计数原理测试题(含答案)
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圆梦教育中心 高中数学选修2-3计数原理
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.若m 为正整数,则乘积()()()=+++2021m m m m ( )
A .20
m A
B .21
m A
C .20
20+m A
D .21
20+m A
2.若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 ( ) A . 22 B . 30 C . 12 D . 15
3.四个编号为1,2,3,4的球放入三个不同的盒子里,每个盒子只能放一个球,编号为1的球必须放入,则不同的方法有 ( ) A .12种 B .18种 C .24种 D .96种
4.用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字12340应是第几个数 ( ) A .6 B .9 C .10 D .8 5.把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是 ( ) A .2024 B .264 C .132 D .122
6. 在(a-b)99
的展开式中,系数最小的项为( )
A.T 49
B.T 50
C.T 51
D.T 52 7. 数11100
-1的末尾连续为零的个数是( )
A.0
B.3
C.5
D.7
8. 若4
25225+=x x C C ,则x 的值为 ( )
A .4
B .7
C .4或7
D .不存在
9.以正方体的顶点为顶点,能作出的三棱锥的个数是 ( ) A .3
4C
B .3
718C C
C .3
71
8C C -6
D . 124
8-C
10.从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条的不同取法共有n 种.在这些
取法中,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ,则n
m
等于( ) A .
10
1
B .
51 C .10
3 D .
5
2
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)
11.设含有8个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,S的值为___________.
则
T
12.有4个不同的小球,全部放入4个不同的盒子内,恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为.
13.在(x-1)11的展开式中,x的偶次幂的所有项的系数的和为.
14.六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念,老师要求他们前后两排各三人,则后排每个人的身高均比前排同学高的概率是.
三、解答题(共计76分)
15.(12分)平面上有9个点,其中4个点在同一条直线上,此外任三点不共线.(1)过每两点连线,可得几条直线?
(2)以每三点为顶点作三角形可作几个?
(3)以一点为端点作过另一点的射线,这样的射线可作出几条?
(4)分别以其中两点为起点和终点,最多可作出几个向量?
16.(11分)在二次项12
)(n m
bx ax (a >0,b >0,m,n ≠0)中有2m+n =0,如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项,求它是第几项? 17.(12分)由1,2,3,4,5,6,7的七个数字,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数?
(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个?
(3)(1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? (4)(1)中任意两偶然都不相邻的七位数有几个?
18.(12分)2006年6月9日世界杯足球赛将在德国举行,参赛球队共32支,(1)先平均分成8个小组,在每组内进行单循环赛(即每队之间轮流比赛一次),决出16强(即取各组前2名)。
(2)之后,按确定程序进行淘汰赛(即每两队赛一场,输者被淘汰),由16强决出8强;再由8强决出4强;最后在4强中决出冠军、亚军、季军、第四名,共赛多少场呢?
19.(15分)6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?
(1)一堆一本,一堆两本,一堆三本;
(2)甲得一本,乙得二本,丙得三本;
(2)一人得一本,一人得二本,一人得三本;
(3)平均分给甲、乙、丙三人;
(4)平均分成三堆.
20.(14分)某班有男、女学生各n 人,现在按照男生至少一人,女生至多n 人选法,将选出的学生编成社会实践小组,试证明:这样的小组的选法共有)12(2 n
n
种.
高中数学选修2-3计数原理测试题参考答案
11.32 ( S:82 ,T:38C ,7
32
=T S )
12.84 (84)68(6)(2
22422331424
=+⨯=+C C A C C C ) 13. -102
14. 201(将最高的3人放在后排,其余3人放在前排,有3
333A A •;则2016
6
3
333=•A A A ) 三、解答题(本大题共6题,共76分)
15.(12分)解:(1)条3112426=+-C C ;(解法2 :11
51425++C C C =31) (2)803439=-C C ( 解法2:3515242514C C C C C ++=80)
(3)不共线的五点可连得25A 条射线,共线的四点中,外侧两点各可得到1条射
线,内部两点各可得到2条射线;而在不共线的五点中取一点,共线的四点中
取一点而形成的射线有221514A C C 条. 故共有:66221222151425=+⨯+⨯+A C C A 条射线. (4)任意两点之间,可有方向相反的2个 向量各不相等,则可得到7229=A 个向量. 16.(11分) 解:(1)T r+1=C 12
r
a 12-r x 12m-mr
b r x nr =C 12
r
a 12-r
b r x 12m-mr+nr .
令⎩⎨⎧=+=+-02012n m nr mr m ∴r =4 系数最大项为第5项 17.(12分) 解:(l )把7个数字进行全排列,可有
7
7
A 种情况,所以符合
题意有5040
77=A 个.
(2)上述七位数中,三个偶数排在一起的有7203
35
5=A A 个. (3)上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有
288223344=A A A 个.
(4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把4个奇数排好,再将3个偶数分别插入5个空档,共有14403
544=A A 个.
18.(12分) 32支球队分成8组,每组4支球队,进行单循环赛,每组取前二名,
一共应进行8×2
4C =48,16强队按程序进行淘汰赛决出前八名,应进行8场比赛,再决出4强,应进行4场比赛,决出冠军、亚军、三、四名,应进行4场比赛,故总计:48+8+4+4=64场比赛 19.(15分)
(1)先在6本书中任取一本.作为一本一堆,有1
6C 种取法,再从余下的五本书中任取两本,作为两本一堆,有2
5C 种取法,再后从余下三本取三本作为
一堆,有33C 种取法,故共有分法16C 25C 3
3C =60种.
(2)由(1)知.分成三堆的方法有16C 25C 3
3C 种,而每种分组方法仅对应一种分配方法,故甲得一本,乙得二本,丙得三本的分法亦为16C 25C 3
3C =60 种. (3)由(1)知,分成三堆的方法有16C 25C 3
3C 种,但每一种分组方法又有
33P 不同的分配方案,故一人得一本,一人得两本,一人得三本的分法有
16C 25C 33C 33P =360(种).
(4)3个人一个一个地来取书,甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有26C 种,甲不论用哪一种方法取得2本书后,已再从余下的4本书中取书有24C 种方法,而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后,丙从余下的两本中取两本书,有22C 种方法,所以一共有222426C C C =90种方法.
(5)把6本不同的书分成三堆,每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人二本的区别在于,后者相当于把六本不同的书,平均分成三难后,再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人.因此,设把六本不同的书,平均分成三堆的方法有X 种,那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应33X A •种,由(4)知,把六本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人
2本的方法有222426C C C 种.
所以32223
6
4
2
X A C C C •= ,则222642
3
3
15C C C X A == (种) 20.(14分) 证:依题意,这些小组中女生人数分别是C n 0,C n 1,C n 2,…,C n n
个.对于上述女生人数的每种情况,男生人数可以有C n 1,C n 2,…,C n n 个,根据乘法
原理和加法原理可得C n 0C n 1+C n 0C n 2+…+C n 0C n n +C n 1C n 1+…+C n 1C n 2+C n 2C n 1+C n 2C n 2
+…
+C n 2C n n +…C n n C n 1+C n n C n 2+…+C n n C n n =C n 0(C n 1+C n 2+…+C n n )+C n 1(C n 1+C n 2+…+C n n )+C n 2(C n 1+C n 2+…+C n n )+…+C n n (C n 1+C n 2+…+C n n )=(C n 1+C n 2+…
+C n n)(C n0+C n1+C n2+…+C n n)=(2n-1)2n
∴依题意所编成的小组共有2n(2n-1)个.。