高考数学-三角函数大题综合训练
高三数学(文)三角函数大题20道训练(附详答)
IL6 2
f (x)= 2cosx •. 3sin 2x a.(a R, a为常数)
［丿逛］
f(X)在6’6上最大值与最小值之和为3,求的值;
(2)条件下f(x)经过怎样的变换后得到y=sinx，写出其变换步骤
6.已知a=(1,2sinx),b=(2cos(x ),1)，函数f(x)二c b(x R)
2
10.已知ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a b、c，且bcsC(2a . B
(1)求角B的大小；
(2)若y = cos2A-cos2C,求y的最小值.
11.如图，已知平面四边形ABCD中，也BCD为正三角形，AB= AD=1,/BAD=，记四边形ABCD勺面积为S.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
8兀
(2)若f(x) ,求cos(2x-§)的值。
7.已知：在厶ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，向量m=(23sin号,),
n=(sin寻+扌，1)且m•n=、.3•
(1)求角B的大小；
(2)若角B为锐角，a=6,S^abc=6 .. 3求b的值.
8.已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m=(1,-.，③,n = (cosA,sin A),
S 4
且m n = -1.
(1)求角A;
•2f2 f
(2)若sin B -cos B
1
9.在:ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2c2-b2ac
2
(i)求cosB的值；
r A +C
(u)求sin—— -cos2B的值.
文数20道三角大题
..3bc cos A.
高考三角函数专题(含答案)
高考专题复习三角函数专题模块一——选择题一、选择题： (将正确答案的代号填在题后的括号内． )π5π1．(2021天·津)以下图是函数 y ＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间 －6，6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 y ＝sinx(x∈R)的图象上所有的点 ( )π1A ．向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变π2倍，纵坐标不变B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3π1C ．向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短2，纵坐标不变到原来的π2倍，纵坐标不变D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6y ＝Asin(ωx＋φ)中A ＝1，2ππ π解析：观察图象可知，函数 ω＝π，故ω＝2，ω×－6＋φ＝0，得φ＝ 3，所以函数y ＝sin 2x ＋ ，故只要把y ＝sinx 的图象向左平移π1即个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的2可．答案：A2．(2021全·国Ⅱ)为了得到函数 y ＝sin2x －π的图象，只需把函数y ＝sin2x ＋π的图象()36πB ．向右平移A ．向左平移个长度单位个长度单位44πD ．向右平移C ．向左平移2个长度单位2个长度单位解析：由y＝sin2x＋πx→x＋φ＝sin2x－πππ――→y＝sin2(x＋φ)，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－6634π即向右平移4个长度单位．应选B. 答案：B3．(2021重·庆)函数y＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π的局部图象如下图，那么()2πB．ω＝1，φ＝－πππA．ω＝1，φ＝66C．ω＝2，φ＝6D．ω＝2，φ＝－6解析：依题意得T＝2π7ππππ2πππω＝412－3＝π，ω＝2，sin2×3＋φ＝1.又|φ|<2，所以3＋φ＝2，φ＝－6，选D.答案：D4．函数 y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如下图，那么ω＝( )11A．1B．2 C.2D.32π解析：由函数的图象可知该函数的周期为π，所以 ω＝π，解得ω＝2.答案：Bπ()5．函数y ＝sinx －12cosx －12，那么以下判断正确的选项是A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π，012B ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，012C ．此函数的最小正周期为 2π，其图象的一个对称中心是π，6D ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，6ππ1π解析：∵y＝sinx －12·cosx－12＝2sin2x －6，∴T＝2ππ2＝π，且当x ＝12时，y＝0.答案：Bπa 的值为()6．如果函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图象关于直线对称，那么实数 x ＝－8A.2B ．－2C．1D．－1π分析：函数f(x)在x ＝－ 时取得最值；或考虑有8ππf－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88解析：解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－πππ8对称，所以f－8＋x＝f－8－x对一切实数x都成立，即sin2ππ－＋x＋acos2－＋x＝sin2ππ－－x＋acos2－－xππsin－4＋2x＋sin4＋2xππ＝acos4＋2x－cos－4＋2x，ππ∴2sin2x·cos4＝－2asin2x·sin4，即(a＋1)sin2x·＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为，∴a＋1＝0，即a＝－1，应选D.π解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－8对称．ππ∴有f－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88π特别，对于x＝8应该成立．π将x＝8代入上式，得f(0)＝f－，ππ∴sin0＋acos0＝sin－2＋acos－2∴0＋a＝－1＋a×0.∴a＝－1.应选D.解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其图象的对称轴方程π2x＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，kππφx＝2＋4－2(k∈Z)．kππφπ令2＋4－2＝－8(k∈Z)．3π得φ＝kπ＋4(k∈Z)．π但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－2角的终边相同，∴a＝－1.解法四：y＝sin2x＋acos2x＝21＋asin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)的对称轴为πy＝－8，π∴当x＝－8时函数y＝f(x)有最大值或最小值，所以1＋a2＝fπ－8或－1＋a2＝fπ－8，即1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4，或－1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4.解之得a＝－1.应选D.答案：D评析：此题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程xωxππkπ＋2－φπ＋φ＝kπ＋2(k∈Z)的解x＝ω(k∈Z)，然后将x＝－8代入求出相的φ，再求a的．解法四利ππ用称的特殊性，在此函数f(x)取最大或最小．于是有f－8＝[f(x)]max或f－8＝[f(x)]min.从而化解方程，体了方程思想．由此可，本体了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出其西．模块二——填空题二、填空：(把正确答案填在后的横上．)π7．(2021福·建)函数f(x)＝3sinωx－6(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的象的称完全相同．假设π，f(x)的取范是________．x∈0，2解析：∵f(x)与g(x)的象的称完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)ππππ5π13≤3，即f(x)＝3sin2x－6，∵≤2x－≤≤sin2x－61，∴－≤3sin2x－6 0≤x≤2，∴－666，∴－22的取范，3.答案：－3，318．函数y＝cos2πx的象位于y 右所有的称中心从左依次A1，A2，⋯，An，⋯.A50的坐是________．解析：称中心横坐x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得．答案：(99,0)9．把函数y＝cosx＋π的象向左平移m个位(m>0)，所得象关于y称，m的最小是3________．解析：由y＝cos(x＋πππ3＋m)的象关于y称，所以3＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－3，当k＝1，m最2小3π.答案：2π310．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，那么M×N所对应的图形的面积为________．解析：如下图阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BC×CD＝π·2＝2π.答案：2π模块三——解答题三、解答题：(写出证明过程或推演步骤．) 11．假设方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值．分析：设函数y1＝3sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．解：设f(x)＝π3 sinx ＋cosx ＝2sin x＋6，x∈[0,2．π]π令x＋6＝t，那么f(t)＝2sint，且t∈π6，13π6 .在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程3sinx＋cosx＝a在[0,2上π]有两个不同的实数解．当1＜a＜2时，t1＋t2＝π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝π，2π∴x1＋x2＝3；当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝3π，8πx1＋x2＝3.综上可得，a的取值范围是(1,2)∪(－2,1)．2π当a∈(1,2)时，x1＋x2＝3；8πa∈(－2,1)时，x1＋x2＝3.评析：此题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想及换元法．解答此题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围，仍把t当成在[0,2 π]中处理，从而出错．11πφ<π)，其图象过点π1＋φ(0<，12．(2021山·东)函数f(x)＝2sin2xsinφ＋cosxcosφ－2sin262.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函2π数g(x)在0，4上的最大值和最小值．11π解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin＋φ(0<φ<π)，2211＋cos2x1所以f(x)＝2sin2xsinφ＋2cosφ－2cosφ1 12sin2xsinφ＋2cos2xcosφ12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)1π2cos(2x－φ)，π1又函数图象过点6，2，11ππ所以2＝2cos2×6－φ，即cos3－φ＝1，π又0<φ<π，所以φ＝3.1π1(2)由(1)知f(x)＝2cos2x－3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得1 2 3 4 56π到函数y ＝g(x)的象，可知g(x)＝f(2x)＝2cos4x －3，π4x∈[0，π]，因x∈0，4 ，所以ππ2π1因此4x － 3∈－3，3 ，故－ 2≤cos4x －3≤1. 所以y ＝g(x)在0，π114上的最大和最小分 2和－4.13.〔2021天津卷理〕在⊿ ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA求AB 的： (II) 求sin 2A 的4本小主要考正弦定理、余弦定理、同角三角函数的根本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基知，考根本运算能力。
高考数学三角函数大题综合训练
