高中三角函数综合题及答案

三角函数习题

1．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．

(Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>u r r 且m n ⋅u r r 的最大值是5,求k 的值

2．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向

量

(2sin ,m B =r ,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ,且//m n r r ｡ (I)求锐角B 的大小;

(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值

3．已知⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x ππ=,x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡

(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3

4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡

4．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+

(I)求函数()f x 的最大值与最小正周期;

(II)求使不等式3()2

f x ≥成立的x 的取值集合｡ 5

．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，． （1）求)(x f 的最大值和最小值；

（2）2)(<-m x f 在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，上恒成立，求实数m 的取值范围．

6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+ (I)求角A;

(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值｡

7．在锐角ABC ∆中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA

－tanB)＝1＋tanA·tan B ．

(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小； (2)已知向量m ρ＝(sinA ，cosA)，n ρ＝(cosB ，sinB)，求｜3m ρ－2n ρ｜的取值范围．

三角函数习题答案

1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．

即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B

=sin(B +C )

∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0

∴cos B =2

1. ∵0

=-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,

32π) 设sin A =t ,则t ∈]1,0(. 则m n ⋅u r r =-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(.

∵k >1,∴t =1时,m n ⋅u r r 取最大值.

依题意得,-2+4k +1=5,∴k =

2

3. ｡ 2.【解析】:(1) //m n r r 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B

2sinBcosB=-3cos2B tan2B=- 3

∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3

(2)由tan2B =- 3 B=π3或5π6

①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)

∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤3

∴△ABC 的面积最大值为 3

②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3) ∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2-3

∴△ABC 的面积最大值为2- 3

3.【解析】:(1))34sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=

x x x x f ∴当]22

3,22

[34ππππππk k x

++∈-时,)(x f 单调递减 解得:]8322,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减｡ (2)∵函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x ∵]34,0[∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,334ππππx ∴]21,21[34cos -∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛+ππx ∴0=x 时,2

3)(max =x g

4.【解析】

又]0,2[π

α-∈Θ,0cos sin <-∴αα,34

cos sin -=-αα

因此, 127

cos sin 2sin =-ααα

5.【解析】（Ⅰ）π

()1cos 2321sin 2322f x x x x x ⎡⎤

⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵

π12sin 23x ⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭． 又ππ42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦，∵，π

π2π

2633x -∴≤≤， 即π212sin 233x ⎛⎫

+- ⎪⎝⎭≤≤，

max min ()3()2f x f x ==，∴．

（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦，，

max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，

14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．

6.【解析】:(I)由已知得23

sin 23

cos sin

2222A A A

bc a c b ⇒=⋅-+

又在锐角△ABC 中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC 中,扣1分]