数字信号处理第二章
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
应用（2-15）式，必须满足X(z)zn-1分母多项式z的阶 次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。 Res[ ]表示极点处的留数。
Βιβλιοθήκη Baidu
留数的求法：
1、当Zr为一阶极点时的留数：
Re s[ X ( z ) z n1 ]Z Z r [( z zr ) X ( z) z n1 ]z zr
当
z a 时，这是无穷递缩等比级数。
1
a1 1 z q az , S 。 1 1 q 1 az za z a为极点，在圆 z a 外， X ( z )为解析函数，故收敛。
j Im[ z ]
z 收敛域： a
0
a
z
Re[ z ]
*右边序列的z变换的收敛域一定在模值最 大的有限极点所在圆之外。
2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
Re s[ X ( z ) z
l 1
n 1
] z zr
1 d l n 1 [( z z r ) X ( z ) z ] z zr l 1 (l 1)! dz
1 , z 4，求z反变换。 [例2-4] 已知 X ( z ) 1 4 (4 z )( z ) 4
[例2-2] 求序列 x(n) a u(n) 的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
a n u (n) z n a n z n (az 1 ) n
n 0 n 0
1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
z2
解:
X ( z) z
n 1
z n 1 1 (4 z )( z ) 4
1）当n≥-1时,z 不会构成极点，所以这时 C内只有一个一阶极点 z 1 因此 r 4 1 n 1 x(n) Re s[ z /( 4 z )( z )] 1 4 z 4
1 n 1 ( ) 4 1 4 n , n 1 1 15 4 4
X ( z ) x(n) z , 若 x(n) z
n n n1 n2 n
.
n1 0 n2
.
n
，n1 n n2 ;
考虑到x(n)是有界的，必有 z n ，n1 n n2 ;
因此，当n 0时， n 1 / z n , 只要z 0，则 z n z 同样，当n 0时， n z , 只要z ，则 z n z
Rx
z Rx
Rx z Rx
j Im[ z ]
Re[ z ]
Rx Rx
[例2-1] 求序列 x(n) (n) 的Z变换及收敛域。
解：这相当
n1 n2 0 时的有限长序列，
Z [ (n)]
n
(n)Z
n
Z 1
0
其收敛域应包括 z 0, z , 即 0 z , 充满整个Z平面。
(3). 右边序列
x(n) ... n1 0 1
n
有非零值, n n1 x ( n) n n1 0,
..
n
n
X ( z)
n n1
x ( n) z
n
n n1
x ( n) z x ( n) z
n 0
1
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,
1.只给Z变换的闭合表达式是不够的，是不 能正确得到原序列，必须同时给出收敛 域范围，才能唯一地确定一个序列。 2.X(z)在收敛域内解析不能有极点 右边序列的Z变换收敛域一定在模最大的 极点所在的圆外 左边序列的Z变换收敛域一定在模最小的 极点所在的圆内。
§2-3 Z反变换
一.定义：
从给定的Z变换闭合式X(z)及其收敛域中
§2-1 引言
信号与系统的分析方法有时域分析方法、 变换域分析方法。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，经典时域分析法， 时域分解，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，差分方程 的求解，卷积和。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
n n 1
n2
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 z Rx ; j Im[ z ] R x 为最大收敛半径 .
故收敛域为0 z Rx
Re[ z ]
z Rx
如果n2≤0,则（2-7）式右端不存在第二项， 故收敛域应包含z=0，即 |Z|<Rx+
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
b z 故其和为X ( z ) 1 1 b z z z b 收敛域：z b
1
j Im[ z ]
Re[ z ]
b
*左边序列的z变换的收敛域一定在模值最小的有限极点 所在圆之内。
由以上两例看出，如果a=b，则一个左边序列与一个 右边序列的z变换表达式是完全一样的。
n 1
1 n 15 4 , 因此x(n) 1 4n2 , 15
n 1 n 2
2.部分分式展开法
一般X(z)是z的有理分式，可表示成
B( Z ) X (Z ) A( Z )
A(Z)及B(Z)都是变量z的实数系数多项式并且没有 共因式，则可将X(Z)展成部分分式的形式，然后求 每一个部分分式Z 反变换，将各个反变换相加起来， 就得到所求x(n).
