圆与方程练习

圆与方程一．解答题（共34小题）1．已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．2．已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．3．已知圆C的圆心C在直线y=x﹣1，且圆C经过曲线y=﹣x2+6x﹣8与x轴的交点．（1）求圆C的方程；（2）已知过坐标原点O的直线l与圆C交M，N两点，若=2，求直线l的方程．4．已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y﹣1=0以及l2上一点P（3，﹣2）．求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．5．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求m的值．6．已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x+y﹣1=0相交于点P，直线l3：ax+y﹣a+1=0（1）若点P在直线l3上，求a的值；（2）若直线l3交直线l1，l2分别为点A和点B，且点B的坐标为（3，﹣2），求△PAB的外接圆的标准方程．7．已知圆c过点A（1，2）和B（1，10），圆心C在第一象限，且与直线x﹣2y ﹣1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（﹣3，﹣6），当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．8．已知动点E到点A（2，0）与点B（﹣2，0）的直线斜率之积为，点E的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，求的最大值．9．已知圆C经过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x﹣7y+8=0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，2）的直线与圆C交于A，B两点，问在直线y=2上是否存在定点N，使得K AN+K BN=0恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若点P的坐标为（1，），求切线PA，PB方程；（2）求四边形PAMB面积的最小值；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．11．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（Ⅰ）求C得方程；（Ⅱ）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|=|FB|．平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．12．已知经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为，（I）求圆C的方程；（II）已知直线l∥PQ，若l与圆C交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R （0，1）三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．14．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程．15．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0）的面积为π．且与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+2）与线段AB相交，求实数k的取值范围；（3）试讨论直线l：y=k（x+2）与圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0）的交点个数．16．在直角坐标系xOy中，F（1，0），动点P满足：以PF为直径的圆与y轴相切．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线Г，直线l过点M（4，0）且与Г交于A，B两点，当△ABF与△AOF的面积之和取得最小值时，求直线l的方程．17．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值．18．已知以点（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交点为O、A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点．（1）试写出圆C的标准方程，并证明△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的标准方程．19．已知圆C的圆心为点C（0，3），点D（﹣，2）在圆C上，直线l过点A （﹣1，0）且与圆C相交P，Q两点，点M是线段PQ的中点．（1）求圆C的方程：（2）若|AM|=3，求直线l的方程．20．已知点M 在圆x2+y2=4 上运动，N （4，0），点P 为线段MN 的中点（1）求点P 的轨迹方程；（2）求点P 到直线3x+4y﹣26=0 的距离的最大值和最小值．21．已知直线l过点P（0，1），圆C：x2+y2﹣6x+8=0，直线l与圆C交于A，B 两点．（I）求直线PC的方程；（I I）求直线l的斜率k的取值范围；（Ⅲ）是否存在过点Q（6，4）且垂直平分弦AB的直线l1？若存在，求直线l1斜率k1的值，若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．23．已知圆C的圆心为（t∈R，t≠0），过定点A（0，a）（a＞0），且与x轴交于点B，D．（1）求证：弦长BD为定值；（2）设，t为整数，若点C到直线2x+y﹣6=0的距离为，求圆C的方程．24．已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．①求点M的轨迹C的方程；②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．25．已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为，圆心C 在第一象限．