24.4 弧长和扇形面积

⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交,且半径都是 1cm,则图中的三个扇形的面积之和为多 少?弧长的和为多少? （07年北京）
A
B
C
已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、 B、C为圆心，以0.5a为半径的圆相切于 点D、E、F，求图中阴影部分的面积S.
如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的 半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形 ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)的面积之 和是___________.
尝试练习2
已知扇形的圆心角为120°,半径为2， 则这个扇形的面积为多少？
S扇形
S扇形
n R 120 2 4 360 3 360
2
2
n n 4 2 120 2 S圆 R ( 2 ) 360 360 360 3
当堂训练
l , R 3代入 3n nR l 180 180
2
已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为 πcm,则该扇形的面积是______cm2,
n 60
2
S扇形
nR 60 3 3 360 360 2
精讲点拨
nR l 180 nR R
S 扇形 1 lR 2
S 扇形 nR 360
2
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
2970
精讲点拨
如下图，由组成圆心角的两条半径和 圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
B B
弧
O 圆心角 A O A
扇形Βιβλιοθήκη 自学提纲2自学教材P111----P112，思考下列内容： S=πR2 （1）半径为R的圆,面积是__________ （2）圆的面积可以看作是______度的 360 2 R 圆心角所对的扇形 （2）圆心角为1°的扇形的面积是______ 360
（1）与圆心角的大小有关 （2）与半径的长短有关 2. 扇形面积公式与弧长公式的区别：
n l弧＝ 360
C圆
S扇形＝
n 360
S圆
当堂测验
1.如图，已知扇形AOB的半径 为10，∠AOB=60°， 求弧AB的长和扇形AOB的面积 （写详细过程） 2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 1 ，则此扇形的圆心角是_________ 8 3、已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为 πcm, 则该扇形的积是__cm2,扇形的圆心角为 ___°.
AD OA OD 0.6 0.3 0.3 3
2 2 2 2
有水部分的面积为= 0
0.6
S扇形OAB S OAB
2
A
D
0.3
C
120 0.6 1 AB OD 360 2 1 B 0.12 0.6 3 0.3 0.22 2
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截 面上有水部分的面积。 弓形的面积 = S扇+ S △
1 45° ，则此扇形的圆心角是_________ 8
推荐作业
1.教材124--125页，习题24.4第3、7题 2.变式练习：如图、水平放置的圆柱形排
水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高 0.9cm，求截面上有水部分的面积。
0
如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm， ∠AOB=∠BOC=60°， 则图中阴影部分的面积是______cm2。
当堂测验
1.如图，已知扇形AOB的半径为 10cm，∠AOB=60°，求弧AB的长 和扇形AOB的面积(写过程） 2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的
10 cm 3
50 cm 2 3
3、已知扇形的半径为6cm,扇形的弧长为 πcm, 3 则该扇形的面积是______cm2,扇形的圆心角 30 为______°.
A D E 0
B
C
规律提升
0
0

S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积是扇形的面积与三角形 面积的和或差
体会分享
通过本节课的学习，
我知道了……
学到了……感受到了……
n R 1 nR S扇形 S 扇形 lR l 360 180 2
2
1.扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？
2 3
4.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木 板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至B2 结束所走过的路径长度________.
(07年湖北)
B1 B
●
B2
B B1 F'
U A C B D E F2 B
钟表的轴心到分针针端的长为5cm， 那么经过40分钟，分针针端转过的弧长 为______________。
创设情境
制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”(虚线的长度)，再下料， 试计算图所示管道的展直长度 L(单位： mm，精确到1mm)
学习目标
了解扇形的概念，理解 n• 的圆心角所对的弧 ° 长和扇形面积的计算公 式,并应用这些公式解 决相关问题。
自学教材P110----P111，思考下列内容： C=2πR （1）半径为R的圆,周长是_________ 360 （2）圆的周长可以看作是_____度的圆心角 1 所对的弧 360 （3）圆心角是10的扇形是圆周长的_____ 1 R 2R 1°圆心角所对弧长是__________ 180 360 O （4）n°圆心角所对的弧长是 n° n 1°圆心角所对的弧长的______倍， B n A 是圆周长的__________ nR
C
A
B
A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是 ⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部 分面积等于 。
C B
O
A
如图， 矩形ABCD是一厚土墙截面，墙长15米， 宽1米。在距D点5米处有一木桩E，木桩上拴 一根绳子，绳子长7米，另一端拴着一只小狗， 请问小狗的活动范围最大是多少？
如图， 矩形ABCD是一厚土墙截面，墙长15米， 宽1米。在距D点5米处有一木桩E，木桩上拴 一根绳子，绳子长7米，另一端拴着一只小狗， 请问小狗的活动范围最大是多少？
A
B
D
.
E
C
内卷为400m,内两半圆长为200米,直 线段共长200米,跑道宽1米,
S2 R2
1.内卷弯道的半径是多少米?
N2 P2
2.内卷弯道与外卷弯道的差是多少 ?
再 见
自学提纲1
（5）n°圆心角所对弧长是__________ 180
360
弧长公式
若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对 的弧长为l，则
注意：
nR l 180
O
n° A
l
nR 在应用弧长公式 l 180
B
进行计算时,要注意公式中n的意义,n表 示1°圆心角的倍数,它是不带单位的；
尝试练习1
已知弧所对的圆周角为90°,半径是4, 则弧长为多少？
（1）公式中n的意义．n表示1°圆心角的 倍数，它是不带单位的； （2）公式要理解记忆（即按照上面推导 过程记忆）.
尝试练习2
1.扇形的弧长和面积都由_______、________决定？ 2.（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角 增大 的增大而______。
3.圆心角是1800的扇形面积是多少？ 圆心角是900的扇形面积是多少？ 圆心角是2700的扇形面积是多少？ 1 1 个圆面积 个圆面积 2 4
如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A、 B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°， 则图中阴影部分的面积为 。
如图水平放置的圆形油桶的截面半径为R， 油面高为 3 R
2 3 2 )R 。 则阴影部分的面积为 ( 3 4
（05重庆）
2
3 R 2
8、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=2， AB=4，分别以AC，BC为直径作圆，则图中阴 影部分面积为 （05武汉）
●
●
●
●
如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交， 且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积。
（07年山东）
B A
D
C
中考连接
1.扇形的面积是它所在圆的面积的 ,求这 个扇形的圆心角的度数;(05陕西) 2.扇形的面积是S，它的半径是r,求这个扇形 的弧长;(05年太原) 3.扇形所在圆的圆心角度数为 150°,L=20πcm, 求:(1).扇形所在圆的半径; (2).扇形的面积; （05年台州）
S扇形
1 1 nR R lR 180 2 2 180 2
1 S ah 2
想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？
回顾思考
已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为
3 2 πcm,则该扇形的面积是______cm , 2 1 解：S扇形 lR 2 1 3 2 3 2
加深拓展
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。 提示：要求的面积，可 以通过哪些图形面积的 和或差求得
0
A
D
B
弓形的面积
= S扇- S⊿
C
解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线， 垂足为D，交弧AB于点C. ∵OC=0.6，DC=0.3 ∴OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3 在Rt△ OAD中，∵OD=0.5OA ∴∠ OAD=30° ∴∠AOD=60°， ∠ AOB=120° 在Rt△OAD中，OA=0.6，利用勾股定理可得：
练习
1、正三角形边长为a，它的外接圆半径等 3 3 a 于 3 ，边心距等于 6 a . 2、已知圆内接正三角形的边心距等于 3cm ，
则这圆外切正六边形的边心距等于2
3cm .