容斥原理之重叠问题(二)

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容斥原理(二)含答案-

容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。

第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。

只有两次达到优秀的有多少人？例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的++---⨯=（人）方法二：664311210答：共有10个小朋友去了冷饮店。

例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。

已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。

问：只参加跑和投掷两项的有多少人？30人参的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参7。

答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。

例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。

问这个班最多多少人？最少多少人？满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。

另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。

当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。

答：这个班最多有46人，最少有39人。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。

升第八讲容斥原理之重叠问题

第八讲：容斥原理之重叠问题导入文氏图■■■■■■■■■■■■■■■文氏图，也叫维恩图”是由英国著名数学家Venn发明的.维恩（公元1834 年8月4日「公元1923 年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔.他1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员.维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图.■他作出一系列・简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔.利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理.为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例.虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz ）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作维恩图”另外, 维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作一一《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19 世纪末20世纪初曾享有很高的声誉.除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能一一制作机器.他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次.什么是容斥原理?这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子.我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳.如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关.但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠.比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次，计算人数的时候要把这一部分减去才行.比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7 + 10 - 3 = 14 人.这就是我们今天要来研究的问题一一有重叠的计数问题，即包含与排除问题•研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式.两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B 就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了•上述分析总结成公式就是：R总数=沖+丹一』、号重拄这个公式就是两个对象的容斥原理.练一练1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人•语文、数学都优秀的有多少人？2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对第二题的又38人，两题都答对的又15人，问全班又多少人？3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。

小学数学典型应用题之重叠问题

小学数学典型应用题之重叠问题一、含义重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。

二、解题思路和方法解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图，借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。

三、例题例题（一）：二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班，每人至少参加一项。

其中4人两个班都参加。

二（1）班一共有多少人？解析：（1）已知20人参加英语班，26人参加电脑班，一共有20+26-46（人）。

（2）这46人中，有4人两班都参加。

（3）也就是说这4人在英语班算了名额，在电脑班也算了名额，多算了一次。

（4）所以，全班的人数应是46=4=42（人）。

例题（二）：三（2）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。

那么只会下象棋的同学有多少名？解析：（1）方法一：至少会下一种棋的人数是42-10=32名，而两种棋都会下的有21+17-32=6名，所以只会下象棋的同学有21-6=15（名）。

（2）方法二：至少会下一种棋的人数是42-10=32（名），用至少会下一种棋的人数减去会下围棋的人数就是只会下象棋的同学，故共有32-17=15（名）。

例题（三）：全班50 人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。

两样都不会的有多少人？解析：（1）会骑自行车的有50-23=27人，会滑旱冰的有50-35=15人。

（2）那么至少会这两样其中一样的人有：27+15-4=38人。

（3）加上两样都不会的人，就是全班人数。

（4）所以两样都不会的人数有50-38=12人。

例题（四）：芳草地小学四年级的64人都会钢琴或画画中的一种，其中有58人学钢琴，43人学画画，问只学钢琴和只学画画的分别各有多少人？解析：（1）学了钢琴或画画的有73-9=64（人）。

