华师版八年级数学上册教案13.2 三角形全等的判定(6课时)

13.2三角形全等的判定
1全等三角形(第1课时)
一、基本目标
全等三角形的概念，能运用符号语言表示两个三角形全等．
二、重难点目标
【教学重点】
全等三角形的性质．
【教学难点】
掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速、正确指出两个全等三角形的对应元素．
环节1自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P59的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．全等用符号≌表示，读作全等于．
2．△ABC全等于三角形△DEF，用式子表示为△ABC_≌△DEF_.
3．若△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角是∠E，则∠C的对应角是∠F；AB与DE是对应边，BC与EF是对应边，AC与DF是对应边．
4．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，若△BOD≌△COE，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个全等三角形的对应角．
【互动探索】(引发学生思考)全等三角形的对应元素该如何找？
【解答】∵△BOD≌△COE，
∴△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE.
∵△ADO≌△AEO，
∴△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形．另外，记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．
【例2】如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
【互动探索】(引发学生思考)由△ABC≌△DEF，找出这两个三角形的对应角、边，即可解决问题．
【解答】∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，
∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)全等三角形的对应边相等，对应角相等．
活动2巩固练习(学生独学)
1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是(D)
A．72°B．60°
C．58°D．50°
2．如图，△ABC≌△DEF，BE＝3，AE＝2，则DE的长是(A)
A．5 B．4
C．3 D．2
3．如图，△ABC≌△FED，∠A＝30°，∠B＝80°，则∠EDF＝_70°.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
2全等三角形的判定条件(第2课时)
一、基本目标
1．理解影响两个三角形是否全等的元素(边、角)．
2．理解两个三角形只有一组或两组对应相等的元素(边或角)，那么这两个三角形不一定全等．
二、重难点目标
【教学重点】
通过探索得出：两个三角形只有一组或两组对应相等的元素(边或角)，这两个三角形不一定全等．
【教学难点】
通过探索得出三角形全等的判定条件是可以减少的．
环节1自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P59～P61的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两个三角形完全重合，则这两个三角形全等．
2．若两个三角形的三条边与三个角都分别对应相等，那么这两个三角形全等．
3．一个三角形经过翻折、平移或旋转等变换得到的新三角形与原三角形全等．
4．全等三角形的判定条件至少需要两个三角形有三个相等的元素．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例题】如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移到△DEF处，下列结论中错误的是()
A．AC＝DF B．∠DEF＝90°
C．△ABC≌△DEF D．EC＝CF
【互动探索】(引发学生思考)根据题意，得△ABC与△DEF具有怎样的关系？
【分析】∵△DEF由Rt△ABC平移而成，∠ABC＝90°，
∴△DEF≌△ABC，
∴AC＝DF，
∴∠DEF＝∠ABC＝90°，
∴A、B、C正确．
∵平移的距离及BC的长度不能确定，
∴EC与CF的长短不能确定，
∴D错误．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)一个三角形经过翻折、平移或旋转等变换得到的新三角形与原三角形全等．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝95°，∠B＝45°，则∠CAD度数为(D)
A．95°B．45°
C．30°D．40°
2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于(D)
A．72°B．60°
C．50°D．58°
3．如图，△ABC为等边三角形，D是BC边上的一点，△ABD经过旋转后到达△ACE 的位置．
(1)请说出旋转中心、旋转方向以及旋转角度；
(2)请找出AB、AD旋转后的对应线段；
(3)若∠BAD＝25°，求∠AEC度数．
解：(1)由题意，得点A为旋转中心，旋转方向为顺时针，旋转角度为60°.
(2)AB、AD旋转后的对应线段分别为AC、AE.
(3)∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°.
又∵∠BAD＝25°，
∴∠ADB＝180°－25°－60°＝95°.
由题意知△ABD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠ADB＝95°.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
3边角边(第3课时)
一、基本目标
掌握三角形全等的“边角边”判定方法，并能进行简单的应用．
二、重难点目标
【教学重点】
应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．
【教学难点】
分析问题，寻找判定三角形全等的条件．
环节1自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P62～P65的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“S.A．S.”．2．有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等．
3．如图，AB与CD相交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝_∠COB___，根据S.A．S.可得到△AOD≌△COB，从而得到AD＝CB.
