三角函数大题综合训练
三角函数大题专项(含问题详解)
三角函数专项训练1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a ﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．9．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．10．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．22．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a ﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sin C＝2•＝．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B﹣）．∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝cos B+，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）＝sinωx cos﹣cosωx sin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y ＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B＝，可得cos B＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sin A＝．∴b＝，sin A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．9．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．10．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sin B＝4（1﹣cos B），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cos B﹣1）2+（cos B﹣1）（cos B+1）＝0，∴（17cos B﹣15）（cos B﹣1）＝0，∴cos B＝；（2）由（1）可知sin B＝，∵S△ABC＝ac•sin B＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），∥，∴﹣cos x＝3sin x，当cos x＝0时，sin x＝1，不合题意，当cos x≠0时，tan x＝﹣，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cos x﹣sin x＝2（cos x﹣sin x）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sin C＝sin A＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×7×3×＝6．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．【解答】（1）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．∴A＝2B．（II）解：cos B＝，∴sin B＝＝．cos A＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sin A＝＝．∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x＝2•﹣1+sin2x＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y ＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin x+﹣1的图象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．【解答】解：（1）∵a sin2B＝b sin A，∴2sin A sin B cos B＝sin B sin A，∴cos B＝，∴B＝．（2）∵cos A＝，∴sin A＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bc sin A＝，∴2bc sin A＝a2，∴2sin B sin C＝sin A＝sin2B，∴sin C＝cos B，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sin C．∴整理可得：sin A sin B＝sin C，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝．sin A＝，＝+＝＝1，＝，tan B＝4．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）＝4tan x cos x•（cos x+sin x）﹣＝4sin x（cos x+sin x）﹣＝2sin x cos x+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则函数的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．22．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．。
三角函数综合测试题(含答案)
三角函数综合测试题(含答案)三角函数综合测试题一、选择题（共18小题，每小题3分，共54分）1.（08全国一6）函数y=(sinx-cosx)-1的最小正周期为π的奇函数。
2.（08全国一9）为得到函数y=cos(x+π/3)的图象，只需将函数y=sinx的图像向左平移π/3个长度单位。
3.（08全国二1）若sinα0，则α是第二象限角。
4.（08全国二10）函数f(x)=sinx-cosx的最大值为2.5.（08安徽卷8）函数y=sin(2x+π/3)图像的对称轴方程可能是x=-π/6.6.（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移π/2个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为-sinx。
7.（08广东卷5）已知函数f(x)=(1+cos2x)sinx，则f(x)是以π为最小正周期的奇函数。
8.（08海南卷11）函数f(x)=cos2x+2sinx的最小值为-2，最大值为3/3π。
9.（08湖北卷7）将函数y=sin(x-θ)的图象F向右平移π/3个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x=5π/12，则θ=π/4.10.（08江西卷6）函数f(x)=(sinx+2sin2x)/x的最小正周期为2π的偶函数。
11.若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的斜率为tan(a-π/4)。
19.若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(1,-2)$，则$\tan2\alpha$ 的值为 ________。
20.函数 $f(x)=\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{5}$，其中 $\omega>0$，则 $\omega=$ ________。
21.设 $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，则函数$y=\frac{2\sin2x+1}{\cos x}$ 的最小值为 ________。
三角函数综合检测试题(含解析)
三角函数综合检测第Ⅰ部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数2sin6x y π=，x ∈R 的最小正周期是（ ） A ．12 B ．6 C ．12πD ．6π 3．下列函数中，既是奇函数又在区间()1,1-上是增函数的是（ ）A ．1y x =B ．tan y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =4．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( )A ．135平方米B ．270平方米C ．540平方米D ．1080平方米5．已知cos α=，()sin αβ-=，α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A BC D ．12 6．已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数7．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ＞＞＜)的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则12()f x x +=（ ）A ．1B ．12C ．22D ．32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2 D ．其图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 10．定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin()4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．15sin β=B ．1cos()4πβ+=C ．tan 15β=D ．15tan β= 11．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的叙述正确的是（ ）A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 C ．f (x )在[－π，π]有4个零点D ．f (x )的最大值为212．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +） B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x - 第Ⅱ部分（选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 14．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________ 15．函数cos y x π=的单调减区间为__________．16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1sin 3α=，则sin β=__________，cos 2β=__________． 四、解答题：本小题共6小题，共70分。
(完整版)三角函数综合练习题
1、若点P在的终边上，且OP=2，则点P的坐标（）
A．B．C．D．
2、已知（）
A．B．C．D．
3、下列函数中，最小正周期为的是（）
A．B．C．D．
4、（）
A．B．C．D．
5、若是三角形的内角，且，则等于（）
A．B．或C．D．或
6、下列函数中，最小值为－1的是（）
A．B．C．D．
7、设的值是（）
A．B．C．D．
8、的值是()
A．B．C．D．
9、将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则等于()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA．B．C．D．
10、的值等于()
A．B．C．D．
11、化简等于()
A．B．C．D．
12、若在()
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限
13、函数()
A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D周期为的偶函数
A．B．
C．D．
8.（2009全国I文，1）°的值为
A. B. C. D.
9.(2007江西)若，，则等于（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
11.（2009辽宁文，8）已知，则（）
A.B.C.D.
12.（2009全国II文，9）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（）
A. B. C. D.
3.(2007全国I)是第四象限角，，则（）
A．B．C．D．
4.（2009临沂一模）使奇函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)在[,0]上为减函数的θ值为
A、B、C、D、
5.（2009枣庄一模）已知的值是A．B．C．D．
三角函数大题专项(含答案)
