2017年广东省广州市执信中学高二理科上学期数学期中考试试卷
广东省执信中学高二数学上学期期中试题 理 新人教A版
本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|1}A x x =>，}02|{2<-=x x x B ，则A B ⋂=（ ）A.{|2}x x >B.{|02}x x <<C.{|12}x x <<D.{|01}x x << 2．下列函数中既是偶函数又在),0(+∞上是增函数的是（ ） A.1y x =B.1||+=x yC.ln ()x f x x= D.21y x =-+ 3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该三棱锥的体积是（ ） A ．31cm B ．32cm C ．33cmD ．36cm4．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ， 则m 的值为 ( )A ．1B ．-1C ．4D ．-45．在等差数列}{n a 中，若前5项和205=S ，则3a 等于（ ） A ．4 B ．-4 C ．2D ．-26．已知直线b a ,与平面γβα,,，下列条件中能推出βα//的是（ ） A ．ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂ B ．γβγα⊥⊥且 C ．b a b a //,,βα⊂⊂D ．βα⊥⊥a a 且7.在区域20200x y x y y ⎧+-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为（ ） A ．2πB ．3π C ．6π D ．4π8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|e 2}xM x y y ==-③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x ==其中所有“好集合”的序号是( )A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④第二部分非选择题(共 110分)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．5cos4π的值为 ； 10．已知实数,x y 满足不等式组20y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么目标函数3z x y =+的最大值是 ； 11．执行如右图所示的程序框图，若输入n 的值为6， 则输出s 的值为 ；12．若22x y +=，则39xy+的最小值是 ； 13．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E,F 分别为线段AA 1、B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为____________；14．在正项等比数列{n a }中，,3,21765=+=a a a 则 满足n n a a a a a a 2121⋅>++的最大正整数n 的值为___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．16．（本小题满分14分）如图，圆锥SO 中，SO 垂直⊙O 所在的平面．AB 、CD 为底面圆的两条直径，O CD AB = ，且CD AB ⊥，2==OB SO ，P 为SB 的中点．（I ）求证：//SA 平面PCD ； （Ⅱ）求圆锥SO 的表面积；（Ⅲ）求异面直线SA 与PD 所成角的正切值． 17．（本小题满分12分）设数列{a n }满足条件：对于n ∈N *，a n >0，且a 1=1并有关 系式：121+=+n n a a ．（Ⅰ）求证数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n }满足b n =)1(log 2+n a ，记nn n b b c 21+=，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．（本小题满分14分）已知圆4:22=+y x O 和点()()0,,1>a a M在圆上，求正实数a 的值，并求出切线方程；（Ⅱ）过点M 的圆的两条弦BD AC ,互相垂直，设21,d d 分别为圆心到弦BD AC ,的距离．①求2221d d +的值；②求两弦长之积||||BD AC ⋅的最大值．19．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）111C B A ABC -中，a AA AC AB 31===，a BC 2=，D 是BC 的中点，F 是1CC 上一点，且a CF 2=． （Ⅰ）求证：ADF F B 平面⊥1；（Ⅱ）求二面角F —AD —C 的正切值；（Ⅲ）试在1AA 上找一点E ，使得ADF BE 平面//,并说明理由． 20．（本小题满分14分）已知函数kx x x x f ++-=221)(，且定义域为（0，2）. （Ⅰ）求关于x 的方程kx x f =)(+3在（0，2）上的解；（Ⅱ）若)(x f 是定义域(0，2)上的单调函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围．sin 2ABC S bc ∆=16. 解：（I ）连结PO ， …………1分 P 、O 分别为SB 、AB 的中点，SA PO //∴， …………2分 PCD SA PCD PO 平面平面⊄⊂,，//SA ∴平面PCD .…………4分（Ⅱ）22,2===SB l r 母线， …………5分ππ42==∴r S 底，ππ24==rl S 侧， …………6分π)12(4+=+=∴侧底表S S S . …………7分（Ⅲ）SA PO // ，DPO ∠∴为异面直线SA 与PD 所成角 (9)分O SO AB SO CD AB CD =⊥⊥ ,,,SOB CD 平面⊥∴,……11分PO OD ⊥∴.在DOP Rt ∆中，2=OD ，221==SB OP ，……12分 222tan ===∠∴OP OD DPO ， ∴异面直线SA 与PD 所成角的正切值为2. …………14分17. 证明：（I ）因为121+=+n n a a ，即得)1(211+=++n n a a ……2分 且211=+a ， ……3分故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，得n n n a 22211=⨯=+-，…4分 因此数列{a n }的通项为：12-=nn a ，……5分（Ⅱ）由n a b n n =+=)1(log 2，所以22+=+n b n ， ……6分 故 )211(21212+-=+=n n nn C n ……8分 所以n n n C C C C C C T ++⋅⋅⋅++++=-14321 =)211(21)1111(21)5131(21)4121(21)311(21+-++--+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n …10分 =)2111211(21+-+-+n n =812449322++++n n n n ……12分 18.解：（Ⅰ）由题意点Ｍ在圆上，0,412>=+∴a a 且得…… 1分…… 2分…… 4分于F E ,， …… 6分 则OEMF 为矩形，…… 9分当BD AC ,中有一条过圆心时，上式也成立 …… 10分②222142,42d BD d AC -=-=…… 11分∴ )4()4(42221d d BD AC -⋅-=⋅102)4()4(42221=-+-⋅≤d d …… 13分（当且仅当21d d =时等号成立） …… 14分19.（I ）证明：由111为直三棱柱和，a AA 31==，a BC 2=，得2211115B F B C C F a =+=，2213AF AC CF a =+=，221118AB AB BB a =+=，得22211AB AF B F =+所以AF F B ⊥1, …… 2分由1CC ABC ⊥面，AD ABC ⊂面，得1CC AD ⊥, 由AB AC =及D 是BC 的中点得：AD BC ⊥,而1CC AD ⊥,1BC CC C =,∴11AD BCC B ⊥面,又111BF BCC B ⊂面,∴1AD B F ⊥…… 2分又AF F B ⊥1, AF AD A =,∴ADF F B 平面⊥1；…… 5分（Ⅱ）由(1)11AD BCC B ⊥面，而1111CD BCC B DF BCC B ⊂⊂面、面, ∴AD CD ⊥、AD DF ⊥所以CDF ∠为二面角F —AD —C 的平面角 …… 8分由直三棱柱可知：DCF ∠为直角，所以tan CDF ∠=22FC aCD a== …… 10分（Ⅲ）当a AE 2=时， ADF BE 平面//，证明如下： …… 11分 连结EF 、EC 交AF 于点M ，由2AE a CF ==，及//AE CF 可得： 四边形ACFE 为平行四边形。
数学---广东省执信中学2017-2018学年高二上学期期中考试(理)
参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A C C B C B B A D D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 75 14. 221416y x -= 15. 94 16. 83 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分） 解：（Ⅰ）因()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22T πω==； 所以()3sin(2)6f x x π=-令262x k πππ-=+得()23k x k Z ππ=+∈ 所以函数()f x 的对称轴方程为()23k x k Z ππ=+∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得3()3sin(2)2264f ααπ=⋅-= 所以1sin()64πα-= 由263ππα<<得062ππα<-<， 所以22115cos()1sin ()1()6644ππαα-=--=-= 因此sin()cos 2παα+=cos[()]66ππα=-+cos()cos sin()sin 6666ππππαα=--- 153114242=⋅-⋅ 3518-= 18．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）当1n =时，111a S ==； （2分）当2n ≥时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-= （4分）1a 也满足n a n =，故数列{}n a 的通项公式为*()n a n n N =∈ （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知n a n =，故2(1)n n n b n =+-所以12322=(2222)(12342)n n T n +++++-+-+-+记1232A=2222n++++ ，B=12342n -+-+-+ 则2212(12)A=2212n n +-=-- （8分） B=(12)(34)((21)2)n n n -++-+++--+= （10分） 故数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+- （12分）19．（本题满分12分）解：由题意得2B C =，则sin sin 22sin cos B C C C ==， 又54b c =，所以由正弦定理可得sin 25cos 2sin 25B b C C c === 所以23cos cos 22cos 15B C C ==-= （Ⅱ）因为5c =，54b c =，所以45b =由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：238025255a a =+-⨯⨯， 化简得26550a a --=，解得11a =或5a =-（舍去）由BD=6得，CD=5， 由25cos 5C =得25sin 1cos 5C C =-=， 所以△ADC 的面积115sin 54510225S DC AC C =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 20．（本题满分12分） 解：(1)由题意得直线AB 的方程为)2(22p x y -=， 与px y 22=联立，消去y 有05422=+-p px x ， 所以p x x 4521=+． 由抛物线定义得945||21=+=++=p p p x x AB ，所以4=p ，从而该抛物线的方程为x y 82=．(2)由(1)得05422=+-p px x ，即0452=+-x x ， 则4,121==x x ， 于是24,2221=-=y y ， 从而)22,1(-A ，)24,4(B ．设),(33y x ，则)2224,14()24,4()22,1(),(33-+=+-==λλλy x OC ．