2019届高考数学第二轮综合限时练习题30
高考数学第二轮复习精品资料压轴题
高考数学第二轮复习 压轴题高考坚持“有利于高校选拔人才，有利于中学实施素质教育，有利于高校扩大办学自主权”的命题原则，坚持“考查基础知识的同时,注重考查能力”，这决定了每套高考试卷都有一道或几道把关的题目，我们称之为压轴题.这类题目的分值稳定在14分左右，多以传统的综合题或常用题型，与高等数学有关知识或方法联系比较紧密.如结合函数、不等式、导数研究无理型、分式型、指对数型以及多项式函数等初等函数的图像与性质，或数列兼考查数学归纳法，或以解析几何为主的向量与解析几何交汇，或以上三类题互相交汇形成新的综合问题，这类题目综合性强，解法多，有利于高校选拔.第一讲 函数、不等式与导数型压轴题【调研1】设21()log 1x f x x +=-,1()()2F x f x x=+- (1)试判断函数()y F x =的单调性，并给出证明；(2)若()f x 的反函数为1()f x -,证明 对任意的自然数(3)n n ≥,都有1()1nf n n ->+； (3)若()F x 的反函数1()F x -,证明 方程1()0F x -=有惟一解.分析：第（1）问先具体化函数()y F x =后，再判断单调性，而判断单调性有定义法和导数法两条途径；第（2）问先具体化1()f n -，再逐步逆向分析，寻找不等式的等价条件，最后转化为不等式212nn >+的证明问题；第（3）问应分“存在有解”和“唯一性”两个方面证明. 解析：（1）∵21()log 1x f x x +=-，1()()2F x f x x =+- ∴211()log 12x F x x x+=+-- ∴函数()y F x =的定义域为(1,1)-.解法一：利用定义求解 设任意1x ，2x (1,1)∈-，且12x x <，则21()()F x F x -＝212222111111(log )(log )2121x x x x x x +++-+---- ＝212221211111()(log log )2211x x x x x x ++-+-----＝211221212(1)(1)log (2)(2)(1)(1)x x x x x x x x --++--+- ∵210x x ->，120x ->，220x -> ∴1212(1)(1)0(1)(1)x x x x -+>+-∴211221212(1)(1)log 0(2)(2)(1)(1)x x x x x x x x --++>--+- ∴函数()y F x =在(1,1)-上是增函数解法二：利用导数求解∵211()log 12x F x x x+=+--∴()F x '＝22121(1)ln 2(1)(2)x x x x -⨯++--＝2221ln 2(1)(2)x x +⨯--又∵11x -<< ∴()F x '＝22210ln 2(1)(2)x x +>⨯--∴函数()y F x =在(1,1)-上是增函数 (2) 由21()log 1x f x x +=-得121y x x +=-，即2121y y x -=+ ∴121()21x x f x --=+（x R ∈）∴121()21n n f n --=+＝2121n -+∵1111n n n =-++∴证明不等式1()1n f n n ->+（3n ≥），即证222122n n <++，也即证212nn >+（3n ≥） 以下有两条求证途径：解法一：利用数学归纳法求证①当3n =时，不等式显然成立. ②设n k =时成立，即212kk >+当1n k =+时，12222(12)k k k +=⨯>+＝42222k k k +=++232(1)1k k >+=++ ∴当1n k =+时不等式也成立.由①②可知，对利用大于或等于3的自然数都有212nn >+成立.∴证明不等式1()1nf n n ->+（3n ≥） 解法二：利用放缩法求证∵2(11)112221n n n n n n =+=++++=+>+…∴等式1()1n f n n ->+（3n ≥） 故：1()1n f n n ->+ (3)∵ 211(0)log 122F =+= ∴11()02F -=，即12x =是1()0F x -=的一个根.假设1()0F x -=另外还有一个解0x （012x ≠），则10()0F x -=∴0(0)F x = (012x ≠)，这与1(0)2F =相矛盾 故1()0F x -=有惟一解.【方法探究】证明不等式的方法很多，其中分析法和综合法是最基本的方法.分析法由果索因，优点是便于寻找解题思路，而综合法由因索果，优点是便于书写，所以我们在求解过程中，常常两种方法联合作战，从而衍生出“分析综合法”，在本例第（2）问以及下例第（2）问都中有所体现.【技巧点拨】对于压轴题，大多数同学都不能完全解答，如何更好发挥，争取更好的成绩？“分步解答”、“跳步解答”与“解准第一问”是很实用的夺分技巧，其中分析综合题的各小问之间的关系是非常关键.从各小问之间的相互关系来分，数学综合题有以下三类： （1）递进型 递进型解答题是指前问是后问的基础，只有前问正确解答，才能准确求解后问，若第（1）问出错，则可能“全军覆没”，这也是相当多同学不能很好发挥其数学水平的重要原因.对于这类题目，“解准第一问”是至关重要，不容丝毫的马虎.（2）并列式 并列型解答题是指前问与后问关联性不强，前问是否正确，不会影响后问作答，如本例的三个问题.但这类题目也容易丢分，同学们在作答时，常常因为前问不会答而放弃后问的分析与思考，这时“跳步解答”非常关键.（3）混合式 混合型解答题是指解答题有三个及其以上的小问，兼有以上两种类型的特点，答题时注意“分步解答”，如本例万一不会求解第（2）问，具体化1()f n -是没有问题的，争取得到一定的步骤分.【调研2】已知函数22()ln f x x a x x=++（0x >），()f x 的导函数是()f x '对任意两个不相等的正数1x 、2x 求证：（1）当0a ≤时，1212()()()22f x f x x xf ++>；（2）当4a ≤时，1212()()f x f x x x ''->-. 分析：本例以高等数学的函数凸凹性、一致连续性、中值定理等知识为内核，综合考查函数的基本性质、导数求函数极值和均值不等式等知识的应用，考查综合分析、推理论证以及运算能力.第（1）问先根据题设条件具体化12()()2f x f x +、12()2x x f +的表达式，再对二者进行比较，可以逐项比较，也可以作差比较；第（2）问先具体化12()()f x f x ''-，再逐步逆向分析，采用分析法寻找解题思路，至于书写可用分析法，也可以用综合法. 解析：（1）∵()22ln f x x a x x =++∴()()()()1222121212111ln ln 222f x f x a x x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭ ()2212121212x x x x a x x +=+++2121212124ln 222x x x x x x f a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 以下有两条求解途径：解法一：逐项比较法122x x +<∴12ln 2x x +< ∵0a ≤∴12ln 2x x a a + ………………………………①∵()()22222212121212112242x x x x x x x x +⎛⎫⎡⎤+>++= ⎪⎣⎦⎝⎭……………………………………② 又∵()()2221212121224x x x x x xx x +=++> ∴1212124x x x x x x +>+ ………………③ 由①、②、③得()22212121212121422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++++ ⎪+⎝⎭∴ ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭解法二：作差比较法()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭＝()22212121212121214[[()ln ]222x x x x x x x x a a x x x x ++++++-+++＝22212121212121214[()()]()(ln )222x x x x x x x x a a x x x x ++++-+-++＝221212121212()1()4()x x x x a x x x x --+++ ∵12x x ≠，且10x >，20x > ∴2121()04x x ->，2121212()0()x x x x x x ->+，1201<<∵0a ≤∴12ln0a ≥∴()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭＝221212121212()1()04()x x x x a x x x x --++>+ 故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭0>（2）证法一：分析综合法由()22ln f x x a x x =++，得()'222a f x x x x=-+ ∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+- 欲证()()''1212f x f x x x ->- ，只需证()12221212221x x ax x x x ++->即证()1212122x x a x x x x +<+成立 ∵()121212122x x x x x x x x ++>+设t =，()()240u t t t t =+>，则()242u t t t '=- 令()0u t '=得t =()4u t a ≥=>≥ ∴()1212122x x x x a x x ++> ∴对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有()()''1212f x f x x x ->-证法二：综合法1 对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有()1212122x x x x x x ++>12x x＝12x x +3≥3 4.5a >> ∴ ()12221212221x x a x x x x ++->而()'222a f x x x x =-+ ∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x a x x x x x x +-⋅+-12x x >- 故：()()''1212f x f x x x ->- 证法三：综合法2由()22ln f x x a x x =++，得()'222a f x x x x=-+ ∴()()''12f x f x -＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x a x x x x x x +-⋅+- ∵12,x x 是两个不相等的正数∴()()123221212122422x x aax x x x x x ++->+-()312442x x ≥+-设t =，()()322440u t t t t =+->，则()()'432u t t t =-，列表： ∴38127u => 即 ()12221212221x x ax x x x ++-> ∴()()()12''12121222121222x x af x f x x x x x x x x x +-==-⋅+->- 【方法探究】本例以高等数学中的函数凸凹性与中值定理为知识载体，所以也可以采取高等数学方法求解： （1）当0a ≤时，求证1212()()()22f x f x x xf ++>，联系凹（下凸）函数性质知，只需证明当0a ≤时，只需证明22()ln f x x a x x=++（0x >）为凹函数或下凸函数. 即证明“函数)(x f 的二阶导数恒大于0”其具体证明如下：∵22()ln f x x a x x =++（0x >）∴22()2a f x x x x '=-+，324()2a f x x x''=+-∵0x >，0a < ∴324()20af x x x''=+->在(0,)x ∈+∞时恒成立.∴22()ln f x x a x x =++（0x >）为凹函数 故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（2）为证明|||)()(|2121x x x f x f ->'-'，可以考虑对函数()f x 的导函数是()f x '在闭区间12[,]x x （或21[,]x x ）上应用中值定理，具体证明过程如下：不妨设210x x >>，则由（1）问知22()2a f x x x x '=-+，324()2af x x x''=+-，在闭区间12[,]x x 上，由中值定理有，存在[]21,x x ∈ξ，使得： ))(()()(2121x x f x f x f -''='-'ξ.下证当4a ≤，0ξ>时，有()1f ξ''>成立∵324()2a f x x x ''=+-∴当0a ≤，0x >时，有324()22af x x x ''=+->恒成立 当04a <≤，0x >时，令324()2()a f xg x x x ''=+-=，则34212()a g x x x'=-再令34212()0a g x'=-=，得6x =列表如下：即当04a <≤，0x >时，有33324438()222110810827a a f x x x ''=+-≥->-=>∴1)(04>''>≤ξξf a 时，有，当，有212121)()()(x x x x f x f x f ->-⋅''='-'ξ故()()''1212f x f x x x ->-1.已知32()2f x x bx cx =+++（1）若()y f x =在1x =时有极值－1，求b ，c 的值.（2）当b 为非零实数时，证明()f x 的图像不存在与直线2()10b c x y -++=平行的切线；（3）记函数|()|f x '（11x -≤≤）的最大值为M ，求证32M ≥. 2.已知函数()ln(1)(1)x f x a e a x =+-+，2()(1)(ln )g x x a x f x =---且()g x 在1x =处取得极值. (1)求a 的值和()g x 的极小值； (2)判断()y f x =在其定义域上的单调性, 并予以证明；(3)已知△ ABC 的三个顶点A 、B 、C 都在函数()y f x =的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证△ABC 是钝角三角形， 但不可能是等腰三角形．【参考答案】解析：（1）∵32()2f x x bx cx =+++ ∴2()32f x x bx c '=++ 由()f x 在1x =时有极值－1有(1)320(1)121f b c f b c '=++=⎧⎨=+++=-⎩，解之得15b c =⎧⎨=-⎩当1b =，5c =-时，2()325f x x x '=+-当1x >时，()0f x '>，当513x -<<时，()0f x '< 从而符合在1x =时，()y f x =有极值 ∴1b =，5c =-（2）假设()y f x =图象在x t =处的切线与直线2()10b c x y -++=平行，则 ∵2()32f t t bt c '=++，直线2()10b c x y -++=的斜率为2c b -∴2232t bt c c b ++=-，即22320t bt b ++=∵0b ≠ ∴△＝2224(3)80b b b -=-<从而方程22320t bt b ++=无解，即不存在t ，使22()32f t t bt c c b '=++=-∴()y f x =的图象不存在与直线2()10b c x y -++=平行的切线.（3）证法一：分类讨论∵|()|f x '＝22|3()()|33b b xc ++-∴①若||13b ->，则M 应是|(1)|f '-和|(1)|f '中最大的一个∴2|(1)||(1)|M f f ''≥-+＝|32||32|b c b c -++++|4|b ≥12> ∴362M >≥②当30b -≤<时，2|(1)||()|3b M f f ''≥-+-＝2|32|||3b b c c -++-2|23|3b b ≥-+＝21|(3)|3b -3> ∴32M ≥ ③当03b <≤时，2|(1)||()|3b M f f ''≥+-＝2|32|||3b bc c +++-2|23|3b b ≥++＝21|(3)|3b +3> ∴32M ≥综上所述，32M ≥成立.证法二：利用二次函数最值求解2()32f t t bt c '=++的顶点坐标是（3b -，332b c -），①若||13b->，则M 应是|(1)|f '-和|(1)|f '中最大的一个 ∴2|(1)||(1)|M f f ''≥-+＝|32||32|b c b c -++++|4|b ≥12> ∴362M >≥②若||13b -≤，则M 应是|(1)|f '-、|(1)|f '、|332b c -|中最大的一个（1）当32c ≥-时，2|(1)||(1)|M f f ''≥-+|(1)(1)|f f ''≥-+＝|62|3x +≥ ∴32M ≥ （2）当32c <-时， 23||3c b M -≥＝2332b c c -≥->综上所述，32M ≥成立. 证法三：利用绝对值不等式的性质∵函数|()|f x '（11x -≤≤）的最大值为M ∴|(1)|M f '≥-，|(1)|M f '≥，|(0)|M f '≥∴4|(1)||(1)|2|(0)|M f f f '''≥-++|(1)(1)2(0)|f f f '''≥-+-＝6 ∴32M ≥ 2.解析：（1）∵2()(1)(ln )g x x a x f x =---∴1()2(1)1a a g x x a x x+'=---++（0x >） ∵()g x 在1x =处取得极值 ∴(1)2(1)102ag a a '=---++=，即8a =∴()8ln(1)9xf x e x =+- 2()78ln(1)9ln g x x x x x =--+-89(1)(3)(23)()271(1)x x x g x x x x x x --+'=--+=++（0x >） 令(1)(3)(23)()0(1)x x x g x x x --+'==+得1x =或3x =当13x <<时，()0g x '<，当01x <<时，()0g x '>当3x >时，()0g x '> ∴当3x =时，min ()9ln38ln 412g x =-- （2）∵()8ln(1)9x f x e x =+-∴89()9011xx xe f x e e--'=-=<++恒成立，即函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调减函数. （3）设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x ，且123x x x <<，则123()()()f x f x f x >>，1322x x x +=∴1212(,()())BA x x f x f x =+-，3232(,()())BC x x f x f x =-- ∴12321232()()[()()][()()]BA BC x x x x f x f x f x f x ⋅=--+-⋅-∵120x x -<，320x x ->，12()()0f x f x ->，32()()0f x f x -< ∴0BA BC ⋅< 故B 为钝角，△ABC 为锐角三角形.另一方面，若ABC ∆为等腰三角形，则只能是BA BC = 即222212123232()[()()]()[()()]x x f x f x x x f x f x -+-=-+- ∵2132x x x x -=-，221232[()()][()()]f x f x f x f x -=- ∴1223()()()()f x f x f x f x -=-，即13)()()f x f x f x =+22(∵()8ln(1)9x f x e x =+- ∴21221316ln(1)188[ln(1)(1)]9()x x xe x e e x x +-=++-+ ∴132122ln(1)ln(1)x x x x xe e e e ++=+++，即22122222x x x x x e e e e e +=++∴3212x x x ee e =+，但与3122x x x e e e +≥==相矛盾，所以ABC ∆不能为等腰三角形.综上所述，△ABC 是钝角三角形， 但不可能是等腰三角形.第二讲 递推数列、数学归纳法型压轴题数列和数学归纳法是初等数学与高等数学的最重要衔接点之一，是中学数学的重要组成部分，涉及知识面广、综合性强、方法灵活、试题新颖、技巧性突出，蕴含函数与方程，等价转化、分类与整合等数学思想以及错位相减法、归纳－猜想－证明、叠加（乘）法、叠代法、裂项法等大量的数学方法，是代数计算与逻辑推理训练的重要题材，因而这类题目多以压轴题的形式出现，成为高考的重头戏之一.【调研1】已知函数)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的R b a ∈,, 都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+.若1()12f =，(2)n n f a n-=（n N *∈），求①.数列{}n a 的通项公式；②.数列{}n a 的前n 项和为n S ，问是否存在正整数m ，使得对任意的*n N ∈都有43n m S -<成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，则说明理由.分析: 求解本题的关键在于准确求解第（1）小问，所以准确化简(2)n f -成为求解本例的焦点.大致有以下三条途径：①.由已知条件()()()f a b af b bf a ⋅=+探索)(n a f 的规律，最后用数学归纳法证明； ②.将所给函数关系式适当变形, 根据其形式特点构造另一个函数, 设法用此函数求出)(n a f ； ③.设法将(2)n f -转化为熟悉的数列. 解析:（1）解法一：“归纳－猜想－证明”法∵对于任意的R b a ∈,, 都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+∴2()f a ＝()()a f a a f a ⋅+⋅＝2()a f a ⋅3()f a ＝22()()a f a a f a ⋅+⋅＝22()()a a f a a f a ⋅⋅+⋅＝23()a f a 4()f a ＝33()()a f a a f a ⋅+⋅＝233()()a a f a a f a ⋅⋅+⋅＝34()a f a猜想1()()n n f a na f a -=⋅ （n N *∈）现在用数学归纳法证明： ①.显然1n =时，左边＝()f a ，右边＝111()a f a -⨯⋅＝()f a ∴1n =时，命题1()()n n f a na f a -=⋅显然成立. ②.设n k =（*k N ∈）时有1()()kk f a kaf a -=⋅当1n k =+时 ∵()()()f a b af b bf a ⋅=+∴1()k f a +＝()k f a a ⨯＝()()k k a f a a f a ⋅+⋅＝1()()k k a f a a ka f a -⋅+⋅⋅＝()()k k a f a ka f a ⋅+⋅＝(1)()k k a f a +⋅∴1n k =+时，命题1()()n n f a na f a -=⋅成立.由①②可知，对任意n N *∈都有1()()n n f a na f a -=⋅（n N *∈）成立.又∵1()12f =∴11111[()]()()(2)1222()2n n nn n f n f f a n n n ---⋅====故数列{}n a 的通项公式n a ＝11()2n -解法二：构造函数法 ∵当0≠⋅b a 时，有()()()f a b af b bf a ⋅=+ ∴bb f a a f ab ab f )()()(+= 令()()f x g x x =，则bb f a a f ab ab f )()()(+=即为: ()()()g ab g a g b =+∴()()ng a n g a =⋅ 即()()n nf a ng a a=⋅ ∴1()()()()nnnn f a f a a n g a a n na f a a-=⋅⋅=⋅⋅=⋅，即1()()n n f a na f a -=⋅余下的过程同解法一. 证法三: 转化为特殊数列求解∵对于任意的R b a ∈,, 都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+，1()12f =∴1[()]2n f ＝111[()]22n f -⨯＝111111[()]()()2222n n f f --⨯+⨯＝11111[()]()222n n f --⨯+即1[()]2n f ＝11111[()]()222n n f --⨯+ ∴1111[()][()]222()()22n n n n f f --=+ ∴新数列1[()]21()2n n f ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为2，首项为1()2212f =的等差数列，即1[()]221()2n n f n = ∴11()2(2)12()2n nn n n f a n n --⨯=== 故数列{}n a 的通项公式n a ＝11()2n -.（2）假设存在正整数m ，使得对任意的*n N ∈都有43n m S -<成立，则由（1）问可知111()2n n S -=-，所以1141()23n m ---<恒成立∴413m -≥，即7m ≥ 故存在正整数m ，使得对任意的*n N ∈都有43n m S -<成立，此时m 的最小值为7.【方法探究】本例是已知抽象函数关系, 利用函数迭代求数列通项问题.在所给的三种方法之中, 解法一利用“归纳－猜想－证明”求解，思路自然, 但较为繁琐；解法二利用构造函数法求解，比较简洁，但技巧性强；解法三转化为特殊数列求解，思维跨度大.这三种证法反应出求解数列与函数综合题的共同规律: 充分应用已知条件变形转化, 根据其形式特点构造新的数列, 然后利用数列的性质求解.【调研2】已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-=（*n N ∈）（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较nb 1与1+n S 的大小. 分析：（1）由方程027122=+-x x 可求2a 、5a ，从而得到等差数列{}n a 的通项；由公式1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解数列{}n b 的通项.（2）要比较n b 1与1+n S 的大小，应先由（1）问具体化nb 1、1+n S ，再求出前几项，探索大小规律， 最后用数学归纳法证明.解析：（1）∵2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，公差d 大于0∴2a =3，5a =9，即5223a a d -==，11a = ∴21n a n =-（*n N ∈） ∵数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-=（*n N ∈）∴当1n =时，111112T b b ==- ∴321=b当2≥n 时，∵n n b T 211-= ∴111122n n n n n b T T b b --=-=-∴113n n b b -=（2n ≥），即1212()333n n n b -==故21n a n =-，1212()333n n n b -==（2）解法一：归纳－猜想－证明由（1）可知2[1(21)]2n n n S n +-==，132n n b = ∴21(1)n S n +=+ 当1n =时，1132b =，24S = ∴211S b <当2n =时，2192b =，39S = ∴321S b <当3n =时，31272b =，416S = ∴431S b <当4n =时，41812b =，525S = ∴541S b >当5n =时，512432b =，636S = ∴651S b >猜想：4≥n 时，11+>n n S b以下用数学归纳法证明：（1）当4n =时，由上可知成立.（2）设n k =（*,4k N n ∈≥）时，11+>k kS b ，即2)1(23+>k K 当1n k =+时，11k b +＝132k +＝332k ⋅23(1)k >+2363k k =++＝22(44)221k k k k ++++-2(1)1[(1)1]k k S ++>++=∴当1n k =+时，11+>n nS b 成立.