2021年冲刺中考数学之热点专题新定义型问题(解析版)

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③当 x 1+ 5 时， min{- x2 + 1 ， - x} = - x2 + 1 ，函数值随 x 的增大而减小，最大值为 - 1- 5 ．
2
2
综上所示， min{- x2 + 1 ， - x} 的最大值是 5 - 1 ． 2
故选： A ．
2．（2019•花都区期末）对于任意的实数 m ， n ，定义运算“ Ä
解得， y = 2 或 y = - 2 ； \ 点 B 的坐标是 (0, 2) 或 (0,- 2) ； ②点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为 1
2
（2）①如图 2，取点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若 | x1 -1 与点 P2 的“非常距离”为 | x1 - x2 | ”解答，此时 | x1 - x2 |= | y1 - y2 | ．即 AC = AD ，
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
【解析】① a b 时， a ★ b = a ， b ★ a = a ， \ a ★ b = b ★ a ；
b
b
a < b 时， a ★ b = b ， b ★ a = b ， \ a ★ b = b ★ a ， \ ①符合题意．
②如图 3， E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点 C 与点 E 的“非常距离”的最小值及相
应的点 E 与点 C 的坐标．
【解析】（1）① Q B 为 y 轴上的一个动点，
\ 设点 B 的坐标为 (0, y) ．
Q | - 1 - 0 |= 1 ¹ 2 ，
2
2
\ | 0- y |= 2 ，
②当 m > 1 时，令 y =
0 ，有 (m - 1)x2 + (1+
m)x - 2m =
0 ，解得， x1 =
- 1 ， x2 =
2m ， m- 1
| x2 -
x1 |=
3m - 1 > m- 1
3 ，所以当 m >
1 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 3，此结论正确；
③当 m < 0 时， y = (m - 1)x2 + (1+ m)x - 2m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是： x = - m + 1 ，在对 2(m - 1)
故点 (1- m,1+ m) 在第二象限．
故答案为：二．
3．（2019•电城区二模）对于实数 a ， b ，我们定义符号 max{a ，b} 的意义为：当 a b 时， max{a ， b} = a ； 当 a < b 时， max{a ， b] = b ；如： max{4 ， - 2} = 4 ， max{3 ， 3} = 3 ，若关于 x 的函数为 y = max{x + 3 ，
2
值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有 ( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】因为函数 y = ax2 + bx + c 的特征数为 [m - 1 ，1+ m ， - 2m] ；
①当 m = 3 时， y = 2x2 + 4x - 6 = 2(x + 1)2 - 8 ，顶点坐标是 (- 1,- 8) ；此结论正确；
②当点 E 在过原点且与直线 y = 3 x + 3 垂直的直线上时，点 C 与点 E 的“非常距离”最小，设 E(x, y)（点 E 4
位于第二象限）．则
ìïïïíïïïî
y
x x2
= +
-4 3
y2 =
1
，解得，
ìïïïïïíïïïïïî
x y
= =
-3 5
4 5
，
故 E(- 3 ， 4) ． 55
由影子点的定义， P¢(- 1 ， 3) ，故答案为 (- 1 ， 3) ．
3
3
练习：
1．（2018•越秀区校级一模）定义 [a ， b ， c] 为函数 y = ax2 + bx + c 的特征数，下面给出特征数为 [m - 1 ，
1+ m - 2m] 的函数的一些结论：①当 m = 3 时，函数图象的顶点坐标是 (- 1,- 8) ；②当 m > 1 时，函数图 象截 x 轴所得的线段长度大于 3；③当 m < 0 时，函数在 x > 1 时， y 随 x 的增大而减小；④不论 m 取何
，