又3238x y =，所以)14(8)]12(22[2+=-λλ，整理得14)12(2+=-λλ, 解得0=λ或2=λ． 故λ的值为0或2．21．（本题满分12分）（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥．而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A = ，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，所以AE PD ⊥．（Ⅱ）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，．由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt EAH △中，3AE =，所以当AH 最短时，EHA ∠最大，即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时36tan 2AE EHA AH AH ∠===， 因此2AH =．又2AD =，所以45ADH ∠= ，所以2PA =．解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角， 在Rt AOE △中，3sin 302EO AE == ，3cos302AO AE == ， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，32sin 454SO AO == ， 又223930484SE EO SO =+=+=， 在Rt ESO △中，32154cos 5304SO ESO SE ∠===，即所求二面角的余弦值为155． 解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以(000)(310)(310)(020)A B C D -，，，，，，，，，，，，31(002)(300)122P E F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，所以31(300)122AE AF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，则00AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，m m 因此11113031022x x y z ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，．取11z =-，则(021)=-，，m ， 因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A = ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量．又(330)BD =- ，，， 所以2315cos 5512BD BD BD⋅⨯<>===⨯⨯ ，m m m ． 因为二面角E AF C --为锐角， 所以所求二面角的余弦值为155． 22．（本题满分12分） （1）设点(,)M x y ，由题意：12MF d =即22(1)142x y x ++=+ 所以2221(1)=(4)4x y x +++ 化简得：22143x y +=即为曲线E 的方程 （2）直线AB 不能平行于x 轴，故设直线AB 的方程为1x my =-，11(,)A x y ，22(,)B x y由2213412x my x y =-⎧⎨+=⎩得22(34)690m y my +--=， 所以122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩① 连结OA ，OB ，若ABCD 为菱形，则OA OB ⊥即1212=0OA OB x x y y ⋅+=又212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =--=-++，所以有21212(1)()10m y y m y y +-++=，代入①式得22125034m m --=+，无解，故ABCD 不能是菱形.（3）由题知121214422ABCD AOB S S OF y y y y ∆==⨯-=- 所以221212224142()434ABCD AOB m S S y y y y m ∆+==+-=+设21(1)m t t +=≥，22414241313ABCD AOB t S S t t t∆===⨯++ 令1()3(1)f t t t t =+≥可知当1t =时()f t 有最小值即面积有最大值，此时0m = 即AB x ⊥轴，所以ABCD 为矩形.。
广州市高二上学期期中数学试卷(理科)A卷
广州市高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·吉林期中) 设向量 =（﹣1，1，2）， =（2，1，3），则向量，的夹角的余弦值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·张掖期末) 在R上定义运算⊗：x⊗y=（1﹣x）（1+y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x均成立，则（）A . ﹣1＜a＜1B . ﹣2＜a＜0C .D . 0＜a＜23. （2分）(2018·内江模拟) 下列说法中正确的是（）A . 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B . 线性回归直线不一定过样本中心点C . 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D . 设随机变量服从正态分布，则4. （2分） (2018高一下·虎林期末) 在数列中， =1，，则的值为（）A . 512B . 256C . 2048D . 10245. （2分）命题“”的否定是（）A .B .C .D .6. （2分）已知向量，，，是空间的一个单位正交基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），那么向量在基底+，-，下的坐标为（）A .B .C . （）D .7. （2分） (2016高一下·黄陵开学考) 下列3个命题：1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）．其中正确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；③从总体中抽取的样本（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），若记=xi ，=yi则回归直线y=bx+a必过点（,）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且p（﹣2≤ξ≤0）=0.3，则p（ξ＞2）=0.2；其中正确的个数有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个9. （2分） (2016高一下·芦溪期末) 已知点M（x，y）满足若ax+y的最小值为3，则a的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） (2019高一下·安徽月考) 对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列满足级收敛，若数列的通项公式为，且满足级收敛，则的最大值为（）A . 6B . 3C . 2D . 011. （2分） (2020高三上·闵行期末) 已知各项为正数的非常数数列满足，有以下两个结论:①若，则数列是递增数列；②数列奇数项是递增数列则（）A . ①对②错B . ①错②对C . ①②均错误D . ①②均正确12. （2分）设的两个极值点分别是若（－1,0），则2a＋b的取值范围是（）A . （1,7）B . （2,7）C . （1,5）D . （2,5）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·南阳期中) 若﹣1＜a＜0，则不等式﹣的最大值为________．14. （1分） (2017高一上·上海期中) 已知全集U=R，集合P={x|x2﹣5x﹣6≥0}，那么∁UP=________．15. （1分） (2016高二上·福州期中) 在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且a2 ， a4+2，a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S5=________．16. （1分）已知x，y满足约束条件则z=2x+y的最小值为________三、解答题 (共4题；共40分)17. （10分） (2019高二上·龙江月考) 已知，求：（1）；（2）与所成角的余弦值.18. （10分）(2017·深圳模拟) 设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19. （5分）(2017·河北模拟) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．20. （15分） (2016高二上·西安期中) 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．（1）设数列{cn}对n∈N*均有 =an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2016．（2）求数列{an}与{bn}的通项公式；（3）设数列{cn}对n∈N*均有 =an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2016．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、答案：略6-1、7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、10-1、11-1、12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、答案：略三、解答题 (共4题；共40分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略。
广东省广州市高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省广州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）命题，p：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ；命题￢q：∀x∈R，x2+x+1≥0．则下列命题中真命题为（）A . p∧qB . p∧（￢q）C . （￢p）∧（﹣q）D . （￢p）∧q2. （2分） (2018高二上·宜昌期末) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是A . 46，45，56B . 46，45，53C . 47，45，56D . 45，47，533. （2分）在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若=x+y+z，则x+y+z=（）A .B .C . 1D . 24. （2分） (2016高一下·湖南期中) 要从已编号（1至120）的120件产品中随机抽取10件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本．若在第1段中抽出的样本编号为7，则在抽出的样本中最大的编号为（）A . 114B . 115C . 116D . 1175. （2分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·成都开学考) 已知命题p：向量 =（1，2）与向量 =（2，k）的夹角为锐角的充要条件是k＞﹣1；命题q：函数f（x）= 是偶函数，下列是真命题的是（）A . p∧qB . （￢p）∧qC . p∧（￢q）D . p∨（￢q）7. （2分）关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称③曲线C围成的面积大于π④曲线C围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为（）A . ①②③B . ①②④C . ①④D . ①③8. （2分）已知点E是△ABC所在平面内一点，且 = + ，则 =（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·广州月考) 正方体的棱长为2，点为的中点，点为线段上靠近的三等分点，平面交于点，则的长为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·梅州月考) 已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点M，则四边形AMCF的面积为（）A .B .C .D .11. （2分）正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°12. （2分）(2019·邢台模拟) 已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于不同的，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·红河开学考) 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1 ， y1）、B（x2 ，y2）两点，若x1+x2=10，则弦AB的长度为________．