由（1）（2）知n N *∈，4n ≥时，11+>n n S b .综上所述，当1n =，2，3时，11+<n n S b ，当4≥n 时，11+>n nS b .解法二：放缩法证明当1n =，2，3时，同以上解法 当n N *∈，4n ≥时1nb ＝32n ＝1223311(12)(1222)22n n n n C C C +>+⋅+⋅+⋅＝1(1)(1)(2)[1248]226n n n n n n ---++⋅+⋅ ≥18[126(1)]23n n n n +++-＝281636n n ++221n n >++1n S += 综上所述，当1n =，2，3时，11+<n n S b ，当4≥n 时，11+>n nS b . 【方法探究】通过对有限个特例进行考察，猜想一般的结论，然后运用数学归纳法证明，即“观察――猜想――证明”，这是中学数学中重要的解题方法，可有效解决探索性问题、存在性问题或某些与自然数有关的命题，在求解时注意“猜想大胆、求证小心”.【技巧点拨】放缩法是证明不等式的常用方法，过程简洁，但有一定难度，犹如花中的玫瑰，美丽但有刺. 成功运用放缩法求证的关键在于把握放缩尺度，在平时训练中注意多积累与整理.常见的放缩技巧有：（1）添项或减项的“添舍放缩”，如本例12233113(1222)22n n n n C C C ⨯>+⋅+⋅+⋅，只取(21)n +的二项展开式的前四项进行放缩；（2）拆项对比的“分项放缩”；（3）运用分数的性质放缩，如①分子增加正数项或分母减少正数项，分数值变大，反之变小；② a, b, m 都是正数并且a b <，有a a mb b m+<+（真分数的性质）等. （4）运用不等式串)1(11)1(12-<<+n n n n n 放缩，如在第3讲例2第（2）问中求证23π<n T 时，运用该技巧放缩后，再裂项相加求解.类似的不等式有2()4a b ab +≤≤ 222a b +，<<等. 1.已知函数()2x f x m t =⋅+的图象经过点A （1，1）、B （2，3）及C （n S n ,），n S 为数列{}n a 的前n 项和，*n N ∈. （1）求n S 及n a ；（2）若数列{}n b 满足22log 1n n b a =+，记11122334111111ni i i n n b b b b b b b b b b =++=++++∑（*n N ∈）求证：1111132n i i i bb =+≤<∑. 2.第七届国际数学教育大会的会徽的主体是由一连串直角三角形演变而成，其中OA ＝AB ＝BC ＝CD＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ＝HI ＝1.若将图2的直角三角形继续作下去，并记OA 、OB 、… 、OI 、…… 的长度所构成的数列为{}n a （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）若函数22212111()nf n n a n a n a =+++++…+，求函数()f n 的最小值； （3）设11n n nb a a +=+，数列｛n b ｝的前n 项和为n S .解不等式|2|4n S -≥3.已知一次函数)(x f 的反函数为)(x g ，且(1)0f =，若点1(,)n n na A n a +（n N *∈）在曲线)(x g y =上，11=a ，对于大于或等于2的任意自然数n 均有111=--+n nn n a a a a . （1）求)(x g y =的表达式；（2）求}{n a 的通项公式；O AB C DE F G H I图1图2（3）设)!2(!4!321++++=n a a a S n n ，求lim n n S →∞. 4.已知数列{}n a 与{}n b 满足下列关系：12a a =（0a >），211()2n n na a a a +=+，n n n a ab a a +=-（n N *∈）（1）求数列{}n b 的通项公式，并化简aa aa n n --+1；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2≥n 时，n S 与a n )34(+是否有确定的大小关系？若有，请并加以证明，若没有，请说明理由.【参考答案】1.解析：（1）∵函数()2x f x m t =⋅+的图象经过点A （1，1）、B （2，3） ∴2143m t m t +=⎧⎨+=⎩ 解之得11m t =⎧⎨=-⎩ ∴()21x f x =-∵函数()2x f x m t =⋅+的图象经过C （n S n ,） ∴21n n S =-（*n N ∈） ∴当1n =时，111S a ==当2≥n 时，111222n n n n n n a S S ---=-=-= ∵当1n =时，满足12n n a -= ∴数列{}n a 的通项为12n n a -= 故：12n n a -=，21n n S =-（*n N ∈）（2）由（1）可知121)1(21log 22-=+-=+=n n a b n n ，则∴11n n b b +＝1(21)(21)n n -+＝111()22121n n --+∴111ni i i b b -+∑＝12233411111n n b b b b b b b b +++++＝11111111(1)2335572121n n -+-+-++--+＝11(1)221n -+（*n N ∈） ∵11(1)221n -+在*n N ∈上单调递增 ∴当1n =时min 11(1)221n -+＝13 ∵1021n >+ ∴111(1)2212n -<+ 综上可得∑=+<≤n i i i b b 11211312.解析：（1）由题意有2211n n a a+=+∴ 21(1)1n a n =+-⨯＝n 即n a （2）∵22212111()n f n n a n a n a =+++++…+∴1111()1232f n n n n n =++++++…+ 111111(1)23322122f n n n n n n n +=++++++++…+++ ∴111(1)()21221f n f n n n n +-=-++++＝1102122n n >++- ∴(1)()f n f n +> 即函数()y f n =是递增数列∴()y f n =的最小值为11(1)112f ==+ （3）∵11n n n b a a +===+∴1)n S =++…1 ∴|2|4n S -≥即为2|4≥ 解之得48n ≥且n N ∈3.分析：由)(x g 为一次函数)(x f 的反函数得)(x g 也为一次函数，所以可设()g x kx b =+； 由(1)0f =得(0)1g =，从而有1b =；由“点1(,)n n na A n a +（n N *∈）在曲线)(x g y =上，且111=--+n nn n a a a a ”确定斜率k ，一旦直线)(x g y =的解析式确定，剩下的问题水到渠成. 解析：（1）∵)(x f 为一次函数，且)(x g 为其反函数 ∴设b kx x g +=)( 由(1)0f =得(0)1g =，即1)(+=kx x g ∵()1g n kn =+且1(,)n n n a A n a +（n N *∈）均在直线b kx x g +=)(上，且111=--+n n n n a aa a ∴1)1(112=-+-=+++nn a a a a k nn n n ∴1)(+=x x g （2）∵1(,)n n na A n a +（n N *∈）均在直线b kx x g +=)(上 ∴11+=+n a a nn ∴当*N n ∈时，12121(1)(2)n n n n a a an n n a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯-⨯-⨯…21＝n!（3）n S ＝123!4!(2)!n a a a n ++++＝1!2!!3!4!(2)!n n ++++…＝1112334(1)(2)n n +++⨯⨯++…＝111111233412n n -+-++-++＝1122n -+ ∴lim n n S →∞＝11lim()22n n →∞-+＝124.已知数列{}n a 与{}n b 满足下列关系：12a a =（0a >），211()2n n na a a a +=+，n n n a ab a a +=-（n N *∈）（1）求数列{}n b 的通项公式，并化简aa aa n n --+1；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2≥n 时，n S 与a n )34(+是否有确定的大小关系？若有，请并加以证明，若没有，请说明理由.4.解析：（1）∵n n n a a b a a +=-（n N *∈），211()2n n na a a a +=+∴1n b +＝11n n a a a a +++-＝331()21()2n n n na a aa a a a a +++-＝22()()n n a a a a +-＝2n b 0> ∴1lg 2lg n n b b += ∵1113a a b a a +==- ∴1lg (lg3)2n n b -=⋅，即123n n b -= ∴11223131n n n a a --+=-故1n n a a a a +--＝2n n a a a-＝1n b +＝1231n -+（2）当2≥n 时，1n a a +-＝1231n n a a --+≤1()10n a a -（当且仅当2n =时取“＝”） ∴321()10a a a a -≤-，431()10a a a a -<-，……，)(1011a a a a n n -<-- ∴])2([101)2(1121a n a S a n a a S n n ---<----- ∵12a a =，254a a = ∴651010(2)2(2)2n n n S a n a S a a n a ---<---- ∴11226131[(2)]189(31)n n n S n a --+<-+--251()189n a <+-23()18n a =+4()3n a <+故4()3n S n a <+.第三讲 解析几何型压轴题解析几何综合题是高考命题的一个热点内容，这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、向量、数列等知识，涉及知识点多，综合性强，题目多变，解法灵活多样，能较好体现高考的选拔功能，因此这类题目常常以压轴题的形式出现.求解这类题目，注意在掌握通性通法的同时，从宏观上把握，微观上突破，在审题和解题思路上下功夫，不断跨越求解征途中可能会遇到的一道道运算难关，最终达到求解目的.【调研1】若1F ，2F 为双曲线22221b y a b -=的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足1F O PM =，11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=.（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点N ，求双曲线的方程；（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为1B ，2B （1B 在y 轴的正半轴上），过2B 作直线AB 与双曲线交于A ，Ｂ两点，求11B A B B =时，直线的方程. 分析：弄清向量表达式11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=是求解本题的关键！由向量的数量积定义可知cos ,OP OM <>＝1cos ,OF OP <>，即OP 是1F OM ∠的角平分线，联系1F O PM =可判断四边形1OMPF 是菱形.解析：（1）由1F O PM =知四边形1PFOM 是平行四边形 又由11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=知OP 平分1F OM ∠ ∴四边形1PFOM 是菱形 设焦半距为c ，则有11OF PF PM c === ∴2122PF PF a c a =+=+ 由双曲线第二定义可知21PF e PM =，即2c aec+= ∴2e =（1e =-舍去） （2）∵2ce a== ∴2c a = ∴双曲线方程为222213x y a a -=又∵双曲线过点N ∴224313a a -=，即23a = ∴所求双曲线的方程为22139x y -=（3）由题意知()10,3B ，()20,3B -，则设直线AB 的方程为3y kx =-，()11,A xy ，()22,B x y则由223139y kx x y=-⎧⎪⎨-=⎪⎩有()2236180k x kx -+-= ∵双曲线的渐近线为y = ∴当k =时，AB 与双曲线只有一个交点，即k ≠∵12263k x x k +=-，122183x x k -⋅=- ∴()121221863y y k x x k -+=+-=-，()212121299y y k x x k x x ⋅=-++= 又∵()1113B A x y =-，，()1223B B x y =-，∵11B A B B ⊥∴()121212390xx y y y y +⋅-++=即221818939033k k --+-⋅+=-- ∴k = ∴直线AB 的方程为3y =-【方法探究】平面向量是高中数学新增内容，兼有代数和几何特性，是高中数学应用最广泛的数学工具之一，解析几何是高中数学的传统重点内容，是高考中的重头戏，而平面向量与解析几何交汇命题是近三年来新高考的一个新亮点.这类综合问题大致可分三类：（1）平面向量与圆锥曲线符号层面上的整合问题：这类题目是平面向量和圆锥曲线的简单拼盘，在平面向量刚进入高考时，比较常见，近来比较少；（2）平面向量与圆锥曲线知识层面上的整合问题：用平面向量语言包装解析几何中元素的关系，试题情境新颖，结合点选取恰到好处，命题手法日趋成熟，如本例求解过程中，明确向量式“1F O PM =”与“11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=”含义，还原几何元素“菱形1PFOM ”是求解关键；（3）平面向量与圆锥曲线应用层面的整合问题：以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题，这类问题往往更具有挑战性. 【调研2】在xoy 平面上有一系列点111(,)P x y ，222(,)P x y ，……，(,)n n n P x y ……，对每个自然数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1 )(N n ∈．（1）求证数列}1{nx 是等差数列； （2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +⋅⋅⋅++=21, 求证：23π<n T 分析：本题是数列与圆锥曲线的综合题，求解过程有两个关键点：①.由⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切，从而构建关于n x 的递推关系式，突破的办法是具体化已知条件 “⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切”为1n n P P +1n n r r ++＝1n n y y ++； ②.经过一系列演算后得到222111]35(21)n T n =++++-，如何放缩？放缩度是把握问题的关键.解析：（1） ⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切∴11n n n n P P r r ++=+1n n y y +=+ 两边平方并化简得1214)(++=-n n n n y y x x依题意有⊙n P 的半径2n n n x y r ==，22211()4n n n n x x x x ++-=⋅∵10n n x x +>> ∴112++=-n n n n x x x x ，即1112()n nn N x x +-=∈ ∴ 数列}1{n x 是以111x =为首项，以2为公差的等差数列. (2) 由（1）问有111(1)2n n x x =+-⋅，即121n x n =-∴2244(21)n n n n S r y x n ππππ====-， n n S S S T +⋅⋅⋅++=21])12(151311[222-++++=n π ≤])12()32(15313111[-⋅-++⋅+⋅+n n π ＝)]}121321()5131()311[(211{---++-+-+n n π ＝)]1211(211[--+n π< 【方法探究】在04年的湖南、上海、浙江卷， 05年的上海、浙江卷，06年的重庆、山东、湖北、浙江等卷都有数列与解析几何的综合问题.这类题综合性强，可以从数与形的两个角度考查理性思维能力以及函数与方程、数形结合、特殊化与一般化等数学思想.这类试题大多以点列的形式出现的，一个点的横，纵坐标分别是某两个不同数列的项，而这两个数列又由点所在的曲线建立联系，从而数列的代数特征与曲线的几何性质熔合.求解这类题目关键在于利用曲线性质建立数列的递推式，转化为代数问题求解.【技巧点拨】数列的判断与证明是数列的常考点，其求解过程常常从数列通项或递推式入手，通常有两种方法：①.定义法 证明数列每项与它的前项之差（比）是同一个常数，即证1n n a a +-＝d ，d 为常数（1n na a +＝q ，q 为不等于零的常数）；②.中项法 证明每一项都是它的前一项和后一项的等差（比）中项，即证122n n n a a a ++=+（221++⋅=n n n a a a ）.【调研3】在平面直角坐标系xOy中，有一个以(10,F和(2F的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A ，B ，且向量OM OA OB =+.求：（1）点M 的轨迹方程； （2）OM 的最小值.分析：求解本例可以根据以下步骤进行：①求立椭圆的方程，得到曲线Ｃ的方程； ②求过点Ｐ的切线方程，求出点Ａ、Ｂ的坐标；③运用相关点法求点M 的轨迹方程； ④具体化OM ，转化为函数最值问题求解.解析：∵椭圆的焦点为(10,F、(2F，离心率为2∴椭圆方程可写为22221y x a b +=（0a b >>），其中223a b ⎧+==，解之得24a =，21b =∴曲线Ｃ的方程为y =，y '=设在曲线Ｃ上的动点00(,)P x y (0<x 0<1)，则0y =∴过切点Ｐ的切线的斜率为0|x x k y ='==04x y -，过点Ｐ的切线的方程为 00004()x y x x y y =---+ ∵点,A B 是切线与x y 、轴的交点 ∴Ａ01(,0)x ，Ｂ04(0,)y设点Ｍ为(,)x y ，则由OM →=OA → +OB →得01x x =，04y y =∵点00(,)P x y在曲线Ｃ：0y =∴点M 的轨迹方程为22141x y +=（1x >，2y >） (2)由（1）问可知2y ＝2411x -＝2441x +- ∴2||OM ＝22x y +＝22441x x ++-＝224151x x -++-≥5＝9 （当且仅当22411x x -=-，即1x =>时取等号）故当x =|OM →|的最小值为3. 【高考前沿】切线是曲线的一个重要几何性质，而导数是求曲线切线的最有力的工具，所以从切线角度与圆锥曲线综合考查，这是高考的一个新趋势，大大丰富了解析几何的研究内容，可能成为以后高考的一个新热点.导数也是求解最值问题的最常用工具，常与解析几何交汇，以最值问题的形式出现，是高考常考常新的热点.1.P 、Q 、M 、N 四点都在中心为坐标原点，离心率22=e ，左焦点)0,1(-F 的椭圆上，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 的面积的最大值与最小值.2.设向量(1,0)i =,(0,1)j =，()a x m i y j =++,()b x m i y j =-+，且||||6a b +=，03m <<，0x >，y R ∈. (1)求动点(,)P x y 的轨迹方程；(2)已知点(1,0)A -，设直线1(2)3y x =-与点P 的轨迹交于B 、C 两点，问是否存在实数m ，使得13AB AC ⋅=？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 3.已知曲线C ：222(23)1k x k y k +-=+（k R ∈）. （1）若曲线C 是双曲线，求k 的取值范围；（2）若曲线C 是焦点在x（3）对于满足条件（2）的双曲线，是否存在过点B （1，1）的直线l ，使直线l 与双曲线交于M ，N 两点且B 是线段MN 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 【参考答案】1.解析：∵椭圆的中心为坐标原点，离心率22=e ，左焦点)0,1(-F ∴椭圆方程为2212x y += ∵PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，0PF MF ⋅=∴直线PQ 和直线MN 都过椭圆的左焦点)0,1(-F不妨设PQ 的方程为1ky x =+，设11(,)P x y ,11(,)Q x y ，则12y y +22112ky x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴22(2)210k y ky +--= ∴12222k y y k -+=-+，12212y y k -⋅=+∴12PQ y y =-=22)2k k +==+ (1)当0k ≠时,MN 的斜率为1k-，同理可得221)12k MN k +=+故四边形面积222214(2)12252k k S PQ MN k k ++==++＝222212(5)2252k k k k ++-++＝222252k k-++ ∵222529k k ++≥ ∴222202952k k-≤-<++，即1629S ≤<(2) 当0k =时,MN 为椭圆的长轴,MN =PQ =∴122S PQ MN ==综合(1) (2)知,四边形PQMN 面积的最大值为2,最小值为169.2.解析：(1)∵(1,0)i =,(0,1)j =，||||6a b +=6=，即为点(,)P x y 到点(,0)m -与到点(,0)m 距离之和为6记1(,0)F m -，2(,0)F m （03m <<），则12||26F F m =<∴1212||||6||PF PF F F +=> 又∵0x > ∴P 点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆的右半部分.∵26a =，22c m =∴22229b a c m =-=-∴所求轨迹方程为222199x y m +=-（0,03x m ><<） (2)设11(,)B x y =，22(,)C x y = ∴11(1,)AB x y =+，22(1,)AC x y =+∴121212·()1AB AC x x x x y y =++++而12y y ⋅＝1211(2)(2)33x x -⋅-＝12121[2()4]9x x x x -++∴AB AC ⋅＝121212121()1[-2()4]9x x x x x x x x ++++++＝12121[107()13]9x x x x +++若存在实数m ,使得1·3AB AC =成立，则1212107()13=0x x x x +++………………………①高考数学第二轮复习 压轴题21 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-+=0)(1992),-(31y 222x m y x x 得222(1)4(977)0m x x m --+-=…………………………② ∵0x > ∴22164(1)(977)0m m =--⋅->△，2124010x x m +=>-，21229-77010 m x x m =>- ∴2321940m =< 此时虽满足△>0，但21229-7728893080010 4040m x x m ==-<- ∴不存在符合题意的实数m ,使得1·3AB AC = 3.解析：（1）当1k =-、0k =或32k =时，曲线C 表示直线. 当1k ≠-且0k ≠且32k ≠时，曲线C 可化为22111223x y k k k k +=++-………………（1） 方程（1）表示椭圆的充要条件是110223k k k k ++⋅<- ∴解之得302k << （2）∵ 曲线C 是焦点在x∴212k a k +=，2123k b k +=--，从而有211223312k k k k e k k++--==+ ∴ 1k = 故曲线C 的方程为22112x y -= （3）假设存在直线l ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-12112122222121y x y x ∴0)(2122212221=---y y x x ，即121212122()()()()x x x x y y y y -+=-+ ∵B 是线段MN 的中点 ∴221=+x x ，221=+y y∴ 直线l 的斜率22121=--=x x y y k ，即直线l ：21y x =- 又直线l 与双曲线交于MN 两点，由⎪⎩⎪⎨⎧-==-1212122x y y x 得03422=+-x x ， 此时0832416<-=⨯⨯-=∆，方程无实数根.即直线l 与双曲线12122=-y x 无交点. 故不存在满足条件的直线l .点评：本题易忽视直线m 与双曲线交于MN 两点的隐含条件0>∆，而得出存在直线l 为12-=x y 的错误结论.。
[精品]2019届高三数学二模试题(含解析)