(小学奥数)几何中的重叠问题

1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)．二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-3.幾何中的重疊問題1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】把長38釐米和53釐米的兩根鐵條焊接成一根鐵條．已知焊接部分長4釐米，焊接後這根鐵條有多長？【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接後這根鐵條長3853487+-=(釐米)．【答案】87釐米【巩固】把長23釐米和37釐米的兩根鐵條焊接成一根鐵條．已知焊接部分長3釐米，焊接後這根鐵條有多長？【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接後這根鐵條長：2337357+-=(釐米)．【答案】57釐米【例 2】兩張長4釐米，寬2釐米的長方形紙擺放成如圖所示形狀．把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方釐米？【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答例題精講圖中小圓表示A 的元素的個數，中圓表示B 的元素的個數，大圓表示C 的元素的個數．1．先包含：A B C ++ 重疊部分A B 、B C 、C A 重疊了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重疊部分A B C 重疊了3次，但是在進行A B C ++- A B B C A C --計算時都被減掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．图32厘米4厘米【解析】兩個長方形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為2釐米的正方形，如果利用兩個42⨯的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，被覆蓋面積=長方形面積之和-重疊部分．於是，被覆蓋面積4222212=⨯⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】12釐米【巩固】如圖3，一張長8釐米，寬6釐米，另一個正方形邊長為6釐米，它們中間重疊的部分是一個邊長為4釐米的正方形，求這個組合圖形的面積．【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答图3【解析】兩個圖形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為4釐米的正方形，如果利用長方形和正方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在長方形和正方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積=長方形面積+正方形面積-重疊部分．於是，組合圖形的面積：86664468⨯+⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】68平方釐米【巩固】一個長方形長12釐米，寬8釐米，另一個長方形長10釐米，寬6釐米，它們中間重疊的部分是一個邊長4釐米的正方形，求這個組合圖形的面積．【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】兩個長方形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為4釐米的正方形，如果利用兩個長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積=長方形面積之和-重疊部分．於是，組合圖形的面積12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】140平方釐米【例 3】三個面積均為50平方釐米的圓紙片放在桌面上(如圖)，三個紙片共同重疊的面積是10平方釐米．三個紙片蓋住桌面的總面積是100釐米．問：圖中陰影部分面積之和是多少？【考點】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答C BA10【解析】將圖中的三個圓標上A、B、C．根據包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總面積=(A圓面積B+圓面積C+圓面積-）（A與B重合部分面積A+與C重合部分面積B+與C重合部分面積+）三個紙片共同重疊的面積，得：100505050A=++-（）（與B重合部分面積A+與C重合部分面積B+與C重合部分面積10+），得到A、B、C三個圓兩兩重合面積之和為：16010060-=平方釐米，而這個面積對應於圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：60103=⨯+陰影部分面積，則陰影部分面積為：603030-=(平方釐米)．【答案】30平方釐米【巩固】如圖，已知甲、乙、丙3個圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，而3個圓覆蓋的總面積為73．求陰影部分的面積．【考點】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】設甲圓組成集合A，乙圓組成集合B，丙圓組成集合C．A B C===30，A B=6，B C=8，A C=5，A B C=73，而A B C=A B C+--A B B C A C A B C--+.有73=30×3-6-8-5+A B C，即A B C=2，即甲、乙、丙三者的公共面積(⑧部分面積)為2．那麼只是甲與乙(④)，乙與丙(⑥)，甲與丙(⑤)的公共的面積依次為6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有陰影部分(①、②、③部分之和)的面積為73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等，都等於60平方釐米．陰影部分的面積總和是40平方釐米，3張板蓋住的總面積是100平方釐米，3張紙板重疊部分的面積是多少平方釐米？【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】了三次．所以三張紙重疊部分的面積60310040220（）(平方釐米)．=⨯--÷=【答案】20平方釐米【巩固】如圖所示，A、B、C分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為38．若A與B、B與C的公共部分的面積分別為8、7，A、B、C這三張紙片的公共部分為3．求A與C公共部分的面積是多少？【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】設A與C公共部分的面積為x，由包含與排除原理可得：⑴先“包含”：把圖形A、B、C的面積相加：12281656++=，那麼每兩個圖形的公共部分的面積都重複計算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，這樣一來，三個圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補回．⑶再“包含”：56873x---+，這就是三張紙片覆蓋的面積．根據上面的分析得：5687338x=．x---+=，解得：6【答案】6。

重叠问题(容斥问题)

重叠问题姓名容斥原理就是在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

公式法：运用容斥原理一：A∪B＝A＋B－A∩B，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题（A∪B表示两个集合的并集，A、B表示两个集合，A∩B表示两个集合的交集）。

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：A∪B读作：“A并B”运用容斥原理二：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C，这一公式可计算出三个集合的有关问题。

（A∪B∪C表示三个集合的并集，A、B、C表示三个不同的集合，A ∩B、A∩C、B∩C表示两个不同集合的交集，A∩B∩C表示三个集合的交集）例:一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？例：某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？练习: 有100位旅客，其中10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语。

