的定义为：它们不相交且在同一平面上延伸时永不相交。
2. 平行线的判定方法（1）同位角相等法：若两条直线与一条直线相交时，同位角相等，则这两条直线是平行线。
（2）对顶角相等法：若两条直线与一条直线相交时，它们成一对对顶角的角度相等，则这两条直线是平行的。
3. 平行线的性质（1）平行线上的任意两条直线与第三条直线的交线所形成的内错角和外错角互补，即和为180°。
（2）平行线上的任意一条直线与一条横截线相交时，同位角相等，内错角和外错角互补。
二、垂直线的性质垂直线是指两条直线相交时，相交的角度为90°，称为垂直。
下面是垂直线的几个性质：1. 垂直线的定义两条直线垂直的定义为：它们的交角度量为90°。
2. 垂直线的判定方法（1）两条直线的斜率之乘积为-1时，这两条直线是垂直的。
（2）两条直线的角度为90°时，这两条直线是垂直的。
3. 垂直线的性质（1）垂直线上的任意一条直线与平行于另一直线的直线相交时，所形成的角度为直角，即90°。
（2）两条垂直线上的任意一条直线与第三条直线相交时，所形成的内错角和外错角互补。
三、平行线和垂直线的应用平行线和垂直线的性质在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
1. 平行线的应用平行线的性质可以应用于建筑、绘图、设计等领域。
例如，在绘制透视图时，平行线的应用可以使得图像显得更加逼真，立体感更强。
2. 垂直线的应用垂直线的性质可以应用于测量与角度相关的问题，如建筑物的竖直度、平面图的编制等。
总结起来，初中数学中平行线和垂直线是非常重要的概念。
数学竞赛知识点资料
数学竞赛知识点资料初中数学联赛竞赛知识点1.两组对边平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线互相平分.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4·对称性：平行四边形是中心对称图形.基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;基本思路：①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数) 关键问题：找出总量的差与单位量的差。
初中数学竞赛计算知识点归纳1，C ;2，m=1，n=6 或 m=3，n=2 或 m=6，n=1;3，a=17,4,a=12,x1=1,x2=-2,x3=-28,或a=39，x1=-1,x2=-565,就是第四题的变形。
a=12,或 39过程：1，因为这些数据成对出现，且每一对都是互为倒数，所以只要求出x=2007和x=1/2007的值，就可以知道结果了。
你去求吧。
2，二次函数与横轴的两个交点间的距离等于根号下(b^2-4ac)再除以a的绝对值。
因此有：根号下[(3-mt)^2+12mt]≥(2t+n)的绝对值化简后有：(m^2-4)t^2+(6m-4n)t+9-n^2≥0也就是有：y=(m^2-4)t^2+(6m-4n)t+9-n^2的图象与横轴最多只有一个交点，即有判别式小于或等于0，则得：(mn-6)^2小于或等于0，即mn=6余下的你可做了。
初中数学竞赛精品标准教程及练习38平行和垂直
初中数学竞赛精品标准教程及练习38平行和垂直本教程将详细介绍初中数学竞赛中与平行和垂直相关的知识点，并提供练习题供同学们练习。
一、平行线的性质：1.若两直线的斜率相等，则它们平行。
2.若两直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也平行。
3.若两条平行线分别与一条直线相交，所得的对应的内角或外角相等。
二、垂直线的性质：1.若两直线的斜率乘积为-1，则它们互为垂直。
2.如果一条直线与另一条直线垂直，那么通过它们交点的所有直线都与另一条直线垂直。
三、平行线与垂直线的证明方法：1.利用定义证明法，根据平行线和垂直线的定义，逐步推导出结论。
2.利用性质证明法，根据平行线和垂直线的性质，通过已知条件推导出结论。
四、练习题：1.已知直线l1过点A(-1,3)，斜率为2，直线l2过点B(5,-1)，斜率为k。
求k的值，使得l1与l2平行。
2.如图，ABCD为长方形，M为对角线BD上一点，且AC平分∠BAC，垂直于AC的直线经过点M与CE、BF交于点O，求证：∠BOC=90°。
3.如图，四边形ABCD中，AB平行于CD，∠DAB=75°，∠CAD=50°，求∠BCD的度数。
4. 如图，四边形ABCD中，AB平行于CD，AD垂直于BC，且AD = BC = 5cm，AB = 3cm，求AD的度数。
五、解答：1.根据已知斜率求平行线的性质，l1与l2平行，说明斜率相等，即2=k，解得k=22.由已知AC平分∠BAC，说明∠BAM=∠CAM。