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2019高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U=Z ，集合A={x|0＜x ＜5，x ∈U}，B={x|x ≤1，X ∈U}，则A ∩（∁U B ）= ．2．若复数z 的共轭复数满足，则复数z 的虚部是 ．3．双曲线的准线方程是 ．4．某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm 的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是 ．5．命题“∀x ＞2，都有x 2＞2”的否定是 ． 6．如图中流程图的运行结果是 ．7．口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是 ．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=10，S 4=28，数列的前n 项和为T n ，则T 2017= ．9．将函数y=sinxcosx 的图象向右平移m （m ＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m 的最小值为 ．10．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，直线BE 与边AC 交于点F ，若AD=BC=6，则= ．11．已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．12．已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．13．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）= ．14．已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F（m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．19．某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）20．已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．24．（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）= {2，3，4} ．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|0＜x＜5，x∈U}={1，2，3，4}，B={x|x≤1，X∈U}，则∁U B={x|x＞1，X∈U}={2，3，4，5，…}，则A∩（∁U B）={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}2．若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是 3 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴﹣i••i=﹣i（3+4i），∴=4﹣3i．∴z=4+3i．∴复数z的虚部是3．故答案为：3．3．双曲线的准线方程是y=．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的准线方程即可．【解答】解：双曲线，可得a=1，b=，c=2，双曲线的准线方程为：y=±．故答案为：y=．4．某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是288 ．【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率，由此能估计该校身高不小于175cm的人数．【解答】解：由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率为：（0.012+0.004）×10=0.16，∴估计该校身高不小于175cm的人数是：1800×0.16=288．故答案为：288．5．命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是∃x0＞2，x02≤2 ．【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：命题“∀x＞2，x2＞2”是全称命题，其否定是：∃x0＞2，x02≤2．故答案为：∃x0＞2，x02≤2．6．如图中流程图的运行结果是 6 ．【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：第一次，S=1，i=2，S＞10不成立，第二次，S=1+2=3，i=3，S＞10不成立，第三次，S=3+3=6，i=4，S＞10不成立第四次，S=6+4=10，i=5，S＞10不成立第五次，S=10+5=15，i=6，S＞10成立，输出i=6，故答案为：67．口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，再由列举法求出取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件个数，由此能求出取出的两个小球上所标数字之积为4的概率．【解答】解：∵口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，基本事件总数n=，取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件有：（1，4），（1，4），（2，2），共3个，∴取出的两个小球上所标数字之积为4的概率p=．故答案为：．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017=．【考点】8E：数列的求和．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，化简所求的通项公式，然后求和即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，可得a1+a4=14，解得a1=4，10=4+3d，解得d=2，S n=4n+=n2+3n，==，T n=+…+=，则T 2017==．故答案为：．9．将函数y=sinxcosx 的图象向右平移m （m ＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m 的最小值为．【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】首先化简被平移函数的解析式，得到对称轴的表达式以及函数的图象的对称轴，利用对称轴重合得到m 的值．【解答】解：将函数y=sinxcosx=sin2x 的图象向右平移m （m ＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，即2（x ﹣m ）=k，得到x=，k ∈Z ；，得到x=，k 1∈Z ；由题意x==，k ，k 1∈Z所以实数m 的最小值为；故答案为：．10．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，直线BE 与边AC 交于点F ，若AD=BC=6，则=﹣18 ．【考点】9V ：向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，设∠ADC=α，求出各点坐标，代入向量的数量积运算公式计算即可． 【解答】解：以BC 为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设∠ADC=α，则A （6cos α，6sin α），E （3cos α，3sin α），C （3，0），B （﹣3，0），设F（a，b），则，解得a=4cosα+1，b=4sinα，∴=（﹣3﹣6cosα，﹣6sinα），=（4cosα﹣2，4sinα），∴=（﹣3﹣6cosα）（4cosα﹣2）﹣24sin2α=﹣24cos2α+6﹣24sin2α=6﹣24=﹣18．故答案为：﹣18．11．已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由已知求出tanα，得到直线l2的斜率，进一步求得方程，由A在圆上求得F，得到圆的方程，求出圆心坐标和半径，利用垂径定理求得|AC|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．【解答】解：直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，则tanα=，∴直线l2的斜率k=tan2α=．则直线l2的方程为y﹣0=（x+1），即4x﹣3y+4=0．又A（﹣1，0）在圆上，∴（﹣1）2﹣2+F=0，得F=1，∴圆的方程为x2+y2+2x﹣2y+1=0，化为标准方程：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心（﹣1，1），半径r=1．直线l2与圆M相交于A，C两点，由点到直线的距离公式得弦心距d=，由勾股定理得半弦长=，弦长|AC|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线l2的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=|AC|×|BE|+|AC|×|DE|=|AC|×|BD|=××2=，故答案为：．12．已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD 的体积最大．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】当体积最大时，平面ABC与底面BCD垂足，利用勾股定理计算AD．【解答】解：取BC的中点E，连结AE，DE，∵AB=AC，BD=CD，∴BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，∴A到平面BCD的距离d=AE•sin∠AED，显然当∠AED=90°时，四面体体积最大．此时，AE==2，DE==，∴AD==．故答案为：．13．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）= 2x﹣2﹣x．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据题意，由于f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，同理可得f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，利用函数的奇偶性可得﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，联立①②可得f（x）=（2x+1﹣2﹣x+1），对其变形可得答案．【解答】解：根据题意，f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，①，进而有f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，又由函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，则有f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x），即有﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，联立①②可得：f（x）=（2x+1﹣2﹣x+1）=2x﹣2﹣x，即f（x）=2x﹣2﹣x，故答案为：2x﹣2﹣x14．已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】设A（0，b），B（x，0），C（a，b﹣y），由x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2得△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0）过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ﹣，a=mcos（），b=mcosθ即可求解．【解答】解：如图设A（0，b），B（x，0），C（a，b﹣y）∵（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2∴△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0）过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ﹣，∴b=mcosθ∴∴当θ=0时，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，⇒sinAcosC﹣cosAsinCsin（A﹣C）=0，即可得a=c，即可．（2）由得⇔⇒⇒b=，即可得cosB=．【解答】解：（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，∴sinB=acosC变形为：sin（A+C）=2sinAcosC⇒sinAcosC﹣cosAsinC=0sin（A﹣C）=0，∵A﹣C∈（﹣π，π），∴A﹣C=0，∴a=c，∴的值为1（2）∵M为边BC的中点，∴∴⇔又∵，a=c∴⇒⇒b=∴cosB=，∵B∈（0，π），∴角B的大小为．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AB1交A1B于E，连结DE，由AC1∥平面A1BD可得AC1∥DE，由E为AB1的中点即可得出D是B1C1的中点；（2）证明A1B⊥平面AB1C1，得出A1B⊥B1C1，再结合B1C1⊥BB1得出B1C1⊥平面A1ABB1，于是平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．【解答】证明：（1）连结AB1交A1B于E，连结DE．∵AC1∥平面A1BD，AC1⊂平面AB1C1，平面AB1C1∩平面A1BD=DE，∴AC1∥DE，∵侧面A1ABB1是菱形，∴E是AB1的中点，∴D是B1C1的中点．（2）∵侧面A1ABB1是菱形，∴AB1⊥A1B，又A1B⊥AC1，AB1∩AC1=A，AB1⊂平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，∵侧面C1CBB1是矩形，∴B1C1⊥BB1，又BB1∩A1B=B，BB1⊂平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥平面A1ABB1．∵B1C1⊂平面C1CBB1，∴平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意c=1，根据椭圆的离心率，即可求得a的值，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；（2）根据椭圆的准线方程，即可求得AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得A1及B1，k1==﹣3k，存在λ=﹣3，使得k1=λk恒成立．【解答】解：（1）由椭圆的焦距2c=2，则c=1，双曲线的离心率e==，则a=，则b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：；（2）设A（x0，y0），则2y02=2﹣y02，则B（﹣x0，﹣y0），k=，右准线方程x=2，则M（2，0），直线AM的方程为y=（x﹣2），，整理得：（x0﹣2）2x2+2y02（x﹣2）2﹣2（x0﹣2）2=0，该方程两个根为x0，，∴x0•===•x0，则=， =（﹣2）=，则A1（，），同理可得B1（，﹣），则k1==﹣3k，即存在λ=﹣3，使得k1=λk恒成立．18．数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F（m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）a3=a1+4=4，a4=2a2=4．当n=2k，k∈N*时，a2k+2=2a2k，可得数列{a2k}是首项与公比都为2的等比数列．当n=2k﹣1，k∈N*时，a2k+1=a2k﹣1+4，∴数列{a2k﹣1}是首项为0，公差为4的等差数列．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）b n==，设数列{b n}的前n项和为A n，利用错位相减法可得A n=4﹣＜4．根据b n≥0，可得F（m，n）≤A n，F（m，n）＜4．（3）S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1=2k（k﹣1），T k=a2+a4+a6+…+a2k=2k+1﹣2．W k==，对k分类讨论即可得出．【解答】（1）解：a3=a1+4=4，a4=2a2=4．当n=2k，k∈N*时，a2k+2=2a2k，∴数列{a2k}是首项与公比都为2的等比数列．∴．即n=2k，k∈N*时，a n=．当n=2k﹣1，k∈N*时，a2k+1=a2k﹣1+4，∴数列{a2k﹣1}是首项为0，公差为4的等差数列．∴a2k﹣1=4（k﹣1）．即n=2k﹣1，k∈N*时，a n=2n﹣2．综上可得：a3=4，a4=4．a n=，k∈N*．（2）证明：b n==，设数列{b n}的前n项和为A n，则A n=0+1+++…+，A n=++…++，∴=1++…+﹣=﹣，∴A n=4﹣＜4．∵b n≥0，∴F（m，n）≤A n，故对任意的m＜n，F（m，n）＜4．（3）解：S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1==2k（k﹣1），T k=a2+a4+a6+…+a2k==2k+1﹣2．W k==，∴W1=0，W2=1，W3=＞1，W4=＞1，W5=＞1，W6=＜1．k≥6时，W k+1﹣W k=﹣=＜0，∴当k≥6时，W k+1＜W k．∴当k≥6时，W k+1≤W6＜1．综上可得：使W k＞1的所有k的值为3，4，5．19．某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）用总收入减去来回两次的运行成本和冷藏成本即可；（2）利用基本不等式得出W的最大值，令其最大值大于或等于零解出x，再验证车速是否符合条件即可；（3）利用导数判断W的最大值函数的单调性，即可得出W的最大值，再验证车速即可．【解答】解：（1）汽车来回一次的运行成本为×1300v2×+×v2×=v，冷藏成本为10x×=，∴W=100x﹣v﹣．（2）∵v+≥2=5•，∴W≤100x﹣5•，当且仅当v=即v=40•时取等号．令100x﹣5•≥0，得2≥，解得x≥，当x=时，v=40•=20∈（0，80]，∴每次至少进货千克，才可能使销售后不会亏本．（3）由（2）可知W≤100x﹣5•=5（2x﹣•），x∈[，1000]，设f（x）=2x﹣•，则f′（x）=2﹣（•+）=2﹣（+），∵x∈[，1000]，∴ =∈[，2]，∵函数y=x+在[，2]上单调递增，∴当=2时， +取得最大值，∴f′（x）≥2﹣＞0，∴f（x）在[，1000]上单调递增，∴当x=1000时，f（x）取得最大值f已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）设g（x）=x2lnx，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；（3）设F（x）=f（x）﹣|lnx|，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，根据单调性判断函数的零点即方程根的个数．【解答】解：（1）f′（x）=，由f′（x）=0得x=1，x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1]递增，在递减，在[，+∞）递增，当且仅当x=时，g（x）min=﹣；∴f（x）≤﹣≤g（x），两等号不同时取，故∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）设F（x）=f（x）﹣|lnx|，∴F（x）=f（x）﹣lnx，x≥1，∵f（x），﹣lnx都在递增，∴F（x）在（0，1]递增，∵F（1）=+m，∴m≤﹣时，∀0＜x＜1，F（x）＜F（1）≤0，∴F（x）在（0，1）无零点，当m＞﹣时，F（1）＞0，∀0＜x＜1，F（x）＜＜+m+lnx，显然∈（0，1），∴F（）＜+m+ln=0，∵F（x）的图象不间断，∴F（x）在（0，1）恰有1个零点，综上，m=﹣时，方程|lnx|=f（x）恰有1个实根，m＜﹣时，方程|lnx|=f（x）无实根，m＞﹣时，方程|lnx|=f（x）有2个不同的实根．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．【考点】OU：特征向量的意义．【分析】根据矩阵的变换求得M=，利用矩阵的特征向量及特征值的关系，利用矩阵的乘法，即可求得M的逆矩阵，即可求得矩阵M．【解答】解：由题意可知：M=，M﹣1=，∴M﹣1=，设M﹣1=，则=，=，则，解得：，则M﹣1=，det（M﹣1）=﹣20+18=﹣2，则M=．∴矩阵M=．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】求出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程，两方程联立，能求出曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为，（，α为参数），∴曲线C1的普通方程为y=1﹣2x2，x∈，∵曲线C2的极坐标方程为，∴曲线C2的直角坐标方程为y=﹣，两方程联立：，得2﹣x﹣=0，解得，，∵x∈，∴，y=﹣，∴曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标为（）．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，由题意他只闯过了第一关，没有过第二关，由此求出所求的概率；（2）根据题意知X的所有可能取值，计算对应的概率，写出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，由题意知，他只闯过了第一关，没有过第二关，因此，他第一关转得了2、3、4中的一个，第二关转得了（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）中的一个，∴所求的概率为P（A）=×（5×）=；（2）根据题意，X的所有可能取值为0，10，20，40；计算P（X=0）=，P（X=10）=，P（X=20）=××=，P（X=40）=××=，∴X的概率分布为：数学期望为：E（X）=0×+10×+20×+40×=．24．（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】（1）利用组合数的计算公式可得：（k+1）=（k+1）•=．（2）由（1）可得： =，左边==（﹣1）k+1=，即可证明．（3）==+．由（2）可知：==．设f（n）=，则f（1）=1，=f（n﹣1）．可得f（n）﹣f（n﹣1）=．利用累加求和方法即可得出．【解答】证明：（1）（k+1）=（k+1）•==（n+1）．精品试卷（2）由（1）可得： =，∴左边==（﹣1）k+1= = =右边．∴．（3）==+由（2）可知： ==．设f（n）=，则f（1）=1， =f（n﹣1）．∴f（n）﹣f（n﹣1）=．∴n≥2时，f（n）=f（1）+f（2）﹣f（1）+…+f（n）﹣f（n﹣1）=1++…+．n=1时也成立．∴f（n）=1++…+．n∈N*．即：．。
2019届高三数学二模考试试题理(含解析)
2019届高三数学二模考试试题理（含解析）一､选择题1.已知是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.【详解】因为,所以共轭复数就是.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知集合，则满足的集合的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先求解集合，然后根据可求集合的个数.【详解】因为，，所以集合可能是.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量，满足，，则（）A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：，①，②，则①②即可得解．【详解】因为向量，满足，，所以，①，②由①②得：，即，故选：．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；；当时，，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.某程序框图如图所示，若输入的，则输出的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到经过第六次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选：．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（）A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D【解析】【分析】根据，，成等比数列可求公差，然后可得.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即有，解得，（舍），所以.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8.已知，为椭圆的左右焦点，点在上（不与顶点重合），为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据为等腰直角三角形可得，结合椭圆的定义可求离心率.【详解】由题意等腰直角三角形，不妨设，则，由椭圆的定义可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、4，由正视图知，三棱锥的高是4，该几何体的体积，故选：．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1，所以，即；的通项公式为，令得，所以展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】【分析】先化简函数，然后利用解析式的特点求解最大值.【详解】，因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱，点､分别是圆和圆上的点，长为，长为，且与在平面的同侧，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弧长公式可得，，由异面直线所成角的作法可得为异面直线与所成角，再求解即可．【详解】由弧长公式可知，，在底面圆周上去点且，则面，连接，，，则即为异面直线与所成角，又，，所以，故选：．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二､填空题13.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设，满足约束条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的取值范围．【详解】作出，满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．此时的最大值为，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．此时的最小值为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列的前项和为，若，，，则______.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以，设等差数列的公差为，则，解得，由得，解得.故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.【答案】1【解析】【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则且，解得；同理可得且，解得；故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求和；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的余弦函数值，然后求解的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为，代入，得，所以，，由正弦定理得，所以，.（2）把余弦定理代入，得，解得.再由余弦定理得.当且仅当，即时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．18.一只红玲虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据如下表:温度21产卵数/7个为了预报一只红玲虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了与的两个回归模型.模型①:先建立与的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为与的线性回归方程:；模型②:先建立与的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为与的线性回归方程:.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，；，，，，，，）【答案】（1），（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】【分析】（1）把分别代入两个模型求解即可；（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.【详解】(1)当时，根据模型①，得，，根据模型②，得.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数大于模型②的相关指数，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合与的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，然后可得平面平面；（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，，.又设，则，，，，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设为抛物线:的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，为的中点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得，则抛物线的方程可求；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，与抛物线方程联立，求出，，可得四边形的面积，利用基本不等式求最值．【详解】（1）如图，为的中点，到轴的距离为，，解得．抛物线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为．由，得．△，设，、，，则；同理设，、，，，则．四边形的面积．当且仅当时，四边形的面积取得最小值32．线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.是自然对数的底数，已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）函数在上能否恰有两个零点?证明你结论.【答案】（1）（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再求极值。