三角函数大题综合训练一．解答题共30小题2．2016 广州模拟在△ABC中;角A、B、C对应的边分别是a、b、c;已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．I求角A的大小；Ⅱ若△ABC的面积S=5;b=5;求sinBsinC的值．解：I由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A;得2cos2A+3cosA﹣2=0;﹣﹣﹣﹣﹣2分即2cosA﹣1cosA+2=0．解得cosA=或cosA=﹣2舍去．﹣﹣﹣﹣﹣4分因为0＜A＜π;所以A=．﹣﹣﹣﹣6分II由S=bcsinA=bc =bc=5;得bc=20．又b=5;所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣8分由余弦定理;得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21;故a=．﹣﹣﹣10分又由正弦定理;得sinBsinC=sinA sinA= sin2A=×=．﹣﹣﹣﹣12分3．2016 成都模拟已知函数fx=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．Ⅰ求函数fx取得最大值时x的集合；Ⅱ设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角;若cosB=;fC=﹣;求sinA的值．解：Ⅰ函数fx=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+cos2x﹣sin2x=﹣sin2x+cos2x=+cos2x+;故函数取得最大值为;此时;2x+=2kπ时;即x的集合为{x|x=kπ﹣;k∈Z}．Ⅱ设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角;若cosB=;fC=+cos2C+=﹣;∴cos2C+=﹣;又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角;∴2C+=;∴C=．∵cosB=;∴sinB=;∴sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC=+=．4．2016 台州模拟已知a;b;c分别是△ABC的三个内角A;B;C所对的边;且c2=a2+b2﹣ab．1求角C的值；2若b=2;△ABC的面积;求a的值．解：1∵c2=a2+b2﹣ab;∴cosC==;∵0°＜C＜180°;∴C=60°；2∵b=2;△ABC的面积;∴=;解得a=3．5．2016 惠州模拟如图所示;在四边形ABCD中;∠D=2∠B;且AD=1;CD=3;cosB=．Ⅰ求△ACD的面积；Ⅱ若BC=2;求AB的长．解：Ⅰ因为∠D=2∠B;;所以．…3分因为∠D∈0;π;所以．…5分因为AD=1;CD=3;所以△ACD的面积．…7分Ⅱ在△ACD中;AC2=AD2+DC2﹣2AD DC cosD=12．所以．…9分因为;;…11分所以．所以AB=4．…13分6．2015 山东△ABC中;角A;B;C所对的边分别为a;b;c;已知cosB=;sinA+B=;ac=2;求sinA和c的值．解：①因为△ABC中;角A;B;C所对的边分别为a;b;c已知cosB=;sinA+B=;ac=2;所以sinB=;sinAcosB+cosAsinB=;所以sinA+cosA=;结合平方关系sin2A+cos2A=1;得27sin2A﹣6sinA﹣16=0;解得sinA=或者sinA=﹣舍去；②由正弦定理;由①可知sinA+B=sinC=;sinA=;所以a=2c;又ac=2;所以c=1．8．2015 湖南设△ABC的内角A;B;C的对边分别为a;b;c;a=btanA．Ⅰ证明：sinB=cosA；Ⅱ若sinC﹣sinAcosB=;且B为钝角;求A;B;C．解：Ⅰ证明：∵a=btanA．∴=tanA;∵由正弦定理：;又tanA=;∴=;∵sinA≠0;∴sinB=cosA．得证．Ⅱ∵sinC=sinπ﹣A+B=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB;∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=;由1sinB=cosA;∴sin2B=;∵0＜B＜π;∴sinB=;∵B为钝角;∴B=;又∵cosA=sinB=;∴A=;∴C=π﹣A﹣B=;综上;A=C=;B=．10．2015 湖南设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c;a=btanA;且B为钝角．Ⅰ证明：B﹣A=；Ⅱ求sinA+sinC的取值范围．解：Ⅰ由a=btanA和正弦定理可得==;∴sinB=cosA;即sinB=sin+A又B为钝角;∴+A∈;π;∴B=+A;∴B﹣A=；Ⅱ由Ⅰ知C=π﹣A+B=π﹣A++A=﹣2A＞0;∴A∈0;;∴sinA+sinC=sinA+sin﹣2A=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2sinA﹣2+;∵A∈0;;∴0＜sinA＜;∴由二次函数可知＜﹣2sinA﹣2+≤∴sinA+sinC的取值范围为;11．2015 四川已知A、B、C为△ABC的内角;tanA;tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0p∈R 两个实根．Ⅰ求C的大小Ⅱ若AB=3;AC=;求p的值．解：Ⅰ由已知;方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=p2﹣4﹣p+1=3p2+4p﹣4≥0;所以p≤﹣2;或p≥．由韦达定理;有tanA+tanB=﹣p;tanAtanB=1﹣p．所以;1﹣tanAtanB=1﹣1﹣p=p≠0;从而tanA+B==﹣=﹣．所以tanC=﹣tanA+B=;所以C=60°．Ⅱ由正弦定理;可得sinB===;解得B=45°;或B=135°舍去．于是;A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan45°+30°===2+．所以p=﹣tanA+tanB=﹣2+=﹣1﹣．12．2015 河西区二模设△ABC的内角A;B;C的内角对边分别为a;b;c;满足a+b+ca ﹣b+c=ac．Ⅰ求B．Ⅱ若sinAsinC=;求C．解：I∵a+b+ca﹣b+c=a+c2﹣b2=ac;∴a2+c2﹣b2=﹣ac;∴cosB==﹣;又B为三角形的内角;则B=120°；II由I得：A+C=60°;∵sinAsinC=;cosA+C=;∴cosA﹣C=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cosA+C+2sinAsinC=+2×=;∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°;则C=15°或C=45°．13．2015 浙江在△ABC中;内角A;B;C所对的边分别为a;b;c;已知A=;b2﹣a2=c2．1求tanC的值；2若△ABC的面积为3;求b的值．解：1∵A=;∴由余弦定理可得：;∴b2﹣a2=bc﹣c2;又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得;∴a2=b2﹣=;即a=．∴cosC===．∵C∈0;π;∴sinC==．∴tanC==2．2∵=×=3;解得c=2．∴=3．15．2015 江苏在△ABC中;已知AB=2;AC=3;A=60°．1求BC的长；2求sin2C的值．解：1由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7;所以BC=．2由正弦定理可得：;则sinC===;∵AB＜BC;∴C为锐角;则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．16．2015 天津在△ABC中;内角A;B;C所对的边分别为a;b;c;已知△ABC的面积为3;b﹣c=2;cosA=﹣．Ⅰ求a和sinC的值；Ⅱ求cos2A+的值．解：Ⅰ在三角形ABC中;由cosA=﹣;可得sinA=;△ABC的面积为3;可得：;可得bc=24;又b﹣c=2;解得b=6;c=4;由a2=b2+c2﹣2bccosA;可得a=8;;解得sinC=；Ⅱcos2A+=cos2Acos﹣sin2Asin==．17．2015 怀化一模已知a;b;c分别为△ABC三个内角A;B;C的对边;c=asinC﹣ccosA．1求角A；2若a=2;△ABC的面积为;求b;c．解：1由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA; ∵C为三角形的内角;∴sinC≠0;∴sinA﹣cosA=1;整理得：2sinA﹣=1;即sinA﹣=;∴A﹣=或A﹣=;解得：A=或A=π舍去;则A=；2∵a=2;sinA=;cosA=;△ABC的面积为;∴bcsinA=bc=;即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=b+c2﹣3bc=b+c2﹣12;整理得：b+c=4②;联立①②解得：b=c=2．19．2015 衡水四模在△ABC中;角A;B;C所对的边分别为a;b;c;函数fx=2cosxsinx ﹣A+sinAx∈R在x=处取得最大值．1当时;求函数fx的值域；2若a=7且sinB+sinC=;求△ABC的面积．解：∵函数fx=2cosxsinx﹣A+sinA=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin2x﹣A又∵函数fx=2cosxsinx﹣A+sinAx∈R在处取得最大值．∴;其中k∈z;即;其中k∈z;1∵A∈0;π;∴A=∵;∴2x﹣A∴;即函数fx的值域为：2由正弦定理得到;则sinB+sinC=sinA;即;∴b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=b+c2﹣2bc﹣2bccosA即49=169﹣3bc;∴bc=40故△ABC的面积为：S=．20．2015 潍坊模拟已知函数fx=2cos2x+2sinxcosxx∈R．Ⅰ当x∈0;时;求函数fx的单调递增区间；Ⅱ设△ABC的内角A;B;C的对应边分别为a;b;c;且c=3;fC=2;若向量=1;sinA与向量=2;sinB共线;求a;b的值．解：I∵==．令;解得;即;∵;∴fx的递增区间为．Ⅱ由;得．而C∈0;π;∴;∴;可得．∵向量向量=1;sinA与向量=2;sinB共线;∴;由正弦定理得：=①．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab cosC;即9=a2+b2﹣ab②;由①、②解得．21．2015 济南二模已知向量=cos2x﹣;cosx+sinx;=1;cosx﹣sinx;函数fx=．Ⅰ求函数fx的单调递增区间；Ⅱ在△ABC中;内角A;B;C的对边分别为a;b;c;已知fA=;a=2;B=;求△ABC的面积S．解：Ⅰ∵向量=cos2x﹣;cosx+sinx;=1;cosx﹣sinx;∴函数fx==cos2x﹣+cos2x﹣sin2x=cos2x﹣+cos2x=cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin2x+;令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπk∈Z;得﹣+kπ≤x≤+kπk∈Z;则函数fx的单调递增区间为﹣+kπ;+kπk∈Z；Ⅱ由fA=sin2A+=;得sin2A+=;∵A为△ABC的内角;由题意知0＜A＜;∴＜2A+＜;∴2A+=;解得：A=;又a=2;B=;∴由正弦定理=;得b==;∵A=;B=;∴sinC=sinπ﹣A+B=sinA+B=snAcosB+cosAsinB=×+×=;则△ABC的面积S=absinC=×2××=．22．2015 和平区校级三模在△ABC中;角A、B、C的对边分别为a;b;c;且a=3;b=4;B=+A．1求cosB的值；2求sin2A+sinC的值．解1∵;∴cosB=cos+A=﹣sinA;又a=3;b=4;所以由正弦定理得;所以=;所以﹣3sinB=4cosB;两边平方得9sin2B=16cos2B;又sin2B+cos2B=1;所以;而;所以．2∵;∴;∵;∴2A=2B﹣π;∴sin2A=sin2B﹣π=﹣sin2B =又A+B+C=π;∴;∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．∴．23．2015 洛阳三模在锐角△ABC中;=1求角A；2若a=;求bc的取值范围．解：1由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB;;∴sin2A=1且;2;又;∴b=2sinB;c=2sinC;bc=2sin135°﹣C 2sinC=;;∴．24．2015 河北区一模在△ABC中;a;b;c分别是角A;B;C的对边;且2cosAcosC+1=2sinAsinC．Ⅰ求B的大小；Ⅱ若;;求△ABC的面积．解：Ⅰ由2cosAcosC+1=2sinAsinC得：∴2cosAcosC﹣sinAsinC=﹣1; ∴;∴;又0＜B＜π;∴．Ⅱ由余弦定理得：;∴;又;;∴;故;∴．25．2015 云南一模在△ABC中;a;b;c分别是内角A;B;C的对边;且=sinA+sinB+sinC;sinC;=sinB;sinB+sinC﹣sinA;若1求A的大小；2设为△ABC的面积;求的最大值及此时B的值．解：1∵∥;∴sinA+sinB+sinCsinB+sinC﹣sinA=sinBsinC根据正弦定理得a+b+cc+b﹣a=bc;即a2=b2+c2+bc;由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA;得cosA=﹣;又A∈0;π;∴A=；2∵a=;A=;∴由正弦定理得====2;∴b=2sinB;c=2sinC;∴S=bcsinA=×2sinB×2sinC×=sinBsinC;∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cosB﹣C;∴当B=C时;即B=C=时;S+cosBcosC取最大值．27．2015 高安市校级模拟在△ABC中;角A、B、C所对的边分别为a、b、c;已知sinA++2cosB+C=0;1求A的大小；2若a=6;求b+c的取值范围．解：1由条件结合诱导公式得;sinAcos+cosAsin=2cosA;整理得sinA=cosA;∵cosA≠0;∴tanA=;∵0＜A＜π;∴A=；2由正弦定理得：;∴;;∴==;∵;∴;即6＜b+c≤12当且仅当B=时;等号成立28．2015 威海一模△ABC中;A;B;C所对的边分别为a;b;c;;sinB﹣A=cosC．Ⅰ求A;B;C；Ⅱ若S△ABC=3+;求a;c．解：Ⅰ∵;∴;∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB;即sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB;得sinC﹣A=sinB﹣C．∴C﹣A=B﹣C;或C﹣A=π﹣B﹣C不成立．即2C=A+B;得;∴;∵;则;或舍去∴．Ⅱ∵又∵;即;∴．29．2015 新津县校级模拟已知向量;函数fx=．Ⅰ求函数fx的单调递增区间；Ⅱ在△ABC中;角A;B;C的对边分别为a;b;c;若fB=1;b=;sinA=3sinC;求△ABC的面积．解：Ⅰ∵=2cosx;1;=cosx;2sinxcosx﹣1;∴fx==2cos2x+2sinxcosx﹣1=sin2x+cos2x=2sin2x+;∵2x+∈﹣+2kπ;+2kπk∈Z;∴x∈﹣+kπ;+kπk∈Z;∴函数fx的单调递增区间为﹣+kπ;+kπk∈Z；Ⅱ∵fB=2sin2B+=1;∴sin2B+=;即2B+=;即B=;∵sinA=3sinC;∴a=3c;∵b=;b2=a2+c2﹣2accosB;∴a=3;c=1;∵S=acsinB;∴△ABC的面积为．30．2015 和平区二模在△ABC中;角A;B;C为三个内角;已知cosA=;cosB=;BC=5．Ⅰ求AC的长；Ⅱ设D为AB的中点;求CD的长．解：Ⅰ∵在△ABC中;;;∴;．…2分由正弦定理得;…4分即．…6分Ⅱ在△ABC中;AC=7;BC=5;;由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB;…8分即;整理得AB2﹣2AB﹣24=0;解得AB=6．…10分∵在△BCD中;;BC=5;;∴由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BD BC cosB;…11分即．∴．…13分。
2023届高考数学大题专项(三角函数与解三角形)练习(附答案)
(1)若 D 为 BC 的中点,且△CDF 的面积等于△ABC 的面积,求∠ABC;
(2)若∠ABC=45°,且 BD=3CD,求 cos∠CFB.
参考答案
1.解 (1)f(0)=2cos20+sin 0=2.
(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为 π.
f(x)=2cos2x+sin 2x=(cos 2x+1)+sin 2x=√2
6.(山东潍坊一模,17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin
A+sin C),且 m∥n.
(1)求 C;
(2)若√6c+3b=3a,求 sin A.
7.(山东模考卷,18)在△ABC 中,∠A=90°,点 D 在 BC 边上.在平面 ABC 内,过点 D 作 DF⊥BC,且
-B =4√3sin B
cos
2
sin
2
3
B+ sin B =6sin Bcos B+2√3sin2B=2√3sin 2B当 2B-
π
6
π
2π
π
π
+√3.因为 0<B< ,所以- <2B6
3
6
6
7π
.
6
π
π
,即 B= 时,△ABC 面积取得最大值 3√3.
2
3
4.解 (1)在△ABC 中,因为 a=3,c=√2,B=45°,由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=9+2
由正弦定理得,c2=a+b2.
因为 a=4,所以 b2=c2-4.