又由于垂直于AC的直线经过点M与CE、BF交于点O，说明O是AC的垂直平分线。
所以，OB=OC，同时∠BOM=∠COM=90°。
所以，∠BOC=180°-∠BOM-∠COM=180°-90°-90°=90°。
3.由已知AB平行于CD，说明∠DAB=∠DCB=75°。
又由于∠CAD=50°，所以∠ACD=180°-∠CAD=180°-50°=130°。
《平行与垂直复习》课件
实际应用
在实际生活中，平行和垂直的判定方法广泛应用于建筑、工程和设计等领域。例如，在建 筑设计中，确定建筑物的垂直线和平行线是至关重要的，以确保建筑物的稳定性和美观性 。
04
CHAPTER
在绘制垂线时，要确保绘制的 直线与已知直线垂直，并相交
于一点，避免出现误差。
THANKS
谢谢
平行与垂直的应用
平行的应用
建筑学
在建筑设计中，平行线用于确定 和创建平面和空间，如地板、墙
和窗户。
交通工程
道路和铁路系统使用平行线来规 划路线，确保车辆安全行驶。
计算机图形
在制作2D图像时，平行线用于创 建平滑的线条和平滑的表面。
垂直的应用
城市规划
垂直线用于确定建筑物的高度和位置，以及城市 的天际线。
平行线永不相交，而垂直线在交点处相交成直角。
平行线与垂直线的应用
平行线在几何图形中广泛使用，如矩形、正方形、菱形等；垂直线 主要用于建筑、测量和工程领域。
03
CHAPTER
平行与垂直的判定
平行的判定
平行线的定义
在同一平面内，两条永不相交 的直线称为平行线。
同位角相等
当两条直线被第三条直线所截 ，如果同位角相等，则这两条 直线平行。
04
2. 使用直尺或三角板，在同 一直线上绘制另一条与已知 直线垂直的直线。
01 03
垂线的作图步骤
02
1. 确定一条直线。
平行与垂直作图的注意事项
01
02
03
04
确保使用正确的工具和测量单 位。
平行与垂直的知识点总结
立体几何知识点一．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
④中位线定理、平行四边形、比例线段……，⑤平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂3．面面平行：方法一：用线面平行实现。
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1．两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.方法一：用线面垂直实现。
一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b ∥c,a ⊥b,则a ⊥c③如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a ∥α,b ⊥α,则a ⊥b. 2. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
2020年七年级数 平行与垂直(不分层)知识讲解
【变式 1】如图, 直线 AB 和 CD 交于 O 点, OD 平分∠BOF, OE ⊥CD 于点 O, ∠AOC=40, 则∠EOF=_______.
【答案】130°． 【变式 2】如图，若 OM 平分∠AOB，且 OM ⊥ON，求证：ON 平分∠BOC.
4
【答案】 证明：如图，
∵OM 平分∠AOB ∴∠1=∠2 又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2 由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2 ∴∠3=∠4 ∴ ON 平分∠BOC
∴∠AOF= ∠AOE=45°，
∴A 正确； 夜∠BOD 和∠AOC 是对顶角， ∴∠BOD=∠AOC， ∴B 正确； ∵∠BOD 的余角=90°﹣15°30′=74°30′， ∴C 不正确； ∵∠AOD+∠BOD=180°， ∴∠AOD 和∠BOD 互为补角， ∴D 正确； 故选：C． 【总结升华】本题考查了垂线、余角以及对顶角、邻补角的定义；熟练掌握角的互余和互补 关系是解题的关键．
3.平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 要点诠释：由基本事实可以推出下面的结论成立：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行. 要点二、垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相 垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互
相垂直，记作 a b 或 AB⊥CD 垂直于点 O.