2019届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分 二轮课时专题5 解析几何 2 圆锥曲线
第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第45~47页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2， 所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a 2-2ac-5c 2=0，所以5c 2+2ac-3a 2=0.所以5e 2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2019·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即22因为离心率e=ca=32，所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2. ②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(20)的距离与点P到定直线l：x=2222，求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358ca AF AF=⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.ca=⎧⎨=⎩，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为216x+212y=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得22(-2)|-22|x yx+=22，整理，得24x+22y=1，所以动点P的轨迹C'的方程为24x+22y=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(1)(2019·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1))(2)(2019·临川一中质检)如图(2)，已知点A，F分别是2 2 xa-22yb=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2019·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】75(2)2(3)13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A1B2的方程为-xa+yb=1，直线B1F的方程为xc+-yb=1.联立方程组解得T2()--ac b a ca c a c+⎛⎫⎪⎝⎭，.又M()-2(-)ac b a ca c a c⎛⎫+⎪⎝⎭，在椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上，故22(-)ca c+22()4(-)a ca c+=1，即e2+10e-3=0，解得e=275.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=±ba x 联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R-bcca⎛⎫⎪⎝⎭，，Sbcca⎛⎫⎪⎝⎭，，则S△ROS=12·2bca·c=2bca，S△POQ =12a·2b=ab，于是由S△ROS=2S△POQ，得2bca=2ab，即22ca=2，所以e=2.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=5cc+·5-cc=2225-cc=2125-1c.又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c<4，0<225c-1<3，所以e1e2=2125-1c>13.变式1(2019·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2ABk=k AM，得ba=2Myaac+，所以y M=b1ac⎛⎫+⎪⎝⎭.由1FBk=k FM，得bc=2-Myacc，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2019·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2019·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 .(变式3)【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF=FA ，而FA=2a c -c ，PF ≤a+c ，所以2a c -c ≤a+c ，即a 2≤ac+2c 2.又e=ca，所以2e 2+e ≥1，所以2e 2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2019·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a =32，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB uuu r ·A C uuu r =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2019·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l的斜率为12，求APAQ的值；(2)若PQu u u r=λAPuuu r，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知2222422acaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得22.ab=⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x+22y=1，圆的方程为x2+y2=4.由题知直线l的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得3y2-4y=0，所以y P=4 3.由222-24x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得5y2-8y=0，所以y Q=85.所以APAQ=PQyy=43×58=56.(2)因为PQu u u r=λAPuuu r，且APuuu r，PQu u u r同向，则λ=PQAP=-AQ APAP=AQAP-1，设直线l：y=k(x+2)，联立方程组224(2)x yy k x⎧+=⎨=+⎩，，消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421k k +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2019·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为 .【答案】22【解析】根据双曲线的方程知a=22a=22.(2019·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x 为双曲线的渐近线，则b a =1，又a 2+b 2=c 2，所以a 2=12，b 2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】92【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2019·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】33【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=3所以e=ca=1212F FAF AF=33nn=33.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2019·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2019·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2019·普陀区调研)离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2019·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2019·盐城中学)设椭圆22xm+..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2019·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2019·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、 解答题9.(2019·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M u u u u r =λMP u u u r(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2019·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB u u u r=1，|OF u u u r |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(22)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x ，即y=±2x.3. 43 【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，焦点F (1，0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0+1=5，所以x 0=4，所以20y=4x 0=16，y 0=4，从而点A (4，4)，直线AF 的斜率k=4-04-1=43.4.2 【解析】不妨设椭圆方程为22x a +22y b =1(a>b>0)，则有222-1b a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221b a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF 2+AF 2+AB=4a=8，因为BF 2+AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A 3-2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B3--2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c +294b =1.又c 2=a 2-b 2=4-b 2，所以24-4b +294b =1，即1-24b +294b =1，所以24b =294b ，解得b 2=3，所以6.4【解析】由题意可知抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以47.【解析】由题意知A (-a ，0)，B (a ，0)，取P (0，b )，则k AP ·k BP =b a×-b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=3.8. 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1=F 1F 2=2c 时，PF 2=2a-PF 1=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF 2=F 1F 2=2c 时，PF 1=2a-PF 2=2a-2c ，即2a-2c>2c ，且2c>a-c ，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、 解答题9. (1) 因为28x +24y =1，所以F 1(-2，0)，F 2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F M k=4，所以直线F 2M 的方程为x-2)，直线F 1M 的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM u u u u r=2MPuuu r ，所以1FM u u u u r =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M u u u u r =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P uuu r=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )， 所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF uuu r ·F B uuu r=1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP uuu r·FQ u u u r=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件， 所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)， 直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)， 解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m+23n=1，得n2=321-4m⎛⎫⎪⎝⎭，代入上式得24x+23y=1.所以点M恒在椭圆C上.。
2019届高考数学二轮复习 专题五 立 体 几 何 (讲义训练)：第3讲 立体几何中的计算 课时训练(含答案)
第3讲 立体几何中的计算 课时训练1. 已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为________．答案：5解析：由正四棱锥底面边长为42，则底面正方形对角线的一半长为4，再由体积公式得四棱锥的高为3，则此四棱锥的侧棱长为5.2. (2017·镇江期末)若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．答案：6π解析：因为圆锥的母线长为l ＝22＋（5）2＝3，所以其侧面积为π×2×3＝6π.3. (2017·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶2解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S 1＝2πrh ＝2πr 2.圆锥的母线l ＝h 2＋r 2＝2r ，故圆锥的侧面积为S 2＝12×2πr ×l ＝2πr 2，所以S 2∶S 1＝2∶2.4. (2018·启东调研)高为63的正四面体的表面积为________．答案：3解析：由正四面体的高为63，得正四面体的棱长为1，表面积为4×34＝3.5. (2017·南通一调)如图，在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1A 1BD 的体积为________cm 3.答案：32解析：VD 1A 1BD ＝VBA 1DD 1＝13×3×12×3×1＝32(cm 3)．6. 将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________．答案：5解析：三个圆锥的底面周长分别为53π，103π，5π，则它们的半径r 1，r 2，r 3依次为56，53，52，则r 1＋r 2＋r 3＝5. 7. 已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________cm 3. 答案：96π解析：设圆锥的底面半径为r ，侧面积＝12×母线长×底面圆周长＝60π，得r ＝6 cm ，此圆锥的高为8 cm ，则此圆锥的体积为13×36π×8＝96π(cm 3)．8. (2018·南通中学练习)如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若各条棱长均为2，且M 为A 1C 1的中点，则三棱锥M AB 1C 的体积是________．答案：233解析：在正三棱柱中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，则AA 1⊥B 1M .因为B 1M 是正三角形的中线，所以B 1M ⊥A 1C 1.所以B 1M ⊥平面ACC 1A 1，则VMAB 1C ＝VB 1ACM ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AC ×AA 1×B 1M ＝13×12×2×2×3＝233.9. (2018·常熟期中)已知正三棱锥的体积为9 3 cm 3，高为3 cm ，则它的侧面积为________cm 2.答案：183解析：设正三棱锥底面三角形的边长为a ，则V ＝13×34a 2×3＝93，a ＝6(cm),底面等边三角形的高为32×6＝33(cm)，底面中心到一边的距离为13×33＝3(cm)，侧面的斜高为32＋（3）2＝23(cm), S 侧＝3×12×6×23＝183(cm 2)．10. (2018·南通一调)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm.(不计损耗)答案：210解析：由题意，六角螺帽毛坯体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，即V 正六棱柱－V圆柱＝(S 正六边形－S 圆)h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6×34×42－93×4＝603(cm 3)，因为正三棱柱的体积与六角螺帽毛坯的体积相等，设正三棱柱的底面边长为a ，所以34a 2·6＝603，解得a ＝210(cm)．11. 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S ，求其内接正四棱柱的体积． 解：设等边圆柱的底面半径为r ，则高h ＝2r . 因为S ＝S 侧＋2S 底＝2πrh ＋2πr 2＝6πr 2， 所以r ＝S6π， 所以内接正四棱柱的底面边长a ＝2r sin45°＝2r ，所以V ＝S 底·h ＝(2r )2·2r ＝4r 3＝S 6πS9π2.12. 如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACFE 为平行四边形，BD 与AC 相交于点G ，AB ＝BD ＝2，AE ＝3，∠EAD ＝∠EAB .(1) 求证：平面ACFE ⊥平面ABCD ；(2) 若∠EAG ＝60°，求三棱锥F BDE 的体积．(1) 证明：连结EG . ∵ 四边形ABCD 为菱形， ∴ AD ＝AB ，BD ⊥AC ，DG ＝GB . 在△EAD 和△EAB 中，AD ＝AB ，AE ＝AE ，∠EAD ＝∠EAB ，∴ △EAD ≌△EAB ， ∴ ED ＝EB ，∴ BD ⊥EG . ∵ BD ⊥AC ，AC ∩EG ＝G ， ∴ BD ⊥平面ACFE . ∵ BD ⊂平面ABCD ， ∴ 平面ACFE ⊥平面ABCD .(2) 解：连结FG ，∵ BD ⊥平面ACFE ，FG ⊂平面ACFE ，∴ FG ⊥BD . 在△EAG 中，AE ＝AG ＝3，且∠EAG ＝60°， ∴ △EAG 为正三角形， ∴ ∠EGA ＝60°. 在△FCG 中，CG ＝FC ＝3，∠GCF ＝120°， ∴ ∠FGC ＝30°，∴ ∠EGF ＝90°，即FG ⊥EG . 又BD ∩EG ＝G ， ∴ FG ⊥平面BDE ，∴ 点F 到平面BDE 的距离为FG ＝3. ∵ S △BDE ＝12×BD ·EG＝12×2×3＝3，∴ 三棱锥FBDE 的体积为13×3×3＝3.13. 在矩形ABCD 中，将△ABC 沿其对角线AC 折起来得到△AB 1C ，且顶点B 1在平面ACD 上的射影O 恰好落在边AD 上，如图所示．(1) 求证：AB 1⊥平面B 1CD ； (2) 若AB ＝1，BC ＝3，求三棱锥B 1ABC 的体积．(1) 证明：因为B 1O ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以B 1O ⊥CD . 又CD ⊥AD ，AD ∩B 1O ＝O ， 所以CD ⊥平面AB 1D .因为AB 1⊂平面AB 1D ，所以AB 1⊥CD . 因为AB 1⊥B 1C ，且B 1C ∩CD ＝C ， 所以AB 1⊥平面B 1CD .(2) 解：因为AB 1⊥平面B 1CD ，B 1D ⊂平面B 1CD ， 所以AB 1⊥B 1D . 在Rt △AB 1D 中，B 1D ＝AD 2－AB 21＝2. 由B 1O ·AD ＝AB 1·B 1D ， 得B 1O ＝AB 1·B 1D AD＝63，所以VB 1ABC ＝13S △ABC ·B 1O ＝13×12×1×3×63＝26.。
2019届高三数学第二次(12月)联考理试题(含解析)人教新目标版
“皖南八校”2019届高三第二次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，则，故选D.2. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】化简，由是纯虚数可得，解得，故选A.3. 已知向量满足，，，则A. B. 3 C. 5 D. 9【答案】B【解析】因为，所以，故选B.........................4. 已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，故选A.5. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴的方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍可得的图象，再向左平移个单位，所得的图象，由，，时图象的一条对称轴的方程是，故选C.6. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得函数，为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；又由可排除选项，故选C.7. 若，展开式中，的系数为-20，则等于A. -1B.C. -2D.【答案】A【解析】由，可得将选项中的数值代入验证可得，符合题意，故选A.8. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 28B. 36C. 68D. 196【答案】D【解析】执行程序框图，；；；，退出循环，输出，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 榫卯（）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积，表面积，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若在直线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线上存在点使线段的中垂线过点，所以，根据种垂涎的性质以及直角三角形的性质可得，，，又因为，椭圆离心率的取值范围是，故选B.11. 已知，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，令，则原式化为，解得舍去），故，则，即，即，，解得或，则，故选D.12. 已知函数若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，关于的方程至少有两个不同的实数解等价于，至少有两个不同的实数解，即函数的图象与直线至少有两个交点，作出函数的图象如图所示，直线过定点，故可以寻找出临界状态下虚线所示，联立，故，即，令，解得，，故，结合图象知，实数的取值范围为，故选A.【方法点睛】已知函数有零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为_________．【答案】【解析】在、中任取三个不同的数，共有种取法，其中一定取到的方法有种，在、中任取三个不同的数取到的概率为，故答案为.14. 已知的面积为，角的对边分别为，若，，，则___________．【答案】【解析】，，，可得，所以得，由余弦定理可得，，故答案为.15. 已知函数是偶函数，定义域为，且时，，则曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】曲线在点处的切线方程为，又是偶函数，曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程故意轴对称，为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性以及利用导数求曲线切线题，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.16. 已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段长的取值范围为__________ ．【答案】【解析】依题意，正方体的棱长为，如图所示，当点线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，平面与平面也有交线，故截面为五边形，平面截正方体所得的截面为四边形，线段的取值范围为，故答案为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知是等比数列，满足，且.（Ⅰ）求的通项公式和前项和；（Ⅱ）求的通项公式.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）由，令可解得，，从而可得的通项公式和前项和；（II）结合（I）的结论，可得，从而得时，，两式相减、化简即可得的通项公式.试题解析：（Ⅰ），，，，，，是等比数列，，的通项公式为，的前项和.（Ⅱ）由及得，时，，，，，的通项公式为.