（1）求圆C的方程；（2）若点P是直线l：3x+4y+5=0上的动点，过点P作圆C的切线，切点为B，求△PBC面积的最小值．26．在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．27．已知点M（3，1），直线ax﹣y+4=0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（1）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线ax﹣y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值．28．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，其中m∈R．（Ⅰ）如果圆C与圆x2+y2=1相外切，求m的值；（Ⅱ）如果直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，求m的值．29．已知直线x﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A，B两点；（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若|AB|=2，求m的值；（3）在（2）的条件下，求过点P（4，4）的圆C的切线方程．30．已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．31．已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．（1）求圆C的方程；（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m 过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．32．已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P满足|PA|+|PB|=，记动点P的轨迹为曲线T，（1）求动点P的轨迹T的方程；（2）直线y=kx+1与曲线T交于不同的两点C，D，若存在点M（m，0），使得|CM|=|DM|成立，求实数m的取值范围．33．已知动圆P过点并且与圆相外切，动圆圆心P的轨迹为W，轨迹W与x轴的交点为D．（Ⅰ）求轨迹W的方程；（Ⅱ）设直线l过点（m，0）（m＞2）且与轨迹W有两个不同的交点A，B，求直线l斜率k的取值范围．34．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）请问是否存在实数k使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．圆与方程参考答案与试题解析一．解答题（共34小题）1．已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为（，0）；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．【分析】（1）直接把圆的一般式转化为标准式．（2）利用直线和圆的位置关系求出结果．【解答】解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等，则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（x，0）则：，整理得：x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的转化，直线与圆的位置关系的应用．2．已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．【分析】（1）由约束条件得出其可行域是直角三角形及其内部，被圆C及其内部所覆盖，覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，求出即可；（2）设出直线l的方程，直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，则圆心C到直线l的距离是，利用点到直线的距离公式即可求出．【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C（2，1），半径r=|OC|==，∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是=，即，解之得，b=﹣1±．∴直线l的方程是：y=x﹣1±．【点评】正确由约束条件得出其可行域是直角三角形及其内部，覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而即可得出其圆的方程．熟练掌握直线与圆相交问题的解题模式及点到直线的公式是解题的关键．3．已知圆C的圆心C在直线y=x﹣1，且圆C经过曲线y=﹣x2+6x﹣8与x轴的交点．（1）求圆C的方程；（2）已知过坐标原点O的直线l与圆C交M，N两点，若=2，求直线l的方程．【分析】（1）直接利用已知条件求出圆的方程．（2）利用直线和曲线的位置关系，整理成一元二次方程，进一步利用向量的坐标运算建立等量，最后求出直线的方程．【解答】解：（1）因为圆C经过曲线y=﹣x2+6x﹣8与x轴的交点．则令y=0，解得：x=2或4．故与x轴的交点坐标为：（2，0）、（4，0）．设圆C的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则依题意得：，解得：a=3，b=2，r=．所以：圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=5．（2）直线l的斜率显然存在，故设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx，联立，整理得：（1+k2）x2﹣（6﹣4k）x+8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则：，．已知，则：x2=2x1，所以：，，整理得：，解得：k=0或，故直线的方程为：y=0或12x﹣5y=0．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，向量的坐标运算，直线和曲线的位置关系的应用．一元二次方程根与系数的关系的应用．4．已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y﹣1=0以及l2上一点P（3，﹣2）．