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含答案
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．数学家欧拉通过研究，建立了三角函数和指数函数之间的联系，得到著名的欧拉公式i e cos isin x x x =+(i 为虚数单位)，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，3i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数22()cos 3sin 1f x x x =-+的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．若360k αθ=⋅︒+，()360,m k m βθ=⋅︒-∈Z ，则角α与角β的终边一定（ ） A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称4．sin 480︒的值是（ ）A ．12B ．12-C D ． 5．下列各角中与60︒角终边相同的角是( ) A ．－300°B ．－60°C ．600°D ．1 380°6．一架直升飞机在300m 高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60︒，则塔高为（ ）A ．200mB ．C ．D ．100m7．已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b =1a =，23B π=，则c =（ ）A B ．2CD ．38．为了得到函数2cos ,y x x R =∈的图像，只需把cos ,y x x R =∈图像上所有点（ ） A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍 C ．横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 D ．横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12倍9．把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（ ）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-10．设sin160a ︒=，则cos340︒的值是（ ）A ．21a - BC ．D ．11．已知,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且24sin225α=-，则sin cos αα+=（ ）A ．15B ．15- C ．75- D ．7512．已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 2cos 1cos 2ααα-=+（ ） A．56- B ．75- C ．2- D ．13．已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是 A ．2πB ．76πC ．56π D ．π14．已知曲线21:C y x =，曲线2:sin 2cos 2C y x x =+，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线1C 关于原点对称B ．4x π=是曲线2C 的一条对称轴C ．曲线1C 向右平移8π个单位长度，得到曲线2C D ．曲线2C 向左平移4π个单位长度，得到曲线1C15．函数3sin 2x y x =的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．16．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()5c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（ ）A ．3B C D ．17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c =，b ，则ABC 的面积最大值为（ ）AB ．CD ．18．已知sin()0,cos()0θπθπ+<->，则θ是第象限角. A ．一 B ．二 C ．三D ．四19． 若，且,42x ππ<<则cos sin x x -的值是A ．B ．C ．D ．20．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =（ ） A ．513B ．6365C ．2113D ．31021． E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan△ECF=A ．B ．C ．D ．22．已知θ为第四象限角，sin cos θθ+=sin cos θθ-=（ ）A ．B ．C D23．在数列{}n a 中,()*1153n n a a a n n N +==-+∈，，若该数列的前三项可作为三角形的三边长,则此三角形最小角与最大角之和为 A ．150°B ．135°C ．120°D ．90°24．将函数()π2sin +36x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) 的解析式为 A ．()π2sin +134x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()π2sin 134x g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ C ．()π2sin 1312x g x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．()π2sin 1312x g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭25．某船在岸边A 处向正东方向航行x 海里后到达B 处，然后向南偏西60︒方向航行3海里达到C 处，若A 与Cx 的值是（ ）A ．3BC ．D ．26．一艘船航行到点B 处时，测得灯塔C 在其北偏东15°的方向，如图，随后该船以25海里/小时的速度，沿西北方向航行两小时后到达点A ，测得灯塔C 在其正东方向，此时船与灯塔C 间的距离为（ ）A ．(253海里B ．25海里C ．(253海里D ．(25海里27．北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽、如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46km处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为（ ） （参考数据：sin16.280.28︒≈，sin47.430.74︒≈，sin31.150.52︒≈）A ．65.46kmB ．74.35kmC ．85.09kmD ．121.12km28．已知定义域为[1,1]-函数3()sin f x x x =+，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+->的解集是（ ）A．(3,2)-B ．2)C ．D ．29．某学习小组的学习实践活动是测量图示塔AB 的高度．他们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，测得3BCD π∠=，4BDC π∠=，且基点C ，D 间的距离为(30m CD =+，同时在点C 处测得塔顶A 的仰角为6π，则塔高AB 为（ ）A ．20mB ．C ．40mD ．30．若tan()74πα+=，则2cos 2sin 2αα+=（ ）A ．6425B ．4825C ．1D ．162531．已知sin α＋cos αα△(0，π)，则tan α＝( )A ．－1 BC D ．132．要得到函数2sin 2y x =的图象，只需将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度33．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（312π-，），与之相邻的一个对称中心为06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ） A ．g （x ）为偶函数B ．g （x ）的一个单调递增区间为51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．g （x ）为奇函数D ．函数g （x ）在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个零点34．在ABC 中，如果4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=C ∠的大小为（ ） A ．30B ．150︒C ．30或150︒D ．60︒或120︒35．已知()2cos f x x =，[],x m n ∈，则“存在[]12,,x x m n ∈使得()()124f x f x -=”是“πn m -≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件36．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，点P 是ABC 的重心，且AP =若2b =，(()cos 24sin 1A B C ++=，则=a （ ）A ．B ．C ．D ．37．把函数y= sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移3π个单位，所得图象对应的函数为（ ）A ．y=sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．y=sin2xC ．y=sin 126x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．y=sin 12x38．将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．再把()g x 图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到函数()h x 的图象，则下列叙述正确的是（ ）A ．当6πθ=时，,012π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()h x 图象的对称中心B ．当6πθ=时，若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()h xC ．当2πθ=时，函数()g x 与()h x 的图象关于x 轴对称D ．当2πθ=时，函数()()g x h x -的最小值为039．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45︒方向，距离的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北(045)θθ︒<<︒方向的C 处，且4cos .5θ=已知A ，C 之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（ ）A ．/小时B ．/小时C ．/小时D ．/小时40．中，角的对边分别为，且满足，则A ．B ．C ．D ．41．已知1tan 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．BCD ． 42．要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度43．把函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭)图象向左平移4π个单位后所得图象与y 轴距最近的称轴方程为 A ．x 3π=B ．x -6π= C ．x -24π= D ．11x 24π=44．已知点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（ ）A ．（2π，34π）△（54π，32π）B ．（0，4π）△（54π，32π）C ．（2π，34π）△（74π，2π）D ．（2π，34π）△（π，32π）45．已知点()00,P x y 是圆22:124390C x y x y ++++=上的一点，记点P 到x 轴距离为1d ，到原点O 的距离为2d ，则当212d d +取最小值时，x y =（ ） A ．167B ．187C ．227D ．24746．函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3π()2cos(2)110f x x =+- B ．3π()1cos(2)10f x x =-+C ．π()1sin 25f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭D ．π()1sin 25f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭47．把函数sin 2y x =的图象沿着x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断：（1）该函数的解析式为2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）该函数图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；（3）该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；（4）若函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a =其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题48．已知角α与180α︒-的顶点均在原点，始边均在x 轴的非负半轴上，终边相同，且450720α︒<<︒，则α=__________．（用角度表示）49．已知cos 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，0<α<2π，则sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.50．已知 tan 02παα⎫=<<⎪⎝⎭，则α=___________. 51．用“五点法”画2sin(2)3y x π=+在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是(,0)6π-，(,2)12π，(,0)3π，7(,2)12π-，_______．52．如果角θ始边为x 轴的正半轴，终边经过点(，那么tan θ=______． 53．计算：10cos3π=________．54．在ABC 中，已知22,3BC AC B π==，那么ABC 的面积是______． 55．已知函数()2sin cos 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，给出以下四个命题：△函数()f x 的最小正周期为2π；△函数()f x 的图象的一个对称中心是82π⎛- ⎝⎭；△函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数；△若()()12f x f x =，则()1211Z 4x x k k ππ+=+∈或()1222Z x x k k π-=∈．其中真命题的序号是__________．（请写出所有真命题的序号） 56．已知()()4sin cos cos sin 5αβαβαα---=，β是第三象限角，则sin 4πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值___________.57．已知sincos22θθ+=cos2θ=______. 58．如果1cos 5α=-，且α是第三象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．59．函数tan()34y x ππ=+的对称中心是__________．60．若18090α-︒<<-︒，且()1cos 753α︒+=，则()cos 15α︒-=__________.61．已知1sin cos 2αα+=-，则tan cot αα+=__________62．已知1tan 3α= ，则sin 2α= ________.63．已知角α的终边经过点(3,4)P ，则tan α=____________ 64．y cos 25sin x x =+的最小值为________________．65．若角α的终边经过点()P y ，且sin (0)y y α=≠，则cos α=______.66．设a ＞0，角α的终边经过点P （﹣3a ，4a ），那么sinα+2cosα的值等于______． 67．已知tan 2α，则3sin 2cos 5sin 4cos αααα-=+__________．68．函数sin 22y x x =的图象可由函数sin 22y x x =的图象至少向右平移_______个长度单位得到．69．已知函数()sin2f x x x =，给出下列四个结论：△函数()f x 的最小正周期是π；△函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数；△函数()f x 的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；△函数()f x 的图像可由函数2sin2y x =的图像向左平移3π个单位得到；其中正确结论是_________________.70．设f(x)=kx －|sin x | (x >0，k >0)，若f(x)恰有2个零点，记较大的零点为t ，则2(1)sin 2t tt+= ____71．计算：23456coscoscos cos cos cos 777777ππππππ+++++=__________．72．若2tan 3α=-，则sin(2)4πα+=____________．73．已知3ππ4αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，()4cos 5αβ+=，π5cos 413α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πcos 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____74．已知集合{}22(,)(cos )(sin )4,0P x y x y θθθπ=-+-=≤≤∣.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：△“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为； △在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为4；△阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则||3CD =+△白色“水滴”图形的面积是116π 其中正确的有___________.75．设0a ≥____________．76．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过点(0,B ，且在ππ,183⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图像向左平移π个单位长度后与原来的图像重合，当124π2π,,33x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=__________.77．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角4B π=且4sin 4sin sin 4sin a A c C ac B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为_____________.三、解答题78．设函数()sin(2)2sin cos 3f x x x x π=++．(1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)若[,]123x ππ∈-，求函数()f x 的最大值和最小值． 79．若角α的终边与60︒角的终边关于直线y x =对称,且360360α-︒<<︒,求角α的值. 80．已知函数()()21cos ,1sin2.2f x xg x x ==+（1）设0x x =是函数()y f x =的图象的一条对称轴，求()02g x 的值； （2）求函数()()(),0,4h x f x g x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域.81．已知()()()()()3sin 3cos 2sin 2cos sin f παππαααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----. （1）化简()f α； （2）若313πα=-，求()f α的值. 82．如图，一艘船以32.2nmile/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°方向上，30min 后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东60°方向上，求灯塔S 到B 处的距离（精确到0.1nmile ，参考数据：sin 200.342︒≈，sin 400.643︒≈）．83．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC且sin cos 0a C A =. （1）求a ；（2）若b c +=ABC 的面积.84．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><图象经过点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫⎪⎝⎭，且在区间7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增． （1）求函数()f x 的解析式；（2）当,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．85．若向量(3sin ,sin )a x x ωω=，(cos sin )b x x ωω=，，其中0>ω.记函数1()2f x a b =⋅-，若函数()f x 的图象上相邻两个对称轴之间的距离是2π. （1）求()f x 的表达式；（2）设ABC 三内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，若3a b +=，c =()1f C =，求ABC 的面积.86．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，)cos sin 0a c B b C --=． （1）求角C 的大小；（2）若2c =，AB 边上的中线CD ABC 的周长． 87．如图4，在平面四边形中，,(1)求的值；(2)求的长88．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1cos 3A =，3c b =，且△ABC 的面积ABCS=(1)求边,b c ；(2)求边a 并判断△ABC 的形状.89．已知函数2()cos cos 1f x x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若5()6f θ=，2(,)33ππθ∈，求sin 2θ的值. 90．