那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人？例：某校有三个兴趣小组，体育、书法和美术。

已知参加这三个兴趣小组的学生人数分别是25人、24人和30人。

同时参加体育、书法兴趣小组的有5人，同时参加体育、美术兴趣小组的有2人，同时参加书法、美术兴趣小组的有4人，有1人同时参加了这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组？练习：某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。

而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。

5.3 容斥原理(二)

博易新思维数学
五年级秋季拓展版
5.3 容斥原理（二）
容斥原理一：
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数
=A类元素个数＋B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数。
A
B
C
A或B的个数=A＋B－C
准备题1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有 12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
128＋145＋136－75－56－82＋13 =209（个）
答：六年级一共有209个学生。
例2：某校六(1)班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有 34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人?
红色白色黑色红、白色红、黑色白、黑色红白黑三色
95 102 89
34
42
54
21
求活动现场的观众有多少？
喜欢3种颜色的人：95＋102＋89－34－42－54＋21 =177(人) 现场的观众：177＋35=212(人)
答：活动现场的观众有212人。
例5：在1到100的自然数中：（1）是3的倍数或是5的倍数的数共有多少个？
数学得满分 15人
4人
语文得满分 12人
语数都得满分
15＋12－4=23(人)
答：这个班至少有一门得满分的同学有23人。
准备题2：有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将作有记号的地方剪断，绳子共被剪成多少段？
3厘米作记号 60段
4厘米作记号 45段

三年级上册数学重叠问题

三年级上册数学重叠问题一、引言在小学数学学习中，三年级上册数学是一个承上启下的阶段，对于学生后续数学学习具有重要意义。

其中，重叠问题是一个相对较难但非常重要的知识点。

本文将通过具体案例，深入探讨三年级上册数学重叠问题的概念、解题方法和应用场景，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。

二、重叠问题的概念重叠问题是指两个或多个集合元素同时属于两个或多个集合的情况。

在三年级上册数学中，常见的重叠问题包括容斥原理、两堆物体等问题。

这类问题需要学生们能够准确识别元素的重叠情况，并运用适当的数学原理进行求解。

三、解题方法1. 列举法：对于简单的重叠问题，可以通过列举法直接求解。

例如，有两个盒子，其中一个盒子中有3个红球和2个白球，另一个盒子中有2个红球和3个黑球。

求至少有一个红球但颜色未知的球的总数。

通过列举，我们可以得到共有5个球。

2. 容斥原理：容斥原理是一种常用的解题方法，适用于两个集合之间存在重叠的情况。

通过将重叠元素的个数加到两个集合的并集元素个数上，再减去重复计算的部分，可以求出最终结果。

例如，有5个男生和3个女生参加了数学竞赛，问至少有一个男生参加竞赛的学生人数。

根据容斥原理，至少有一个男生参加竞赛的学生人数为5+3-1=7人。

3. 画图法：对于较复杂的问题，可以通过画图来帮助理解。

通过将重叠部分用阴影标出，可以直观地看到元素的分布情况，从而快速找到答案。

四、应用场景重叠问题在日常生活和工作中也经常出现，如运动会报名、志愿者招募等。

学生们可以通过解决重叠问题培养逻辑思维和判断能力，为未来的学习和工作打下基础。

例如，在志愿者招募中，如果有两个志愿者团队同时申请了一些职位，就需要用到重叠问题的知识来计算最终的招募结果。

又如，在超市购物时，需要计算会员卡同时属于两种会员类型的人数，从而决定是否给予优惠。

五、总结三年级上册数学重叠问题是一个相对较难但非常重要的知识点，需要学生们认真理解和掌握。

通过列举法、容斥原理等解题方法，我们可以解决各种类型的重叠问题。

容斥原理（2）

容斥原理例1一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。

(1)订阅报纸的总人数是多少？(2)两种报纸都没订阅的有多少人？例2有62名学生，其中会弹钢琴的有1 1人，会吹竖笛的有56人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3艺术节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有23幅不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。