三角函数专项训练1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sin C＝2•＝．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B﹣）．∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝cos B+，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）＝sinωx cos﹣cosωx sin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B＝，可得cos B＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sin A＝．∴b＝，sin A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sin B＝4（1﹣cos B），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cos B﹣1）2+（cos B﹣1）（cos B+1）＝0，∴（17cos B﹣15）（cos B﹣1）＝0，∴cos B＝；（2）由（1）可知sin B＝，∵S△ABC＝ac•sin B＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），∥，∴﹣cos x＝3sin x，当cos x＝0时，sin x＝1，不合题意，当cos x≠0时，tan x＝﹣，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cos x﹣sin x＝2（cos x﹣sin x）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sin C＝sin A＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×7×3×＝6．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．【解答】（1）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．∴A＝2B．（II）解：cos B＝，∴sin B＝＝．cos A＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sin A＝＝．∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x ＝2•﹣1+sin2x＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin x+﹣1的图象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．【解答】解：（1）∵a sin2B＝b sin A，∴2sin A sin B cos B＝sin B sin A，∴cos B＝，∴B＝．（2）∵cos A＝，∴sin A＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bc sin A＝，∴2bc sin A＝a2，∴2sin B sin C＝sin A＝sin2B，∴sin C＝cos B，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sin C．∴整理可得：sin A sin B＝sin C，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝．sin A＝，＝+＝＝1，＝，tan B＝4．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）＝4tan x cos x•（cos x+sin x）﹣＝4sin x（cos x+sin x）﹣＝2sin x cos x+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则函数的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．。
高考数学三角函数大题综合训练
三角函数大题综合训练一．解答题共30小题2．2016 广州模拟在△ABC中;角A、B、C对应的边分别是a、b、c;已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．I求角A的大小；Ⅱ若△ABC的面积S=5;b=5;求sinBsinC的值．解：I由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A;得2cos2A+3cosA﹣2=0;﹣﹣﹣﹣﹣2分即2cosA﹣1cosA+2=0．解得cosA=或cosA=﹣2舍去．﹣﹣﹣﹣﹣4分因为0＜A＜π;所以A=．﹣﹣﹣﹣6分II由S=bcsinA=bc =bc=5;得bc=20．又b=5;所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣8分由余弦定理;得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21;故a=．﹣﹣﹣10分又由正弦定理;得sinBsinC=sinA sinA= sin2A=×=．﹣﹣﹣﹣12分3．2016 成都模拟已知函数fx=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．Ⅰ求函数fx取得最大值时x的集合；Ⅱ设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角;若cosB=;fC=﹣;求sinA的值．解：Ⅰ函数fx=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+cos2x﹣sin2x=﹣sin2x+cos2x=+cos2x+;故函数取得最大值为;此时;2x+=2kπ时;即x的集合为{x|x=kπ﹣;k∈Z}．Ⅱ设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角;若cosB=;fC=+cos2C+=﹣;∴cos2C+=﹣;又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角;∴2C+=;∴C=．∵cosB=;∴sinB=;∴sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC=+=．4．2016 台州模拟已知a;b;c分别是△ABC的三个内角A;B;C所对的边;且c2=a2+b2﹣ab．1求角C的值；2若b=2;△ABC的面积;求a的值．解：1∵c2=a2+b2﹣ab;∴cosC==;∵0°＜C＜180°;∴C=60°；2∵b=2;△ABC的面积;∴=;解得a=3．5．2016 惠州模拟如图所示;在四边形ABCD中;∠D=2∠B;且AD=1;CD=3;cosB=．Ⅰ求△ACD的面积；Ⅱ若BC=2;求AB的长．解：Ⅰ因为∠D=2∠B;;所以．…3分因为∠D∈0;π;所以．…5分因为AD=1;CD=3;所以△ACD的面积．…7分Ⅱ在△ACD中;AC2=AD2+DC2﹣2AD DC cosD=12．所以．…9分因为;;…11分所以．所以AB=4．…13分6．2015 山东△ABC中;角A;B;C所对的边分别为a;b;c;已知cosB=;sinA+B=;ac=2;求sinA和c的值．解：①因为△ABC中;角A;B;C所对的边分别为a;b;c已知cosB=;sinA+B=;ac=2;所以sinB=;sinAcosB+cosAsinB=;所以sinA+cosA=;结合平方关系sin2A+cos2A=1;得27sin2A﹣6sinA﹣16=0;解得sinA=或者sinA=﹣舍去；②由正弦定理;由①可知sinA+B=sinC=;sinA=;所以a=2c;又ac=2;所以c=1．8．2015 湖南设△ABC的内角A;B;C的对边分别为a;b;c;a=btanA．Ⅰ证明：sinB=cosA；Ⅱ若sinC﹣sinAcosB=;且B为钝角;求A;B;C．解：Ⅰ证明：∵a=btanA．∴=tanA;∵由正弦定理：;又tanA=;∴=;∵sinA≠0;∴sinB=cosA．得证．Ⅱ∵sinC=sinπ﹣A+B=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB;∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=;由1sinB=cosA;∴sin2B=;∵0＜B＜π;∴sinB=;∵B为钝角;∴B=;又∵cosA=sinB=;∴A=;∴C=π﹣A﹣B=;综上;A=C=;B=．10．2015 湖南设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c;a=btanA;且B为钝角．Ⅰ证明：B﹣A=；Ⅱ求sinA+sinC的取值范围．解：Ⅰ由a=btanA和正弦定理可得==;∴sinB=cosA;即sinB=sin+A又B为钝角;∴+A∈;π;∴B=+A;∴B﹣A=；Ⅱ由Ⅰ知C=π﹣A+B=π﹣A++A=﹣2A＞0;∴A∈0;;∴sinA+sinC=sinA+sin﹣2A=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2sinA﹣2+;∵A∈0;;∴0＜sinA＜;∴由二次函数可知＜﹣2sinA﹣2+≤∴sinA+sinC的取值范围为;11．2015 四川已知A、B、C为△ABC的内角;tanA;tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0p∈R 两个实根．Ⅰ求C的大小Ⅱ若AB=3;AC=;求p的值．解：Ⅰ由已知;方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=p2﹣4﹣p+1=3p2+4p﹣4≥0;所以p≤﹣2;或p≥．由韦达定理;有tanA+tanB=﹣p;tanAtanB=1﹣p．所以;1﹣tanAtanB=1﹣1﹣p=p≠0;从而tanA+B==﹣=﹣．所以tanC=﹣tanA+B=;所以C=60°．Ⅱ由正弦定理;可得sinB===;解得B=45°;或B=135°舍去．于是;A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan45°+30°===2+．所以p=﹣tanA+tanB=﹣2+=﹣1﹣．12．2015 河西区二模设△ABC的内角A;B;C的内角对边分别为a;b;c;满足a+b+ca ﹣b+c=ac．Ⅰ求B．Ⅱ若sinAsinC=;求C．解：I∵a+b+ca﹣b+c=a+c2﹣b2=ac;∴a2+c2﹣b2=﹣ac;∴cosB==﹣;又B为三角形的内角;则B=120°；II由I得：A+C=60°;∵sinAsinC=;cosA+C=;∴cosA﹣C=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cosA+C+2sinAsinC=+2×=;∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°;则C=15°或C=45°．13．2015 浙江在△ABC中;内角A;B;C所对的边分别为a;b;c;已知A=;b2﹣a2=c2．1求tanC的值；2若△ABC的面积为3;求b的值．解：1∵A=;∴由余弦定理可得：;∴b2﹣a2=bc﹣c2;又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得;∴a2=b2﹣=;即a=．∴cosC===．∵C∈0;π;∴sinC==．∴tanC==2．2∵=×=3;解得c=2．∴=3．15．2015 江苏在△ABC中;已知AB=2;AC=3;A=60°．1求BC的长；2求sin2C的值．解：1由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7;所以BC=．2由正弦定理可得：;则sinC===;∵AB＜BC;∴C为锐角;则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．16．2015 天津在△ABC中;内角A;B;C所对的边分别为a;b;c;已知△ABC的面积为3;b﹣c=2;cosA=﹣．Ⅰ求a和sinC的值；Ⅱ求cos2A+的值．解：Ⅰ在三角形ABC中;由cosA=﹣;可得sinA=;△ABC的面积为3;可得：;可得bc=24;又b﹣c=2;解得b=6;c=4;由a2=b2+c2﹣2bccosA;可得a=8;;解得sinC=；Ⅱcos2A+=cos2Acos﹣sin2Asin==．17．2015 怀化一模已知a;b;c分别为△ABC三个内角A;B;C的对边;c=asinC﹣ccosA．1求角A；2若a=2;△ABC的面积为;求b;c．解：1由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA; ∵C为三角形的内角;∴sinC≠0;∴sinA﹣cosA=1;整理得：2sinA﹣=1;即sinA﹣=;∴A﹣=或A﹣=;解得：A=或A=π舍去;则A=；2∵a=2;sinA=;cosA=;△ABC的面积为;∴bcsinA=bc=;即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=b+c2﹣3bc=b+c2﹣12;整理得：b+c=4②;联立①②解得：b=c=2．19．2015 衡水四模在△ABC中;角A;B;C所对的边分别为a;b;c;函数fx=2cosxsinx ﹣A+sinAx∈R在x=处取得最大值．1当时;求函数fx的值域；2若a=7且sinB+sinC=;求△ABC的面积．解：∵函数fx=2cosxsinx﹣A+sinA=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin2x﹣A又∵函数fx=2cosxsinx﹣A+sinAx∈R在处取得最大值．∴;其中k∈z;即;其中k∈z;1∵A∈0;π;∴A=∵;∴2x﹣A∴;即函数fx的值域为：2由正弦定理得到;则sinB+sinC=sinA;即;∴b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=b+c2﹣2bc﹣2bccosA即49=169﹣3bc;∴bc=40故△ABC的面积为：S=．20．2015 潍坊模拟已知函数fx=2cos2x+2sinxcosxx∈R．Ⅰ当x∈0;时;求函数fx的单调递增区间；Ⅱ设△ABC的内角A;B;C的对应边分别为a;b;c;且c=3;fC=2;若向量=1;sinA与向量=2;sinB共线;求a;b的值．解：I∵==．令;解得;即;∵;∴fx的递增区间为．Ⅱ由;得．而C∈0;π;∴;∴;可得．∵向量向量=1;sinA与向量=2;sinB共线;∴;由正弦定理得：=①．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab cosC;即9=a2+b2﹣ab②;由①、②解得．21．2015 济南二模已知向量=cos2x﹣;cosx+sinx;=1;cosx﹣sinx;函数fx=．Ⅰ求函数fx的单调递增区间；Ⅱ在△ABC中;内角A;B;C的对边分别为a;b;c;已知fA=;a=2;B=;求△ABC的面积S．解：Ⅰ∵向量=cos2x﹣;cosx+sinx;=1;cosx﹣sinx;∴函数fx==cos2x﹣+cos2x﹣sin2x=cos2x﹣+cos2x=cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin2x+;令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπk∈Z;得﹣+kπ≤x≤+kπk∈Z;则函数fx的单调递增区间为﹣+kπ;+kπk∈Z；Ⅱ由fA=sin2A+=;得sin2A+=;∵A为△ABC的内角;由题意知0＜A＜;∴＜2A+＜;∴2A+=;解得：A=;又a=2;B=;∴由正弦定理=;得b==;∵A=;B=;∴sinC=sinπ﹣A+B=sinA+B=snAcosB+cosAsinB=×+×=;则△ABC的面积S=absinC=×2××=．