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,
R x z Rx
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
i 1
bi z i
M
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 zk z (1 zi z 1 ) k n 0 k 1 k 1 M N M r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为：
还原出原序列x(n)，称为Z反变换。
记作：x(n) Z [ X ( z )]
1
二.求Z反变换的方法
求Z反变换的方法通常有三种： 围线积分法（留数法），部分分式展开法和长除法
1.围线积分法（留数法） z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,
R x z Rx
二.Z变换的收敛域
1.定义: 只有当（2-1）式的幂级数收敛时，Z变 换才有意义。 对任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收 敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域. 2.收敛条件： 按照级数理论，（2-1）式的级数收敛的充 要条件是满足绝对可和的条件
即要求： x(n) z
n
n
它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔
定理可知收敛域为：
Rx z
(5)左边序列
x(n)
有非零值, n n2 x ( n) n n2 0,
X ( z)
0
0
n2 n
n
x ( n) z
n
n2
n
n
x ( n) z
x(n) z （2-7）
A Re s[ X ( z ) ] z z zk k 1 d r k r x( z ) Ck r k [( z zi ) (r k )! dz z z z , k 1, 2r i
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
§2-2 Z变换的定义与收敛域
一.Z变换的定义 若序列为x(n),则幂级数
X ( z ) Z [ x(n)]
n
x(n) z （2-1）
n
称为序列x(n)的Z变换，其中Z为变量。 *实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。
第一项为有限长序列,其收敛域为0≤|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞; Rx-为最小收敛半径。
j Im[ z ]
Re[ z ]
收敛域
Rx
(4)因果序列
有非零值, n 0 x ( n) n0 0,
(6)双边序列
x
0
n
双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序 列，可以把它看成一个左边序列和右边序列之 和。
X ( z)
n
x ( n) z x ( n) z
n n 0
n
n
x ( n) z
1
n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z
第二项为左边序列，其收敛域为： 当Rx-<Rx+时，其收敛域为
n 1
2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为-(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:
1 x ( n) Re s[ z /( 4 z )( z )] z 4 4 1 ( 4) n 1 4 n 2 , n 2 1 15 4 4
j Im[ z ]
Re[ z ]
z
同样,对于级数
x ( n) z n，满足 z z
n 0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[ z ]
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x (n)
.
有非零值, n1 n n2 x ( n) 其他n 0,
C为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线.
0
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
Rx
c
直接计算围线积分比较麻烦，一般都采用留数 定理来求解： 按留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线 C上连续，在c内有k个极点Zk， 在c以外有m个极点Zm 则有
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z z（2-14） c 2 j k k n 1 n 1 1 c X ( z ) z dz Re s[ X ( z ) z ]z z（2-15） m 2 j m
B( Z ) 即X ( Z ) A( Z )
1
X
1
( Z )+ X 2( Z )+ + X k ( Z )
1 1
则x(n) Z [ X 1( Z )] Z [ X 2( Z )]+ + Z [ X k ( Z )]
通常，X(z)可 X ( z ) B( z ) i 0 N A( z ) 表成有理分式形式： 1 ai z i
n
所以收敛域0 z 也就是除z 0, z 外的开域(0, )， 即所谓“有限z平面”。
j Im[ z ]
Re[ z ]
在n1,n2的特殊选择下，收敛域还可进一步扩大：
0 z , n 1 0 0 z , n 2 0
当n>0时序列有值，则|z|=0不收敛， 当n<0时序列有值，则|z|=∞不收敛.