如图，某圆形海域上有四个小岛，小岛A 与小岛B 相距为5nmile ，小岛A 与小岛C相距为，小岛B 与小岛C 相距为2nmile ，CAD ∠为钝角，且sin CAD ∠=(1)求小岛A ，B ，C 围成的三角形的面积； (2)求小岛A 与小岛D 之间的距离.91．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且222a c b ac +-=． （1）求B ；（2）若cos sin a C c A b +=，b =a ．92．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos b A c= （1）证明：ABC ∆是直角三角形： （2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1BM=，6c =，求cos ABM ∠．93．为迎接冬奥会，石家庄准备进行城市绿化升级，在矩形街心广场ABCD 中，如图，其中400m AB =，300m BC =，现将在其内部挖掘一个三角形空地DPQ 进行盆景造型设计，其中点P 在BC 边上，点Q 在AB 边上，要求3PDQ π∠=．(1)若100m AQ CP ==，判断DPQ 是否符合要求，并说明理由； (2)设CDP θ∠=，写出DPQ 面积的S 关于θ的表达式，并求S 的最小值．94．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin A =B 2A =，b 4=． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 中点，求AD 的长．95．已知函数()cos cos )f x x x x =+，x ∈R ．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)设0t >，关于x 的函数()2tx g x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，求实数t 的取值范围．96．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 的单调递增区间； (3)先将()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，求()g x 在区间[]2ππ，上的值域.97．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-． (1)求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及()f x 的最小正周期；(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值．参考答案：1．B 【解析】 【分析】由题可知3i e 对应在复平面的点为()cos3,sin3，由32ππ<<可判断cos3和sin3的正负，进而得到答案. 【详解】由题，3i e cos3isin3=+，其对应点为()cos3,sin3, 因为32ππ<<知，cos30<，sin30>，所以点()cos3,sin3在第二象限， 故选：B 2．B 【解析】 【分析】先利用余弦的二倍角公式化简()f x ，再利用余弦函数的周期公式即可求解. 【详解】因为()()22222()cos 3sin 1cos sin 12sin f x x x x x x =-+=-+-cos2cos22cos2x x x =+=，所以最小正周期2ππ2T ==， 故选：B. 3．C 【解析】 【分析】根据角θ与角θ-的终边关于x 轴对称即可得解. 【详解】解：因为角θ与角θ-的终边关于x 轴对称，所以角α与角β的终边一定也关于x 轴对称． 故选：C 4．C【解析】结合诱导公式化简即可 【详解】()sin 480sin 360120sin120︒=︒+︒=︒=故选：C 【点睛】本题考查三角函数值的化简，属于基础题 5．A 【解析】 【详解】与60︒角终边相同的角为：60360k,k Z ︒+︒∈. 当k 1=-时，即为－300°. 故选A. 6．A 【解析】 【分析】由题设，画平面示意图，利用三角形内边角关系，列方程求塔高即可. 【详解】如图，O 、A 分别为塔底、塔顶，C 为飞机位置，△300,30,60OB BCA BCO =∠=︒∠=︒， 若设OA x =，则300AB x =-，有tan tan AB OBBCA BCO =∠∠，=200x =.故选：A. 7．B 【解析】 【分析】由余弦定理列方程即可求解. 【详解】由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，即211722c c+--=，整理得260c c +-=，解得2c =．故选：B. 8．C 【解析】 【分析】根据坐标变换求解即可得答案. 【详解】为了得到函数2cos ,y x x R =∈的图像，只需把cos ,y x x R =∈图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍. 故选：C 9．B 【解析】 【分析】由37515360-=-︒-︒︒结合弧度制求解即可. 【详解】△37515360-=-︒-︒︒，△π3752πrad 12⎛⎫-︒=-- ⎪⎝⎭故选：B 10．B 【解析】根据题中条件，先由诱导公式，得到sin 20a ︒=，再根据诱导公式化简所求式子即可. 【详解】因为sin160a ︒=，所以()sin 18020sin 20a ︒-︒=︒=，而()()cos340cos 36020cos 20cos 20︒=︒-︒=-︒=︒= 故选：B. 11．A 【解析】 【分析】由题意得242sin cos 25αα∴=-，由,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得sin cos αα+=，代入即可求值得解. 【详解】 24sin 225α=-， 242sin cos 25αα∴=-， ,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴+>，1sin cos 5αα∴+=. 故选：A 【点睛】本题考查同角三角函数关系式，常用公式2(sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x +=+=+，属于基础题. 12．A 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求出tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】△1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，△1tan tan 11442tan tan 1443111tan tan 244ππαππααππα⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-===- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+⨯++ ⎪⎝⎭， 则222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 11cos 22cos 2αααααααα---==+ 1115tan 2326α=-=--=-.故选：A 【点睛】本题以三角正切函数值为依托，考查了正切的两角差公式和倍角公式的运用，此题以考生最熟悉的知识呈现，面向考生，试题注重基础，针对性强，同时考查了考生的运算求解能力及逻辑推理能力，属于基础题. 13．A 【解析】 【详解】试题分析：因为函数的最大值取不到2,所以b a T -<,即02b a π<-<．故A 正确． 考点：三角函数的图像,值域． 14．C 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据余弦函数、正弦函数的性质判断即可； 【详解】解：曲线21:C y x x ==关于y 轴对称，故A 错误；曲线2:sin 2cos 224C y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令242x k πππ+=+，解得82k x ππ=+，Z k ∈，即曲线2C 的对称轴方程为82k x ππ=+，Z k ∈，则4x π=不是曲线2C 的一条对称轴，故B 错误；曲线1:222C y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向右平移8π个单位长度得到24i 28n 2y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即得到曲线2C ，故C 正确．将曲线2C 向左平移4π个单位长度得到42242i 4n 24y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦++，故D 错误；故选：C 15．D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <判断选项.【详解】3xy =是偶函数，sin 2y x =是奇函数，()3sin 2xf x x =是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ，当(,)2x ππ∈时，30x y =>，sin 20y x =<3sin 20xy x ∴=<，排除C.故选D . 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项. 16．C 【解析】 【分析】先根据题意以及余弦定理求出ab ，再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：2222()525c a b a ab b =-+=-++， 即22225a b c ab +-=-，由余弦定理得：222251cos 3222a b c ab ab ab π+--===， 解得：5ab =，则ABC的面积为：11sin 522ab C =⨯=故选：C. 17．B 【解析】 【分析】根据题意，先由余弦定理，得到28cos 8b A b +=，求出sin A积公式，得到1sin 2ABCSbc A ==，根据三角形的性质，确定b 的范围，进而可求出三角形面积的最值. 【详解】因为b =，2c =，所以222221482cos 248b c b a b A bc b b++-+===，所以sin A =因此1sin 2ABCSbc A == 由三角形性质可得：a b c b a c +>⎧⎨-<⎩，即22b b +>⎨⎪<⎪⎩，解得：44b -<+又44-<+因此当224b =，即b =ABC的面积最大，为ABCS ==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求三角形面积的最值问题，熟记余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型. 18．B 【解析】 【详解】试题分析：由sin()sin 0sin 0θπθθ+=-⇒，cos()cos 0cos 0θπθθ-=->⇒<，由sin 0{cos 0θθ><可知θ是第二象限角，选B.考点：诱导公式及三角函数在各个象限的符号. 19．C 【解析】 【详解】 试题分析：42x ππ<<，cos sin x x ∴<，cos sin 0x x ∴-<，()22213cos sin cos sin 2sin cos 1284x x x x x x -=+-⋅=-⨯=，cos sin x x ∴-=C 正确． 考点：1同角三角函数基本关系式；2正弦函数余弦函数比较大小问题． 20．C 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可. 【详解】因为A ，C 是ABC ∆的内角，所以,(0,)A C π∈. 因为4cos 5A =，5cos 13C=，所以3sin 5A ==，12sin 13C ===，因此有：3541263sin sin()sin()sin cos cos sin 51351365B AC A C A C A C π=--=+=+=⨯+⨯=，由正弦定理可知：121363sin sin 13565a b b b A B =⇒=⇒=. 故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.21．D 【解析】 【详解】 略 22．B 【解析】 【分析】将sin cos θθ+=2sin cos θθ，再求出()2sin cos θθ-，即可得到sin cos θθ-，最后根据θ的范围，即可得解；【详解】解：因为sin cos θθ+=()2sin co 1s 5θθ+=，所以221sin 2sin cos cos 5θθθθ++=，所以42sin cos 5θθ=-，所以()2229sin cos sin 2sin cos cos 5θθθθθθ-=-+=，所以sin cos θθ-=θ为第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，所以sin cos θθ-= 故选：B 23．C 【解析】根据数列的递推关系求出前三项即为三角形边长，根据余弦定理求出从小到大第二大的角，即可求得最大角与最小角之和. 【详解】由题：数列{}n a 中,()*1153n n a a a n n N +==-+∈，，所以12357,8a a a ===，，作为三角形三边长， 由余弦定理：边长为7的边所对角的余弦值为25644912582+-=⨯⨯，角的大小为60°，所以最大角与最小角之和为120°. 故选：C 【点睛】此题考查根据递推关系求数列中的项，根据余弦定理求三角形的角的大小，涉及三角形三内角和的关系进行转化. 24．A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，即可求解. 【详解】将函数()π2sin()36x f x +＝的图象向左平移 π4个单位，得到函数()πππ2sin +2sin 312634x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，再向下平移1个单位，得到函数()π2sin +134x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则解析式为()π2sin +134x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选:A ． 25．D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，在ABC 中利用余弦定理建立方程求解即得. 【详解】如图，ABC 中，依题意，30ABC ∠=，,3AC AB x BC ===，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠得，222323cos30x x =+-⋅，即260x -+=，解得x =x =所以x 的值是 故选：D 26．D 【解析】 【分析】根据三角形ABC 的边和角，利用正弦定理，即可求解. 【详解】由题意可知，60ABC ∠=︒，45A ∠=︒，75C ∠=︒，50AB =海里，由正弦定理可得sin sin AB ACC ABC=∠，所以(25AC =海里. 故选：D 27．A 【解析】 【分析】由题意可得46km AC =，16.28ACB ∠=︒，132.57BAC ∠=︒，然后在ABC 中利用正弦定理求解即可 【详解】如图所示，由题意可得46km AC =，16.28ACB ∠=︒，132.57BAC ∠=︒， 由正弦定理可得sin sin BC ACA B =，即46sin132.57sin31.15BC =︒︒， 解得4646sin132.570.7465.46sin31.150..52BC =⋅︒≈⨯≈︒．故选：A28．C 【解析】 【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的奇偶性和单调性，进而根据函数的性质和定义域，将不等式2(2)(4)0f a f a -+->化为2(2)(4)f a f a ->-，解不等式组即可求解. 【详解】解：因为函数3y x =和函数sin y x =均为奇函数，且在[1,1]-上均为增函数， 所以函数3()sin f x x x =+是奇函数，且在[1,1]-为增函数， 由2(2)(4)0f a f a -+->， 得2(2)(4)f a f a ->-， 所以2224121141a a a a ⎧->-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得2a <≤2a ∈（. 故选：C. 29．A 【解析】 【分析】设,AB x =则BC =，利用正弦定理即得解. 【详解】解：设,AB x =则BC . 由题得53412CBD ππππ∠=--=.51sinsin()12642πππ=+==在△BCD20x ∴=. 所以塔高20m. 故选：A 30．A 【解析】 【分析】先计算出tan α的值，然后构造齐次式，将分子分母同除以2cos α即可计算出结果. 【详解】因为tan()74πα+=，所以tan 171tan A A +=-，所以3tan 4α=，又222222314cos 4sin cos 14tan 644cos 2sin 2sin cos tan 125314ααααααααα+⨯+++====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以264cos 2sin 225αα+=. 故选：A. 【点睛】本题考查两角和的正切公式与同角三角函数的基本关系的综合应用，难度一般.已知tan α，求解22sin cos m n αα+的值，可变形为求解222222sin cos tan sin cos tan 1m n m nαααααα++=++的结果；求解sin cos sin cos n n n n a b c d αααα++的值，可变形为求解tan tan n n a b c dαα++的结果.31．D 【解析】 【详解】 由sin α＋cos α＝得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝1，又因为α△(0，π)，则当cos α＝0时，sin α＝1，不符合题意，所以cos α≠0，所以＝＝1，解得tan α＝1，故选D. 32．D 【解析】 【详解】分析：利用诱导公式，()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，得到答案详解：222sin 236y sin x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦要得到函数22y sin x =的图象，只需要将函数223y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度即可故选D点睛：本题考查了三角函数图像的性质，根据图像的平移来确定结果，掌握由sin y x =图像到()y Asin x ωϕ=+图像的变换过程． 33．B【分析】先根据函数的部分图象和性质求出f （x ）解析式，再根据图象的变换规律求得g （x ），最后根据余弦函数性质得出结论． 【详解】因为函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象的一个最高点为（312π-，），与之相邻的一个对称中心为06π⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以A =3，46T π=-（12π-）4π=；所以T ＝π所以ω＝2；所以f （x ）＝3cos （2x +φ）； 又因为f （12π-）＝3cos[（2×（12π-）+φ]＝3，所以6π-+φ＝K π；△0＜φ＜π； △φ6π=，△f （x ）＝3cos （2x 6π+）； 因为将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象， 所以g （x ）＝3cos[2（x 6π-）6π+]＝3cos （2x 6π-）；是非奇非偶函数；令﹣π+2k π≤2x 6π-≤2k π，所以512π-+k π≤x ≤k π12+π，k △z ； 当k ＝0时，g （x ）的一个单调递增区间为：51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；令2x 6π-=k π2π+， 解得x 23k ππ=+，k △z ， △函数g （x ）在[0，2π]上只有一个零点． 故选：B ．本题主要考查由三角函数部分图象求解析式，图象变换以及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 34．A 【解析】 【分析】对4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=再相加得出30C ︒=或150︒，再由三角函数的性质验证150C ︒=，即可得出答案. 【详解】4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=2216sin 16sin cos 4cos 1A A B B ∴++=△224sin 16sin cos 16cos 27B B A A ∴++=△△+△得2016sin()28A B ++=即1sin()sin()sin 2A B C C π+=-==()0,180C ︒︒∈ 30C ︒∴=或150︒当150C ︒=时，则030,030A B ︒︒︒︒<<<<12sin 212B ∴<⨯=，4cos 4A <2sin 4cos 5B A ∴+<5∴<150C ︒∴=不满足题意故选：A 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式，平方关系，三角函数的性质，属于中档题. 35．A 【解析】 【分析】由三角函数的性质可知()2cos f x x =在R 上的最大值为2，最小值2-，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为π，结合充分、必要条件的定义即可判定. 【详解】由于()2cos f x x =在R 上的最大值为2，最小值2-，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为半个周期，即π，所以若存在[]12,,x x m n ∈使得()()124f x f x -=，则必有πn m -≥，但反之不成立,比如2π2,33m n π=-=时，4=>π3n m π-，但()f x 在[],m n 上的最大值为2，最小值为1-，[]12,,x x m n ∈时()()12f x f x -的最大值为3，不可能等于4，△“存在[]12,,x x m n ∈使得()()124f x f x -=”是“πn m -≥”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，涉及三角函数的性质，属基础题，关键是认真审题，理解存在性命题的意义，掌握三角函数的性质和充分、必要条件的意义. 36．C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换的应用化简已知恒等式可得(22sin 4sin 0A A -+=，解方程即可求出sin A ，进而求出角A ，由三角形的重心的性质可得()13AP AB AC =+，两边同时平方结合平面向量的数量积的运算即可得到24cos 240c c A +⋅-=，分类讨论求出边c ，进而求出结果. 【详解】因为(()cos 24sin 1A B C ++=，所以(212sin 4sin 1A A -+=,因此(22sin 4sin 0A A -+=，解得sin A =或sin 2A =， 又因为()0,A π∈，则(]sin 0,1A ∈，所以sin A =，因此3A π=或23A π=，又因为点P 是ABC 的重心，所以()13AP AB AC =+,因此()22212cos 9AP AB AC AB AC A =++⋅⋅, 即()22212cos 9AP AB AC AB AC A =++⋅⋅，又因为AP =2b =，所以()228144cos 99c c A =++⋅，即24cos 240c c A +⋅-=,当3A π=时，22240c c +-=，因为0c >，所以4c =，此时214162242a =+-⨯⨯⨯，所以a =当23A π=时，22240c c --=，因为0c >，所以6c =，此时214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，所以a =综上：a =a = 故选：C. 37．