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要点诠释：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
AOC 90°判 性定质 CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三 角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点， 沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
苏教版初三数学解析几何中的平行线与垂直线
苏教版初三数学解析几何中的平行线与垂直线在解析几何中，平行线与垂直线是非常基础且重要的概念。
它们在平面几何和空间几何中都有广泛的应用。
本文将深入探讨苏教版初三数学教材中关于平行线与垂直线的相关知识点，包括定义、性质、判定方法等内容。
一、平行线的定义与性质首先，我们来看一下平行线的定义。
在平面直角坐标系中，如果两条直线在平面上没有交点并且方向相同，那么它们就是平行线。
平行线具有以下性质：1. 平行线的对应角相等定理：如果一条直线与两条平行线相交，则所构成的对应角相等。
2. 平行线的性质：平行线与一条截线所构成的对应角相等，并且与该截线所构成的内错角互补。
3. 平行线的传递性：如果一条直线与第二条直线平行，而第二条直线又与第三条直线平行，那么第一条直线与第三条直线也平行。
二、垂直线的定义与性质接下来，我们来探讨垂直线的定义及其性质。
在平面直角坐标系中，如果两条直线相交的角为90度，则它们是垂直线。
垂直线具有以下性质：1. 垂直线的性质：垂直线与一条截线所构成的对应角为直角（90度）。
2. 垂直线的传递性：如果一条直线与第二条直线垂直，而第二条直线又与第三条直线垂直，那么第一条直线与第三条直线也垂直。
三、平行线与垂直线的判定方法在解析几何中，我们经常需要根据已知条件来判定两条直线是否平行或垂直。
下面是几种常见的判定方法：1. 平行线的判定方法：a. 定理一：如果两条直线的斜率相等，则它们平行。
b. 定理二：如果两条直线的斜率之积为-1，则它们垂直。
2. 垂直线的判定方法：a. 定理一：如果两条直线的斜率之积为-1，则它们垂直。
b. 定理二：如果两条直线的斜率之和为0，则它们垂直。
需要注意的是，利用判定方法时要注意计算直线的斜率，并将计算结果进行比较。
四、应用实例分析为了更好地理解平行线与垂直线的应用，我们来看一个实例分析。
题目：已知直线L1过点A(2，3)，斜率为1/2；直线L2过点B(3，5)，斜率为-2/5。
七年级数学平行线与垂直线
七年级数学平行线与垂直线平行线与垂直线是七年级数学中的重要概念。
本文将详细介绍平行线和垂直线的定义、性质以及应用。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面上没有交点的直线。
具体来说，如果两条直线在平面上任何一个点处的夹角都相等，那么这两条直线就是平行线。
平行线的性质如下：1. 平行线上的任意两条线段之间的夹角都相等。
2. 平行线的斜率相等，而且无限大或无限小。
3. 平行线之间的距离始终保持不变。
二、垂直线的定义和性质垂直线是指在同一个平面上与另一条直线相交，且相交角度为90度的直线。
通常用垂直符号“⊥”表示。
垂直线的性质如下：1. 垂直线上的任意两条线段之间的夹角都是90度。
2. 垂直线的斜率相乘为-1。
三、平行线和垂直线的关系1. 如果两条直线相交的夹角为90度，则这两条直线互为垂直线。
2. 如果两条直线是平行线，那么它们的斜率相等且不相交。
3. 如果两条直线相互垂直，并且其中一条直线与另一条直线的斜率都存在，那么这两条直线的斜率相乘等于-1。
四、平行线和垂直线的应用平行线和垂直线在日常生活和建筑设计中有着广泛的应用。
1. 建筑设计中常常需要利用垂直线确保墙壁、楼梯等结构的垂直性。
2. 平行线的应用包括平行线测量、交通规划、线性编码等。
3. 垂直线可以用于制作正交图，例如建筑、机械等图纸的绘制。
4. 在地理学中，纬度线和经度线是一种特殊的平行线和垂直线，用于确定地点的位置。
总结：平行线和垂直线是七年级数学中的重要概念。
通过理解和掌握平行线和垂直线的定义、性质以及应用，我们可以更好地理解和应用这些概念。
无论是在几何学、建筑设计还是其他实际场景中，平行线和垂直线都扮演着重要的角色，对我们的生活和工作有着积极的影响。
文本共计606字。
数学中的平行与垂直知识点解析及解题技巧
数学中的平行与垂直知识点解析及解题技巧数学中的平行与垂直是几何学中非常基础但又十分重要的概念。
平行和垂直是指直线之间的关系，正确理解和运用这些概念对于解题以及理解几何形状和结构十分关键。
本文将详细解析数学中的平行与垂直知识点，并介绍相应的解题技巧，帮助读者更好地掌握这一部分内容。
一、平行线的定义及性质平行是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线具有相同的斜率。
在笛卡尔坐标系中，我们可以通过计算两条直线的斜率来判断它们是否平行。
2. 平行线之间的距离始终保持不变。
可以通过计算两条平行线上的任意一点到另一条线的垂直距离来验证。
3. 平行线之间没有交点。
平行线从一点向两个相反方向延伸，永远不会相交。