14. （1分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥l；③若m是平面α的一条斜线，A∉α，l为过A的一条动直线，则可能有l⊥m且l⊥α；④若α⊥β，α⊥γ，则γ∥β其中真命题的个数________ ．15. （1分） (2017高一下·河北期末) 椭圆的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，弦AB过F1 ，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2），则|y1﹣y2|的值为________．16. （1分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有________ 对．三、解答题 (共6题；共41分)17. （1分） (2016高一下·南沙期中) 已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：①f（x）为奇函数；②f（x）的一条对称轴为x= ；③f（x）的最小正周期为π；④f（x）在区间[﹣， ]上单调递增；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是________．18. （10分） 2016年8月7日，在里约奥运会射击女子10米气手枪决赛中，中国选手张梦雪以199.4环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金，俄罗斯选手巴特萨拉斯基纳获得银牌．如表是两位选手的其中10枪成绩．12345678910张梦雪10.210.39.810.1109.310.99.910.39.2巴特萨拉斯基纳10.11010.410.29.29.210.510.29.59.7（1）请计算两位射击选手的平均成绩，并比较谁的成绩较好；（2）请计算两位射击选手成绩的方差，并比较谁的射击情况比较稳定．19. （10分）(2017·广安模拟) 如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．20. （10分） (2016高三上·商州期中) 双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，直线l 过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b= ，若l的斜率存在，M为AB的中点，且 =0，求l的斜率．21. （5分） (2018高三上·三明模拟) 已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，点是棱的中点，点在棱上，且， //平面．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求三棱锥的体积．22. （5分）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为，求双曲线的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共41分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
广东省高二上学期期中考试理科数学试卷 Word版含答案
广东实验中学2016—2017学年（上）高二级考试理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第一部分选择题（共60分）一、(每题5分，共60分)1. 名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩及格的分别有人和人，项测验成绩均不及格的有人，项测验成绩都及格的人数是 ( )A. B. C. D.2. 已知直线，，若，则A. 或B. 或C. 或2D.3. 下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，不能确定一个平面的条件有A. ①②B.②③C. ①②③D. ①②③④4. 若的三个内角，，满足，则A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5. 若直线按向量平移得到直线，则 ( )A. 只能是B. 只能是C. 只能是或D. 有无数个6. 在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )A.3B.C.D. 67. 在数列中，，前项和为，且点在直线上，则 ( )A. B.C. D.8. 按下列程序框图运算，规定：程序运行到"判断结果是否大于"为次运算，若，则运算停止时进行的运算次数为 ( )A. B. C. D.9. 如图，在三棱锥中，，在内，，，则的度数为 ( )A. B.C. D.10. 已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是 ( )A. 无论如何，总是无解B. 无论如何，总有唯一解C. 存在，使之恰有两解D. 存在，使之有无穷多解11. 某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①②③④中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是 ( )A. ①②③B. ①②C. ②③④D. ①②③④12. 设，为整数，方程在区间内有两个不同的根，则的最小值为 ( )A. B. C. D.第二部分非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 过点M（1，2），且与点A (3 ,4 ) , B ( -1 , 6 ) 距离相等的直线方程为.14. 已知倾斜角为的直线，与直线平行，则.15. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是．16. 在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中实数，，成等差数列，若点在直线上的射影为，则线段长的取值范围是．三、解答题（共70分）17.(本小题10分)在中，，，分别是角，，的对边，已知，且．Ⅰ求的大小；Ⅱ设且的最小正周期为，求在的最大值．18. (本小题12分)如图，三棱锥内接于一个圆锥（有公共顶点和底面，侧棱与圆锥母线重合）．已知，，，，Ⅰ求圆锥的侧面积及侧面展开圆的中心角；Ⅱ求经过圆锥的侧面到点的最短距离．19. (本小题12分)某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数（单位：公里）分为类，即类：，类：，类：．该公司对这辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：Ⅰ从这辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过万公里的概率；Ⅱ公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从类车中抽取了辆车．①求的值；②如果从这辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过万公里的概率．20. (本小题12分)如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，顶点P在底面的射影在CA延长线上（含点A）.Ⅰ求证：平面.Ⅱ若P在底面上的射影为A，当平面与平面垂直时，求的长.(在答卷中填空并解答)Ⅲ若PA与底面的所成角为，求二面角P-BC-A 的余弦值.21. (本小题12分)在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使点落在线段上．Ⅰ若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；Ⅱ当时，求折痕长的最大值；Ⅲ当时，折痕为线段，设，试求的最大值．22. (本小题12分)设函数的定义域为，若存在非零实数，使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数．Ⅰ如果定义域为的函数为上的高调函数，求实数的取值范围；Ⅱ如果定义域为的函数（为常数且）为上的高调函数，求证：；Ⅲ如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，求实数的取值范围．广东实验中学2016—2017学年（上）高二级考试答案数学一、选择题：CBDC D ACABB DA二、填空题：13.14. 15. , 316.三、解答题：17. （1）因为，且，所以，所以．………………..2分又，所以．………………..4分（2）………………..7分因为，所以，所以，………………..8分因为，所以．所以当，即时，．………………..10分18. （1）因为，，，所以为底面圆的直径．………………..4分圆锥的侧面展开图是一个扇形，设此扇形的中心角为，弧长为，则，所以，所以．………………..7分（2）沿着圆锥的侧棱展开，在展开图中，，，．………………..10分19. （1）总共有140辆汽车，行驶总里程超过万公里的汽车有20+20+20=60辆故从这辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过万公里的概率为．………………..4分（2）①依题意．………………..6分② 辆车中已行驶总里程不超过万公里的车有辆，记为，，；辆车中已行驶总里程超过万公里的车有辆，记为，．“从辆车中随机选取两辆车”的所有选法共种：，，，，，，，，，．………………..8分“从辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过万公里”的选法共种：，，，，，．………………..10分则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过万公里的概率．………………..12分20. （1）过P作PE面AC于E因为顶点P在底面的射影在CA延长线上所以E在CA 延长线上即PE因为底面为菱形，因为，所以，BD所以平面.…………４分（2）如图①，在上取一点，使得.又因为，所以，所以，所以为二面角的平面角，…………６分所以.又，所以，即为等腰直角三角形.所以.如图②，从截面利用相似三角形可得. ……….…８分(3)过点E作EM BC于M 连结PM因为PE面ABCD所以PE BC所以BC面PEM所以BC PM 即为二面角的平面角……….…10分因为PA与底面的所成角为所以EA=，EC=所以EM=tan =cos =二面角的余弦值为……….…12分21.（1）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程为．..1分当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，所以与关于折痕所在的直线对称，有故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为．…..2分折痕所在的直线方程为综上，得折痕所在的直线方程为．…..……3分（2）设折痕的长度为．当时，折痕所在直线交于点交轴于，所以折痕长度的最大值为．……………..6分当时，折痕的长；而，故折痕长度的最大值为．………………..7分（3）当时，折痕所在直线交于交轴于．，故…………..10分因为，所以当且仅当时取“ ”．所以当时，取最大值，的最大值是．……………….12分22. （1）由题意，当时，，得，因为，所以由，得，由得，因为在为减函数，所以．所以的取值范围是．…………….3分（2）当时，，由得，即，…………..5分当时，上式恒成立．当时，，因为在上的最小值为，所以，所以．…………..7分（3）当时，，因为是奇函数，，所以时，即………...9分当时，，由得，从而，两边平方得，所以，因为在上的最小值是，所以．当时，，由得，从而，两边平方得，因为当时，，所以．当时，，由得，精 品 文 档试 卷 从而， 因为所以或 （舍去）， …………..13分所以 ．综上， 的取值范围是． …………..14分。
2017-2018学年广东省广州市执信中学高三数学上期中考试(理)试题(含答案)