4．如图，已知BD ＝CD ，要根据“SAS ”判定△ABD ≌△ACD ，则还需添加的条件是_∠ADC ＝∠ADB
_.
环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD ＝BF ，AE ＝BC ，且AE ∥BC .求证：△AEF ≌△BCD
.
【互动探索】(引发学生思考)由AD ＝BF 易得AF ＝BD .又AE ＝BC ，则要证△AEF ≌△BCD 还需什么条件？
【证明】∵AE ∥BC ， ∴∠A ＝∠B . ∵AD ＝BF ， ∴AF ＝BD .
在△AEF 和△BCD 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧
AE ＝BC ，
∠A ＝∠B ，
AF ＝BD ，
∴△AEF ≌△BCD (S.A ．S.)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【例2】如图，BC ∥EF ，BC ＝BE ，AB ＝FB ，∠1＝∠2.若∠1＝45°，求∠C 的度数．
【互动探索】(引发学生思考)要求∠C 的度数，若△ABC ≌△FBE ，就可以得出∠C ＝∠BEF ，则由BC ∥EF 可得∠C ＝∠BEF ＝∠1，从而解决问题．
【解答】∵∠1＝∠2， ∴∠ABC ＝∠FBE .
在△ABC 和△FBE 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧
BC ＝BE ，∠ABC ＝∠FBE ，
AB ＝FB ，
∴△ABC ≌△FBE (S.A ．S.)， ∴∠C ＝∠BEF .
又∵BC ∥EF ，∠1＝45°， ∴∠C ＝∠BEF ＝∠1＝45°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；(2)学会挖掘题中的已知条件，如“公共边”“公共角”等．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( A
)
A ．∠1＝∠2
B ．∠B ＝∠
C C ．∠
D ＝∠E
D ．∠BA
E ＝∠CAD
2．下列条件中，不能证明△ABC ≌△ DEF 的是( C )
A ．A
B ＝DE ，∠B ＝∠E ，B
C ＝EF B ．AB ＝DE ，∠A ＝∠
D ，AC ＝DF C ．BC ＝EF ，∠B ＝∠
E ，AC ＝DF
D ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF
3．如图，已知AB ＝AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？
解：AC 平分∠BCD .理由如下： ∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC .
在△ABC 和△ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧
AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，
AC ＝AC ，
∴△ABC ≌ADC (S.A ．S.)， ∴∠ACB ＝∠ACD ， ∴AC 平分∠BCD .
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连结AE 、CG .求证： (1)AE ＝CG ； (2)AE ⊥CG
.
【互动探索】观察图形，证明 △ADE ≌△CDG ，就可以得出AE ＝CG ；结合全等三角形的性质和正方形的性质即可证得AE ⊥CG .
【证明】(1)∵四边形ABCD 、DEFG 都是正方形， ∴AD ＝CD ，GD ＝ED .
∵∠CDG ＝90°＋∠ADG ，∠ADE ＝90°＋∠ADG ， ∴∠CDG ＝∠ADE .
在△ADE 和△CDG 中，∵ ⎩⎪⎨⎪
⎧
AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDG ，
DE ＝DG
∴△ADE ≌△CDG (S.A ．S.)， ∴AE ＝CG .
(2)设AE 与DG 相交于点M ，AE 与CG 相交于N . 在△GMN 和△DME 中，由(1)得∠CGD ＝∠AED . 又∵∠GMN ＝∠DME ，∠DEM ＋∠DME ＝90°， ∴∠CGD ＋∠GMN ＝90°， ∴∠GNM ＝90°， ∴AE ⊥CG .
【互动总结】(学生总结，老师点评)正方形的四条边相等，四个角都等于90°，利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评
)
请完成本课时对应练习！
4 角边角(第4课时
)
一、基本目标
掌握三角形全等的判定方法：A ．S.A ．和A ．A ．S.并能解决实际问题． 二、重难点目标
【教学重点】
已知两角一边的三角形全等的探究．
【教学难点】
灵活运用三角形全等条件证明三角形全等．
环节1自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P66～P70的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“角边角”或“A.S.A.”．2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“A.A.S.”．
3．能确定△ABC≌△DEF的条件是(D)
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
4．如图所示，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE＝AF，请你补充一个条件：∠B ＝∠C_，使得△ABE≌△ACF.(只需填写一种情况即可)
教师点拨：此题答案不唯一，还可以填AB＝AC或∠AEB＝∠AFC.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.