A 【解析】 【分析】直接利用三角函数图象的“伸缩变换”与“平移变换”法则求解即可. 【详解】把函数3y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，所得图象对应的函数为22333y sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.38．C 【解析】 【分析】利用图象的变换规律，可求出函数()g x 与()h x 的的解析式， 再由三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍， 纵坐标不变，得到函数()sin 2g x x =的图象，再把()g x 图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到函数 ()sin()h x x θ=+的图象 ,当6πθ=时，()sin(2),3h x x π=+ 当12x π=时，()sin(2)112123h πππ=⨯+=，则12x π=为函数()h x 图象的对称轴，故 A 错误；当6πθ=时，()sin(2)3h x x π=+，若0,,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦则1sin(2),132x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故()h x 的最大值为 1，故B 错误； 当2πθ=时，函数()sin 2g x x =与()sin 2h x x =-的图象关于x 轴对称，故C 正确； 当2πθ=时，()()2sin 2g x h x x -=最小值为 -2 , 故D 错误. 故选：C. 39．A 【解析】 【分析】根据所给条件求出cos BAC ∠，再借助余弦定理即可作答. 【详解】因4cos 5θ=，则3sin 5θ=，由题意得45BAC θ∠=︒-， 即()43cos cos 4555BAC θ⎛⎫∠=︒-=+= ⎪⎝⎭， 在ABC中，AB =10AC =，由余弦定理2222BC AB AC AB ACcos BAC =+-⋅∠得：即22210210340BC =+-⋅=，解得BC = 设船速为x，则12x =x =所以货船的速度大小为/小时. 故选：A 40．C 【解析】 【详解】 设，则，则，故选C.考点：正弦定理与余弦定理. 41．A 【解析】 【详解】2222221sin tan 14sin 1sin cos tan 1514αααααα====+++，由于角为第三象限角，故sin α=πcos sin 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭. 42．C 【解析】 【分析】先将函数()f x 的化为正弦型函数，在将函数()f x 的解析式表示为()()sin 23f x x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，并结合ϕ的符号与绝对值确定平移的方向与长度．【详解】由诱导公式可得()cos 2sin 2sin 232343f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，只需在将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，即可得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】在考查两个三角函数平移的过程中，需注意以下两个问题； △两个函数的名称一定要一致；△左右平移法则中的“左加右减”指的是在自变量x 上变化了多少． 43．B 【解析】 【分析】先求出把函数()f x 的图象向左平移4π个单位后所得图象对应的解析式，然后求出该图象对应函数的对称轴，最后结合四个选项进行判断即可． 【详解】把函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭)图象向左平移4π个单位后所得图象对应的解析式为sin 2?cos 2433y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由2,k Z 3x k ππ+=∈，得对称轴方程为,k Z 62k x ππ=-+∈．当0k =时，可得对称轴为6x π=-，此时对称轴离y 轴距最近． 故选B ． 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换以及函数图象对称轴的求法，对于图象的平移变换，解题时要注意平移只是对自变量x 而言的，同时要注意平移的单位的大小；在求图象的对称轴方程时，将4x π+看作一个整体进行求解，属于基础题．44．C【解析】 【分析】由点P 的横坐标大于0且纵坐标小于0解三角不等式求解α的范围． 【详解】△点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，△00sin cos tan ＞＜ααα+⎧⎨⎩， 由sinα+cosα=（α4π+）， 得2kπ＜α4＜π+2kπ+π，k△Z ，即2kπ4π-＜α＜2kπ34π+π，k△Z ． 由tanα＜0，得kπ2π+＜α＜kπ+π，k△Z ． △α△（2π，34π）△（74π，2π）．故选C ． 【点睛】本题考查了三角函数的符号，考查了三角不等式的解法，是基础题． 45．D 【解析】 【分析】利用圆的参数方程，表示出212d d +并求最值，利用三角函数求出0x y . 【详解】22:124390C x y x y ++++=化为标准方程：22(6)(2)1x y +++=，点()00,P x y 是圆上一点，不妨设006sin 2cos x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则22212(6sin )(2cos )(2cos )d d t t t +=-++-+--+(12sin 5cos )43t t =-++)43t ϕ=++ 13sin()43t ϕ=-++其中5tan 12ϕ= 当2t πϕ+=时，212sin()1,t d d ϕ+=+可取得最小值30此时001266sin 6cos 221352cos 2sin 7213x t y t ϕϕ-+-+-+====-+-+-+ 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据圆的方程，可设点()00,P x y 满足006sin 2cos x t y t=-+⎧⎨=-+⎩，代入212d d +化简求最值，是解决本题的关键，属于中档题. 46．D 【解析】 【分析】由函数图象知,,A T B ，利用周期公式即可解得ω，又πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭7020，解得ϕ，即可得出函数()f x 的解析式. 【详解】设函数()()sin f x A x B ωϕ=++，则 由图可知,A B =-=11，πππT =-=7420104，解得πT =, 所以2π=πT ω=，解得2=ω，将点π,⎛⎫⎪⎝⎭7020代入函数()()sin 21f x x ϕ=-++中，即7π7π()sin 2102020f ϕ⎛⎫=-⨯++= ⎪⎝⎭，解得ππ,k k Z ϕ=-∈25当0k =时，π5ϕ=-. ()f x 的解析式为：π()1sin 25f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.故选：D.47．B 【解析】 【分析】利用正弦型函数的图象变换规律求得函数()y f x =的解析式，然后利用正弦函数的基本性质可得出结论. 【详解】把函数sin 2y x =的图象沿着x 轴向左平移6π个单位，可得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再把纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，对于函数()2sin 23x y f x π=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故（1）错误；由于当3x π=时，()0f x =，故该函数图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故（2）正确；在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，22,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故函数()y f x =该函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是增函数，故（3）错误；在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当4233x ππ+=时，函数()y f x a =+在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最小值为a =a ∴=4）正确，故选：B. 【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，考查推理能力，属于中等题. 48．630° 【解析】 【分析】根据题目条件得到(180)360,k Z k αα=-+⋅︒︒∈，求出()2190,k k Z α=+⋅︒∈，列出不等式组，求出3,630k α==︒. 【详解】由题意得，(180)360,k Z k αα=-+⋅︒︒∈， 即()2190,k k Z α=+⋅︒∈，。
2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
2023-2024学年高考数学三角函数专项练习题(附答案)
2023-2024学年高考数学三角函数小专题一、单选题1．函数的最小正周期为（ ）()2sin 222sin 4f x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2ππ42π2．若，则等于（ ）sin tan 0x x ⋅<1cos2x +A ．B ．C ．D ．2cos x 2cos x -2sin x 2sin x-3．已知，均为锐角，则（ ）251cos ,tan()53ααβ=-=-,αββ=A ．B ．C ．D ．5π12π3π4π64．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =是（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位π12π6π12D ．向左平移个单位π65．若，则（ ）1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．42979429-79-6．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 最小正周期大于，则的取值范围为（ ）πωA ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭()0,2[)1,2()1,27．已知，且，求（ ）π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3π44<<αcos α=A ．B ．C ．D ．2106222610A ．函数的图像可由()f xB ．函数在区间()f xC ．函数的图像关于直线()f xC ．D ．o o2sin15sin 75o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说(21)f x +1x =(1)f x +(1,0)法不正确的是（ ）A ．B ．4为的周期(1)(1)f x f x -=+()f x C ．D ．(1)0f =()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）ππ()sin(3)()22f x x ϕϕ=+-<<π4x =A ．函数为奇函数π()12f x +B ．函数在上单调递增()f x ππ[,]126C ．若，则的最小值为12|()()|2f x f x -=12||x x -2π3D ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+三、填空题13．计算：＝.tan 73tan1933tan 73tan13︒︒︒︒--14．已知，，则 .1sin cos 5αα+=-()0,πα∈tan α=15．已知函数的最小正周期为，则.π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4πω=16．已知函数，则函数的对称轴的方程为22()2cos 43sin cos 2sin f x x x x x =+-()f x ．答案：1．B【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.()sin y A x ωϕ=+2πT ω=【详解】因为()2sin 222sin 4f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22sin 2cos 221cos 222x x x =---.22sin 2cos 2222x x =+-πsin 224x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.2ππ2T ==故选：B 2．B【分析】先由已知条件判断的符号，然后对配凑升幂公式即可.cos x 1cos2x +【详解】由题知：2sin sin tan 00cos 0cos xx x x x ⋅<⇒<⇒<.21cos21cos222cos 2cos 2cos 2xx x x x++=⨯===-故选：B.3．C【分析】由两角差的正切公式求解即可.【详解】因为，，，π02α<<25cos 5α=25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==，()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎡⎤=--===⎣⎦+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以.π4β=故选：C.4．A【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.【详解】对于A ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，符合；πππsin 2sin 2cos 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ：向右平移个单位可得到，不πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 2cos 263y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦符合；对于C ：向右平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，不符合；πππsin 2sin 2cos 21236y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6，不符合；ππ2πsin 2sin 2cos 2633y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．D【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题.【详解】因为2217cos(2)=cos22cos 121cos(2)366393ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.7sin 2sin 2cos 262339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D 6．C【分析】根据题意，得到，取得对称轴的方程，由的()π2sin()6f x x ω=+ππ,Z 3k x k ωω=+∈k 取值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，()π3sin cos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+令，可得，πππ,Z 62x k k ω+=+∈ππ,Z3k x k ωω=+∈因为图象的一条对称轴在区间内，可得，可得，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ633k ωω≤+≤131231k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥+⎩又因为的最小正周期大于，可得，解得，()f x π2ππω>2ω<当且仅当时，解得.0k =ω1≤<2综上可得，实数的取值范围为.ω[1,2)故选：C.7．A【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算.【详解】因为，所以，，π3π44<<απππ24α<+<2ππ3cos()1sin ()445αα+=--+=-，ππππππ3422cos cos ()cos()cos sin()sin ()44444455210αααα⎡⎤=+-=+++=-+⨯=⎢⎥⎣⎦故选：A.8．B【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．【详解】由图象可知，，2A =由图，因为，所以，，()10=1sin =2f ϕ⇒π02ϕ<<π=6ϕ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图，则，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ122π,=,12655k k k k ωω⨯+=∈⇒-∈Z Z由图可知，所以，所以，1π5π12002125T ωω=>-⇒<<=2ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的图像向左平移个单位得到的sin =2sin2y A x x ω=π6ππ2sin2+=2sin 2+63y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象，选项A 不正确；对于B ，由，可得，πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z则函数的单调递增区间为，则在区间上单调递增，()f x πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以在区间上单调递增，选项B 正确；()f x ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项π2ππ2sin 12336f ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =()f x C 不正确；对于D ，由，可得，则函数的图象关于点π2π,6x k k +=∈Zππ,122k x k =-+∈Z ()f x 对称，选项D 不正确．ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：B ．9．ABD【分析】令，求得，可判定A 不正确；令，求得5π12x =5π3()122f =π8x =-可判定B 不正确；由时，可得，可判定C 正π5π()sin()812f -=-π22π,π,0,π6x -=--()0f x =确；由，结合正弦函数的性质，可判定D 不正确.π7ππ2(,)666x -∈--【详解】对于函数，()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A 中，令，可得，5π12x =5π5ππ2π3()sin(2)sin 1212632f =⨯-==所以函数的图象不关于点中心对称，所以A 不正确；()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对于B 中，令，可得不是最值，π8x =-πππ5π()sin(2)sin()88612f -=-⨯-=-所以函数的图象不关于直线对称，所以B 不正确；()f x π8x =-对于C 中，由，可得，()π,πx ∈-π13π11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭当时，可得，π22π,π,0,π6x -=--()0f x =所以在上有4个零点，所以C 正确；()f x ()π,π-对于D 中，由，可得，π[,0]2x ∈-π7ππ2(,)666x -∈--根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D 不正确.()f x故选：ABD.10．BC【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可.11sin(6-π)【详解】由题意有，11ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭对于A 选项：因为，故A 选项不符合题意；2o o 312cos 151cos3022-==≠对于B 选项：因为，故B 选项符合()o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos 602-=+==题意；对于C 选项：因为，故()()o o o o o o o o 12sin15sin 75cos 7515cos 7515cos 60cos902=--+=-=C 选项符合题意；对于D 选项：因为，故D 选项不符合题意；()o o o o o o otan 30tan151tan 3015tan 4511tan 30tan152+=+==≠-故选：BC.11．CD【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，从而判断A ，B ；举特例符合题意，验证C ，D 选项，即得答案.【详解】由函数的图像关于直线对称，可得，(21)f x +1x =(2(1)1)(2(1)1)f x f x ++=-+即，即，(32)(32)f x f x +=-(3)(3)f x f x +=-以代换x ，则；1x +(4)(2)f x f x +=-由函数关于点对称，可得，(1)f x +(1,0)(2)(2)0f x f x ++-=结合可得，(4)(2)f x f x +=-(4)(2)f x f x +=-+即，则，即4为的一个周期，B 正确；(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 又，结合，(2)(2)f x f x +=--(2)()f x f x +=-可得，故，A 正确；(2)()f x f x -=(1)(1)f x f x -=+由以上分析可知函数关于直线对称，且关于点成中心对称，()f x 1x =(2,0)其周期为4，则满足题意，π()sin2f x x=但是，故C 错误；π(1)sin 12f ==说明函数图象关于直线对称，3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34x =而，即直线不是对称轴，D 错误，33π()sin 148f =≠±34x =π()sin 2f x x =故选：CD 12．AB【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.【详解】由题意可知，又，()πππ3πZ π424k k k ϕϕ⨯+=+∈⇒=-+ππ22ϕ-<<故，()ππ,sin 344f x x ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于A 项，，由诱导公式知，即函πππsin 3sin 312124f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 3sin 3x x -=-数为奇函数，故A 正确；π()12f x +对于B 项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上ππππ[,]30,12644x x ⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎣⎦()f x ππ[,]126单调递增，故B 正确；对于C 项，易知，若，则与一个取得最大值，一个()max 1f x =12|()()|2f x f x -=()1f x ()2f x 取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C 错误；1x 2x 12||x x -π23T =对于D 项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，()f x 13得到函数的图象，故D 错误.sin(9)y x ϕ=+故选：AB.13．3【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．()()tan 73tan133tan 73tan13tan 73131tan 73tan133tan 73tan133︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=-+-=故．314．/34-0.75-【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.12sin cos 25αα-=【详解】由可得，故，1sin cos 5αα+=-112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα-=又，解得或，222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125αααααααα-===++3tan 4α=-4tan 3α=-由于，，故，12sin cos 025αα-=<()0,πα∈sin 0,cos 0αα><又，故，因此，1sin cos 05αα+=-<sin cos αα<tan 1α<故，3tan 4α=-故34-15．/120.5【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4π所以，则.2π2π4πT ωω===ω=12故答案为.1216．ππ(Z)62kx k =+∈【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得ππ2π(Z)62x k k +=+∈答案.【详解】22()2cos 43sin cos 2sin 1cos 223sin 2cos 21f x x x x x x x x =+-=+++-，π23sin 22cos 24sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，解得：．ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈故ππ(Z)62kx k =+∈。