其他年级参展的画共有多少幅？例4五(1)班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：例5某班有60名同学参加乒乓球、羽毛球和足球三个兴趣小组，参加乒乓球兴趣小组的有32人，参加羽毛球兴趣小组的有22人，参加足球兴趣小组的有28人，有20人既参加乒乓球兴趣小组又参加羽毛球兴趣小组，有18人既参加乒乓球兴趣小组又参加足球兴趣小组，有16人既参加羽毛球兴趣小组又参加足球兴趣小组。

已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个兴趣小组都参加的学生有多少人？例6某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一种。

结果学习英语的有20人，学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学了英语又学了日语，有2人既学了日语又学了德语，没有人同时学习三种语言。

那么，既学英语又学德语的有多少人？例7松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。

有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。

求：(1)只参加数学竞赛的有多少人？(2)只参加作文竞赛的有多少人？(3)只参加美术竞赛的有多少人？练习与思考：1．四(2)班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。

容斥原理题库教师版

欢迎阅读7-7容斥原理教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.冷知识精讲知识点说明一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算. 求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AUB=A，B-AriB（其中符号“.”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ •”读作“交”，相当于中文“且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理•图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：Ap|B，即阴影面积•图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AP1B，即阴影面积.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AUB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合 A B的元素个数，然后加起来，即先求 A Af意意思是把A B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C二AP1B（意思是“排除”了重复计算的元素个数）.二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和二A类元素的个数B类元素个数C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数•同时是A类、B 类、C类的元素个数.用符号表示为： A U B Uc =A • B • c-A D B-B FI C - A D C価Bn C .图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数. A B C _A^B _BP]C _ A"C 图（韦恩图）来帮助分析思考.A PIB PI CABC- A 「|B -BflC -A^C 【例1】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上，覆盖面积有【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分"B ，重叠部分恰C 子是边长为2厘米的正方形，如果利用两个4 2的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以，被覆盖面积二长方形面积之和-重叠部分.于是，被覆盖面积=4 2 2 -2 2 =12（平方厘米）.【巩固】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38 53-4 =87（厘米）.【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条. 已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长： 23,37-3=：57（厘米）.【例2】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加.这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C （阴影部分）表示同时参加两个小组的人.图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28 -12 =16（人）；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29 -12 =17（人）.方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有： 16 12 *17=45（人）.方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人 =参加语文兴趣小组的人 +参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28 29-12 =45（人）.【巩固】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚. 建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义. ABCA“B 、Bf]C 、C^A 重叠了 2次，多加例题精讲先包含: 重叠部分了 1再排除:在解答有关包含排除问题时,1板块一、两量重叠问题如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43—37=6（人），图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：58—37 =21（人）. 【例3】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了.已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人•这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【解析】不妨用下图来表示：线段AB表示全班人数，线段AC表示做完语文作业的人数，线段DB表示做完数学作业的人数，重叠部分DC则表示语文、数学都做完的人数.根据题意，做完语文作业的有37人，即AC =37 .做完数学作业的有42人，即DB = 42 .AC DB =37 42 =79（人）............ ①AB =48（人）...... ②①式减②式，就有DC =79 —48=31（人）所以，数学、语文作业都做完的有31人.【巩固】四年级科技活动组共有63人.在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人.每个同学都至少完成了一项活动. 问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】因42 *34=76，76 63，所以必有人同时完成了这两项活动.由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，42-34 —（完成了两项活动的人数）=全组人数，即76 —（完成了两项活动的人数）=63 .由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76 -63=13（人）.也可画图分析.【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人.这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：10・18-7=21（人）.【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【解析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人.图中A圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有32-18=14（人）;图中B圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有28-18=10（人）.由此得到参加棋类比赛的人有14 1810 =42（人）.或者根据包含排除法直接得：32 • 28-18 =42（人）.【例4】（第二届小学迎春杯数学竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语.问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：100-10=90（人）.又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：90-75 =15（人）.从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83-15 =68（人）就是既懂英语又懂俄语的旅客.方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：A U B=AB - A D B=75 83 -90 =68（人）.【巩固】47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人.问：两门都在95分以上的有多少人？【解析】如图，用长方形表示这47名学生，A圆表示语文得分95分以上的人数，B圆表示数学得95分以上的人数，A与B重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数.由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上人数为：4 7一22 2（5人）.根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为：14 21 —25=10（人）.【巩固】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了.这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数.根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12 *23—5 =30（人）.所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46 -30=16（人）. 【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了.一班有多少人两项比赛都没有参加？【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26-22—12 =36（人），所以，两项比赛都没有参加的人数为：45—36=9（人）.【巩固】某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？如图，用长方形表示参加考试的人数，A圆表示第一部分对【解析】的人数.B圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数.已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：25-12=13（人）.又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19-13=6（人）必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人.【巩固】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人.两项都会的有10人，两项都不会的有9人.这个班一共有多少人？【解析】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数.由图中可以看出，全班人数二至少会一项的人数•两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20-25-10=35（人），全班人数为：35 9 =44 （人）.【例5】在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数.长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数.由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46-6=40（人），而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：40-18-7 = 15（人）. 【例6】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃.那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？【解析】68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的, 说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的.如图，用圆A表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃.因甲乙两组共擦了60块玻璃，那么68 • 52 -60 =60 （块），这是两个丙组擦的玻璃数.60"2=30（块）.丙组擦了30块玻璃.乙组擦了：68-30 = 38（块）玻璃，甲组擦了：52 -30=22（块）玻璃.【巩固】育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16,通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13 幅，六年级画作有12幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3幅.【例7】一次数学测验，甲答错题目总数的1，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的〕o4 6求甲、乙都答对的题目数.【解析】（法一）设共有n道题。