【互动探索】(引发学生思考)由AE＝CF，易得AF＝CE.要证ADF≌△CBE还需哪些条件？
【证明】∵AD ∥BC ，BE ∥DF ， ∴∠A ＝∠C ，∠DF A ＝∠BEC . ∵AE ＝CF ，
∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE . 在△ADF 和△CBE 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧
∠A ＝∠C ，AF ＝CE ，
∠DF A ＝∠BEC ，
∴△ADF ≌△CBE (A .S.A ．)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在“A .S.A ．”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边，且“边”必须是“两角的夹边”，而不是两角及一角的对边，应用时要注意区分．
【例2】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 交于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AD 与BE 交于点F .若BF ＝AC ，求证：△ADC ≌△BDF
.
【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证△ADC ≌△BDF ，只需证∠DAC ＝∠DBF .又在Rt △ADC 与Rt △BDF 中，利用“等角的余角相等”即可得∠DAC ＝∠DBF .
【证明】∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴∠ADC ＝∠BDF ＝∠BEA ＝90°.
∵∠AFE ＝∠BFD ，∠DAC ＋∠AEF ＝90°，∠BFD ＋∠DBF ＝90°， ∴∠DAC ＝∠DBF .
在△ADC 和△BDF 中，∵ ⎩⎪⎨⎪
⎧
∠DAC ＝∠DBF ，∠ADC ＝∠BDF ，
AC ＝BF ，
∴△ADC ≌△BDF (A .A .S.)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)在解决三角形全等的问题中，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等．(2)有直角三角形就有互余的角，利用“同角(等角)的余角相等”是证角相等的常用方法．
活动2 巩固练习(学生独学) 1．完成教材P70“练习”第1～2题． 略
2．如图，点B 在线段AD 上，BC ∥DE ，AB ＝ED ，BC ＝DB .求证：∠A ＝∠E
.
证明：∵BC ∥DE ， ∴∠ABC ＝∠BDE .
在△ABC 和△EDB 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧
AB ＝DE ，∠ABC ＝∠BDE ，
BC ＝BD ，
∴△ABC ≌△EDB (S.A ．S.)， ∴∠A ＝∠E .
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评
)
请完成本课时对应练习！
5 边边边(第5课时
)
一、基本目标
会运用“边边边”证明三角形全等． 二、重难点目标 【教学重点】
掌握“边边边”判定两个三角形全等． 【教学难点】
探索三角形全等条件的过程．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】
阅读教材P71～P72的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】
1．三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“S.S.S.”． 2．在△ABC 、△DEF 中，若AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，则△ABC ≌△EFG . 3．已知AB ＝3，BC ＝4，CA ＝6，EF ＝3，FG ＝4，要使△ABC ≌△EFG ，则EG ＝6. 4．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是
S.S.S..
环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，求证：△ABC ≌△ADC
.
【互动探索】(引发学生思考)要证△ABC ≌△ADC ，只需看这两个三角形的三边是否相等． 【证明】在△ABC 和△ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧
AB ＝AD ，
CB ＝CD ，
AC ＝AC ，
∴△ABC ≌△ADC (S.S.S.)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)注意运用“S.S.S.”证三角形全等时的证明格式；在证明过程中善于挖掘“公共边”这个隐含条件．
【例2】如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，点E 、C 在直线BF 上，且BE ＝CF .求证：△ABC ≌△DEF
.
【互动探索】(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“S.S.S.”证明△ABC ≌△DEF .
【证明】∵BE ＝CF ，
∴EC ＋BE ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF . 在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧
BC ＝EF ，AB ＝DE ，
AC ＝DF ，
∴△ABC ≌△DEF (S.S.S.)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后根据判定方法看缺什么条件，再去证什么条件．
【例3】如图，AB ＝AD ，DC ＝BC ，∠B 与∠D 相等吗？为什么？
【互动探索】(引发学生思考)要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC 构造三角形．
【解答】∠B ＝∠D .理由如下： 连结AC .
在△ADC 和△ABC 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧
AD ＝AB ，AC ＝AC ，
DC ＝BC ，
∴△ADC ≌△ABC (S.S.S.)， ∴∠B ＝∠D .