了解了平行线的定义及性质，我们就可以更好地应用它们解决各种几何问题。
二、垂直线的定义及性质垂直是指两条直线或线段之间的相互正交关系。
垂直线也被称为正交线。
以下是垂直线的定义及常见性质：1. 垂直线的斜率乘积为-1。
如果一条直线的斜率为k，那么与之垂直的直线的斜率为-1/k。
2. 垂直线之间的角度为90度（直角）。
两条互相垂直的直线在交点处形成一个90度的角。
3. 垂直线的特殊情况是水平线和竖直线。
水平线与x轴平行，竖直线与y轴平行。
了解垂直线的定义及性质，对于解题和理解几何图形的垂直关系非常有帮助。
三、解题技巧与实例分析1. 利用平行线的性质解题当我们面对一道几何问题时，如果题目中涉及到平行线的关系，我们可以利用平行线的性质进行分析。
例如，已知直线上有一点C，与直线AB平行相交。
我们可以利用平行线的性质，将已知条件与问题要求结合，得出一些结论。
比如，如果已知角ACB为60度，那么我们可以得出角ABC也为60度，因为平行线之间的对应角相等。
2. 利用垂直线的性质解题同样地，当我们遇到涉及垂直线关系的题目时，可以利用垂直线的性质进行解题。
例如，如果两条直线垂直相交于一点O，并且已知角AOC的度数为30度，我们可以得出角COB的度数为90度，因为两条垂直线在交点处形成的角度为90度。
初中数学竞赛辅导材料目录
初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目，以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录，通过系统的学习与实践，相信学生们可以提升数学竞赛的能力，取得更好的成绩。
祝学习愉快！。
七年级数学：《平行垂直》知识点归纳
七年级数学：《平行垂直》知识点归纳一、知识梳理二、1、平行线的定义：三、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．四、2、平行的表示：五、用符号“∥”表示，读作“平行于” ．六、3、同一平面内两条直线的位置关系：七、平行或相交．八、4、平行公理：九、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．十、5、平行的传递性：十一、平行于同一直线的两直线平行．十二、6、平行与角的联系：十三、若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．十四、7、垂直定义：十五、如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直．十六、其中一条直线叫做另一条直线的垂线．它们的交点叫做垂足．十七、两条线段、射线垂直是指这两条线段、射线所在的直线垂直．十八、8、垂直的表示：十九、用符号“⊥”表示，读作“垂直于” ．二十、9、垂直公理：二十一、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．二十二、10、点到直线的距离：二十三、直线外一点到这条直线的垂线段的长度．二十四、11、垂线段的性质：二十五、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．二十六、12、垂直与角的联系：二十七、若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．二、典型例题例1、概念辨析(1)两条不相交的直线叫做平行线．(2)两条直线不相交就平行．(3)两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行．(4)在同一平面内不相交的两条线段必平行．(5)经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．(6)同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行．(7)点A为直线l外一点，点B在直线l上，若AB＝5厘米，则点A到直线l的距离为5cm．解析：(1)错误，必须加同一平面内，否则在立体几何中，会出现异面的情况．比如一个正方体，上面和前面相交的棱与右面和后面相交的棱，所在直线就是既不平行也不相交．(2)错误，理由同(1)．(3)正确．(4)错误，反例如下图：(5)错误，必须在直线外，否则，如果这个点在直线上，所作直线就与已知直线重合．(6)正确．(7)错误，如下图，当点B在B2处，点A到直线l的距离为5cm，当点B在B1，点A到直线l的距离小于5cm．例2、试画图说明平面内三条直线的位置关系．分析：我们知道，同一平面内的两条直线有相交、平行两种关系．那么到了三条直线，就会出现三条都平行，两条平行，都不平行的情况．在三条都平行的情况外，必然有相交的情况，我们可以从交点数来考虑，即有一个，有两个，有三个交点三种．解答：例3、(1)如图，P是∠AOB外一点，过点P画直线PC∥OA，交OB于点C，过点P画直线PD∥O B，交OA反向延长线于点D，量出∠AOB、∠CPD的度数，你有什么发现？点P如果在∠AOB内部呢？(2)如图，P是∠AOB外一点，过点P画直线PC⊥OA，交OA于点C，过点P画直线PD⊥O B，交OB于点D，量出∠AOB、∠CPD的度数，你有什么发现？点P如果在∠AOB内部呢？