，18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：（Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；（Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值；（Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣销售份数试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(Ⅰ)0.75；(Ⅱ)369M；(Ⅲ).【解析】试题分析：（I）直接根据二项分布的期望公式求解即可；（II）根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值；(Ⅲ)先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式求出，样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）依题意，∽，故；（Ⅱ）依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为；（Ⅲ)由题意可知，，，所以，关于的回归方程为： .【方法点晴】本题主要考查二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连接.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（I）由线面垂直的性质可得，由矩形的性质可得，从而由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（II）以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得夹角余弦值，利用同角三角函数之间的关系可得正切值.试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，所以又因为底面是矩形，所以又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（Ⅱ)解：方法一：（几何法)过点作，垂足为点，连接.不妨设，则.因为平面，所以.又因为底面是矩形，所以.又因为，所以平面，所以A.又因为，所以平面，所以所以就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得，又由平行线分线段成比例定理，得.所以.所以.所以.所以二面角的正切值为.方法二：（向量法）以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，则由（Ⅱ）可得，.又由平行线分线段成比例定理，得，所以，所以.所以点，，.则，.设平面的法向量为，则由得得令，得平面的一个法向量为；又易知平面的一个法向量为；设二面角的大小为，则.所以.所以二面角的正切值为.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若抛物线上存在点，使得，求直线的方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）利用拋物线的定义,结合即可得，，从而抛物线的方程为；（II）方程为，由得，令，，,利用韦达定理及,建立关于的方程,解方程即可求直线的方程.试题解析：（Ⅰ）的准线方程为，当点纵坐标为1时，，，势物线的方程为.（Ⅱ）在上，，又,设方程为，由得，令，，则，，，，,，或0，当时，过点（舍），，方程为.21. 已知函数.（Ⅰ）若，证明：函数在上单调递减；（Ⅱ）是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）；求导得，只需利用导数研究函数的单调性，求出最大值，从而证明即可得结论；（II）讨论时，时两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，排除不合题意的情况，从而可得使得函数在内存在两个极值点的实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是.求导得.设，则与同号.所以，若，则对任意恒成立.所以函数在上单调递减.又，所以当时，满足.即当时，满足.所以函数在上单调递减.（Ⅱ）①当时，函数在上单调递减.由，又，时，，取，则，所以一定存在某个实数，使得.故在上，；在上，.即在上，；在上，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.此时函数只有1个极值点，不合题意，舍去；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.故函数的单调情况如下表：要使函数在内存在两个极值点，则需满足，即，解得又，，所以.此时，，又，；综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点.选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3.【解析】试题分析：（I）利用代入法消去参数，将直线的参数方程化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，再利用互化公式可得到直线的极坐标方程；（II）将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程,可得关于的一元二次方程,然后根据韦达定理以及极径的几何意义,可以得到的值.试题解析：（Ⅰ）由得，的极坐标方程为即，.（Ⅱ）由得，设，，则，.23. 已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（II）利用基本不等式求得的最小值为，不等式对任意恒成立，等价于，平方后利用一元二次不等式的解法求解即可求得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）时，，由得，不等式的解集为.（Ⅱ）对成立，又对成立，，，即.。
2019届高三数学(理)二轮复习精品同步：第1部分 基础送分题：教师用书：题型专题(4) 不等式(通用版)
题型专题(四) 不等式(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2019·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎨⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0， 解得x >12或x <－32，故选A.3．(2019·泉州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩⎨⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9] [技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.2．(2019·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4 D.52解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．4．(2019·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x＋y ＋4x ＋y，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.[技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]1．(2019·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩⎨⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.2．(2019·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2， －3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.3．(2019·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2019·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－125．(2019·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N . 目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [技法融会]1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2019·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．(2019·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2019·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2019·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B.6．(2019·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7．(2019·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8．(2019·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B ．C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2019·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎨⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝y x∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.二、填空题13．(2019·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214．(2019·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115．(2019·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16．(2019·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0，可化为ka＋1x＋b＋1xc＋1x<0，故得－1<1x<－13或12<1x<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)．答案：(－3，－1)∪(1，2)。
2019届高考数学二轮复习 圆锥曲线定值定点问题和存在性问题(非韦达定理类)(带解析)
m2 y0 2 n 2 x0 2 y0 2 n 2
4
M , P 在圆 C： x 2 y 2 R2 上， n2 R2 m2 , y02 R2 x02 ，
则 xE xF
m2 ( R 2 x0 2 ) ( R 2 m2 ) x0 2 R 2 (m2 x0 2 ) R2 ( R 2 x0 2 ) ( R 2 m2 ) (m2 x0 2 )
x0 2 m2 2 2 ) b (1 ) x0 b 2 (m2 x0 2 ) a2 a2 a 2 （定值） 2 2 2 x b m (m2 x0 2 ) b 2 (1 02 ) b 2 (1 2 ) 2 a a a
…………. 12 分
xE xF 是与 MN 和点 P 位置无关的定值
当 2 a ﹥2 c 时，轨迹是椭圆， 当 2 a =2 c 时，轨迹是一条线段 F1 F2 当 2 a ﹤2 c 时，轨迹不存在 焦点在 x 轴上时：
的轨迹叫双曲线.即 MF1 MF2 2a 当 2 a ﹤2 c 时，轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时，轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时，轨迹不存在
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 1 a2 b2
焦点在 x 轴上时：
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 1 a2 b2
标准方 程
焦点在 y 轴上时：
焦点在哪一坐 标轴上 注：是根据项的正负来判断焦点所 在的位置 实轴长 2a，虚轴长 2b （实半轴 a ，虚半轴 b）
．
2.（静安一模理 12）已知椭圆 C :
x2 y2 1 的上、下焦点分别为 F1 、 F2 ，过椭圆 C 上一点 P(1, 2 ) 作倾斜角互 2 4
2019届高考数学大二轮复习精品练习：第1部分 专题4 数列 第2讲 Word版含解析
第一部分 专题四 第二讲A 组1．设{a n }的首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝(D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[解析]由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 2＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.故选D ．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1等于( B )A ．1－14nB ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n)[解析]因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1，所以1anan ＋1＝12×(14)n －1，所以{1anan ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝12×错误!＝错误!(1－错误!)，故选B ．3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( C)A ．30B ．45C ．90D ．186[解析]设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝6，a1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝3，所以a n ＝3n ，所以b n ＝a 2n ＝6n ，且b 1＝6，公差为6，所以S 5＝5×6＋5×42×6＝90.4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( C )[解析]∵S n ＝na 1＋错误!d ，∴S n ＝错误!n 2＋(a 1－错误!)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x|； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( C )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ [分析]保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析]解法一：设{a n }的公比为q .①f (a n )＝a 2n ，∵a2n ＋1a2n ＝(an ＋1an )2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B 、D ．③f (a n )＝|an|，∵|an ＋1||an|＝|an ＋1an|＝|q|，∴{f (a n )}是等比数列，排除A ．解法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝a 2n ＝4n .显然{f (a n )}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以错误!＝错误!＝4≠错误!＝错误!＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x|，所以f (a n )＝2n ＝(2)n .显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln2n ＝n ln2.显然{f (a n )}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C ．6．(2018·邵阳一模)已知数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1.2_017的值为2018a 则ln ，n b ·n a ＝＋1n a 且，[解析]因为数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，所以a 2018＝b 1·b 2·b 3·b 4·…·b 2017＝b 20171009＝e 2017，ln a 2018＝lne 2017＝2017.7．已知数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10的值为1 023128.[解析]数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，所以b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 10121＋2＋…＋9)＝25，所以a 101×245＝225，可得：a 1＝14.那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10＝4(1＋12＋122＋…＋129)＝4×1－12101－12＝1023128.8．已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析](1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项，所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a2·a3＝32，a2＋a3＝12.因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，a3＝8.所以q ＝a3a2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝错误!－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.9．(文)(2018·天津卷，18)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．[解析](1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n1－2＝2n －1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝错误!. (2)由(1)，知T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得错误!＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.(理)(2018·天津卷，18)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n∈N *)，{b n }是等差数列.已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式．(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，①求T n ；②证明[解析](1)设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n .(2)①由(1)，有S n ＝1－2n1－2＝2n －1，故T n ＝k ＝1n(2k －1)＝k ＝1n 2k－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.②因为错误!＝错误!＝ 错误!＝错误!－错误!，B 组1．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列{错误!}的前n 项和T n ＝( C ) A ．－n2n ＋1B ．n2n ＋1C ．－2n2n ＋1D ．2n2n ＋1[解析]本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和．设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a3－a12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(32a 1－54)2＝(a 1－152)a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a3－a12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以错误!＝－错误!＝－(错误!－错误!)，所以其前n 项和T n ＝－(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(1－12n ＋1)＝－2n2n ＋1，故选C ．2．(文)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( D )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[解析]依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述，故选D ．(理)已知a n ＝32n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是( C )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值[解析]画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．3．已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( A )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [解析]∵S 20＝a1＋a202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a7＋a142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B )A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D ．12n －1[解析]由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，∴Sn ＋1Sn ＝32，∵a 1＝1，S 1＝2a 2，∴a 2＝12a 1＝12，∴S 2＝32，∴S2S1＝32，∴S n ＝(32)n －1.5．(2018·山东省实验中学调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( A )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[解析]a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋ln n .6．(2018·西安一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n n ＋1(n∈.16的值为n 4成立的最小自然数－<n S 则使，n S 项和为n 设其前)，*N[解析]因为a n ＝log 2nn ＋1，所以S n ＝log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 2n n ＋1＝log 2(12·23·34·…·n n ＋1)＝log 21n ＋1，若S n <－4，则1n ＋1<116，即n >15，则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.7．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，.－3n －2n 3·2个数的和是n 群中n 则第，个数n 群恰好n 第，…，群n 第，…[解析]由图规律知，第n 行第1个数为2n －1，第2个数为3·2n －2，第3个数为5·2n －3……设这n 个数的和为S则S ＝2n －1＋3·2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －3)·2＋(2n －1)·20①2S n ＝2n ＋3·2n －1＋5·2n －2＋…＋(2n －3)·22＋(2n －1)·21②②－①得S n ＝2n ＋2·2n －1＋2·2n －2＋…＋2·22＋2·2－(2n －1)＝2n ＋2n ＋2n －1＋…＋23＋22－(2n －1)＝2n ＋错误!－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋1－4－2n ＋1＝3·2n －2n －3.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[分析](1)利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a 1，a 2，a 3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n ＋2－a n ＝λ推证{a n }为等差数列．[解析](1)由题设：a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1an ＋2，a 1＝－12.(1)求证{1an ＋1}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值．[解析](1)证明：∵a n ＋1＝－1an ＋2，∴a n ＋1＋1＝－1an ＋2＋1＝an ＋2－1an ＋2＝an ＋1an ＋2，由于a n ＋1≠0，∴1an ＋1＋1＝an ＋2an ＋1＝1＋1an ＋1， ∴{1an ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)题结论知：1an ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1－1＝－nn ＋1(n ∈N *)．(3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P －n ，∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立，而1＋a n ＝1n ＋1，设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)，∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故P ≤12.1 2.∴P的最大值为。
2019年高考数学(理科,天津课标版)大二轮复习：综合能力训练 含答案