M
要满足此不等式，|Z|值必须在一定范围之内 才行，这个范围就是收敛域，不同形式的序列其 收敛域形式不同。
分别讨论如下：
3.一些序列的收敛域 (1).预备知识 阿贝尔定理: x ( n ) z n ，在 z z ( 0) 如果级数 n 0 收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。
[例2-3]求序列 x(n) b nu(n 1) 变换及收敛域。
X (Z )
n
b u(n 1) z
n
n
n
b z b
n n n 1
1
n n
z
b1 z (b 1 z )2 (b 1 z ) n
Βιβλιοθήκη Baidu
留数的求法：
1、当Zr为一阶极点时的留数：
Re s[ X ( z ) z n1 ]Z Z r [( z zr ) X ( z) z n1 ]z zr
当
z a 时，这是无穷递缩等比级数。
1
a1 1 z q az , S 。 1 1 q 1 az za z a为极点，在圆 z a 外， X ( z )为解析函数，故收敛。
j Im[ z ]
z 收敛域： a
0
a
z
Re[ z ]
*右边序列的z变换的收敛域一定在模值最 大的有限极点所在圆之外。
2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
Re s[ X ( z ) z
l 1
n 1
] z zr
1 d l n 1 [( z z r ) X ( z ) z ] z zr l 1 (l 1)! dz
1 , z 4，求z反变换。 [例2-4] 已知 X ( z ) 1 4 (4 z )( z ) 4
[例2-2] 求序列 x(n) a u(n) 的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
a n u (n) z n a n z n (az 1 ) n
n 0 n 0
1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
z2
解:
X ( z) z
n 1
z n 1 1 (4 z )( z ) 4
1）当n≥-1时,z 不会构成极点，所以这时 C内只有一个一阶极点 z 1 因此 r 4 1 n 1 x(n) Re s[ z /( 4 z )( z )] 1 4 z 4
1 n 1 ( ) 4 1 4 n , n 1 1 15 4 4
X ( z ) x(n) z , 若 x(n) z
n n n1 n2 n
.
n1 0 n2
.
n
，n1 n n2 ;
考虑到x(n)是有界的，必有 z n ，n1 n n2 ;
因此，当n 0时， n 1 / z n , 只要z 0，则 z n z 同样，当n 0时， n z , 只要z ，则 z n z
Rx
z Rx
Rx z Rx
j Im[ z ]
Re[ z ]
Rx Rx
[例2-1] 求序列 x(n) (n) 的Z变换及收敛域。
解：这相当
n1 n2 0 时的有限长序列，
Z [ (n)]
n
(n)Z
n
Z 1
0
其收敛域应包括 z 0, z , 即 0 z , 充满整个Z平面。
(3). 右边序列
x(n) ... n1 0 1
n
有非零值, n n1 x ( n) n n1 0,
..
n
n
X ( z)
n n1
x ( n) z
n
n n1
x ( n) z x ( n) z
n 0
1
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,
1.只给Z变换的闭合表达式是不够的，是不 能正确得到原序列，必须同时给出收敛 域范围，才能唯一地确定一个序列。 2.X(z)在收敛域内解析不能有极点 右边序列的Z变换收敛域一定在模最大的 极点所在的圆外 左边序列的Z变换收敛域一定在模最小的 极点所在的圆内。
§2-3 Z反变换
一.定义：
从给定的Z变换闭合式X(z)及其收敛域中
§2-1 引言
信号与系统的分析方法有时域分析方法、 变换域分析方法。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，经典时域分析法， 时域分解，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，差分方程 的求解，卷积和。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
n n 1
n2
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 z Rx ; j Im[ z ] R x 为最大收敛半径 .
故收敛域为0 z Rx
Re[ z ]
z Rx
如果n2≤0,则（2-7）式右端不存在第二项， 故收敛域应包含z=0，即 |Z|<Rx+
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
b z 故其和为X ( z ) 1 1 b z z z b 收敛域：z b
1
j Im[ z ]
Re[ z ]
b
*左边序列的z变换的收敛域一定在模值最小的有限极点 所在圆之内。
由以上两例看出，如果a=b，则一个左边序列与一个 右边序列的z变换表达式是完全一样的。
n 1
1 n 15 4 , 因此x(n) 1 4n2 , 15
n 1 n 2
2.部分分式展开法
一般X(z)是z的有理分式，可表示成
B( Z ) X (Z ) A( Z )
A(Z)及B(Z)都是变量z的实数系数多项式并且没有 共因式，则可将X(Z)展成部分分式的形式，然后求 每一个部分分式Z 反变换，将各个反变换相加起来， 就得到所求x(n).