\ (1哪2) (2 Ä Ä 1) = (12 - 2) (22 + 1) = (- 1) 5 = (- 1)2 - 5 = 1- 5 = - 4 ，故选： A ．
3．（2019•紫金东江二中二模）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 x 和 y ， x ☆ y = a2x + ay + 1(a 为
”，规定
mn =
ìïïíïïîmm22
+ -
n(m n) n(m < n)
，例如：
3Ä 2 = 32 + 2 = 11 ， 2 Ä 3 = 22 - 3 = 1 ，计算 (1哪2) (2 1) 的结果为 (
)
A． - 4
B．0
C．6
D．12
【解析】 Q
mn =
ìïïíïïîmm22
+ -
n(m n) n(m < n)
4．（2019•陆丰期末）对任意两个正实数 a ， b ，定义新运算 a ★ b 为：若 a b ，则 a ★ b =
则 a ★ b = b ．则下列说法中正确的有 (
)
a
① a ★ b = b ★ a ② (a ★ b)(b ★ a) = 1 ③ a ★ b + 1 < 2 aåb
a ；若 a < b ， b
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\ A(1- 5 ， 5 - 1) ， B(1+ 5 ， - 1- 5 ) ．
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观察图象可知：
①当 x 1- 5 时， min{- x2 + 1 ， - x} = - x2 + 1 ，函数值随 x 的增大而增大，其最大值为 5 - 1 ；
2
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②当 1- 5 < x < 1+ 5 时， min{- x2 + 1 ， - x} = - x ，函数值随 x 的增大而减小，其最大值为 5 - 1 ；
，且
a
．b
满足方程组
ìïïíïïî|
a+ b-
3|+ 1=
c- 4= 4c - 16
0
(c
为常数），若点
P
的影子点是点
P¢，
则点 P¢的坐标为
．
【解析】方程组 ìïïíïïî|
a+ 3|+ b- 1=
c- 4= 4c - 16
0 (c
为常数）， \
c-
4
0
，
又由 4c - 16 0 ， \ c = 4 ， \ a = - 3 ， b = 1 ， \ P(- 3,1) ，
称轴的左边 y 随 x 的增大而增大，
因为当 m <
0 时，-
m+ 1 2(m - 1)
=
-
m- 1+ 2 = 2(m - 1)
-
12
1 m-
> 1
-
1 2
，即对称轴在 x =
-
1 右边，可能大于 1 ，所以在
2
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x > 1 时， y 随 x 的增大而减小，此结论错误， 2
④当 x = 1 时， y = (m - 1)x2 + (1+ m)x - 2m = 0 即对任意 m ，函数图象都经过点 (1, 0) 那么同样的：当 x = - 2
“关联数”为 [3 ， m - 2] 的一次函数是正比例函数，则点 (1- m,1+ m) 在第
象限．
【解析】 Q “关联数”为 [3 ， m - 2] 的一次函数是正比例函数，
\ y = 3x + m - 2 是正比例函数，
\ m- 2= 0 ，
解得： m = 2 ，
则1- m = - 1 ，1+ m = 3 ，
练习：
1．（2018•陆河二模）定义符号 min{a ，b} 的含义为：当 a b 时 min{a ，b} = b ；当 a < b 时 min{a ，b} = a ．如：
min{1 ， - 3} = - 3 ， min{- 4 ， - 2} = - 4 ．则 min{- x2 + 1 ， - x} 的最大值是 (
1等边三角形一定是和谐三角形是命题填真或假rtabc3如图2在等边三角形abcbc上各取一点adcdbd相交于点是和谐三角形且bgfg求证
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新定义型问题
“新定义”型问题主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念．运算．符号等，要求学 生读懂题意并结合已学知识进行理解，根据新定义进行运算推理．迁移的一种题型它既能考查学生对新知 识的理解接受能力，又能考查学生的逻辑思维能力。
常数），如：2☆ 3 = a2 g2 + ag3 + 1 = 2a2 + 3a + 1 ．若 1☆ 2 = 3 ，则 3☆6 的值为 (
)
A．7
B．8
C．9
D．13