综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=-,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=--若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos-+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件--则-的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.-17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A--,B--,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列-的前3项和,而---,即S n=-故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则--=0,即--由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,--=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析(举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析(1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则-所以即=2.故答案为2.10.-40解析(2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-π.12.2解析∵4ρcos-+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件--作出可行域如图,联立-解得A(3,2),-的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA=--=1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解(1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].----=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n=-=1+-设c n=-,且前n项和为T n,则T n=+…+-,①T n=+…+,②①-②,得T n=1++…+---=2-故T n=4--,S n=n+4--17.解法一(1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),于是可取n=(λ,-λ,1).则由可得-同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1,①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2),②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=,③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是-,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=-①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=->0,当x-时,f'(x)<0,则f(x)在区间-内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=-<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln, 即<ln,得--<ln由于n∈N*,则----<ln<e.。
江苏省南京市2019届高三数学考前综合训练题及答案
南京市2019届高三数学考前综合训练题一、填空题1．数列{a n }为等比数列，其前n 项的乘积为T n ，若T 2＝T 8，则T 10＝ ． 【答案】1【提示】法一：由T 2＝T 8得a 3·a 4·…·a 8＝1，则(a 3·a 8)3＝1，a 3·a 8＝1．从而T 10＝a 1·a 2·…·a 10＝(a 1·a 10)5＝(a 3·a 8)5＝1； 法二：(特殊化思想)，取a n ＝1，则T 10＝1．【说明】本题考查等比数列的运算性质．可一般化：{a n }为正项等比数列，其前n 项的乘积为T n ，若T m ＝T n ，则T m ＋n ＝1；可类比：{a n }为等差数列，其前n 项的和为S n ，若S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0．(其中m ，n ∈N *，m ≠n )．2．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0上的动点，点P 到某直线l 的最大距离为5．若在直线l 上任取一点A 作圆C 的切线AB ，切点为B ，则AB 的最小值是________． 【答案】5．【提示】由P 到直线l 的最大距离为5，得圆心C 到直线l 的距离为3，从而直线l 与圆C 相离．过A 引圆C 的切线长AB ＝AC 2－r 2＝AC 2－4≥32－4＝5．【说明】点､直线与圆的相关问题常转化为圆心与点､直线问题．3．已知直线l ：x －2y ＋m ＝0上存在点M 满足与两点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为－34，则实数m 的值是___________． 【答案】[－4，4]．【提示】点M 的轨迹为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．把直线l ：x ＝2y －m 代入椭圆方程得，16y 2－12my ＋(3m 2－12)＝0．根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m ≤4．【说明】求曲线方程的直接法，研究直线与椭圆位置关系中基本方法是方程思想．4．已知数列{a n }为正项等差数列，满足1a 1＋4a 2k －1≤1(其中k ∈N *且k ≥2)，则a k 的最小值为_________．【答案】92．【提示】因为{a n }为正项等差数列，则a k ＝a 1 ＋ a 2k －1 2≥a 1 ＋ a 2k －1 2·(1a 1＋4a 2k －1)＝12·(5＋a 2k －1a 1＋4 a 1a 2k －1)≥12·(5＋2a 2k －1a 1·4 a 1a 2k －1)＝92(当且仅当1a 1＋4a 2k －1＝1，且a 2k －1a 1＝4 a 1a 2k －1， 即a 1＝3，a 2k －1＝6时取“＝”号)．【说明】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合．5． 以C 为钝角的△ABC 中，BC ＝3，→BA ·→BC ＝12，当角A 最大时，△ABC 面积为__________． 【答案】3【提示】过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则→BA ·→BC ＝|→BA ||→BC |cos B ＝BDBC ＝3BD ＝12， 所以BD ＝4，又BC ＝3，所以CD ＝1．设AD ＝y (y ＞0)，则tan ∠BAC ＝4y －1y 1＋4y 2＝3y ＋4y≤34，且仅当y ＝4y，即y ＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC 也最大．【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法：定义法､基底法和坐标法中选择，本题用定义法最为简洁，用坐标法也可以得出同上结论，另由两个直角三角形拼接的平面图形，计算角的最值，可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决，体现了化归与转化的思想．6．计算：4sin20︒＋tan20︒＝ ． 【答案】3．【提示】原式＝4sin20︒＋sin20︒cos20︒＝4sin20︒ cos20︒＋sin20︒cos20︒＝2sin40︒＋sin20︒cos20︒＝2sin(60︒－20︒)＋sin20︒cos20︒＝3cos20︒－sin20︒＋sin20︒cos20︒＝3．【说明】切化弦､向特殊角转化､向单一的角转化是三角恒等变换(求值)的一般思路． 7．设α是锐角，且cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ．【答案】17250【提示】因为α是锐角，所以π6＜α＋π6＜2π3，因为cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35．sin2(α＋π6)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝1－2sin 2(α＋π6)＝725．ABCDsin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin2(α＋π6)cos π4－cos2(α＋π6)sin π4＝2425×22－725×22＝17250．【说明】考查同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数，重点突出角之间的互化，设法将所求角转化为已知角，用已知角表示所求角．8．等比数列{a n }中，首项a 1＝2，公比q ＝3，a n ＋a n ＋1＋…＋a m ＝720(m ，n ∈N *，m ＞n )，则m ＋n ＝ ． 【答案】9．【提示】因为a n ＝2·3n －1，则a n ＋a n ＋1＋…＋a m ＝2·3n －1·(1－3m－n ＋1)1－3＝3n －1·(3m －n ＋1－1)＝720＝32×24×5，则⎩⎨⎧n －1＝2m －n ＋1＝4，解得n ＝3，m ＝6，则m ＋n ＝9． 【说明】本题考查等比数列中的基本运算，涉及到简单的数论知识（整数的分解）．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，x ＜a ，x 2－2x ，x ≥a，若任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】－5≤a ≤4．【提示】“任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ”等价于函数f (x )的值域为R ．在平面直角坐标系xOy 中，分别作出函数y ＝x ＋4及y ＝x 2－2x 的图像， 观察图像可知－5≤a ≤4．【说明】本题要注意条件的等价转化．一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像，运用数形结合的方法解决问题，学会从特殊值验证，再到一般结论的发展．10．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】（－∞，－2）【提示】解法一：若a ＝0，解得x ＝±33，不合题意． 若a ＞0，则f (－1)＝－a －2＜0，f (0)＝1＞0，所以f (x )存在负的零点，不合题意． 若a ＜0，则f ′(x )＝3ax (x －2a )，可得f (2a )＝1－4a 2为极小值，则满足1－4a 2＞0，解得a ＞2或a ＜－2．此时，取得a ＜－2． 综上，a 的取值范围是（－∞，－2）．解法二：f (x )＝0，即ax 3＝3x 2－1，分离参数a ＝3x －1x3，同样可得a ＜－2．【说明】考查零点概念、零点存在性定理；函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，学会利用导数来研究函数的图象和性质．11．设函数f (x )＝ln x ＋mx ，（m ∈R ），若对任意b ＞a ＞0，f (b )－f (a )b －a ＜1恒成立，则m 的取值范围是 ．【答案】[14，＋∞）．【提示】对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立．函数h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx－x 在(0，＋∞)是单调减函数，即h ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14（x ＞0）恒成立，解得：m ≥14．所以m 的取值范围是[14，＋∞）．【说明】考查求常见函数的导数，利用导数研究函数的单调性，会用分离常数的方法来研究不等式恒成立问题，不等式、方程、函数三者之间相互转化是高考考查的重点，要培养用函数的观点来研究不等式、方程的意识，体现数形结合思想．二、解答题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知tan A ＝13．设向量x ＝(3a ，cos A )，y ＝(2c ，cos C )，且x ∥y ．（1）若b ＝5，求c 2－a 2的值； （2）求B 的值．解：（1）因为x ∥y ，所以3a cos C ＝2c cos A ．用余弦定理代入，化简可得：b 2＝5(c 2－a 2)． 因为b ＝5，所以c 2－a 2＝1．（2）因为3a cos C ＝2c cos A ，由正弦定理得：3sin A cos C ＝2sin C cos A ，即3tan A ＝2tan C ． 因为tan A ＝13，所以tan C ＝12，从而tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－1．因为B ∈(0，π)，所以B ＝3π4．【说明】考查向量的平行，正弦、余弦定理，两角和与差的正切公式．能够根据题目的要求正确实现边角互化．2．三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ． （1）若AB →·AC →≤23S ，求A 的取值范围；（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且c ＝1，求b ． 解：（1）由题意知，AB →·AC →＝bc cos A ，S ＝12bc sin A ，所以bc cos A ≤3bc sin A ，即cos A ≤3sin A ，（或也可根据cos A 的正负，转化为关于tan A 的不等式）． 即3sin A －cos A ≥0，2sin(A －π6)≥0．因为A 为三角形内角，则A －π6∈(－π6，5π6)，所以0≤A －π6＜5π6，从而A ∈[π6，π)．（2）设tan A ＝m ，tan B ＝2m ，tan C ＝3m ，由题意知，m ＞0． 因为tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ，则3m ＝－ 3m1－2m 2，解得m ＝1，则tan B ＝2，tan C ＝3，从而sin B ＝255，sin C ＝31010，所以AC AB ＝sin B sin C ＝22 3，则AC ＝223．【说明】本题第（1）问考查数量积､三角形面积公式､两角和差公式及简单的三角不等式．第（2）问的目的是考查斜三角形三内角A ，B ，C 满足的一个恒等式(tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C )． 还可联想到一类求值问题(两角和差正切公式的变形)，如tan37︒＋tan23︒＋3tan37︒·tan23︒等问题．3．某高速公路收费站出口处依次有编号为1､2､3､4､5的五个收费窗口．（1）若每天随机开放其中的3个收费窗口，则恰有两个相邻窗口开放（如：1，2，4）的概率是多少? （2）经统计，在某个开放的收费窗口处排队等侯的车辆数及相应概率如下：①该收费窗口处至多有2辆车排队等侯的概率是多少? ②该收费窗口处至少有3辆车排队等侯的概率是多少?解：（1）记事件A 为“开放3个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放”，用(i ，j ，k )表示编号分别为i ，j ，k的三个收费窗口开放．则本题的基本事件包括：(1，2，3)，(1，2，4)(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)， (2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)， 共10个基本事件；而事件A 包括：(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)， 共6个基本事件．因此P (A )＝610＝35．答：随机开放其中三个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放的概率为35．（2）记事件B i 为“该收费窗口处有i 辆车排队等侯”，其中i ＝0，1，2，3，4，5．则由题意知，上述6个事件为互斥事件．记事件C 为“该收费窗口处至多有2辆车排队等侯”， 事件D 为“该收费窗口处至少有3辆车排队等侯”．则P (C )＝P (B 0＋B 1＋B 2)＝ P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56， P (D )＝P (B 3＋B 4＋B 5)＝ P (B 3)＋P (B 4)＋P (B 5)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44． （另解：由题意知事件C ，D 为对立事件，则P (D )＝P (－C )＝1－P (C)＝0.44）答：该收费窗口处至多2辆车排队等侯的概率为0.56，至少3辆车排队等侯的概率为0.44． 【说明】本题考查古典概型和互斥事件的概率计算，主要要注意规范表述． 4．如图，四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，三角形BCD为正三角形． （1）当∠BAD ＝π3时，设AC →＝x AB → ＋ yAD →，求x ，y 的值；（2）设∠BAD ＝α，则当α为多少时，四边形ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．解：（1）在△ABD 中，由于AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝π3，易得BD ＝3，∠ABD ＝π6，∠ADB ＝π2，∠ABC ＝π2，∠ADC ＝5π6．下面提供三种解法：法一：如图，过点C 作CE //AD 交AB 于点E ，在△BCE 中，BC ＝3，∠ABC ＝π2，∠BEC ＝π3，则CE ＝2，BE ＝1，则AE ＝1，所以AC →＝AE →＋EC →＝12AB →＋2AD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图直角坐标系．ACDBACDB则D (12，32)，B (2，0)，C (2，3)，则AC →＝(2，3)，AB →＝(2，0)，从而AD →＝(12，32)，则⎩⎨⎧2x ＋12y ＝2 32y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．法三：因为AC →·AB →＝x AB →2＋y AD →·AB →＝4x ＋y ，又AC →·AB →＝(AB →＋BC →)·AB →＝AB →2＋BC →·AB →＝4， 则4x ＋y ＝4．因为AC →·AD →＝x AB →·AD →＋yAD →2＝x ＋y ，又AC →·AD →＝(AD →＋DC →)·AD →＝AD →2＋DC →·AD →＝1＋1×3×cos π6＝52，则x ＋y ＝52．从而⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4x ＋y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．（2）在△ABD 中，由余弦定理知，BD ＝5－4cos α，则S △ABD ＝sin α，S △BDC ＝34BD 2＝34(5－4cos α)， 则S ＝ sin α－ 3cos α＋ 534＝2sin(α－ π3)＋534，α∈(0，π)， 所以S max ＝2＋534，此时α－ π3＝π2，即α＝5π6． 【说明】第（1）问考查平面向量基本定理，将向量AC →用基底AB →，AD →线性表示．此类问题通常的处理方法：利用“平行四边形法则”或“三角形法则”分解；将向量用坐标表示；将向量与基底进行运算（数量积､平方等）．第（2）问考查三角形面积､三角恒等变换及三角函数在给定区间上的最值问题． 5．某隧道长2150m ，通过隧道的车辆速度不能超过20m /s ．一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队(这种型号车能行驶的最高速度为40m /s )，匀速通过该隧道，设车队的速度为xm /s ，根据安全和车流量的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持(16x 2＋13x )m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y (s )． （1）将y 表示为x 的函数；（2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73)． 解：（1）当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×(55－1)x ＝3780x(s )；当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋(16x 2＋13x )×(55－1)x ＝2700＋9x 2＋18xx＝18＋9x ＋2700x(s )．所以y ＝⎩⎨⎧3780x，0＜x ≤10，18＋9x ＋2700x，10＜x ≤20．（2）当x ∈(0，10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s )． 当x ∈(10，20]时，y ＝18＋9x ＋2700x≥18＋29x ⋅2700x＝18＋1803≈329.4(s )． 当且仅当9x ＝2700x，即x ＝103≈17.3时取等号．因为17.3∈(10，20]，所以当x ＝17.3m /s 时，y min ＝329.4(s )．因为378＞329.4，所以当车队的速度为17.3m /s 时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4s ．【说明】注意半建模型的应用问题，其中变量在不同范围内，对应的函数关系不一样，处理问题的方法也有区别，可与多项式函数､分式函数､三角函数等综合，也可用不等式､导数､三角变换等工具研究其最值．6．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝1，P 为直线l ：x ＝t (1＜t ＜2)上一点． （1）已知t ＝43．①若点P 在第一象限，且OP ＝53，求过点P 圆O 的切线方程；②若存在过点P 的直线交圆O 于点A ，B ，且B 恰为线段AP 的中点，求点P 纵坐标的取值范围； （2）设直线l 与x 轴交于点M ，线段OM 的中点为Q ．R 为圆O 上一点，且RM ＝1，直线RM 与圆O交于另一点N ，求线段NQ 长的最小值．解：（1）设点P 的坐标为(43，y 0)．①因OP ＝53，所以(43)＋y 02＝(53)2，解得y 0＝±1．又点P 在第一象限，所以y 0＝1，即P 的坐标为(43，1)．易知过点P 圆O 的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k ，则切线为y －1＝k (x －43)，即kx －y ＋1－43k ＝0，于是有|1－43k |k 2＋1 ＝1，解得k ＝0或k ＝247．因此过点P 圆O 的切线为:y ＝1或24x －7y －25＝0． ②设A (x ，y )，则B (x ＋432，y ＋y 02)．因为点A ，B 均在圆上，所以有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋432)2＋(y ＋y 02)2＝1．即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4． 该方程组有解，即圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4有公共点．于是1≤169 ＋y 02≤3，解得－65 3≤y 0≤65 3， 即点P 纵坐标的取值范围是[－65 3，653]． （2）设R (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 22＋y 22＝1，(x 2－t )2＋y 22＝1．解得x 2＝t 2，y 22＝1－t 24． RM 的方程为：y ＝－2y 2t(x －t )． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1， y ＝－2y 2t (x －t )．可得N 点横坐标为t (3－t 2)2，所以NQ ＝(2t －t 32)2＋1－(3t －t 32)2＝122t 4－5t 2＋4． 所以当t 2＝54即t ＝ 5 2时，NQ 最小为148．【说明】本题考查了直线与圆的位置关系､圆与圆的位置关系．其中第二问要能体会将方程组有解问题转化为圆与圆有公共点问题；第三问要能会求在已知一个交点的情况下直线与曲线的另一个交点的坐标．最后需要注意解析几何当中求范围问题．7． 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点D (1，32)，且右焦点为F (1,0)，右顶点为A ．过点F 的弦为B C ．直线BA ，直线CA 分别交直线l :x ＝m,(m ＞2)于P ､Q 两点． （1）求椭圆方程；（2）若FP ⊥FQ ，求m 的值．解：（1）1a 2＋94b 2＝1,a 2－b 2＝1,解之得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1；（2）设B (x 0，y 0)，则BC ：y ＝y 0x 0－1(x －1)，与椭圆E ：x 24＋y 23＝1联立方程组：⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)， x 24＋y 23＝1．解得x ＝x 0，y ＝y 0或x ＝8－5x 05－2x 0，y ＝－3y 05－2x 0，所以C (8－5x 05－2x 0,－3y 05－2x 0)．k AB k AC ＝y 0x 0－2⋅－3y 05－2x 08－5x 05－2x 0－2＝y 0x 0－2⋅3y 0x 0＋2＝3y 02x 02－4＝9(1－x 024)x 02－4＝－94．显然k AB ＝k AP ,k AC ＝k AQ ，所以k AP k AQ ＝－94．设Q (m,y 1)k FQ ＝y 1m －1＝y 1m －2⋅m －2m －1＝m －2m －1k AQ ，同理k FP ＝m －2m －1 k AP ．所以k FP k FQ ＝(m －2m －1)2k AP k AQ ＝－94(m －2m －1)2＝－1,又m ＞2，所以m －2m －1＝23，所以m ＝4．【说明】本题考查了椭圆的标准方程､直线的斜率．重点考查学生的计算能力，即应用解析的方法证明圆锥曲线性质的能力．本题中要证明FP ⊥FQ ，即证明k FP k FQ ＝－1，通过分析可以发现k FQ 与k AQ 成比例，同理k FP 与 k AP 成比例，故只需证明k AB k AC 即可．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点､下顶点､左顶点分别为F 2，B ，A ．AB ＝3．直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线AP 与BQ 交于点M ． （1）求a ，b 的值；（2）当BP 过点F 2时，求过A ､B ､P 三点的圆的方程； *（3）当AM MP ＝BMMQ 时，求F 2M 的最小值．解：（1）根据条件得，⎩⎨⎧c a ＝22，a 2＋b 2＝3，a 2＝b 2＋c 2．解得a ＝2，b ＝1．（2）由（1）知，F 2，B 的坐标分别为(1，0)，(0，－1)．所以BP 方程为y ＝x －1． 代入C ：x 22＋y 2＝1得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43．