第11讲重叠问题

第11讲重叠问题容斥原理一：总量C = A + B –AB 这一公式可计算出两个集合圈的有关问题。

（A对应的量为a,B对应的量是b）AA BB C容斥原理二：总量D = A + B +C –AB-AC-BC+ABC，这一公式可计算出三个集合圈的有关问题。

（A对应的量是b,C对应的量是c）(一)例题1、某班学生每人都要到图书馆借课外书；借语文书的39人，借数学书的32人，语文、数学两科书都借的有26人。

问全班学生共几人？（答案：45）2、暑假期间，有12名同学去冷饮店，有6个人要可乐，有5人要雪碧，有3个人既要可乐又要雪碧，有2个人既要雪碧又要果汁；有1个人既要可乐、雪碧，又要果汁。

问有没有人什么冷饮都没有要，如果有的话，有几个人？（答案：3）3、某班学生中78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢看小说，该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少？（答案：30%）4、某班参加升学考试，得满分人数如下：语文20人，数学20人，英语20人，语文、数学两科满分8人，数学、英语两科满分7人，语文、英语两科满分9人，三科都没有满分3人，问这个班最多多少人？最少多少人？（答案：46、39）5、某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。

而且喜欢语文和数学（但不喜欢外语）的有6人，喜欢数学和外语（但不喜欢语文）的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。

问有多少同学只喜欢语文？（答案：26）6、有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图）。

三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米，问：图中阴影部分的面积之和是多少？（答案：8）7、分母是385的最简真分数有多少个？（答案：240）（二）练习1、某区100个外语老师懂英语或俄语，其中懂英语的75人，既懂英语又懂俄语的20人，那么懂俄语的教师多少人？（答案：45）2、在桌面上放置三个两两重叠的圆纸片（如图），它们的面积都是120平方厘米，并知A、B两圆重叠面积是40平方厘米，A、C两圆重叠面积是65平方厘米，B、C两圆重叠面积是45平方厘米，三个圆共同重叠面积为32平方厘米。

四上第十单元 1.重叠问题 2.方阵问题 3.编码(北京课改版数学百花园)(附答案)