22．2015 和平区校级三模在△ABC中;角A、B、C的对边分别为a;b;c;且a=3;b=4;B=+A．1求cosB的值；2求sin2A+sinC的值．解1∵;∴cosB=cos+A=﹣sinA;又a=3;b=4;所以由正弦定理得;所以=;所以﹣3sinB=4cosB;两边平方得9sin2B=16cos2B;又sin2B+cos2B=1;所以;而;所以．2∵;∴;∵;∴2A=2B﹣π;∴sin2A=sin2B﹣π=﹣sin2B =又A+B+C=π;∴;∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．∴．23．2015 洛阳三模在锐角△ABC中;=1求角A；2若a=;求bc的取值范围．解：1由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB;;∴sin2A=1且;2;又;∴b=2sinB;c=2sinC;bc=2sin135°﹣C 2sinC=;;∴．24．2015 河北区一模在△ABC中;a;b;c分别是角A;B;C的对边;且2cosAcosC+1=2sinAsinC．Ⅰ求B的大小；Ⅱ若;;求△ABC的面积．解：Ⅰ由2cosAcosC+1=2sinAsinC得：∴2cosAcosC﹣sinAsinC=﹣1; ∴;∴;又0＜B＜π;∴．Ⅱ由余弦定理得：;∴;又;;∴;故;∴．25．2015 云南一模在△ABC中;a;b;c分别是内角A;B;C的对边;且=sinA+sinB+sinC;sinC;=sinB;sinB+sinC﹣sinA;若1求A的大小；2设为△ABC的面积;求的最大值及此时B的值．解：1∵∥;∴sinA+sinB+sinCsinB+sinC﹣sinA=sinBsinC根据正弦定理得a+b+cc+b﹣a=bc;即a2=b2+c2+bc;由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA;得cosA=﹣;又A∈0;π;∴A=；2∵a=;A=;∴由正弦定理得====2;∴b=2sinB;c=2sinC;∴S=bcsinA=×2sinB×2sinC×=sinBsinC;∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cosB﹣C;∴当B=C时;即B=C=时;S+cosBcosC取最大值．27．2015 高安市校级模拟在△ABC中;角A、B、C所对的边分别为a、b、c;已知sinA++2cosB+C=0;1求A的大小；2若a=6;求b+c的取值范围．解：1由条件结合诱导公式得;sinAcos+cosAsin=2cosA;整理得sinA=cosA;∵cosA≠0;∴tanA=;∵0＜A＜π;∴A=；2由正弦定理得：;∴;;∴==;∵;∴;即6＜b+c≤12当且仅当B=时;等号成立28．2015 威海一模△ABC中;A;B;C所对的边分别为a;b;c;;sinB﹣A=cosC．Ⅰ求A;B;C；Ⅱ若S△ABC=3+;求a;c．解：Ⅰ∵;∴;∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB;即sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB;得sinC﹣A=sinB﹣C．∴C﹣A=B﹣C;或C﹣A=π﹣B﹣C不成立．即2C=A+B;得;∴;∵;则;或舍去∴．Ⅱ∵又∵;即;∴．29．2015 新津县校级模拟已知向量;函数fx=．Ⅰ求函数fx的单调递增区间；Ⅱ在△ABC中;角A;B;C的对边分别为a;b;c;若fB=1;b=;sinA=3sinC;求△ABC的面积．解：Ⅰ∵=2cosx;1;=cosx;2sinxcosx﹣1;∴fx==2cos2x+2sinxcosx﹣1=sin2x+cos2x=2sin2x+;∵2x+∈﹣+2kπ;+2kπk∈Z;∴x∈﹣+kπ;+kπk∈Z;∴函数fx的单调递增区间为﹣+kπ;+kπk∈Z；Ⅱ∵fB=2sin2B+=1;∴sin2B+=;即2B+=;即B=;∵sinA=3sinC;∴a=3c;∵b=;b2=a2+c2﹣2accosB;∴a=3;c=1;∵S=acsinB;∴△ABC的面积为．30．2015 和平区二模在△ABC中;角A;B;C为三个内角;已知cosA=;cosB=;BC=5．Ⅰ求AC的长；Ⅱ设D为AB的中点;求CD的长．解：Ⅰ∵在△ABC中;;;∴;．…2分由正弦定理得;…4分即．…6分Ⅱ在△ABC中;AC=7;BC=5;;由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB;…8分即;整理得AB2﹣2AB﹣24=0;解得AB=6．…10分∵在△BCD中;;BC=5;;∴由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BD BC cosB;…11分即．∴．…13分。
三角函数10道大题(带答案)
三角函数10道大题(带答案)三角函数1.已知函数$f(x)=4\cos x\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x-\frac{\pi}{4})+2\cos2x-1,x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的最小正周期；Ⅱ）求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上的最大值和最小值。
2.已知函数$f(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{4}),x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的定义域与最小正周期；II）设$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，若$f(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\cos2\alpha$，求$\alpha$的大小。
3.已知函数$f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}$。
1）求$f(x)$的定义域及最小正周期；2）求$f(x)$的单调递减区间。
4.设函数$f(x)=\frac{2\pi\cos(2x+\frac{\pi}{4})+\sin2x}{24}$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期；II）设函数$g(x)$对任意$x\in R$，有$g(x+\pi)=g(x)$，且当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2\pi g(x)=1-f(x)$，求函数$g(x)$在$[-\pi,0]$上的解析式。
5.函数$f(x)=A\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})+1(A>0,\omega>\frac{\pi}{6})$的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。
1）求函数$f(x)$的解析式；2）设$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f(\alpha)=2$，求$\alpha$的值。
6.设$f(x)=4\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})\sin\omegax+\cos2\omega x$，其中$\omega>0$。
三角函数经典题目(带答案)
三角函数经典题目练习1.已知α1231、已知角2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f3、已知 象限1. 已知π22.设0≤α是 .sin αtan x 若<0___.53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则=θ________.1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的个实根，且παπ273<<，则ααsin cos +的值 .0)13(22=++-m x x 的两根为()πθθθ2,0,cos ,sin ∈，求（1）m =_______（2）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________.α )415tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ⎪⎭⎫⎝⎛-θπ23= α终边上P （－4，3），)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+= .已知锐角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θθtan 1tan 1_________tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒⋅︒= α∈(0,2π)，若sin α=53，则2cos(α+4π)= . 336cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ65cos =______，)65απ--=_____．.【知二求多】1、已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα= -54,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2αβ=135,且0<β<2π<α<π,则cos 2βα+=____.2已知tan α=43,cos(α+β)=-1411, α、β为锐角，则cos β=______.【方法套路】1、设21sin sin =+βα，31cos cos =+βα，则)cos(βα-=___ .2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，则αβαtan )tan(+= .3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα【给值求角】1tan α=71,tan β=31,α,β均为锐角，则α+2β= .2、若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角, 则A+B= .【半角公式】1α是第三象限，2524sin -=α，则tan 2α= . 2、已知01342=+++a ax x （a >1）的两根为αtan ，βtan ，且α,∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π,则2tan βα+=______3若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= . 4、若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,25ππα，则ααsin 1sin 1-++=5x 是第三象限角xx xx x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++++-+=______ 【公式链】1=+++ 89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3（1+tan1o ）（1+tan2o ）…（1+tan45o ）=_______六、给值求角 已知31sin -=x ，写出满足下列关系x 取值集合 ]3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x七、函数性质 【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________2、1)32tan(--=πx y 定义域为_________【值域】1、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________2、若函数g (x )＝2a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为________3、函数x xy sin 2sin 1+-=的值域4、函数xxy cos 1sin 21+-=的值域5、函数x x y sin 2cos -=的值域【解析式】1、已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直线x ＝π3对称，其中ω∈⎝⎛⎭⎫－12，52.函数f (x )的解析式为________．2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0，2)，⎝⎛⎭⎫x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是___________4、()()sin f x A x h ωϕ=++(0,0,)2A πωϕ>>< 的图象如图所示，求函数)(x f 的解析式；【性质】1、已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.(0，2] 2、若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=3、sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是A ．6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．4、已知函数x a x x f 2cos 2sin )(+=关于x 称，则a =_______5.()2sin()f x x ωϕ=++m 对任意x 有()6f x f π+=若()6f π=3，则m=________【图象】1、为了得到函数sin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+的图像向____移动____2、为了得到函数sin(2)3y x π=-y=cos2x 图像向____移动____个长度单位 3.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ取值为 (A)34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-【综合练习】1、已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x f (x )＝cos x ，当sin x ＞cos x 时，f (x )＝sin x .下结论：①f (x )是周期函数；②f (x )③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z)时，f (x )当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f (⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是正确的结论序号是________．f(x)=sin(2x+x x 2cos 2)62sin()6+-+ππ）求f(x)的最小值及单调减区间； ）求使f(x)=3的x 的取值集合。