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,
R x z Rx
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
i 1
bi z i
M
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 zk z (1 zi z 1 ) k n 0 k 1 k 1 M N M r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为：
还原出原序列x(n)，称为Z反变换。
记作：x(n) Z [ X ( z )]
1
二.求Z反变换的方法
求Z反变换的方法通常有三种： 围线积分法（留数法），部分分式展开法和长除法
1.围线积分法（留数法） z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,
R x z Rx
二.Z变换的收敛域
1.定义: 只有当（2-1）式的幂级数收敛时，Z变 换才有意义。 对任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收 敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域. 2.收敛条件： 按照级数理论，（2-1）式的级数收敛的充 要条件是满足绝对可和的条件
即要求： x(n) z
n
n
它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔
定理可知收敛域为：
Rx z
(5)左边序列
x(n)
有非零值, n n2 x ( n) n n2 0,
X ( z)
0
0
n2 n
n
x ( n) z
n
n2
n
n
x ( n) z
x(n) z （2-7）
A Re s[ X ( z ) ] z z zk k 1 d r k r x( z ) Ck r k [( z zi ) (r k )! dz z z z , k 1, 2r i
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
§2-2 Z变换的定义与收敛域
一.Z变换的定义 若序列为x(n),则幂级数
X ( z ) Z [ x(n)]
n
x(n) z （2-1）
n
称为序列x(n)的Z变换，其中Z为变量。 *实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。
第一项为有限长序列,其收敛域为0≤|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞; Rx-为最小收敛半径。
j Im[ z ]
Re[ z ]
收敛域
Rx
(4)因果序列
有非零值, n 0 x ( n) n0 0,
(6)双边序列
x
0
n
双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序 列，可以把它看成一个左边序列和右边序列之 和。
X ( z)
n
x ( n) z x ( n) z
n n 0
n
n
x ( n) z
1
n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z
第二项为左边序列，其收敛域为： 当Rx-<Rx+时，其收敛域为
n 1
2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为-(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:
1 x ( n) Re s[ z /( 4 z )( z )] z 4 4 1 ( 4) n 1 4 n 2 , n 2 1 15 4 4
j Im[ z ]
Re[ z ]
z
同样,对于级数
x ( n) z n，满足 z z
n 0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[ z ]
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x (n)
.
有非零值, n1 n n2 x ( n) 其他n 0,
C为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线.
0
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
Rx
c
直接计算围线积分比较麻烦，一般都采用留数 定理来求解： 按留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线 C上连续，在c内有k个极点Zk， 在c以外有m个极点Zm 则有
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z z（2-14） c 2 j k k n 1 n 1 1 c X ( z ) z dz Re s[ X ( z ) z ]z z（2-15） m 2 j m
B( Z ) 即X ( Z ) A( Z )
1
X
1
( Z )+ X 2( Z )+ + X k ( Z )
1 1
则x(n) Z [ X 1( Z )] Z [ X 2( Z )]+ + Z [ X k ( Z )]
通常，X(z)可 X ( z ) B( z ) i 0 N A( z ) 表成有理分式形式： 1 ai z i
n
所以收敛域0 z 也就是除z 0, z 外的开域(0, )， 即所谓“有限z平面”。
j Im[ z ]
Re[ z ]
在n1,n2的特殊选择下，收敛域还可进一步扩大：
0 z , n 1 0 0 z , n 2 0
当n>0时序列有值，则|z|=0不收敛， 当n<0时序列有值，则|z|=∞不收敛.
M
要满足此不等式，|Z|值必须在一定范围之内 才行，这个范围就是收敛域，不同形式的序列其 收敛域形式不同。
分别讨论如下：
3.一些序列的收敛域 (1).预备知识 阿贝尔定理: x ( n ) z n ，在 z z ( 0) 如果级数 n 0 收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。
[例2-3]求序列 x(n) b nu(n 1) 变换及收敛域。
X (Z )
n
b u(n 1) z
n
n
n
b z b
n n n 1
1
n n
z
b1 z (b 1 z )2 (b 1 z ) n