第十单元数学百花园模块一重叠问题（容斥原理）能力提升训练【例题1】四（2）班共有42人，其中会打篮球的有21人，会游泳的有17人，两种运动都不会的有10人，两种运动都会的有多少人？【练习1】四（1）班在一次语文、数学测试中，有32人语文获优，有35人数学获优，其中语文、数学都获优的有28人，语文、数学都没有获优的有6人。

四（1）班共有学生多少人？【例题2】红星小学举办绘画展览。

展示栏展出一至六年级的绘画作品，其中有24幅作品不是一年级的，有22幅作品不是二年级的，一、二年级参展的绘画作品共有8幅，三至六年级参展的绘画作品共有多少幅？【练习2】学校科技室里展出每个年级的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。

三至六年级参展的作品共有多少件？【例题3】把三根长为10厘米的筷子绑在一起，其中绑在一起的部分长1厘米，那么，绑成后的这根筷子长多少厘米？【练习3】把两根同样长的木条钉在一起，钉成一根长47厘米的木条，中间重叠部分（阴影部分）长11厘米（如下图）。

每根木条长多少厘米？47厘米14厘米【例题4】把四根长为40厘米的尺子，绑成一根长为130厘米的长尺子，那么每两根尺子中间的重叠部分长多少厘米？【练习4】把五根长为40厘米的尺子，绑成一根长为160厘米的长尺子，那么每两根尺子中间的重叠部分长多少厘米？【例题5】四（1）班有48人，其中喜欢看《奥特曼》的有32人，喜欢看《喜羊羊与灰太狼》的有38人，有25人两种动画片都喜欢看。

那么：（1）只喜欢看《奥特曼》而不喜欢看《喜羊羊与灰太狼》的有多少人？（2）只喜欢看《喜羊羊与灰太狼》而不喜欢看《奥特曼》的有多少人？（3）有多少人两种动画片都不喜欢看？【练习5】四（1）班同学中喜欢看《喜羊羊与灰太狼》的有32人，喜欢看《成龙历险记》的有25人，两种动画片都喜欢看的有8人，喜不喜欢看的有2人，五（1）班一共有多少人？【例题6】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【练习6】三（1）班的学生参加活动班（每人至少参加一个），参加作文班的有18人，参加音乐班的有20人，参加奥数班的有24人。

容斥原理_教师版

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识点说明一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．知识精讲教学目标7-7 容斥原理1．先包含——A B + 重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．板块一、两量重叠问题【例 1】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？图32厘米4厘米【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【巩固】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，1．先包含：A B C ++ 重叠部分AB 、BC 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---3853487+-=(厘米)．【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【例 2】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28291245+-=(人)．【巩固】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．如图，A 圆表示学画画的人，B 圆表示学钢琴的人，C 表示既学钢琴又学画画的人，图中A 圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．【例 3】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【解析】不妨用下图来表示：C BA CBA线段AB 表示全班人数，线段AC 表示做完语文作业的人数，线段DB 表示做完数学作业的人数，重叠部分DC 则表示语文、数学都做完的人数．根据题意，做完语文作业的有37人，即37AC =．做完数学作业的有42人，即42DB =．374279AC DB +=+=(人) ①48AB =(人)②①式减②式，就有794831DC =-=(人)所以，数学、语文作业都做完的有31人．【巩固】四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．也可画图分析．【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018721+-=(人)．【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【解析】如图，A 圆表示参加象棋比赛的人，B 圆表示参加军棋比赛的人，A 与B 重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有321814-=(人)；图中B 圆两项比赛都参加的只参加军棋比赛的只参加象棋比赛的BA不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有281810-=(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14181042++=(人)．或者根据包含排除法直接得：32281842+-=(人)．【例 4】 (第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315-68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．【巩固】名学生参47加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？【解析】如图，用长方形表示这47名学生，A 圆表示语文得分95分以上的人数，B 圆表示数学得95分以上的人数，A 与B 重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数．由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数与两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上的人数为：472225-=(人)．根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为：14212510+-=(人)．【巩固】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为1223530+-=(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是463016-=(人)．【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？两门都不在95分以上的数学95分以上的语文95分以上的两门95分以上的AB【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236+-=(人)，所以，两项比赛都没有参加的人数为：45369-=(人)．【巩固】某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数，A 圆表示第一部分对的人数．B 圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数．已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：251213-=(人)．又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19136-=(人)必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人．【巩固】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【解析】如图，用长方形表示全班人数，A 圆表示会游泳的人数，B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20251035+-=(人)，全班人数为：35944+= (人)．【例 5】在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A 圆表示采了樱桃的人数，B 圆表示采了杏的人数．长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46640-=(人)，而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，所以，只采了杏AB既采樱桃又采杏的既没采樱桃又没采杏的两部分全对的两部分都有错的只做对第二部分的只做对第一部分的会打篮球的会游泳的两项都会的两项都不会的BA的人数为：4018715--=(人)．【例 6】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？【解析】 68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的．如图，用圆A 表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B 圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃．因甲乙两组共擦了60块玻璃，那么68526060+-=(块)，这是两个丙组擦的玻璃数．60230÷=(块)．丙组擦了30块玻璃．乙组擦了：683038-=(块)玻璃，甲组擦了：523022-=(块)玻璃．【巩固】育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16，通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15，那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3幅．【例 7】一次数学测验，甲答错题目总数的14，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的16。