三角函数综合测试题(含答案)
三角函数综合测试题一、选择题（每小题 5 分，共70 分）1．sin2100 =A．32 B．-32C．12D．-122．是第四象限角，tan512，则sinA．15B．15C．513D．5133. (cos sin ) (cos sin ) ＝12 12 12 12A．－ 3 B．－2 12C． 12D． 324．已知sin θ＝35，sin2 θ＜0，则tan θ等于A．－34B．34C．－34或34D．455．将函数y sin( x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再3将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是3A．1y sin x B．21y sin( x )2 2C.1y sin( x ) D. y sin(2 x )2 6 66. 2tan x cot x cos xA．tan x B．sin x C. c o x s D.cot x7.函数y = sin x sin x 的值域是A. { 0 }B. [ -2 , 2 ]C. [ 0 , 2 ]D.[ -2 , 0 ]8.已知sin cos 18,且(0,) ，则sin +cos 的值为25 5 5 3A. B. - C. D.2 2 2 29. 2y (sin x cos x)1是A ．最小正周期为 2π的偶函数B ．最小正周期为 2π的奇函数C ．最小正周期为 π的偶函数D ．最小正周期为 π的奇函数10．在 ( 0,2 ) 内，使 sin xcos x 成立的 x 取值范围为55 53)( ,,(, ) (,A ． ( , )B ． (, ) C ． ( )D ．)4 24 44444211．已知，函数 y ＝2sin( ωx ＋θ为) 偶函数 (0＜θ＜π)其图象与直线y ＝2 的交点的横坐标为 x 1，x 2，若 | x 1－x 2|的最小值为 π，则A ．ω＝ 2，θ＝B ． ω＝21 2，θ＝2C ．ω＝1 2， θ＝4D ．ω＝2，θ＝45 4.设a sin ，72bcos，72 ctan，则 7A ． abcB ． a c bC ． b c aD ． bac13．已知函数 f ( x ) sin(2 x ) 的图象关于直线x对称，则可能是8A.B.C.D.2443 414． 函数 f(x)＝ 1cos 2 cos x xA ．在 0， 、 , 22上递增，在3 3 上递减,、, 222B ．在 0， 、23 ， 上递增，在, 2 23、 ，2 上递减 2C ．在 ， 23、 ，2 上递增，在 20， 、23 ， 上递减2D ．在3 3上递增，在,、, 2 220，、, 22上递减二.填空题（每小题5 分，共 20 分,）10. 已知, ，求使 sin= 222 3成立的 =16．sin15° cos75°+cos15°sin105°=_________17.函数y=Asin( x+ )( ＞0,| |＜,x∈R)的部分图象如图，则2函数表达式为18．已知, 为锐角，且cos = 19．给出下列命题：17cos ( ) =1114, 则cos =_________(1)存在实数,使sin cos 1 (2)存在实数，使sin cos 3 23(3) 函数y ) 是偶函数（4 ）若、是第一象限的角，且，则sin( x2sin .其中正确命题的序号是________________________________sin三.解答题(每小题12 分，共60 分,)15.已知函数y=3sin ( x )2 4（1）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.6.已知sin( k ) -2 cos( k ) k Z求:（1）45 sincos23cossin; （2）14sin22 cos522 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与 b 的值，22．设a 0 ，若y cos x a sin x b 并求y 的最大、最小值及相应的x 值．7.已知1tan( ) ，21tan ，且, ( 0, ) ，求2 的值.72 （其中>0，a R ），且f(x)的图象在8.设函数 f ( x) 3 cos x sin x cos x ay 轴右侧的第一个最高点的横坐标为． 6（1）求的值；5（2）如果 f ( x) 在区间][ , 的最小值为 3 ，求a 的值．3 6测试题答案.一.DDDA,CDDA,DCAD,CA二arcsin23 1 y= -4 sin( x )8 412(3)三、解答题：111.已知函数y=3sin )( x2 4（1）用五点法作出函数的图象；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解（1）列表：x32 25272921 2 x 043 22 213sin )( x 0 3 0 -3 02 4描点、连线,如图所示：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5（2）周期T= 2 = 2 =4 ，振幅A=3，初相是12- . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.84(3)令 12 x =4 2+k (k∈Z),得x=2k + 32(k ∈Z), 此为对称轴方程.令12 x- =k (k∈Z)得x= +2k (k ∈Z).4 2对称中心为,0)( 2 k2(k ∈Z)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..129.已知sin( +k )=-2cos( +k ) (k ∈Z).求:（1） 45 sincos23cossin;（2） 142 +sin252 .cos解：由已知得cos( +k ) ≠0,∴tan( +k )=-2(k ∈Z),即tan =-2 (2)（1）4 5 sincos23cossin45tan3 tan210 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯71（2）42 +sin252 =cos1 2 1 22 2 2sin cos tan4 5 4 5=2 2 2sin tan 1cos725⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12222．设a≥0，若y＝cos x－asinx＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a与b 的值，并求出使y 取得最大、最小值时的x 值．为解：原函数变形y＝－(sin2a 2 ax ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2) 1 b2 4∵－1≤sinx≤1，a≥0∴若0≤a≤2，当sinx＝－ a 时2y max＝1＋b＋ 2 a ＝0 ①4当sinx＝1 时，y min＝－(1 a2)2a21 b4＝－a＋b＝－4 ②联立①②式解得a＝2，b＝-2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7y 取得最大、小值时的x 值分别为：x＝2kπ－(k ∈Z)，x＝2kπ＋(k∈Z)2 2若a＞2 时， a2∈(1，＋∞)2a a∴y max＝－ 2 a b ＝0 ③(1 ) 1 b2 42a ay min＝－ 42 a b(1 ) 1 b2 4④由③④得a＝2 时，而a ＝1 (1，＋∞)舍去⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 2故只有一组解a＝2，b＝－2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..1210.已知tan( α－β＝)12，tan β＝- 17，且α、β∈（0，），求2α－β的值.解：由tan β＝－ 17 β∈(0，π) 得β∈( , π) ①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22由tan α＝tan[( α－β＋)β＝] 13α∈(0，π) ∴0＜α＜⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6 2∴0＜2α＜π由tan2 α＝ 34 ＞0 ∴知0＜2α＜2②∵tan(2 α－β＝)tan12tan 2tantan＝1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..10由①②知2α－β∈(－π，0)WORD文档专业资料3∴2α－β＝－⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12 42 （其中ω>0，a∈R），且f(x) 的图象在y 11.设函数f( x)3 cos x sin x cos x a轴右侧的第一个最高点的横坐标为．6（1）求ω的值；5 x（2）如果 f ( x ) 在区间][ ,3 6的最小值为3，求 a 的值．解：(1) f(x) ＝ 32 cos2 x＋12sin2 x＋ 32＋a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2＝sin(2 x＋3 )＋ 3 ＋a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..42依题意得 2 ·＋＝解得＝6 3 2 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6(2) 由(1)知f(x) ＝sin(2 x＋)＋33 ＋a 2又当x∈,3 56时，x＋∈370 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8,6故－ 12 ≤sin(x＋) ≤1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..103从而f(x) 在,3 56上取得最小值－ 12＋ 3 ＋a2因此，由题设知－ 1 ＋23 ＋a＝ 3 故a＝2321⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12。
三角函数大题专项(含答案解析)
三角函数专项训练1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B ＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sin C＝2•＝．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B﹣）．∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝cos B+，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x ＝sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）＝sinωx cos﹣cosωx sin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y ＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B ＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B＝，可得cos B＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sin A＝．∴b＝，sin A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sin B＝4（1﹣cos B），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cos B﹣1）2+（cos B﹣1）（cos B+1）＝0，∴（17cos B﹣15）（cos B﹣1）＝0，∴cos B＝；（2）由（1）可知sin B＝，∵S△ABC＝ac•sin B＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），∥，∴﹣cos x＝3sin x，当cos x＝0时，sin x＝1，不合题意，当cos x≠0时，tan x＝﹣，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cos x﹣sin x＝2（cos x﹣sin x）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sin C＝sin A＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×7×3×＝6．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．【解答】（1）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．∴A＝2B．（II）解：cos B＝，∴sin B＝＝．cos A＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sin A＝＝．∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x＝2•﹣1+sin2x＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin x+﹣1的图象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．【解答】解：（1）∵a sin2B＝b sin A，∴2sin A sin B cos B＝sin B sin A，∴cos B＝，∴B＝．（2）∵cos A＝，∴sin A＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bc sin A＝，∴2bc sin A＝a2，∴2sin B sin C＝sin A＝sin2B，∴sin C＝cos B，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sin C．∴整理可得：sin A sin B＝sin C，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝．sin A＝，＝+＝＝1，＝，tan B＝4．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）＝4tan x cos x•（cos x+sin x）﹣＝4sin x（cos x+sin x）﹣＝2sin x cos x+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则函数的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．。