分析：本题不难，主要是根据要求作图，然后发现度数之间的联系，不是相等就是互补，最后，再关注所研究的两个角的位置关系，发现其中一个角的两边与另一个角的两边分别平行，从而得出最后结论．解答：(1)当P是∠AOB外一点，∠AOB＋∠CPD＝180°当P是∠AOB内一点，∠AOB＝∠CPD发现：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．(2)当P是∠AOB外一点，∠AOB＝∠CPD当P是∠AOB内一点，∠AOB＋∠CPD＝180°发现：若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．三、思维提升例1、网格作图(1)利用图(1)中的网格，利用直尺过P点画直线AB的平行线和垂线．(2)把图(2)网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．(3)如果每个方格的边长是单位1，那么图(2)中组成的三角形的面积等于______．分析：网格作图是今后的重点内容，我们应该引起足够的重视，(1)对于作平行，有2种作法，第一种观察线段AB是横2竖4的长方形对角线，那么，过要画的点P，也应该是构造横2竖4的长方形对角线．第二种，采用平移的方法，从点A平移到点P，需要向右4格再向下1格，那么点B也要同样平移，然后将线段两端延长，变成直线．对于作垂直，则和平行相反，过点P需要构造横4竖2的长方形对角线．(2)我们可以保持EF不动，将AB，CD平移，注意，有2种情况．(3)对于网格图形的面积，我们通常可以采用割补法，割，把大图形分成几个小图形，计算面积和，补，把大图形再补成一个更大的，可直接计算面积的图形，减去周围几个小图形的面积和．本题适合用补的方法．解答：例2、垂线段再认识如图，在6×6的正方形网格中，点P是∠AOB的边OB上的一点．过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为H；(1)请找出图中所有的垂线段，并说明这条垂线段的长度是哪个点到哪条直线的距离．(2)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______．（用“＜”号连接）分析：要找垂线段，首先要找出所有的垂足，因为垂线段是直线外一点到垂足的距离．这里的垂足显然只有P，H，那么点O，点C，可以和点P，点H组成垂线段．要说明垂线段长度是哪个点到哪一条直线的距离，那么必然选择的是垂线段的两个端点中，不是垂足的那个点，到垂足所在的另外一条与垂线段垂直的直线的距离．解答：(1)OP，OP的长度是点O到直线PC的距离．CP，CP的长度是点C到直线OB的距离．OH，OH的长度是点O到直线PH的距离．CH，CH的长度是点C到直线PH的距离．PH，PH的长度是点P到直线OC的距离．(2)PH＜PC＜OC．例3、思考类作图同一平面内已知线段AB长为10cm，点A、B到直线l的距离分别为6cm和4cm，符合条件的直线l有_______条?分析：显然，同学们都能想到作线段AB的垂线，将线段AB分成6cm，4cm两部分．但其实，在线段AB的两侧还有两条，分别以A、B为圆心、6cm和4cm为半径作圆，当所画的直线与两个圆分别都只有一个交点时，也符合题意，这样的直线有两条，即共有3条．到了初三，我们会知道，这三条线就是所画的两个圆的切线．解答：如图，三条红色的直线即为所求．变式如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有________个．分析：我们可以先找线，再确定点，先找出到l1距离为2的直线，到12距离为1的直线，显然，它们的交点，就满足题意．画图后，不难发现到l1距离为2的直线有2条，到12距离为1的直线有2条，这4条直线两两相交，有4个交点，这4个交点就是"距离坐标"是(2，1)的点．解答：如图，到l1距离为2的直线是2条蓝色直线，到12距离为1的直线是2条红色直线，四个交点即为所求．。
初一数学(平行与垂直)
辅导教案教学目的1．了解平行线的概念2．会用三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线．3．会使用工具按要求画垂线，掌握垂线（段）的性质。
教学内容1．平行线的概念同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．【注意】：①“在同一平面内”是定义的首要前提条件，不可缺少，因为在空间里，还存在两条直线既不相交，也不平行的情况；②“不相交”是说两条直线向两个方向怎样延长都不会相交；③平常所说的两条射线或线段平行，实质上是指它们所在的直线平行；④在同一平面内，两条不重合的直线只有两种位置关系：平行与相交．2．平行线的表示方法平行线符号“∥”表示．如AB平行于CD表示为AB∥CD．3．平行线的基本性质经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理及其推论是整个初中平面几何的基石，是其他公理、定理的基础，它们的作用十分重要．平行公理及其推论在说明直线平行时，经常用到．【注意】：这条性质与垂线的性质很相似，但过任意一点都可以画垂线，而画平行线，只能是过直线外一点才可以．4．垂直的定义如果两条直线相交成直角。
那么这两条直线互相垂直；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