2容斥原理（学生）

两量重叠：在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-（其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思。

）则称这一公式为容斥原理。

图示如下:（A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积。

图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积。

）【例1】学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。

这一行座位有多少个？【拓展】同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。

这一排共有多少个同学？第二讲容斥原理知识概述例题精讲B 计算了A B A B +-次的重叠部分A B 减去。

【例2】同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。

小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。

跳舞的共有多少人？【拓展】为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。

鲜花队共多少人？【拓展】洗好的8块手帕用夹子夹在绳子上晾干，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同1个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子?【例3】把10块木块用铁钉钉成一条长木条，每两块之间加钉4个，如下图，共需钉上多少个钉？【拓展】把10张图片用图钉像下图那样钉在橱窗里，一共要用多少个图钉?【例4】把两根长为20厘米的筷子用绳子捆成一根长筷子，中间捆在一起的重叠部分是3厘米。

捆成的长筷子长多少厘米？【拓展】有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是10厘米，钉成的木板长多少厘米？【例5】两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？【拓展】两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？【拓展】有两根铁丝，一根长为30厘米，另一根长为50厘米，将这两根铁丝焊接成一根长为75厘米的长铁丝。

小学奥数教程：容斥原理之重叠问题（二）全国通用（含答案）

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标例题精讲知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．模块一、三量重叠问题【例 1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。

小学奥数专题-重叠问题(精华版)

小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。

重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。

学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。

下面小编给大家分享解决重叠的方法。

1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。

明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。

这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。

4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。

这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。

5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。

容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。

一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

这段更长的纸条长30厘米，中间重叠的部分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度）两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。

5.3 容斥原理(二)(教案教学设计导学案)

5.3 容斥原理（二）学习目标:1.理解容斥原理（一）（二），会画韦恩图分析其中关系，正确找出答案；2.培养学生的逻辑思维和数学思考能力；3.培养学生良好的书写习惯。

教学重点:理解容斥原理（二），会画韦恩图分析。

教学难点：容斥原理的一些变式题的分析理解教学过程：一、情境体验展示图片师：还记得图中这家人吗？这里有几对父子呢？学生回答，师用韦恩图表示出来。

师：有两对父子，因为爸爸既是爷爷的儿子，又是儿子的爸爸，所以只有爷爷、爸爸、儿子三个人，爸爸重复计算了一次。

那么图中有几对母女呢？学生回答师：这是三年级学习的简单的重叠问题，其实呢还可以称之为容斥原理（一），是指如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数=A类元素个数＋B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数。

（师画出韦恩图，进行讲解）师：如果被计数的事物有三类，又该怎么解决呢？今天我们重点来学习容斥原理（二）（板书课题：容斥原理二）师：首先我们来看两道准备题复习回顾有关容斥原理（一）的相关知识。