三角函数综合测试题(附答案)
三角函数综合测试题学生： 用时： 分数一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〔本大题共18小题，每题3分，共54分〕1.〔08全国一6〕2(sin cos )1y x x =--是 〔 〕 A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.〔08全国一9〕为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像〔 〕A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)假设sin 0α<且tan 0α>是，那么α是〔 〕A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.〔08全国二10〕．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 〔 〕 A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.〔08安徽卷8〕函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 〔 〕A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.〔08福建卷7〕函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，那么g(x )的解析式为( )xxxx7.〔08广东卷5〕函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，那么()f x 是 〔 〕 A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数C 、最小正周期为π的偶函数D 、最小正周期为2π的偶函数 8.〔08海南卷11〕函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 〔 〕A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，329.〔08湖北卷7〕将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，假设F ′的一条对称轴是直线,1x π=那么θ的一个可能取值是 〔 〕A.512π B.512π- C.1112π D.1112π- 10.〔08江西卷6〕函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是 〔 〕A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，那么MN 的最大值为 〔 〕 A ．1BCD ．212.〔08山东卷10〕πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是〔 〕A． BC ．45-D ．4513.〔08陕西卷1〕sin 330︒等于 〔 〕 A．2-B ．12-C ．12D．214.〔08四川卷4〕()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.〔08天津卷6〕把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数是 〔 〕 A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.〔08天津卷9〕设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，那么 〔 〕 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.〔08浙江卷2〕函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 〔 〕A.2π B .π C.32πD.2π 18.〔08浙江卷7〕在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 〔 〕1-18题答案：二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题3分，共 15分〕.19.〔08北京卷9〕假设角α的终边经过点(12)P -，，那么tan 2α的值为 ． 20.〔08江苏卷1〕()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，那么ω= ．21.〔08辽宁卷16〕设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，那么函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．22.〔08浙江卷12〕假设3sin()25πθ+=，那么cos 2θ=_________。
三角函数大题专项(含答案)
三角函数博项锻炼之阳早格格创做1．正在△ABC中，角A、B、C对于应边a、b、c，中交圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB．（1）说明a2+b2﹣c2＝ab；（2）供角C战边c．2．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣）．（Ⅰ）供角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，供b战sin（2A﹣B）的值．3．已知α，β为钝角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）供cos2α的值；（2）供tan（α﹣β）的值．4．正在仄里四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）供cos∠ADB；（2）若DC＝2，供BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）供f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）正在区间[﹣，m]上的最大值为，供m 的最小值．6．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）供cosA的值；（Ⅱ）供sin（2B﹣A）的值7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）供ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各面的横坐标伸少为本去的2倍（纵坐标没有变），再将得到的图象背左仄移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，供g（x）正在[﹣，]上的最小值．8．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝．（Ⅰ）供b战sinA的值；（Ⅱ）供sin（2A+）的值．9．△ABC的内角A，B，C的对于边分别为a，b，c，已知△ABC的里积为．（1）供sinBsinC；（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，供△ABC的周少．10．△ABC的内角A，B，C的对于边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）供cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的里积为2，供b．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）供f（x）的最小正周期；（II）供证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．12．已知背量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，供x的值；（2）记f（x）＝，供f（x）的最大值战最小值以及对于应的x的值．13．正在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）供sinC的值；（2）若a＝7，供△ABC的里积．14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）供ω的值；（2）供f（x）的单调递加区间．15．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．（1）说明：A＝2B；（2）若cosB＝，供cosC的值．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）供f（x）的单调递加区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有面的横坐标伸少到本去的2倍（纵坐标没有变），再把得到的图象背左仄移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，供g（）的值．17．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．（1）供B；（2）已知cosA＝，供sinC的值．18．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．（Ⅰ）说明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的里积S＝，供角A的大小．19．正在△ABC中，角A，B，C所对于的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）说明：sinAsinB＝sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，供tanB．20．正在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝．（1）供AB的少；（2）供cos（A﹣）的值．21．已知函数f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）供f（x）的定义域与最小正周期；（2）计划f（x）正在区间[﹣，]上的单调性．22．△ABC的内角A，B，C的对于边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）供C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的里积为，供△ABC的周少．参照问案1．正在△ABC中，角A、B、C对于应边a、b、c，中交圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB．（1）说明a2+b2﹣c2＝ab；（2）供角C战边c．【解问】说明：（1）∵正在△ABC中，角A、B、C对于应边a、b、c，中交圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sinA＝，sinB＝，sinC＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cosC＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sinC＝2•＝．2．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣）．（Ⅰ）供角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，供b战sin（2A﹣B）的值．【解问】解：（Ⅰ）正在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，又bsinA＝acos（B﹣）．∴asinB＝acos（B﹣），即sinB＝cos（B﹣）＝cosBcos+sinBsin＝cosB+，∴tanB＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）正在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由bsinA＝acos（B ﹣），得sinA＝，∵a＜c，∴cosA＝，∴sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB＝＝．3．已知α，β为钝角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）供cos2α的值；（2）供tan（α﹣β）的值．【解问】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．4．正在仄里四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）供cos∠ADB；（2）若DC＝2，供BC．