2017-2018学年第一学期高三级（理科）数学期中考试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,0,,lg 0A a B x x =-=<，若AB ≠∅，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．{}1D ．(1,)+∞解题探究：集合是热身题.从近几年的考题来看，都是送分，突出集合的简单运算和符号辨析.【解析】B ．由lg 0x <，得01x <<，又AB ≠∅，则(0,1)a ∈，即01a <<2. 若复数()2a i -在复平面内对应的点在y 轴负半轴上,则实数a 的值是A ．1B ．1-CD ．解题探究： 复数的运算和概念及其几何意义是高考的考查的核心.就本题而言，关键是明确点在y 轴负半轴上的含义.【解析】 ()2212a i a ai -=--，点在y 轴负半轴上，则210,0a a -=>解之得1a =.3. 设偶函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，则A. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 解题探究：本题考查性质很丰富，也考查基本变换，值得关注.解析：A. 由于()sin()cos()),4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++由最小正周期为π知2ω=.又()f x 为偶函数，则,42k ππϕπ+=+且2πϕ<，所以4πϕ=，于是()f x x =.令222k x k πππ≤≤+，得在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，选项为A.4. 设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 解题探究：数列近三年都是一大一小两个，客观题部分考查等差等比数列的概念和基本运算，突出对方程思想的考查，关注基本量.解析： C ．2214S S S =，即2111(2)(46)a d a a d +=+，得12d a =，于是2113a a d a =+=，即213a a = 5. 已知,a b ∈R> ） A ．1a b >- B ．22log log a b > C ．||||a b > D ．22ab>解题探究：首先要分清楚条件是什么，结论是什么.一般来说，要紧紧抓住“条件是”这个字眼，也即选择支是条件.再根据关系即可判断.【解析】依题意，22log log 0a b a b >⇔>>，所以一定有>，但0a b ⇔>≥>22log log a b >.6. （原创）如图，网格纸上小正方形边长为1.粗实线画出的是某几何体的 三视图,则该几何体的体积为( )A ．48B ．36C ．32D ．24【命题意图】考查三视图的概念以及由三视图想象对应的几何体. 本题考查空间想象能力和运算求解能力.【解题思路】根据题设，这是一个直三棱柱截去了一个四棱锥，当然也可以视作是一个三棱柱与一个三棱锥的组合，因此可以利用割补法求得几何体的体积.【解析】C ．几何体如右．方法一（直接法）、底面三角形的面积为14482S =⨯⨯=，于是121183833233V Sh Sh =+=⨯+⨯⨯= 方法二（割补法）、 1111863443233V Sh S h =-=⨯-⨯⨯⨯=侧视图7. 执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入A. 4n >B. 8n >C. 16n >D. 16n <解题探究：算法难度都不大，难点在对算法思想和结构的理解，特别是循环结构，解题时只要按照要求循环往复即可.解析：B ．第一次循环，1,2S n ==；第二次循环，123,4S n =+==；第三次循环，347,8S n =+==；第一四次循环，7815,16S n =+==，此时满足条件，输出，所以选B.8.函数333x xx y -=-的图象大致是( )A B CD【解题思路】这类问题是高考的常考题型，在高考历史上以多种面目呈现.主要考查对函数性质以及特征点特征线问题的研究，着眼于考查函数研究的思维方式.【解析】B ；函数的分子是奇函数，分母函数也是奇函数，因而函数为偶函数，排除D ；注意到函数定义域，在原点处没有定义，排除A;BC 选项的差别在于极大值与1的大小比较.这个时候关键就是数字的感觉，代入数字计算.注意到当3x =时，3333133y -=>-，选B.注：文科考生为了降低难度，选择3作为指数和幂，就是方便计算.9．设直线10x ky --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为则实数k 的值是( )A．B．C．3D．3±【解题探究】本题可以直接计算，利用点到直线的距离，但更可以利用图形特征进行处理.【解析】 ±方法1：解得k =.方法2：如图，直线x -而圆的半径为21tan 603k==k =10. 已知,M N 是不等式组10,6x y x y ⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点,则||MN 的最大值是 A B C ．D ．172解题探究：对于二元一次不等式表示的区域问题，其考查指向便是数形结合思想的落实.因以观察.【解析】maxd AC==11. 三棱锥A角△ACD( )A. 4π【命题意图】算求解能力.【解析】DAB BD⊥. 又,,BC BD B AB BCD=∴⊥平面因而可以将三棱锥A BCD-还原成AEF BCD-. 则上下底面正三角形中心12O O与连线中点为外接球的球心.如图，221,2,BO O E BE==∴==所以外接球的表面积为24216Sππ=⨯=.【技巧点拨】高考中与球有关的问题往往都可以将相关锥体补形成相应的柱体或者长方体来处理.12. 已知实数12,,,nx x x(n*∈N且2n≥)满足||1ix≤()1,2,,i n=⋅⋅⋅,记121(,,,)n i ji j nS x x x x x≤<≤=∑.（1i ji j nx x≤<≤∑表示12,,,nx x x中任意两个数ix,jx(1i j n≤<≤)的乘积之和）. 则当3n=时,123(,,)S x x x的最小值为A．2-B．1-C．0D．1解题探究：本题关键是要把握最值的函数特征.通过赋值的方案，归纳推理出“S的最小值必定可以被某一组取值1±的123,,x x x所达到”【解析】3n=时,12312132313(,,)i ji jS S x x x x x x x x x x x≤<≤===++∑.固定23,x x,仅让1x变动,那么S是1x的一次函数或常函数,因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-. 同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-.2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---.以此类推,我们可以看出,S 的最小值必定可以被某一组取值1±的123,,x x x 所达到,于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥.当1k x =±(1,2,3k =)时,22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++212313()22x x x =++-.因为123||1x x x ++≥,所以13122S ≥-=-,且当121x x ==,31x =-,时1S =-,因此min 1S =-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分. 13.已知向量12⎛=⎝⎭m ,()1,0=n ,若()λ⊥-m m n ,则实数λ= . 【命题意图】本题考查向量的坐标数乘运算和数量积运算以及向量的几何意义和数形结合思想.【解题思路】一方面可以直接利用数乘运算以及数量积运算求解，另一方面注意到,m n 都是单位向量，因此可以考虑利用其几何意义.【解析】方法一、由()λ⊥-m m n 可得()0λ⋅-=m m n ，也即2λ=⋅m n m ，而211,2=⋅=m m n ， 所以2λ=.方法一、注意到,m n 都是单位圆上的向量，如图，,m n 夹角为60，则要使()λ⊥-m m n ，只需ONM 为直角三角形即可，此时2λ=. 14. 已知()22cos 4f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()13f α=，则 ()f α-=_____________. 【命题意图】本题考查简单三角恒等变换和函数中心对称性的概念.【解题思路】 可以考虑先降幂并研究降幂后的三角函数.可能会误认为本题是考查三角恒等变换.【解析】()22cos 1cos 2cos 21442f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而 cos 2sin 22x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且sin 2y x =为奇函数，因此函数()f x 是以()0,1中心对称的，于是()()2f x f x +-=，从而()53f m -=.当然也可以 另法： ()sin 21f x x =+，令()s i n 2g x x =，则()()113f g αα=+=，于是()23g α=-.从而()()()2511133f g g ααα-=-+=-+=+=. 15. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为__________. 解题探究：排列组合问题在高考中是以分类讨论为考查指向的.本题就是抓住分类的特征和限制条件.【解析】(1)法一：从16张不同的卡片中任取3张，共有316560C =种，其中有两张红色的有21412C C ⨯种，其中三张卡片颜色相同的有344C ⨯种，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为32131641244472C C C C -⨯-⨯=.法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有11144464C C C ⨯⨯=种，若2张颜色相同，则有21213244144C C C C ⨯⨯⨯=种；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有12114344192C C C C ⨯⨯⨯=种，若同色，则有11243472C C C ⨯⨯=种，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)．16. 如图,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点CB、C；并测量得到一些数据:2CD =,CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________. (其中cos 48.19︒取近似值23) 【命题意图】考查正余弦定理在实际中的简单应用.考查数形结合思想 和运算求解能力、应用意识.【解析ACD ∆中,30A ∠=︒,由正弦定理得sin sin AC CDD A=∠∠,代入数据解得AC =BCE ∆中,45B ∠=︒,由正弦定理得sin sin BC CEE B=∠∠,代入数据解得BC =.在ABC∆中,由余弦定理得2222cos48.19AB AC BC AC BC =+-⋅︒=10,即AB =【点评】高考中的解三角形应用问题基本上都取材自教材中的例练习题，属于模型既知的浅应用问题，与线性规划浅应用问题一致.解决这类问题的关键是确定相关的三角形，并运用正余弦定理确定边角.三、解答题:本大题共7小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知等差数列{}满足+=9，+=10；又数列{}满足++…++=，其中是首项为1，公比为的等比数列的前n 项和．（1）求 的表达式；（2）若，试问数列{}中是否存在整数k ，使得对任意的正整数n 都有≤成立？并证明你的结论．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3+a 4=9，a 2+a 6=10， ∴，解得， (2)∴a n =2+1×（n ﹣1）=n+1． ……..……………………3 （2）∵S n 是首项为1，公比为的等比数列的前n 项和， ∴nb 1+（n ﹣1）b 2+…+2b n ﹣1+b n =，①（n ﹣1）b 1+（n ﹣2）b 2+…+2b n ﹣2+b n ﹣1=…+，②图1图2BC ADP BD AS第18题图①﹣②得b 1+b 2+…+b n =，……..…………………4 即．当n=1时，b 1=T n =1，……..…………………5 当n≥2时，bn =T n ﹣T n ﹣1==． (6)∴．．于是c n =﹣a n b n． (7)设存在正整数k ，使得对∀n ∈N *，都有c n ≤c k 恒成立． 当n=1时，，即c 2＞c 1． (8)当n≥2时，==． (9)∴当n ＜7时，c n+1＞c n ； 当n=7时，c 8=c 7；当n ＞7时，c n+1＜c n ． (10)∴存在正整数k=7或8，使得对∀n ∈N *，都有c n ≤c k 恒成立．