【注意】当两条直线垂直时，其中一条直线叫做两一条直线的垂线5．垂直的表示方法如图的两条直线互相垂直，记作a b ⊥，也可以记作AB CD ⊥，其中点O 是垂足。
ba OBADC6． 垂直的基本性质（1） 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2） 直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短 （3） 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离【典型例题讲解】【例l 】下列结论中正确的个数是 ( )①同一平面内不相交的两条直线必平行；②同一平面内不平行的两条直线必相交；③同一平面内不相交的两条线段必平行； ④同一平面内不平行的两条线段必相交． (A)l (B)2 (C)3 (D)4 【例2】完成下列推理：(1)如图，已知AB ∥EF ，AB ∥CD ．因为AB ∥EF ， （已知），所以____∥____( )(2)如图所示，已知MN AB ⊥于M ，CD AB ⊥于D ．因为MN AB ⊥于M ，CD AB ⊥于D （已知），所以NMB ∠=____＝ ( )． 你能发现这两条直线MN 与CD 位置关系是 ．【巩固练习】 1.平行线是 ( ) A ．没有公共点的两条直线B ．在同一平面内，不相交的两条直线C ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行D ．永远不会相交的两条直线【例3】如图所示，经过点M 画MN ∥OA ，交OB 于点N ；画ME ∥OB ，交OA 于点E ．【巩固练习】1.⑴在如图所示的方格纸上，画DE ∥AB ，EF ∥BC ； ⑵∠ABC 与∠DEF 的大小有什么关系？2.按要求作图：①在ABC ∆在边AB 上取中点D ，过D 画BC 的平行线交AC 于点E ；②在OMN ∆的边MN 上顺次取三等分点Q P 、，分别过Q P 、作OM 的平行线，交ON 于点T S 、。
初中数学竞赛向量
初中数学竞赛向量向量是数学中的重要概念之一，对于初中数学竞赛来说也是一个重要的考点。
本文将介绍向量的定义、加法和数乘、共线和共面、平行和垂直等基本概念，并分享一些解题技巧。
1. 向量的定义在平面内，向量由大小和方向组成。
设点A和点B（A≠B），则线段AB上的箭头就可以表示为向量。
通常用向量的首字母加箭头上标表示，如向量AB用 $\vec{AB}$ 表示。
2. 向量的加法和数乘2.1 向量的加法设向量 $\vec{AB}$ 的终点是B，向量 $\vec{BC}$ 的起点是B，那么向量 $\vec{AB}$ 加上向量 $\vec{BC}$ 就等于向量 $\vec{AC}$。
表示为：$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$。
2.2 向量的数乘向量的数乘是指将向量的长度改变为原来的某个倍数。
设向量$\vec{AB}$ 的长度是a，将a乘以k，得到向量的长度变为ka。
表示为：$k\vec{AB}=\vec{AB'}$，其中 $|\vec{AB'}|=ka$。
3. 共线和共面3.1 共线向量如果两个向量的方向相同或相反，则这两个向量共线。
即向量$\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 共线的充要条件是存在实数k，使得$\vec{a}=k\vec{b}$。
3.2 共面向量如果三个向量位于同一个平面上，则这三个向量共面。
假设向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 共面，那么存在实数m、n，使得 $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$。
4. 平行和垂直4.1 平行向量如果向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的方向相同或相反，则这两个向量平行。
即向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 平行的充要条件是存在实数k，使得 $\vec{a}=k\vec{b}$。
4.2 垂直向量如果向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的乘积为0，则这两个向量垂直。
初中数学竞赛辅导资料(38)
初中数学竞赛辅导资料（38）平行和垂直甲内容提要一.证明两直线互相平行常用的定理① 利用角 同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行。
② 利用第三线 都平行或都垂直于第三线的两直线平行。
③ 利用比例式 △ABC 中，如果ECAE DB AD =那么DE ∥BC④ 其他 三角形中位线平行于第三边 梯形中位线平行于两底 平行四边形对边平行二.证明两直线互相垂直常用的定理1. 按垂直定义 即证明两直线相交所成的四个角中，有一个是直角。
直角是180ο的一半，常见的180ο有：平角，邻补角，平行线的同旁内角，三角形内角和。
2. 在三角形中证明直角① 如果一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角。