求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．【分析】设圆心为C（a，b），半径为r，依题意，得b=﹣4a．由PC⊥l2，直线l2的斜率k2=﹣1，从而过P，C两点的直线的斜率k PC==1，由此能出圆的方程．【解答】解：设圆心为C（a，b），半径为r，依题意，得b=﹣4a．又PC⊥l2，直线l2的斜率k2=﹣1，∴过P，C两点的直线的斜率k PC==1，解得a=1，b=﹣4，r=|PC|=2．故所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．【点评】本题考查圆的方程式的求法，考查圆、直线方程、直线与直线垂直、直线的斜率等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．5．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求m的值．【分析】（1）直线l解析式变形后得到直线l恒过（1，1）点，而（1，1）点在圆C内，即可确定出直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）由圆的半径及弦长．利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线的距离d，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．（1）∵直线l：y﹣1=m（x﹣1）过定点P（1，1），且|PC|=【解答】解：=1＜，即P点在圆C内，∴直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）∵圆半径r=，|AB|=，∴圆心（0，1）到l的距离d==，即=，解得：m=±．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．6．已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x+y﹣1=0相交于点P，直线l3：ax+y﹣a+1=0（1）若点P在直线l3上，求a的值；（2）若直线l3交直线l1，l2分别为点A和点B，且点B的坐标为（3，﹣2），求△PAB的外接圆的标准方程．【分析】（1）联立方程组求得P的坐标，代入直线l3：ax+y﹣a+1=0即可求得a 值；（2）把B的坐标代入l3：ax+y﹣a+1=0，求得a值，可得l3，进一步求得A的坐标，设出圆的一般方程，利用待定系数法求得D、E、F的值，则圆的一般方程可求，利用配方法化为标准方程．【解答】解：（1）联立，解得P（0，1），∵点P在直线l3上，∴1﹣a+1=0，即a=2；（2）如图，∵直线l3：ax+y﹣a+1=0过B（3，﹣2），∴3a﹣2﹣a+1=0，即a=，可得直线l3：x+2y+1=0．∴A（﹣1，0），又P（0，1），设△PAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．则，解得D=﹣2，E=2，F=﹣3．∴△PAB的外接圆的方程为x2+y2﹣2x+2y﹣3=0，化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=5．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的标准方程的求法，是中档题．7．已知圆c过点A（1，2）和B（1，10），圆心C在第一象限，且与直线x﹣2y ﹣1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（﹣3，﹣6），当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．【分析】（1）圆心在线段AB的垂直平分线y=6上，设圆心为（a，6），半径为r，则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣6）2=r2，点B在圆上，圆C与直线x﹣2y ﹣1=0相切，求解即可．（2）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），利用中点坐标公式，转化求解即可．【解答】解：（1）圆心显然在线段AB的垂直平分线y=6上，设圆心为（a，6），半径为r，则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣6）2=r2，由点B在圆上得（1﹣a）2+（10﹣6）2=r2，又圆C与直线x﹣2y﹣1=0相切，则r=．于是（a﹣1）2+16=，解得a=3或a=﹣7（舍），则r=2所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣6）2=20（2）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由M为PQ的中点，则，即，又点P（x0，y0）在圆C上，有（x0﹣3）2+（y0﹣6）2=20，则（2x+3﹣3）2+（2y+6﹣6）2=20，整理得x2+y2=5，得点M的轨迹方程为：x2+y2=5．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．8．已知动点E到点A（2，0）与点B（﹣2，0）的直线斜率之积为，点E的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，求的最大值．【分析】（1）设P（x，y），由题意知利用斜率计算公式即可得到，（x≠±2），化简即可求出曲线C的方程．（2）当l垂直于轴时，l的方程为x=1，求出点P，Q的坐标，根据向量的数量积即可求出，当l不垂直于x轴时，依题意可设y=k（x﹣1）（k≠0），代入+y2=1得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，根据韦达定理和向量的数量积即可求出【解答】解：（1）设E（x，y），则x≠±2．因为E到点A（2，0），与点B（﹣2，0）的斜率之积为，所以，整理得C的方程为．（2）当l垂直于轴时，l的方程为x=1，代入得P（1，），Q（1，﹣），所以=（1，）•（1，﹣）=，当l不垂直于x轴时，依题意可设y=k（x﹣1）（k≠0），代入+y2=1得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．