……..…………………12 18.(本小题满分12分)如图1,在△PBC中,︒=∠90C ,4=PC ,3=BC ,3:5:=DC PD ,PB AD ⊥.将△PAD 沿AD 边折起到SAD 位置,如图2,且使13=SB .(1) 求证:⊥SA 平面ABCD ；(2) 求平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值.【解题探究】本题平面几何的味道很浓. 本题第(1)问主要考查了利用相似三角形、直角三角形的性质证明线线垂直、线面垂直关系；第(2)问主要考查了如何利用二面角的平面角定义BCDASPM（或用空间向量）求解平面与平面所成锐二面角的余弦值问题.难点在于运用坐标法时点C 坐标的确定.【解析】(1)证明:在直角PBC ∆中,4=PC ,3=BC ,3:5:=DC PD ． 所以5=PB ,25=PD ,23=DC ． 又︒=∠=∠90C PAD ,P P ∠=∠,所以PAD ∆∽∆PCB ,即BCADPB PD PC PA ==． 所以2PD PCPA PB⋅==,3=-=PA PB AB ,32PD BC AD PB ⋅==． 而∆SAB 中,2==PA SA ,13=SB ．所以222SB AB SA =+,即AB SA ⊥．因为AD PB ⊥,所以AD SA ⊥,又A AD AB = ,所以⊥SA 平面ABCD ． (2)解法1:[传统法]在图2中,延长BA 、CD 相交于点P ． 连接SP ,取SP 中点M ,连接MD MA 、,如图． 又SA PA =,SD PD =,所以SP MA ⊥,SP MD ⊥． 所以AMD ∠为所求二面角的平面角． 又AD SA ⊥,PB AD ⊥,A PB SA = , 所以⊥AD 平面SPB ,又⊂MA 平面SPB , 所以MA AD ⊥．在直角SPA ∆中,2==SA PA ,M 为SP 中点,所以22=SP ,2=MA ．在SPD ∆中,由(Ⅰ)知25==SD PD,M 为SP 中点,所以MD==, 所以cos MA AMP MD ∠==,即平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值为17342. 注:若不利用MA AD ⊥这一结论,也可以利用余弦定理求出AMP ∠cos . 解法2:[向量法]以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -如图所示, 由(Ⅰ)知,2=PA ,3=AB ,23=AD ,2=SA , 所以()0,0,0A ,3,0,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,0,2S ,126,,055C ⎛⎫⎪⎝⎭,所以3,0,22SD ⎛⎫=-⎪⎝⎭,126,,255SC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 设平面SCD 的法向量为(),,x y z =n ,则SD SC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ,即32021262055x z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩,解得43x z y z ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, 令1z =,得()4,3,3=-n ,显然平面SAB 的一个法向量为3,0,02AD ⎛⎫=⎪⎝⎭．所以6cos ,32AD AD AD ⋅<>===⋅n n n． 即平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值为17342． 注：此题改编自选修2-1课本P119的B 组第3题，可以发现，教材原题考查的是无棱二面角.结合近两年的高考命题，要思考以下几个方面问题：（1）折叠前后的“变”与“不变”问题．在第一问的证明中，可以发现折叠前后“PA AD SA AD ⊥⇒⊥”垂直关系不变关系，已知条件中“且使13=SB ”给出线段的长度，往往利用“勾股定理”得到线线垂直的关系．（2）如何作 “无棱二面角”的棱的问题． 常见的有两种策略．一是根据“两条相交直线唯一确定一个平面”的定理，只需将所在平面的线段作延长线产生相交直线，从而找到“无棱二面角”的棱．二是根据“两条平行直线唯一确定一个平面”的定理，只需将所在平面的线段过两平面已知公共点作平行线，即可找到“无棱二面角”的棱.（3）学会将“局部图形平面化”的问题．此题在第（2）问的解答中，学生多数是使用的坐标法，难点在于如何求出点C 的坐标．在平时的教学中，要让学生养成将“局部图形平面化”的习惯，具体．方法1（相似比法）：在此题中，建系后，在求C 点的坐标时，可考虑画出底面ABCD ，从而比较容易想到利用相似比等方法求出C方法2（待定系数法）：待定系数法求点的坐标在立体几何的向量方法中是比较常见的方法，比如求平面的法向量．此题中，设C 点坐标为(,,0)c c x y （0,0c c x y >>），则3||2DC BC DC ⎧⊥⎪⎨=⎪⎩⇒000022003()(3)0239()24x x y y x y ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得125c x =，65c y =． 故C 点坐标为126,,055C ⎛⎫⎪⎝⎭． （4）解决空间角时综合法和坐标法如何选择的问题．从新课程标准的要求来看，立体几何中的空间角问题主要是让学生掌握向量的方法．特别是在解决“钝二面角”、“无棱二面角”、探究性问题时坐标法体现了其优越性． 19.(本小题满分12分)为考察某种病毒疫苗的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表疫苗效果试验列联表设从没服疫苗的动物中任取两只，未感染数为ξ；从服用疫苗的动物中任取两只，未感染为η，工作人员曾计算过38(0)(0)9P P ξη===. （1）求出列联表中数据,,,x y M N 的值； （2）求ξ与η的均值并比较大小，请解释所得出结论的实际含义；（3）能够以97.5%的把握认为疫苗有效吗？参考公式： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++参考数据：解析：（1）依题，∵ 220250(0)C P C ξ==，2250(0)xC P C ξ==∴2220225050389x C C C C =⨯，解之得10x =，所以40y =.从而30,70M N ==. （2）ξ，η取值为0,1,2.则依题有2112202030302225050503812087(0),(1),(2)245245245C C C C P P P C C C ξξξ=========从而3812087294012245245245245E ξ=⨯+⨯+⨯= 211210104040222505050980156(0),(1),(2)245245245C C C C P P P C C C ηηη========= 从而012245245245245E η=⨯+⨯+⨯=. 也即E E ξη<，其实际含义即表明这种病毒疫苗有效.（3）由题意，22100(800300) 4.7630705050K -=≈⨯⨯⨯ 由参考数据，23.841 5.024K <<，从而可知不能够以97.5%的把握认为此病毒疫苗有效. 【规律总结】高考对统计的考查注重考查考生恰当地收集数据、用图表整理数据，恰当地用数字特征描述数据做统计推断.其中列表作图以及计算数字特征，理解数字特征的实际意义是关键，要强化训练.20.(本小题满分12分) 已知椭圆221:182x y C +=与双曲线2222:12x y C b-= 在一、二、三、四象限分别交于A B C D 、、、四点，（1）求四边形ABCD 面积最大时双曲线2C 的方程；（2）当1b =时，两条平行直线1:l y kx m =+、2:l y kx m =-与双曲线2C 均相切，问x 轴上是否存在定点M ,使M 到12l l 、距离之积恒为1，如果存在求出M 点的坐标； 解：（1）假设点(,),0,0A x y x y >>，由对称性可知 四边形ABCD 面积4S xy =，因为2211822x y xy +=≥=，所以2xy ≤，48S xy =≤，当且仅当221,2,1822x y x y ====取等号， 所以四边形ABCD 面积最大值是8.将(2,1)A 代入2222:12x y C b -=得21b =，此时双曲线2C 的方程是2212x y -=； （2）当1b =时，双曲线2C 的方程是2212x y -=， 列方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消元得222(12)4220k x kmx m ----=， 2222168(12)(1)0k m k m ∆=+-+=，化简得：2221m k =-.假设(,0)M t ，则M 到直线1:l y kx m =+，到直线2:l y kx m =-距离是，1=，即222222221211k t m k k t k k -=+⇒-+=+.所以22(1)2k t +=或22(3)0k t -=，当230,t t -==22(3)0k t -=恒成立！所以存在定点(M ,使M 到12l l 、距离之积恒为1；21.(本小题满分12分) （原创）已知函数()1(0)mx f x e x m =--> （1）()0f x ≥在0x ≥上恒成立；求实数m 的取值范围； （2）探讨()f x 的零点个数.解：（1）设0t mx =≥ ，()0()10ttf xg t e m≥⇔=--≥ ①当1m ≥时，111()10tm g t e m m m-'=-≥-=≥ 得()g t 单调递增()(0)0g t g ⇒≥=②当01m <<时，0()00ln g t t m t '<⇔≤<-= 得：()g t 在0[0,]t 上单调递减0()(0)0g t g ⇒<=矛盾综上得：1m ≥（2）设0t mx =≥ ()0()10ttf xg t e m=⇔=--= 则1()tg t e m'=-0()0ln ()g t t t m g t '>⇔>=-⇒在0t t >上单调递增 0()0ln ()g t t t m g t '<⇔<=-⇒在0t t <上单调递减 ①当1m =时，0()()0()g t g t g t ≥=⇒有唯一零点0②当1m ≠时，01ln ()m mg t m+-=设1()1ln ()01mh m m m h m m m-'=+-⇒==⇒= 于是01m <<，()0h m >；当1m >，()0h m <则()h m 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减 所以0()(1)0()0h m h g t <=⇔<当1m >时，00t <，由(0)0()g g t =⇒在0(,)t +∞上有一个零点由00()0()t mt g t m e g t m--=->⇒在0(,)t -∞上有一个零点 当01m <<时，00t >由(0)0()g g t =⇒在0(,)t -∞上有一个零点 设2()(0)()(2)02t t F t t e t F t t t e t --'=>⇒=-=⇔=于是02t <<，()0F t >；当2t >，()0F t <则()F t 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减 得：224()(2)1t F t F e t e≤=<⇔> 211001111()10t t t t g t t mm=++>⇒>--> 得：()g t 在0(,)t +∞上有一个零点 综上得：当1m =时，()f x 有一个零点 当1m ≠时，()f x 有二个零点请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号.22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=,以极点为原点, 极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. (Ⅰ) 求直线l 与圆C 的直角坐标方程.(Ⅱ) 若P 为圆C 上的动点,求P 到直线l 的距离d 的最大值.【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程与直角坐标方程的掌握与运用，考查考生运算求解能力和对数形结合思想的运用.【解析】(Ⅰ)由于c o ss i n x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则直线l :4y x =+,圆C 的方程为()2224x y +-=………………4分(Ⅱ)[方法1]设()2cos ,22sin P αα+,则14d πα⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,当cos 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,d 取得最大值2……………………………………10分[方法2]圆心()0,2C 到直线l =,圆的半径为2,所以P 到直线l 的距离d 的最大值为2……………………………………10分23.(本小题满分10分)选修45-:不等式选讲已知函数()24f x x x =--+. (Ⅰ) 解不等式()0f x <；(Ⅱ) 任意x ∈R ,()2f x a a <+恒成立,求a 的取值范围. 【命题意图】本题考查简单的绝对值不等式的解法以及恒成立问题.。