所以P (43，13)．设过A ，B ，P 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－2，0)，B (0，－1)，P (43，13)代入得，⎩⎨⎧－2D ＋F ＝－2，－E ＋F ＝－1，43D ＋13E ＋F ＝－179．解得⎩⎨⎧D ＝13(2－1)，E ＝－13(2＋1)，F ＝－13(2＋4)．所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋13(2－1)x －13(2＋1)y －13(2＋4)＝0．（3）设P ，Q ，M 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 0，y 0)，且AM MP ＝BMMQ＝λ，根据条件得，→AM ＝λ→MP ，→BM ＝λ→MQ ．由→AM ＝λ→MP 得，即(x 0＋2，y 0)＝λ(x 1－x 0，y 1－y 0)． 所以⎩⎨⎧x 0＋2＝λ(x 1－x 0)，y 0＝λ(y 1－y 0)．解得⎩⎨⎧x 1＝(1＋1λ)x 0＋2λ，y 1＝(1＋1λ)y 0．同理，由→BM ＝λ→MQ 得，⎩⎨⎧x 2＝(1＋1λ)x 0，y 2＝(1＋1λ)y 0＋1λ．因为P (x 1，y 1)在椭圆C 上，所以x 12＋2y 12＝2．代入得，[(1＋1λ)x 0＋2λ]2＋2[(1＋1λ)y 0]2＝2．同理得，[(1＋1λ)x 0]2＋2[(1＋1λ)y 0＋1λ]2＝2．把上面两式相减得，(1＋1λ)(x 0－2y 0)＝0．因为1＋1λ≠0，所以x 0－2y 0＝0．即点M 的轨迹是直线x －2y ＝0在椭圆内的一段．所以F 2M 的最小值即为F 2到直线x －2y ＝0距离．即F 2M min ＝∣1⋅1－2⋅0∣12＋(－2)2＝33． 【说明】（1）椭圆中的a ，b ，c 与各种几何量之间关系要熟记，它们是求椭圆标准方程与几何量的基础； （2）注意求方程的待定系数法，合理选择方程的形式；（3）在进行关系转化时，一定要分清主次，要求什么量关系，需要消去哪些量，先想明白，再变形． 9．已知函数f (x )＝(x －1)e x ，g (x )＝ln x ，其中e 是自然对数的底数． （1）求函数f (x )的极值；（2）求函数h (x )＝f (x )＋e ∣g (x )－a ∣(a 为常数)的单调区间；解：（1）因为f '(x )＝x e x ，所以当x ＞0时，f '(x )＞0；当x ＜0时，f '(x )＜0． 因此f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减， 所以f (x )有极小值为f (0)＝－1，无极大值．（2）h (x )＝f (x )＋e ∣g (x )－a ∣＝(x －1)e x ＋e ∣ln x －a ∣．当x ≥e a 时，h (x )＝(x －1)e x ＋e(ln x －a )，h '(x )＝x e x ＋ex ＞0恒成立，h (x )在(e a ，＋∞)上单调递增，当0＜x ≤e a 时，h (x )＝(x －1)e x ＋e(a －ln x )，h '(x )＝x e x －e x ，[h '(x )]'＝(x ＋1) e x ＋ex 2＞0恒成立．所以h '(x )在(0，e a ]上单调递增，注意到h '(1)＝0． 因此当a ≤0时，h '(x )≤0恒成立．当a ＞0时，当x ∈(0，1)时，h '(x )＜0；当x ∈[1，e a ]时，h '(x )≥0．综上有：当a ≤0时，h (x )减区间为(0，e a ]，增区间为(e a ，＋∞)． 当a ＞0时，h (x )减区间为(0，1)，增区间为[1，＋∞)．【说明】本题以指对函数为载体，考查了导数的运用､分类讨论思想､函数的零点等相关知识．其中第3问要能感受与体会存在性和唯一性的证明方法．10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是实数集R 上的奇函数，且在x ＝1处取得极小值－2． （1）求f (x )的表达式；（2）已知函数g (x )＝|x |－2，判断关于x 的方程f (g (x ))－k ＝0解的个数． 解：（1） f (－x )＝－ax 3＋bx 2－cx ＋d ，－f (x )＝ －ax 3－bx 2－cx －d ，对任意x ∈R ，f (－x )＝ －f (x )，即－ax 3＋bx 2－cx ＋d ＝－ax 3－bx 2－cx －d ，bx 2＋d ＝0， 所以b ＝d ＝0，f (x )＝ax 3＋cx ． f ' (x )＝3ax 2＋c,由题意f ' (1)＝3a ＋c ＝0，f (1)＝a ＋c ＝－2,所以a ＝1，c ＝－3， f (x )＝x 3－3x ；（2）令t ＝g (x ),则f (t )＝k ．f ' (t )＝3t 2－3＝3(t ＋1)(t －1),令f ' (t )＝0，则t ＝－1或t ＝1， t ＜－1，则f ' (t )＞0,所以f (t )在(－∞，－1)上单调增， －1＜t ＜1, 则f ' (t )＜0,所以f (t )在(－1，1)上单调减， t ＞1, 则f ' (t )＞0,所以f (t )在(1，＋∞)上单调增． 计算得f (－2)＝f (1)＝－2,f (2)＝f (－1)＝2．1o k ＜－2时,f (t )＝k 仅有一小于－2的解t 1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝t 1，|x |＝t 1＋2无解；即f (g (x ))－k ＝0无解．2o k ＝－2时,f (t )＝k 有两解t 1＝－2，t 2＝1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝－2，x ＝0， g (x )＝t 2,即|x |－2＝1，x ＝3或x ＝－3，即f (g (x ))－k ＝0有3解；3 o －2＜k ＜2时,f (t )＝k 有三解t 1，t 2，t 3，且－2＜ t 1＜t 2＜t 3＜2，g (x )＝ t i ,即|x |－2＝t i ，|x |＝t i ＋2,有两解，(i ＝1,2,3)，即f (g (x ))－k ＝0有6解；4o k ＝2时,f (t )＝k 有两解t 1＝－1，t 2＝2，g (x )＝t 1,即|x |－2＝－1，x ＝－1或x ＝1， g (x )＝t 2,即|x |－2＝2，x ＝4或x ＝－4，即f (g (x ))－k ＝0有4解；5o k ＞2时,f (t )＝k 仅有一大于2的解t 1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝t 1，|x |＝t 1＋2，有2解； 即f (g (x ))－k ＝0有2解．综上，方程f (g (x ))－k ＝0解的个数如下：k ＜－2时0解；k ＝－2时3解；－2＜k ＜2时6解；k ＝2时4解；k ＞2时2解．【说明】本题考查了函数的奇偶性，单调性与极值．重点考查复合函数的零点个数，体现了数形结合与化归的思想．处理复合函数的问题一般用换元法，就复合函数的零点个数而言，一般先求外函数的零点个数，再分别代入内函数即可．研究函数零点问题，重点是利用好数形结合． 11．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，且S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22对n ∈N *成立．（1）求常数k 的值以及数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n }中的部分项a k 1，a k 2，a k 3，…a k n，…，恰成等比数列，其中k 1＝，,k 3＝14，求a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n 的值．解：（1）法一：条件化为2S n ＝a n ＋k 对n ∈N*成立． 设等差数列公差为d ，则2na 1＋n (n －1)d2＝ a 1＋(n －1)d ＋k ．分别令n ＝1，2，3得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 1＋k ，①22a 1＋d ＝a 1＋d ＋k ，②23a 1＋3d ＝a 1＋2d ＋k ．③由①＋③－2⨯②得，a 1＋3a 1＋3d ＝22a 1＋d ．两边平方得，4a 1＋d ＝23a 12＋3a 1d ． 两边再平方得，4a 12－4a 1d ＋d 2＝0．解得d ＝2a 1． 代入②得，4a 1＝3a 1＋k ，④由④－①得，a 1＝a 1．所以a 1＝0，或a 1＝1． 又当a 1＝0时，d ＝0不合题意．所以a 1＝1，d ＝2． 代入①得k ＝1．而当k ＝1，a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，a n ＝2n －1，等式 S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22对n ∈N *成立．所以k ＝1，a n ＝2n －1．法二：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )．代入S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22得，d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝14[dn ＋(a 1＋k －d )]2，即2dn 2＋(4a 1－2d )n ＝d 2n 2＋2d (a 1＋k －d )n ＋(a 1＋k －d )2．因为上面等式对一切正整数n 都成立，所以由多项式恒等可得，⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝d 2，4a 1－2d ＝2d (a 1＋k －d )，a 1＋k －d ＝0．因为d ≠0，所以解得，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1，k ＝1．所以常数k ＝1，通项公式a n ＝2n －1．（2）设c n ＝ a k n，则数列{c n }为等比数列，且c 1＝a k 1＝a 2＝3，c 3＝a k 3＝a 14＝27．故等比数列{c n }的公比q 满足q 2＝c 3c 1＝9．又c n ＞0，所以q ＝3．所以c n ＝c 1q n －1＝3⨯3n －1＝3n ．又c n ＝a k n＝2k n －1，所以2k n －1＝3n ．由此可得k n ＝12⨯3n ＋12．所以a n k n ＝2n －12⨯3n ＋2n －12．所以a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n＝(12⨯31＋12)＋(32⨯32＋32)＋(52⨯33＋52)＋…＋(2n －12⨯3n ＋2n －12) ＝12⨯[1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n ]＋12[1＋3＋5＋…＋(2n －1)] ＝12⨯[1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n ]＋12n 2． 法一：令S ＝1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n则3S ＝ 1⨯32＋3⨯33＋…＋(2n －3)⨯3n ＋(2n －1)⨯3n ＋1，两式相减得:－2S ＝3＋2⨯32＋2⨯33＋…＋2⨯3n －(2n －1)⨯3n ＋1，S ＝－12[2⨯3(1－3n)1－3－3－(2n －1)⨯3n ＋1]＝－12[－3(1－3n )－3－(2n －1)⨯3n ＋1]＝－12[－2(n －1)⨯3n ＋1－6]＝(n －1)⨯3n ＋1＋3，代入得a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n ＝12⨯[(n －1)⨯3n ＋1＋3]＋12n 2＝(n －1)⋅3n ＋1＋n 2＋32．法二：因为(2k －1)⋅3k ＝[(k ＋1)－2]⋅3k ＋1－(k －2)⋅3k ＝(k －1)⋅3k ＋1－(k －2)⋅3k ．所以S ＝[0⋅32－(－1)⋅31]＋[1⋅33－0⋅32]＋[2⋅34－1⋅33]＋…＋[(n －1)⋅3n ＋1－(n －2)⋅3n ]＝(n －1)⋅3n ＋1＋3．【说明】（1）等差数列或等比数列中的基本量问题，通常转化为方程组求解，但在解方程组要注意一些消元的方法；（2）等差数列注意前n 项和与通项的形式，有时可根据其特征，转化为多项式恒等问题； （3）数列求和中两类比较重要的方法错位相减法与裂项相消法．12．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且rS n ＋1－(r ＋1)S n ＝ra 1对任意正整数n 都成立，其中r 为常数，且r ∈N *． （1）求证：数列{a n }为等比数列；*（2）若r ≥2，且a 1，a t (t ≥3)均为正整数，如果存在正整数q ，使得a 1≥q t －1，a t ≤(q ＋1)t －1，求证：S t ＝(q ＋1)t －q t ．解：（1）由rS n ＋1－(r ＋1)S n ＝ra 1得rS n ＋2－(r ＋1)S n ＋1＝ra 1，两式相减得ra n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，即a n ＋2 a n ＋1＝r ＋1r ．又rS 2－(r ＋1)S 1＝ra 1，得a 2 a 1＝r ＋1r ．综上可知{a n }为等比数列，且公比为r ＋1r．（2）由于a t ＝a 1(r ＋1r )t －1及a 1均为正整数，所以存在正整数k ，使得a 1＝kr t －1，所以a t ＝k (r ＋1)t －1．由a t ≤(q ＋1)t －1得(q ＋1)t －1≥k (r ＋1)t －1≥(r ＋1)t －1，于是q ≥r ．又由a 1≥qt －1，a t ≤(q ＋1)t －1得a t a 1≤(q ＋1)t －1q t －1，于是(r ＋1r )t －1≤(q ＋1)t －1 q t －1，从而r ＋1r ≤q ＋1q ，即q ≤r ． 由上可知:q ＝r ．所以a t ＝a 1(r ＋1r )t －1＝a 1(q ＋1 q)t －1≤(q ＋1)t －1，于是a 1≤q t －1，又a 1≥q t －1．所以a 1＝q t －1．于是S t ＝a 1 1－(r ＋1r )t 1－r ＋1r＝a 1 r ((r ＋1r )t －1)＝q t －1q ( (q ＋1q )t －1) ＝(q ＋1)t －q t ．【说明】本题考查了S n 与a n 之间的转化､等比数列､简单的不等式等相关知识，具有一定的综合性．第（2）问要能体会由不等推相等的方法．13．设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *都有a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和． （1）求a 1，a 2；（2）求数列{a n }的通项公式；*（3）b n ＝S n ＋3S n ，c n ＝2a n2a n－1＋a n ，试找出所有即在数列{b n }中又在数列{c n }中的项．解：（1）令n ＝1，则a 13＝ S 13＋2S 1，即a 13＝ a 12＋2a 1，所以a 1＝2或a 1＝－1或a 1＝0． 又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 1＝2．令n ＝2，则a 13＋a 23＝ S 22＋2S 2，即a 13＋a 23＝(a 1＋a 2)2＋2(a 1＋a 2)，解得a 2＝3或a 2＝－2或a 2＝0． 又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 2＝3． （2）因为a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n (1)所以a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n －13＝S n －12＋2S n －1(n ≥2) (2)由(1)－(2)得a n 3＝( S n 2＋2S n )－(S n －12＋2S n －1)＝(S n －S n －1)( S n ＋ S n －1＋2)＝a n ( S n ＋S n －1＋2)， 因为a n ＞0,所以a n 2＝S n ＋S n －1＋2 (3) 所以a n －12＝S n －1＋S n －2＋2(n ≥3) (4)由(3)－(4)得a n 2－a n －12＝a n ＋a n －1，即a n －a n －1＝1(n ≥3)， 又a 2－a 1＝1，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1．（3）S n ＝n (n ＋3)2，所以b n ＝S n ＋3S n ＝n (n ＋3)＋6n (n ＋3),c n ＝2an2a n－1＋a n ＝2n ＋12n ＋n ＋1．不妨设数列{b n }中的第n 项b n 和数列{c n }中的第m 项c m 相同，则b n ＝c m ． 即n (n ＋3)＋6n (n ＋3)＝2m ＋12m ＋m ＋1，即6n (n ＋3)＝2m －m －12m ＋m ＋1．1o若2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)≥13，则n 2＋3n －18≤0，所以1≤n ≤3，n ＝1时,2m －m －12m ＋m ＋1＝32，无解；n ＝2时，2m －m －12m ＋m ＋1＝35，即5·2m －5m －5＝3·2m ＋3m ＋3，所以2m ＝4m ＋4，m ＝1,2,3,4时2m ＜4m ＋4；m ≥5时,令f (m )＝2m －4m －4,则f (m ＋1)－f (m )＝2m －4＞0，所以f (m )单调增，所以f (m )≥f (5)＝8＞0,所以2m ＝4m ＋4无解； n ＝3时2m －m －12m ＋m ＋1＝13，即2m ＝2m ＋2，m ＝1,2时，2m ＜2m ＋2； m ＝3时，2m ＝2m ＋2； m ＝4时，2m ＞2m ＋2； m ≥5时，2m ＞4m ＋4＞2m ＋2． 所以，m ＝3，n ＝3．2o若 2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)＜13，即2m ＜2m ＋2．由1 知，当m ≥3时，2m ≥2m ＋2。
高考数学二轮复习练习：专项限时集训8 函数最值、恒成立及存在性问题 含答案
专项限时集训(八) 函数最值、恒成立及存在性问题(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(镇江市2019届高三上学期期末)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝λ(x 2－1)(λ为常数)．(1)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线，求实数λ的值； (2)若λ＝12，且x ≥1，证明：f (x )≤g (x )；(3)若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数λ的取值范围． [解](1)f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(1)＝1且f (1)＝0. 所以函数y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为：y ＝x －1， 从而g ′(x )＝2λx ，g ′(1)＝2λ＝1，即λ＝12.2分(2)证明：由题意知：设函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)，则h ′(x )＝ln x ＋1－x ，设p (x )＝ln x ＋1－x ，从而p ′(x )＝1x－1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，所以p (x )＝ln x ＋1－x ≤p (1)＝0，即h ′(x )≤0， 因此函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)在[1，＋∞)上单调递减，即h (x )≤h (1)＝0，所以当x ≥1时，f (x )≤g (x )成立. 6分(3)设函数H (x )＝x ln x －λ()x 2－1，从而对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0＝H (1)恒成立． 又H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，当H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0，即ln x ＋1x≤2λ恒成立时，函数H (x )单调递减．设r (x )＝ln x ＋1x ，则r ′(x )＝－ln x x2≤0， 所以r (x )max ＝r (1)＝1，即1≤2λ⇒λ≥12，符合题意；当λ≤0时，H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≥0恒成立，此时函数H (x )单调递增． 于是，不等式H (x )≥H (1)＝0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；当0＜λ＜12时，设q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，则q ′(x )＝1x －2λ＝0⇒x ＝12λ＞1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，q ′(x )＝1x －2λ＞0，此时q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx 单调递增，所以H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ＞H ′(1)＝1－2λ＞0， 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，函数H (x )单调递增．于是当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，H (x )＞0成立，不符合题意； 综上所述，实数λ的取值范围为λ≥12.14分2．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝a ln x －bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e≈2.71828.(1)当a ＜0，b ＝－1时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若关于x 的方程f (x )＝0在区间(1，e]上有两个不同的实数解，求a b的取值范围.【导学号：56394114】[解](1)b ＝－1时，f (x )＝a ln x ＋x 3，则f ′(x )＝a ＋3x 3x，令f ′(x )＝0，解得：x ＝3－a3，∵a ＜0，∴3－a3＞0， x ，f ′(x )，f (x )的变化如下：故g (a )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3－a 3＝a 3ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－a3， 令t (x )＝－x ln x ＋x ，则t ′(x )＝－ln x ，令t ′(x )＝0，解得：x ＝1， 且x ＝1时，t (x )有最大值1， 故g (a )的最大值是1，此时a ＝－3；8分(2)由题意得：方程a ln x －bx 3＝0在区间(1，e]上有2个不同的实数根，故a b ＝x 3ln x在区间(1，e]上有2个不同实数根， 即函数y 1＝a b 的图象与函数m (x )＝x 3ln x 的图象有2个不同的交点，∵m ′(x )＝x 2 3ln x －1 ln x 2，令m ′(x )＝0，得：x ＝3e ， x ，m ′(x )，m (x )的变化如下：∴x ∈(1，3e)时，m (x )∈(3e ，＋∞)，x ∈(3e ，e]时，m (x )∈(3e ，e 3]， 故a ，b 满足的关系式是3e ＜a b≤e 3，即a b的范围是(3e ，e 3].14分3．(本小题满分14分)(江苏省镇江市丹阳高中2019届高三下学期期中)已知函数f (x )＝x －1x，(1)函数F (x )＝f (e x)－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 36，其中k 为实数， ①求F ′(0)的值；②对∀x ∈(0,1)，有F (x )＞0，求k 的最大值；(2)若g (x )＝x 2＋2ln xa(a 为正实数)，试求函数f (x )与g (x )在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的a 的个数，若不存在，请说明理由． [解](1)由F (x )＝e x－1e x －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 36得F ′(x )＝e x＋1e x －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22，①F ′(0)＝2－k ，②记h (x )＝F ′(x )，则h ′(x )＝e x－1ex －kx ，记m (x )＝h ′(x )，则m ′(x )＝e x ＋1e x －k ，当x ∈(0,1)时，e x＋1e x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，e ＋1e .3分(ⅰ)当k ≤2时，m ′(x )＞2－k ≥0，x ∈(0,1)，即m (x )在(0,1)上是增函数， 又m (0)＝0，则h ′(x )＞0，x ∈(0,1)，即h (x )在(0,1)上是增函数，又F ′(0)＝2－k ≥0， 则F ′(x )＞0，x ∈(0,1)，即F (x )在(0,1)上是增函数，故F (x )＞F (0)＝0，x ∈(0,1)． (ⅱ)当k ＞2时，则存在x 0∈(0,1)，使得m ′(x )在(0，x 0)小于0，即m (x )在(0，x 0)上是减函数，则h ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)， 即h (x )在(0，x 0)上是减函数，又F ′(0)＝2－k ＜0， 则F ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，又F ′(0)＝2－k ＜0， 即F (x )在(0，x 0)上是减函数， 故F (x )＜F (0)＝0，x ∈(0，x 0)，矛盾． 故k 的最大值为2.8分(2)设函数f (x )与g (x )在其公共点x ＝x 1处存在公切线，则⎩⎨⎧x 1－1x 1＝x 21＋2ln x 1a， ①1＋1x 21＝2x 1＋2x 1a ， ②由②得(2x 1－a )(x 21＋1)＝0，即x 1＝a2，代入①得8ln a －8ln2－a 2＋8＝0，记G (a )＝8ln a －8ln2－a 2＋8，则G ′(a )＝8a－2a ，得G (a )在(0,2)上是增函数，(2，＋∞)上是减函数， 又G (2)＝4＞0，G (4)＝8ln2－8＜0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ＝－4e 2＜0， 得符合条件的a 的个数为2.(未证明小于0的扣2分)14分4．(本小题满分16分)(无锡市2019届高三上学期期末)已知f (x )＝x 2＋mx ＋1(m ∈R )，g (x )＝e x.(1)当x ∈[0,2]时，F (x )＝f (x )－g (x )为增函数，求实数m 的取值范围； (2)若m ∈(－1,0)，设函数G (x )＝f xg x ，H (x )＝－14x ＋54，求证：对任意x 1，x 2∈[1,1－m ]，G (x 1)＜H (x 2)恒成立．