函数的单调性与导数 课件

【典型例题】
1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减，则实数a的取
值范围为( )
A.a≥1
B.a=1
C.a≤1
D.0<a<1
2.已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3，-1)上不单调，则实数k的
取值范围是______.
3.(2013·天津高二检测)设函数f(x)=ax3+ 3 (2a-1)x2-6x
【解析】1.选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1，f(x)在(0,1)内单调 递减，所以f′(0)≤0,f′(1)≤0,所以a≥1. 2.因为f′(x)=3x2-k.当k≤0时，f′(x)≥0，不合题意，舍 去，所以k>0. 令f′(x)=0,则 x k .
3
因为在(-3,-1)上函数不单调，
________，单调递增区间为_______.
3.讨论函数f(x)=x2－aln x(a≥0)的单调性.
【解题探究】1.解含有对数函数的问题，应注意什么？利用 导数求函数的单调区间,其实质是什么? 2.如何求多项式乘积形式函数的导数？ 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是什么?
探究提示： 1.(1)要注意对数函数的定义域,即真数大于零.(2)求函数的单 调区间就是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集. 2.求多项式乘积式的导数,可以利用积的导数法则求解,也可以 把乘积式展开,利用和与差的导数法则求解. 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是对参数进 行分类讨论,然后在参数的不同情况下,分别求出结果.
x2
1 a
,
因为f(x)在(-∞,-3)上是增函数，即x<-3时，f′(x)>0恒成
立，a>0时，则-2>-3恒成立，即a>0.
a<0时，不合题意.
综上所述，实数a的取值范围是［0,+∞).
【互动探究】将题2改为“在区间R上单调”，则实数k的取值 范围是______. 【解析】由f′(x)=3x2-k，显然不存在实数k使f′(x)<0恒成立， 若f′(x)≥0,即3x2-k≥0在R上恒成立，只需k≤0，所以k的取 值范围是(-∞,0］. 答案:(-∞,0］
所以f′(x)>0，因此函数f(x)= ex 在 e1(x0,+∞)上是增函数.
类型 二 求函数的单调区间
【典型例题】
1.函数 y 1 x2 ln x 的单调递减区间为( )
2
A.(-1,1］
B.(0,Hale Waihona Puke )C.［1,+∞)
D.(0,+∞)
2.已知函数f(x)=x2(x－3)，则f(x)在R上的单调递减区间是
2
2
当x∈(0， 2a)时，g(x)<0，即f′(x)<0；
2
当x∈( 2，a +∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0.
2
所以当a>0时，函数f(x)在区间(0， 2a)上为减函数，在区间
2
( 2，a +∞)上为增函数.
2
综上，当a=0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，+∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间是( 2，a +∞)，单调递
区间是(-∞，0)和(2，+∞).
答案:(0，2) (-∞，0)和(2，+∞)
3.函数f(x)的定义域是(0，+∞)，
f (x) 2x－a 2x2－a， xx
设g(x)=2x2－a，由g(x)=0得2x2=a.
当a=0时，f′(x)=2x>0，函数f(x)在区间(0，+∞)上为增函数；
当a>0时，由g(x)=0得x 2a或 x (舍2去a ).
2
(a∈R),若函数f(x)在区间(-∞,-3)上是增函数，求实数a的
取值范围.
【解题探究】1.函数在某个区间上单调递增(或递减)应满足什 么条件? 2.函数y=f(x)在某个区间上不单调指的是什么? 3.函数中含有参数问题的一般解题策略是什么?
探究提示： 1.如果函数在某个区间上单调递增(或递减),那么函数在这个 区间上的导数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立. 2.函数y=f(x)在某个区间上不单调指的是在这个区间上既有 增区间又有减区间或为常函数，即导函数在这个区间上有零 点. 3.解题中要根据实际情况,对参数进行分类,利用分类讨论的思 想求解.
【拓展提升】 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参 数范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意. (2)先令f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，求出参数的取值范围后，再验 证参数取“=”，看此时f(x)是否满足题意.
类型 一 判断函数的单调性 【典型例题】 1.设f′(x)是函数f(x)的导数,y=f′(x)的图象如图所示，则 y=f(x)的图象最有可能是选项中的( )
2.证明：f(x)=
ex
1 ex
在(0,+∞)上是增函数.
【解题探究】1.函数的单调性与导函数的图象有何关系？ 2.利用导数证明函数在某区间上是增函数的关键是什么? 探究提示： 1.对于函数y=f(x)，x∈(a,b),导函数的图象在x轴上方的区间， 对应的函数y=f(x)在这个区间内单调递增；导函数的图象在x轴 下方的区间，函数y=f(x)在这个区间内单调递减. 2.要证明函数在某区间上是增函数,只需证明导函数f′(x)≥0.
函数的单调性与导数
一、函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a,b)内的函数y=f(x)， (1)如果_f_′__(_x_)_>_0_，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. (2)如果_f_′__(_x_)_<_0_，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
思考：函数y=f(x)是定义在R上的增函数，f′(x)>0是否一定 成立？ 提示：不一定成立.例如y=x3在R上是增函数,但其在0处的导 数为零,故f′(x)>0是y=f(x)在某区间上是增函数的充分不必要 条件.
二、函数单调性与导数值大小的关系 一般地，设函数y=f(x)，在区间(a,b)上 (1)如果|f′(x)|越大，函数在区间(a,b)上变化得_越__快__，函 数的图象就比较“陡峭”(向上或向下). (2)如果|f′(x)|越小，函数在区间(a,b)上变化得_越__慢__，函 数的图象就比较“平缓”(向上或向下).
【解析】1.选B.由 y (1 x2 ln x) x 1 ＜0
2
x
⇒0<x＜1,或x<-1，又函数的定义域为(0,+∞)，故单调递减
区间为(0,1).
2.f′(x)=3x2-6x,由f′(x)>0得x>2或x<0；
由f′(x)<0得0<x<2.
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，2)，函数f(x)的单调递增
所以-3<- k<-1,即3<k<27.
3
答案:3<k<27
3.f′(x)=3ax2+3(2a-1)x-6=3(ax-1)(x+2).
(1)若a=0,则f′(x)=-3(x+2)＞0⇒x＜-2,此函数在(-∞,-2)
上单调递增,从而在(-∞,-3)上单调递增，满足条件.
(2)若a≠0,则令f′(x)=0,得x1=-2,
2
减区间是(0， 2a).
2
【互动探究】若把题3中的条件“a≥0”改为“a<0”,结果如何？ 【解析】函数f(x)的定义域是(0，+∞)，
设f (gx)(x)2=x－ 2xxa2-a2，x2x当－aa，<0,g(x)>0,进而f′(x)>0.所以函数f(x) 在(0，+∞)上是增函数.
类型 三 利用导数求参数的取值范围
【解析】1.选B.由y=f′(x)的图象得：当-1<x<1时，f′(x)>0, 所以y=f(x)在(-1,1)上单调递增. 因为当x<-1和x>1时，f′(x)<0,所以y=f(x)在(-∞,-1)和(1， +∞)上分别单调递减.综合选项得只有B正确.
2.因为f(x)= ex ,e所1x 以f′(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1), 当x∈(0,+∞)时，由指数函数的性质知e-x>0,e2x>1，
2.恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max. (2)m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.