【精品】2017学年广东省高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2=b2+ ac．
（1）求B的大小；
（2）求 cosA+cosC的最大值．
18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
A．100B．99C．98D．97
9．（5分）若不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式 ＜ 的解集为（ ）
A．（ ，+∞）B．（﹣∞，0）∪（ ，+∞）C．（ ，+∞）D．（﹣∞，0）∪（ ，+∞）
10．（5分）若变量x，y满足 ，则x2+y2的最大值是（ ）
A．4B．9C．10D．12
（1）证明：a，c，b成等差数列；
（2）求cosC的最小值．．
21．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn．
22．（12分）设函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2（a∈R）．
∵an＞0
∴a5=4
∴a2•a5•a8= =64
广东省广东实验中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文
广东省广东实验中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文本试卷分第一部分和第二两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第一部分（共100分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且MN =( )A ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ， 且满足b B a 3sin 2=，则角A 等于( ) A ．3π B ．4π C ．6πD ．12π3．各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为21，则=++543a a a （ ） A ．33 B ．72 C ．84 D ．1894．已知两直线m 、n ，两平面α、β，且βα⊂⊥n m ,．下面有四个命题： 1）若n m ⊥则有,//βα； 2）βα//,则有若n m ⊥； 3）βα⊥则有若,//n m ； 4）n m //,则有若βα⊥． 其中正确命题的个数是（ ）： A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．将函数)32sin(π+=x y 的图像向右平移12π=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：( ) A ．6π=x B ．4π=x C ．3π=x D ．2π=x6．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐 标，则点P 落在圆 1022=+y x 内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92 D ．3677．已知|a |=|b |=|b a -|=1,则|a +b 2|的值为（ ）． A ．7 B ．3 C ．1 D 5 8．右面的程序框图给出了计算数列{}n a 的前10项 和s 的算法，算法执行完毕后，输出的s 为（ ）A ．173B ．174C ．175D ．1769．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1/4 ,则该椭圆的离心率为 ( )A ． 1/3B ．1/2 C ．2/3 D ．3/4 10．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷,抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 ( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石二、填空题（每题5分，共10分）11．已知圆M :(x +1)2+y 2=1,圆N :(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C ，则C 的方程为____________12．将8进制的数字206（8）转化为2进制的数字为 ___________________(2)三、解答题（本大题共四题共40分，请在答题卷上写出必要的步骤）13．（10分）已知31cos 32cos sin 2)(2--+=x x x x f ，]2,0[π∈x(1) 求)(x f 的最大值及此时x 的值； (2) 求)(x f 在定义域上的单调递增区间。
2016-2017第1学期广州执信高二数学期中考(理科答案)
两式相减得
2Vn 3 32 33 n 3n 1 1 3 3 1 n 3n 1 2 2
所以
3n n 3n 1
， …………………..10
3 1 3n
3 n 1 …………………..11 Vn 3n 1 , 2 4 4 ． n 1 n 1 3 n n 1 Tn 3 …………………..12 4 2 2 4
14 7 由古典概型概率计算公式得：P（N）＝2）当 n 1 时，
S1
3 a1 1 3 a 4， 2 ，可得 1
…………………..1
由
Sn
3 3 an n 3 Sn1 an1 n 1 3 2 2 得 ， an 1 3 3 an 1 an 1 a 3an 2 ， 2 2 ，即 n1 …………………..3
参考答案 CAAAC DABCA AC 13. 1011001（2） 14．15.5, 15.74 15. 65.5 16．
2 6 , 2 3
4 3 4 17. 解： （1）因为 cos B ,0 B , 所以 sin B 1 cos 2 B 1 ( )2 , 5 5 5 „„2
AC sin C AC AB 由正弦定理知 ，所以 AB sin B sin B sin C
6 3 5
2 2 5 2.
„„„„4
（2）在三角形 ABC 中 A B C ，所以 A ( B C ). 于是 cosA cos(B C) cos( B
设事件 M 为“x∈（A∩B）”。又 x 在区间(－4,5)上任意地方取值是等可能的，是一个 3 1 几何概型，由几何概型的概率公式得：P（M）＝ ＝ ………………………………5 9 3 (2)依题意，(a，b)的所有可能的结果一共有 4×5=20 种，分别如下： (－3，－1)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)， (－2,3)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)， (0,3)，且(a，b)取以上 20 种中的任一种都是等可能的，是一个古典概型。 又 A∪B＝{x|－4<x<4}，……………………………8 因此“a－b∈（A∪B）”的所有可能的结果一共有以下 14 种： (－3，－1)，(－3,0)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)， (－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)． 设“a－b∈A∪B”为事件 N…………………..10
广东省执信中学高二数学上学期期中试题 理 新人教A版
2013-2014学年度第一学期高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|1}A x x =>，}02|{2<-=x x x B ，则A B ⋂=（ ）A.{|2}x x >B.{|02}x x <<C.{|12}x x <<D.{|01}x x << 2．下列函数中既是偶函数又在),0(+∞上是增函数的是（ ） A.1y x =B.1||+=x yC.ln ()x f x x= D.21y x =-+ 3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该三棱锥的体积是（ ） A ．31cm B ．32cm C ．33cmD ．36cm4．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-r r，且//a b r r ，则m 的值为 ( )A ．1B ．-1C ．4D ．-45．在等差数列}{n a 中，若前5项和205=S ，则3a 等于（ ） A ．4 B ．-4 C ．2D ．-26．已知直线b a ,与平面γβα,,，下列条件中能推出βα//的是（ ） A ．ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂ B ．γβγα⊥⊥且 C ．b a b a //,,βα⊂⊂D ．βα⊥⊥a a 且7.在区域20200x y x y y ⎧+-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为（ ） A ．2πB ．3π C ．6π D ．4π8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|e 2}xM x y y ==-③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x ==其中所有“好集合”的序号是( )A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④第二部分非选择题(共 110分)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．5cos4π的值为 ； 10．已知实数,x y 满足不等式组20y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么目标函数3z x y =+的最大值是 ； 11．执行如右图所示的程序框图，若输入n 的值为6， 则输出s 的值为 ；12．若22x y +=，则39xy+的最小值是 ； 13．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E,F 分别为线段AA 1、B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为____________；14．在正项等比数列{n a }中，,3,21765=+=a a a 则 满足n n a a a a a a ΛΛ2121⋅>++的最大正整数n 的值为___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25A =，3AB AC ⋅=u u u r u u u r ．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．16．（本小题满分14分）如图，圆锥SO 中，SO 垂直⊙O 所在的平面．AB 、CD 为底面圆的两条直径，O CD AB =I ，且CD AB ⊥，2==OB SO ，P 为SB 的中点．（I ）求证：//SA 平面PCD ； （Ⅱ）求圆锥SO 的表面积；（Ⅲ）求异面直线SA 与PD 所成角的正切值． 17．（本小题满分12分）设数列{a n }满足条件：对于n ∈N *，a n >0，且a 1=1并有关 系式：121+=+n n a a ．（Ⅰ）求证数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n }满足b n =)1(log 2+n a ，记nn n b b c 21+=，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．（本小题满分14分）已知圆4:22=+y x O 和点()()0,,1>a a M在圆上，求正实数a 的值，并求出切线方程；（Ⅱ）过点M 的圆的两条弦BD AC ,互相垂直，设21,d d 分别为圆心到弦BD AC ,的距离．①求2221d d +的值；②求两弦长之积||||BD AC ⋅的最大值．19．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）111C B A ABC -中，a AA AC AB 31===，a BC 2=，D 是BC 的中点，F 是1CC 上一点，且a CF 2=． （Ⅰ）求证：ADF F B 平面⊥1；（Ⅱ）求二面角F —AD —C 的正切值；（Ⅲ）试在1AA 上找一点E ，使得ADF BE 平面//,并说明理由． 20．（本小题满分14分）已知函数kx x x x f ++-=221)(，且定义域为（0，2）. （Ⅰ）求关于x 的方程kx x f =)(+3在（0，2）上的解；（Ⅱ）若)(x f 是定义域(0，2)上的单调函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围．