高三数学三角函数练习大题经典22套
三角函数（三）1、在△ABC 中，AC=3，sinC=2sinA.（1）求AB 的值。
（2）求sin(2A －4π)的值。
2、设△ABC 的内角A 、B 、C 所以的边长分别为a,b,c ，3cos cos 5a Bb A C -=，（1）tan cot A B 的值。
（2）tan()A B -的最大值。
3、在△ABC中，5cos13B=-，4cos5C=.（I）sin A的值；（II）设△ABC的面积S△ABC=332，求BC的长。
4、设△ABC的内角A、B、C的对边分别为,,a b c，且A=60°，c=3b。
求（I）ac的值；（II）cot cotB C+的值.三角函数（四）1、在△ABC 中ambmc 分别为角A 、B 、C 的对的边长，a = ，tantan 422A B C++=，2sin sin cos 2AB C =。
求A 、B 及a 、c .2、在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别为,,a b c ，已知2,3c C π==（I ）若S △ABC ,a b .（II ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求△ABC 的面积。
3、设锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为,,a b c，2sina b A=.（I）求角B的大小；（II）求cos sinA C+的取值范围。
4、在△ABC中，1tan4A=，3tan5B=,（I）求角C的大小；（II）若△ABC三角函数（五）1、已知△ABC的内角A、B及其对边,a b满足cot cot,a b a A b B+=+求内角C.2、△ABC中，D为BC上的一点，BD=33，5sin13B=，3cos5ADC∠=，求AD.3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1cos 24C =-. （I ）求sin C 的值；（2）当2,2sin sin a A C ==时，求b c 及的长。
高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题,含答案)
1．tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．假设,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求以下函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，那么,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，那么]2,2[-∈t 那么，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y 7．假设函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)假设],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)假设]2π,0[∈x ，那么]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 2tan =θ，求〔1〕θθθθsin cos sin cos -+；〔2〕θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：〔1〕2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点〔如果不具备，通过构造的方法得到〕，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
(完整版)高考大题-三角函数题型汇总精华(含答案解释)
【模拟演练】1、[2014·江西卷16] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．2、[2014·北京卷16] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．3、[2014·福建卷18] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．4、( 06湖南）如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若求β的值.BDCαβ A图5、（07福建）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．6、（07浙江）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．7、（07山东）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20 海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的 北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距102海里, 问乙船每小时航行多少海里?8、（2013年全国新课标2）在ABC ∆中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，已知B cC b a sin cos +=（1）求B ；（2）若b=2, 求ABC S ∆的最大值。
新高考一轮复习特训-三角函数-(含答案)高中数学-高考专区-一轮复习
2025届新高考一轮复习特训 三角函数一、选择题1．函数()sin 2f x =到()g x 的图象,则()g x =( )A.cos 4xB.cos x- C.cos 4x- D.sin x-2．已知()1sin ,tan 5tan 2αβαβ+==,则()sin αβ-=( )3．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是( )A.5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.511,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,则cos 2α=( )355．与1990-︒终边相同的最小正角是( )A.80︒B.150︒C.170︒D.290︒6．已知tan α==( )7．下列区间中，函数π()7sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是( )A.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B.π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．记函数π()sin (0)4f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭πT <<，且()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )D.3二、多项选择题9．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]y x =被称为高斯函数；例如[]2.13-=-，[]2.12=，已知()sin sin f x x =+()()x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是( )A.函数()g x 是偶函数B.函数()g x 是周期函数C.函数()g x 的图像关于直线x =()g x x =只有1个实数根10．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则( )A.()()πf x f x += B.()f x 的图象关于直线x =C.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增11．已知函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =A.函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B.函数()f x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增)()12x f x -=-D.函数()f x 的图象关于5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称三、填空题12．若tan θ==____________.13．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边AC ，BC ，点E 在以AC 为直径的半圆上，延长AE ，BC 交于点D .若5AB =，sin CAB ∠=DCE ∠=ABE 的面积是______.14．如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是__________.四、解答题15．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h （单位：cm ）由关系式πsin 4h A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，其中0A >，0ω>，[0,)t ∈+∞.在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，且最高点与最低点间的距离为10cm .（1）求小球相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）和时间t （单位：s ）之间的函数关系式；（2）小球在0t s 内经过最高点的次数恰为50次，求0t 的取值范围.16．已知α=(1)写出与角α终边相同的角的集合;(2)写出在()4π,2π-内与角α终边相同的角.17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||πϕ<）图象的最高点为π,16⎛⎫⎪⎝⎭，距离该最高点最近的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式及单调递减区间；（2）若函数()(0)2a g x f x a ⎛⎫=>⎪⎝⎭，()g x 的图象关于直线x =()g x 在π0,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的值.18．已知函数（1）化简；（2）若的值.19．如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.cos αβ的值.()f x =()f x ()0f x =00π2π2cos(2)63x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭参考答案1．答案：A解析：()sin 2f x=ππsin 2sin 2cos 242y x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象,再把横坐标缩短为原来的一半,得到()cos 4g x x =的图象故选：A.2．答案：A解析：因为()sin sincos +cos sin αβαβαβ+===cos 5cos sin αβαβ=,所以11sin cos cos sin 6cos sin ,cos sin ,sin cos 212αβαβαβαβαβ+====所以()5141sin sin cos cos sin .1212123αβαβαβ-=-=-==故选：A.3．答案：A解析：因为2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ωω⎡+∈+⎢⎣π[2π,3π)3+∈，所以5,42ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.4．答案：D解析：因为角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,所以cos α==所以2cos 22cos 1αα=-=故选：D.5．答案：C解析：因为199********-=-⨯-︒︒︒，199********-=-⨯+︒︒︒，所以与1990-︒终边相同的最小正角是170︒.故选C.6．答案：B,故选：B.7．答案：A解析：方法一：令πππ2π2π262k x k -+-≤+≤，k ∈Z ，得π2π2π2π33k x k -+≤≤+，k ∈Z .取0k =，则π3x -≤≤ππ2π0,,233⎫⎡⎤-⎪⎢⎥⎭⎣⎦Ü，所以区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的单调递增区间.方法二：当π02x <<时，，所以在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故A 正πx <<π6x <-<()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当πx <<π6x <-<()f x 在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；当3π2π2x <<π6x <-<()f x 在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.8．答案：A T <<2ππω<<，解得23ω<<.因为()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2b =，且，即，所以，又π4π4+=，解得ω=5π()sin 224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以π5ππ3πsin 2sin 2122242f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.9．答案：AD解析：选项A ，函数()f x 的定义域为R ，2tan 313tan 2αα+==-πππ663x -<-<()f x 3ππsin 224b ω⎛⎫++= ⎪⎝⎭3ππsin 024ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭3πππ()24k k ω+=∈Z 2ω<<3ππ24ω<+<因为()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，当0πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，当π2πx <≤时，()sin sin 0f x x x =-=，当2π3πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，…因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象如下图所示由()()g x f x =⎡⎤⎣⎦可知，在0x ≥内，当2πx k =+∈Z 时，()2g x =，当π2π2π6k x k +≤≤+2πx k ≠+∈Z 时，()1g x =，当2π2πk x k ≤<5ππ2π2π6k x k +<≤+，k ∈Z 时，()0g x =，因为()()()()g x f x f x g x -=-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()g x 为偶函数，则函数()g x 的图象如下图所示显然()g x 不是周期函数，故选项A 正确，B 错误，C 错误;()g x x =，当()0g x =时，0x =方程有一个实数根，当()1g x =时，x =π212⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，方程没有实数根，当()2g x =时，πx =，此时()π02g =≠，方程没有实数根，()g x x =只有1个实数根，故D 正确；故选：AD.10．答案：AD解析：对于A,函数()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==,()()πf x f x +=,A正确;对于B,由πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的图象不关于直线x =对于C,由πππ2π32066332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得函数()f x 的图象不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称,C 错误;对于D,当5ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,πππ2,322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,而正弦函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,因此函数()f x 在区间5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,D 正确.故选：AD.11．答案：ACD解析： 函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =ππ3π42k ϕ∴⨯+=+,k ∈Z ,ππ4k ϕ∴=-+,k ∈Z因为ππ22ϕ-<<,所以ϕ=π()sin(3)4f x x =-．函数πππ()sin 3sin 312124f x x x ⎡⎤⎛⎫+=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,故A 正确;当[,123ππx ∈,π3π0,434x ⎡-∈⎤⎢⎥⎣⎦,函数()f x 没有单调性,故B 错误;若12|()()|2f x f x -=,因为[]()1,1f x ∈-,所以()()1211f x f x =⎧⎪⎨=-⎪⎩或()()1211f x f x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,则12|x x -2π3=5π5ππsin 3sin 012124f π⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数()f x 图象关于5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,故D 正确故选：ACD ．.解析：由题意得：DCE ACE ∠+∠=π2CAE ACE +∠=所以DCE CAE ∠=∠，故sin sin DCE CAE ∠=∠=cos CAE ∠==因为sin CAB ∠=45CAB ∠=故()sin sin sin cos cos sin EAB CAE CAB CAE CAB CAE CAB∠=∠+∠=∠∠+∠∠343455=⨯=因为5AB =，ACB ∠=CAB ∠=3BC =，4AC =又因为AEC ∠=CAE ∠=，所以cos 4AE AC CAE =∠==的cos 11cos sin cos tan 131cos cos θθθθθθθ====+++所以ABE △的面积是11sin 522S AB AE EAB =⋅⋅∠=⨯=14．答案：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z 解析：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为360120k ⋅︒+︒,k ∈Z ,终边落在阴影部分第四象限最左边的角为,k ∈Z .所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是.故答案为：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z .15．答案：（1）π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭（2）1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：（1）由题意得1052A ==.