② 若一边平方等于其他两边的平方和，则这边所对的角是直角。
③ 若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角。
④ 等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高。
⑤ 和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。
3. 菱形对角线互相垂直乙例题例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边。
已知：△ABC 中，BD ，CE 是角平分线，AM ⊥BD ，AN ⊥CE求证：MN ∥BC证明：分别延长AM ，AN 交BC 于F 则∠AMB ＝∠BMF ＝Rt ∠ ∵∠1＝∠2，BM ＝BM ∴△AMB ≌△FMB ∴AM ＝MF 同理可证AN ＝NG ∴MN 是△AFG 的中位线， ∴MN ∥FG ，即MN ∥BCB C例2.已知：AD 是Rt △ABC 斜边上的高，角平分线BE 交AD 于F ，EG ⊥BC 交BC 于G A求证：FG ∥AC ，AG ⊥BE证明的要点：E ∵BE 是角平分线，F ∴点E 到∠ABC 的两边距离相等，即EA ＝EG B D G C∵∠AFE ，∠AEF 分别是∠EBC ，∠ABE 的余角， ∴∠AFE ＝∠AEF 得AF ＝AE ＝EG ，且EG ∥AF ， 故AFGE 是菱形例3.已知：如图AD 是等腰直角△ABC 斜边上高BM ，BN 三等分∠ABC ，CM 延长线交AB 于E求证：EN ∥BM证明要点： 根椐轴对称图形的性质 CM ，CN 也三等分∠ACB 点N 是△ACE 的内心， ∴EN 是∠AEC 的平分线 ∴∠1＝∠ABM ＝30ο例4.已知：A ，B ，C 三点在同一直线上，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，AE 交BD 于M ，CD 交BE 于N 求证：MN ∥AC 证明：在等边△ABD 和△BCE 中 AB ＝BD ，BC ＝CE ，∠ABD ＝∠BCE ＝60ο∴BM ∥CE ∴BC AB ME AM ＝，CE BD NC BN =， ∴CEBN ME AM =` ∴MN ∥AC 例5.已知：正方形ABCD 中，P 是AC 上的任意点，过点P 作PE ⊥AB作PF ⊥BC 求证：PD ⊥EF 分析：要证明PD ⊥EF ，可证∠PMF ＝90ο 先证∠1＋∠2＝90ο ∵∠2＋∠3＝90ο而∠1＝∠4 只要证∠3＝∠4 可用边角边证△BEF ≌△GPD （证明略） C例6.已知：⊙O 和⊙Q 相交于A ，B ，⊙Q 经过点O ，C 是⊙O 优弧AB 上的一点，CB 延长线交⊙Q 于D ， 求证：DO ⊥AC 证明：连结AB ，作⊙O 直径AE ，DO 延长线交 AC 于F ∵∠C ＝∠E ，∠D ＝∠EAB∴∠CFD ＝∠ABE ＝Rt ∠， ∴DO ⊥AC 丙练习38 1. 四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ，AD ＝BC ，则AB ∥CD2. 正方形ABCD 中，E 在边BC 上，F 在边AB 的延长线上，且AE ＝BF则AE ⊥CF3. 已知：平行四边形ABCD 的AB ＝2BC ，E ，F 分别在BC 和CB 的延长线上且CE ＝BF ＝BC 求证：AE ⊥DF4. 分别以△ABC 的边AB 和BC 为一边，向形外作两个正方形ABEF 和BCGH ，求证 AH ＝CE ，AH ⊥CE5. 已知：D ，E ，F 是△ABC 边BC ，CA ，AB 的中点，H ，G 在形外，且HE ⊥AC ，HE ＝21AC ，GD ⊥BC ，GD ＝21BC 求证：△FDG ≌△HEF FG ⊥FH6. 已知：在平行四边形ABCD 中， ∠A 和∠B 的平分线交于E ，∠C 和∠D 的平分线相交于F 求证：EF ∥BC 7. 三角形三条高（或它们的延长线）必相交于一点 这点叫做三角形的垂心，如图△ABC 中，两条高AD 和BE 交于H H 是△ABC 的垂心 D 是△＿＿＿＿＿的垂心E 是△＿＿＿的垂心 C 是△＿＿＿＿＿＿的垂心 （1989年泉州市初二数学双基赛题） 8. 已知：O 为等腰直角三角形ABC 底边BC 的中点，在BC 的延长线上任取一点P ，过P 作AB 的垂线PD ，D 为垂足，过P 作AC 的垂线PE ，E为垂足。
平行与垂直复习ppt课件
EF⊥FA FA ⊥AB
明辨是非。〔对的打“√〞， 错的打“X〞〕
在同一个平面内的两条
直线不是平行就是相交。 〔√ 〕
小红在作业纸上画了一 条组垂线。〔 〕X 两条直线特殊的位置关系。
1.假设两条直线相交成直 角时，这两条直相线互垂直
其中一条直线叫做另一条 直线的垂线，这两条直线 的交点叫做 垂足
〔 〕〔 X 〕 〔 × 〕
〔 〕 〔√ 〕〔X 〕
2、判别！对的打√，错的打×
① 两条直线相交，那么这两条直线相互垂直( × ) ② 永不相交的两条直线叫做平行线。〔×〕
③
这一条直线是平行线。〔 × 〕
④ 上午9时，钟面上的时针和分针相互垂直的。
〔√ 〕 a
⑤如图 b ，直线a叫垂线。 〔 × 〕
3、下面每个图形中哪两条线段相互平行?
哪两条线段相互垂直?