【解问】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．5．已知函数f（x）＝sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）供f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）正在区间[﹣，m]上的最大值为，供m 的最小值．【解问】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sinxcosx＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）若f（x）正在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．6．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）供cosA的值；（Ⅱ）供sin（2B﹣A）的值【解问】（Ⅰ）解：由，得asinB＝bsinA，又asinA＝4bsinB，得4bsinB＝asinA，二式做比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代进asinA＝4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为钝角，∴．于是，，故．7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）供ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各面的横坐标伸少为本去的2倍（纵坐标没有变），再将得到的图象背左仄移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，供g（x）正在[﹣，]上的最小值．【解问】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx ﹣）＝sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各面的横坐标伸少为本去的2倍（纵坐标没有变），得到函数y＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象背左仄移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）博得最小值是﹣×＝﹣．8．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝．（Ⅰ）供b战sinA的值；（Ⅱ）供sin（2A+）的值．【解问】解：（Ⅰ）正在△ABC中，∵a＞b，故由sinB＝，可得cosB＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sinA＝．∴b＝，sinA＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA＝，∴sin2A＝2sinAcosA ＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．9．△ABC的内角A，B，C的对于边分别为a，b，c，已知△ABC的里积为．（1）供sinBsinC；（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，供△ABC的周少．【解问】解：（1）由三角形的里积公式可得S△ABC＝acsinB＝，∴3csinBsinA＝2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC＝；（2）∵6cosBcosC＝1，∴cosBcosC＝，∴cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sinBsinC＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周少a+b+c＝3+．10．△ABC的内角A，B，C的对于边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）供cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的里积为2，供b．【解问】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sinB＝4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，∴cosB＝；（2）由（1）可知sinB＝，∵S△ABC＝ac•sinB＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）供f（x）的最小正周期；（II）供证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解问】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣12．已知背量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，供x的值；（2）记f（x）＝，供f（x）的最大值战最小值以及对于应的x的值．【解问】解：（1）∵＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），∥，∴﹣cosx＝3sinx，当cosx＝0时，sinx＝1，分歧题意，当cosx≠0时，tanx＝﹣，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cosx﹣sinx＝2（cosx﹣sinx）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．正在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）供sinC的值；（2）若a＝7，供△ABC的里积．【解问】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sinC＝sinA＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cosC＝，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×+×＝，∴S△ABC＝acsinB＝×7×3×＝6．14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）供ω的值；（2）供f（x）的单调递加区间．【解问】解：f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递加区间为：[]（k∈Z）．15．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．（1）说明：A＝2B；（2）若cosB＝，供cosC的值．【解问】（1）说明：∵b+c＝2acosB，∴sinB+sinC＝2sinAcosB，∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或者B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或者A＝π（舍去）．∴A＝2B．（II）解：cosB＝，∴sinB＝＝．cosA＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sinA＝＝．∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）供f（x）的单调递加区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有面的横坐标伸少到本去的2倍（纵坐标没有变），再把得到的图象背左仄移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，供g（）的值．【解问】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx ﹣cosx）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x＝2•﹣1+sin2x＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，供得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的删区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有面的横坐标伸少到本去的2倍（纵坐标没有变），可得y＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象背左仄移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sinx+﹣1的图象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．17．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．（1）供B；（2）已知cosA＝，供sinC的值．【解问】解：（1）∵asin2B＝bsinA，∴2sinAsinBcosB＝sinBsinA，∴cosB＝，∴B＝．（2）∵cosA＝，∴sinA＝，∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝＝．18．正在△ABC中，内角A，B，C所对于的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．（Ⅰ）说明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的里积S＝，供角A的大小．【解问】（Ⅰ）说明：∵b+c＝2acosB，∴sinB+sinC＝2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）＝2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的里积S＝，∴bcsinA＝，∴2bcsinA＝a2，∴2sinBsinC＝sinA＝sin2B，∴sinC＝cosB，∴B+C＝90°，或者C＝B+90°，∴A＝90°或者A＝45°．19．正在△ABC中，角A，B，C所对于的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）说明：sinAsinB＝sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，供tanB．【解问】（Ⅰ）说明：正在△ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sinC．∴整治可得：sinAsinB＝sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝．sinA＝，＝+＝＝1，＝，tanB＝4．20．正在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝．（1）供AB的少；（2）供cos（A﹣）的值．【解问】解：（1）∵△ABC中，cosB＝，B∈（0，π），∴sinB＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cosA═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sinBsinC﹣cosBcosC＝﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA＝，∴cos（A﹣）＝cosA+sinA＝．21．已知函数f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）供f（x）的定义域与最小正周期；（2）计划f（x）正在区间[﹣，]上的单调性．【解问】解：（1）∵f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）＝4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣＝4sinx（cosx+sinx）﹣＝2sinxcosx+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则函数的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的删区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k＝0时，删区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即正在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），删区间为（﹣，]．22．△ABC的内角A，B，C的对于边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）供C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的里积为，供△ABC的周少．【解问】解：（Ⅰ）∵正在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC （sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，整治得：2cosCsin（A+B）＝sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC2cosCsinC＝sinC∴cosC＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝absinC＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周少为5+．。
三角函数综合练习1