因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，所以最小正周期为2s ，即2T ==π=，所以π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，当t =最高点.因为小球在0s t 0149504T tT +≤<+.因为2T =，所以01984t ≤<所以0t 的取值范围为1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．答案：(1)π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z (2)36045k ⋅︒-︒36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z解析：(1)与角α终边相同的角的集合为π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .(2)令π4π2π2π3k -<+<,得136k -<<又k ∈Z ,2k ∴=-,-1,0,∴在()4π,2π-内与角α终边相同的角是17．答案：（1）π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z（2）a =5=解析：（1）由题意解题思路知A =5ππ126=-=所以πT =，2π2πω==，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2π2k ϕ+=+，k ∈Z ，即π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又||πϕ<，所以ϕ=π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.π3π2π22π62k x k +≤+≤+，k ∈Z 2πππ3k x k +≤≤+，k ∈Z ，即()f x 的单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z .（2）由（1）可得π()sin (0)6g x ax a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由()g x 的图象关于直线x =πππ62k =+，k ∈Z ，即51544a k =+，k ∈Z ，当π0,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππππ,66156a ax ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由()g x 在[π0,15ππ62+≤，即5a ≤.又0a >且51544a k =+，k ∈Z ，所以a =5=.18．答案：（1）π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）35-解析：（1）ππππcos 2cos 2π2tan 22333()ππtan 2πsin π233x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππsin 2cos 2tan 2π333cos 2ππ3tan 2sin 233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为()00πcos 23f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以000ππππsin 2sin 2cos(2)6323x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0002πππcos 2cos 2πcos 2333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故00π2π33sin 2cos 2631010x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．答案：（1）1-（2）3225-解析：（1）由题意得π2βα=+sin sin cos cos αβαβ=πsin sin sin cos 21πcos sin cos cos 2αααααααα⎛⎫+⎪⎝⎭==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.35α=，sin α=则πcos cos sin 2βαα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭所以442sin cos 255αβ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭。
高考数学三角函数典型综合题型题库 含详解
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值.解：（1）ABC ∆的内角和A B C π++=3A π=203B π∴<<sin 4sin sin BCAC B x A== 12sin sin()23y AB AC A x x π∴=⋅=- 2(0)3x π<<（2）y = 21sin()sin )32x x x x x π-=+26sin cos x x x =+7)2)6666x x ππππ=--<-<当262x ππ-=即3x π=时，y 取得最大值………………………14分2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0＜α＜β＜π．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的长度相等，求β－α的值(k 为非零的常数)． 解：(1)由题意得：a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β) a －b ＝(cos α－cos β， sin α－sin β) ∴(a ＋b )·(a －b )＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)(sin α－sin β)＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝1－1＝0 ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2) 方法一：k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β， sin α－k sin β)| k a ＋b |＝1)cos(22+-+αβk k ，| a －k b |＝1)cos(22+--αβk k 由题意，得4cos (β－α)＝0，因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝2π．方法二：由| k a ＋b |＝| a －k b |得：| k a ＋b |2＝| a －k b |2即(k a ＋b )2＝( a －k b )2，k 2| a |2＋2k a ⋅b ＋| b |2＝| a |2－2k a ⋅b ＋k 2| b |2由于| a |＝1，| b |＝1∴k 2＋2k a ⋅b ＋1＝1－2k a ⋅b ＋k 2，故a ⋅b ＝0，即(cos α，sin α)⋅ (cos β，sin β)＝0 10分 ⇒ 0)cos(0sin sin cos cos =-⇒=+αββαβα 因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝2π．3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知3sin 22B A ++cos 22B A -=2, (cosA •cosB ≠0)，求tanAtanB 的值。
高考数学真题分类汇编三角函数专题(综合题)
高考数学真题分类汇编三角函数专题（综合题）1.在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.2.钝角ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, .（1）求角C的大小；（2）若ΔABC的BC边上中线AD的长为，求ΔABC的周长.3.已知函数，将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，然后向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的图像.（1）当时，求的值域；（2）已知锐角△的内角、、的对边分别为、、，若，，，求△的面积.4.在△ABC中，AB=2，且sinA（1-2cosB）+sinB（1-2cosA）=0.以AB所在直线为x轴，AB中点为坐标原点建立平面直角坐标系.（I）求动点C的轨迹E的方程；（II）已知定点P（4，0），不垂直于AB的动直线l与轨迹E相交于M、N两点，若直线MP、NP关于直线AB对称，求△PMN面积的取值范围。
5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求A的大小；（2）若，，求的面积．6.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，( ，)．（1）当cos ＝时，求小路AC的长度；（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．7.的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，,求．8.在锐角中, 分别为角所对的边,且.（1）确定角的大小;（2）若,且的面积为,求的值.答案1. 解：（Ⅰ）在中，由，可得，又由，得，所以，得；（Ⅱ）由，可得，则.2.（1）解：由正弦定理可得，故，又，或.若，则，三角形为直角三角形，舍去；若，则，符合，故.（2）解：法1：由余弦定理可得即，故，，又，故，所以周长为.法2：因为，所以，故，因，故即，，所以周长为3. （1）解：，将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，得到；然后向左平移个单位，得到；再向上平移个单位，得到，当，，，（2）解：或（由题意三角形为锐角三角形，故舍去），，①，②又，，代入①②得bc=3,则4. 解：(Ⅰ)由，得,根据正弦定理,所以轨迹是以为焦点的椭圆(除轴上的点),由于,所以轨迹的方程为;(Ⅱ)由题，设的方程为, 将直线的方程代入的方程得: .所以又直线与轨迹相交于不同的两点,所以,即，直线关于轴对称,可以得到,化简得,,得,那么直线过点, ,所以三角形面积：设,,在上单调递减，5. （1）解：，根据正弦定理,将上式中的a，b，c替换为，得：，而，,，，，又，（2）解：由余弦定理可得，，，，，6. （1）解：在中，由，得，又，∴．∵∴由得：，解得：，∵是以为直角顶点的等腰直角三角形∴且∴在中，，解得：（2）解：由（1）得：，，此时，，且当时，四边形的面积最大，即，此时，∴，即答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米．7.（1）解：由正弦定理，得，在三角形中，得因为所以；（2）解：，，。
高考三角函数及数列大题
三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin =++C B A . I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根. (Ⅰ)求)tan(B A +的值;(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.6 ．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量()2s i n ,3m B =- ,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡ (I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡11．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡25．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+(I)求角A;(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值｡高考数学数列大题1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥（1）求数列n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含参考答案
（2）求 在 上的单调增区间.
89．已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
90．已知向量 ， ， .
(1)求函数 的最小正周期及 取得最大值时对应的 的值；
(2)在锐角三角形 中，角 、 、 的对边为 、 、 ，若 ， ，求三角形 面积的最大值并说明此时该三角形的形状.
A．90°B．60°C．45°D．30°
39．已知函数 的部分图像如图所示，将 图像上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），所得图像对应的函数 解析式为（）
A． B．
C． D．
40．函数 在 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
41．已知 ， ，则 的值为
A． B． C． D．
42．已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ， 的面积 ，则 的外接圆的直径为（）
19．如图，在扇形OAB中， ，半径OA=2，在 上取一点M，连接OM，过M点分别向线段OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.设 ，则四边形MEOF的面积为（）
A． B．
C． D．
20．设 ， ， 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 与 不共线，
， ，则 的值一定等于（）
55．在 中， ， ， ，则 ________.
56．在锐角 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 ， ，则 面积的取值范围为______．
57．用列举法写出 __________.
58．在△ABC中，∠B=75°，∠C=60°，c=1，则最小边的边长为______________________ .
2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》(含答案)
2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设函数f(x)=Acos(ωx+φ)（其中A＞0，|ω|<;4,0<;φ<;π)的大致图象如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A. π2B. πC. 2πD. 4π2.（5分）数学必修二介绍了海伦−秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.若把以上这段文字写成公式，即S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2]，其中a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边.若√3cosB√3sinB =1tanC，b=2，则△ABC面积S的最大值为()A. √3B. √5C. 3D. √23.（5分）某干燥塔的底面是半径为1的圆面O，圆面有一个内接正方形ABCD框架，在圆O的劣弧BC上有一点P，现在从点P出发，安装PA，PB，PC三根热管，则三根热管的长度和的最大值为()A、4B、2√3C、3√3D、2√6A. 4B. 2√3C. 3√3D. 2√64.（5分）现只有一把长为2m的尺子，为了求得某小区草坪坛边缘A，B两点的距离AB(AB大于2m)，在草坪坛边缘找到点C与D，已知∠ACD=90∘，且tan∠ADB=−2√2，测得AC=1.2m，CD=0.9m，BD=1m，则AB=()A. √373m B. √5m C. √172m D. 3√22m5.（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>;0,ω>;0,|φ|<;π2)在一个周期内的图象如图所示.若方程f（x）=m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1,x2，则x1+x2的值为（)A. π3B. 23π或43π C. 43π D. π3或43π6.（5分）设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0⩽t⩽24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：经长期观观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A、y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B、y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C、y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D、y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]A. y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B. y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C. y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D. y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]7.（5分）泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔.某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60∘，在塔底C处测得A处的俯角为45∘.已知山岭高CD为256米，则塔高BC为()A. 256(√2−1)米B. 256(√3−1)米C. 256(√6−1)米D. 256(2√3−1)米8.（5分）为迎接校运动会的到来，学校决定在半径为20√2m，圆心角为π的扇形空地4OPQ内部修建一平行四边形观赛场地ABCD，如图所示，则观赛场地面积的最大值为( )A. 200m2B. 400(2−√2)m2C. 400(√3−1)m2D. 400(√2−1)m29.（5分）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（cm）和时)，那么单摆摆动一个周期所需的时间为间t（s）的函数关系式为s=6sin(2πt+π6（）A. 2πsB. πsC. 0.5sD. 1s10.（5分）小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A. 11+sin α米 B. 11−cos α米 C. 11−sin α米D. 11+cos α米11.（5分）瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32，沿山道继续走20m ，抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为π3，则该瀑布的高度约为()A. 60mB. 90mC. 108mD. 120m12.（5分）设y =f(t)是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中0⩽t ⩽24，表格中是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y =f(t)的图象可以近似地看成函数y =k +Asin(ωt +φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A. y =12+3sin π6t,t ∈[0，24] B. y =12+3sin(π6t +π2)，t ∈[0，24] C. y =12+3sin π12t,t ∈[0,24] D. y =12+3sin(π12t +π2)，t ∈[0,24] 二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）振动量函数y =√2sin(ωx +φ)(ω>;0)的初相和频率分别为-π和32，则它的运动周期为_______________，相位是_______________.14.（5分）如图，在平面直角坐标系中，点P 以每秒π2的角速度从点A 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B ，再以每秒π3的角速度从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为__________.15.（5分）函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>;0,|φ|<;π2)的图象如图所示，则函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为_______________；为了得到g(x)=sinωx的图象，只需把y=f(x)的图象上所有的点向右平移_______________个单位长度.16.（5分）已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0⩽t⩽24，单位：小时)的函数，记作y=f(t).某日各时刻记录的浪高数据如下表：经长期观测，y=f(t)可近似地看成是函数y=Acosωt+b.根据以上数据，可得函数y=Acosωt+b的表达式为__________.17.（5分）一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是____．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用y=Asin(ωt+φ)+b近似地拟合出月平均气温y(单位：℃)与时间t(单位：月)的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间.(答案不唯一)19.（12分）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：ℎ)的变化近似满足函数关系：f(t)=12−3sin(π12t+π3)，t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？20.（12分）如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m.(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少?(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远?21.（12分）健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=25sin160πt+115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.22.（12分）如果α为小于360°的正角，且这个角的7倍角的终边与这个角的终边重合，则这样的角α是否存在?23.（12分）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：（A＞0，ω＞0）.