16. 解：（I ）连结PO ， …………1分 ΘP 、O 分别为SB 、AB 的中点，SA PO //∴， …………2分 PCD SA PCD PO 平面平面⊄⊂,，//SA ∴平面PCD .…………4分（Ⅱ）22,2===SB l r 母线， …………5分ππ42==∴r S 底，ππ24==rl S 侧， …………6分π)12(4+=+=∴侧底表S S S . …………7分（Ⅲ）SA PO //Θ，DPO ∠∴为异面直线SA 与PD 所成角 (9)分O SO AB SO CD AB CD =⊥⊥I Θ,,,SOB CD 平面⊥∴,……11分PO OD ⊥∴.在DOP Rt ∆中，2=OD ，221==SB OP ，……12分 222tan ===∠∴OP OD DPO ， ∴异面直线SA 与PD 所成角的正切值为2. …………14分17. 证明：（I ）因为121+=+n n a a ，即得)1(211+=++n n a a ……2分 且211=+a ， ……3分故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，得n n n a 22211=⨯=+-，…4分 因此数列{a n }的通项为：12-=nn a ，……5分（Ⅱ）由n a b n n =+=)1(log 2，所以22+=+n b n ， ……6分 故 )211(21212+-=+=n n nn C n ……8分 所以n n n C C C C C C T ++⋅⋅⋅++++=-14321 =)211(21)1111(21)5131(21)4121(21)311(21+-++--+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n …10分 =)2111211(21+-+-+n n =812449322++++n n n n ……12分 18.解：（Ⅰ）由题意点Ｍ在圆上，0,412>=+∴a a 且得…… 1分…… 2分…… 4分于F E ,， …… 6分 则OEMF 为矩形，…… 9分当BD AC ,中有一条过圆心时，上式也成立 …… 10分②222142,42d BD d AC -=-=Θ…… 11分∴ )4()4(42221d d BD AC -⋅-=⋅102)4()4(42221=-+-⋅≤d d …… 13分（当且仅当21d d =时等号成立） …… 14分19.（I ）证明：由111为直三棱柱和，a AA 31==，a BC 2=，得2211115B F B C C F a =+=，2213AF AC CF a =+=，221118AB AB BB a =+=，得22211AB AF B F =+所以AF F B ⊥1, …… 2分由1CC ABC ⊥面，AD ABC ⊂面，得1CC AD ⊥, 由AB AC =及D 是BC 的中点得：AD BC ⊥,而1CC AD ⊥,1BC CC C =I ,∴11AD BCC B ⊥面,又111BF BCC B ⊂面,∴1AD B F ⊥…… 2分又AF F B ⊥1, AF AD A =I ,∴ADF F B 平面⊥1；…… 5分（Ⅱ）由(1)11AD BCC B ⊥面，而1111CD BCC B DF BCC B ⊂⊂面、面, ∴AD CD ⊥、AD DF ⊥所以CDF ∠为二面角F —AD —C 的平面角 …… 8分由直三棱柱可知：DCF ∠为直角，所以tan CDF ∠=22FC aCD a== …… 10分（Ⅲ）当a AE 2=时， ADF BE 平面//，证明如下： …… 11分 连结EF 、EC 交AF 于点M ，由2AE a CF ==，及//AE CF 可得： 四边形ACFE 为平行四边形。
2017-2018学年广东省广州市执信中学高二(上)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年广东省广州市执信中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的）.1．（5分）“ｘ＜1”是“３x＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不重要条件2．（5分）命题“?x≥0，有f（x）≥0成立”的否定形式是（）A．?x＜0，有f（x）＜0成立B．?x＜0，有f（x）≥0成立C．?x≥0，有f（x）＜0成立D．?x≥0，有f（x）＜0成立3．（5分）若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0）F2（3，0），则其离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）5．（5分）已知等差数列{a n}的公差为5，前n项和为S n，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=（）A．80 B．85 C．90 D．956．（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．67．（5分）在△ABC中，||=||=3，|+|=|﹣|，则?=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣8．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增9．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．210．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.12．（5分）已知0＜x＜，且tan（x﹣）=﹣，则sinx+cosx=．13．（5分）与双曲线x2﹣4y2=4有共同的渐近线，并且经过点（2，）的双曲线方程是．14．（5分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是．15．（5分）非零向量，的夹角为，且满足||=λ||（λ＞0），向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若?+?+?所有可能值中的最小值为42，则λ＝．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）.16．（10分）已知函数f（x）=sin（ωｘ﹣）（ω＞0）图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω的值和函数f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求sin（α+）的值．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n=（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2an+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．18．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=4c，B=2C （Ⅰ）求cosB（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积19．（12分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．20．（12分）如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是线段BC，PC的中点（1）证明：AE⊥PD（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．21．（12分）已知动点P与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣4的距离的比是1：2，记动点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设A是曲线E上的一个点，直线AF交曲线E于另一点B，以AB为边作一个平行四边形，顶点A，B，C，D都在轨迹E上，判断平行四边形ABCD能否为菱形，并说明理由；（Ⅲ）当平行四边形ABCD的面积取到最大值时，判断它的形状，并求出其最大值．2017-2018学年广东省广州市执信中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的）.1．（5分）“ｘ＜1”是“３x＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不重要条件【分析】解指数不等式求出x＜0，在根据必要条件的定义即可判断【解答】解：由3x＜1=30，解得x＜0，∴“ｘ＜1”是“３x＜1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了指数函数的性质和必要条件的定义，属于基础题2．（5分）命题“?x≥0，有f（x）≥0成立”的否定形式是（）A．?x＜0，有f（x）＜0成立B．?x＜0，有f（x）≥0成立C．?x≥0，有f（x）＜0成立D．?x≥0，有f（x）＜0成立【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?x≥0，有f（x）≥0成立”的否定形式是：?x≥0，有f（x）＜0成立．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．（5分）若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0）F2（3，0），则其离心率为（）A．B．C．D．【分析】先根据焦点坐标求得椭圆的半焦距c，进而根据原点到两焦点的距离求得长轴，进而求得a，最后根据e=求得答案．【解答】解：依题意可知2c=3﹣1=2，∴c=1原点到两焦点距离之和为2a=1+3=4，∴a=2∴椭圆的离心率为e==故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用了椭圆的定义．4．（5分）双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）【分析】先把双曲线方程化为标准形式，由离心率的范围求出k的取值范围．【解答】解：∵双曲线的离心率e∈（1，2），∴双曲线标准方程为：﹣=1∴k＜0，∴1＜e2＜4，1＜＜4，﹣12＜k＜0，故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程和离心率．5．（5分）已知等差数列{a n}的公差为5，前n项和为S n，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=（）A．80 B．85 C．90 D．95【分析】利用等比数列的关系式，求出等差数列的首项，然后求解数列的和即可．【解答】解：等差数列{a n}的公差为5，且a1，a2，a5成等比数列，可得a22=a5?a1，（a1+5）2=a1（a1+20），解得a1=，前6项和为S6=6×+=90．故选：C．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．6．（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．6【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x+3y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，由z=x+3y可得y=﹣x+z．则z为直线y=﹣x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，作直线L：x+3y=0，然后把直线L向可行域方向平移，当经过点B时，z最小由可得B（2，0），此时z=2故选：A．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．7．（5分）在△ABC中，||=||=3，|+|=|﹣|，则?=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【分析】利用向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可．【解答】解：在△ABC中，||=||=3，|+|=|﹣|，可得：=3（﹣2+），即：=．∵，∴=，∴?=（）=+=﹣+9=．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的运算法则的应用，考查计算能力．8．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．9．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．10．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△FPF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．【解答】解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率e==，故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用离心率公式和椭圆的定义：椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数2a．11．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．第11页（共21页）。