三角函数综合练习题一、选择题1、若sin2α＞0，且cos α＜0，则角α是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2、若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( ) A ．0 B.34 C ．1 D.543、若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝ ( ) A.153 B ．－153 C.53 D ．－534、下列各项中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215°5、已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于 ( ) A.2318 B.322 C.1322 D.3186、设A 、B 是△ABC 的内角，且cos A ＝35，sin B ＝513，则sin(A ＋B )的值为 ( ) A.6365或－1665 B.1665 C.1665或－6365 D.63657、函数f (x )＝sin(π4－x )的一个单调增区间为 ( ) A ．(3π4，7π4) B ．(－π4，3π4) C ．(－π2，π2) D ．(－3π4，π4) 8、函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴方程可能是 ( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π129、将函数y ＝sin(6x ＋π4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是 ( )A ．(π2，0)B ．(π4，0)C ．(π9，0)D ．(π16，0) 10、若定义在R 上的函数f (x )满足f (π3＋x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝2sin 13x B ．f (x )＝2sin3x C ．f (x )＝2cos 13x D ．f (x )＝2cos3x 11、已知函数f (x )＝sin(w x ＋π4)(x ∈R ，w ＞0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 ( ) A.π2 B.3π8 C.π4 D.π812、函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是( ) A ．1 B.1＋32 C.32D ．1＋ 3 13、若f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，则a 的值为 （ ） A ．－6 B ．4 C ．－3 D ．－414、已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是 ( )A ．[kπ－π12，kπ＋5π12]，k ∈ZB ．[kπ＋5π12，kπ＋11π12]，，k ∈Z C ．[kπ－π3，kπ＋π6]，k ∈Z D ．[kπ＋π6，kπ＋2π3]，k ∈Z 15、3－sin70°2－cos 210°=（ ） A.12 B.22 C ．2 D.32二、填空题1、已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 二2、若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝________.答案：－353、已知点P (sin 34π，cos 34π)落在角θ的终边上，且0≤θ≤2π，则θ＝________.答案：7π44、函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____答案：1＜k ＜35、给出下列六个命题，其中正确的命题是__________．①存在α满足sin α＋cos α＝32；②y ＝sin(52π－2x )是偶函数；③x ＝π8是y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴； ④y ＝e sin2x 是以π为周期的(0，π2)上的增函数；⑤若α、β是第一象限角，且α＞β，则tan α＞tan β； ⑥函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象可由y ＝3sin2x 的图象向左平移π3个单位得到．答案：②③ 三、解答题1、已知cos2θ＝725，π2<θ<π. 求： (1)tan θ的值； (2)2cos 2θ2－sin θ2sin(θ＋π4)的值． 解析：(1)由cos2θ＝725，得1－2sin 2θ＝725，sin 2θ＝925. ∵π2<θ<π，∴sin θ＝35，cos θ＝－45.∴tan θ＝sin θcos θ＝－34. (2)2cos 2θ2－sin θ2sin(θ＋π4)＝cos θ＋1－sin θsin θ＋cos θ＝－45＋1－3535－45＝2. 2、已知3π4<α<π，tan α＋cot α＝－103. (1)求tan α的值； (2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin(α－π4)的值．解析：(1)∵tan α＋cot α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－13或tan α＝－3. ∵3π4<α<π，∴－1<tan α<0.∴tan α＝－13. (2)∵tan α＝－13， ∴5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin(α－π4)＝5(sin 2α2＋cos 2α2)＋4sin α＋6·1＋cos α2－8sin α－cos α ＝5＋4sin α＋3＋3cos α－8sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54. 3、已知sin α＝－55，tan β＝－13且α、β∈(－π2，0)． (1)求α＋β的值； (2)求2sin(π4－α)＋cos(π4＋β)的值． 解析：(1)由sin α＝－55及α∈(－π2，0)，∴cos α＝255.∴tan α＝－12，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－1. 又∵－π＜α＋β＜0，∴α＋β＝－π4. (2)由(1)知α＋β＝－π4， 2sin(π4－α)＋cos(π4＋β)＝2sin(π4－α)＋cos(π4－π4－α)＝2sin(π4－α)＋cos α＝2cos α－sin α ＝2×255＋55＝ 5. 4、已知函数f (x )＝cos 2w x ＋sin w x cos w x －12(w >0)的最小正周期为π. (1)求f (x )在区间[－π2，π8]上的最小值； (2)求函数f (x )的图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标．解析：(1)f (x )＝cos 2w x ＋sin w x cos w x －12＝12(cos2w x ＋1)＋12sin2w x －12＝22sin(2w x ＋π4)． ∵T ＝2π2w ＝π，∴w ＝1，∴f (x )＝22sin(2x ＋π4)． ∵当－π2≤x ≤π8时，－3π4≤2x ＋π4≤π2， ∴当2x ＋π4＝－π2时，f (x )＝22sin(2x ＋π4)取得最小值为－22. (2)令2x ＋π4＝kπ，得x ＝kπ－π42＝kπ2－π8，k ∈Z ， 当k ＝0时，x ＝－π8，当k ＝1时，x ＝3π8， ∴满足要求的对称中心为(－π8，0)． 5、设函数f (x )＝(sin w x ＋cos w x )2＋2cos 2w x (w ＞0)的最小正周期为2π3. (1)求w 的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到的．求y ＝g (x )的单调增区间． 解析：(1)f (x )＝sin 2w x ＋cos 2w x ＋2sin w x cos w x ＋1＋cos2w x ＝sin2w x ＋cos2w x ＋2＝2sin(2w x ＋π4)＋2，依题意得2π2w ＝2π3，故w ＝32. (2)依题意得g (x )＝2sin[3(x －π2)＋π4]＋2＝2sin(3x －5π4)＋2. 由2kπ－π2≤3x －5π4≤2kπ＋π2(k ∈Z)解得23kπ＋π4≤x ≤23kπ＋7π12(k ∈Z)． 故g (x )的单调增区间为[23kπ＋π4，23kπ＋7π12](k ∈Z)． 6、设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值． 解析：(1)由f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)解法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))．由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3)． 当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此 y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32. 解法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)， 当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32. 7、已知函数f (x )＝2cos x cos(π6－x )－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π2]，求f (x )的值域． 解析：(1)∵f (x )＝cos x (3cos x ＋sin x )－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3(cos 2x －sin 2x )＋2sin x cos x ＝3cos2x ＋sin2x＝2sin(2x ＋π3)， ∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π2]，∴－π3≤2x ＋π3≤4π3. 又∵f (x )＝2sin(2x ＋π3)， ∴f (x )∈[－3，2]．∴f (x )的值域为[－3，2]．8、已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12(x ∈R) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )取得最大值的所有x 组成的集合．解析：(1)f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π6－π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，此时有2x －π3＝2kπ＋π2， 即x ＝kπ＋5π12(k ∈Z)． ∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝kπ＋5π12，k ∈Z . 9、已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α. 解析：∵β∈(π2，π)，cos β＝－513，∴sin β＝1213. 又∵0＜α＜π2，π2＜β＜π，∴π2＜α＋β＜3π2，又sin(α＋β)＝3365，∴π2＜α＋β＜π， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－(3365)2＝－5665，∴sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝3365·(－513)－(－5665)·1213＝35. 10、已知f (x )＝sin 2w x ＋32sin2w x －12(x ∈R ，w ＞0)，若f (x )的最小正周期为2π. (1)求f (x )的表达式和f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在区间[－π6，5π6]上的最大值和最小值． 解析：(1)由已知f (x )＝sin 2w x ＋32sin2w x －12＝12(1－cos2w x )＋32sin2w x －12＝32sin2w x －12cos2w x ＝sin(2w x －π6)． 又由f (x )的周期为2π，则2π＝2π2w ⇒2w ＝1⇒w ＝12， ⇒f (x )＝sin(x －π6)， 2kπ－π2≤x －π6≤2kπ＋π2(k ∈Z)⇒2kπ－π3≤x ≤2kπ＋2π3(k ∈Z)， 即f (x )的单调递增区间为[2kπ－π3，2kπ＋2π3](k ∈Z)． (2)由x ∈[－π6，5π6]⇒－π6≤x ≤5π6⇒－π6－π6≤x －π6≤5π6－π6⇒－π3≤x －π6≤2π3⇒sin(－π3)≤sin(x －π6)≤sin π2.∴－32≤sin(x －π6)≤1. 故f (x )在区间[－π6，5π6]的最大值和最小值分别为1和－32.11、已知A 、B 、C 三点的坐标分别是A (3,0)、B (0,3)，C (cos α，sin α)，其中π2＜α＜3π2. (1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值． 解析：(1)AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∵|AC →|＝|BC →|，∴|AC →|2＝|BC →|2，即(cos α－3)2＋sin 2α＝cos 2α＋(sin α－3)2，化简得sin α＝cos α.∵π2＜α＜3π2，∴α＝5π4. (2)－1＝AC →·BC →＝cos α(cos α－3)＋sin α(sin α－3)＝1－3(sin α＋cos α)，∴sin α＋cos α＝23. 于是2sin α·cos α＝(sin α＋cos α)2－1＝－59， 故2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin α(sin α＋cos α)cos α＋sin αcos α＝2sin α·cos α＝－59.。
三角函数综合测试题(含答案)