（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港？答案和解析1.【答案】C;【解析】略2.【答案】A;【解析】此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差公式，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于较难题．先利用两角和的正弦公式、三角形的内角和、诱导公式化简已知条件可得sinC=√3sinA，由正弦定理可得c=√3a代入面积公式结合二次函数的性质即可求解.解：因为√3cosB√3sinB =1tanC=cosCsinC，所以sinC=√3sinCcosB+√3cosCsinB=√3sin(B+C)=√3sinA，由正弦定理可得：c=√3a，代入面积公式可得：S=√14[a2⋅3a2−(a2+3a2−222)2]=√14[3a4−(2a2−2)2]=√14(−a4+8a2−4)=√14[−(a2−4)2+12]=√−14(a2−4)2+3，所以当a=2时，−14(a2−4)2+3取得最大值3，所以△ABC面积S的最大值为√3，故选：A.3.【答案】null;【解析】此题主要考查三角函数的实际应用，属于基础题.求出|PA|+|PB|+|PC|=2√3sin(θ+φ)，利用三角函数的性质即可求解.解：如图，设∠PAC=θ，θ∈[0,π4]，可得|PA|+|PB|+|PC|=2[cosθ+sin(π4−θ)+sinθ]=(2+√2)cosθ+(2−√2)sinθ=2√3sin(θ+φ)，其中tanφ=3+2√2，φ∈(π4,π2 )，所以(|PA|+|PB|+|PC|)max=2√3，由的范围可以取到最大值.故选B.4.【答案】C;【解析】此题主要考查解三角形的实际应用，考查数学运算的核心素养与应用意识，属于中档题.由题意可得AD=1.5m，利用tan∠ADB，求出cos∠ADB，进一步进行求解即可.解：因为∠ACD=90∘，AC=1.2m，CD=0.9m，所以AD=√AC2+CD2=1.5m.因为tan∠ADB=−2√2，所以cos∠ADB=−13，所以AB=√1.52+12−2×1.5×1×(−13)=√172m.5.【答案】D;【解析】略6.【答案】null;【解析】此题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属基础题.通过排除法进行求解，由y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin(ωx+φ)中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．解：排除法：∵y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，∴由T=12可排除C、D，将(3,15)代入，排除B.故选A.7.【答案】B;此题主要考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合思想和运算求解能力，属于基础题．根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC 的值．解：如图所示，在Rt △ACD 中，∠CAD =45°，CD =256， 所以AD =256，在Rt △ABD 中，∠BAD =60°， 所以BD =ADtan∠BAD =256√3， 所以BC =BD −CD =256√3−256， 即塔高BC 为256(√3−1)米． 故选：B.8.【答案】D;【解析】如图所示，连接OC ，设∠COA =θ，作DF ⊥OP ，CE ⊥OP ，垂足分别为F ，E ．根据平面几何知识可知，AB =CD =EF ，DF =OF =CE ，∴CE =20√2sinθ，EF =OE −OF =20√2cosθ−20√2sinθ．故四边形ABCD 的面积S 等于四边形DFEC 的面积，即有S =20√2sinθ×20√2(cosθ−sinθ)=400(sin2θ+cos2θ−1)=400√2sin(2θ+π4)−400，其中θ∈(0,π4)．所以当sin(2θ+π4)=1，即θ=π8时，S max =400(√2−1)，即观赛场地面积的最大值为400(√2−1)m 2．故选D ．9.【答案】D;10.【答案】C; 【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用. 由题设可得PA −1=PAsinα，即可得结果. 解：由题设，PC =PB′sinα=PAsinα，而PC =PA −1，所以PA −1=PAsinα，可得PA =11−sinα米.故选：C11.【答案】A; 【解析】此题主要考查解三角形的应用，根据题意作出示意图是解答该题的关键，考查空间立体感、学科素养和运算能力，属于中档题．作出示意图，过点B 作BC ⊥OA 于C ，结合三角函数和勾股定理，转化为平面几何中的简单计算，即可得解．解：根据题意作出如下示意图，其中tanα=32，β=θ=π3，AB =20m ，过点B 作BC ⊥OA 于C ， 设OH =3x ，则OA =OH tanα=2x ，OB =OH tanβ=√3x ，在Rt △ABC 中，因为AB =20，θ=π3，所以AC =AB ×cos π3=10，BC =AB ×sin π3=10√3，所以OC =OA −AC =2x −10，在Rt △OBC 中，由勾股定理知，(2x −10)2+(10√3)2=(√3x)2， 化简得x 2−40x +400=0，解得x =20， 所以瀑布的高度OH =3x =60m.故答案选：A.12.【答案】A;【解析】略13.【答案】23;3πx−π; 【解析】略14.【答案】f(t)={2sinπt2,0<t⩽2sin[π3(t−2)+π],2<t⩽5;【解析】此题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间的关系，属于综合题.解：由三角函数的定义可得：当动点P在半径为2的上半圆上运动时，t∈(0,2],终边OP对应的角度为π2t，所以P点坐标为(2cosπ2t,2sinπ2t)，当动点P在半径为1的下半圆上运动时，t∈(2,5],终边OP对应的角度为π3(t−2)+π，所以P点坐标为(cos[π3(t−2)+π],sin[π3(t−2)+π])，综上：动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为y={2sinπ2t,t∈(0,2]sin[π3(t−2)+π],t∈(2,5]15.【答案】π;π6+kπ,k∈Z;【解析】略16.【答案】y=12cosπ6t+1;【解析】此题主要考查了三角函数模型的应用的相关知识，试题难度一般. 解题时先计算出周期和振幅，然后求解解析式即可.解：由表中数据，知周期T=12，∴ω=2πT =2π12=π6，由t=0，y=1.5，得A+b=1.5；由t=3，y=1.0，得b=1.0，∴A=0.5，b=1，∴y=12cosπ6t+1.17.【答案】14;【解析】解：设P 与地面高度与时间t 的关系，f （t ）=Asin （ωt+φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω=，又因为f （0）=2，故ϕ=-πt所以f （16）=8sin(π- ． 故答案为：14．18.【答案】解：根据图象可知，当t =1时，y 有最小值15;当t =8时，y 有最大值27. ∴{−A +b =15ω+φ=−π28ω+φ=π2A +b =27解得{A =6b =21ω=π7φ=−9π14， ∴y =6sin(π7t −9π14)+21，周期T =2πω=2ππ7=14，振幅A =6.气温在1月份时达到最低， 在8月份时达到最高.;【解析】此题主要考查由y =Asin(ωt +φ)的部分图象确定其解析式，属于中档题． 当t =8月份时平均气温达到最大值25℃，当t =1月份时，平均气温达到最小值15℃，列出方程组，结合周期与振幅，从而可得函数解析式．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(t)=12−3sin(π12t +π3)，t ∈[0,24), 根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t +π3)⩽1，所以f(t)max=15,f(t)min=9，可得f(t)max−f(t)min=6，则实验室这一天的最大温差为6℃.(2)由题意，令f(t)>10.5，即12−3sin(π12t+π3)>10.5，即sin(π12t+π3)<12，因为t∈[0,24),可得π12t+π3∈[π3,7π3),所以5π6<π12t+π3<13π6，解得6<t<22，即在6时至22时这段时间内大棚需要降温.;【解析】此题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，三角函数模型的应用，属于中档题.(1)根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t+π3)⩽1，求得f(t)max=15,f(t)min=9，进而求得这一天的最大温差；(2)根据题意，令f(t)>10.5，得到sin(π12t+π3)<12，利用正弦型函数的性质，求得t的范围即可求解.20.【答案】解(1)连接OB，如图所示，设∠AOB=θ，则AB=OBsinθ=20sinθ，OA=OBcosθ=20cosθ，且θ∈(0,π2).因为A，D关于点O对称，所以AD=2OA=40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S=AD·AB=40cosθ·20sinθ=400sin2θ.因为θ∈(0,π2)，所以2θ∈(0,π)，所以当sin2θ=1，即θ=π4时，S max=400(m2).此时AO=DO=10√2(m).故当A，D距离圆心O为10√2m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.(2)由(1)知AB=20sinθ，AD=40cosθ，所以AB+BC+CD=40sinθ+40cosθ=40√2sin(θ+π4)，又θ∈(0,π2)，所以θ+π4∈(π4,3π4)，当θ+π4=π2，即θ=π4时，(AB+BC+CD)max=40√2(m)，此时AO=DO=10√2(m)，即当A，D距离圆心O为10√2m时，步行小路的距离最远.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的最值，是中档题21.【答案】解(1)T =2π|ω|=2π160π =180(min).(2)f =1T=80. 即此人每分钟心跳的次数为80.(3)p(t)max =115+25=140(mmHg)，p(t)min =115−25=90(mmHg)， 即收缩压为140mmHg ，舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg ，在正常值范围内.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的周期与频率之间的关系以及求正弦函数的的值域相关问题，属于一般题.22.【答案】解：由题意，有7α=k·360°＋α(k ∈Z)，即α=k·60°． 又由于0°＜α＜360°，即0°＜k·60°＜360°(k ∈Z)，则k 取1，2，3，4，5，所以α的值可取60°，120°，180°240°，300°．; 【解析】略.23.【答案】【解析】（1）由题表中数据可得：水深的最大值为13，最小值为7，所以{A +B =13,−A +B =7B =13+72=10,A =13−72=3,且相隔12小时达到一次最大值，说明周期为12，因此T=2πω=12,ω=π6,故f(t)=3sin π6t +10(0≤t ≤24)（2）要想船舶安全，必须f （t ）≥11.5，即3sin π6t +10≥11.5， 所以sin π6t ≥12，所以2kπ+π6≤π6t ≤5π6+2kπ,k ∈Z ，解得12k+1≤t≤5+12k ，k ∈Z ，当k=0时，1≤t≤5；当k=1时，13≤t≤17.故船舶能安全进出该港的时间段为1：00至5：00，13：00至17：00，共8个小时.; 【解析】略。
2024全国高考真题数学汇编：三角函数章节综合
2024全国高考真题数学汇编三角函数章节综合一、单选题1．（2024天津高考真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=2．（2024全国高考真题）函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．（2024北京高考真题）设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π2，则ω=（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2024全国高考真题）当[0,2]x Î时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．85．（2024全国高考真题）设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A ．1-B ．12C ．1D ．26．（2024天津高考真题）已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A ．B ．32-C ．0D ．32二、多选题7．（2024全国高考真题）对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法中正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴三、填空题8．（2024北京高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cosβ的最大值为．参考答案1．B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x xx ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.2．B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.3．B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12minπ22T x x -==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==.故选：B.4．C【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C 5．D【分析】解法一：令()()21,cos F x ax a G x x =+-=，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos F x ax a G x x =+-=，原题意等价于当(1,1)x ∈-()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.6．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min π3sin 32f x =-=-故选：A 7．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC 8．12-/0.5-【分析】首先得出π2π,Z k k βα=++∈，结合三角函数单调性即可求解最值.【详解】由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=-，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos α的取值范围是1,22⎡⎢⎣⎦，cos β的取值范围是122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当且仅当π3α=，即4π2π,Z 3k k β=+∈时，cos β取得最大值，且最大值为12-.故答案为：12-.。
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三角函数大题综合训练
1．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
2．（2016•广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
3．（2016•成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．
4．（2016•台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．
（1）求角C的值；
（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．
5．（2016•惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．
6．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin
（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．
7．（2015•新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
8．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．
10．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
11．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小
（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．
12．（2015•河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
13．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
15．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
19．（2015•衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．
22．（2015•和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．
（1）求cosB的值；
（2）求sin2A+sinC的值．
23．（2015•洛阳三模）在锐角△ABC中，=
（1）求角A；
（2）若a=，求bc的取值范围．
24．（2015•河北区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．
27．）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，
（1）求A的大小；
（2）若a=6，求b+c的取值范围．
28．（2015•威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．
（Ⅰ）求A，B，C；
（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．
30．（2015•和平区二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 为三个内角，已知cosA=，cosB=，BC=5． （Ⅰ）求AC 的长；
（Ⅱ）设D 为AB 的中点，求CD 的长．
1已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π
2上的最大值和最小值． 2．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x
sin x .
(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间． 3设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；
(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－1
4，且C 为锐角，求sin A .
4已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12
x π
=时取得最大值4．
(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (
23α +12π)=12
5
,求sin α． 5(2013·北京高考)已知函数f (x )＝(2cos 2
x －1)sin 2x ＋12cos 4x .
(1)求f (x )的最小正周期及最大值；
(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值． 6（2010重庆理数）设函数R x x
x x f ∈++=,2
cos 2)32cos()(2π. （Ⅰ）求)(x f 的值域；
（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值. 8（2009山东）（17）（本小题满分12分）设函数()2cos(2)sin 3
f x x x π
=++。
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期； （Ⅱ）设A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，若11
cos ,()324
c B f =
=-，且C 为锐角，求sin A 。
.
9已知函数()2cos (sin cos )1,f x x x x x =-+∈R . (I)求函数()f x 的最小正周期； (II)求函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的最小值和最大值. 10 (本小题满分12分) 设函数22()cos(2)sin 24
f x x x π
=++ （I ）求函数()f x 的最小正周期；
（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π
+=，且当[0,]2x π∈时， 1
()()2
g x f x =-；求函数()g x 在[,0]π-上的解析式。
11已知函数.,1cos 2)3
2sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++
=π
π
（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4
,4[π
π-上的最大值和最小值.
12(2013·陕西理，16)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－1
2，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在⎣⎡⎦
⎤0，π
2上的最大值和最小值． 13(2012·泰州模拟)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin (x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若将f (x )的图象向右平移π
6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．
14(2012·湖北文)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈(1
2
，1)．
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π
4
，0)，求函数f (x )的值域．。