师和学生一起完成准备题1、2师：结合韦恩图可以发现，容斥原理（一）A或B的个数=A＋B－C是两个圆圈代表的数量之和减去两两重叠部分。

那么大家看书本上写的容斥原理（2）的文字和图形，很明显，就应该是三个圆圈代表的数量之和减去它们两两重叠部分，即为A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C。

最后的三者重叠部分怎么办呢？学生思考师引导学生画韦恩图分析，发现减去两两重叠部分的时候，已经把三者重叠部分都减掉了，所以最后应该加上一个三者重叠部分。

即A或B或C的个数= A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C二、思维探索展示例1例1：五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其中有51人带了汽水，有48人带了可乐，有32人带了果汁，有16人带了汽水、可乐两种饮料，有11人带了可乐、果汁两种饮料，有13人带了汽水、果汁两种饮料，另外还有7人带了汽水、可乐和果汁三种饮料。

三个量重叠的容斥原理 -回复

三个量重叠的容斥原理-回复什么是容斥原理？容斥原理是组合数学中的一种计数方法，用于解决涉及多个集合的问题。

容斥原理通过计算每个集合的大小，并用这些大小的和减去每两个集合的交集的大小，并加上每三个集合的交集的大小，以此类推。

该原理可以用于各种计数问题，例如排列组合、概率等。

三个量重叠的容斥原理是指当涉及到三个集合之间的交集时，如何应用容斥原理来计算不重叠的组合数量。

本文将详细介绍如何运用三个量重叠的容斥原理来进行计算，并给出一些实例来帮助读者理解。

首先，我们来考虑一个简单的问题：有甲乙丙三个集合，每个集合都包含10个元素。

我们想要计算出这三个集合中至少存在一个元素的组合数量。

首先，我们可以计算出每个集合中的元素数目，即10。

那么根据容斥原理，我们可以得到：A \cupB \cupC = A + B + C - A \cap B - A \cap C - B \cap C + A \cap B \cap C其中，“A ”表示集合A的元素数目。

根据题目要求，每个集合都包含10个元素，因此“A = B = C = 10”。

而交集的大小可以根据题目给出的条件来计算。

在这个问题中，由于甲乙丙三个集合之间没有具体的关系，我们可以假设任意两个集合之间的交集的大小为0，即“A \cap B = A \cap C = B \cap C = 0”。

那么我们可以得到：A \cupB \cupC = 10 + 10 + 10 - 0 - 0 - 0 + A \cap B \cap C为了计算出交集“A \cap B \cap C ”，我们需要利用到题目中给出的两个集合之间的关系。

在本问题中，没有给出具体的关系，因此我们可以假设交集的大小为0，即“A \cap B \cap C = 0”。

将上述数值代入公式中，我们可以得到：A \cupB \cupC = 10 + 10 + 10 - 0 - 0 - 0 + 0 = 30因此，这三个集合中至少存在一个元素的组合数量为30。

几何中的重叠问题

来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C A B (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数既是 B 类又是 C 类的元素个数既是 A 类又是 C 类的元素个数同时是 A 类、 B 类、 C 类的元素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下：
1．先包含—— A B 重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了1 次；
2．再排除—— A B A B 把多加了1次的重叠部分 A B 减去．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合 A、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A B (意思是把 A、B 的一切元素都“包含”进
图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数，大圆表示 C 的元素的个数．
1．先包含： A B C 重叠部分 A B 、B C 、C A 重叠了 2 次，多加了1 次．
2．再排除： A B C A B B C A C 重叠部分 A B C 重叠了 3 次，但是在进行 A B C A B B C A C 计算时都被减掉了．
【例 4】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于 60 平方厘米．阴影部分的面积总和是 40 平方厘米，3 张板盖住的总面积是 100 平方厘米，3 张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？
【巩固】如图所示， A 、 B 、 C 分别是面积为12 、 28 、16 的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为 38 ．若 A 与 B 、 B 与 C 的公共部分的面积分别为 8 、 7 ， A 、 B 、 C 这三张纸片的公共部分为 3 ．求 A 与 C 公共部分的面积是多少？