三角函数综合测试题学生：用时：分数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共18小题，每小题3分，共54分）1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x 是（）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x的图象，只需将函数sin y x 的图像（）A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)若sin 0且tan0是，则是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(的最大值为（）A ．1 B．2 C．3 D．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x图像的对称轴方程可能是（）A ．6xB ．12xC ．6xD ．12x6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cosx7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x xR ，则()f x 是（）A 、最小正周期为的奇函数B 、最小正周期为2的奇函数C 、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为2的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos22sin f x x x 的最小值和最大值分别为（）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，329.（08湖北卷7）将函数sin()yx 的图象F 向右平移3个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x则的一个可能取值是（）A.512B.512C.1112D.111210.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2x f x xx 是（）A ．以4为周期的偶函数B ．以2为周期的奇函数C ．以2为周期的偶函数 D．以4为周期的奇函数11.若动直线x a 与函数()sin f x x 和()cos g x x 的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（）A ．1B．2C ．3D ．212.（08山东卷10）已知π4cos sin365，则7πsin6的值是（）A ．235B ．235C ．45D ．4513.（08陕西卷1）sin 330等于（）A ．32B ．12C．12D ．3214.（08四川卷4）2tan cot cos x x x( ) Ａ.tan xＢ.sin xＣ.cosxＤ.cot x15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x R 的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A ．sin 23yxx R ， B ．sin26x y x R，C ．sin 23y xx R ， D ．sin 23y xx R，16.（08天津卷9）设5sin 7a ，2cos 7b，2tan 7c，则（）A ．ab c B ．a cbC ．b ca D ．ba c17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x 的最小正周期是（）A.2B.C.32D.218.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(，xx y的图象和直线21y的交点个数是（）A.0B.1C.2D.4 1-18题答案：1.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.19.（08北京卷9）若角的终边经过点(12)P ，，则tan 2的值为．20.（08江苏卷1）cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则= ．21.（08辽宁卷16）设02x，，则函数22sin 1sin 2x yx的最小值为．22.（08浙江卷12）若3sin()25，则cos 2_________。
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三角函数大题综合训练1.已知函数()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.2.设函数f (x )=cos(2x +3π)+sin 2x .（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A ,B ,C 为∆ABC 的三个内角，若cos B =31，1()24c f =-，且C 为锐角，求sin A .[3.已知函数2()sin cos cos 2.222x x xf x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕωϕπ++>>∈的形式，并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12f x ππ在上的最大值和最小值!4.已知函数()2sin cos 442x x x f x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．5.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域;6.设2()6cos 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角α满足()3f α=-4tan 5α的值．7.已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 14αβ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，a (cos 2)α=，b ，且m =·a b ．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．)）8.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)．求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．9.已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．（I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．，10.已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2πϕ<（I ）若coscos sinsin 0,44ππϕϕ3-=求ϕ的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。
:11. 已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π(Ⅰ)求f (8π)的值；(Ⅱ)将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 12.22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π．（Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调递增区间．@1.解（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==，∴函数()f x 的最小正周期为π. （Ⅱ）由2623x x ππππ-≤≤⇒-≤≤，∴3sin 212x -≤≤，∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为32-. 2解: （1）f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.=1cos 213cos 2cos sin 2sinsin 233222x x x x ππ--+=- 所以函数f(x)的最大值为132+,最小正周期π.（2）()2c f =13sin 2C -=－41, 所以3sin C =, 因为C 为锐角, 所以3C π=,又因为在∆ABC 中, cosB=31, 所以 2sin 33B =, 所以 2113223sin sin()sin cos cos sin 232326A B C B C B C =+=+=⨯+⨯=. 3.【解析】(Ⅰ)f (x )=21sin x +23)4sin(2223)cos (sin 2122cos 1-+=-+=-+πx x x x . 故f (x )的周期为2k π｛k ∈Z 且k ≠0｝.(Ⅱ)由π≤x ≤1217π，得πππ35445≤+≤x .因为f (x )＝23)4sin(22-+πx 在[45,ππ]上是减函数，在[1217,45ππ]上是增函数.故当x =45π时，f(x )有最小值－223+；而f (π)=－2，f (1217π)＝－466+＜－2，所以当x =π时，f (x )有最大值－2.4.【解析】（Ⅰ）()f x sin322x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==当πsin 123x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．`5.()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=－＋－＋31cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+2231cos 22sin cos 2x x x x =++-31cos22cos2sin(2)26x x x x π=-=- ∴周期22T ππ==.由2()62x k k Z πππ-=+∈，得()23k x k Z ππ=+∈.∴函数图象的对称轴方程为()23k x k Z ππ=+∈（II ）∵[,]122x ππ∈-，∴52[,]636x πππ-∈-.因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3x π=时，()f x 取得最大值1；又31()()1222f f ππ-=<=，∴当12x π=-时，()f x 取得最小值3.函数()f x 在[,]122ππ-上的值域为[． 6.【解析】（Ⅰ）1cos 2()622xf x x +=3cos 223x x =+12sin 2322x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故()f x的最大值为3；最小正周期22T π==π．（Ⅱ）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．又由02απ<<得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得512α=π．从而4tan tan 53απ==． 7.解：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=．因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ab ··． 故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·．由于π04α<<，所以222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·￥8【解答】 f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a 2sin2x －cos2x .由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1， 解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f (x )为增函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时 ,2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f (x )为减函数．所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2.又因f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2，故f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2.9解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，[故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．10.【解析】方法一：（I ）由3coscos sinsin 044ππϕϕ-=得cos cos sin sin 044ππϕϕ-=即cos()04πϕ+=又||,24ππϕϕ<∴=（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4f x x πω=+依题意，得23T π= 又2,T πω=故3,()sin(3)4f x x πω=∴=+函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()g x 是偶函数当且仅当3()42m k k Z πππ+=+∈ 即()312k m k Z ππ=+∈ 从而，最小正实数12m π=方法二：（I ）同方法一（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4f x x πω=+ w 依题意，得23T π=又2T πω=，故3,()sin(3)4f x x πω=∴=+函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ()g x 是偶函数当且仅当()()g x g x -=对x R ∈恒成立亦即sin[(33)]sin(33)44x m x m ππ-++=++对x R ∈恒成立sin(3)cos(3)cos(3)sin(3)44x m x m ππ∴-++-+sin 3cos(3)cos3sin(3)44x m x m ππ=+++ 即2sin 3cos(3)04x m π+=对x R ∈恒成立。