A
BA
C
D
C
B
AB∥CD AD∥BC AD⊥DC DC⊥CB CB⊥BA AB⊥AD
D AB∥CD AB⊥BE
E CD⊥BE
C
D
CD∥AB
AB∥FE FE∥CD
A B
AF∥BC AB⊥BC
BC∥DE BC⊥CD
DE ∥AF CD⊥DE
F
E
DE⊥EF
a
b
在同一个平面内不相交的两条直线叫 做平行线，也可以说这两条直线相互平行。
直线a是直线b的平行线。 直线b是直线 a的平行线。 直线a和直线 b相互平行。
a 两条直线相交成直角，我们就 说 这两条直线相互垂直
b
直线a是直线b的垂线 直线b是直线a的垂线 直线a和直线b相互垂直
垂足
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初中数学竞赛辅导资料（38）
平行和垂直
甲内容提要
一.证明两直线互相平行常用的定理
①利用角同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行。
②利用第三线都平行或都垂直于第三线的两直线平行。
③利用比例式△ABC中，如果
那么DE∥BC
④其他三角形中位线平行于第三边
梯形中位线平行于两底
平行四边形对边平行
二.证明两直线互相垂直常用的定理
1.按垂直定义即证明两直线相交所成的四个角中，有一个是直角。
直角是180的一半，常见的180有：平角，邻补角，平行线的同旁内角，三角形内角和。
2.在三角形中证明直角
①如果一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角。
②若一边平方等于其他两边的平方和，则这边所对的角是直角。
③若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角。
④等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高。
⑤和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。
3.菱形对角线互相垂直
乙例题
例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边。
已知：△ABC中，BD，CE是角平分线，AM⊥BD，AN⊥CE
求证：MN∥BC
证明：分别延长AM，AN交BC于F，G
则∠AMB＝∠BMF＝Rt∠
∵∠1＝∠2，BM＝BM
∴△AMB≌△FMB
∴AM＝MF同理可证AN＝NG
∴MN是△AFG的中位线，
∴MN∥FG，即MN∥BC
例2.已知：AD是Rt△ABC斜边上的高，角平分线BE交AD于F，EG⊥BC交BC于G A
求证：FG∥AC，AG⊥BE
证明的要点：E
∵BE是角平分线，F
∴点E到∠ABC的两边距离相等，
即EA＝EG B D G C
∵∠AFE，∠AEF分别是∠EBC，∠ABE的余角，∴∠AFE＝∠AEF
得AF＝AE＝EG，且EG∥AF，
故AFGE是菱形
例3.已知：如图AD是等腰直角△ABC斜边上高
BM，BN三等分∠ABC，CM延长线交AB于E
求证：EN∥BM
证明要点：
根椐轴对称图形的性质
CM，CN也三等分∠ACB
点N是△ACE的内心，
∴EN是∠AEC的平分线
∴∠1＝∠ABM＝30
例4.已知：A，B，C三点在同一直线上，△ABD和△BCE都是等边三角形，AE交BD于M，CD交BE于N
求证：MN∥AC
证明：在等边△ABD和△BCE中
AB＝BD，BC＝CE，∠ABD＝∠BCE＝60
∴BM∥CE
∴，，∴∴MN∥AC
例5.已知：正方形ABCD中，P是AC上的任意点，过点P作PE⊥AB
作PF⊥BC
求证：PD⊥EF
分析：要证明PD⊥EF，可证∠PMF＝90
先证∠1＋∠2＝90∵∠2＋∠3＝90
而∠1＝∠4只要证∠3＝∠4
可用边角边证△BEF≌△GPD（证明略）
例6.已知：⊙O和⊙Q相交于A，B，⊙Q经过点O，C是⊙O优弧AB上的一点，CB延长线交⊙Q于D，
求证：DO⊥AC
证明：连结AB，作⊙O直径AE，DO延长线交
AC于F∵∠C＝∠E，∠D＝∠EAB
∴∠CFD＝∠ABE＝Rt∠，∴DO⊥AC
丙练习38
1.四边形ABCD中，∠A＝∠B，AD＝BC，则AB∥CD
2.正方形ABCD中，E在边BC上，F在边AB的延长线上，且AE＝BF
则AE⊥CF
3.已知：平行四边形ABCD的AB＝2BC，E，F分别在BC和CB的延长
线上且CE＝BF＝BC求证：AE⊥DF
4.分别以△ABC的边AB和BC为一边，向形外作两个正方形ABEF和
BCGH，求证AH＝CE，AH⊥CE
5.已知：D，E，F是△ABC边BC，CA，AB的中点，H，G在形外，且
HE⊥AC，HE＝AC，GD⊥BC，GD＝BC
求证：△FDG≌△HEF FG⊥FH
6.已知：在平行四边形ABCD中，
∠A和∠B的平分线交于E，
∠C和∠D的平分线相交于F
求证：EF∥BC
7.三角形三条高（或它们的延长线）必相交于一点这点叫做三角形的垂
心，如图△ABC中，两条高AD和BE交于H，那么
H是△ABC的垂心D是△＿＿＿＿＿的垂心
E是△＿＿＿的垂心C是△＿＿＿＿＿＿的垂心
（1989年泉州市初二数学双基赛题）
8.已知：O为等腰直角三角形ABC底边BC的中点，在BC的延长线上任
取一点P，过P作AB的垂线PD，D为垂足，过P作AC的垂线PE，E 为垂足。
试问：不论P点在BC延长线上的哪一个位置，∠DOE都等于几度？并证明你的结论（1988年泉州市初二数学双基赛题）
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