2017-2018学年广东省广东实验中学高二上学期期中考试数学理试题 无答案
广东实验中学 2017-2018学年高二（上）期中考试试题理科数学本试卷共4页．满分为150分。
考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只交回答题卡．第Ⅰ卷 （共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
请将正确答案填写在答题纸相应位置） 1．若集合{}{}3, 13x M y y N x y x ====-，则MN =（ ）A ．1[0,]3B ．1(0,]3C ．(0,)+∞D ．1(,]3-∞2．若函数f(x)对任意实数x 满足f(x-1)=-f(-x-5),则函数（ ）A ．f(x-4)是奇函数B ．f(x+1)是偶函数C ．f(x-3)是奇函数D ．f(x+2)是偶函数3．已知函数2)1a x+-f(x)=lg(是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数 B ．(－∞，＋∞)上的增函数 C ．(－1,1)上的减函数 D ．(－1,1)上的增函数4．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图像大致为（ ）5．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为321,,p p p ，则（ ） A ．321p p p <= B ．132p p p <= C ． 321p p p == D ．231p p p <= 6．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P(A ∪B)等于( )A ．12B ．23C ．13D ．257．已知样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y ()x y ≠，若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数(1)z ax a y =+-，其中0＜a ＜12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n ＜mB ．n ＞mC ．n ＝mD ．不能确定8．在832x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为（ ）A ．1024B ．1324C ．1792D ．-1080 9．在如图所示的程序框图中,当输入实数x 的值为4时,输出的结果为2;当输入实数x 的值 为-2时,输出的结果为4.若输出的结果为8,则输入的x 的值为（ ）A ． -3或256B ．3C ．256D ．16 或-310．小萌从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) A 45. B ．35 C ．25 D ．1511．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f(x)＝x 2＋2ax －b 2＋π2 有零点的概率为( )A ．π4B ．4π－1C ．4πD ．1－π4 12．对于函数f(x)与g(x),若存在{}{}x |()0,x |()0,R f x R g x λμ∈∈=∈∈=使得|-|1λμ≤，则称函数f(x)与g(x)互为“零点接近函数”，现已知函数22()3()4x f x e x g x x ax x -=+-=--+与互为“零点接近函数”，则实数a 的取值范围 （ ）A ．[]3,4B ．[]1,3C ． []4,5D ． []1,2第Ⅱ卷 （共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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2017年广东省广州市执信中学高二理科上学期数学期中考试试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. “”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 命题“，有成立”的否定形式是
A. ，有成立
B. ，有成立
C. ，有成立
D. ，有成立
3. 若椭圆经过原点，且焦点为，，则其离心率为
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的离心率，则的取值范围是
A. B.
C. D.
5. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列，则
A. B. C. D.
6. 变量，满足约束条件则目标函数的最小值为
A. B. C. D.
7. 在中，，，则
A. B. C. D.
8. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数
约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）
A. B. C. D.
9. 已知函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个
单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递减
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上单调递增
10. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
A. B. C. D.
11. 椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径
的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
12. 已知函数函数，其中．若函数
恰有个零点，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知，且，则．
14. 与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是．
15. 四棱锥的底面是边长为的正方形，且，若一个半径为
的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是．
16. 非零向量，的夹角为，且满足，向量组，，由一个和两个
排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为，则．
三、解答题（共6小题；共78分）
17. 已知函数图象上相邻两个最高点的距离为．
（1）求的值和函数的对称轴方程；
（2）若，求的值．
18. 已知数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，．
（1）求的值；
（2）若，点为边上一点，且，求的面积．
20. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，
两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
21. 如图所示，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，，，
分别是线段，的中点．
（1）证明：；
（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．
22. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为
曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上的一个点，直线交曲线于另一点，以为边作一个平行四边形，顶点，，，都在轨迹上，判断平行四边形能否为菱形，并说明理由；
（3）当平行四边形的面积取到最大值时，判断它的形状，并求出其最大值．
答案
第一部分
1. B 【解析】由，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件．
2. D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，有成立”的否定形式是：，有成立．
3. C 【解析】依题意可知，所以，
原点到两焦点距离之和为，所以，
所以椭圆的离心率为．
4. A 【解析】因为，，所以，由，解得．
5. C
【解析】由题意，得，
解得，
所以．
6. A 【解析】如图，作出不等式组所表示的平面区域，
由可得．
则为直线在轴上的截距，截距越小，越小，作直线，然后把直线向可行域方向平移，当经过点时，最小，
由可得，此时．
7. C 8. D 【解析】由题意：，，
根据对数性质有：，
所以，
所以．
9. B 10. B
【解析】由三视图可得直观图，
在四棱锥中，
最长的棱为，
即．
11. D 【解析】设线段的中点为，另一个焦点，
由题意知，，又是的中位线，
所以，，由椭圆的定义知，
又，又，
直角三角形中，由勾股定理得：，
又，可得，
故有，由此可求得离心率．
12. D 【解析】函数有个零点，即方程有四个不同的实根，函数和函数的图象关于直线对称，画出它们的图象如图所示，其中红色线表示的是的图象，
分析知，当时，，当时，
，再由对称性，可以画出函数在上的图象，如图所示，
结合图象分析，显然当时，有四个不同的实根．
第二部分
13.
【解析】因为，所以，则，
又，所以解得，，
则．
14.
【解析】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，
因为该双曲线经过点，所以．
所以所求的双曲线方程为：，整理得：．
15.
【解析】由题意，四棱锥是正四棱锥，球的球心在四棱锥的高上；
过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示：
其中，是斜高，为球面与侧面的切点，
设，由几何体可知，，
，解得．
16.
【解析】，，
向量组，，共有种情况，即，，，向量组，，共有种情况，即，，，
所以所有可能值有种情况，即，，
因为所有可能值中的最小值为，
所以或解得．
第三部分
17. （1）函数图象上相邻两个最高点的距离为，
所以，
所以，．
令，求得，可得函数的对称轴方程为，．（2）若，
所以，且为锐角，
所以．
所以
18. （1）由，得．
当时，．
适合上式，
所以，．
（2），
设数列的前项和为，
则
19. （1）由题意，
则，
所以，
所以．
（2）因为，，
所以，
由余弦定理得，，
则，
化简得，，
解得或（舍去），
由得，，
由，
得，
所以的面积．
20. （1）焦点，则的方程为，与联立，从而有，
，
由抛物线定义得，
由已知，得，
解得．
即抛物线方程是．
（2）由知为，
解得，，
从而，．
设
．
所以，
由，得，
即，
解得或．
21. （1）因为四边形是菱形，，
所以为正三角形，
因为为的中点，
所以，
又因为，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）设，为上任意一点，连接，，
由（）知平面，则为与平面所成的角．
在中，，
所以当最短即时，最大．
此时，
所以，
又因为，
所以，
所以，
由（）知，，两两互相垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
又因为，分别为，的中点，
所以，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则即
取，则，
因为，，平面，，
所以平面，即平面，
所以平面的一个法向量为，
所以，
因为二面角为锐二面角，
所以所求二面角的余弦值为．
22. （1）设动点，
因为动点到定点的距离和它到直线的距离之比是为常数，
所以由题意，得，
化简整理得的方程为．
所以曲线的方程为．
（2）如图，
直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，点，，联立方程，
得，
所以，．
若四边形为菱形，则，
即，
所以，
又，
所以，得到，显然这个方程没有实数解，故四边形不能是菱形．
（3）由题，而，
又，
即，
由（）知，．
所以
因为函数，，在时，，
所以的最大值为，此时，即时，此时直线轴，即是矩形．
第11页（共11 页）。