因为△=16（1+3k2）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，===综上，当l垂直于x轴时等号成立，故的最大值是．【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系，向量的数量积公式，考查了推理能力和计算能力．9．已知圆C经过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x﹣7y+8=0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，2）的直线与圆C交于A，B两点，问在直线y=2上是否存在定点N，使得K AN+K BN=0恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知求出直线m的方程，联立直线l与直线m，求得圆心坐标，再由两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可求；（2）假设存在点N（t，2）符合题意，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y﹣2=k（x﹣1），联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合K AN+K BN=0求得t值，已知AB斜率不存在时成立，可得在直线y=2上存在定点N（，0），使得K AN+K BN=0恒成立．【解答】解：（1）∵直线AB的斜率为﹣1，∴AB的垂直平分线m的斜率为1，AB的中点坐标为（），因此直线m的方程为x﹣y﹣1=0，又圆心在直线l上，∴圆心是直线m与直线l的交点．联立方程租，得圆心坐标为C（3，2），又半径r=，∴圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=13；（2）假设存在点N（t，2）符合题意，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y﹣2=k（x﹣1），联立方程组，消去y，得到方程（1+k2）x2﹣（2k2+6）x+k2﹣4=0．则由根与系数的关系得，．∵K AN+K BN=0，∴，即．∴2x1x2﹣（1+t）（x1+x2）+2t=0，∴．解得t=，即N点坐标为（，0）；②当直线AB斜率不存在时，点N显然满足题意．综上，在直线y=2上存在定点N（，0），使得K AN+K BN=0恒成立．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．10．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若点P的坐标为（1，），求切线PA，PB方程；（2）求四边形PAMB面积的最小值；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．【分析】（1）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，当切线斜率存在时，设直线方程为，由直线和圆相切，求出，由此能求出切线PA，PB 方程．（2），当PM最小时，四边形面积最小．由此能求出四边形PAMB面积的最小值．（3）设点P（），M（0，2），过P，A，M三点的圆即以PM为直径的圆，由此能求出定点坐标．【解答】解：（1）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1…（2分）当切线斜率存在时，设直线方程为，因为直线和圆相切，所以，解得，此时直线方程为y=﹣（x﹣1）+，即5x+12y﹣11=0，所以切线PA，PB方程x=1，5x+12y﹣11=0．…（4分）（2）…（6分）故当PM最小时，四边形面积最小．而所以四边形PAMB面积的最小值…（10分）证明：（3）设点P（），M（0，2），过P，A，M三点的圆即以PM为直径的圆即（）2+（）2=（）2，…（12分）所以，从而，解得定点坐标为（0，2）或（，）．…（16分）【点评】本题考查圆的切线方程、直线方程、四边形面积的求法，涉及到圆、直线方程、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．11．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（Ⅰ）求C得方程；（Ⅱ）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|=|FB|．平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，可得动点P的轨迹是以点F（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，由已知求得p，则抛物线方程可求；（Ⅱ）设A（），则B（，0），可得直线AB的斜率为k=．则与AB 平行，且与抛物线C相切的直线为y=﹣，联立直线方程与抛物线方程，利用判别式等于0可得b与m的关系，求得D的坐标，分和两类分析得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，∴动点P的轨迹是以点F（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线．设C的方程为y2=2px，则，即p=2．∴C的轨迹方程为y2=4x；（Ⅱ）设A（），则B（，0），∴直线AB的斜率为k=．设与AB平行，且与抛物线C相切的直线为y=﹣，由，得my2+8y﹣8b=0，由△=64﹣32mb=0，得b=﹣，∴y=﹣，则点D（）．当，即m≠±2时，直线AD的方程为：，整理得，∴直线AD过点（1，0）．当，即m=±2时，直线AD的方程为x=1，过点（1，0），综上所述，直线AD过定点（1，0）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12．