【解析】 Q 1 ☆ 2 = 3 ， \ a2 + 2a + 1 = 3 ， \ a2 + 2a = 2 ，
\ 3 ☆6 = 3a2 + 6a + 1 = 3(a2 + 2a) + 1 = 3´ 2 + 1 = 7 ，故选： A ．
- x + 1} ，则该函数的最小值是
．
【解析】联立两函数解析式成方程组，得：
ìïïíïïî
y y
= =
x+ 3 ，
- x+ 1
解得： ìïïíïïîxy
= =
2
1
．
\ 当 x < - 1 时， y = max{x + 3 ， - x + 1} = - x + 1> 2 ；当 x - 1 时， y = max{x + 3 ， - x + 1} = x + 3 2 ．
2 ①若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B 的坐标；
②直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值； （2）已知 C 是直线 y = 3 x + 3 上的一个动点，
4 ①如图 2，点 D 的坐标是 (0,1) ，求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点 C 的坐标；
时， y = (m - 1)x2 + (1+ m)x - 2m = - 6 ，即对任意 m ，函数图象都经过一个点 (- 2,- 6) ，此结论正确．
根据上面的分析，①②④是正确的．
故选： C ．
2．（2018•平定县二模）新定义：[a ， b] 为一次函数 y = ax + b(a ¹ 0 ， a ， b 为实数）的“关联数””．若
\ 函数 y = max{x + 3 ， - x + 1} 最小值为 2．
故答案为：2．
4．（2019•普宁育才实验学校二模）在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1(x1 ， y1) 与 P2 (x2 ， y2 ) 的“非
常距离”，给出如下定义：
若 | x1 - x2 | | y1 - y2 | ，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 | x1 - x2 | ； 若 | x1 - x2 |< | y1 - y2 | ，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 | y1 - y2 | ． 例如：点 P1(1, 2) ，点 P2 (3,5) ，因为 | 1- 3 |< | 2 - 5 | ，所以点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 | 2 - 5 |= 3 ，也就是图 1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q 交点）． （1）已知点 A(- 1 ， 0) ， B 为 y 轴上的一个动点，
新定义型问题有以下三种常见题型: 题型一：数或函数类新定义 题型二：运算类新定义 题型三：图形类新定义
考向 1 数或函数类新定义
例：（2019•越秀区校级模拟）在平面直角坐标系中，当点 M (x, y) 不在坐标轴上时，定义点 M 的影子点为 M ¢( y ， x
-
x y
)
，已知点
P
的坐标为
(a, b)
)
A． 5 - 1 2
B． 5 + 1 2
C．1
D．0
【解析】在同一坐标系 xOy 中，画出二次函数 y = - x2 + 1 与正比例函数 y = - x 的图象，如图所示．设它们
交于点 A ． B ．
令 - x2 + 1 = - x ，即 x2 - x - 1 = 0 ，解得： x = 1+ 5 或 1- 5 ，
Q C 是直线 y = 3 x + 3 上的一个动点，点 D 的坐标是 (0,1) ， 4
\
设点 C
的坐标为 (x0
，
3 4
x0
+
3)
，
\ - x0 =
3 4
x0
+
2，
此时， x0
=
-
8 7
，
\ 点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为： | x0 |=
8， 7
此时 C(- 8 ， 15) ； 77
-
35
x0 =
3 4
x0
+
3-
4 5
，解得，
x0
=
-
8 ，则点 C 的坐标为 (5
8 5
，
9 5
)
，最小值为
1．
考向 2 运算类新定义
例：（2019•兴宁市期末）定义新运算：a Å b = ab + b ，例如：3Å 2 = 3´ 2 + 2 = 8 ，则(- 3)Å 4 =
．
【解析】 Q a Å b = ab + b ， \ (- 3) Å 4 = (- 3)´ 4 + 4 = - 12 + 4 = - 8 ．故答案为： - 8 ．