[解](1)∵F (x )＝x 2＋mx ＋1－e x ，∴F ′(x )＝2x ＋m －e x. ∵当x ∈[0,2]时，F (x )＝f (x )－g (x )为增函数， ∴F ′(x )≥0即2x ＋m －e x≥0在[0,2]上恒成立， 即m ≥e x－2x 在[0,2]上恒成立． 令h (x )＝e x－2x ，x ∈[0,2]，则h ′(x )＝e x－2，令h ′(x )＝0，则x ＝ln2.∴h (x )在[0，ln2]上单调递减，在[ln2,2]上单调递增． ∵h (0)＝1，h (2)＝e 2－4＞1， ∴h (x )max ＝h (2)＝e 2－4， ∴m ≥e 2－4.6分(2)证明：G (x )＝x 2＋mx ＋1ex，则G ′(x )＝－x 2＋ 2－m x ＋m －1e x ＝－ x －1 [x － 1－m ]e x. 要证任给x 1，x 2∈[1,1－m ]，G (x 1)≤H (x 2)恒成立，即证G (x )max ≤H (x )min ， ∵x ∈[1,1－m ]，∴G (x )在[1,1－m ]上单调递增，G (x )max ＝G (1－m )＝2－me 1－m ，∵H (x )在[1,1－m ]上单调递减，H (x )min ＝H (1－m )＝－14(1－m )＋54.10分要证G (x )max ≤H (x )min ，即证2－m e 1－m ≤－14(1－m )＋54，即证4(2－m )≤e1－m[5－(1－m )]．令1－m ＝t ，则t ∈(1,2)．设r (x )＝e x(5－x )－4(x ＋1)，x ∈[1,2]，即r (x )＝5e x－x e x－4x －4.r ′(x )＝(4－x )e x －4≥2e x －4＞0，∴r (x )＝e x(5－x )－4(x ＋1)在[1,2]上单调递增， ∵r (1)＝4e －8＞0，∴e x(5－x )≥4(x ＋1)，从而有－14(1－m )＋54≥2－m e ，即当x ∈[1,1－m ]时，G (x )max ≤H (x )min 成立.16分5．(本小题满分16分)(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2019届高三上学期期末)已知函数f (x )＝x 22e－ax ，g (x )＝ln x －ax ，a ∈R .(1)解关于x (x ∈R )的不等式f (x )≤0； (2)证明：f (x )≥g (x )；(3)是否存在常数a ，b ，使得f (x )≥ax ＋b ≥g (x )对任意的x ＞0恒成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【导学号：56394115】[解](1)当a ＝0时，f (x )＝x 22e，所以f (x )≤0的解集为{0}；当a ≠0时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2e －a ， 若a ＞0，则f (x )≤0的解集为[0,2e a ]． 若a ＜0，则f (x )≤0的解集为[2e a,0]． 综上所述，当a ＝0时，f (x )≤0的解集为{0}；当a ＞0时，f (x )≤0的解集为[0,2e a ]； 当a ＜0时，f (x )≤0的解集为[2e a,0].4分(2)证明：设h (x )＝f (x )－g (x )＝x 22e －ln x ，则h ′(x )＝x e －1x ＝x 2－ee x.令h ′(x )＝0，得x ＝e ，列表如下：所以函数h (x )所以h (x )＝x 22e－ln x ≥0，即f (x )≥g (x ).8分(3)假设存在常数a ，b 使得f (x )≥ax ＋b ≥g (x )对任意的x ＞0恒成立， 即x 22e≥2ax ＋b ≥ln x 对任意的x ＞0恒成立． 而当x ＝e 时，ln x ＝x 22e ＝12，所以12≥2a e ＋b ≥12，所以2a e ＋b ＝12，则b ＝12－2a e ，所以x 22e －2ax －b ＝x 22e －2ax ＋2a e －12≥0(*)恒成立，①当a ≤0时，2a e －12＜0，所以(*)式在(0，＋∞)上不恒成立；②当a ＞0时，则4a 2－2e (2a e －12)≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1e 2≤0，所以a ＝12e，则b ＝－12. 令φ(x )＝ln x －1ex ＋12，则φ′(x )＝e －x e x，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，e)上单调递增； 当x ＞e 时，φ′(x )＜0，φ(x )在(e ，＋∞)上单调递减． 所以φ(x )的最大值为φ(e)＝0.所以ln x －1ex ＋12≤0恒成立．所以存在a ＝12e，b ＝－12符合题意.16分6．(本小题满分16分)(江苏省南京市、盐城市2019届高三第一次模拟)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋a －1x－3(a ∈R )． (1)当a ＝2时，解关于x 的方程g (e x)＝0(其中e 为自然对数的底数)；(2)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的单调增区间；(3)当a ＝1时，记h (x )＝f (x )·g (x )，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2λ≥h (x )有解？若存在，请求出λ的最小值：若不存在，请说明理由．(参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)[解](1)当a ＝2时，方程g (e x )＝0即为2e x＋1e x －3＝0，去分母，得2(e x )2－3e x ＋1＝0，解得e x ＝1或e x＝12，故所求方程的根为x ＝0或x ＝－ln2. 2分(2)因为φ(x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax ＋a －1x－3(x ＞0)， 所以φ′(x )＝1x ＋a －a －1x 2＝ax 2＋x － a －1 x2＝ ax － a －1 x ＋1x2(x ＞0)， ①当a ＝0时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ②当a ＞1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞a －1a； ③当0＜a ＜1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ④当a ＝1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ⑤当a ＜0时，由φ′(x )＞0，解得0＜x ＜a －1a . 综上所述，当a ＜0时，φ(x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，a －1a ； 当0≤a ≤1时，φ(x )的增区间为(0，＋∞)；a ＞1时，φ(x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ，＋∞.6分(3)法一：当a ＝1时，f (x )＝ln x ，g (x )＝x －3，h (x )＝(x －3)ln x ，所以h ′(x )＝ln x ＋1－3x 单调递增，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋1－2＜0，h ′(2)＝ln2＋1－32＞0， 所以存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，使得h ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1－3x 0＝0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以h (x )min ＝h (x 0)＝(x 0－3)ln x 0＝(x 0－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－1＝－ x 0－3 2x 0＝6－⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋9x 0，记函数r (x )＝6－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ，则r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜h (x 0)＜r (2)，即h (x 0)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，由2λ≥－32，且λ为整数，得λ≥0，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. 16分法二：当a ＝1时，f (x )＝ln x ，g (x )＝x －3， 所以h (x )＝(x －3)ln x ，由h (1)＝0得，当λ＝0时，不等式2λ≥h (x )有解，下证：当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立，即证(x －3)ln x ＞－2恒成立． 显然当x ∈(0,1]∪[3，＋∞)时，不等式恒成立， 只需证明当x ∈(1,3)时，(x －3)ln x ＞－2恒成立． 即证明ln x ＋2x －3＜0.令m (x )＝ln x ＋2x －3， 所以m ′(x )＝1x －2 x －3 2＝x 2－8x ＋9x x －3 2，由m ′(x )＝0，得x ＝4－7，当x ∈(1,4－7)时，m ′(x )＞0；当x ∈(4－7，3)时，m ′(x )＜0； 所以m (x )max ＝m (4－7)＝ln(4－7)－7＋13＜ln(4－2)－2＋13＝ln2－1＜0. 所以当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立．综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. 16分。
2019年高考数学大二轮复习综合能力训练 Word版含答案
综合能力训练
第Ⅰ卷(选择题,共分)
一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分)
.已知集合{()},则∩等于()
.(] .[) .[) .[)
.设直线与抛物线(>)交于两点,若⊥,则△的面积为()
..
.已知奇函数()在上是增函数()().若()()(),则的大小关系为()
<<<<<<<<
.(浙江)某几何体的三视图如图所示(单位),则该几何体的体积(单位)是()
.执行如图所示的程序框图.若输入,则输出的()
.
.
.
.
.已知双曲线(>>)被斜率为的直线截得的弦的中点为(),则该双曲线离心率的值是() ..
.
.已知函数()若()(),则的所有可能值为()
,
.已知实数.()
.若≤,则<
.若≤,则<
.若≤,则<
.若≤,则<
第Ⅱ卷(非选择题,共分)
二、填空题(本大题共小题,每小题分,共分)
.已知∈是虚数单位,若()(),则的值为.
.在()的展开式中,含的项的系数是.(用数字填写答案)。
2019届高三数学二模考试试题理(含解析)
2019届高三数学二模考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集定义直接求解即可．【详解】∵集合，，∴．故选：B．【点睛】本题考查集合交集的运算，考查交集定义，属于基础题．2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得在复平面内对应的点的坐标即可．【详解】∵，∴，∴在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. -4B. -2C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线，过点时，直线的截距最大，此时最小，由，解得．代入目标函数，得，∴目标函数的最小值是.故选：．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题．4.抛物线的焦点为，点是上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.5.已知等比数列的首项为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式可得，再利用通项公式及其等差数列的求和公式即可得出答案．【详解】设等比数列的公比为，∵，∴，解得．∴．故选C．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查推理能力与计算能力，解题时注意整体思想的运用，属于中档题．6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性排除，；根据函数零点选A.【详解】因为函数为奇函数，排除，；又函数的零点为和，故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中位数为，可知，从而得到平均数小于等于，从而确定结果.【详解】已知四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，，，该学生这次考试成绩的中位数为，则所以平均数：，可知不可能为本题正确选项：【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.8.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果.【详解】由题意可知，该几何体的直观图如图所示：即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体则三棱柱体积；三棱锥体积所求体积本题正确选项：【点睛】本题考查组合体体积的求解，关键是通过三视图准确还原几何体.9.已知函数部分图像如图所示，则下列判断正确的是（）A. 直线是函数图像的一条对称轴B. 函数图像的对称中心是，C.D. 函数的最小正周期为【答案】C【解析】【分析】先根据对称轴求得，再根据正弦函数性质求对称轴、对称中心、周期以及函数值，最后作判断.【详解】由图可知，是函数的对称轴，所以解得，因为，所以，，,函数的最小正周期为,由得对称轴方程为，由得对称中心为，，故选：C.【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及正弦函数性质，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.10.已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为，即证得为首项为，公差为的等差数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当时有最小值.【详解】由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，，则，其对称轴.所以的最小的一项是第项.故选A.【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.11.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与相切，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】符合条件的渐近线方程为，与圆相切，即d=r，代入公式，即可求解【详解】双曲线C的渐近线方程为，与圆相切的只可能是，所以圆心到直线的距离d=，得，所以，故选B。
2019年高考数学大二轮复习：综合能力训练 Word版含答案
综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1, 从而A,B,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列的前3项和,而,即S n=故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析(举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析(1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.10.-40解析(2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.12.2解析∵4ρcos+1=0,展开得2cosθ+2ρsinθ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sinθ两边同乘ρ得ρ2=2ρsinθ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解(1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n==1+设c n=,且前n项和为T n,则T n=+…+,①T n=+…+,②①-②,得T n=1++…+=2-故T n=4-,S n=n+4-17.解法一(1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1,①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2),②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=,③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=>0,当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln,即<ln,得<ln由于n∈N*,则<ln<e.。
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(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2＜16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A.A ∪B ＝R B.A ∪(∁U B )＝R C.(∁U A )∪B ＝RD.A ∩(∁U B )＝A解析 因为A ＝{x |－4＜x ＜4}，B ＝{x |x ＞4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D. 答案 D 2.已知复数z ＝2－ix －i为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数x 的值为( ) A.－12 B.12 C.－3 D.13解析 z ＝2－i x －i ＝（2－i ）（x ＋i ）x 2＋1＝2x ＋1＋（2－x ）i x 2＋1，因为复数z ＝2－ix －i为纯虚数，所以⎩⎨⎧2x ＋1＝0，2－x ≠0，即x ＝－12，故选A.答案 A3.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案 B4.已知a ＝413，b ＝log 1413，c ＝log 314，则( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞b ＞aD.b ＞a ＞c解析因为a＝413＞1，0＜b＝log1413＝log43＜1，c＝log314＜0，所以a＞b＞c，故选A.答案 A5.已知a，b，c是锐角△ABC中A、B、C的对边，若a＝4，c＝6，△ABC的面积为63，则b为()A.13B.8C.27D.2 2解析因为S＝12ac sin B＝12×4×6×sin B＝63，所以sin B＝32，且△ABC为锐角三角形，所以B＝π3，所以b2＝16＋36－2×4×6×cosπ3＝28，故b＝27，故选C. 答案 C6.已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝12f(x)，则tan 2x的值是()A.－23 B.－43C.－34 D.34解析因为f′(x)＝cos x＋sin x＝12sin x－12cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝2tan x1－tan2x＝－61－9＝34，故选D.答案 D7.运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为()A.－1B.0C.12D.－32解析 由程序框图知，n ＝1，S ＝12；n ＝2，S ＝0；n ＝3，S ＝－1； n ＝4，S ＝－32；n ＝5，S ＝－1；n ＝6，S ＝0； n ＝7，S ＝12；n ＝8，S ＝0；n ＝9，S ＝－1.故以6为周期循环，而2 016＝335×6＋6，所以S ＝0，故选B. 答案 B8.将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1、2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A.15 B.20 C.30D.42解析 四个篮球两个分到一组有C 24种，3个篮球进行全排列有A 33种，标号1、2的两个篮球分给一个小朋友有A 33种，所以有C 24A 33－A 33＝36－6＝30，故选C. 答案 C9.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A.36 cm 3B.48 cm 3C.60 cm 3D.72 cm 3解析 由三视图可知，上面是个长为4，宽为2，高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是个梯形，上、下底分别为2，6，高为2.所以长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×2＋62×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48，选B. 答案 B10.已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是( ) A.20 B.22 C.24 D.26解析 由⎩⎨⎧6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.代入直线－2x ＋y ＋c ＝0得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，由⎩⎨⎧－2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即D (3，1)，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，代入直线z ＝6x ＋2y 得z ＝6×3＋2＝20，故选A. 答案 A11.等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是函数f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点， 则log 14a 1 010＝( ) A.12 B.2 C.－2D.－12 解析 因为f ′(x )＝3x 2－12x ＋4，而a 4和a 2 016为函数f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点，所以a 4和a 2 016为f ′(x )＝3x 2－12x ＋4＝0的根，所以a 4＋a 2 016＝4，又a 4、a 1 010和a 2 016为等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以 log 14a 1 010＝－12，故选D. 答案 D12.已知点A 是抛物线y 2＝4x 的对称轴与准线的交点，点B 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足|P A |＝m |PB |，当m 取得最大值时，点P 恰在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A.2－1 B.22－2 C.2＋1D.22＋2解析 设P (x ，y )，可知A (－1，0)，B (1，0)， 所以m ＝|P A ||PB |＝（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y 2＝（x ＋1）2＋4x（x －1）2＋4x ＝1＋4xx 2＋2x ＋1，当x＝0时，m ＝1；当x ＞0时，m ＝1＋4xx 2＋2x ＋1＝1＋4x ＋1x ＋2≤ 2.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，所以P (1，±2)，所以|P A |＝22，|PB |＝2，又点P 在以A ，B 为焦点的双曲线上，所以由双曲线的定义知2a ＝|P A |－|PB |＝22－2，即a ＝2－1，c ＝1，所以e ＝12－1＝2＋1，故选C. 答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.△ABC 中，点M 是边BC 的中点，|AB →|＝4，|AC →|＝3，则AM →·BC →＝________. 解析 AM →·BC→＝12(AB →＋AC →)(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB |2)＝12(9－16)＝－72. 答案 －7214.已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是________.解析 圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，其圆心为(0，－1)，半径r ＝2，设直线l 1的方程3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×（－1）＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6. 答案 3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝015.已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________.解析 要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2≥0，又a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，即a ≥b ，而a 、b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a ＞b 的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)6种，所以所求的概率为69＝23. 答案 2316.若函数f (x )满足f (x －1)＝1f （x ）－1，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝x ，若在区间[－1，1)上，g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点，则实数m 的取值范围是________. 解析 因为当x ∈[－1，0]时，f (x )＝x ，所以当x ∈(0，1)时，x －1∈(－1，0)，由f (x －1)＝1f （x ）－1可得，x －1＝1f （x ）－1，所以f (x )＝1x －1＋1，作出函数f (x )在[－1，1)上的图象如图所示，因为g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点，所以y ＝f (x )的图象与直线y ＝mx －m 有两个交点，由图可得m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12。