已知经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为，（I）求圆C的方程；（II）已知直线l∥PQ，若l与圆C交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，根据经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为，求出D，E，F，即可求圆C的方程；（Ⅱ）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令x=0⇒y2+Ey+F=0，∴y1+y2=﹣E，y1•y2=F，∴，∴E2﹣4F=48①…（2分）又圆过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，∴⇒2E+F=﹣12…②由①②得：或…（4分）∵圆的半径小于5，∴圆的方程为x2+y2﹣2x﹣12=0…（6分）（Ⅱ），∴设l的方程为：x+y+m=0…（7分）由⇒2x2+（2m﹣2）x+m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（9分）∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，…（10分）∴x1•x2+y1•y2=x1•x2+（﹣x1﹣m）•（﹣x2﹣m）=0整理得：m2+m﹣12=0⇒m=3或m=﹣4，…（11分）且m=3或m=﹣4均满足△＞0…（12分）∴l的方程为x+y+3=0或x+y﹣4=0…（13分）【点评】本题考查直线与圆的综合问题，考查直线方程的求解方法和圆方程的求解方法，注意待定系数法的运用，考查学生对直线与圆相交弦长有关问题的处理方法，考查设而不求思想的运用，考查方程思想和转化与化归的思想，是中档题．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R （0，1）三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【分析】（1）利用已知条件求出圆的一般式方程．（2）首先求出弦AB的值，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解（1）设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R（0，1）三点．则：1+E+F=0，令y=0，则：圆的方程转化为：x2+Dx+F=0，则：，解得：D=﹣6．利用：，解得：F=1．故：E=﹣2．所以圆的方程为：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0．（2）圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0，转化为标准式为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．由于圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，则：|AB|=，所以：圆心（3，1）到直线x﹣y+a=0的距离d=，解得：a=1或﹣5．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，直线和圆的位置关系的应用．点到直线的距离公式的应用．14．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程．【分析】（1）直线l经过定点（1，1），定点（1，1）在圆C内，由此能证明对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点．（2）由圆心（0，1）到直线mx﹣y+1﹣m=0的距离d=，圆的弦长|AB|=2=，由此能求出直线方程．【解答】证明：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m=0转化为m（x﹣1）﹣y+1=0，∴直线l经过定点（1，1），∵12+（1﹣1）2＜5，∴定点（1，1）在圆C内，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点．解：（2）由圆心（0，1）到直线mx﹣y+1﹣m=0的距离d==，而圆的弦长|AB|=2=，即2=，17=4（4+），m2=3，解得m=，故所求的直线方程为或﹣．【点评】本题考查直线与圆总有两个交点的证明，考查直线方程的求法，考查直线过定点、圆、点到直线的距离公式、弦长等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0）的面积为π．且与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+2）与线段AB相交，求实数k的取值范围；（3）试讨论直线l：y=k（x+2）与圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0）的交点个数．【分析】（1）圆C的半径r=a，从而πa2=π，求出a=1，由此能求出圆C的方程．（2）由圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得点A（1，0），B（0，1）．由直线l：y=k（x+2）与线段AB相交，得到•≤0，由此能求出实数k的取值范围．（3）圆心C（1，1）到直线l：kx﹣y+2k=0的距离d=，根据d＞1，d=1，d＜1三种情况，能判断直线l与圆C的交点个数．【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（4分），第2小题满分（4分），第3小题满分6分）解：（1）因为圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0），则圆的半径r=a，所以，πa2=π，即a=1，…（3分）所以，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．…（1分）（2）因为圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，所以，点A（1，0），B（0，1）．由题意，直线l：y=k（x+2）与线段AB相交，所以d1•d2=•≤0，…（2分）整理，得3k（2k﹣1）≤0，解得0，所以实数k的取值范围为[0，]．…（2分）（3）因为圆心C（1，1）到直线l：kx﹣y+2k=0的距离d=，当d＞1时，8k2﹣6k＞0，即k＜0或k＞时，直线l与圆C没有交点；…（2分）当d=1，即k=0或k=，直线l与圆C有一个交点；…（2分）当d＜1，即0＜k＜时，直线l与圆C有两个交点．…（2分）【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数的范围的求法，考查直线与圆的交点个数的判断，考查直线、圆、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．16．在直角坐标系xOy中，F（1，0），动点P满足：以PF为直径的圆与y轴相切．