【互动总结】(学生总结，老师点评)要证∠B 与∠D 相等，可证这两个角所在的三角形全等，但现有条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，线段AD 与BC 交于点O ，且AC ＝BD ，AD ＝BC ，则下面的结论中不正确的是( C
)
A ．△ABC ≌△BAD
B ．∠CAB ＝∠DBA
C ．OB ＝OC
D ．∠C ＝∠D
2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC .由做法得△MOC ≌△NOC 的依据是
S.S.S..
3．如图，AC 与BD 交于点O ，AD ＝CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE ＝CF ，DE ＝BF . 求证：(1)∠D ＝∠B ； (2)AE ∥CF
.
证明：(1)在△ADE 和△CBF 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧
AE ＝CF ，AD ＝BC ，
DE ＝BF ，
∴△ADE ≌△CBF (S.S.S.)， ∴∠D ＝∠B .
(2)∵△ADE ≌△CBF ， ∴∠AED ＝∠CFB .
∵∠AED＋∠AEO＝180°，∠CFB＋∠CFO＝180°，
∴∠AEO＝∠CFO，
∴AE∥CF.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
6斜边直角边(第6课时)
一、基本目标
掌握直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边(或H.L.)．
二、重难点目标
【教学重点】
直角三角形全等的判定定理的理解和应用．
【教学难点】
利用直角三角形全等的判定定理解决问题．
环节1自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P73～P75的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是(B)
A．A.A.S. B．S.A.S.
C．H.L. D．S.S.S.
2．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或“H.L.”．
3．判定两个直角三角形全等的方法有S.S.S.、A.S.A ．、A.A.S.、S.A.S.、H.L.. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.
【互动探索】(引发学生思考)可以通过证△ABC ≌△ADC 得到∠1＝∠2.结合已知条件，可以利用“H.L.”得到Rt △ABC ≌Rt △ADC .
【证明】∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ， ∴∠B ＝∠D ＝90°，
∴△ABC 和△ACD 均为直角三角形．
在Rt △ABC 和Rt △ADC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧
AB ＝AD ，AC ＝AC ，
∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (H.L.)， ∴∠1＝∠2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用“H.L.”证明三角形全等的前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt △”．
【例2】如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD .求证：AD ＝BC .
【互动探索】(引发学生思考)观察图形，不能直接通过证△AOD 与△BOC 得到结论，需作辅助线CD ，用“H.L.”证明Rt △ADC ≌Rt △BCD ，从而得到AD ＝BC .
【证明】连结CD .
∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD ， ∴∠A ＝∠B ＝90°.
在Rt △ADC 和Rt △BCD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧
AC ＝BD ，DC ＝CD ，
∴Rt △ADC ≌Rt △BCD ， ∴AD ＝BC .
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( B ) A ．斜边和一直角边对应相等 B ．两个锐角对应相等 C ．一锐角和斜边对应相等 D ．两条直角边对应相等
2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过点B 、C 作过点A 的直线的垂线BD 、CE .若BD ＝4 cm ，CE ＝3 cm ，则DE ＝__7___cm.
3．如图，点C 、E 、B 、F 在一条直线上，AB ⊥CF 于点B ，DE ⊥CF 于点E ，AC ＝DF ，AB ＝DE .求证：CE ＝BF .
证明：∵AB ⊥CF ，DE ⊥CF ， ∴∠ABC ＝∠DEF ＝90°.
在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧
AC ＝DF ，
AB ＝DE ，
∴Rt △ABC ≌Rt △DEF (H.L.)， ∴BC ＝EF ，
∴BC －BE ＝EF －BE ，即CE ＝BF . 活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知AD 、AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .
【互动探索】要证BC ＝BE ，可以通过三角形全等解决，本题应该通过证明哪对三角形全等来解决呢？
【证明】∵AD 、AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ， ∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (H.L.)， ∴CD ＝EF .
在Rt △ABD 和Rt △ABF 中，
∵⎩
⎪⎨⎪⎧
AD ＝AF ，AB ＝AB ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (H.L.)， ∴BD ＝BF ，
∴BD －CD ＝BF －EF ，即BC ＝BE .
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可以通过证明三角形全等解决．在一个问题中，有时我们需要多次证明全等来创造已知条件，从而得到结论．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！。