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线Г，直线l过点M（4，0）且与Г交于A，B两点，当△ABF与△AOF的面积之和取得最小值时，求直线l的方程．【分析】（1）设点P（x，y），圆心N（x0，y0），由圆与y轴相切于点C，得|PF|=2|NC|，结合两点间的距离公式整理可得点P的轨迹方程为：y2=4x；（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为：x=4，可得S△ABF +S△AOF=14．（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为：y=k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与抛物线方程，可得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，y1y2=﹣16，再由S△ABF+S△AOF=S△AOM+S△BFM=，结合等号成立的条件求得y1，y2的值，进一步得到k值，则△ABF与△AOF的面积之和取得最小值时，直线l的方程可求．【解答】解：（1）设点P（x，y），圆心N（x0，y0），圆与y轴相切于点C，则|PF|=2|NC|，∴，又点N为PF的中点，∴，∴，整理得：y2=4x．∴点P的轨迹方程为：y2=4x；（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为：x=4，可得S△ABF +S△AOF=14．（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为：y=k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x并整理得：ky2﹣4y﹣16k=0，∴，y1y2=﹣16，S△ABF+S△AOF=S△AOM+S△BFM=，当且仅当4|y1|=3|y2|时等号成立，又|y1||y2|=16，∴，或，，∴，解得：k=．∵，∴当两个三角形的面积和最小时，直线l的方程为：y=（x﹣4）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．17．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值．【分析】（1）圆心C（0，1）到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d=≤1（m∈R），即d＜r=，由此推导出直线l与圆C相交．（2）由r=，d=，|AB|=，根据垂径定理及勾股定理得：=，由此能求出m．【解答】解：（1）直线l与圆C相交，理由如下：∵圆C：x2+（y﹣1）2=5的圆心坐标为C（0，1），半径为r=，∴圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离：d==≤1（m∈R），即d＜r=，∴直线l与圆C相交．（2）∵r=，d=，|AB|=，∴根据垂径定理及勾股定理得：=，即，整理得：m2=3，解得：m=±．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查实数值的求法，考查直线、圆、点到直线距离公式、垂径定理及勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．已知以点（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交点为O、A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点．（1）试写出圆C的标准方程，并证明△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的标准方程．【分析】（1）由已知求出圆的半径，得到圆的方程，求出A，B的坐标，代入三角形面积公式得答案；（2）由|OM|=|ON|，可得OC垂直平分线段MN，求出直线OC的方程，得到OC的斜率，利用斜率的关系求得t值，可得圆C的标准方程．【解答】解：（1）∵圆C过原点O，∴，即圆C标准方程为．令x=0，得y1=0，；令y=0，得x1=0，x2=2t．∴，即△OAB的面积为定值4；（2）∵|OM|=|ON|，∴OC垂直平分线段MN，直线OC的方程为，即，得t=2或t=﹣2．当t=2时，满足题意；当t=﹣2时，直线y=﹣2x+4与圆C不相交，舍去．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．19．已知圆C的圆心为点C（0，3），点D（﹣，2）在圆C上，直线l过点A （﹣1，0）且与圆C相交P，Q两点，点M是线段PQ的中点．（1）求圆C的方程：（2）若|AM|=3，求直线l的方程．【分析】（1）可得圆的半径R=．即可得圆C的方程为：x2+（y﹣3）2=4，（2）设点M（x，y），由|AM|=3，（x+1）2+y2=9，点M是线段PQ的中点，即=﹣1，y2﹣3y+x2+x=0，由①②得x+3y﹣8=0，从而可得答案．【解答】解：（1）∵圆C的圆心为点C（0，3），点D（﹣，2）在圆C上，∴圆的半径R=．∴圆C的方程为：x2+（y﹣3）2=4，（2）∵点M是线段PQ的中点，∴AM⊥CM，可得AM2+d2=R2，当直线l的斜率为k时，设方程为kx﹣y+k=0d=解得k=，即直线l的方程为：4x﹣3y+4=0，当直线l的斜率不存在时，直线x=﹣1符合题意．综上所述：直线l的方程为：4x﹣3y+4=0或x=﹣1．【点评】本题考查了圆的方程、直线与圆的位置关系，属于中档题．20．已知点M 在圆x2+y2=4 上运动，N （4，0），点P 为线段MN 的中点（1）求点P 的轨迹方程；（2）求点P 到直线3x+4y﹣26=0 的距离的最大值和最小值．【分析】（1）用x和y表示出M的坐标代入圆的方程即可求得P的轨迹方程．（2）利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用圆心到直线的距离加或减半径即可求得最大和最小值．【解答】解：（1）∵点P（x，y）是MN的中点，∴x0=2x﹣4，y0=2y，将用x，y表示的x0，y0代入到x02+y02=4中得（x﹣2）2+y2=1．此式即为所求轨迹方程．（2）由（Ⅰ）知点P的轨迹是以Q（2，0）为圆心，以1为半径的圆．点Q到直线3x+4y﹣26=0的距离d==4．故点P到直线3x+4y﹣26=0的距离的最大值为4+1=5，最小值为4﹣1=3．。